康托
康托洛维奇不等式证明
康托洛维奇不等式证明
康托洛维奇不等式是概率论和数学分析中的一项重要不等式，常用于证明和推导各种数学问题。
其基本思想是通过比较两个分布函数的距离来衡量两个分布之间的相似性和差异性。
在本文中，我们将详细介绍康托洛维奇不等式的证明过程，并探讨其在数学和统计学中的应用。
具体而言，我们将从以下几个方面展开：
1. 康托洛维奇不等式的定义和基本性质，包括其在概率论和数学分析中的应用范围和意义。
2. 康托洛维奇不等式的证明过程，包括其基本思想和数学推导方法。
具体而言，我们将重点讲解概率论和测度论中的一些相关定理和技巧，以便更好地理解和应用康托洛维奇不等式。
3. 康托洛维奇不等式的应用举例，包括其在概率论、数学分析、统计学和信息论中的一些典型应用。
这些例子包括随机过程的性质分析、函数逼近和优化、信息压缩和编码等方面。
通过本文的学习，读者将能够深入理解康托洛维奇不等式的基本思想和证明方法，掌握其在数学和统计学中的应用技巧，以及拓展其在实际问题中的应用能力。
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康托对角论证法
康托对角论证法康托对角论证法是由德国数学家Georg Cantor提出的一种证明无穷集合可以比之前认为的更加“无穷大”的方法。
该方法是一种反证法，具体过程如下：首先假设存在一个无穷集合S，其所有元素可以被序列化为一列。
比如，可以将自然数（1，2，3，4...）序列化为一列。
然后，通过构造一个“对角线数”，也就是一个数字，它在每一位上都不同于S中相应位置上的数字，并且是十进制的。
举个例子，假设S中的序列为1.736，2.591，3.284，4.642……，那么构造出来的对角线数为0.000……接下来，假设我们将这个对角线数加入到S中。
如果S中本来就包含这个数，那么我们就将其删除。
这样，我们就得到了一个新的序列，其中对角线数不再出现，但是它肯定是一个无限序列，因为S本身就是一个无穷集合。
最后，我们问自己这样修改之后的序列是否包含了所有数字。
如果是，那么不论我们怎么修改，都无法得到一个新的不同的对角线数。
如果不是，那么我们可以重复刚才的过程，构造出一个新的对角线数。
这样，我们就可以说明，不存在一个无穷集合，它的元素可以被序列化为一个列，而这个列包含了所有的数字，也就是说，存在比我们之前认为的更加“无穷大”的无穷集合。
总的来说，康托对角论证法是一种非常有力的证明手段，因为它直接从对角线上的数字出发，证明了无穷集合的大小不同于我们之前认为的大小。
这在数学中具有非常重要的意义，因为它帮助我们更加深入地了解无穷集合的性质和特征。
当然，在现实生活中，我们很难想象出一个大小比自然数更加“无穷大”的集合，但是这并不妨碍康托对角论证法在数学领域中的重要性和价值。
康托集Hausdorff维数
康托集Hausdorff 维数姓名:彭发醇学号 :13151056学院:宇航学院摘要:在文晓老师的选修课中，我们了解了一些关于在20世纪,伴着分形图形的研究而应运而生一种新的维度---分数维。
而它便是能解释康托集的Hausdorff 维数关键词:Hausdorff 维数康托集正文:康托集是由德国数学家Georg Cantor 引进的。
我们这里给出简单的构造方式——康托五分集.下面求它的五分集的Hausdorff 维数。
由［0,1］区间组成的一条线段。
第一步,把这个线段分成五等份.不妨去掉第二段,即去掉了（1255，），剩下来是有4段闭区间. 第二步,把这4个区间都分成五等份,各自去掉第二段,剩下了16条闭区间,第三步,把这剩下的16条线段再等成五等分,各自去掉第二段,剩下了64条线段.把第ｋ步操作之后剩下k 2个闭区间构成的集合记为K I ,这是一个闭集.那么集合r ln (r)d lim ln rN →∞=-是一个非空的闭集.则这个集合P 称为康托五分集.P 的性质有(1)P 的长度是k 1k k 1415-+∞=-∑=0; (2)P 是不可数的.根据Hausdorff 维数概念,考虑一个度量空间 X 。
