剖析康托集及“有理数集”测度
康托尔集证明
康托尔集证明
康托尔集证明
康托尔集是由德国数学家Georg Cantor在19世纪末开创的概念，它这样定义：对于集合X，如果存在一种映射f:X->X，满足对于任意的x∈X，都有f(x)∈X，且f(x)≠x，那么集合X被称为康托尔集。
康托尔集的定义并不容易被理解，它包含了一种自相似的性质，使其在数学和物理学领域的研究中都有广泛的应用。
为了更好地理解康托尔集的本质，我们需要从数学证明的角度来探究它的性质。
首先，康托尔集本质上是一种不可数集合，也就是说，其元素无法一一对应于自然数集合。
这一点可以通过康托尔对角线法加以证明，即对于任何一种尝试用自然数对康托尔集进行编号的方法，总存在一种方式可以生成一个不在这个编号中存在的元素。
其次，康托尔集具有一种无限自相似的性质。
具体而言，在康托尔集中任意取一段区间，我们总能够通过将这个区间去掉1/3的部分来生成两个新的区间，这两个新的区间与原来的区间具有相同的形式。
这
个过程可以不断地重复下去，生成越来越小的自相似区间。
最后，康托尔集是一种处处不可微的集合，即其上没有定义连续的导数。
这个性质可以用反证法来证明，假设存在一个处处可微的函数，它的导数在康托尔集的每个点上均存在，那么这个函数必然是常数，因为导数处处相等。
康托尔集的这些性质让它在科学研究中具有广泛应用。
例如，在物理学领域中，康托尔集被用于描述混沌现象和分形几何学。
在计算机科学中，康托尔集被用于图像压缩和计算机图形学。
总之，康托尔集是一个神奇而又有趣的数学概念，它的诞生和发展为我们提供了一种新的思维方式和工具，也为我们的科学研究带来了极大的推动作用。
《康托尔的集合论》课件
康托尔的思想和方法对数学基础研究 产生了深远的影响，推动了数学的发 展。
02
集合论的起源
集合论的背景
数学基础的探讨
19世纪数学界开始对数学的基础 进行深入探讨，寻求数学知识的 内在一致性和完备性。
数学逻辑的兴起
数学逻辑的兴起为集合论的创立 提供了重要的思想基础，为数学 的发展提供了更加严谨的框架。
图论等。
数据结构和算法
集合论中的概念如并集、交集、 差集等，在数据结构和算法设计
中有着重要的应用。
形式化方法
在计算机科学中，形式化方法是 一种基于数学的证明和推理技术 ，而集合论为其提供了数学基础
。
06
康托尔集合论的影响与评 价
对数学发展的影响
革命性的概念引入
康托尔首次提出了无穷集合的概念，打破了传统数学对无穷的限 制，为后续数学理论的发展奠定了基础。
在物理学领域的应用
测度论
在物理学中，测度论是描 述物理量大小和变化的数 学工具，而集合论为其提 供了数学基础。
概率论
物理学中的随机现象可以 通过概率论来描述，而集 合论则为概率论提供了数 学框架。
量子力学
量子力学中的波函数和状 态空间都可以用集合论的 语言来描述。
在计算机科学领域的应用
离散数学
集合论在离散数学中有着广泛的 应用，如集合运算、集合划分、
集合论的应用
集合论不仅在纯粹数学领域有广泛应用，还涉及到物理学、计算机科学、经济 学等多个领域。
03
康托尔的集合论
集合论的基本概念
01
02
03
04
集合
由确定的、不同的部分组成的 整体。
元素
集合中的一个具体部分。
子集
康托尔的集合论
康托尔的集合论导言康托尔的集合论是一个重要的数学分支，它对于理解集合、无限、大小和无穷等概念起到了重要的作用。
本文将深入探讨康托尔的集合论，并从不同角度、不同层次对其进行详细阐述。
康托尔的生平及其贡献-集合的无穷性康托尔的生平•康托尔（Georg Cantor）是19世纪末20世纪初的德国数学家，生于1845年，逝于1918年。
•他是现代集合论的奠基人，被誉为”无穷的数学家”。
•受到当时一些著名数学家的质疑和反对，康托尔的一生充满了挫折和痛苦。
集合的无穷性康托尔的集合论最大的贡献之一是解决了无穷的问题。
在康托尔之前，无穷常常是一个模糊的概念，康托尔通过创造性的思考和构建数学体系，给出了严格的定义和推理，奠定了集合论的基础。
康托尔证明了不同无穷集的”大小”可以有差异，他引入了”基数”的概念，用于度量集合的大小。
康托尔的实质性无穷概念对于数学的发展产生了深远的影响，也挑战了当时数学家们对于无穷的传统看法。
康托尔的集合论体系集合和元素集合论的基础是对”集合”和”元素”的概念的明确定义。
集合是由一些对象组成的整体，而元素则是集合的组成成分。
康托尔提出了集合的比较、相等和包含等概念，他认为两个集合相等当且仅当它们具有相同的元素。
而一个集合包含另一个集合当且仅当前者的所有元素都属于后者。
基数和大小康托尔引入了”基数”的概念来度量集合的大小。
基数是一个整数，用于表示集合中元素的个数。
例如，一个集合的基数为0表示这个集合是空集，没有任何元素；基数为1表示集合中有一个元素，依此类推。
康托尔的集合论认可了两个集合的基数可以相等，也可以不等。
例如，有理数集合和自然数集合的基数是相等的，而实数集合的基数则比自然数集合要大。
具有不同大小的无穷集康托尔的集合论最重要的一个发现是存在不同大小的无穷集。
他通过引入”可数无穷”和”不可数无穷”的概念，对无穷集的大小进行了分类。
可数无穷集的基数和自然数集的基数相等，因此可以通过一一对应的方式进行计数。
Cantor集上Lebesgue测度的反例
Cantor集上Lebesgue测度的反例Cantor集，又称康托尔集，是数学中一个有趣且重要的集合。
康托尔集最早由德国数学家Georg Cantor于1874年引入，使用这个集合可以展示数学中一些奇特的性质。
本文将讨论康托尔集的一个重要性质，即其上的Lebesgue测度。
Lebesgue测度是由法国数学家Henri Lebesgue在20世纪初提出的一种测度方法。
相比于传统的黎曼积分，Lebesgue测度可以更好地描述不连续和不规则的函数。
然而，当应用Lebesgue测度在Cantor集上时，我们会遇到一个令人惊奇的结果。
在开始之前，让我们先回顾一下康托尔集的定义。
康托尔集由[0, 1]区间中初始的闭区间[0, 1]构建而成。
然后，在每个步骤中，我们将每个闭区间分成三个等长的闭区间，并移除中间的开区间。
重复此过程无限次，我们得到了康托尔集。
现在，让我们尝试计算康托尔集的Lebesgue测度。
根据Lebesgue测度的定义，我们需要找到一个覆盖Cantor集的开区间集合，并计算它们的总长度。
然而，对于Cantor集来说，这并不容易。
由于Cantor集是一个完全不连续的集合，任何区间都会被Cantor集的元素分割成两个部分。
因此，我们无法找到一个开区间集合，其总长度等于Cantor集的长度。
这一结论可以通过反证法加以证明。
假设我们找到了一个开区间集合X，其总长度等于Cantor集的长度。
由于Cantor集是不可数的，而每个开区间是可数的，所以至少存在一个开区间的长度为0。
那么，我们便可以将所有长度为0的开区间移除，得到一个新的开区间集合X'。
然而，新的开区间集合X'并不能完全覆盖Cantor集。
在每个步骤中，我们都会移除Cantor集中的一些元素，最终导致X'无法覆盖整个Cantor集。
因此，不存在一个开区间集合，其总长度等于Cantor集的长度。
这就是Cantor集上Lebesgue测度的反例。
Cantor集的性质及其应用
