含参数的形如一元二次函数的最值问题
含参数的形如一元二次函数的最值问题
题目形式：设)()()()(2m C x m B x m A x f ++=，其中m 为参数，求)(x f 在区间],[b a 上的最大最小值。
解法：
1、 当0)(0)(==m B m A 且时，则)()(m C x f =为常量，)()()(max min m C x f x f ==∴
2、 当0)(0)(≠=m B m A 且时，)(x f 为一次函数
（1）0)(>m B ，)()(min a f x f =∴，)()(max b f x f =
（2）0)(<m B ，)()(min b f x f =∴，)()(max a f x f =
3、当0)(≠m A 时，)(x f 为二次函数，对称轴方程为)
(2)(m A m B x -= （1）0)(>m A
①当a m A m B x <-=)
(2)(时，)()(min a f x f =∴，)()(max b f x f = ②当2)(2)(b a m A m B x a +<-=≤时，)
(4)()()(4)(2min m A m B m C m A x f -=∴，)()(max b f x f = ③当b m A m B x b a ≤-=<+)(2)(2时，)
(4)()()(4)(2min m A m B m C m A x f -=∴，)()(max a f x f = ④当b m A m B x >-=)
(2)(时，)()(min b f x f =∴，)()(max a f x f = （2）0)(<m A ①当a m A m B x <-=)
(2)(时，)()(min b f x f =∴，)()(max a f x f = ②当2)(2)(b a m A m B x a +<-=≤时，)()(min b f x f =∴，)
(4)()()(4)(2max m A m B m C m A x f -= ③当b m A m B x b a ≤-=<+)(2)(2时， )()(min a f x f =∴，)
(4)()()(4)(2max m A m B m C m A x f -= ④当b m A m B x >-
=)
(2)(时，)()(min a f x f =∴，)()(max b f x f =
例题1：设m m x m x x f 2)1()(22-+-+=，若在区间]4,2[-上恒有0)(>x f ，求m 的取值范围 解：对称轴方程为21m x -=
，01)(>=m A （1） 当22
1-<-m 时，即5>m 时，064)2()(2min >+-=-=∴m m f x f ，R m ∈∴，5>∴m （2） 当4212≤-≤-m 时，即57≤≤-m 时，04
1634)1()2(4)(222min >--=---=∴m m m m m x f ， 33233323-<+>
∴m m 或， 3323753323-<≤-≤<+∴m m 或 （3） 当42
1>-m 时，即7-<m 时，，0122)4()(2min >++==∴m m f x f ，R m ∈∴，7-<∴m 综上所述：），∞++--∞∈3
323()3323,
( m 习题1：设m x m x m x f 23)2()1()(2-+++-=，若在区间]1,2[-上恒有0)(>x f ，求m 的取值范围
习题2：设31
21)(2+++=x m x m x f ，若在区间]3,2[-上恒有0)(≥x f ，求m 的取值范围 习题3：设82)122()1()(2222-++-++-=m m x m m x m x f ，若在区间]4,4[-上恒有0)(>x f ，求m 的取值范围
习题4：设1)62()42()(2+-+-=x x x f m m ，若在区间]4,4[-上恒有0)(>x f ，求m 的取值范围
习题5：设m
m m x x x f 3323log )2(log )1(log )(--+-=，若在区间]4,4[-上恒有0)(>x f ，求m 的取值范围 习题6：设m x m x m x f cos )2(sin cos )(2+-+⋅=，若在区间]4,4[-上恒有0)(>x f ，求m 的取值范围。
一元二次不等式及含参问题的解法
若a<0呢?
函数： 方程： a＞0 ax2+bx+c=0 y=ax2+bx+c 的图象 的解情况 y 当⊿＞0时， 方程有两不 等的根x1 ， x1 o x2 x x2 当⊿＝0 时， 方程有两相 等的根 X1=X2=x0 当⊿＜0 时， 方程无解 o x y 不等式的解集 ax2+bx+c＞0 ax2+bx+c＜0
方法三：
x 2 x 3 ( x 1)( x 3 ) 0 , x 1 1, x 2 3
2
复习一元二次函数
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时图像
0
0
0
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a<0时图像
0
综上得 {a|0≤a≤4}.
解下列不等式：
(1 ) x 2 x
2
2 3
0 ; ( 2 ) 8 x 1 16 x .
2
含参数的一元二次不等式
例1 解关于 x 的不等式
ax
2
5 ax 6 a 0 a 0
分析: 因为 a 0 且 数的正负.
