含参数的形如一元二次函数的最值问题

含参数的形如一元二次函数的最值问题

题目形式：设)()()()(2m C x m B x m A x f ++=，其中m 为参数，求)(x f 在区间],[b a 上的最大最小值。 解法：

1、 当0)(0)(==m B m A 且时，则)()(m C x f =为常量，)()()(max min m C x f x f ==∴

2、 当0)(0)(≠=m B m A 且时，)(x f 为一次函数

（1）0)(>m B ，)()(min a f x f =∴，)()(max b f x f =

（2）0)(

3、当0)(≠m A 时，)(x f 为二次函数，对称轴方程为)

(2)(m A m B x -= （1）0)(>m A

①当a m A m B x <-=)

(2)(时，)()(min a f x f =∴，)()(max b f x f = ②当2)(2)(b a m A m B x a +<-=≤时，)

(4)()()(4)(2min m A m B m C m A x f -=∴，)()(max b f x f = ③当b m A m B x b a ≤-=<+)(2)(2时，)

(4)()()(4)(2min m A m B m C m A x f -=∴，)()(max a f x f = ④当b m A m B x >-=)

(2)(时，)()(min b f x f =∴，)()(max a f x f = （2）0)(

(2)(时，)()(min b f x f =∴，)()(max a f x f = ②当2)(2)(b a m A m B x a +<-=≤时，)()(min b f x f =∴，)

(4)()()(4)(2max m A m B m C m A x f -= ③当b m A m B x b a ≤-=<+)(2)(2时， )()(min a f x f =∴，)

(4)()()(4)(2max m A m B m C m A x f -= ④当b m A m B x >-

=)

(2)(时，)()(min a f x f =∴，)()(max b f x f =

例题1：设m m x m x x f 2)1()(22-+-+=，若在区间]4,2[-上恒有0)(>x f ，求m 的取值范围 解：对称轴方程为21m x -=

，01)(>=m A （1） 当22

1-<-m 时，即5>m 时，064)2()(2min >+-=-=∴m m f x f ，R m ∈∴，5>∴m （2） 当4212≤-≤-m 时，即57≤≤-m 时，04

1634)1()2(4)(222min >--=---=∴m m m m m x f ， 33233323-<+>

∴m m 或， 3323753323-<≤-≤<+∴m m 或 （3） 当42

1>-m 时，即7-++==∴m m f x f ，R m ∈∴，7-<∴m 综上所述：），∞++--∞∈3

323()3323,

( m 习题1：设m x m x m x f 23)2()1()(2-+++-=，若在区间]1,2[-上恒有0)(>x f ，求m 的取值范围

习题2：设31

21)(2+++=x m x m x f ，若在区间]3,2[-上恒有0)(≥x f ，求m 的取值范围 习题3：设82)122()1()(2222-++-++-=m m x m m x m x f ，若在区间]4,4[-上恒有0)(>x f ，求m 的取值范围

习题4：设1)62()42()(2+-+-=x x x f m m ，若在区间]4,4[-上恒有0)(>x f ，求m 的取值范围

习题5：设m

m m x x x f 3323log )2(log )1(log )(--+-=，若在区间]4,4[-上恒有0)(>x f ，求m 的取值范围 习题6：设m x m x m x f cos )2(sin cos )(2+-+⋅=，若在区间]4,4[-上恒有0)(>x f ，求m 的取值范围