静电场之均匀带电圆环,圆盘和圆圈在轴线上的电场共17页文档
9.0静电场之基本内容
空间某点的所产生的场强等于各个 ri是电荷Qi到场点P的矢径。 点电荷在该点产生场强的矢量和 当电荷连续分布时，可将带电体分成许 dE = dq 3 r 4πε 0 r 多点电荷，每个点电荷产生的场强为 全部电荷产生 E = 1 dq r 4πε 0 ∫ r 3 的合场强为 点电荷dq可根据线密度λ， 面密度σ或体密度ρ决定 dq = λdl，dq = σdS和dq = ρdV。
4．典型源电荷的电场 (1)点电荷 E = 1 Q r 4πε 0 r 3 的电场为 其中r是点电荷 Q到场点的矢径。 Q>0 Q<0 r r P E EP
点电荷产生的场强与其电量Q成正比， 与场点到点电荷的距离的平方成反比， 方向在场点到点电荷的连线上。 正点电荷产生场强的方向沿径向向外， 负点电荷产生场强的方向沿径向向内。 (2)无限长均匀带 E = λ r 2 ε 2 π r 电直线的场强为 0
n
θ
E
∫
S
E ⋅ dS 对于封闭的曲面，通常取外
法线方向为曲面的正方向。
7．高斯定理：在静电场中，通过任一闭合曲面(称为高 斯面)的电通量等于该曲面包围的电量的代数和除以ε0
ΦE =
∫
S
E ⋅ dS =
1
ε0
高斯定理说明电场是有源场，正电荷 q ∑ i
i
是电场的源头，负电荷是电场的汇尾。
注意：任何一点的场强E是所有电荷在 该处产生的，而 ∑ qi 是高斯面内的电 i 荷，不包括高斯面外的电荷，因为高 斯面外的电荷产生的电通量为零。
湖南大学物电院周群益第九章第九章静电场静电场基本内容基本内容范例范例92电偶极子的电场电偶极子的电场范例范例93均匀带电线段的电场均匀带电线段的电场范例范例91点电荷的电场点电荷的电场范例范例94平行直线电荷的电场平行直线电荷的电场范例范例95均匀带电圆环圆盘和圆圈在轴线上的电场均匀带电圆环圆盘和圆圈在轴线上的电场范例范例98直线电荷与共面带电线段之间的作用力直线电荷与共面带电线段之间的作用力范例范例97均匀带电圆柱面圆柱体和圆柱壳的电场均匀带电圆柱面圆柱体和圆柱壳的电场范例范例99直线电荷与共面圆弧电荷之间的作用力直线电荷与共面圆弧电荷之间的作用力范例范例910点电荷在有孔带电平面轴线上的运动规律点电荷在有孔带电平面轴线上的运动规律范例范例96均匀带电球面球体以及球壳的电场均匀带电球面球体以及球壳的电场基本内容基本内容1
均匀带电圆环中心处的电场强度
均匀带电圆环中心处的电场强度均匀带电圆环中心处的电场强度是物理学中一种非常重要的概念。
对于想要学习物理学的学生来说，理解该概念是非常必要的。
本文将围绕该概念展开讲述，从物理学原理、计算公式、以及应用场景三个方面来进行详细的阐述。
一、物理学原理首先，我们需要明确一个重要的概念——“静电场”。
静电场是当物质的电荷分布在不随时间变化的条件下，产生的电场的总和。
而电场是指物体所受的电荷相互作用的力。
如果一个细长带电棒放在空气中，带电粒子会被相互排斥或吸引，因此就会形成电场。
同样，固定带电圆环也会产生相应的电场。
对于均匀带电圆环，其电场具有如下特性：电场矢量在圆环中心到电荷所在的矢量方向上，其大小为：E = k * (Q/D) * sin(θ)其中，k为库仑常数，Q 为圆环总电荷，D为圆环半径，θ为圆环中心处成像点与圆环的连线与某一固定直线（可以是水平直线）的夹角。
二、计算公式现在，我们来详细了解均匀带电圆环的电场公式。
要计算均匀带电圆环中心处的电场强度，需要首先了解如下的一些概念：1. 静电场：在一个物质中，由电荷分布引起的电场，叫做该物质的静电场。
2. 电荷：物体中的基本粒子以及它们的互相作用被描述为“电荷”。
3. 均匀电荷密度：在物质内部的每一个点上，如果电荷的总量随距离的变化按相同的比例减少，那么我们就称这种情况为“均匀电荷密度”。
有了以上的基础概念，我们可以根据学习到的静电场公式，得出：均匀带电圆环中心处的电场强度E_{total}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{Q}{R^2}。
