康托尔三分集
康托尔集合
康托尔三分集的性质及其证明06级数学系本科班祁晓庚074001061050摘要：简述康托尔三分集的定义，介绍它的六个性质并分别对每个性质进行证明。
关键词：康托尔三分集闭集 不可列 完全集1、什么是康托尔三分集将基本区间［0,1］用分点-，-与三等分，并除去中间的开区间（丄 上）3333把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间（ 丄，-），（-，-）。
9999然后再将余下的四个闭区间同法处理，如此等等。
这样便得到康托尔三分集P 。
与开集G 0。
P 。
是G 。
的补集2、康托尔三分集的性质及证明（1） P 。
是一个闭集，不含有任何区间这是显然的，G 。
是任意个开集的并，所以G 。
仍是开集，P 。
是G 。
的补集，所以P 。
是闭集。
这表明不含有任何区间的闭集是存在的（2） P 。
是完全集证明：要证P 。
是完全集即证它不含有孤立点。
假设P 。
有一孤立点X 。
，则存在（a ，B ）使（a ，B ）中不含P 。
中除X 。
以外的任一点。
所以（a ，x 0 ） - G 0， （ x 0， B ）- G 0。
）3 73，8 孑25331 2U（孑，F ） 孚）U (3)于是X。
将成为G。
的某两个区间的公共端点，但由于G。
的做法是不可能所以不存在这样的点X。
，与假设矛盾，所以得证P o是完全集（3）P o是不可列的证明：假设P o是可列的，将P o中点编号成点列X i，X2，…，X k…，也就是说，P o中任一点必在上述点列中出现。
显然，0,丄与-,1中应1 3」］3」有一个不含有X i，用I i表示这个闭区间。
将I i三等分后所得的左与右两个闭区间中，应有一个不含X2，用°表示它。
然后用13表示三等分° 时不含X3的左或右的那个闭区间，如此等等。
这样，根据归纳法，得到一个闭区间列｛1讣kN。
由所述取法知，l i 二丨 2 二…二I k 二…，X k? I k，k N，同时，易见I k的长为 % T 0 （kT «）o于是根据数学分析中区间套定理，存在点X ? I k，k? N。
分形几何
分形几何作者：来源：《初中生世界·九年级》2014年第08期分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学. 相对于传统几何学的研究对象为整数维数，如零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空，分形几何学的研究对象为分数维数，如0.63、1.58、2.72. 因为它的研究对象普遍存在于自然界中，比如云彩、闪电、山脉、树枝、蕨叶以及生物细胞等，因此分形几何学又被称为“大自然的几何学”.康托尔三分集1883年，德国著名数学家康托尔构造了一个奇异的集合：取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，将剩下的两段各再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段各再三等分，这样一直继续操作下去，直至无穷，便可得到康托尔三分集.皮亚诺曲线取一个正方形并把它分成4个相等的小正方形，然后从左上角的正方形开始至左下角的正方形结束，依次将小正方形的中心连接起来；下一步把每个小正方形再分成4个相等的正方形，然后按上述方式把其中心连接起来……如此继续不断作下去，以至无穷，也便形成了一条皮亚诺曲线.一般来说，一维的直线是不可能填满二维的平面的，但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例.谢尔宾斯基三角形垫片1915～1916年，波兰数学家谢尔宾斯基构造了这样一种图形：将边长为1的等边三角形均分成四个小等边三角形，去掉中间的一个小等边三角形，再对其余3个小等边三角形进行相同操作，这样操作继续下去直至无穷，所得图形称为谢尔宾斯基三角形垫片. 我们可以发现，剩下的三角形面积在不断操作下趋近于零，但它的周长却趋近于无限大.谢尔宾斯基地毯谢尔宾斯基地毯的构造与谢尔宾斯基三角形相似，区别仅在于谢尔宾斯基地毯是以正方形而非等边三角形为基础的. 将一个实心正方形划分为3×3的9个小正方形，去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到谢尔宾斯基地毯.门杰海绵与谢尔宾斯基金字塔奥地利数学家门杰从三维的单位立方体出发，用与构造谢尔宾斯基地毯类似的方法，构造了门杰海绵（1999年以前，大部分分形著作中，均误称之为谢尔宾斯基海绵）；谢尔宾斯基用与构造谢尔宾斯基三角形垫片类似的方法，构造了谢尔宾斯基金字塔. 这是两座宏伟的集合大厦，里面有无数的通道，连接着无数的门窗. 这种“百孔千窗”、“有皮没有肉”的结构的表面积是无穷大，它们是由反复挖去一拨比一拨小的立体所生成，是化学反应中催化剂或阻化剂最理想的结构模型.海岸线有多长1967年，数学家曼德尔布罗在著名的《科学》杂志上发表了一篇奇怪的文章《英国的海岸线有多长》，使人们大吃一惊. 原来海岸线长度不是一个固定不变的数值. 海岸线的长短取决于人们所用的尺. 如果用1千米的尺子测量，小于1千米的弯弯曲曲的海岸线便会被忽略；如果用1米的尺子测量，便会增加许多弯曲的部分，海岸线必然大大增大；如果让蜗牛来测量，海岸线必然大得惊人.曼德尔布罗波兰裔法国数学家曼德尔布罗是分形几何的创始人. 他的科学兴趣极其广泛，具有极强的创造能力和形象思维能力，利用计算机开创了一门崭新的分形几何学.。