∴(1)当 a ∴当 a
k x
4
(2)当 k (3)当
8
时,不等式解集为 x 时,不等式解集为
x 2
8 k 0
(4)当 k 0 时,不等式解集为 x
x 0
例4:解关于
x 的不等式：
ax
2
( a 1) x 1 0 .
{ 解: （一）当 a 0 时, 原不等式即为 x 1 0 解 集 为 ：x | x 1} .
求函数最值问题常用的10种方法
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
二次函数在各种区间上的最值
二次函数在各区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值。
分析：将配方，得顶点为、对称轴为当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。
（2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是当时，可类比得结论。
二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。
函数的最大值为，最小值为。
图1练习. 已知，求函数的最值。
解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。
将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。
显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。
函数的最小值为，最大值为。
图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。
解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。
如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。
图1如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。
当时，函数取得最小值。
图2如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。
“有限区间上含参数的二次函数最值问题”一课的教学策略研究
“有限区间上含参数的二次函数最值问题”一课的教学策略研究上海市桐柏高级中学刘国友一、本课例教学策略的设计背景（一）以往课堂教学的弊病我国的课堂教学长期以来形成的特点是：以教师的教为本位，教师讲，学生练，学生围绕教师转，学生失去了学习过程中的自主性和主动性；以书本知识为本位，学生死记数学定理、公式，机械地模仿教科书上解决问题的方法，忽视了师生之间、生生之间应有的合作学习与情感交流，丧失了学习过程中的情感性和发展性；以静态教案为本位，教师对教材、教案的认识过程代替了学生对学习内容的认知过程，学生只能被动适应，丧失了学习过程中的能动性和创造性。
（二）时代对教师教学理念转变的要求心理学、教育学、社会学、时代的发展，要求数学教育注重让学习者根据自己的经验基础进行建构来学习数学。
同样，数学教师不但要向学习者传授正规的外在知识，更重要的是激发学生主动学习，更应该为学生设计一种动态的、能够探索的、实验和体验的数学情境。
我们的原则应该是：第一，我们必须非常细心的对待研究中的结论，不要随意跳过结论对学生学习过程和结果作错误的推断。
第二，我们应该精心设计教学内容，为学生真正理解或应用这些内容提供丰富的平台。
我们应该认识到，不存在任何内容能保证学生将知识或能力，从一种情境迁移到另一种情境，学生必须有效的积累那些知识或能力。
上海二期课改不断深入，新课程标准提出“以人为本，以学生发展为本”的教学理念，突出了学生学习的自主性、创新精神、实践能力以及终身学习的能力的培养。
身处改革大潮的我们急需转变自己的教学理念，要为学生今天的学习服务，又要为学生明天的可持续发展奠基。
（三）按照“三个阶段、两次反思”的“行动教育”模式开展课堂教学策略研究我们在日常教学实践中往往会遇到各种各样的问题或困惑，尤其是新理念与学生实际之间的差距。
我们迫切需要更加广泛的、深入的沟通与交流，需要对课堂教学进行现场指导和帮助，需要通过具体的教学设计案例，让专家、教研员与我们共同参与校本教研。
高中数学-含参数二次函数的最值、单调性、恒成立问题
复习专题之含参数二次函数的最值、单调性、恒成立问题1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根a b x x 221-==无实根{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R {}21x x x x <<∅∅方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值.例1．已知函数()y f x =的表达式为()21f x ax mx =-+（a 、m R ∈）．（1）若0a =，()3f x <的解集为()2,1-，求实数m 的值；（2）若1a =，()y f x =在[]1,2上的最大值为3，求实数m 的值．例2．已知二次函数()f x 满足对任意x ∈R 都有()()122f x f x x =-+-，且函数()f x 的图象过点()3,2﹒（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()g x f x mx =-，若函数()g x 在区间[]1,2的最小值为3，求实数m 的值﹒1．（2021·河南·安阳县高级中学高一期中）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{}23x x -<<，则下列说法错误的是（）A ．0a <B ．不等式0ax c +>的解集为{}6x x <C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2．（2021·辽宁·渤海大学附属高级中学高一阶段练习）若函数()()224f x x m x =--+在区间()1,2内存在最小值，则实数m 的取值范围是（）A ．()3,4B ．()4,6C ．[]5,9D ．[]11,7--3．（2021·河南商丘·高二阶段练习（理））若不等式x 2+ax +1≥0在x ∈[－2，0）时恒成立，则实数a 的最大值为（）A ．0B ．2C ．52D ．34．（2021·山东文登·高三期中）关于x 的不等式2||20ax x a -+≥的解集是(,)-∞+∞，则实数a 的取值范围为（）A ．