从Cantor集步入分形
Cantor集与Cantor函数
Cantor集与Cantor函数Cantor 集与Cantor 函数【摘要】：本文详细分析并证明cantor 集与cantor 函数的定义与性质，具体内容有：cantor 集的完备性，具有连续统势；cantor 函数的性质，解决了课堂上的小问题（关于cantor 函数的连续性与稠密性）；并借助于cantor 集，给出一个孤立点集，它的导集是一个完备集；最后给出了一些常见的分形。
【关键词】：Cantor 集、Cantor 函数、分形、点集、完备集1 Cantor 集与Cantor 函数的定义1.1 Cantor 集的定义将基本区间A=[0，1]三等分，除去中间的开区间)3231(11，，=I ,记其剩余部分为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1,323101 ，E ；再将1E 中的两个闭区间各三等分，然后分别去掉中间的开区间)3837()3231(222,2221,2，，，==I I ,然后记其剩余部分为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1383732313231022222，，，， E 。
如此继续下去，在第n 步时，去掉的开区间为)313323()3837()3231(12,2,1,n n n n n n n n n n n n I I I --===-，，，，，， 。
其余部分为n2个长为n 31的闭区间，令 n m k k m n mI G 1121,=-==又令 k n k n n n I G G ,,1==∞=，G C \]10[，=，则称所得的C 为Cantor 集。
1.2 Cantor 函数的定义将基本区间A=[0，1]三等分，并除去中间的开区间,同时令把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间)3837()3231(222,2221,2，，，==I I同时令假设是C的内点，则存在，使得这样含于[0,1]中且这个开集的各个构成区间互不相交，这些区间的长度之和大于1，矛盾。
分形的计算方法
分形的计算方法
分形有多种计算方法，以下为您介绍Hurst指数法和箱计数法：
Hurst指数法是最早用于计算分形维数的方法之一，其基本思想是通过计算时间序列的长程相关性来反映其分形特性。
具体步骤如下：
1. 对原始时间序列进行标准化处理。
2. 将序列分解成多个子序列，每个子序列的长度为N。
3. 计算每个子序列的标准差与平均值之间的关系，即计算序列的自相关函数。
4. 对自相关函数进行拟合，得到一个幂律关系，其幂指数就是Hurst指数，即分形维数D=2-H。
箱计数法是一种较为简单的计算分形维数的方法，其基本思想是将时间序列分为多个箱子，然后计算每个箱子内的数据点数与箱子尺寸之间的关系。
具体步骤如下：
1. 将原始时间序列分为多个子段，每个子段的长度为k。
2. 对于每个子段，将其分为多个等长的小区间，将每个小区间的数据点分配到对应的箱子中。
3. 计算每个箱子中数据点的个数，记作N(l)。
4. 对于不同的箱子尺寸l，计算N(l)与l的关系，即N(l)∝l-D，其中D即为分形维数。
此外，还有如Cantor三分集的递归算法等分形计算方法，每种方法有其特点和适用范围。
如果需要更多关于分形计算的信息，可以阅读分形相关的专业书籍或文献，以获得更全面的理解和认识。
浅谈分形
浅谈分形曼德布罗（B. B. Mandelbrot）说过：“云不是球形的，山不是锥形的，海岸不是圆形的。
”在自然界中，许多物体的形状和现象是十分复杂的：纵横交错的江河流域，婉转悦耳的古琴音乐中的旋律，蜿蜒盘旋的山岳高峰，星际空间物质的分布，尘粉无规则运动的轨迹，人体复杂的血管分布，如此等等。
像如此不定型的东西，在欧式几何中是无法解释分析的。
因此“分形”应运而生。
说到分形（fractal），先来看看分形的定义。
分形这个词最早是分形的创始人曼德布罗提出来的，他给分形下的定义就是：分形是由一些与其整体以某种方式相似的部分所组成的形体。
很显然，在曼德布罗的分形定义中，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。
但是迄今为止，分形还没有非常具体明确的科学定义。
1989年法尔科内提出类似但较为全面的定义:（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。
（iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。
（v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。
定义总是抽象的，下面先介绍几种理想的或典型的分形结构，以便对定义中的分形集,自相似性,分形维数,拓扑维数,迭代等有所了解,从而对分形有具体而形象的认识。
（1）康托尔集（Cantor set）。
假设一条为单位长度的线段，将其设为基本区间[0,1]，把它三等分，分点分别为1/3，2/3，去掉该线段中间的三分之一，这样留下的部分将是两段长度分别为三分之一的线段，总长度为2/3，用集合表示为[0,1/3] ∪[2/3,1]。
接下去我们再把这两条线段分别去掉中间的三分之一，这时留下的部分将是四条长度各为九分之一的线段，总长度为4/9,用集合表示为[0,1/9] ∪[2/9,1/3] ∪[2/3,7/9]∪[8/9,1]。
四川省凉山彝族自治州(新版)2024高考数学人教版摸底(综合卷)完整试卷