实变函数：第五次课(第三版)
0
证法 1. 易证 E1 x : x R1, f x a 是开集，而 F E1c ， 故 F 是闭集. 证法 2. 任取点列 xn F , 使xn x0 n ,要证x0 F .
事实上，因为 xn F , f xn a.令n ,由f 的连续性 和极限的保号性， f x0 n f xn a,x0 F . F 是闭集. lim
外测度的性质的证明： （1） 明显.
(2) 设 A B ， 对于任意一列其并集能覆盖 B 的开区间 Ii 也一 定能覆盖 A， A B Ii ， m A u Ii , m* A inf u m*B .
* i=1 i 1
(3)对于任意常数 0, 由外测度定义，对于任意 n,都应有开区 间序列 I n,m m1 ，使
是 R1 中一列单减的非空闭集，但是它们的交集是空集.
第三章
测度论
引言
§1. 外测度
定义 设
n 1
E Rn
， I n 1 是R n 中 的 开 区 间 的 一 个 序 列 ， n
I
n 1
n
E , 则 I n
确定一个非负的实数 u（也可能是 ）.所有这
样得出的 u 所组成的数集是下方有界的，它的下确界称为 E 的（勒贝格）外测度，记为 m*E.当然m*E也可能等于 .有
0 m E inf I n E I n n 1
*
n1
外测度的性质： （1） 对任何 E Rn , m*E 0 非负性.m* 0 （2） 若 A B, 则m* A m*B （单调性）
康托尔三分集定义
康托尔三分集定义嘿，朋友们！今天咱来聊聊一个特别神奇的东西——康托尔三分集。
你说这康托尔三分集啊，就像是一个神秘的迷宫。
想象一下，有一条线段，咱把它分成三段，然后把中间那一段去掉，接着对剩下的两段再重复这个操作，一直这么搞下去。
这像不像我们小时候玩的那种拆了又装、装了又拆的玩具呀！但可别小瞧了它，这里面的学问大着呢！你可能会问啦，这有啥特别的呀？嘿，这特别的地方可多啦！它虽然是由这么一次次去掉中间部分得到的，但是它里面的点可多了去了。
而且这些点的分布啊，特别有规律，又好像没规律，就像天上的星星，看似杂乱无章，其实有着某种我们还没参透的奥秘。
康托尔三分集还有个很神奇的特点，就是它的长度会越来越短，但里面的点却不会减少。
这多有意思呀！就好像一个口袋，虽然越变越小，但是里面装的东西却一点没少。
你说神奇不神奇？咱再想想，生活中是不是也有很多这样看似简单，实则蕴含着无穷奥秘的东西呢？比如说，天上的云，每一朵看起来都差不多，但仔细观察，每一朵都有它独特的形状和变化。
这和康托尔三分集是不是有点像呢？都是看似普通，却有着我们还没完全搞明白的奇妙之处。
而且啊，康托尔三分集在数学里可有着重要的地位呢！它让数学家们着迷，不断地去探索它背后的秘密。
这就好像是一个宝藏，吸引着无数人去挖掘。
你说，我们的世界是不是充满了这样神奇的东西呀？我们每天都在和各种奇妙的现象打交道，只是有时候我们没有留意罢了。
康托尔三分集就是这样一个提醒，让我们多去观察、多去思考，也许就能发现那些隐藏在平凡之中的伟大。
所以啊，别小看了任何一个看似普通的东西，说不定它里面就藏着像康托尔三分集这样的大秘密呢！让我们带着好奇的心，去探索这个丰富多彩的世界吧！。
康托尔三分集是第二纲集
康托尔三分集是第二纲集摘要：1.康托尔简介2.康托尔三分集的概念3.康托尔三分集的性质与应用4.康托尔三分集与其他集合论概念的关联5.康托尔三分集在实际问题中的应用案例正文：康托尔（Georg Cantor）是一位德国数学家，他对集合论的发展作出了巨大贡献。
在他的研究过程中，他提出了一种特殊的集合，被称为康托尔三分集。
这个名字来源于集合的构造方式，即通过对一个给定的集合进行三次划分，最终得到一个新的集合。
接下来，我们将详细了解康托尔三分集的概念、性质及其应用。
康托尔三分集是这样构造的：假设有一个集合A，首先将其划分为两个子集B和C，使得B中的元素数量是C中元素数量的一半。
接着，将B和C分别划分为两个子集D和E，使得D中的元素数量是E中元素数量的一半。
最后，将D和E合并成一个新集合，这个新集合就是康托尔三分集。
康托尔三分集具有以下性质：1.它是一个无穷集合。
2.集合中的元素可以根据某种方式排列，例如按照大小顺序。