4⎫+∞⎪⎣⎭B ．,4⎛-∞ ⎝⎦C ．44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．,,44⎛⎤⎫-∞+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭5．（2020·湖南·嘉禾县第一中学高一阶段练习）若不等式2(1)20a x x -++ 对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为（）A ．9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．（2021·甘肃省会宁县第一中学高一期中）已知函数()()2212f x x a x =+-+在[)4,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(],3-∞-B ．[)3,-+∞C ．(],5-∞D ．[)5,+∞7．（2021·辽宁·大连市第三十六中学高一期中）若不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x -<<，那么不等式()21(1)2a x b x c ax ++-+>的解集为（）A ．{}32x x -<<B ．{3x x <-或}2x >C ．{}14x x -<<D ．{1x x <-或}4x >8．（2021·全国·高一课时练习）若不等式250x ax +->在{}12x x ≤≤上有解，则a 的取值范围是（）A ．12a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．12a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．{}4a a <D ．{}4a a >二、多选题9．（2021·江苏省天一中学高一期中）下列叙述中正确的是（）A ．,,a b c ∈R ，若二次方程20ax bx c ++=无实根，则0ac >B ．“0a >且240b ac ∆=-≤”是“关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集是R ”的充要条件C ．“1a <-”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件10．（2021·重庆十八中高一期中）已知函数2()2f x x x =-在定义域[]1,n -上的值域为[]1,3-，则实数n 可以取值有（）A ．0B ．1C ．2D ．311．（2021·全国·高一课时练习）（多选）若不等式223221x x m x x ++≥++对任意实数x 恒成立，则正整数m 的值可能为（）A ．3B ．4C ．1D ．212．（2021·全国·高一课时练习）对于给定的实数a ，关于x 的一元二次不等式()()10a x a x -+>的解集可能为（）A ．φB ．{}1x x a -<<C ．{}1x a x <<-D ．{1x x <或}x a >三、填空题13．（2021·上海·复旦附中高一期中）关于x 的一元二次不等式280x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的取值范围是______．14．（2021·北京师大附中高一期中）若关于x 的一元二次方程2240x ax -+=有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是________．15．（2021·全国·高一课时练习）若关于x 的不等式22230ax ax a -++<的解集为空集，则实数a 的取值范围是_______．16．（2021·全国·高一专题练习）若函数2()f x x ax =+在区间[1,2]上的最大值为1a +，则a 的取值范围为__________四、解答题17．（2021·广西·南宁二中高一阶段练习）（1）已知关于x 的不等式20ax x b ++>的解集为()1,2-，求不等式20bx x a ++>的解集；（2）解关于x 的不等式()210x k x k -++≤．18．（2021·福建·莆田第五中学高一期中）已知函数()21f x ax ax =-+．（1）设()()()22g x f x a x =+-，求()g x 在区间[]1,2上的最小值；（2）求不等式()f x x >的解集．19．（2021·福建·莆田二中高一期中）二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=，且()01f =.（1）求()f x 的解析式；（2）若不等式()2f x x m >+在区间，[]1,1-上恒成立，求实数m 的取值范围.。
二次函数最值
二次函数最值 内容讲解：二次函数的最值问题，包括三方面的内容：自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值的求法．二次函数y=a x 2+bx+c=a （x+2b a ）2+244ac b a -．当a>0时，抛物线开口向上，此时当x<-2b a时，y 随x 增大而减小；当x>-2b a 时，y 随x•增大而增大；当x=-2b a时，y 取最小值244ac b a -．当a<0时，抛物线开口向下，此时当x<-2b a 时，y 随x 增大而增大；当x>-2b a 时，y 随x 增大而减小；当x=-2b a时，y 取最大值244ac b a -． 2．自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，•要结合图象和增减性来综合考虑．（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．3．实际问题中所建立的数学模型是二次函数时，所涉及的二次函数最值的求法，先建模后求解． 例题剖析例1（2003年武汉选拔赛试题）若x-1=1223y z +-=，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（）． （A ）3（B ）5914（C ）92（D ）6 分析：设x-1=1223y z +-==t ，则x 2+y 2+z 2可用只含t 的代数式表示，通过配方求最小值． 解：x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，原式=14t 2+10t+6=14（t+514）2+5914，所以最小值是5914． 评注：本题体现了如何消元使多元函数转变为一元函数这一思想，我们要用心体会．此外，设比值为k 法是解决等比问题最常用的方法．例2（1995年全国初中数学联赛试题）设x 为正实数，则函数y=x 2-x+1x的最小值是________．分析：先将原函数配方，再求最值。