记N(r)为用半径为r 的小球去充满整个 X 所需要的小球的最少数目,r ln (r)d lim ln rN →∞=-那么d 就是X 的维数.下面考虑集合P,如果用r=110的小球(即长度为15的区间)来盖住P,那么最少需要4个.如果再用r=150的小球(即长度为125的区间)来盖住P ,那么最少需要16个,如果用r=k 125⋅的小球(即长度为k 15的区间)来盖住P,那么最少需要k 4个小球.因此所求的康托集的维数应该为k k k ln 4ln 4d lim 1ln 5ln 25→∞=-=⋅.它是介于0和1两个整数维数之间,是一个分数维数.由以上的计算和推导过程可以很容易的得到任意有限等分的康托集的维数..即任意有限n 等分的康托集的Hausdorff 维数是ln(n 1)ln n -. 结论:康托五分集的Hausdorff 维数是ln 4ln 5.而由此推广得到任意有限m 等分的康托集的Hausdorff 维数是ln(n 1)ln n -. 参考资料 :1.《Hausdorff 维数讲座讲稿》文晓2.[Hausdorff 维数] 百度百科。
Cantor三分集
Cantor三分集在数学⽅⾯，Cantor三分集是由德国数学家康托(G.Cantor)于1883年引⼊的（但在1875年就由Henry John Stephen Smith发现了），它是⼀个取⾃简单直线段上的点集，它有若⼲⾮凡⽽⼜深刻的性质。
通过对它的思考，康托和其他助⼿奠定了现代⼀般拓扑学基础。
虽然康托⾃⼰⽤抽象的⽅法定义了这个集合，但⼀般⽽⾔，现代最流⾏的构造是康托三分集，它是通过将⼀条线段的中间部分去掉⽽获得的。
康托⾃⼰只是顺便提及了三重构造，作为⽆处稠密的完备集的⼀般例⼦。
三分集的构造 康托三分集是由重复删除直线段中间的三分之⼀开区间⽽创造出来的。
先从区间[0，1]中间删除开区间(1/3, 2/3)，留下两边线段：[0, 1/3] ∪ [2/3, 1]。
下⼀步，删除留下的线段的各⾃的三分之⼀中间段，剩下四条直线段：[0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]。
⽆限重复这⼀过程，则第n个集合是合是：康托三分集包含区间[0, 1]内在每⼀步没被删除的所有的点。
计算表明康托集不包括任何⾮零的长度。
事实上，令⼈惊讶的是，它可能在所有中间被扣掉的部分之和就等于它的最初的长度。
然⽽，仔细观察这个过程却有很重要的东西被剩下，因为重复地消除只是中间的1/3开集（这个集合不包含它的端点）。
从最初的[0，1]线段中除去(1/3, 2/3)，⽽两个端点1/3和 2/3被留下。
随后的操作，不移动这些端点，因为被移除的部分总是在剩余部分的内部。
所以康托集是⾮空的，⽽事实上，它包括⽆限多个点。
Cantor三分集的Lebesgue测度为0，通俗点说长度为零。
康托三分集具有1）⾃相似性；2）精细结构；3）⽆穷操作或迭代过程；4）传统⼏何学陷⼊危机。
⽤传统的⼏何学术语难以描述，它既不满⾜某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单⽅程的解集。
其局部也同样难于描述。
因为每⼀点附近都有⼤量被各种不同间隔分开的其它点存在。
康托表规律
康托表规律康托表是一种用于表示无限集合中元素之间对应关系的数学工具。
它由德国数学家Georg Cantor于19世纪末提出，并被广泛应用于集合论、数论、拓扑学等多个领域。
康托表的规律可以通过以下几个方面来展开讨论。
康托表的构建方式具有规律性。
在康托表中，每一行表示一个元素对应关系，而每一列则表示不同位数上的值。
从左到右，每一列的数值范围按照自然数的顺序递增。
例如，第一行表示个位数的数值范围，第二行表示十位数的数值范围，以此类推。
这种构建方式使得康托表具有清晰的结构，方便我们查找和分析元素之间的对应关系。
康托表中的元素有着独特的排列方式。
在康托表中，每一个元素对应一个唯一的位置，而每一个位置则对应一个唯一的元素。
因此，康托表可以用来表示不同元素之间的排列顺序。
通过观察康托表的构建方式，我们可以发现，康托表中每一行的元素都是按照从小到大的顺序排列的。
这种排列方式使得我们可以通过康托表来确定元素的排列顺序，从而简化一些排列组合的问题。
康托表还可以用来表示元素之间的对应关系。
在康托表中，每一个元素都与一个唯一的位置相对应，这种关系可以被看作是一种映射关系。
通过这种映射关系，我们可以将元素之间的对应关系转化为位置之间的对应关系。
例如，对于一个集合中的两个元素a和b，如果它们分别对应康托表中的位置x和y，那么我们可以认为a与x 之间存在一种对应关系，b与y之间也存在一种对应关系。
这种对应关系在实际问题中具有广泛的应用，例如在密码学中，我们经常需要通过康托表来表示字符之间的对应关系。
康托表还具有一些特殊的性质。
首先，康托表是一个无限表，它可以表示任意大的集合。