3.集合中的元素具有某种特定的分布规律，例如均匀分布。
康托尔三分集在实际问题中有很多应用，例如在概率论、统计学和计算机科学等领域。
以下是一个应用案例：假设有一个包含n个元素的集合，我们想要计算其中的某个子集的概率。
为了简化问题，我们可以将这个集合划分为两个子集，其中一个子集包含n/2个元素，另一个子集包含n/2个元素。
接着，我们将这个过程重复两次，得到一个四级划分。
根据康托尔三分集的性质，我们可以知道，原集合中的任意一个子集，都可以通过这个过程得到。
因此，我们可以用康托尔三分集来估计原集合中某个子集的概率。
总之，康托尔三分集是一个有趣的集合论概念，它不仅在理论研究中具有重要意义，而且在实际问题中也具有广泛的应用。
Cantor集的性质及其应用
Cantor集的拓展及其应用黄玉霞指导老师：郭金生（河西学院数学与应用数学专业2012届1班09号, 甘肃张掖734000）摘要本文对Cantor三分集进行了拓展,也就是以五分法构成了Cantor集,然后讨论在此分下Cantor集的相关性质及应用.关键词Cantor集; 测度; 稠密集; 完备集中图分类号O174The Expandability and Applications of Cantor SetHuang Yuxia Instructor Guo Jinsheng（No.09,Class1 of 2012.Specislty of Mathematics and Applied Mathematics,Hexi University,Zhangye,Gansu,734000）Abstract: This paper expands Cantor set ,as well as makes Cantor set by dividing it into five parts, then discusses it’s related properties and applications in this situation.Keywords: Cantor set; measure; dense set; exhaustive set1 引言Cantor三分集是由德国数学家康托尔在研究三角级数问题时构造出来的一个特殊点集,具有许多显著和深刻的性质.它是人类理性思维的产物,并非某个现实原型的摹写,尤其是用传统的几何术语很难对他进行描述.它既不是满足某些简单条件的点的轨迹,也不是一个简单方程的解集,可以说,它是一种新的集合对象.厦门大学数学科学学院的伍火熊通过分析康托三分集的构造过程,剖析了其构造思想的本质特征在于对所给闭区间进行奇数次对等划分,去掉中央开区间后对存留的每一个闭子区间作同样的处理的无限构作过程.董大校指出康托尔集的构造过程是一个无穷操作或迭代过程.本文主要说明康托尔五分集与三分集具有完全相同的奇特性质,康托尔三分集的构造方法的奇特性并非偶然,它适用于由任何正奇数分得的集合,康托尔集巧妙构思和它奇特性质在解决实变函数中一些典型例题中起了重要作用.2 预备知识=(E'表示E的导集),则称E为完备集或完全集.定义2.1[1]设nE R⊂,如果E E'定义2.2[2] 凡和全体正整数所成集合Z +对等的集合都称为可数集,不是可数集的无限集合,称为不可数集.定义2.3[3] 若两个集合A ,B 之间存在着一一的到上的映射,则A 与B 是对等的,记为A B .此时也称A 与B 等势或者有相同的基数,记为A ==B =.定义2.4[4] 设E 为n R 中的一个点集,0x 是n R 中的一个定点,若0x 附近全是E 的点,即0,δ∃>使0(,)U x E δ⊂,则称0x 为E 的内点.定义2.5[5] 设A ,B 是直线上的两个点集,如果B 中每一点的任一环境中必有A 的点,那么称A 在B 中稠密.如果直线上的点集S 在每一个不空的开集中都不稠密,就称S 是疏朗集或无处稠密集.定理1.1(闭集的构造定理) 直线上的闭集F 或是全直线,或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区间（即F 的余区间）所得到的集.3 主要内容3.1 Cantor 集的构成(1)将闭区间[0,1]R ⊂三等分,去掉中间一个()02个个长度为13的开区间12,33⎛⎫⎪⎝⎭,记作1F ;剩下两个()12个长度均为13的闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦,分别记为11G 和21G ;(2)将剩下的两个闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别继续三等分,去掉其中间两个()12个长度为213的开区间12,99⎛⎫ ⎪⎝⎭和78,99⎛⎫⎪⎝⎭,分别记为12F 和22F ,剩下的四个()22个小闭区间,分别是10,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦,23,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦,67,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦和8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦,分别记为123222,,G G G 和42G ;(3)如此继续下去,第次n 去掉12n -个长度为13n 的开区间1221,,,-n n n n F F F ,剩下2n 个长度为13n 的闭区间,记为12,,n n G G nn G 2, ;上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系见表1:第1次分割第2次分割第3次分割第n 次分割开区间个数 02 12 22 12n -闭区间个数 12 22 32 2n小区间长度1321331313n表1(4)将上述过程无限进行. 最终得到一集合列12211n n n G G GG=()=1,2n ，.作点集P =1n n G ∞=,则称P 为Cantor 集.3.2 对Cantor 集构造方法的拓展基于Cantor 三分集巧妙的构造方法,尝试将闭区间[0,1]五等分、甚至任意正奇数等分.3.2.1 将闭区间[0,1]五等分,进行构造(1)将闭区间[0,1]R ⊂五等分,去掉中间两个()12个长度为15的开区间12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭和34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,记作11F 和21F ;剩下三个长度均为15的闭区间10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦,23,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦,分别记为11G ,21G 和31G ;(2)将剩下的三个闭区间1[0,]5,23[,]55和4[,1]5分别继续五等分,然后去掉其中间六个长度为215的开区间2212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,2234,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,221112,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,221314,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,222122,55⎛⎫ ⎪⎝⎭222324,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 分别记为12F ,22F ,345222,,F F F 和62F .剩九个小闭区间,分别为210,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦2223,,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,241,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2211,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,221213,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2143,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2421,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,222223,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,224,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 分别记为123222,,G G G ,42G ,52G ,62,G 72,G 82G 和92G ;(3)如此继续下去,第n 次去掉()1221n -+个长度为15n 的开区间()122112,,,n n n nF F F-+,剩下3n 个长度为15n的闭区间,记为12,,n n G G nn G 3, ; 上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系见表2:第1次分割 第2次分割 第3次分割第n 次分割开区间个数 023⨯ 123⨯223⨯ 123n -⨯闭区间个数 1323 333n小区间长度15 21531515n表2(4)将上述过程无限进行.