解：y=x 2-x+1x =（x-1）2+（x+1x ）-1=（x-1）2+）2+1要求y的最小值，最好有（x-1）2=0）2=0，这时得到x=1．于是，当x=1时，y=x 2-x+1x 取最小值1． 评注：函数y=x 2-x+1x 含有1x，不能直接用求二次函数的最值方法，求最值的最原始、•最有效的方法仍然是配方法． 例3（2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题）函数y=2x 2+4│x │-1的最小值是________． 分析：对x 分类进行讨论，去绝对值符号，转化为在约束条件下，•求二次函数最值问题．解：y=2（│x│+1）2-3=222(1)3,0,2(1)3,0.x xx x⎧+-≥⎪⎨--≤⎪⎩其图象如图，由图象可知，当x=0时，y最小为-1．答案：-1．评注：对于含有绝对值的函数，首先要化去绝对值，变成基本函数，再求极值．例4设0≤x≤3，求函数y=f（x）=│x2│的最值．分析：首先画出y=f（x）的图象，然后将y=f（x）图象位于x轴上方的部分保持不变，而将位于x轴下方的图象作关于x轴的对称图形，即得y=│f（x）│的图象．•然后用数形结合方法求函数y=│f（x）│的最值．【解】：如图，先作抛物线y=x2，然后将x轴下方的图象翻转上来，即得y=│x2-2x-1│的图象，对称轴是直线，方程x2x-1=02．由此可知，0与3•位于图象与x轴两交点之间，且位于对称轴两侧，故最大值为：f=|，而最小值为f（0），f（3）中较小者∵f（0）=1，f），∴最小值为1．评注：画绝对值函数图象，首先脱去绝对值符号（方法同绝对值的化简），•转化为基本函数，再在自变量取值范围内画出符合条件的图象．例5设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，当m为何值，x12+x22有最小值，并求这个最小值．分析：由韦达定理知x12+x22是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手．解：由△=（-4m）2-4×2×（2m2+3m-2）≥0得m≤23，x1+x2=2m，x1x2=22323m m+-，x12+x22=2（m-34）2+78=2（34-m）2+78，•∵m≤23，∴34-m≥34-23>0，从而当m=23时，x+x取得最小值，且最小值为2×（34-23）2+78=89．评注：定义在某一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．例6求函数y=（4-x）分析：此函数是较复杂的复合函数，可通过引入参数来求取函数最值．解：设，则u>0，且y=4+u．于是（u+x）2=4（x2+9），即3x2-2u·x+36-u2=0．∵x∈R，∴上式的判别式△=（2u）2-4×3×（36-u2）≥0，即u2≥27，故u≥y=4-x+2（当评注：通过换元，把原函数转变成关于x的一元二次方程，考虑到一元二次方程有解，由△≥0即可求得u的范围，从而求得y的最值．这是一种常用的方法，应掌握．例7（2002年太原市竞赛题）已知二次函数y=x2-x-2及实数a>-2，求（1）函数在-2<x≤a的最小值；（2）函数在a≤x≤a+2的最小值．分析：本题由于字母a的不确定性，因此需要分类讨论，并通过数形结合的方法来解．解：函数y=x2-x-2的图象如图．（1）当-2<a<12时，y min=y│x=a=a2-a-2；当a≥12时，y min=12|xy==-94．（2）当-2<a且a+2<12，即-2<a<-32时，y min=y│x=a+2=（a+2）2-（a+2）-2=a2+3a；当a<12≤a+2，即-32≤a<12时，y min=12|xy==-94．评注：将a相对于抛物线对称轴的位置进行分类讨论是解题关键，•而数形结合的方法可以直观地帮助求解．例8（2004年全国初中数学联赛试题江西赛区加试题）函数y=x2-2（2k-1）x+3k2-2k+6的最小值为m，则当m 达到最大时x=_______．分析：可通过配方法将原函数配成a（x+n）2+m的形式，再根据m的形式确定m的最大值．解：y=（x-2k+1）2-k2+2k+5，当x=2k-1时，y最小值是m=-k2+2k+5=-（k-1）2+6，所以当k=1时，m达到最大值．此时x=2k-1=1．评注：配方法是求取二次函数最值问题中最常用的基本方法，对于二次函数的最小值的最大值问题，可通过反复配方来确定．例9（2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是_______．分析：由条件可构造以x、y为根的一元二次方程，再根据其有实数根求出的范围．解：∵x+y=5-z，xy=3-z（x+y）=3-z（5-z）=z2-5z+3．∴x、y是关于t的一元二次方程t2-（5-z）t+z2-5z+3=0的两实根．∵△=（5-z）2-4（z2-5z+3）≥0，即3z2-10z-13≤0，（3z-13）（z+1）≤0．∴z≤133，当x=y=13时，z=133．故z的最大值为13 3．评注：•利用一元二次方程根的判别式的值“非负”或“为负”来求解函数最值的方法称为判别式法．例10（2003年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y=a x2+bx+c（其中a是正整数）的图象经过点A（-1，4）与点B（2，1），并且与x•轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为________．分析：应用二次函数y=a x2+bx+c过已知两点可确定a、b、c之间关系，并利用根的判别式求出b+c最值．解：由于二次函数的图象过点A（-1，4），点B（2，1），所以4,1, 421,32.a b c b aa b c c a-+==--⎧⎧⎨⎨++==-⎩⎩解得因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，所以△=b2-4ac>0，（-a-1）2-4a（3-2a）>0，即（9a-1）（a-1）>0，由于a是正整数，故a>1，所以a≥2，又因为b+c=-3a+2≤-4，且当a=2，b=-3，c=-1时，满足题意，故b+c•的最大值为-4．