其中，Q为圆环的总电荷量，R为圆环的半径，ε_0是真空的介电常数，其取值为8.85×10^-12 C^2/N·m^2。
三、应用场景知道了计算公式之后，我们需要了解均匀带电圆环中心处的电场强度在哪些应用场景中起到重要的作用。
在自然界中，均匀带电圆环中心处的电场强度在许多自然现象中都有所体现，如电荷相互作用、大气电场研究、电子学、电磁学等等。
静电场的环路定理PPT教案
对称性 以q为球心的同一球面上的点电势相等
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1.2电势叠加原理点电荷系 若场源为q1 、q2 qn的点电荷系
根据电场叠加原理场中任一点的
场强 E E1 E2 ....... En
电势
u E dl (E1 E2 En ) dl
P
P
E1 dl E2 dl ....... En dl
dW
q0q
4 0
1 ra
1 rb
结论：
试验电荷在任意给定的静电场中移动时，电 场力对q0做的功仅与试验电荷的电量及路径的起 点和终点位置有关，而与具体路径无关。这是静 电场的一个重要性质，叫有势性（有位性），具 有有势性的场叫做势场（位场）。（静电场，重 力场等）
静电场是保守场，静电场力是保守力。
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电势
2.2 电势
某点电势能Ea与q0之比，定义为该点的电势
Va
E pa q0
q0 a E d l q0
Edl
a
数值上等于单位电荷从该点移到参考点电场力
所做的功。注意电势零点的选取是任意的。
2.3 电势差（电压）
电场中两点电势之差
Vab Va Vb
b
Edl
a
b a
沿着电场线方向，电势降低。电势差是绝对的，电势
P
P
n
P
u1 u2 ...... un ui
i1
qi
40ri
各点电荷单独存在时在该点电势的代数和,
注意(电势是一个标量)
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1.3 连续带电体的电势
由电势叠加原理
dq du
4 0r
dq
r •P
dq
均匀带电圆盘轴线上一点的场强
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二、电场强度 (electric field strength)
1. 试探电荷： q 本身电荷足够小；占据空间也
足够小，放在电场中不会对原有电场有显著的影响。
2. 将 q 放在点 q1,q2,q 3,..q.n电荷系产生的电场中，
q 受到的作用力为 F，为描述电场的属性引入
1
第一章 真空中的静电场 §1 电相互作用
• 1.1 电荷 、电荷守恒定律 • 1. 两种电荷:正电荷、负电荷
– 摩擦起电，静电感应(electrostatic induction)
• 一些概念
– 电中性、电量 – 导体（conductor)、绝缘体(insulator)或电介质
(dielectric)、 – 半导体（semiconductor)。 – 自由电子、载流子(carrier)、空穴(hole)
例题4
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均匀带电圆盘轴线上一点的场强
设圆环带电量为 q ，半径为 R
作业： 1-3，1-4
26
x R rdr
Ex(p)20 0 (r2x2)32
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x
20
(1 (R2
x2)12
)
R r dq
23
讨论：1.当 xR
E
2 0
相当于无限大带电平面附近的电场，可看成是均 匀场，场强垂直于板面，正负由电荷的符号决定
讨论：2.当 xR
R2
q
E40x2 40x2
在远离带电圆面处，相当于点电荷的场强。
[附录]泰勒展开：
(R 2 xx2)12(1R x2 2)1211 2(R x)2.....
