第三章 微分方程模型
合集下载
自动控制原理第三章二阶系统的数学模型及单位阶跃响应.ppt
二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应
定义： 由二阶微分方程描述的系统称为二阶 系统。
➢二阶系统数学模型
二阶系统的微分方程一般式为：
dd 2c t(2t)2 ndc d (tt)n 2c(t)n 2r(t)
(n 0)
阻尼比 n 无阻尼振荡频率
二阶系统的反馈结构图
R(s)
22 nn
ss((ss 22nn))
形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性 平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。
2.输出量的速度反馈控制
将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输 入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回路，称为 速度反馈控制。如下图示。
闭环传函为：
(s)C R ( (s s) )s2(2 n n K 2tn 2)s n 2
等效阻尼比：
t
1 2
Ktn
等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改 善了系统的平稳性。
3.比例－微分控制和速度反馈控制比较
➢从实现角度看，比例－微分控制的线路结构比较简 单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。
➢从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。
➢从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相 同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是 其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包 围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
由此知道：
c(t)c1(t)c2(t)
定义： 由二阶微分方程描述的系统称为二阶 系统。
➢二阶系统数学模型
二阶系统的微分方程一般式为：
dd 2c t(2t)2 ndc d (tt)n 2c(t)n 2r(t)
(n 0)
阻尼比 n 无阻尼振荡频率
二阶系统的反馈结构图
R(s)
22 nn
ss((ss 22nn))
形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性 平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。
2.输出量的速度反馈控制
将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输 入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回路，称为 速度反馈控制。如下图示。
闭环传函为：
(s)C R ( (s s) )s2(2 n n K 2tn 2)s n 2
等效阻尼比：
t
1 2
Ktn
等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改 善了系统的平稳性。
3.比例－微分控制和速度反馈控制比较
➢从实现角度看，比例－微分控制的线路结构比较简 单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。
➢从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。
➢从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相 同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是 其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包 围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
由此知道：
c(t)c1(t)c2(t)
常见的微分方程模型
常见的微分方程模型 微分方程是数学中一类重要的方程，广泛应用于自然科学、工程技术和社会经济等各个领域。
本文通过介绍常见的微分方程模型，帮助读者了解微分方程的基本概念和应用方法，并通过举例说明，使读者更加清楚地理解微分方程的实际应用。