评注：借助二次函数图象与x轴的交点是所对应二次方程的根，•通过根的判别式可确定相关字母（或式）的取值范围，进而可确定其最值是解决这类问题常用方法．例11（2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知a<0，b ≤0，c>0，•24b ac -，求b-4ac 的最小值．分析：由b 2-4ac 容易想到一元二次方程ax 2+bx+c=0根的判别式，且b 2-4ac>0，故可构造抛物线y=ax 2+bx+c 来解．解：令y=ax 2+bx+c ， 由a<0，b ≤0，c>0，判别式△=b 2-4ac>0，•所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，且与x 轴有两个不同的交点A （x 1，0），B （x 2，0），因为x 1x 2=c a<0，不妨设x 1<x 2，则x 1<0<x 2，对称轴x=-2b a≤0，于是│x 1│=|242b b ac a -+-|=242b b ac a -=c ，所以244ac b a -≥c=242b b ac a --≥-242b ac a-，故b 2-4ac ≤4，当a=-1，b=0，c=1时，等号成立．所以b 2-4ac 的最小值为4。
微专题13 含参数二次函数的最值问题(原卷版)
微专题13 含参数二次函数的最值问题【方法技巧与总结】1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。
【题型归纳目录】 题型一：定轴定区间型 题型二：动轴定区间型 题型三：定轴动区间型 题型四：动轴动区间型题型五：根据二次函数的最值求参数 【典型例题】 题型一：定轴定区间型例1．（2022·全国·高一专题练习）函数()232f x x x =++在区间[] 55-，上的最大值、最小值分别是（ ） A ．1124-，B ．212，C ．1424-， D ．最小值是14-，无最大值例2．（2022·全国·高一课前预习）函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是（ ） A ．10，5 B ．10，1 C ．5，1 D ．以上都不对例3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期中）若二次函数()()()24f x a x x =+-的图像经过点()0,4-，则函数()f x 在[]4,2-上的最小值为___________.例4．（2022·全国·高一专题练习）已知函数242y x x =-+-，当14x ≤≤上时y 的最小值是________例5．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数2()25,[1,5]f x x x x =-+∈-．则函数的最大值和最小值之积为______题型二：动轴定区间型例6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()20f x x mx m =->在区间[]0,2上的最小值为()g m ．（1）求函数()g m 的解析式． （2）定义在()(),00,∞-+∞上的函数()h x 为偶函数，且当0x >时，()()h x g x =．若()()4h t h <，求实数t 的取值范围．例7．（2022·全国·高一单元测试）已知函数2()2(f x x mx m m =-++∈R)．当[1,1]x ∈-时，设()f x 的最大值为M ，则M 的最小值为（ ）A ．14B ．0C ．14-D ．1-例8．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()()2213f x x k x =-++．(1)若函数()f x 为偶函数，求实数k 的值；(2)若函数()f x 在区间[]1,3-上具有单调性，求实数k 的取值范围；(3)求函数()f x 在区间[]22-,上的最小值．例9．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()221f x x mx =++．(1)若1m =，求()f x 在13x -≤≤上的最大值和最小值； (2)求()f x 在22x -≤≤上的最小值；(3)在区间12x -≤≤上的最大值为4，求实数m 的值．例10．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()()f x x x a =-.其中a R ∈，且0a >. (1)求函数()f x 的单调区间； (2)求函数()f x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.例11．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数2(1)h x ax x=+（常数a R ∈）.(1)当2a =时，用定义证明()y h x =在区间[]1,2上是严格增函数； (2)根据a 的不同取值，判断函数()y h x =的奇偶性，并说明理由；(3)令1()()2f x h x x a x=--+，设()f x 在区间[]1,2上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式.例12．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()21f x x x a x R a R =+-+∈∈，，． (1)当1a =时，求函数()f x 的最小值 (2)求函数()f x 的最小值为()g a ．例13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．(1)补充完整图象并写出函数()()f x x R ∈的增区间； (2)写出函数()()f x x R ∈的解析式；(3)若函数()()[]()211,2g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值．例14．（2022·安徽·合肥市第十中学高一期中）设函数2()43f x x ax =-+ (1)函数f (x )在区间[1，3]有单调性，求实数a 的取值范围； (2)求函数f (x )在区间[1，3]上的最小值h (a )．题型三：定轴动区间型例15．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点(0,1)-，且满足()()12f f -=．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；例16．