最终得到一集合列12311n n n G G GG=()=1,2n ，.作点集2P =1n n G ∞=.在下面3.3中可证得2P 具有与Cantor 三分集完全相同的性质.3.2.2 对于任意给定的正奇数21k +()k N +∈.(1) 将闭区间[0,1]进行21k +等分,并去掉中间的第2,4,k 2 个开区间1112(,)2121F k k =++,2134(,)2121F k k =++,,1212(,)2121k k kF k k -=++记留存部分为1G ,即111111k G G G G +=1232[0,][,][,1]21212121kk k k k =++++. (2) 将剩下的1k +个闭区间分别继续五等分,并去掉每一等分闭区间中的第2,4,,2k 个中间开区间;记1G 中留下来的部分为2G , (3) 如此继续下去,第n 次去掉()11n k k -+个长度为()121nk +的开区间,剩下()1nk +个长度为()121nk +的闭区间,记为()112,,,nk n n nG G G +; 上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系件表3:第1次分割 第2次分割 第3次分割第n 次分割开区间个数 ()01k k + ()11k k +()21k k +()11n k k -+闭区间个数 1k +()21k + ()31k +()1nk +小区间长度121k + ()2121k +()3121k +()121nk +表3(4) 将上述过程无限进行. 最终得到一集合列()11211nk n nG GGG +=()=1,2n ，.作点集k P =1n n G ∞=.3.3 五分法下Cantor 集2P 的性质性质3.3.1 2P 是闭集.证明 由2P 的构造过程可知,第一次去掉的开区间为11F 和21F ,第二次去掉的开区间为1234522222,,,,F F F F F 和62F ,那么由表2知,第n 次去掉的是11223,,,n n n n F F F -⨯,依次下去,可以推想,共去掉的开区间可表示为12311n m n n m F -∞⨯==,则123211[0,1]\n m n n m P F -∞⨯===,由闭集构造定理知2P 为闭集.性质3.3.2 2P 是完备集.证明 由于2P 的邻接区间的作法,它们中的任何两个之间根本不存在公共的端点故2P 没有孤立点,因而2P 自密,又2P 是闭集,因此2P 是完备集.性质3.3.3 2P 没有内点.证明 在2P 的作法中,“去掉”过程进行到第n 次为止时,剩下3n 个长度是15n的互相隔离的闭区间,因此任何一点02x P ∈必含在3n 个闭区间的某一个里面.从而在0x 的任意邻域01(,)5n U x 内至少有一点不属于2P ,但105n →()n →∞,故0x 不是2P 的内点.性质3.3.4 2[0,1]\P 是可数个互不相交的开区间,其长度之和为1.证明 在2P 的构造过程中,第n 次去掉的123n -⨯个长度为15n 的开区间,因2[0,1]\P中互不相交的开区间之和为11235n nn -∞=⨯∑1222323555n n-⨯⨯=+++ 11233(1)555n n --=⋅+++1=. 性质3.3.5 2P 是零测度集.证明 用2c P 表示[0,1]上2P 的余集,则22[0,1]\c P P =.由性质3.3.4知()21cm P =.故()()()22[0,1]c m P m m P =-110=-=.性质3.3.6 2P 是不可数集.证明 假设2P 是可数的,将2P 中点编号成点列1x ,2x ,,k x ,,也就是说,2P 中任一点必在上述点列中出现.显然,1[0,]5,23[,]55与4[,1]5中应至少有一个不含有1x ,用1G 表示这个闭区间.将1G 五等分后所得的三个闭区间中,应至少有一个不含2x ,用2G 表示它.然后用3G 表示五等分2G 时不含3x 的那个闭区间,如此下去.由归纳法,得到一个闭区间列{}k kN G ∈.由上述取法知,1G ⊃2G ⊃⊃k G ⊃,,k x ∉k G ,k ∈N ,同时,易见k G 的长为()105k k →→∞.于是根据数学分析中区间套定理,存在点∈ξk G ,k ∈N .可ξ是k G 的端 点集的聚点,从而是闭集2P 的聚点,故∈ξ2P .由于上面已指出k x ∉k G ,k ∈N ,故≠ξk x ,k ∈N .这是一个矛盾.故2P 不可数.性质3.3.7 2P 非空.证明 从2P 的构造过程来看,每个区间的端点,例如0,125,23,,12525这样的端点都是被保留下来的,故2P ≠∅.性质3.3.8[6] 2P 不含任何区间.