Z-空间上的有界线性泛函的性质
第三章 有界线性算子空间(续)
定义代数运算： f f1 f 2 和 f f1 其含义是指对于 x H 和 C 都有：
f ( x) f1 ( x) f 2 ( x) f ( x) f1 ( x)
H * 构成线性空间。
定义内积：
( f , f ) (, )*
xA x 1
由于 L sup
xA x 0
Lx x
Lx x
L
x1
x
对于 0 必 x1 A 使
Lx1 x1
x x1 L
L
改写成 L 令 x2
x1 x1
即总 x2 A ，且 x2 1使 Lx2 L
4.1 线性泛函的概念 线性泛函是线性赋范空间 A 到复数域 C 的映射，且对 x, y A 及
, K ，有
f ( x y) f ( x) f ( y)
线性泛函的性质： ①连续性：一定连续 处处连续 ②有界性：有界 连续 有界是指 x A ，有 | f ( x) | K x 对于数域，范数用| |代替。
L( x) L1 x L2 ( x) L1 ( x) L2 ( x) K1 x K 2 x K x
其中 K K1 K2 还可证明满足加法的 a、b、c、d 四条。 对于加法中的 0 元素的解释：
x A y B
L 0 是指对于 x A ，都有 Lx 0
x 0
sup Lx
xA x 1
L 的完备性定理： L 完备的充分条件是 A 完备。
定理是说：A 完备， L 一定完备。但 A 不完备， L 可能完备也可 能不完备。 证明略。
泛函数
泛函数泛函数又称泛函，通常实（复）值函数概念的发展。
通常的函数在Rn或Cn（n是自然数）中的集合上定义。
泛函数常在函数空间甚至抽象空间中的集合上定义，对集合中每个元素取对应值（实数或复数）。
通俗地说，泛函数是以函数作为变元的函数。
泛函数概念的产生与变分学问题的研究发展有密切关系。
设Ω为R中的区域，Г1表示边界嬠Ω的片断,表示一函数集合。
考虑对应,式中F为具有2n+1个自变数的函数:为寻求J(u)的局部极值，在一定条件下取J(u)的加托变分。
如果在u=u0达到局部极值，则u0适合欧拉方程δJ(u)=0。
在应用中，常以数学或物理的某个微分方程为背景产生一定泛函数，使原问题化成泛函数极值问题。
当代分析学中，变分方法有广泛应用。
一般把问题化成Tx=0的形式，即对应于某泛函数φ的欧拉方程，其中φ定义在一巴拿赫空间X中的开集S上且加托可微:算子T 称为梯度算子,φ称为T 的场位。
人们常遇到二阶微分系统，由此产生二次泛函数极值问题，是当代变分法常见的研究对象。
泛函数φ:S嶅X→R（X 为拓扑空间）称为在x∈S处下半连续，如果对每个实数r<φx，有x的邻域U(x)，使得r<φz,凬z∈U(x)∩S。
称φ在x∈S处下半序列连续,如果对每个序列。
其连续性及有界性如同对算子相应的性质所做的规定。
设φ是定义在线性集合S上的实（复）值泛函数。
如果φ(x+y)＝φ(x)+φ(y)，φ称为加性的；如果φ（λx）=λφ(x),λ∈R(C)称为齐性的；如果同时有加性及齐性称为线性的。
当φ取实值时,加性得放松为次加性,其定义为：φ(x+y)≤φ(x)+φ(y)；齐性得放松为正齐性，其定义为：ƒ(λx)=λƒ(x)(λ≥0)；如果同时有次加性及齐性，则称φ具有次线性；如果对于λ∈(0,1)，有φ(λx+(1-λ)y)≤λφ(x)+(1-λ)φ(y)，则称φ为凸的;如果当x≠y时上式中的≤必为<,则称φ为严格凸的。
