概率论与数理统计答案(3)

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与

出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222⨯⨯222

⨯⨯=

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 24

7C 3

C 35= 2

4

7C 2C 35= 22

4

7C C 6C 35=1122

4

7C C 12C 35=12

4

7C 2C 35

= 27C /C =

2122

4

7C C 6C 35

=224

7C 3

C 35

=

3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤

≤≤≤.,

020,20,sin sin 其他ππy x y x

求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ

{0,}(3.2)463

P X Y <≤

<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636

F F F F --+

ππππππsin sin

sin sin sin 0sin sin 0sin 434636

1).4

=--+=

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度

f （x ，y ）=⎩⎨⎧>>+-.,

0,

0,0,)43(其他y x A y x e

求：（1） 常数A ；

（2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由

-(34)0

(,)d d e d d 112

x y A

f x y x y A x y +∞+∞

+∞

+∞

+-∞

-∞

==

=⎰⎰

⎰

⎰

得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d y x

F x y f u v u v -∞-∞

=

⎰⎰

(34)340012e

d d (1

e )(1e )0,0,

0,0,

y y

u v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨

⎩⎪⎩⎰⎰其他

(3) {01,02}P X Y ≤<≤<

1

2

(34)3800

{01,02}

12e d d (1e )(1e )0.9499.

x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰

⎰

5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=⎩⎨

⎧<<<<--.,

0,

42,20),6(其他y x y x k

（1） 确定常数k ；

（2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有

2

4

2

(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞

-∞

-∞

=--==⎰⎰

⎰

⎰

故 18

R =

（2） 13

{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞

<<=⎰⎰

1

3

0213(6)d d 88

k x y y x =

--=⎰⎰ (3) 1

1.5

{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=

⎰⎰⎰⎰如图

1.5

4

2127d (6)d .832

x x y y =

--=⎰

⎰

(4) 2

4{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=

⎰⎰

⎰⎰如图b

2

40

2

12d (6)d .83

x x x y y -=--=⎰⎰

题5图

6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为

f Y （y ）=⎩⎨⎧>-.,

0,

0,55其他y y e

求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.

题6图

【解】（1） 因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为

1

,00.2,

()0.2

0,

.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 而

55e ,0,

()0,

.y Y y f y -⎧>=⎨⎩其他

所以

(,),()(

)X Y f x y X Y f x f y 独立 5515e

25e ,00.20,0.20,0,y

y x y --⎧⎧⨯<<>⎪==⎨⎨

⎩⎪⎩

且其他. (2) 5()(,)d d 25e d d y y x

D

P Y X f x y x y x y -≤≤=

⎰⎰

⎰⎰如图

0.20.2

-550

-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.

x

y

x x y x

-==-+≈⎰⎰⎰

7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F （x ，y ）=⎩⎨⎧>>----.,

0,

0,0),1)(1(24其他y x y x e e

求（X ，Y ）的联合分布密度.

【解】(42)28e ,0,0,

(,)(,)0,

x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨

∂∂⎩其他. 8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,

0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨

⎩

其他

求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞

=

⎰

x

204.8(2)d 2.4(2),01,

=0,.0,

y x y x x x ⎧⎧--≤≤⎪=⎨⎨

⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d

Y f y f x y x +∞

-∞

=

⎰

12y 4.8(2)d 2.4(34),01,

=0,.0,

y x x y y y y ⎧-⎧-+≤≤⎪

=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他