Cantor集的拓展及其应用黄玉霞指导老师：郭金生（河西学院数学与应用数学专业2012届1班09号, 甘肃张掖 734000）摘要本文对Cantor三分集进行了拓展,也就是以五分法构成了Cantor集,然后讨论在此分下Cantor集的相关性质及应用.关键词 Cantor集; 测度; 稠密集; 完备集中图分类号O174The Expandability and Applications of Cantor SetHuang Yuxia Instructor Guo Jinsheng（No.09,Class1 of 2012.Specislty of Mathematics and Applied Mathematics,Hexi University,Zhangye,Gansu,734000）Abstract: This paper expands Cantor set ,as well as makes Cantor set by dividing it into five parts, then discusses it’s related properties and applications in this situation. Keywords: Cantor set; measure; dense set; exhaustive set1 引言Cantor三分集是由德国数学家康托尔在研究三角级数问题时构造出来的一个特殊点集,具有许多显著和深刻的性质.它是人类理性思维的产物,并非某个现实原型的摹写,尤其是用传统的几何术语很难对他进行描述.它既不是满足某些简单条件的点的轨迹,也不是一个简单方程的解集,可以说,它是一种新的集合对象.厦门大学数学科学学院的伍火熊通过分析康托三分集的构造过程,剖析了其构造思想的本质特征在于对所给闭区间进行奇数次对等划分,去掉中央开区间后对存留的每一个闭子区间作同样的处理的无限构作过程.董大校指出康托尔集的构造过程是一个无穷操作或迭代过程.本文主要说明康托尔五分集与三分集具有完全相同的奇特性质,康托尔三分集的构造方法的奇特性并非偶然,它适用于由任何正奇数分得的集合,康托尔集巧妙构思和它奇特性质在解决实变函数中一些典型例题中起了重要作用.2 预备知识=(E'表示E的导集),则称E为完备集或完全定义2.1[1]设nE R⊂,如果E E'集.定义2.2[2] 凡和全体正整数所成集合Z +对等的集合都称为可数集,不是可数集的无限集合,称为不可数集.定义2.3[3] 若两个集合A ,B 之间存在着一一的到上的映射,则A 与B 是对等的,记为A B .此时也称A 与B 等势或者有相同的基数,记为A ==B =.定义2.4[4] 设E 为n R 中的一个点集,0x 是n R 中的一个定点,若0x 附近全是E 的点,即0,δ∃>使0(,)U x E δ⊂,则称0x 为E 的内点.定义2.5[5] 设A ,B 是直线上的两个点集,如果B 中每一点的任一环境中必有A 的点,那么称A 在B 中稠密.如果直线上的点集S 在每一个不空的开集中都不稠密,就称S 是疏朗集或无处稠密集.定理1.1(闭集的构造定理) 直线上的闭集F 或是全直线,或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区间（即F 的余区间）所得到的集.3 主要内容3.1 Cantor 集的构成(1)将闭区间[0,1]R ⊂三等分,去掉中间一个()02个个长度为13的开区间12,33⎛⎫⎪⎝⎭,记作1F ;剩下两个()12个长度均为13的闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦,分别记为11G 和21G ;(2)将剩下的两个闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别继续三等分,去掉其中间两个()12个长度为213的开区间12,99⎛⎫ ⎪⎝⎭和78,99⎛⎫⎪⎝⎭,分别记为12F 和22F ,剩下的四个()22个小闭区间,分别是10,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦,23,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦,67,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦和8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦,分别记为123222,,G G G 和42G ;(3)如此继续下去,第次n 去掉12n -个长度为13n 的开区间1221,,,-n n n n F F F ,剩下2n个长度为13n 的闭区间,记为12,,n n G G nn G 2, ;上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系见表1:第1次分割第2次分割第3次分割第n 次分割开区间个数 02 12 22 12n - 闭区间个数 12 22 32 2n 小区间长度1321331313n表1(4)将上述过程无限进行. 最终得到一集合列12211n n n G G GG=()=1,2n ，.作点集P =1n n G ∞=,则称P 为Cantor 集.3.2 对Cantor 集构造方法的拓展基于Cantor 三分集巧妙的构造方法,尝试将闭区间[0,1]五等分、甚至任意正奇数等分.3.2.1 将闭区间[0,1]五等分,进行构造(1)将闭区间[0,1]R ⊂五等分,去掉中间两个()12个长度为15的开区间12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭和34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,记作11F 和21F ;剩下三个长度均为15的闭区间10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦,23,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦,分别记为11G ,21G 和31G ;(2)将剩下的三个闭区间1[0,]5,23[,]55和4[,1]5分别继续五等分,然后去掉其中间六个长度为215的开区间2212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,2234,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,221112,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,221314,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,222122,55⎛⎫ ⎪⎝⎭222324,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 分别记为12F ,22F ,345222,,F F F 和62F .剩九个小闭区间,分别为210,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦2223,,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,241,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2211,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,221213,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2143,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2421,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,222223,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,224,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 分别记为123222,,G G G ,42G ,52G ,62,G 72,G 82G 和92G ;(3)如此继续下去,第n 次去掉()1221n -+个长度为15n 的开区间()122112,,,n n n nF F F-+,剩下3n 个长度为15n的闭区间,记为12,,n n G G nn G 3, ;上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系见表2:第1次分割 第2次分割 第3次分割第n 次分割开区间个数 023⨯ 123⨯223⨯123n -⨯闭区间个数 1323 33 3n小区间长度15 215 31515n表2(4)将上述过程无限进行. 