一、常微分方程的基本概念 常微分方程是指未知函数与其导数之间的关系式，通常使用符号形式表示。
其中，未知函数是关于一个自变量的函数。
2. 方程类型 常微分方程包括一阶常微分方程和高阶常微分方程两种类型。
一阶常微分方程是指方程中未知函数的最高导数是一阶导数的微分方程。
高阶常微分方程是指方程中未知函数的最高导数是高于一阶导数的微分方程。
1. 简单增长模型 简单增长模型常用于描述物种的繁殖或种群的增长过程。
假设种群数量是一个未知函数N(t)，t表示时间。
简单增长模型的一阶常微分方程形式为dN/dt = kN，其中k是增长率常量。
举例：假设某个种群的初始数量是100个，增长率为0.05个/年，求10年后的种群数量。
解法：将初始条件代入简单增长模型方程，得到dN/dt =0.05N。
然后解这个一阶常微分方程，得到N = 100e^(0.05t)。
代入t = 10，可求得10年后的种群数量为N = 100 * e^(0.05*10)。
2. 简谐振动模型 简谐振动模型常用于描述弹簧振子或电路中的振荡状态。
假设振动的位移或电流是一个未知函数x(t)，t表示时间。
简谐振动模型的二阶常微分方程形式为d^2x/dt^2 + ω^2x = 0，其中ω是振动的角频率。
举例：某个弹簧振子的质量为1kg，弹簧的劲度系数为4N/m，初始位移为1m，初始速度为0m/s，求振子在t = 2s时的位移。
解法：将初始条件代入简谐振动模型方程，得到d^2x/dt^2 + 4x = 0。
然后解这个二阶常微分方程，得到x = 1 * cos(2t)。
代入t = 2，可求得振子在t = 2s时的位移为x = 1 * cos(4)。
常微分方程第三章基本定理
THANKS
感谢观看
线性化定理
总结词
线性化定理是将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法，从而可以利用线性方程的解法来求解。
详细描述
线性化定理提供了一种将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法。通过适当的变换，可以将非线性问题 转化为线性问题，从而可以利用线性方程的解法来求解。这个定理在解决复杂的非线性问题时非常有用，因为它 简化了问题的求解过程。
02
CATALOGUE
常微分方程的稳定性
稳定性定义
稳定性的定义
01
如果一个常微分方程的解在初始条件的小扰动下变化不大，那
么这个解就是稳定的。
稳定性的分类
02
根据稳定性的不同表现，可以分为渐近稳定、指数稳定、一致
稳定等。
稳定性判别方法
03
可以通过观察法、线性化法、比较法等方法来判断常微分方程
的解是否稳定。
龙格-库塔方法
总结词
龙格-库塔方法是常微分方程数值解法中一种更精确的 方法，它通过多步线性近似来逼近微分方程的解。
详细描述
龙格-库塔方法的基本思想是利用已知的初值和微分方 程，通过多步线性插值来逼近微分方程的解。具体来 说，龙格-库塔方法通过递推公式来计算微分方程的近 似解，公式如下：(y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n) + frac{h^2}{2} f(t_{n-1}, y_{n-1}) - frac{h^2}{2} f(t_{n-2}, y_{n-2})) 其中 (h) 是步长，(t_n) 和 (y_n) 是已知的初值，(f) 是微分方程的右端函数。
存在唯一性定理表明，对于任意给定的初值问题，存在一个唯一的解，该解在某个区间内存在并连续 。这个定理是常微分方程理论的基础，为后续定理的证明提供了重要的依据。
微分方程模型——人口模型、传染病模型
µ ~日治愈率日
建模 N [i (t + ∆ t ) − i (t )] = λ Ns (t )i (t ) ∆ t − µ Ni (t ) ∆ t
微分方程模型介绍
微分方程模型
微分方程建模的对象
改变” 变化” 增加” 涉及“改变”、“变化”、“增加”、 “减少”、“衰变”、“边际”、 减少” 衰变” 边际” 速度” 运动” 追赶” “速度”、 “运动”、“追赶”、 逃跑” “逃跑”、、、等等词语的确定性连续问
题。 微分方程建模的基本手段 主要包括下面几种方法， 主要包括下面几种方法，但是大家必须掌握
微分方程模型（2/33） 微分方程模型（ ）
微分方程模型介绍
微分方程建模对于许多实际问题的解决是 一种极有效的数学手段， 一种极有效的数学手段，对于现实世界的 变化，人们关注的往往是其变化速度、 变化，人们关注的往往是其变化速度、加 速度以及所处位置随时间的发展规律， 速度以及所处位置随时间的发展规律，其 规律一般可以用微分方程或方程组表示 微分方程建模适用的领域比较广， 微分方程建模适用的领域比较广，利用它 特别是几何）模型， 可建立纯数学（特别是几何）模型，物理 学（如动力学、电学、核物理学等）模型， 如动力学、电学、核物理学等）模型， 航空航天（火箭、宇宙飞船技术）模型， 火箭、宇宙飞船技术）模型， 考古（鉴定文物年代）模型， 鉴定文物年代）模型，