证明 由2P 的构造过程可知,第n 次分割后的第i ()1,2,,3n i =个小区间的长度为10()5n n L n =→→∞ 故2P 中不含任何区间. 性质3.3.9 2P 是疏朗集.证明 由2P 的构造,02x P ∀∈和0ε>,0(,)U x ε内包含有无穷多个被去掉的小区间,因此02(,)U x P ε⊄,即2P 在0(,)U x ε中不稠密,根据定义2.5即得2P 是疏朗集. 性质3.3.10 2P 没有孤立点.证明 由性质3.3.1知2P 是闭集,又由闭集构造定理知,闭集的孤立点一定是它的两个余区间的公共端点,由2P 的构造过程知,这样的公共端点是不存在的,即2P 没有孤立点.性质3.3.11 2P 与R 对等.证明 由性质3.3.6知,2P c ==,又R c ==,从而2P R .由此说明2P 中的点与R 中的一样多.又因为2P ⊂[0,1]⊂R ,由此说明,“部分小于全体”的结论在无穷集合中是不成立的.4 Cantor 集的应用Cantor 集的巧妙构思和它奇特的性质为构造一些反例提供了启示,也为一些题目的证明与求解带来的方便,下面将分别举例来说明.4.1 Cantor 集在反例中的应用.例1 孤立点集必是疏朗集,而疏朗集未必是孤立点集. 例如 Cantor 集中的任一元都是疏朗集,但不是孤立点集. 例2 存在R 中零测度集E ,使得对每个x E ∈及任意0δ>,有E(0,x δ-)0x δ+为不可数集.此题中可取{},E P Q x y x P y Q =+=+∈∈.其中P 为Cantor 集,Q 为有理数集.例3 在[]0,1上做出的完备疏朗集的测度必为1. 反例 2P 是[]0,1上的完备疏朗集,但其测度为零.例 4 可数集的测度为零,但测度为零的集合未必都是可数集. 反例 2P 的测度为零,但它是不可数集. 4.2 Cantor 集及其性质在证明题中的应用.例1[8] 无理数在R 中是稠密的,但由无理数组成的疏朗的完全集是存在的.证明 任取两个无理数α和β()αβ<,设闭区间[],αβ中有理数为{}12,,,,n r r r ,仿照Cantor 集的构造法,第一步,从[],αβ中挖掉开区间1F ,1F 满足以[],αβ的中点为中点,长度小于βα-且包含1r ;从余下的两个闭区间中挖掉与1F 性质类似的两个开区间12F 和22F ,且使122r F ∈,232r F ∈,如此这样做下去,[],αβ中余下的即是一个由无理数组成的疏朗的完备集.例2 设P 是Cantor 集,E 在[]0,1中为不可数集,在[]0,1上定义函数[]22,,()4,0,1.x x P E f x x x PE +∈⎧⎪=⎨+∈-⎪⎩判断()f x 在[]0,1上是否可测.解 由性质3.3.5知,0mP =.又P E P ⊂,由测度的非负性及单调性,有()0m PE ≥,()m PE mP ≤故()0m PE =即2()4f x x →+.a e 于[0,1],从而()f x 在[0,1]上可测.例3 设()f x 在集合2P 上为1,而在2P 的补集G 中的长度为15n的构成区间上()f x 为n ,求积分10()f x dx ⎰.解 记n G 为G 中长度为15n 的各个开区间之并,则nG 有123n -⨯个长度为15n的开区间且115n n G ∞==∑,1235n n nmG -⨯=. 由题意知21,,()(1,2,),.x P f x n n x G ∈⎧==⎨∈⎩1()f x dx ⎰=2()()P G f x dx f x dx +⎰⎰=21()nP G n f x dx ndx ∞=+∑⎰⎰1nG n ndx ∞==∑⎰=1n n n mG ∞=⋅∑=111235n n n n ∞-=⋅⨯⋅∑=12335nn n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ 令12335nN N n S n =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑,则11323535n N N n S n +=⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑. 21323333535555N N N N S S N +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即23211555NN S N ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭535252NN S N ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5355lim lim 2522N N N N S N →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故105()2f x dx =⎰.5 小结综合上述内容,根据Cantor 三分集的构造特征,对其构造进行了拓展,即以五分法构成了2P ,并对集合2P 所具有的性质做了探究证明,进而发现在五分法下构成的集合2P 具有与Cantor 三分集完全相同的奇特性质.