其次，康托表中的元素之间是不重复的，每一个位置只对应一个元素。
这使得康托表成为一种有效的表示工具，可以帮助我们理解和分析集合中元素之间的关系。
康托表的规律可以通过构建方式、排列方式和对应关系来进行描述。
康托表在数学领域中具有重要的应用价值，它不仅可以用于表示无限集合中元素之间的对应关系，还可以帮助我们解决一些排列组合的问题。
康托的连续统基数问题
集合论的创建者Cantor(康托尔，1845-1918)惊人的创造了超限基数与超限序数。
对于有限集合来说，基数就是这集合中元素的个数。
对于无穷的集合，要引进新的基数。
自然数集合的基数用(阿列夫0)表示。
集合的基数有时也称为集合的势或集合的蕴度。
可列集的基数通常记作(阿列夫0)，用a表示。
与实数集R1对等的集的基数又称为连续基数或连续势，用c表示。
Cantor还定义了两个基数的和、乘积和乘幂，其中a^a=c，c^a=c。
诸无限集所具有的基数远非仅仅a与c。
下一个便是序数的概念。
Cantor抽象地来引进这个概念。
一个集合叫做全序的(simply ordered)，假如它的任何两个元素都有一个确定的顺序；即若给定m1与m2，则或者是m1前于m2，或者是m2前于m1；记号表示：m1〈m2或m2〈m1。
再则，若m1〈m2与m2〈m3，则m1<m3，即这顺序关系有传递性。
一个全序集M的序数是这个集合的顺序的序型。
两个全序集称为是相似的，假如它们是一一对应而且保留顺序，即若m1对应于n1，m2对应于n2，而m1〈m2，则必n1〈n2。
两个相似的集合叫做有相同的序型或序数。
作为全序集的例子，我们可用任一有限数集合并按任何给定的顺序排列。
对于有限集，不管其顺序是怎样的，其序数是确定的，并且就用这个集合的基数来表示。
正整数集合按它们的自然顺序，其序数w用表示。
另一方面，按递减顺序的正整数集合 (4)3，2，1 的序数用*w表示。
正、负整数与零所成的集合按通常的顺序，其序数为*w+w。
接着Cantor定义序数的加与乘。
两个序数的和是第一个全序集的序数加第二个全序集的序数，顺序即按其特殊规定。
例如按自然顺序的正整数集合之后随着五个最初的正整数所构成的集合，即1，2，3，……，1，2，3，4，5，其序数为w+5。
序数的相等与不相等，也可以很显然地给出定义。
现在他引进超限序数的整个集合，这在一方面是基于它本身的价值，另一方面是为了确切地定义较大的超限基数。
二进制下的康托展开
构造法——二进制下的康托展开KEY: 康托展开情景：对于一个有n 位的二进制们数来说，题目中给出其中1的个数的上限，求一个第k小的数。
应用康托展开，是特殊的二进制情况下。
对于二维矩阵cantor[m][n],代表长度为m，至多有n个1 的数的个数。
由组合数递推公式：Cantor[m][n] = cantor[m-1][n] + cantor[m-1][n-1];初始化：cantor[0][i] = cantor[i][0] = 1;Cantor是一个康托展开的常量表，规模为cantor[32][32],所以数据是32位的整数，用double实现。
读入之后，主函数用递归的形式进行构造，即构造一个有k-1个数比他小的数。
Work（int bits,int nOnes,int k）中，如果bits = 0，就是说到了最后一位。
到达递归终点，直接返回。
调出cantor[bits-1][n],就是所有比他小的数的数目。
如果比k小或等于k，则该位是1，否则是0.因为该位如果是0，那么比它低的位中，一共有cantor[m-1][n],个数，如果数目比k 小，那么不能符合要求，要把该位定为1。
下面是一个康托常量表j \ i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10double can[32][32] = {0};int nOnes,nbits;double index;int init(){int i,j;for( i = 0 ; i <= 31 ; i++ ){can[0][i] = 1;can[i][0] = 1;}for( i = 1 ; i <= 31 ; i++ )for( j = 0 ; j <= 31 ; j++ )if( j != 0 )can[i][j] = can[i-1][j] + can[i-1][j-1];fscanf(fp1,"%d%d%lf",&nbits,&nOnes,&index);}int work(int nbits,int nOnes,double index){if( nbits == 0 )return 0;double s;s = can[nbits-1][nOnes];if( s <= index ){fprintf(fp2,"1");work(nbits-1,nOnes-1,index-s);}else{fprintf(fp2,"0");work(nbits-1,nOnes,index);}}。