模型2 模型
i 1 1/2 i0 0 tm
di = λ i (1 − i ) dt i ( 0 ) = i0 i (t ) =
Logistic 模型
1 1 − λt 1 + − 1e i 0
−1
t
t=tm, di/dt 最大 tm~传染病高潮到来时刻 传染病高潮到来时刻
微分方程模型基本概念
2）在D上有不等式
dy f ( x, y ) 则初值问题 dx ( x0 ) y0
f ( x, y) F ( x, y) dy F ( x, y ) 与 dx ( x0 ) y0
的解 ( x), ( x) 在它们共同存在区间上满足
( x) ( x), 当 x x0 ( x) ( x), 当 x x0
那么前边观众必然会遮挡后面观众的视线。试建
立数学模型设计良好的报告厅地面坡度曲线。
建立坐标系
y o—处在台上的设计视点
a—第一排观众与设计视 点的水平距离 b—第一排观众的眼睛到x 轴的垂 直距离
d—相邻两排的排距
b o 问题
a d d
—视线升高标准
x
x—表示任一排与设计视 点的水平距离
求任一排x与设计视点o的竖直距离函数 y y ( x) 使此曲线满足视线的无遮挡要求。
y dy y x d dx x x d
dy1 y1 dx x d y1 b xa
b x y1 ( x) x x ln a d a
dy2 y2 dx x x d y2 xa b
5 总结与讨论
y
方法 利用微分不等式建模； 有时只需求近似解。 模型讨论 1）视点移动时升起 曲线如何求得？ b o
a d d
x
2）怎样减少地面的坡度？调整参数、相邻排错位。 3）衡量经济的指标？ 座位尽量多、升起曲线占据的空间尽量少等。
2 问题的假设 1) 观众厅地面的纵剖面图一致，只需求中轴线 上地面的起伏曲线即可。 2) 同一排的座位在同一等高线上。 3) 每个坐在座位上的观众的眼睛与地面的距离 相等。
微分方程模型
解
1、翻译或转化：
2、配备物理单位：
3、建立表达式： 4、确定条件：
1、‚每天‛：体重的变化＝输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗．
2、上述陈述更好的表示结构式： 取天为计时单位，记W(t)为t天时体重(kg)，则： 每天的净吸收量＝2500 – 1200 ＝1300（cal) 每天的净输出量＝16(cal)×W＝16W(cal) 转换成脂肪量＝1300 – 16W（cal）
有一艘走私船正以匀速度a沿直线向北行驶，缉
私舰立即以最大的速度b追赶，若用雷达进行跟
踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试 求缉私舰追逐路线和追上的时间。
图2 走私船与缉私舰的位置关系
走私船
R(0,at)
缉私艇 D(x,y)
O
(c,0)
x
几何关系
dy y at tg dx x dy 即 x y at dx
模型的解：
k k dy 1 x c p dx 2 c x
y (c ) 0
解的进一步讨论
（1）若a<b，从而k<1，由积分式得
c 1 x y 2 1 k c
y 当x=0时，
W (t ) 81.25 C3e
C3 23.9968
则
0.0016t
初始条件为： W (4) 57.40625，代入解出
W (t ) 81.25 23.9968e
0.0016t
最后得到不同阶段的微分方程是：
81.25 24.0974e , 0t 3 0.0016t W (t ) 143.75 86.8981e , 3t 4 81.25 23.9968e0.0016t , t 4
微分方程模型(全)
例5 作战模型
当然，这些模型是非常简单的，只考虑双 方的兵力的多少和战斗力的强弱，并且当时只 使用枪炮之类的常规武器。兵力因战斗减员和 非战斗减员而减少，由于增援而增加；战斗力 是杀伤对方的能力，它与射击率（单位时间的 射击次数）、射击命中率以及战争类型（正规 战、游击战等）有关。即这些模型仅考虑战场 上的兵力的优劣，并没有考虑交战双方的政治、 外交、经济、社会等因素，所以仅用这些模型 来判别一场战争的结局是不现实的。
例4 黄灯时间
对于这个刹车距离问题，显然与“速度” 有关，速度要从 v0 变到 0，从而用到导数.
涉及的量为： “距离”（米），“时间”（秒）， “速度”， “加速度”，摩擦力等；
有（待定）函数关系的两个量定为： 距离 x， 时间 t；
涉及的原则或物理定律： 力学定律 F=ma.