四川省凉山彝族自治州（新版）2024高考数学人教版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题十九世纪下半叶集合论的创立.奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集.（Cantor ）”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；….如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段.操作过程不断地进行下去.以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”.第三次操作后，从左到右第四个区间为（ ）A．B．C．D．第(2)题已知集合，，，则（ ）A．B．C．D．第(3)题设m ，n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①；②；③ ；④.其中正确的命题是（ ）A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④第(4)题如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是，其中，振幅为2，则前3秒该质点走过的路程为（）A．B．C．D．第(5)题设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则A．B．C．D．第(6)题已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b 等于( )A ．10B ．9C ．8D ．5第(7)题设集合，，则（ ）A．B．C．D．第(8)题若，则（ ）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在矩形中，，，以对角线BD 为折痕将△ABD 进行翻折，折后为，连接得到三棱锥，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A．三棱锥体积的最大值为B．点都在同一球面上C．点在某一位置，可使D．当时，第(2)题在正四棱柱中，已知，，则下列说法正确的有（）A．异面直线与的距离为B．直线与平面所成的角的余弦值为C．若该正四棱柱的各顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为D．以A为球心，半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线的总长度为第(3)题已知双曲线，直线l：与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点.当点M变化时，点之变化.则下列结论中正确的是（）A．B．C．点坐标可以是D．有最大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则___________，不等式成立的的最小值为___________.第(2)题函数的部分图象如图所示，其中，，若对于任意的，，恒成立，则实数的取值范围为________．第(3)题在复平面内，复数对应的点到原点的距离是_______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，E为PA的中点，过E与底面ABCD平行的平面与棱PC，PD分别交于点G，F，M在线段AE上，且．(1)求证：BG//平面；(2)若PA⊥平面ABCD，且，求平面CFM与平面PCD所成锐二面角的余弦值．第(2)题已知函数．(1)若的最小值为，求a的值；(2)若，证明：函数存在两个零点，，且．第(3)题如图，在中，，，是的中点，在上，，以为折痕把折起，使点A到达点的位置，且二面角的大小为60°.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.第(4)题记的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，，是上一点，为角的平分线，求.第(5)题已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)若，，求满足条件的的最小值.。
数学实验 实验十二 迭代 (2) --分形
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4、龙曲线
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从Cantor集步入分形
从Cantor集步入分形前言物理学家Wheeler曾说过"谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识"，由此可见分形的重要性。
本文将从Cantor集过渡到分形，主要对分形作简要介绍。
Cantor集到分形我们先来看一下什么是Cantor集：取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为Cantor集。
很容易看出来本质就是通过一个简单的递归来构造Cantor集。
Cantor集和Koch雪花有着类似的性质，只是两者在不同的维度上，那就是：虽然Cantor集的线段数目趋于无穷，但是其极限图形长度趋于0，也即相当于一个点集。
利用Hausdorff维数方法计算Cantor集的维度，可知操作n次后：边长r=(1/3)^n，边数N(r)=2^n，根据公式D=ln N(r) / ln (1/r) , D=ln2/ln3=0.631即得康托尔点集分数维是0.631。
通过对Cantor集的简单介绍，我们发现Cantor集的维度是小数维，且其任意一部分都和整体的相似，Mandelbrot就把具有这种性质的形体叫做分形。
现在我们来具体看一下分形的科学概念：分形，具有以非整数维形式充填空间的形态特征。
通常被定义为"一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都(至少近似地)是整体缩小后的形状"，即具有自相似的性质。
接下来对这个概念进行简要的解读。
粗糙、零碎的几何形状对于粗糙或零碎的几何形状的理解，我们可以联想：弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星等。
康托集的构造过程及特征
康托集（Cantor set）是由德国数学家Georg Cantor在1874年提出的一种具有非常特殊性质的集合。
它的构造过程如下：
1. 首先，从0到1的闭区间开始。
2. 将该区间分成三等分，去除中间的1/3区间，即保留0到1/3和2/3到1两个不相交的闭区间。
3. 对于保留下来的两个区间，分别再次进行同样的操作，将每个区间分成三等分，去除中间的1/3区间。
4. 重复上述步骤，不断迭代，每次迭代后的集合是前一次迭代的两倍长。
最终得到的康托集是一个闭集，它的特征如下：
1. 康托集是一个完全不可数的集合，即它的元素个数与实数轴上的点的个数相同。
2. 康托集是一个紧致的集合，即它是一个有界闭集。
3. 康托集是一个零测度集，即它的长度为零。
尽管康托集的长度为零，但它的势 （cardinality）与实数轴上的势相同。