康托函数的应用
康托函数的应用
康托函数是排列组合问题中常用到的函数，可以实现把一组有序数
字列表转换成一个唯一的非负整数。
它的应用可以给计算机的处理提
供便利，如以下几种：
1. 在数据库存储中：可以将多个分类变量通过康托函数转换为有序的
数字，然后存储在数据库的字符型字段中，这样可以实现查询和筛选
的更高效率。
2. 在分类和推荐系统中：可以将一组复杂标签、分类变量等转换为康
托值，从而为大数据分析提供便利，实现推荐、分类任务的更高效率。
3. 在排列组合算法中：康托函数可以映射每一种唯一的排列组合为一
个唯一的整数，从而实现算法的优化。
4. 在信息检索系统中：可以将一组文档属性转换为数字序列，用于实
现比较、排序和相似性搜索。
python编写康托配对与反函数
python编写康托配对与反函数摘要：1.康托配对的概念2.康托配对的应用3.Python 编写康托配对4.反函数的定义与性质5.Python 编写反函数6.总结正文：1.康托配对的概念康托配对（Cantor Pairing）是一种用于构造不可数的方法，它可以将一个不可数无限集映射到一个不可数无限集。
康托配对是一种非常强大的工具，可以解决许多与无限集相关的问题。
2.康托配对的应用康托配对最著名的应用之一是康托- 伯恩斯坦定理（Cantor-Bernstein Theorem），该定理指出，如果两个集合可以通过康托配对相互映射，那么这两个集合的基数（即元素个数）是相等的。
康托配对还在其他许多数学领域有广泛的应用，如拓扑学、实分析等。
3.Python 编写康托配对在Python 中，我们可以使用函数来实现康托配对。
以下是一个简单的康托配对函数示例：```pythondef cantor_pairing(A):B = {x: i for i, x in enumerate(A)}return B```该函数接受一个集合A 作为输入，然后构造出一个新的集合B，其中B 的元素是A 中元素的一个编号。
通过这个函数，我们可以将A 映射到B，从而实现康托配对。
4.反函数的定义与性质反函数（Inverse Function）是指将函数的输出作为输入，将函数的输入作为输出的一种函数。
如果一个函数f 在其定义域内是一一对应的，那么我们可以找到一个函数g，使得对于所有的x，有f(g(x)) = x，g(f(x)) = x。
这样的函数g 称为函数f 的反函数。
5.Python 编写反函数在Python 中，我们可以使用函数来实现反函数。
以下是一个简单的反函数示例：```pythondef inverse_function(f):def g(x):for y in f:if f(y) == x:return yreturn Nonereturn g```该函数接受一个函数f 作为输入，然后构造出一个新的函数g，使得g(f(x)) = x。
数学史讲义概要 pdf
数学史讲义概要《数学史讲义》是一部关于数学史领域的专著，该书作者康托（Georg Cantor）从1888年起开始出版，标志着数学史成为一门独立的学科。
这部著作详细阐述了数学发展的历史，从古希腊时期到19世纪末，涵盖了众多重要的数学家和数学成果。
本文将对《数学史讲义》的内容进行概述，并探讨数学史的重要性和意义。
《数学史讲义》分为四卷，共三十六章。
康托在书中详细介绍了古希腊、罗马、阿拉伯、印度等文明中的数学成就，以及欧洲文艺复兴时期和17、18、19世纪数学的发展。
书中涉及的内容广泛，包括算术、代数、几何、三角学、概率论、数论、拓扑学等多个数学分支。
康托在书中对古希腊数学家如毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德等人的成就进行了详细阐述。
同时，书中也介绍了阿拉伯数学家花拉子密以及印度数学家阿瑜博达的贡献。
在介绍欧洲数学时，康托重点讲述了文艺复兴时期的数学家如莱布尼茨、牛顿等人的成就，以及17、18、19世纪数学家如欧拉、高斯等人的杰出贡献。