最终得到一集合列12311n n n G GGG=()=1,2n ，.作点集2P =1n n G ∞=.在下面3.3中可证得2P 具有与Cantor 三分集完全相同的性质.3.2.2 对于任意给定的正奇数21k +()k N +∈.(1) 将闭区间[0,1]进行21k +等分,并去掉中间的第2,4,k 2 个开区间1112(,)2121F k k =++,2134(,)2121F k k =++,,1212(,)2121k k kF k k -=++记留存部分为1G ,即111111k G G G G +=1232[0,][,][,1]21212121kk k k k =++++. (2) 将剩下的1k +个闭区间分别继续五等分,并去掉每一等分闭区间中的第2,4,,2k 个中间开区间;记1G 中留下来的部分为2G , (3) 如此继续下去,第n 次去掉()11n k k -+个长度为()121nk +的开区间,剩下()1nk +个长度为()121nk +的闭区间,记为()112,,,nk n nnG G G +;上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系件表3:第1次分割 第2次分割 第3次分割第n 次分割开区间个数 ()01k k +()11k k +()21k k +()11n k k -+闭区间个数 1k +()21k + ()31k +()1nk + 小区间长度121k + ()2121k +()3121k +()121nk +表3(4) 将上述过程无限进行. 最终得到一集合列()11211nk n nG GGG +=()=1,2n ，.作点集k P =1n n G ∞=.3.3 五分法下Cantor 集2P 的性质性质3.3.1 2P 是闭集.证明 由2P 的构造过程可知,第一次去掉的开区间为11F 和21F ,第二次去掉的开区间为1234522222,,,,F F F F F 和62F ,那么由表2知,第n 次去掉的是11223,,,n n n nF F F-⨯,依次下去,可以推想,共去掉的开区间可表示为12311n m n n m F -∞⨯==,则123211[0,1]\n m n n m P F -∞⨯===,由闭集构造定理知2P 为闭集.性质3.3.2 2P 是完备集.证明 由于2P 的邻接区间的作法,它们中的任何两个之间根本不存在公共的端点故2P 没有孤立点,因而2P 自密,又2P 是闭集,因此2P 是完备集.性质3.3.3 2P 没有内点.证明 在2P 的作法中,“去掉”过程进行到第n 次为止时,剩下3n 个长度是15n 的互相隔离的闭区间,因此任何一点02x P ∈必含在3n 个闭区间的某一个里面.从而在0x 的任意邻域01(,)5n U x 内至少有一点不属于2P ,但105n →()n →∞,故0x 不是2P 的内点.性质3.3.4 2[0,1]\P 是可数个互不相交的开区间,其长度之和为1.证明 在2P 的构造过程中,第n 次去掉的123n -⨯个长度为15n 的开区间,因2[0,1]\P中互不相交的开区间之和为11235n nn -∞=⨯∑1222323555n n-⨯⨯=+++ 11233(1)555n n --=⋅+++1=. 性质3.3.5 2P 是零测度集.证明 用2c P 表示[0,1]上2P 的余集,则22[0,1]\c P P =.由性质3.3.4知()21cm P =.故()()()22[0,1]c m P m m P =-110=-=.性质3.3.6 2P 是不可数集.证明 假设2P 是可数的,将2P 中点编号成点列1x ,2x ,,k x ,,也就是说,2P 中任一点必在上述点列中出现.显然,1[0,]5,23[,]55与4[,1]5中应至少有一个不含有1x ,用1G 表示这个闭区间.将1G 五等分后所得的三个闭区间中,应至少有一个不含2x ,用2G 表示它.然后用3G 表示五等分2G 时不含3x 的那个闭区间,如此下去.由归纳法,得到一个闭区间列{}k k N G ∈.由上述取法知,1G ⊃2G ⊃⊃k G ⊃,,k x ∉k G ,k ∈N ,同时,易见k G 的长为()105k k →→∞.于是根据数学分析中区间套定理,存在点∈ξk G ,k ∈N .可ξ是k G 的端点集的聚点,从而是闭集2P 的聚点,故∈ξ2P .由于上面已指出k x ∉k G ,k ∈N ,故≠ξk x ,k ∈N .这是一个矛盾.故2P 不可数.性质3.3.7 2P 非空.证明 从2P 的构造过程来看,每个区间的端点,例如0,125,23,,12525这样的端点都是被保留下来的,故2P ≠∅.性质3.3.8[6] 2P 不含任何区间.证明 由2P 的构造过程可知,第n 次分割后的第i ()1,2,,3n i =个小区间的长度为10()5n nL n =→→∞ 故2P 中不含任何区间. 性质3.3.9 2P 是疏朗集.证明 由2P 的构造,02x P ∀∈和0ε>,0(,)U x ε内包含有无穷多个被去掉的小区间,因此02(,)U x P ε⊄,即2P 在0(,)U x ε中不稠密,根据定义2.5即得2P 是疏朗集. 性质3.3.10 2P 没有孤立点.证明 由性质3.3.1知2P 是闭集,又由闭集构造定理知,闭集的孤立点一定是它的两个余区间的公共端点,由2P 的构造过程知,这样的公共端点是不存在的,即2P 没有孤立点.性质3.3.11 2P 与R 对等.证明 由性质3.3.6知,2P c ==,又R c ==,从而2P R .由此说明2P 中的点与R 中的一样多.又因为2P ⊂[0,1]⊂R ,由此说明,“部分小于全体”的结论在无穷集合中是不成立的.4 Cantor 集的应用Cantor 集的巧妙构思和它奇特的性质为构造一些反例提供了启示,也为一些题目的证明与求解带来的方便,下面将分别举例来说明.4.1 Cantor 集在反例中的应用.例1 孤立点集必是疏朗集,而疏朗集未必是孤立点集. 例如 Cantor 集中的任一元都是疏朗集,但不是孤立点集. 例2 存在R 中零测度集E ,使得对每个x E ∈及任意0δ>,有E(0,x δ-)0x δ+为不可数集.此题中可取{},E P Q x y x P y Q =+=+∈∈.其中P 为Cantor 集,Q 为有理数集.例3 在[]0,1上做出的完备疏朗集的测度必为1.反例 2P 是[]0,1上的完备疏朗集,但其测度为零.例 4 可数集的测度为零,但测度为零的集合未必都是可数集. 反例 2P 的测度为零,但它是不可数集. 4.2 Cantor 集及其性质在证明题中的应用.例1[8] 无理数在R 中是稠密的,但由无理数组成的疏朗的完全集是存在的. 证明 任取两个无理数α和β()αβ<,设闭区间[],αβ中有理数为{}12,,,,n r r r ,仿照Cantor 集的构造法,第一步,从[],αβ中挖掉开区间1F ,1F 满足以[],αβ的中点为中点,长度小于βα-且包含1r ;从余下的两个闭区间中挖掉与1F 性质类似的两个开区间12F 和22F ,且使122r F ∈,232r F ∈,如此这样做下去,[],αβ中余下的即是一个由无理数组成的疏朗的完备集.例2 设P 是Cantor 集,E 在[]0,1中为不可数集,在[]0,1上定义函数[]22,,()4,0,1.x x P E f x x x PE +∈⎧⎪=⎨+∈-⎪⎩判断()f x 在[]0,1上是否可测.