均匀带电圆环的电场分布
均匀带电圆环的电场分布人民教育出版社出版的普通高中《物理》必修第三册第九章第三节“静电场及其应用”提到“一个半径为R的均匀带电球壳（球体）在球外部产生的电场，与一个位于球心、电荷量相等的点电荷在同一点产生的电场相同”[1]，但教材并未给出球壳内场强的分布情况。
郭今戈讨论认为“均匀带电球壳内部任意一点的电场强度均为零”[2]。
近年来，基于这个结论命制的高考物理试题时常出现，如2014年山东卷第19题，2021年江苏卷第10题等。
笔者在实际教学過程中发现，部分学生经常错误地将这个结论直接迁移到均匀带电圆环，认为“电荷均匀分布的细圆环，环内任意一点的场强也处处为零”。
文献[2]只讨论了均匀带电圆环在垂直环面且过中心的轴线上的电场强度分布特征，而没有讨论环面内任意点的场强。
利用电荷分布的对称性，可以分析得出圆环圆心处的场强为零，但环面内其他点的场强实际并不为零。
针对学生这个认识误区，笔者分别采用等效法、微元法和Desmos 软件定量计算三种方法，抽丝剥茧，由定性分析到定量计算，从不同角度分析讨论了均匀带电圆环在环平面内的电场分布特点，帮助学生突破该认识误区。
1 妙用等效，逆向证明笔者先从学生的错误认知出发，引导学生进行如下思考：均匀带电球壳内部场强处处为零，所以球壳内任一直径上各点的场强自然也为零。
若要使得均匀带电圆环内任一直径上的场强也处处为零，那么带电圆环的电荷分布与均匀带电球壳的电荷分布是否存在某种等效关系呢？从球壳与圆环的几何对称性特点出发，引导学生作如下操作：用与直径AB垂直的平面分割均匀带电球壳，可以得到无数细圆环带（图1）。
由于圆环带上的电荷相对于直径AB对称分布，所以可以得出结论“每个均匀带电圆环带在过环心且垂直环面的轴线AB上的任意一点M 的电场强度方向一定沿轴线AB”。
对于半径与球壳相同的圆环来说，如果环上电荷分布关于直径AB是对称的，那么关于直径AB对称的两个带电弧线微元P 和P在M处产生的电场场强矢量和一定也沿AB方向（图2）。
静电场之均匀带电圆环,圆盘和圆圈在轴线上的电场
[](1)设λ > 0，圆环上所带电量为Q = 2πaλ。
r z2 a2
如图所示，圆环上所有电荷到场点P的距离都是
z
E
在P点产生 的电势为
U
kQ r
kQ 电势在原点处最高，并P z2 a2 随着距离的增加而减小。
r
P点的场 强为
E dU kQz . dz (z2 a2 )3/ 2
Q Oa
Q(Q > 0)，求圆盘轴上的电势和电场强度，电
势和电场强度随轴坐标变化的规律是什么？
[解析](1)设Q > 0，当电荷均匀分布圆盘 上时，电荷的面密度为σ = Q/πa2，
z E
Pr
如图所示，在圆盘上取一半径为R，宽度
为dR的圆环，其面积为dS = 2πRdR， a
dR
所带的电量为dq = σdS，
z) z2 a2
当z→+0时，E→2kQ/a2 = σ/2ε0，这是无 限大均匀带电平面在正面产生的场强。
这是点电 荷的场强。
当z >> a时，可得
E
2kQ a2
[1
(1
a z
2 2
)
1/
2
]
2kQ a2
1 2
a2 z2
kQ z2
如果z < 0，轴 线上的场强为
E
dU dz
2kQ a2
d dz
(
σ = Q/πa2， U 2kπ ( z2 a2 | z |)
z E
Pr
电势
U
2kQ a2
(
z2 a2 | z |)
当z = 0时电势最高U = 2kQ/a。
a
dR
OR
三种均匀带电的圆面中心轴线上的电场强度赏析
1图 1图2三种均匀带电的圆面中心轴线上的电场强度赏析——兼析三道高考选择题周林（宁波市鄞州区正始中学， 浙江 宁波 315131）近几年高考题中，有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需通过一定的物理分析就可以判断结论是否正确。
因此，不仅要提升物理关系式的分析鉴别能力，而且更要挖掘出其中蕴含的物理思想和方法。