《数学史讲义》在数学史领域具有很高的学术价值。
首先，康托对数学史的研究具有开创性意义，他的著作成为数学史研究的标准参考书，对后来的数学史研究产生了深远影响。
其次，康托在书中对数学家及其成就的详细介绍，使后人能够更好地了解数学发展的脉络，理解各个时期数学成果的背景和意义。
此外，康托对数学史的系统梳理，有助于揭示数学内在的发展规律，为现代数学研究提供了宝贵的启示。
数学史作为一门学科，不仅研究数学知识的产生和发展过程，还涉及到数学思想、数学方法、数学教育、数学与社会文化等方面的内容。
数学史研究的意义主要体现在以下几个方面：1. 弘扬数学文化：数学史的研究有助于传播数学文化，促进数学知识的普及和推广，提高人们的数学素养。
2. 揭示数学规律：数学史研究可以帮助我们发现数学知识的内在规律，为现代数学研究提供理论支持和实践指导。
3. 培养数学人才：数学史研究对数学教育具有指导意义，有助于培养具有创新精神和实践能力的数学人才。
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简介康托：康托原名格奥尔格·康托尔（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6）他是一位德国数学家，也是集合论的创始人。
生于俄国圣彼得堡（今俄罗斯列宁格勒）。
父亲是一位具有犹太血统的丹麦商人，而母亲则出身艺术世家。
1856年全家迁居德国的法兰克福。
先在一所中学，后在威斯巴登一所大学预科学校学习。
生平简介：康托尔，1862年入苏黎世大学学习工科,第二年转入柏林大学攻读数学和神学，受教库莫尔（Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29-1893.5.14）、维尔斯特拉斯（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19）和克罗内克(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。
1866年曾去格丁根学习一学期。
1867年在库默尔指导下以解决一般整系数不定方程ax2+by2+cz2=0求解问题的论文获博士学位。
毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论的研究，不久崭露头角。
他在哈雷大学任教（1869-1913）的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数列极限定义无理数。
1872年成为该校副教授，1879年任教授。
由于学术观点上受到的沉重打击，使康托尔曾一度患精神分裂症，虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直病魔缠身。
1918年1月6日在德国哈雷（Halle）-维滕贝格大学附属精神病院去世。
康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。
早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——集合论和超穷数理论的建立。
除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学问题.1888-1893年康托尔任柏林数学会第一任会长，1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。
主要贡献综述:康托尔对数学的贡献是集合论和超穷数理论。
两千多年来，科学家们接触到无穷，却又无力去把握和认识它，这的确是向人类提出的尖锐挑战。
康托尔以其思维之独特，想象力之丰富，方法之新颖绘制了一幅人类智慧的精品——集合论和超穷数理论，令19、20世纪之交的整个数学界、甚至哲学界感到震惊。
可以毫不夸张地讲，“关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的。
”集合论的建立19世纪由于分析的严格化和函数论的发展，数学家们提出了一系列重要问题，并对无理数理论、不连续函数理论进行认真考察，这方面的研究成果为康托尔后来的工作奠定了必要的思想基础。
康托尔是在寻找函数展开为三角级数表示的唯一性判别准则的工作中，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究。