解 由性质3.3.5知,0mP =.又P E P ⊂,由测度的非负性及单调性,有()0m PE ≥,()m PE mP ≤故()0m PE =即2()4f x x →+.a e 于[0,1],从而()f x 在[0,1]上可测.例3 设()f x 在集合2P 上为1,而在2P 的补集G 中的长度为15n的构成区间上()f x 为n ,求积分10()f x dx ⎰.解 记n G 为G 中长度为15n 的各个开区间之并,则n G 有123n -⨯个长度为15n的开区间且115n n G ∞==∑,1235n n nmG -⨯=. 由题意知21,,()(1,2,),.x P f x n n x G ∈⎧==⎨∈⎩1()f x dx ⎰=2()()P Gf x dx f x dx +⎰⎰=21()nP G n f x dx ndx ∞=+∑⎰⎰1nG n ndx ∞==∑⎰=1nn n mG ∞=⋅∑=111235n n n n ∞-=⋅⨯⋅∑=12335nn n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ 令12335nN N n S n =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑,则11323535n N N n S n +=⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑. 21323333535555N N N N S S N +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即23211555NN S N ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭535252NN S N ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5355lim lim 2522N N N N S N →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故105()2f x dx =⎰.5 小结综合上述内容,根据Cantor 三分集的构造特征,对其构造进行了拓展,即以五分法构成了2P ,并对集合2P 所具有的性质做了探究证明,进而发现在五分法下构成的集合2P 具有与Cantor 三分集完全相同的奇特性质.从而揭示了Cantor 三分集这种奇特的构造方法并非偶然.之后通过实例将Cantor 三分集、五分集及其性质得以运用,特别是在范例中的运用破除了一些似是而非的错觉,体现了Cantor 集在数学问题的解决中的重要性.致谢 诚挚的感谢郭金生老师的悉心指导！参 考 文 献[1]于兴太,杨明顺.Cantor 三分集构造方法探究[J].江西科学学报,2010,28(2):147-149. [2]程其襄等.实变函数与泛函分析基础[M].三版.高等教育出版社,2010,6. [3]刘培德.实变函数教程[M].科学出版社,2006.[4]徐森林,薛春华.实变函数论[M].清华大学出版社,2009,8.[5]夏道行,吴卓人等.实变函数论与泛函分析[M].二版.高等教育出版社,2010,1.[6]熊国敏.谈谈Cantor集[J].安顺师专学报,2002,4(4):53-55.[7]王有一.Cantor集合的应用[J].宝鸡文理学院学报(自然科学版),1994,1(1):122-125.[8]董大校.Cantor集性质的应用[J].玉溪师范学报2009,25(8):18-22.（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
康托尔集合论
康托尔集合论TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-（1）0P 是一个闭集，不含有任何区间。
这是显然的，0G 是任意个开集的并，所以0G 仍是开集，0P 是0G 的补集，所以0P 是闭集。
这表明不含有任何区间的闭集是存在的。
（2）0P 是完全集证明：要证0P 是完全集即证它不含有孤立点。
假设0P 有一孤立点0x ，则存在（α，β）使（α，β）中不含0P 中除0x 以外的任一点。
所以（α，0x ）⊂0G ，（0x ，β）⊂0G 。
于是0x 将成为0G 的某两个区间的公共端点，但由于0G 的做法是不可能的。
所以不存在这样的点0x ，与假设矛盾，所以得证0P 是完全集。
（3）0P 是不可列的证明：假设0P 是可列的，将0P 中点编号成点列1x ，2x ，…，k x …，也就是说，0P 中任一点必在上述点列中出现。
显然，10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦与2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦中应有一个不含有1x ，用1I 表示这个闭区间。
将1I 三等分后所得的左与右两个闭区间中，应有一个不含2x ，用2I 表示它。
然后用3I 表示三等分2I 时不含3x 的左或右的那个闭区间，如此等等。
这样，根据归纳法，得到一个闭区间列N k k I ∈}{。
由所述取法知，1I ⊃2I ⊃…⊃k I ⊃…，k x k I ，k ∈N ， 同时，易见k I 的长为13k →0（k →∞）。
于是根据数学分析中区间套定理，存在点k I ，k N 。
可是是k I 等的端点集的聚点，从而是闭集0P的聚点，故0P 。
由于上面已指出k x k I ，k ∈N ，故k x ，k N 。
这是一个矛盾。
故0P 不可列。
（4）0P 的势等于与0,1同势证明：引进0,1中小数的三进表示来考察区间（13，23）中每个点x 可表示成x=2x 3x …，其中2x ，3x ，…是0，1，2三个数字中之一。
这区间的两个端点均有两种表示，规定采用（不出现数字1）：13=…，23=…，区间（213，223），（273，283）中的点x 可表示成x=3x 4x …或x=3x 4x …，其中3x ，4x ，…是0，1，2中任一数字。
Cantor集的性质及其应用
Cantor集的拓展及其应用黄玉霞指导老师：郭金生（河西学院数学与应用数学专业2012届1班09号, 甘肃张掖734000）摘要本文对Cantor三分集进行了拓展,也就是以五分法构成了Cantor集,然后讨论在此分下Cantor集的相关性质及应用.关键词Cantor集; 测度; 稠密集; 完备集中图分类号O174The Expandability and Applications of Cantor SetHuang Yuxia Instructor Guo Jinsheng（No.09,Class1 of 2012.Specislty of Mathematics and Applied Mathematics,Hexi University,Zhangye,Gansu,734000）Abstract: This paper expands Cantor set ,as well as makes Cantor set by dividing it into five parts, then discusses it’s related properties and applications in this situation.Keywords: Cantor set; measure; dense set; exhaustive set1 引言Cantor三分集是由德国数学家康托尔在研究三角级数问题时构造出来的一个特殊点集,具有许多显著和深刻的性质.它是人类理性思维的产物,并非某个现实原型的摹写,尤其是用传统的几何术语很难对他进行描述.