在一些问题中,容许凸泛函数φ取值＋∞,但φ扝+∞,这时称φ为真凸的。
数学中的泛函分析和函数空间
数学中的泛函分析和函数空间泛函分析是数学中的一个分支，主要研究数学分析中的函数空间及其上的线性算子。
函数空间是指由一组函数构成的集合，可以是普通的实数或复数函数，也可以是更为抽象的函数集合。
泛函分析在多个领域中都有广泛应用，如物理、工程、机器学习等。
一、函数空间的定义和性质函数空间是一组函数的集合，它们具有特定的性质。
其中最重要的性质是线性性，即两个函数的线性组合也必须属于该函数空间。
此外，函数空间通常还需要满足几个基本的性质：闭合性、完备性和有界性。
闭合性指的是某个函数空间上的任意线性组合以及极限都必须在该空间中，否则该函数空间不是闭合的。
完备性指的是该函数空间中的任意Cauchy序列必须收敛于该函数空间中的某个函数。
有界性指的是函数空间中的所有函数必须有界。
二、典型的函数空间1. Lp空间Lp空间是函数空间中的一种，它包含了所有的可测函数，并且这些函数的p次方可积，如L2空间就是二次可积函数的集合。
Lp 空间的基本性质是线性性、闭合性和完备性。
2. Sobolev空间Sobolev空间是一种典型的函数空间，它包含了所有具有有限导数的函数。
Sobolev空间的重要性在于它是函数空间中最为广泛应用的一个，特别是在偏微分方程的研究中。
3. Hilbert空间Hilbert空间是一种基于内积定义的函数空间，它是完备的内积空间。
Hilbert空间拥有了向量空间的所有性质，同时还具有内积的性质，它的基本性质是线性性、闭合性、完备性和有界性。
三、函数空间上的线性算子函数空间上的线性算子是泛函分析中研究的重要内容之一，它们是一类将一个函数映射到另一个函数的算子。
函数空间上的线性算子具有很多重要的性质，例如连续性、可逆性、紧性等。
在实际应用中，函数空间上的线性算子非常重要。
例如，在机器学习中，神经网络模型可以看作是函数空间上的线性算子，即将输入数据映射到输出空间中的函数。
四、总结泛函分析是数学中的一个重要分支，它主要研究的是函数空间及其上的线性算子。
线性泛函和对偶空间
|
a
+
1 n
x
a fn (t )dt | dx
ò ò =
a
+
1 n
n(
x
-
a
)dx
+
b
dx
a
a
+
1 n
=b-a- 1
2n
Therefore || T ||³ sup || Tfn ||L = b - a.
n
• Proposition.
Linear operator T : ( X ,|| × ||) ® (Y ,|| × ||)
Þ T : X ® X是线性算子.
•例
1
y(s) = ò k(s, t)x(t)dt, k( , ) Î C([0,1]´[0,1]) 0
定义算子 A : C[0,1] a C[0,1] 如下
1
A : x(t) a y(s) = ò k(s, t )x(t)dt, 0
满足 A(a x1 + b x2 ) = a Ax1 + b Ax2 .
=
æ
ç
A
ç ç
x1 x2 M
ö ÷ ÷ ÷
ççè yn ÷÷ø ççè an1 an2 L ann ÷÷ø ççè xn ÷÷ø
ççè xn ÷÷ø
由此可知,在有限维线性空间上,如果将基选定后,
线性算子与矩阵是相对应的.
•例
X :[a, b]上全体多项式所成的线性空间,
定义微分算子 Tx(t) = x¢(t), x Î X
Tx关于这个基的坐标是(y1, y2 , ..., yn ).