例4 黄灯时间
设汽车重量为 W，摩擦系数为 f. 根据定义， 对汽车的制动力为 fW，其方向与汽车行进方 向相反（见图4-2）.
y ce .
kt
(2)
y( 24) 400.
初始值:
y(0) 100,
代入（2）求得: 因此:
c 100, k (ln 4) / 24.
t ln 4 / 24
y 100e
.
我们要求的是:
y(12) 100e
(12 / 24) ln 4
200(个细菌).
#
例3 溶液浓度
例3 溶液浓度
所以确定浓度的“变化率”与“酸性浓度”， “清水的量”的关系是解决问题的关键。
涉及的量为： “清水的总量”，“酸性浓度”（用纯量单位 :1）. “酸性浓度变化率”，体积（常数），其中 都使用题目中的纯量单位; 有（待定）函数关系的两个量定为： 酸性浓度 S，清水的总量 x； 涉及的原则或物理定律： 导数＝变化率，溶液保持均匀，体积 V 不变.
微分方程模型
房室具有以下特征：它由考察对象均匀分 布而成，房室中考察对象的数量或浓度（密 度）的变化率与外部环境有关，这种关系被 称为“交换”且交换满足着总量守衡。在本 节中，我们将用房室系统的方法来研究药物 在体内的分布。在下一节中，我们将用多房 室系统的方法来研究另一问题。
单房室系统
交换 环境
内部
均匀分布
，i(t)单 s0 增。但在i(t)增加的同时，伴随地有s(t)单减。当 s(t)减少到小于等于 时， i(t)开始减小，直 至此疾病在该地区消失。
(2)如果
则： s(t ) s
r (t )
1
o
e
di ，则开始时 dt 0
五．稳定性问题
在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并 非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展 趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了 解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最 终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之 免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分 方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将 研究几个与稳定性有关的问题。
容器损失的水量为:
[ R ( R r ) ]dh
2 2
由质量守恒
[ R ( R r ) ]dh sv(t )dt
2 2
其中
v(t ) 0.6 2gh(t)
从而建立方程:
0.6s 2 gh dh 2 2 dt [R (R r) ]
解得
0.6s 2 gh 14 R T dh 2 2 R [R (R r) ] 9s 2 g
微分方程 模型
• 微分方程建模
对于某种现象或提出的问题,通过建立微分方程 来解释或解决.通常可分为两大类:
数学建模---微分方程模型简介
N rN x 0 x* £ µ Í É » à ¬ ´ ³ Ï ² À Í hm ¬ ¤ º ªà Ø é ï Õ ð ò ¾ ª 2 4 E 当 x ＝x* N 时， E E * r x 0 N (1 ) 0 2 2 r r 结论：当捕捞强度控制在 E * 时, 鱼量保持在最大 2 鱼量 N 的一半, 可获得最大持续产量, i.e.,
Malthus模型特点: 在有限的时间内, 在生存空间和食物供应充足 的环境下, Malthus人口模型是比较准确的; 但是, 由于生存空间 有限、食物短缺、战争、疾病、自然灾害, 以及人为控制人口增 长等等原因, Malthus人口模型不能准确地反映出人口的实际增 长情况.