从而揭示了Cantor 三分集这种奇特的构造方法并非偶然.之后通过实例将Cantor 三分集、五分集及其性质得以运用,特别是在范例中的运用破除了一些似是而非的错觉,体现了Cantor 集在数学问题的解决中的重要性. 致谢 诚挚的感谢郭金生老师的悉心指导！参 考 文 献[1]于兴太,杨明顺.Cantor 三分集构造方法探究[J].江西科学学报,2010,28(2):147-149. [2]程其襄等.实变函数与泛函分析基础[M].三版.高等教育出版社,2010,6. [3]刘培德.实变函数教程[M].科学出版社,2006.[4]徐森林,薛春华.实变函数论[M].清华大学出版社,2009,8.[5]夏道行,吴卓人等.实变函数论与泛函分析[M].二版.高等教育出版社,2010,1. [6]熊国敏.谈谈Cantor 集[J].安顺师专学报,2002,4(4):53-55.[7]王有一.Cantor 集合的应用[J].宝鸡文理学院学报(自然科学版),1994,1(1):122-125. [8]董大校.Cantor 集性质的应用[J].玉溪师范学报2009,25(8):18-22.。
contor集的结构及性质
contor集的结构及性质在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。
通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。
虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。
康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。
取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔点集，记为P。
称为康托尔点集的极限图形长度趋于0，线段数目趋于无穷，实际上相当于一个点集。
操作n次后边长r=(1/3)^n，边数N(r)=2^n，根据公式D=lnN(r)/ln(1/r) , D=ln2/ln3=0.631。
所以康托尔点集分数维是0.631。
康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于非均匀分布状态。
此点集具有自相似性，其局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。
康托三分集具有（1）自相似性；（2）精细结构；（3）无穷操作或迭代过程；（4）传统几何学陷入危机。
用传统的几何学术语难以描述，它既不满足某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单方程的解集。
其局部也同样难于描述。
因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在。
（5）长度为零；（6）简单与复杂的统一。
康托尔集P具有三条性质：1、P是完备集。
2、P没有内点。
3、P的基数为c。
4、P是不可数集。
康托尔集是一个基数为c的疏朗完备集。
Cantor三分点集的连续像
Ｆ． Ｄｒ ｅ ｈ ｅ ｒ Ｔ． Ｓ ａ ｍｕ ｅ ｌ
摘 要 Ｈａ ｕ ｓ ｄ ｏ ｒ ｆ － Ａ ｌ ｅ ｘ ａ ｎ ｄ ｒ ｏ ｆ（ 豪斯 多夫 一亚历 山德 罗夫） 定理 说，任 意 紧度 量 空 间都是 Ｃａ ｎ ｔ ｏ ｒ （ 康托 尔）三分 集 Ｃ 的连 续像 ．众所周知 ，存 在基数 （ ｃ ａ ｒ ｄ ｉ ｎ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ ）
在本文 中， 我 们感 兴趣 的是 Ｈａ ｕ ｓ ｄ ｏ ｒ ｆ － Ａ ｌ ｅ ｘ ａ ｎ ｄ ｒ ｏ ｆ定理能 否被强化 ． 为 了避 免对 紧性 条件 的任何 误解 一 一这 也许源 于不 同 的命 名 习惯 ，我 们将 明确地 定 义我 们所说 的 “ 紧” ．
１ ） 原文意为 ‘ ｌ 把单位 区间 【 ０ ， １ 】 分为 ３部分 ’ ． —— 译注
・
３ ８１ ．
ｆ ６ ）集合 是 Ｈ ａ ｕ ｓ ｄ ｏ ｒ ｆ的 ． （ ７ ）集合 是正 规 的 （ ｎ ｏ ｒ ｍａ １ ） ．
（ ８ ）集合 的基数等于连续统的基数． （ ９ ） 的一维 Ｌ ｅ ｂ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ 测度和外 Ｊ ｏ ｒ ｄ ａ ｎ（ 若尔当） 容度 （ ｃ ｏ ｎ ｔ ｅ ｎ ｔ ） 都等于 ０ ． （ １ ０ ）集合 Ｃ是一个 自 相似集，其 Ｈ ａ ｕ ｓ ｄ ｏ ｒ ｆ维数等于 ｌ ｏ ｇ （ ２ ） ／ ｌ ｏ ｇ （ ３ ） ．