它既不是满足某些简单条件的点的轨迹,也不是一个简单方程的解集,可以说,它是一种新的集合对象.厦门大学数学科学学院的伍火熊通过分析康托三分集的构造过程,剖析了其构造思想的本质特征在于对所给闭区间进行奇数次对等划分,去掉中央开区间后对存留的每一个闭子区间作同样的处理的无限构作过程.董大校指出康托尔集的构造过程是一个无穷操作或迭代过程.本文主要说明康托尔五分集与三分集具有完全相同的奇特性质,康托尔三分集的构造方法的奇特性并非偶然,它适用于由任何正奇数分得的集合,康托尔集巧妙构思和它奇特性质在解决实变函数中一些典型例题中起了重要作用.2 预备知识=(E'表示E的导集),则称E为完备集或完全集.定义2.1[1]设nE R⊂,如果E E'定义2.2[2] 凡和全体正整数所成集合Z +对等的集合都称为可数集,不是可数集的无限集合,称为不可数集.定义2.3[3] 若两个集合A ,B 之间存在着一一的到上的映射,则A 与B 是对等的,记为A B .此时也称A 与B 等势或者有相同的基数,记为A ==B =.定义2.4[4] 设E 为n R 中的一个点集,0x 是n R 中的一个定点,若0x 附近全是E 的点,即0,δ∃>使0(,)U x E δ⊂,则称0x 为E 的内点.定义2.5[5] 设A ,B 是直线上的两个点集,如果B 中每一点的任一环境中必有A 的点,那么称A 在B 中稠密.如果直线上的点集S 在每一个不空的开集中都不稠密,就称S 是疏朗集或无处稠密集.定理1.1(闭集的构造定理) 直线上的闭集F 或是全直线,或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区间（即F 的余区间）所得到的集.3 主要内容3.1 Cantor 集的构成(1)将闭区间[0,1]R ⊂三等分,去掉中间一个()02个个长度为13的开区间12,33⎛⎫⎪⎝⎭,记作1F ;剩下两个()12个长度均为13的闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦,分别记为11G 和21G ;(2)将剩下的两个闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别继续三等分,去掉其中间两个()12个长度为213的开区间12,99⎛⎫ ⎪⎝⎭和78,99⎛⎫⎪⎝⎭,分别记为12F 和22F ,剩下的四个()22个小闭区间,分别是10,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦,23,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦,67,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦和8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦,分别记为123222,,G G G 和42G ;(3)如此继续下去,第次n 去掉12n -个长度为13n 的开区间1221,,,-n n n n F F F ,剩下2n 个长度为13n 的闭区间,记为12,,n n G G nn G 2, ;上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系见表1:第1次分割第2次分割第3次分割第n 次分割开区间个数 02 12 22 12n -闭区间个数 12 22 32 2n小区间长度1321331313n表1(4)将上述过程无限进行. 最终得到一集合列12211n n n G G GG=()=1,2n ，.作点集P =1n n G ∞=,则称P 为Cantor 集.3.2 对Cantor 集构造方法的拓展基于Cantor 三分集巧妙的构造方法,尝试将闭区间[0,1]五等分、甚至任意正奇数等分.3.2.1 将闭区间[0,1]五等分,进行构造(1)将闭区间[0,1]R ⊂五等分,去掉中间两个()12个长度为15的开区间12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭和34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,记作11F 和21F ;剩下三个长度均为15的闭区间10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦,23,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦,分别记为11G ,21G 和31G ;(2)将剩下的三个闭区间1[0,]5,23[,]55和4[,1]5分别继续五等分,然后去掉其中间六个长度为215的开区间2212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,2234,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,221112,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,221314,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,222122,55⎛⎫ ⎪⎝⎭222324,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 分别记为12F ,22F ,345222,,F F F 和62F .剩九个小闭区间,分别为210,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦2223,,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,241,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2211,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,221213,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2143,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2421,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,222223,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,224,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 分别记为123222,,G G G ,42G ,52G ,62,G 72,G 82G 和92G ;(3)如此继续下去,第n 次去掉()1221n -+个长度为15n 的开区间()122112,,,n n n nF F F-+,剩下3n 个长度为15n的闭区间,记为12,,n n G G nn G 3, ; 上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系见表2:第1次分割 第2次分割 第3次分割第n 次分割开区间个数 023⨯ 123⨯223⨯ 123n -⨯闭区间个数 1323 333n小区间长度15 21531515n表2(4)将上述过程无限进行.最终得到一集合列12311n n n G G GG=()=1,2n ，.作点集2P =1n n G ∞=.在下面3.3中可证得2P 具有与Cantor 三分集完全相同的性质.3.2.2 对于任意给定的正奇数21k +()k N +∈.