n
n
å å x = xkek , Tx = ykek :
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结泛函分析知识总结与举例、应⽤学习泛函分析主要学习了五⼤主要内容：⼀、度量空间和赋范线性空间；⼆、有界线性算⼦和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算⼦的谱。
本⽂主要对前⾯两⼤内容进⾏总结、举例、应⽤。
⼀、度量空间和赋范线性空间（⼀）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧⽒空间n R （有限维空间）的推⼴，所以学好它有助于后⾯知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是⼀个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯⼀确定的实数d(x,y)与之对应，⽽且这⼀对应关系满⾜下列条件： 1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ? x=y （⾮负性） 2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对?z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常⽤的⽅法）注意:⑴定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满⾜1°、2°、3°都称为度量。
这⾥“度量”这个名称已由现实⽣活中的意义引申到⼀般情况，它⽤来描述X 中两个事物接近的程度，⽽条件1°、2°、3°被认为是作为⼀个度量所必须满⾜的最本质的性质。
⑵度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同⼀个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶集合X 不⼀定是数集，也不⼀定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，⽽称“度量空间X ” 。
泛函中三大定理的认识
泛函中三大定理的认识泛函中三大定理及其应用泛函分析科学体系的建立得益于20世纪初关于巴拿赫空间的三大基本定理，即Hahn-Banach 定理，共鸣定理和开映射、逆算子及闭图像定理。
其中：一致有界定理，该定理描述一族有界算子的性质；谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学数学描述中起核心作用；罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem ）研究了如何保范地将某算子从某子空间延拓到整个空间。
另一个相关结果则是描述对偶空间非平凡性的；开映射定理和闭图像定理。
1、Hahn-Banach 延拓定理定理：设G 为线性赋范空间X 的线性子空间，f 是G 上的任一线性有界泛函，则存在X 上的线性有界泛函F ，满足：(1) 当x G ∈时，()()F x f x =； (2) XGF f=；其中XF表示F 作为X 上的线性泛函时的范数；Gf 表示G 上的线性泛函的范数．延拓定理被应用于Riesz 定理、Liouville 定理的证明及二次共轭空间等的研究中．2、逆算子定理在微积分课程中介绍过反函数的概念，并且知道“单调函数必存在反函数”，将此概念和结论推广到更一般的空间．定义1逆算子(广义上)：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，G X ?，算子T ：G Y →，T 的定义域为()D T G =；值域为()R T ．