早在1870年和1871年，康托尔两次在《数学杂志》上发表论文，证明了函数f(x)的三角级数表示的唯一性定理，而且证明了即使在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立。
1872年他在《数学年鉴》上发表了一篇题为《三角级数中一个定理的推广》的论文，把唯一性的结果推广到允许例外值是某种无穷的集合情形。
为了描述这种集合，他首先定义了点集的极限点，然后引进了点集的导集和导集的导集等有关重要概念。
这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。
以后，他又在《数学年鉴》和《数学杂志》两刊上发表了许多文章。
他称集合为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西人们能意识到并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
他还指出，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。
他又给出了开集、闭集和完全集等重要概念，并定义了集合的并与交两种运算。
为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念。
两个集合只有它们的元素间可以建立一一对应才称为是等价的。
这样就第一次对各种无穷集合按它们元素的“多少”进行了分类。
他还引进了“可列”这个概念，把凡是能和正整数构成一一对应的任何一个集合都称为可列集合。
1874年他在《数学杂志》上发表的论文中，证明了有理数集合是可列的，后来他还证明了所有的代数数的全体构成的集合也是可列的。
至于实数集合是否可列的问题，1873年康托尔给戴德金（Dedkind，Julins Wilhelm Richard，1831.10.6-1916.2.12）的一封信中提出过，但不久他自己得到回答：实数集合是不可列的。
由于实数集合是不可列的，而代数数集合是可列的，于是他得到了必定有超越数存在的结论，而且超越数“大大多于”代数数。
同年又构造了实变函数论中著名的”康托尔集”,给出测度为零的不可数集的一个例子。
他还巧妙地将一条直线上的点与整个平面的点一一对应起来，甚至可以将直线与整个n维空间进行点的一一对应。
从1879年到1883年，康托尔写了六篇系列论文，论文总题目是“论无穷线形点流形”，其中前四篇同以前的论文类似，讨论了集合论的一些数学成果，特别是涉及集合论在分析上的一些有趣的应用。
第五篇论文后来以单行本出版，单行本的书名《一般集合论基础》。
第六篇论文是第五篇的补充。
康托尔的信条是：“数学在它自身的发展中完全是自由的，对他的概念限制只在于：必须是无矛盾的，并且与由确切定义引进的概念相协调。
……数学的本质就在于它的自由。
超穷数理论的建立《一般集合论基础》在数学上的主要成果是引进超穷数，在具体展开这一理论的过程中，康托尔应用了以下几条原则：第一生成原则：从任一给点的数出发，通过相继加1（个单位）可得到它的后继数。
第二生成原则：任给一个其中无最大数的序列，可产生一个作为该序列极限的新数，它定义为大于此序列中所有数的后继数。
第三（限制）原则：保证在上述超穷序列中产生一种自然中断，使第二数类有一个确定极限，从而形成更大数类。
反复应用三个原则，得到超穷数的序列ω，ω1，ω2，…利用先前引入的集合的势的概念，康托尔指出，第一数类（Ⅰ）和第二数类（Ⅱ）的重要区别在于（Ⅱ）的势大于（Ⅰ）的势。
在《基础》的第十三章，康托尔第一次指出，数类（Ⅱ）的势是紧跟在数类（Ⅰ）的势之后的势。
在《基础》中，康托尔还给出了良序集和无穷良序集编号的概念，指出整个超穷数的集合是良序的，而且任何无穷良序集，都存在唯一的一个第二数类中的数作为表示它的顺序特性的编号。
康托尔还借助良序集定义了超穷数的加法、乘法及其逆运算。
《对超穷数论基础的献文》是康托尔最后一部重要的数学著作，经历了20年之久的艰苦探索，康托尓希望系统地总结一下超穷数理论严格的数学基础。
《献文》分两部分，第一部分是“全序集合的研究”，于1895年5月在《数学年鉴》上发表。
第二部分于1897年5月在《数学年鉴》上发表，是关于“良序集的研究”。
《献文》的发表标志集合论已从点集论过渡到抽象集合论。