（2022·江苏·高一单元测试）二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=且()01f =． (1)求()f x 的解析式；(2)当[]11x ∈-，时，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．(3)设函数()f x 在区间[]1a a +，上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式．例17．（2022·全国·高一期中）已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[,2]x t t ∈+（R t ∈）时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．例18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()222f x x ax =++．(1)当1a =时，求函数()f x 在区间[)23-，上的值域； (2)当1a =-时，求函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值；(3)求()f x 在[]55-，上的最大值与最小值．例19．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知关于x 的函数22 4.y x mx =-+ (1)当23x -≤≤时，求函数224y x mx =-+的最大值； (2)当23x -≤≤时，若函数最小值为2，求m 的值．例20．（2022·全国·高一专题练习）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05，，且()f x 在区间[]2-，4上的最大值是28． (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()f x 在[]1x t t ∈+，上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式．题型四：动轴动区间型例21．（2022·江苏·楚州中学高一期中）已知函数2()2(0)f x x ax a =-> (1)当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<(2)函数()y f x =在[],2t t +的最大值为0，最小值是-4，求实数a 和t 的值．例22．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．例23．（2022·四川巴中·高一期中）已知a R ∈，函数()f x x x a =-． (1)设1a =，判断函数()f x 的奇偶性，请说明理由；(2)设0a ≠，函数()f x 在区间(),m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出m ，n 的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）例24．（2022·江苏苏州·高一期末）已知函数f （x ）＝x |x ﹣m |＋n . (1)当f （x ）为奇函数，求实数m 的值；(2)当m ＝1，n ＞1时，求函数y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值.例25．（2022·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）已知R a ∈，函数()f x x x a =-， (1)当2a =时，写出函数()y f x =的单调递增区间； (2)当2a >时，求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值；(3)设0a ≠，函数()f x 在(),m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出,m n 的取值范围（用a 表示）例26．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+．设()()(){}1max ,H x f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =．记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最大值为B ，则A B -=______．例27．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数()f x x x a =-， (1)若()f x 在R 上是奇函数，求a 的值；(2)当2a =时，求()f x 在区间(0,4]上的最大值和最小值；(3)设0a >，当m x n <<时，函数()f x 既有最大值又有最小值，求m n 、的取值范围（用a 表示）题型五：根据二次函数的最值求参数例28．（2022·全国·高一专题练习）已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴的一个交点为(1,0)-，且经过点(2,)c ．(1)求抛物线与x 轴的另一个交点坐标．(2)当2t x t ≤≤-时，函数的最大值为M ，最小值为N ，若3M N -=，求t 的值．例29．（2022·全国·高一专题练习）若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－1，2]上有最大值4，则a 的值为( ) A ．38B ．－3C ．38或－3D ．4例30．（2022·全国·高一课时练习）函数()f x x x a =-在区间()0,1上既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)222,0⎡-⎣ B ．()0,222 C ．2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．)222,1⎡⎣例31．（2022·上海交大附中高一阶段练习）已知二次函数[]224,0,y x x x m =-+∈的最小值是3，最大值是4，则实数m 的取值范围是___________.例32．