用1T -表示从()()R T D T →的逆映射(蕴含T 是单射)，则称1T -为T 的逆算子(invertiable operator)．定义2正则算子：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，若算子T ：()G X Y ?→满足(1)T 是可逆算子； (2) T 是满射，即()R T Y =； (3) 1T -是线性有界算子，则称T 为正则算子(normal operator)．注：①若T 是线性算子，1T -是线性算子吗？②若T 是线性有界算子，1T -是线性有界算子吗？性质1 若T ：()G X Y ?→是线性算子，则1T -是线性算子．证明：12,y y Y ∈，,αβ∈K ，由T 线性性知：1111212(())T T y y T y T y αβαβ---+--1111212()TT y y TT y TT y αβαβ---=+--1212()y y y y αβαβ=+--0=由于T 可逆，即T 不是零算子，于是1111212()T y y T y T y αβαβ---+=+，故1T -是线性算子．□定理2逆算子定理：设T 是Banach 空间X 到Banach 空间Y 上的双射(既单又满)、线性有界算子，则1T -是线性有界算子．例1 设线性赋范空间X 上有两个范数1?和2?，如果1(,)X ?和2(,)X ?均是Banach 空间，而且2?比1?强，那么范数1?和2?等价．(等价范数定理)证明：设I 是从由2(,)X ?到1(,)X ?上的恒等映射，由于范数2?比1?强，所以存在0M >，使得x X ?∈有112Ix x M x=≤于是I 是线性有界算子，加之I 既是单射又满射，因此根据逆算子定理知1I -是线性有界算子，即存在0M'>，使得x X ?∈有1212I xx M'x -=≤．故范数1?和2?等价。
泛函分析中的八大空间
泛函分析中的八大空间泛函分析绪论总结参考教材是孙炯老师的《泛函分析》❞泛函分析学习目标1、了解和掌握空间理论（距离、赋范、内积空间）和线性算子理论（线性算子空间、线性算子谱分析）中基本概念和理论。
2、运用全新的、现代数学的视点审视、处理数学基础课程中的一些问题。
3、将分析中的具体问题抽象到一种更加纯粹的代数、拓扑形式中加以研究，综合运用分析、代数、几何手段处理问题。
❞泛函分析研究对象与方法泛函分析综合分析、代数、几何的观点和方法来研究无穷维空间上的函数、算子和极限理论，处理和解决数学研究中最关心的一些基本问题。
泛函分析的特点是把古典分析的基本概念和方法一般化、并将这些概念和方法几何化。
解析几何的创立，将代数问题几何化、几何问题代数化，那么这种模式可类比的推广到泛函分析的研究中。
❞（1）建立一个新的空间框架，空间中元素包括函数、运算。
「注」：空间中的元素？空间的结构（距离、范数、内积）（2）在新的空间框架下，研究解决分析、代数、几何中的问题，把分析中的问题结合几何、代数的方法加以处理。
「注」：泛函分析主要研究无穷维空间到无穷维空间的映射、运算，因此关注无穷维空间的性质，收敛性问题（如加法与无穷级数的区别）一些个人思考在三维实向量空间中进行了坐标分解，这样可以更清楚的表示这个向量的相关一些信息，那么空间的几何结构变得非常明了；另外将一个矩阵映射进行了分解，那么它的作用效果，也变得很明了。
所以自然联想到，无穷维空间能否有这样的几何结构（坐标系、正交性、元素能否分解？）、其中的映射又能否分解？但是在这其中就会遇到新的问题，也就是无穷项相加，就会有收敛性的问题。
❞泛函分析主要内容（1）空间、极限的概念，讨论他们的性质.包括：距离空间、赋范空间、内积空间、Hilbert空间.（2）研究线性算子（线性算子空间）.包括：有界线性算子、有界线性算子的重要性质、共轭空间。