但是，由于它还不是公理化的，而且它的某些逻辑前提和某些证明方法如不给予适当的限制便会导出悖论，所以康托尔的集合论通常成为古典集合论或朴素集合论。
康托尔的遭遇由康托尔首创的全新且具有划时代意义的集合论，是自古希腊时代的二千多年以来，人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算，它从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透到所有的数学分支，从根本上改造了数学的结构，促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展，成为实变函数论、代数拓扑、群论和泛函分析等理论的基础，还给逻辑和哲学带来了深远的影响。
不过康托尔的集合论并不是完美无缺的，一方面，康托尔对“连续假设”和“良序性定理”始终束手无策；另一方面，19和20世纪之交发现的布拉利－福蒂悖论、康托尔悖论和罗素悖论，使人们对集合论的可靠性产生了严重的怀疑。
加之集合论的出现确实冲击了传统的观念，颠倒了许多前人的想法，很难为当时的数学家所接受，遭到了许多人的反对，其中反对的最激烈的是柏林学派的代表人物之一、构造主义者克罗内克。
克罗内克认为，数学的对象必须是可构造出来的，不可用有限步骤构造出来的都是可疑的，不应作为数学的对象，他反对无理数和连续函数的理论，同样严厉批评和恶毒攻击康托尔的无穷集合和超限数理论不是数学而是神秘主义。
他说康托尔的集合论空空洞洞毫无内容。
除了克罗尼克之外，还有一些著名数学家也对集合论发表了反对意见。
法国数学家庞加莱（Poincare，J ules Henri,1854.4.29－1912.7.17）说：“我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西”。
他把集合论当作一个有趣的“病理学的情形”来谈，并且预测说：“后一代将把（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了”。
德国数学家（外尔Weyl，Claude Hugo Hermann,1885.11.9－1955.12.8）认为，康托尔关于基数的等级观点是“雾上之雾”。
克莱因（Klein，Christian Felix，1849.4.25－1925.6.22）也不赞成集合论的思想。
数学家H．A．施瓦兹原来是康托尔的好友，但他由于反对集合论而同康托尔断交。
集合论的悖论出现之后，他们开始认为集合论根本是一种病态，他们以不同的方式发展为经验主义、半经验主义、直觉主义、构造主义等学派，在基础大战中，构成反康托尔的阵营。
1884年，由于连续统假设长期得不到证明，再加上与克罗内克的尖锐对立，精神上屡遭打击，5月底，他支持不住了，第一次精神崩溃。
他的精神沮丧，不能很好地集中研究集合论，从此深深地卷入神学、哲学及文学的争论而不能自拔。
不过每当他恢复常态时，他的思想总变得超乎寻常的清晰，继续他的集合论的工作。
康托尔的集合论得到公开的承认和热情的称赞应该说首先在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上表现出来。
瑞士苏黎世理工大学教授胡尔维茨（Hurwitz，Adolf，1859.3.26－1919.11.18）在他的综合报告中，明确地阐述康托尔集合论对函数论的进展所起的巨大推动作用，这破天荒第一次向国际数学界显示康托尔的集合论不是可有可无的哲学，而是真正对数学发展起作用的理论工具。
在分组会上，法国数学家阿达玛（Hadamard Jacques，1865.12.8－1963.10.17），也报告康托尔对他的工作的重要作用。
随着时间的推移，人们逐渐认识到集合论的重要性。
希尔伯特(Hilbert David，1862.1.23-1943.2.14)高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”，“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”，“是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。
在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性，并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首。