(1) 将闭区间[0,1]进行21k +等分,并去掉中间的第2,4,k 2 个开区间1112(,)2121F k k =++,2134(,)2121F k k =++,,1212(,)2121k k kF k k -=++记留存部分为1G ,即111111k G G G G +=1232[0,][,][,1]21212121kk k k k =++++. (2) 将剩下的1k +个闭区间分别继续五等分,并去掉每一等分闭区间中的第2,4,,2k 个中间开区间;记1G 中留下来的部分为2G , (3) 如此继续下去,第n 次去掉()11n k k -+个长度为()121nk +的开区间,剩下()1nk +个长度为()121nk +的闭区间,记为()112,,,nk n n nG G G +; 上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系件表3:第1次分割 第2次分割 第3次分割第n 次分割开区间个数 ()01k k + ()11k k +()21k k +()11n k k -+闭区间个数 1k +()21k + ()31k +()1nk +小区间长度121k + ()2121k +()3121k +()121nk +表3(4) 将上述过程无限进行. 最终得到一集合列()11211nk n nG GGG +=()=1,2n ，.作点集k P =1n n G ∞=.3.3 五分法下Cantor 集2P 的性质性质3.3.1 2P 是闭集.证明 由2P 的构造过程可知,第一次去掉的开区间为11F 和21F ,第二次去掉的开区间为1234522222,,,,F F F F F 和62F ,那么由表2知,第n 次去掉的是11223,,,n n n n F F F -⨯,依次下去,可以推想,共去掉的开区间可表示为12311n m n n m F -∞⨯==,则123211[0,1]\n m n n m P F -∞⨯===,由闭集构造定理知2P 为闭集.性质3.3.2 2P 是完备集.证明 由于2P 的邻接区间的作法,它们中的任何两个之间根本不存在公共的端点故2P 没有孤立点,因而2P 自密,又2P 是闭集,因此2P 是完备集.性质3.3.3 2P 没有内点.证明 在2P 的作法中,“去掉”过程进行到第n 次为止时,剩下3n 个长度是15n的互相隔离的闭区间,因此任何一点02x P ∈必含在3n 个闭区间的某一个里面.从而在0x 的任意邻域01(,)5n U x 内至少有一点不属于2P ,但105n →()n →∞,故0x 不是2P 的内点.性质3.3.4 2[0,1]\P 是可数个互不相交的开区间,其长度之和为1.证明 在2P 的构造过程中,第n 次去掉的123n -⨯个长度为15n 的开区间,因2[0,1]\P中互不相交的开区间之和为11235n nn -∞=⨯∑1222323555n n-⨯⨯=+++ 11233(1)555n n --=⋅+++1=. 性质3.3.5 2P 是零测度集.证明 用2c P 表示[0,1]上2P 的余集,则22[0,1]\c P P =.由性质3.3.4知()21cm P =.故()()()22[0,1]c m P m m P =-110=-=.性质3.3.6 2P 是不可数集.证明 假设2P 是可数的,将2P 中点编号成点列1x ,2x ,,k x ,,也就是说,2P 中任一点必在上述点列中出现.显然,1[0,]5,23[,]55与4[,1]5中应至少有一个不含有1x ,用1G 表示这个闭区间.将1G 五等分后所得的三个闭区间中,应至少有一个不含2x ,用2G 表示它.然后用3G 表示五等分2G 时不含3x 的那个闭区间,如此下去.由归纳法,得到一个闭区间列{}k kN G ∈.由上述取法知,1G ⊃2G ⊃⊃k G ⊃,,k x ∉k G ,k ∈N ,同时,易见k G 的长为()105k k →→∞.于是根据数学分析中区间套定理,存在点∈ξk G ,k ∈N .可ξ是k G 的端 点集的聚点,从而是闭集2P 的聚点,故∈ξ2P .由于上面已指出k x ∉k G ,k ∈N ,故≠ξk x ,k ∈N .这是一个矛盾.故2P 不可数.性质3.3.7 2P 非空.证明 从2P 的构造过程来看,每个区间的端点,例如0,125,23,,12525这样的端点都是被保留下来的,故2P ≠∅.性质3.3.8[6] 2P 不含任何区间.证明 由2P 的构造过程可知,第n 次分割后的第i ()1,2,,3n i =个小区间的长度为10()5n n L n =→→∞ 故2P 中不含任何区间. 性质3.3.9 2P 是疏朗集.证明 由2P 的构造,02x P ∀∈和0ε>,0(,)U x ε内包含有无穷多个被去掉的小区间,因此02(,)U x P ε⊄,即2P 在0(,)U x ε中不稠密,根据定义2.5即得2P 是疏朗集. 性质3.3.10 2P 没有孤立点.证明 由性质3.3.1知2P 是闭集,又由闭集构造定理知,闭集的孤立点一定是它的两个余区间的公共端点,由2P 的构造过程知,这样的公共端点是不存在的,即2P 没有孤立点.性质3.3.11 2P 与R 对等.证明 由性质3.3.6知,2P c ==,又R c ==,从而2P R .由此说明2P 中的点与R 中的一样多.又因为2P ⊂[0,1]⊂R ,由此说明,“部分小于全体”的结论在无穷集合中是不成立的.4 Cantor 集的应用Cantor 集的巧妙构思和它奇特的性质为构造一些反例提供了启示,也为一些题目的证明与求解带来的方便,下面将分别举例来说明.4.1 Cantor 集在反例中的应用.例1 孤立点集必是疏朗集,而疏朗集未必是孤立点集. 例如 Cantor 集中的任一元都是疏朗集,但不是孤立点集. 例2 存在R 中零测度集E ,使得对每个x E ∈及任意0δ>,有E(0,x δ-)0x δ+为不可数集.此题中可取{},E P Q x y x P y Q =+=+∈∈.其中P 为Cantor 集,Q 为有理数集.例3 在[]0,1上做出的完备疏朗集的测度必为1. 反例 2P 是[]0,1上的完备疏朗集,但其测度为零.例 4 可数集的测度为零,但测度为零的集合未必都是可数集. 反例 2P 的测度为零,但它是不可数集. 4.2 Cantor 集及其性质在证明题中的应用.例1[8] 无理数在R 中是稠密的,但由无理数组成的疏朗的完全集是存在的.证明 任取两个无理数α和β()αβ<,设闭区间[],αβ中有理数为{}12,,,,n r r r ,仿照Cantor 集的构造法,第一步,从[],αβ中挖掉开区间1F ,1F 满足以[],αβ的中点为中点,长度小于βα-且包含1r ;从余下的两个闭区间中挖掉与1F 性质类似的两个开区间12F 和22F ,且使122r F ∈,232r F ∈,如此这样做下去,[],αβ中余下的即是一个由无理数组成的疏朗的完备集.例2 设P 是Cantor 集,E 在[]0,1中为不可数集,在[]0,1上定义函数[]22,,()4,0,1.x x P E f x x x PE +∈⎧⎪=⎨+∈-⎪⎩判断()f x 在[]0,1上是否可测.解 由性质3.3.5知,0mP =.又P E P ⊂,由测度的非负性及单调性,有()0m PE ≥,()m PE mP ≤故()0m PE =即2()4f x x →+.a e 于[0,1],从而()f x 在[0,1]上可测.例3 设()f x 在集合2P 上为1,而在2P 的补集G 中的长度为15n的构成区间上()f x 为n ,求积分10()f x dx ⎰.解 记n G 为G 中长度为15n 的各个开区间之并,则nG 有123n -⨯个长度为15n的开区间且115n n G ∞==∑,1235n n nmG -⨯=. 