让学生知其然还要知其所以然，本文拟用高等数学的定积分推导出三种均匀带电的圆面中心轴线上的电场强度的表达式，并分析三道高考选择题。
模型1：均匀带电的圆圈中心轴线上的电场强度如图1所示，均匀带电且单位长度带电量为λ的一个半径为R 的圆圈，求其中心轴线上任意一点P （坐标为x ）的电场强度在圆环上选取长为dl 的带电微元圆弧，根据点电荷的电场强度，在点P 产生的电场方向与x 轴的夹角为θ，沿x 轴方向的大小为θλcos 22xR dlkdE +=2222xR x xR dlk+⨯+=λ()2322xRxdlk +=λ由定积分得 ()232220xRxdlk E R +=⎰λπ ()23222xRxkR +=λπ根据对称性和叠加性，均匀带电圆圈在点P 产生的合场强必沿x 轴方向，正负由电荷符号决定，大小为()23222xRxkR E +=λπ。
若均匀带电圆圈的电量为q ，即λπR q 2=，则()2322xRkqxE +=。
讨论1：（1）当x 《R 时，则E =0，相当于圆圈中心处的场强，根据对称性可得场强为零。
（2）当x 》R 时，则2xkqE =，相当于点电荷的场强。
若x →∞时，则有E →0。
模型拓展1：两个彼此平行且共轴的均匀带电圆圈中心轴线上的电场强度 （1）两圆圈带同种电荷例1：（2010年福建卷）物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需通过一定的分析就可以判断结论是否正确。
如图2所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R 1和R 2的圆环，两圆环上的电荷量均为q (q >0)，而且电荷均匀分布。
均匀带电球壳、球体、圆环的电场强度探究
均匀带电球壳、球体、圆环的电场强度探究作者：***来源：《物理教学探讨》2016年第02期摘要：在电场的学习中，均匀带电球壳、球体、圆环以及圆盘的电场强度各有差别，如不清晰区分，将对后续的电场、电磁知识的学习产生较大的影响。
熟练掌握均匀带电物体的电场强度，可对后续的非对称带电物体的电场问题研究提供基础。
关键词：库伦定律；场强叠加；均匀带电中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2016）2-0057-3静止电荷产生的电场，称为静电场，电场强度是描述电场的物理量。
在点电荷电场中，由库仑定律推出电场强度非点电荷电场中，电场强度为矢量，遵循场强叠加原理。
在N个场源电荷所激发的电场中，任一点的总电场等于各个场源电荷单独存在时所激发的场强的矢量和。
在电场强度的学习中，分别出现均匀带电球壳、球体、圆环的不同题型，使学生对电场强度概念的理解产生了一定混淆。
本文阐述均匀带电球壳、球体、圆环的电场强度，以及一些特殊、非对称均匀带电物体的电场强度。
1 均匀带电球壳的电场强度设有一半径为R、带电量为Q的均匀带电球壳（如图1所示），由于电荷分布的对称性，在球壳内任取一点P，以P为顶点沿任意方向取一对顶角非常小的对顶锥面，在球面上割出一对小面元△S1和△S2，将其投射到锥面的轴线垂直的方向上，得到另一对小面元△S1*和△S2*。
垂直面元△S1*和△S2*面积之比等于距离的平方之比。
由此可知，斜面元△S1和△S2面积之比也等于距离平方之比。
因球壳均匀带电，按库仑定律，在P点产生的电场强度大小相等，方向相反，叠加起来相互抵消。
因为整个球面可以被上述在P点对顶的小锥面成双地切割成作用相互抵消的小面元，所以整个球面在P点的电场强度为零。
在论证中对P点的选择没做任何限制，P点可以是球内的任意一点。
均匀带电球壳外任一点的电场强度等于球壳上全部电荷集中在球心，作为一个点电荷产生的电场强度，公式表示为：2 均匀带电球体的电场强度设有一半径为R的球体均匀带电，总带电量为Q，此时电场强度的分布，只需把这个均匀带电球体激发的电场强度看成是无限多个无限薄的均匀带电球壳激发产生的电场强度叠加而成。