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数21()2f x x x =-+．若()f x 的定义域为[,]m n ，值域为[2,2]m n ，则m n +=__________．【过关测试】 一、单选题1．（2022·甘肃·民勤县第一中学高一阶段练习）有如下命题：①若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()132f >； ②函数()()110,1x f x a a a -=+>≠的图象恒过定点()1,2； ③函数()1221log f x x x =--有两个零点； ④若函数()224f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[]1,2．其中真命题的序号为（ ）． A ．①②B ．②④C ．①④D ．②③2．（2022·全国·高一专题练习）若函数2()23f x x bx a =-+在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值m ，则M m -（ ）A ．与a 无关，且与b 有关B ．与a 有关，且与b 无关C ．与a 有关，且与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关3．（2022·河南·郏县第一高级中学高一开学考试）已知()f x 为奇函数，且当0x >时，2()42f x x x =-+，则()f x 在区间[]4,2--上（ ） A ．单调递增且最大值为2 B ．单调递增且最小值为2 C ．单调递减且最大值为-2D ．单调递减且最小值为-24．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高一期中）已知函数()22f x x x a a =-++在区间[0，2]上的最大值是1，则a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．110,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一阶段练习）已知函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0，若关于x 的不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+，则实数c 的值为（ ） A ．9B ．8C ．6D ．46．（2022·河南·濮阳一高高一期中（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足()()13f x f x +=，且当(]01x ∈，时，()()41f x x x =-，则当(]20x ∈-，时，()f x 的最小值为（ ） A ．181-B ．127-C ．19-D ．13-7．（2022·河北省博野中学高一开学考试）已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4=0的两个实数根，则（m +2)(n +2）的最小值是（ ）. A ．7B ．11C ．12D ．168．（2022·陕西商洛·高一期末）若函数()2f x x bx c =++满足()10f =，()18f -=，则下列判断错误的是（ ）A ．1b c +=-B ．()30f =C ．()f x 图象的对称轴为直线4x =D ．f （x ）的最小值为－1二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）设函数()21,21,ax x a f x x ax x a -<⎧=⎨-+≥⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是（ ） A ．2B ．-1C ．0D ．110．（2022·全国·高一课时练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-上的解析式()()1f x x x =+，则()f x 在[)0,∞+上正确的结论是（ ） A ．()00f =B ．()10f =C ．最大值14D ．最小值14-11．（2022·浙江省龙游中学高一期中）已知函数()221f x x mx =-+，则下列结论有可能正确的是（ ）A ．()f x 在区间[]1,2上无最大值B ．()f x 在区间[]1,2上最小值为()f mC ．()f x 在区间[]1,2上既有最大值又有最小值D ．()f x 在区间[]1,2上最大值()1f ，有最小值()2f12．（2022·全国·高一单元测试）若[]()()11,9f x x x =+∈，()22()()g x f x f x =+，那么（ ）A ．()g x 有最小值6B ．()g x 有最小值12C ．()g x 有最大值26D ．()g x 有最大值182三、填空题13．（2022·上海·复旦附中高一开学考试）已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12y x=上，点N 在直线3yx上，设点M 的对称点坐标为(),a b ，则二次函数()2y abx a b x =-++的最小值为______．14．（2022·全国·高一专题练习）已知二次函数22y x x c =-++，当12x -≤≤时，函数的最大值与最小值的差为______15．（2022·全国·高一专题练习）若函数()221f x x ax a =-+-在[0,2]上的最小值为1-．则=a ____．16．（2022·全国·高一专题练习）设函数()2,2,x x a f x x x a ⎧≤=⎨+>⎩，若()f x 有最小值，则a 的取值范围是______． 四、解答题17．（2022·全国·高一专题练习）如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，交y 轴于点C ．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)当1m x m -≤≤时，函数23y ax bx =+-有最小值2m ，求m 的值．18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2y x x a =-+，其中R a ∈． (1)若函数的图象关于直线1x =对称，求a 的值； (2)试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值．19．