由题意知21,,()(1,2,),.x P f x n n x G ∈⎧==⎨∈⎩1()f x dx ⎰=2()()P G f x dx f x dx +⎰⎰=21()nP G n f x dx ndx ∞=+∑⎰⎰1nG n ndx ∞==∑⎰=1n n n mG ∞=⋅∑=111235n n n n ∞-=⋅⨯⋅∑=12335nn n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ 令12335nN N n S n =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑,则11323535n N N n S n +=⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑. 21323333535555N N N N S S N +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即23211555NN S N ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭535252NN S N ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5355lim lim 2522N N N N S N →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故105()2f x dx =⎰.5 小结综合上述内容,根据Cantor 三分集的构造特征,对其构造进行了拓展,即以五分法构成了2P ,并对集合2P 所具有的性质做了探究证明,进而发现在五分法下构成的集合2P 具有与Cantor 三分集完全相同的奇特性质.从而揭示了Cantor 三分集这种奇特的构造方法并非偶然.之后通过实例将Cantor 三分集、五分集及其性质得以运用,特别是在范例中的运用破除了一些似是而非的错觉,体现了Cantor 集在数学问题的解决中的重要性. 致谢 诚挚的感谢郭金生老师的悉心指导！参 考 文 献[1]于兴太,杨明顺.Cantor 三分集构造方法探究[J].江西科学学报,2010,28(2):147-149. [2]程其襄等.实变函数与泛函分析基础[M].三版.高等教育出版社,2010,6. [3]刘培德.实变函数教程[M].科学出版社,2006.[4]徐森林,薛春华.实变函数论[M].清华大学出版社,2009,8.[5]夏道行,吴卓人等.实变函数论与泛函分析[M].二版.高等教育出版社,2010,1. [6]熊国敏.谈谈Cantor 集[J].安顺师专学报,2002,4(4):53-55.[7]王有一.Cantor 集合的应用[J].宝鸡文理学院学报(自然科学版),1994,1(1):122-125. [8]董大校.Cantor 集性质的应用[J].玉溪师范学报2009,25(8):18-22.。
康托尔与集合论
康托尔与集合论康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者。
是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一。
19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。
然而数学的发展最终证明康托是正确的。
他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑。
1．康托尔的生平1845年3月3日，乔治·康托生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭。
1856年康托和他的父母一起迁到德国的法兰克福。
像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论。
他的父亲力促他学工，因而康托在1863年带着这个目地进入了柏林大学。
这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心。
康托很早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着的世界数学中心之一。
所以在柏林大学，康托受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。
他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授。
1874年康托在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。
数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。
这篇文章的创造性引起人们的注意。
在以后的研究中，集合论和超限数成为康托研究的主流，他一直在这方面发表论文直到1897年，过度的思维劳累以及强列的外界刺激曾使康托患了精神分裂症。
这一难以消除的病根在他后来30多年间一直断断续续影响着他的生活。
1918年1月6日，康托在哈勒大学的精神病院中去世。
2．集合论的背景为了较清楚地了解康托在集合论上的工作，先介绍一下集合论产生的背景。
集合论在19世纪诞生的基本原因，来自数学分析基础的批判运动。
数学分析的发展必然涉及到无穷过程，无穷小和无穷大这些无穷概念。
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十 剖析康托集及“有理数集”测度山东枣庄二中 赵 录(emall ：zhaolu48@)康托把有理数集E 排列为下面的文字框：“个数”为n 2(n →∞)个。
每个“点”x 用开区间(x-312n,x+312n)覆盖，即其外测度为：33112331111lim [()()]1lim lim 0*()22n nn j i n nn n j i ii j j m E n nn nn→∞==→∞→∞==+--===≤∑∑∑∑下面我们就来分析一下外测度为零的实质。
区间(x-312n,x+312n)的长度为31n，而区间的个数为n 2，那么当然有2311lim()lim 0n n nnn→∞→∞∙==。
取文字框一中的主对角线及上方的元素(文字框二)：当n →∞时，按康托的概念就应当是区间[0,1)上的“有理数集”E 。
那么取区间长为31n的开区间族“覆盖”E ，可得外测度：3331111(1)1*()lim ()()]lim[]0222jn n n j i i i n n m E j j n n n→∞→∞==+=+--=∙=∑∑ （1）我们再来用黎曼积分定义的方法求函数y=1在区间(0,1)上的定积分：10111lim (1)lim()1nn n i dx n n n →∞→∞==∙=∙=∑⎰，即把(0,1)n 等分，每等分的长度为1n ，与这个小区间上的函数值1的积仍是1n ，这n 个1n的和，当n →∞时，就是(0,1)上的定积分1。
由定积分的定义可得：把区间分成多少份，就应当这些分都“参与”到积分中来【注一】，而不能是分成n 2份，而只取其中n 份的和。
那么使前面文字框内的有理数集的外测度等于零的密诀就是先把长度为n 的线段n 等分，则每等分为单位长，再把每等分再n 3等分，即把长度为n 的线段n 4等分，而均匀地取其中的n 2份之和，当n 趋于无穷大时，便有其外测度为零。
这种使其为零的“方法”确实高明巧妙得很。
不巧的是它违反了积分的定义。
如果是把长度为n 的线段n 2等分，再把其n 2份求和，则其“外测度”为22lim()x nnn→∞∙=∞。
即可得12n n n n12n n n n“有理数集”外测度为无穷大。
再看康托集。
把闭区间[0,1]三等分得到三个闭区间[0,1/3],[1/3,2/3],[2/3,1]，把中间的去掉，剩下的两个闭区间为：[0,1/3],[2/3,1]。
两个区间长度和为2/3。
两个区间分别与二进制小数0.0,0.1对应。