其中：一致有界原则、开映射定理、闭图像定理、Hahn-Banach定理.（3）线性算子的谱理论.线性算子的谱分解从结构上展示了线性算子的基本运算特征，特别是自共轭算子的谱分解，与有限维空间对称矩阵的分解很类似.❞定义1：设有集合,且存在映射,使得对任意的都有：1.非负性：;2.对称性：;3.三角不等式：映射称为集合上的一个度量，称为度量空间.度量函数有时也用表示.下边我们给出一些常用的度量空间：1.,度量函数为经典度量.这样的实空间就称为欧式空间.2.(平凡度量)在任何一个集合上，我们都可以定义上述度量，因此任何一个集合上都可以让其变为一个度量空间.1.(空间) 所有的方勒贝格可积函数，定义度量：1.(空间) 所有的在可测的本性有界的函数，定义度量：表示它的本性上界.1.(空间和空间) 元素是数列：.2.3.(连续函数空间) 如果不做声明时，我们的定义的度量是：4.当然还可以有其他度量：有了度量函数后，我们可以定义收敛性：定义2：设为距离空间中的一个点列(或称序列), 这里如果存在中的点, 使得当时, , , 则称点列收敛于, 记为有时也简记为称为的极限.注意到，这里一定要要求在集合中！命题1：设是距离空间中的收敛点列,则下列性质成立:(i) 的极限唯一;(ii) 对任意的, 数列有界.(iii) 如果收敛，那么它的任意子列也收敛.定义3：距离空间中的点列叫做基本点列或柯西点列,若对任给的, 存在, 使得当时,如果中的任一基本点列必收敛于中的某一点,则称为完备的距离空间.注意到：一个空间是否完备与它的集合和度量都有关系，比如：按照最大值定义的度量是完备的，但是按照积分定义的度量不完备，在比如上配备欧式度量，点列是基本列但是不收敛，因为不在集合中.一个不完备的空间，我们可以想方设法的添加一些元素使其完备，然而是否任何的不完备空间都能这样做使其完备呢？这就要需要我们的完备化定理了！在此之前，我们需要引入一些其他有必要的东西！定义4设是两个度量空间, 如果存在映射：满足：(1):是满射；(2):.则称和是等距同构的, 称为等距同构映射, 有时简称等距同构。
(完整)泛函分析知识总结,推荐文档
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（ ａｃａｇＨ ｎ ｋｎ ｎｖｒｔ，ａ ｃａｇ Ｊ ｎｘ ３ ０ ３ Ｃ ｉａ Ｎ ｎｈｎ ａｇ ｏｇＵ ｉ ｓｙ Ｎ ｎｈ ｎ ，ｉ ｇ ｉ ０ ６ ，ｈｎ ） ｅｉ ａ ３
Ｋｅ ｒ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ：Ｚ—ｓ ａ ｅ ； ｘｓｅ ｃ ｅ ｒ ｍ ；ｓ ｐ ｒ ｔ ｎ ｔｅ ｒ ｍ； ｏ ｎ ｅ ｉ ｅ ｒＦ ｎ ｔ ｎ ｐ ｃ ｓ ｅ ｉｔｎ ｅ ｔ ｏｅ ｈ ｅ ａａ ｉ ｈ ｏ ｅ ｂ ｕ ｄ ｄ ｌ ａ ｕ ｃ ｉ ｏ ｎ ｏ Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｉ ｈ ｓｐ ｐ ｒ ｅ ｉｔｎ ｅｔ ｅ ｒｍ ｎ ｅ ａ ａｉｎ ｔｅ ｒ ｍ ｆｂ ｕ ｄ ｄ ｌ ｅ ｎ ｔ ｎ ａ ｅ ｇ ｉ ｅ —ｓ ａ ｅｂ ｐ ｌｉ ｇ Ｈａ ｎ ｓｒ ｃ ：ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ，ｘ ｓｅ ｃ ｈ ｏ ｅ ａ ｄ ｓ ｐ ｒ ｔ ｏ ｅ ｏ ｏ ｎ ｅ ｎ ａ ｆ ｃｉ ａ ｎ ｄ ｉ Ｚ ｏ ｈ ｉ ｒ ｕ ｏ ｒ ｎ ｐ ｃ ｙａ ｐｙ ｎ ｈ
有 很好 的潜在 应 用 前 景 。在此 基 础 上 ， 文将 泛 函 本 ～ 。为 了方 便 ， 文 将 （ ， ０ ｌ・ 本 ＋， ，１ 分 析 中的泛 函存 在 定 理 、 隔性 定 理 推 广 到 ｚ 空 称为 Ｚ 空 间 ） 分 一
间之 中。为 了节省 读 者 查 阅资 料 的 时 间 ， 简 要 介 先
定义 １ｌ 设 （ ＋，） Ａ ｅ 群 ， ＿ ， ０ 是 ｂｌ ｚ是 整 数 加 为 上 的次范诱 导 的距 离 。
群 。如果 （）对 Ｖ（ ）∈（ ） 中有 唯一 的元 ｉ ｍ， ｚ， ， 定 义 ２２ 设 是 ｚ一空 间 ， 上 的有 界 线性 ［