静电场之均匀带电圆环圆盘和圆圈在轴线上的电场
bO
d RR
U 2kπ (
z2 a2
z2
b2
)
2kQ a2 b2
(
z2 a2
在z = 0处 z2 b2 ) 的电势为
如果b = a，可得带电圆环中心的电势U = kQ/a； 如果b = 0，则得带电圆盘中心的电势U = 2kQ/a。
U 2kQ ab
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
1
kQ
成圆环，轴上电势为
z2 a2 z2 b2
z2 a2
轴上 场强
E
2kQz
z2 a2 z2 b2
( z2 a2 z2 b2
a2 b2
)
2kQz
(
1
z2 a2 z2 b2 z2 a2
) z2 b2
(z2
kQz a2
)3/ 2
.
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
圆盘电荷在中心附近产生 的场强最大，该场强表示 “无限大”带电平面的场 强；圆盘两边的场强方向 不同，因而不连续。
当距离增加时，场强 持续减小；当|z| > 3a 时，圆盘电荷的场强 接近于点电荷的场强。
{范例9.5} 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场
(3)一个外半径为a、内半径为b的均匀带电圆圈，带电量 为Q(Q > 0)，求圆圈轴上的电势和电场强度。对于不同 宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？
b2 kQ
a2 b2 [(1 2z2 ) (1 2z2 )] | z |
E
2kQz (a2 b2) |
[(1 z|
b2 z2
)1/
2
(1
a2 z2
均匀带电圆盘轴线上一点的场强
在远离带电圆面处，相当于点电荷的场强。
[附录]泰勒展开：
(R 2 xx2)12(1R x2 2)1211 2(R x)2.....
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• 特别注意：
– 场强是矢量。 – 将矢量问题化解成标量进行计算。 – 连续带电体的微积分的应用。
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提纲 第一章 真空中的静电场
dE
1
4 0
dr2qrˆ
P dE
对场源求积分，可得总场强： dq
EdE410 dr2qrˆ
r
以下的问题是如何选出合适的坐标， 给出具体的表达式和实施计算。
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e
lV i m 0 V q
dq dV
电荷的体密度
e
q
lS i m 0 S
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3
– 迄今所知，电子是自然界中存在的最小负电荷，质子 是最小的正电荷。
• 1986年的推荐值为：e =1.60217733×10-19库仑(C) • 库仑是电量的国际单位。 • 电荷量子化(charge quantization)是个实验规律。 • 假定中子电荷等于质子和电子电荷的代数和， • 现有的实验结果
这表明：
|qn| |qe||qp| 1021
|qe |
|qe |
电荷量子化已在相当高的精度下得到了检验。
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4
4. 电荷的相对论不变性：
• 在不同的参照系内观察，同一个带电粒 子的电量不变。电荷的这一性质叫做电 荷的相对论不变性。
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1.2 库仑定律(Coulomb law) 静电力的叠加原理