第二次，再把这两个区间分别三等分去掉其中间的区间得到4个闭区间： [0,1/9],[2/9,3/9],[6/9,7/9],[8/9,9/9]。
4个区间长度和为(2/3)2。
4个区间分别与二进制小数0.0,0.1,0.01,0.11对应。
第三次，再把这4个区间分别三等分去掉其中间的区间得到23=8个闭区间：[0,1/27],[2/27,3/27],[6/27,7/27],[8/27,9/27],[18/27,19/27],[20/27,21/27],[24/27,25/27],[26/27,1]。
8个区间长的和为(2/3)3。
8个区间可依次与位数不大于3的8个二进制小数 0.0,0.1,0.01,0.11,0.001,0.011,0.101,0.111一一对应。
推论可得，第n 次可把第n-1次得到的2n-1个闭区间都三等分，去掉中间的小区间，可以得到2n 个小区间，这些区间长的和为(2/3)n 。
位数不大于n 的二进制小数也是2n 个(包括0)，因此2n 个小闭区间可以与2n 个位数不大于n 的二进制小数一一对应。
当n →∞时，(2/3)n →0，由区间套定理知n →∞时，只有一个点属于一个小区间，这个点集就叫作“康托集”。
而这些点恰好可以与[0,1]上的二进制小数全体存在一一映射，因此康托集可以与实数集存在一一映射，从而其“势”等于连续集的“势”，而其外测度为零。
可是康托却没有发现，位数不大于n 位的二进制自然数也是2n 个，那么当n →∞时，康托集岂不是与自然数集存在一一映射了吗？即与自然数集对等。
把区间[0,1]三等分，而不去掉中间的区间，得到相邻区间有公共端点的三个闭区间： [0,1/3],[1/3,2/3],[2/3,1]。
只有一位的三进制小数有三个：0.0,0.1,0.2把三个区间[0,1/3],[1/3,2/3],[2/3,1]都三等分，可得相邻区间有公共端点的9个闭区间： [0,1/9],[1/9,2/9],[2/9,3/9],[3/9,4/9],[4/9,5/9],[5/9,5/9],[6/9,7/9],[7/9.8/9],[8/9,1]。
位数不超过2位的[0,1]上的三进制小数也是9个，可以与9个小区间构成一一映射。
把这次等分称为对区间[0,1]的第二次三等分。
那么对区间[0,1]进行n 次三等分后可以得到相邻区间有公共端点的3n 个闭区间，而位数不超过n 的三进制小数也是3n 个(包括零)。
因此3n 个闭区间与位数不超过n 的三进制小数对等。
3n 个闭区间长的和是1。
当n →∞时，只有一个点属于一上小区间，即闭区间紧缩为点。
按康托理论这些点便是[0,1]上的全部点，其外测度为1，与[0,1]上的三进制小数全体对等。
与[0,1]区间上的二进制小数对等的康托集外测度是零，与[0,1]区间上的三进制小数全体对等的集合其外测度为1，这就是康托理论的奇特之处。
用长度等于1/3n 的开区间覆盖位数不超过n 的区间[0,1]上的三进制小数全体，其覆盖和为：1311[()()]323323nnnnni ii=+--∑∙∙则[0,1]上的三进制小数的外测度为 13111lim [()()]lim()133233233nnnnnnnn n i ii →∞→∞=+--=∙=∑∙∙用长度等于1/4n 的开区间覆盖位数不超过n 的区间[0,1]上的三进制小数全体，其覆盖和为：1311[()()]324324nn nnni ii=+--∑∙∙则[0,1]上的三进制小数的外测度又为13111lim [()()]lim()033243244nnnnnnnn n i ii→∞→∞=+--=∙=∑∙∙如果用长度为22n的开区间覆盖[0,1]上的分母不小于分子且分母的不大于n 的 “有理数”(文字框二)当n →∞时构成的(0,1]上的有理数集E 的外测度：222111(1)2*()lim ()()]lim[]12n nn n j i i i i n n m E j j n n n→∞→∞==+≤+--=∙=∑∑ （2）由此产生疑问，对于文字框二，当n →∞只是[0,1]上的有理数全体吗？从积分的定义的意义上说，对于文字框二上的数集，当n →∞时，应该是[0,1]上的实数全体。
第二个疑问是：应该用什么样的开区间族去覆盖一个需要计算外测度的点集呢？难道用定积分定义的方法去选定开区间族也是不合理的吗？用外测度的理论，对一个点集选择不同的开区间族，得到的外测度可以是不同的值。
因此不但康托的理论不可靠；就是外测度的理论也不是十分可靠的。
《实变函数论与泛函分析》(上册，夏道行等著，人民教育出版社1978.11.北京)106页(以下简称《泛函上》)有这样一个定理及证明：R 1中的任何有限集或可列集是可测集，而且是Borel 集，它的外测度为零。
证 对任何实数α，单元素集{α}=11(,]n n αα∞=-，因为1(,]nαα-∈R 0⊂B 并且因为B 是σ-环，所以m({α})≤m(1(,]n αα-)=1n，可知m({α})＝0。
再由B 是σ-环及m 的可列可加性，即知中任何有限集及可列集E 都必定是Borel 集，而且m(E)=0。
证毕。
《泛函上》从65页开始到这个定理前论述的都是勒贝格测度的问题。
前40页可以说论述的都很严谨，不象康托理论那样几乎处处都有矛盾，也只有直接应用康托的结论的地方有质疑之处。
可对这个定理的“可列集E ……，而且m(E)=0”并没有必然性。
由“m*({α})≤m*(1(,]n αα-)=1n，可知m*({α})＝0”，可知m({α})＝0是一个求极限得到的结果，可列集的“加”也是求极限的过程。
数学分析告诉我们，两个有关的极限是不能独立运算的，从极限的类型看，求m(E)是一个“0∙∞”的极限类型。
文字框二内的分数，当n →∞时构成的数集，按康托观点是(0,1）上的有理数集，同时也是可列集，那么取它的第n 列：1231,,,,n n n nn-当n →∞时构成的数集E ，也是可列集。
由阿基米德公理知，对任意分数q p ，存在m n ，使1n n q n p n m m -<≤，因此1(,]n n q p n n nm m ∈-，从而令(0,1)上的有理数集为Q 时，则有m*(Q)=m*(E)。
由可外测度的加性知：12311*()*()lim[*{}*{}{}*{}]lim[(1)]1n n n m Q m E m m m m n n n nn n→∞→∞-=≤++++=-∙=从黎曼积分定义的观点，应该是m(E)=1。
怎么会有“可列集E ……，而且m*(E)=0”呢？由此可知，而n→∞时，集合1231{,,,,}nn n n n-已经是区间(0,1)上的实数全体且可列。
实数的“可数”所以很难被接受的一个主要原因，就是因为“可数集”的外测度是零，区间[0,1]上的实数外测度是1。
如果区间[0,1]上的实数是“可数集”，岂不是[0,1]上的实数外测度为零了吗，从而实数“不实”了。
现在已经把“可数集”的外测度为零的也被推翻了，难道对实数集“可数”还有什么可怀疑吗？所以把“可数”加引号，是因为实数集也“可数”，那么几乎不存在“不可数”集合了，因此“可数”与“不可数”的概念存在的必要性已经不大了。
因为有理数集的外测度为零，已经成为广泛的共识，因此把有理数的定义给予改进(严格地说是明确)，事实上也需要改进。
因为现在的有理数的定义与另一个定义――有限小数与无限循环小数是有理数――不一致：显然无限循环小数的循环节的位数是有限的，如果循环节的位数可以无限，那么无限不循环小数可以看作是循环节位数为无限大的循环小数了。
无限循环小数的循环节的位数有限，那么它对应的既约分数的分母的位数也应该是有限的了，有限小数对应的既约分数的分母的位数当然是有限的了，从而作为有理数的分数的分母的位数应是有限的，因此[0,1]上的有理数的个数也是有限的，从而任意有限区间[a,b]上的有理数的外测度是零。
无限区间上的有理数的外测度可以是大于零的有限实数，也可以是无穷大【注】。
勒贝格测度的论述也有故弄玄虚之嫌。
实变函数论重点讨论的是测度。