11
上页 下页 返回
Logistic阻滞增长模型
hR £ ¹
r c E R (1 ) 2 pN
N c xR 2 2p
比较：
è ò ¾ £ Ì ªÎ ¬ Ø ¬ï ¬ï §æ à î Á ¬ Ò ² À Ã Ï Ç ¼ £ Ó «Æ é ´ Ï Ñ µ Ó Ó Î £ ¶ Ë ¾ Ç ©Õ ð ò ¾ ñ Ï ñ î × ¬ ð æ ¡ ß ¾ æ È ª ² ¿ Æ ¶ » ³ Ï ² À ½ Ò Ê » È £ ¶ Ò ³ Ò À Ê ³ ½ c à ï Ò ð ï Ò ¬ «Î µ É ° ï £ µ Ó » ¶ Ó » £ ñ ¹ É » Æ ¾ ¡
x
上页 下页 返回
§2 、人口模型
设 t 时刻人口数为 x(t ) ，经过 t 时间后，人数变为
x 则从 t 时刻到 t t 时刻的平均增长速度为 ， x( t ) x ， t x x( t )。 相对增长率为 t
t ªË Ã Ó ï ¤É ¹ É ¾ µ Î ¶ Ó ³ Á £
Malthus模型特点: 在有限的时间内, 在生存空间和食物供应充足 的环境下, Malthus人口模型是比较准确的; 但是, 由于生存空间 有限、食物短缺、战争、疾病、自然灾害, 以及人为控制人口增 长等等原因, Malthus人口模型不能准确地反映出人口的实际增 长情况.
11
上页 下页 返回
Logistic阻滞增长模型
hR £ ¹
r c E R (1 ) 2 pN
N c xR 2 2p
比较：
è ò ¾ £ Ì ªÎ ¬ Ø ¬ï ¬ï §æ à î Á ¬ Ò ² À Ã Ï Ç ¼ £ Ó «Æ é ´ Ï Ñ µ Ó Ó Î £ ¶ Ë ¾ Ç ©Õ ð ò ¾ ñ Ï ñ î × ¬ ð æ ¡ ß ¾ æ È ª ² ¿ Æ ¶ » ³ Ï ² À ½ Ò Ê » È £ ¶ Ò ³ Ò À Ê ³ ½ c à ï Ò ð ï Ò ¬ «Î µ É ° ï £ µ Ó » ¶ Ó » £ ñ ¹ É » Æ ¾ ¡
x
上页 下页 返回
§2 、人口模型
设 t 时刻人口数为 x(t ) ，经过 t 时间后，人数变为
x 则从 t 时刻到 t t 时刻的平均增长速度为 ， x( t ) x ， t x x( t )。 相对增长率为 t
t ªË Ã Ó ï ¤É ¹ É ¾ µ Î ¶ Ó ³ Á £
方程模型
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
例2. 解初值问题
x yd x ( x 2 1 ) d y 0
y( 0 ) 1
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
两边积分得
即
y x2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
数学建模－ 微分方程模型
关晓飞 同济大学数学科学学院
一、什么是微分方程？
最最简单的例子
引例
一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点 若设曲线方程为 y f ( x) ， (1)
M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解
根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：
dy 2x dx
规律。
解
dM 铀的衰变速度就是 M (t ) 对时间t的导数 dt
，
由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足 关系式： dM M (1) ( 0) 是衰变系数
dt
且初始条件 M t 0 M0 dM dt 分离变量得 M 对上式两端积分得：ln M t ln c 因此， M (t ) Cet 代入初始条件得
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为
dT 与 T m 成正比 dt
dT k (T m ), dt T ( 0) 60.
建立微分方程
数学语言
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c,
或
T m ce
kt
, t 0,
例2. 解初值问题
x yd x ( x 2 1 ) d y 0
y( 0 ) 1
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
两边积分得
即
y x2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
数学建模－ 微分方程模型
关晓飞 同济大学数学科学学院
一、什么是微分方程？
最最简单的例子
引例
一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点 若设曲线方程为 y f ( x) ， (1)
M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解
根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：
dy 2x dx
规律。
解
dM 铀的衰变速度就是 M (t ) 对时间t的导数 dt
，
由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足 关系式： dM M (1) ( 0) 是衰变系数
dt
且初始条件 M t 0 M0 dM dt 分离变量得 M 对上式两端积分得：ln M t ln c 因此， M (t ) Cet 代入初始条件得
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为
dT 与 T m 成正比 dt
dT k (T m ), dt T ( 0) 60.
建立微分方程
数学语言
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c,
或
T m ce
kt
, t 0,