泛 函全体 记 为 （ 的共扼 空 间 ） 。设 ｛ ｝ 是 中
列｛ ｝ 的极 限 ， 称序 列 ｛ ｝ 次 范收 敛 于 ， 依 或序 列 ｛ ｝ 次强收敛于 ， 为ｌ ＝ 记 ｉ ｍｘ 或 — ｎ÷ 。 （＿ ∞）
其 中 ｍ， ｎ∈Ｚ， Ｙ ， ∈Ｘ。
［ 收稿 日期】００ ０ ２ ２１ — ４— ７ ［ 修回 日期 ］００ ０ — ８ ２１ — ５ ２
文献 ［ ］ １ 中研 究 了平 移 空 间 的 线 性 结 构 ， 人 引
了次 范整 线性 空 间 （ 称为 ｚ 空 间 ） 简 一 的概 念 ， 类 这
（ｉ 可 在 上 引人 次范 ： ｚ， 足条 件 ： ｉ） 满
（ ）Ｉ ｌ ，Ｉｌ ， ５ Ｉｌ ｘ ≥０ Ｉ Ｉ ｘ ＝０ 当且 仅 当 ＝ （ ） ； ６
间的泛 函存在定理 、 ห้องสมุดไป่ตู้性定理 。 分
［ 中图分类号 ］０ ５ ． １７６
［ 文献标 志码 ］Ａ
［ 文章编号 ］１０ — ９ ６ ２ １ ）２— ０ ０— ３ ０ １ ４ ２ （０ ０ ０ ０ ６ ０
Ｂ ｕ ｄ ｄＬ ｎ ａ ｕ ｃｉｎ’ ａｉ ｎ Ｚ —Ｓ ａ ｅ ｏ ｎ ｅ ｉｅ ｒＦ ｔ ｎ ｏ ＳＱｕ ｌｙｏ ｔ ｐ ｃｓ
则称 （ ， ０ ｌ・ ｌ 为 次 范 整 线性 空 间 （ ＋， ，Ｉ １ ） 简
Ｉ ｙ ≤Ｉ ｌ ｙ ；７ ｌ ｌ ｘ ， Ｙ Ｘ ｘ ｘ ＋ｌ Ｉ — ＝Ｉ ｌ 空 间是传 统赋 范线 性 空 间 的一 个 很 好推 广 ， 因而 具 ｌ ＋ ｌ Ｉｌ ｌｌ（ ）ｌ Ｉ Ｉｌ ， ∈
６ ０
Ｚ一空 间上 的 有 界 线 性 泛 函 的 性 质
◎ 江 慎 铭
（ 南昌航 空大学 ， 江西 南昌 ３０ ６ ） ３ ０ ３
［ 关键词】 一 空间 ； 函存在定理 ； ｚ 泛 分隔性定理 ； 有界线性泛 函
［ 摘 要］ 文章在次范整线性空间 中利用 Ｈ ｈ ａｎ—Ｂ ｎｃ ａａｈ扩张定理给出泛 函存 在定理 ， 隔性定理 ， 分 这些定理推广赋 范线性空
—
Ｂ ｎ ｃ ｘｅ ｓｏ ｈ ｏ ｅ ． ｘｓｅ ｃ ｈ ｏｅ ｎ ｅ ａ ａｉｎ ｔ ｅ ｒ ｍ ｆｎ ｒ ｄ ｌ ｅ ｒｓ ａ ｅ ａ ｅ ｇ ｎ ｒ ｌ ｅ ． ａ ａ ｈ ｅ ｔｎ ｉｎ ｔ ｅ ｒｍ ｅ ｉｔｎ ｅ ｔ ｅ ｒ ｍ ａ ｄ ｓ ｐ ｔ ｈ ｏ ｅ ｏ ｏ ｍｅ ｉ ａ ｐ ｃ ｒ ｅ ｅａ ｉ ｄ ｒ ｏ ｎ ｚ
［ 作者简 介］ 江慎铭 （９２ ） 男， １７ 一 ， 南昌航空大学数学与信息科学学院讲师， 硕士。主要研究方向： 泛函分析。
葛誊 ’ 鸵官士 謦学 报
Ｊ ｏｕｒ ｎａｌｏ ｆＮａｎ ａｎｇ Ｈａｎ ｃｈ ｇｋｏｎ ｉ ｅｒ ｉｙ ｇ Ｕｎ ｖ ｓ ｔ
自然 科 学版 … … … ・ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ｓ Ｎａｕａ Ｓ ｉｎ ｅ
２ｌ ００年 ６月
第２ ４卷
第２ 期
ｚ一空 间 上 的 有 界线 性泛 函 的性 质 ６ １
如果 存 在 ∈Ｘ， ｆ∈Ｘ 使 得 ｌ （ ）＝ Ｖ ， ｉ ｍｆ 厂 （ ， 称 为 序列 ｛ ｝ ）则 的弱极 限 ， 序列 ｛ ｝ 收 （ 称 弱
的序列 。
与之对 应 ， 满足 ： 且 （ ）ｍ（ Ｙ １ ｘ＋ ）＝， ＋ｍ ；（ ） ｍ ＋ ＝， ＋ 似 ｙ ２ （ ） 砒 ／ ；３ （ ｎ ＝，（ ） （ ） ｘ＝ ｔ （ ） ， ） ｎ 眦 ；４ Ｉ ｘ ｎ
如果存在 ∈ 使得ｌ Ｉ— ｌ ０则称 为序 Ｘ， ｉ ｘ ｌ ， ｍＩ ：
绍ｚ 一空 间 的概 念及 引理 。
Ｉ 简记为 。 Ｊ ） 当 为 次 范 整 线 性 空 间 时 ， 义 ｜（ Ｙ 定 ｐ ， ）＝
ｆ — 』则得到 上的一个距离 Ｐ 从而 ｚ一 Ｉ Ｙ， ｘ ｌ ， 空间必 １ 概 念 及 引理
是距 离空 间 ， 因而 具有 拓 扑 结 构 。我们 称 这个 距 离