4. 康托集是一个无内点的集合，即它不包含任何开区间。
5. 康托集是一个完美集 （perfect set），即它是其自身的极限点集。
对于任何一个点，它的邻域内都含有康托集的其他点。
康托集在数学中具有重要的地位，它展示了非常奇特的性质，涉及到集合论、拓扑学和分形几何等领域的研究。
(5分)cator集和cator函数
它的生成方法是把一条直线等分成三段，将中间一段用夹角为600的二条等长（1/3）的折线来代替，形成一个生成单元，如图(b).然后再把每一条直线段用生成单元进行代替，经过无穷多次迭代后就呈现一条无穷多弯曲的koch曲线。用它来模拟自然界中的海岸线是相当理想的。
4.2.1自相似性
一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。人们在观察和研究自然界的过程中，认识到自相似性可以存在于物理、化学、天文学、生物学、材料科学、经济学，以及社会科学等众多的科学之中，可以存在于物质系统的多个层次上，它是物质运动、发展的一种普遍的表现形式，即是自然界普遍的规律之一。下面举几个例子来说明自相似性。
二．Cantor集与Cantor函数的基本性质
三．借助于Cantor集，给出一孤立点集，其导集是完备集
四．分形的介绍
五．纬度——性质测量工具
六．关于Cantor和纬度相关的考虑
一．Cantor集与Cantor函数的定义
1、Cantor集的定义
将基本区间[0，1]用分点1/3，2/3三等分，并除去中间的开区间 ,把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间 , ,然后再将余下的四个闭区间用同样的方法处理。 这样，当进行到n次时，一共去掉 个开区间 如此下去，就从 中去掉了可数个不相交的开区间
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从Cantor集步入分形
前言
物理学家Wheeler曾说过"谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识"，由此可见分形的重要性。
本文将从Cantor集过渡到分形，主要对分形作简要介绍。
Cantor集到分形
我们先来看一下什么是Cantor集：取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为Cantor集。
很容易看出来本质就是通过一个简单的递归来构造Cantor集。
Cantor集和Koch雪花有着类似的性质，只是两者在不同的维度上，那就是：虽然Cantor集的线段数目趋于无穷，但是其极限图形长度趋于0，也即相当于一个点集。
利用Hausdorff维数方法计算Cantor集的维度，可知操作n次后：边长r=(1/3)^n，边数N(r)=2^n，根据公式
D=ln N(r) / ln (1/r) , D=ln2/ln3=0.631
即得康托尔点集分数维是0.631。
通过对Cantor集的简单介绍，我们发现Cantor集的维度是小数维，且其任意一部分都和整体的相似，Mandelbrot就把具有这种性质的形体叫做分形。
现在我们来具体看一下分形的科学概念：分形，具有以非整数维形式充填空间的形
态特征。
通常被定义为"一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都(至少近似地)是整体缩小后的形状"，即具有自相似的性质。
接下来对这个概念进行简要的解读。
粗糙、零碎的几何形状
对于粗糙或零碎的几何形状的理解，我们可以联想：弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星等。
而这些又是传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。
也就是自然界的一些分形，可以说分形无处不在，这或许在某种程度上也验证了Wheeler的那句话。
非整数维
生活在三维世界的我们接触的都是整数维的形体，对于小数维可能无法理解，但它确实是存在的。
我们利用之前提到的Koch曲线简单介绍一下分维。
Koch 曲线整体是一条无限长的线折叠而成，显然用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0(此曲线中不包含平面)，那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数(即分数)了，也就是分维。
至于维度的计算方法，可以利用上面提到的Hausdorff维数法计算。
Koch 曲线的每一部分都由4个跟它自身比例为1:3的形状相同的小曲线组成，那么我们可计算其维度为d=log(4)/log(3)=1.26185950714...。
那么在某种意义上我们是不是就可以构造任意维数的图形，我们猜测维数是连续的。
而事实确实这样，Mandelbrot就曾提出:我们之所以无法用几何语言去描述这些怪物，是因为我们是在维数为整数的空间中，用维数同样是整数的"尺
子"对其丈量、描述。
而维数不应该仅仅是整数，可以是任何一个正实数。
只有在几何对象对应的维数空间中，才能对该几何体进行合理的整体或局部描述。
以Koch曲线为例，其维数约为1.26，我们应用同样为1.26维的尺子对其进行描述，比如取该曲线前1/4段作为单位为1的尺子去丈量这个几何体，此几何体长度为4。
也正是因其维数介于1维与2维之间，所以此几何体在1维下长度为无穷大，2维下面积为零。
分形的类别
分形主要有以下三种分类：
逃逸时间系统:复迭代的收敛限界。
例如:Mandelbrot集合、Julia集合、Burning Ship分形
迭代函数系统:这些形状一般可以用简单的几何"替换"来实现。
例如:康托集合、Koch雪花、谢尔宾斯基三角形、Peano曲线等等。
吸引子:点在迭代的作用下得到的结构。
一般可以用微分方程确立。
例如:Lorenz吸引子。
小结
Cantor集是一个一维空间认知的集合，数学家们在后续又发现了Sierpinski 三角形及Menger海绵。
在某种形式上，我们可以理解为Sierpinski三角形是Cantor集在二维空间的推广，而Menger海绵是Cantor集在三维空间的推广。
Cantor集和它们的维数是非整数维数且是渐增的，分别为0.63、1.58、2.72，而它们长度、面积、体积则皆为0。
这或许有点颠覆我们的现象，那么我们不妨更加大胆一些，想象一下如果我们生活在一个分数维的空间会怎么样？。