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()221f x x mx =++．(1)若1m =，求()f x 在[]13，-上的最大值和最小值； (2)若()f x 在[]22-，为单调函数，求m 的值； (3)在区间[]12-，上的最大值为4，求实数m 的值．20．（2022·江西省铜鼓中学高一阶段练习）二次函数()()2210g x mx mx n m =-++>在区间[]0,3上有最大值4，最小值0.(1)求函数()g x 的解析式；(2)设()()(2)f x g x a x =+-，且()f x 在[1,2]-的最小值为3-，求a 的值.1121．（2022·全国·高一课前预习）（1）已知函数2()21f x ax ax =++在区间[-1，2]上最大值为4，求实数a 的值；（2）已知函数2()22f x x ax =-+，x ∈[-1，1]，求函数()f x 的最小值．22．（2022·天津市武清区杨村第一中学高一期末）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点()1,1-，且满足()()23f f -=．(1)求函数()f x 的解析式：(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；(3)若0x 满足()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的不动点，函数()()g x f x tx t =-+有两个不相等且正的不动点，求t 的取值范围．。
含参数的二次函数在指定范围内的最值
含参数的二次函数在指定范围内的最值
在指定范围内，如何求含参数的二次函数的最值？
对于形如$y=ax^2+bx+c$的二次函数，如果想要求出其在
$xin[a,b]$范围内的最大值或最小值，可以采用以下方法：
1. 求导并令导数为零，得到极值点的横坐标$x_0$，并判断
$x_0$是否在$[a,b]$范围内。
2. 求出函数在$a,b$以及$x_0$处的函数值$y_a,y_b,y_0$。
3. 比较$y_a,y_b,y_0$三个数的大小，即可得出最大值或最小值。
需要注意的是，如果函数的参数$a$在指定范围内变化，那么最
大值或最小值也会随之变化。
因此，在求解过程中需要对参数进行分类讨论，分别计算不同参数取值下的最值。
- 1 -。
“二次函数的最值问题”课堂实录与评析
“二次函数的最值问题”课堂实录与评析作者：***来源：《课程教育研究》2022年第07期【摘要】二次函数的最值问题是近年数学中考的常考点，是中学数学的重要内容之一，也是学好中学数学必须攻克的较为抽象的难点之一。
题型灵活多变，其中求二次函数在闭区间上的最值是二次函数最值问题的典型代表，包括不含参数和含参数的最值问题、最值逆向性问题以及可转化为二次函数在闭区间上最值的问题。
【关键词】二次函数最值数形结合【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2022）07-0154-03含有参数的函数最值问题，能很好地考查数形结合思想和分类讨论思想。
解决这类问题的关键点是研究函数图像的对称轴与区间的相对位置关系。
本人针对二次函数的最值问题设计一堂课，展开问题串，让学生理解含参数的函数最值问题的特征，以引导学生掌握解决此类问题的方法为教学目标。
1.教学设计1.1教材分析二次函数是初中数学的重要内容，二次函数最值问题的专题复习，可以对二次函数的概念等知识进一步巩固和深化。
含参数的二次函数是进入高中以后学生经常会遇到的，本专题利用函数的图像和性质去研究函数在区间上的最值，可以为高中进一步学习其他函数打下坚实的基础。
本专题涉及分类讨论思想、数形结合思想，以便培养学生分析问题、解决问题的能力。
1.2学情分析学生已掌握了二次函数的图像和性质的相关知识，具备了一定的识图能力、分析图形特征的能力和数学说理能力，为本节课解决二次函数最值问题奠定了基础。
1.3学法分析课堂上安排了学生讨论、分组、交流等活动，让学生变被动地接受和记忆知识为在合作学习的乐趣中主动地建构新知识的框架和体系，从而完成知识的认知过程，在互相交流和自主探究中获得发展。
课堂上注重学习过程的循序渐进。
在问题、图像、应用、拓展的过程中按照先易后难的顺序层层递进，让学生感到有挑战、有收获。
不同难度的题目设计将尽可能照顾到课堂学生的個体差异，引导学生利用函数图像来解决问题。
初中含参二次函数的最值问题
初中含参二次函数的最值问题二次函数在数学中是一种比较常见的函数形式，也是我们初中阶段需要掌握的重要知识点之一。
其中，最值问题是二次函数题目中比较典型和常见的一类问题。
在这篇文章中，我将通过一些例题和解题思路的介绍，来帮助大家更好地理解含参二次函数的最值问题。
1. 带参数二次函数的最值问题下面是一个含参数的二次函数的例子：$y=ax^2+bx+c(a>0)$ 。
我们来考虑这个函数的最值问题。
（1）当$a>0$时，这个二次函数的值域为$[q,\infty)$。
其中$q$为$a,b,c$的函数，满足$a>0$时，有如下的公式：$$q=f(\frac{-b}{2a})=\frac{4ac-b^2}{4a}$$那么，这个二次函数的最小值就是$q$，也就是当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最小值。
（2）当$a<0$时，这个二次函数的值域为$(-\infty,q]$。
其最大值也是$q$，即当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最大值。
可以通过公式来求解含参二次函数的最值问题。
具体来说，找到函数的最小值或最大值所在的$x$坐标，然后代入函数中求出对应的函数值即可。
下面让我们通过一个例题来进一步了解含参二次函数的最值问题。
2. 例题分析【例题】已知函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$，并满足：$|x-2|+|x-4|+|x-6|=k(k>0)$求函数$y$的最小值和最大值并确定此时$x$的值。
【解题思路】该题要求我们求解带有约束条件的含参二次函数的最值问题。
实际上，约束条件中的绝对值形式会让我们比较难受，不过我们可以将其转化为分段描述，从而更好地理解这个问题。
具体来说，考虑以下的情况：（1）当$x\leq 2$时，有$|x-2|=2-x$。
（2）当$2<x\leq4$时，有$|x-2|=x-2$、$|x-4|=4-x$。
（3）当$4<x\leq 6$时，有$|x-4|=x-4$、$|x-6|=6-x$。