它是 由Ｈ． Ｓ ｍｉ ｔ ｈ【 ６ ］ 和Ｇ ． Ｃ ａ ｎ ｔ ｏ ｒ ［ ２ 】 引进的． 通过把单位区间 ［ ０ ， １ 】 等分为 ３ 部分， ） 除去
中 间的开 区间， 然 后继续 这个过 程 ， 使得 在每 一步剩 下的子 区间被类似地 分为 ３ 部分 ，再 除去 中 间的开 区 间这 样 的简单步 骤 ，生 成 了 Ｃ ａ ｎ ｔ ｏ ｒ 的三 分集 ．无 止境 地继续 这个过 程 ，
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康托尔三分集的性质及应用
摘要：本文通过对康托尔三分集的定义的描述，这里将康托尔三分集记为P，经过分析康托尔三分集的定义方法可以得出P为闭集，以及对其性质的讨论，得到（其四个重要的性质，分别为：(1)P是完备集；（2）P没有内点；（3）[0，1]\P 是可数个互不相交的开区间，其长度之和为1；（4）P的基数为c。
并由此通过测度的定义及性质进一步对其测度的大小进行确定，得出其测度为零。
有了性质，我们进一步讨论康托尔三分集的应用，研究康托尔三分集对我们的数学理论和应用等方面的意义。
在此基础上有进一步分析它的不足之处。
关键词：康托尔三分集测度闭集疏朗集合
内容：
一、康托尔三分集的定义
康托尔三分集是由德国数学家康托尔构造的，它是人类理性思维的产物，并非某个现实原型的摹写，用传统的几何术语很难对它进行描述，它既不是满足某些简单条件的轨迹，也不是一个简单方程的解集，它是一种新的几何对象。
下面我们一起来看看它的具体定义方法。
我们先将闭区间[0,1]三等分，去掉中间的开区间（1\3,2\3）,剩下两个闭区间[0,1\3]，[2\3,1]。
又把这两个闭区间个三等分，去掉中间的两个开区间，即
（1\9,2\9），（7\9,8\9）。
一般地，当进行到第n次时，共去掉1-
2n个开区间，还剩下n2个长度是n 3的互相隔离的闭区间，而在第n+1次时，再将这n2个闭区间各三等分，并去掉中间的一个开区间，如此进行下去，就从[0,1]去掉了可数个互不相交且没有公共端点的开区间，如下图所示：
又因为直线上的闭集F或者是全直线，或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区间（即F的余集）所得到的集，所以康托尔三分集为闭集。
并且我们把康托尔三分集记为P。
二、康托尔三分集的性质
1、P为完备集
由于P的临界区间的作法，它们的任何两个之间根本不存在公共端点，故P 没有孤立点，因而P自密，又因为P为闭集，因此P为完备集。
2、P没有内点
我们观察P的做法，不难看出，去掉过程进行到第n次为止时，剩下n2个长
度是n -3的互相间隔离的闭区间，因此任何一点0x ∈P 必含在这n 2个闭区间的某一个里面，从而在0x 的任意邻域)3,(0n x U -内至少有一点不属于P ，但n -3→0（n →∞）,故0x 不可能是P 的内点。
P 既然是没有内点的闭集，那么在任一开区间I 内必至少含有开集c P 的一点，从而I 内比至少有一子开区间，其中不含P 的点。
在这里我定义凡是一个点集E （不限于1R 中），如果其具有性质：空间任意邻域内至少包含某点的一个邻域，其中不含E 的点，则称E 为疏朗集合。
因此P 为一个疏朗集合。
3、[0，1]\P 是可数个互不相交的开区间，其长度之和为1。
第n 次去掉的1-2n 个长度为n 3
1区间，因此[0，1]\P 中互不相交的开区间的长度之和为1321n 1
=∑∞
=-n n ，若P 有长度，其长度只能为零，即P 的测度为0. 4、P 的基数为c 。
若[0,1]中的数用三进制小数表示，第一次去掉的区间）（3
2,31中每个数的第一小数都是1，以此类推，第二次去掉的两个区间中的每个数的第二位小数都是
一。
以此类推，第n 次去掉的1-2n 个长度为n 3
1区间的每个数的第n 位小数都是1，因此所有每位小数可以仅用0或2表示的数是永远不会去掉的。
我们又定义映射如下：P →]1,0[：ϕ对]1,0[x ∈，若∑∞
==12n n n a x ，则∑∞
==13)(n n n b x ϕ，其中⎩⎨⎧===,1,2,0,0n n n a a b 由以上分析P x ∈)(ϕ，且易知ϕ是单射，因此c P ==≥]1,0[])1,0([ϕ。
又]1,0[⊂P ，又有c P =≤]1,0[，因此c P =。
三、康托尔三分集的测度
虽然上面我们讨论康托尔的性质时说到了康托尔三分集的长度，并且说明它的测度为零，但那只是粗略的提了下，下面我们对它的测度为零进一步给出证明。
在这里我们记P 的余集为G ，即G=[0,1]-P 是开集，由直线上开集的构造，可记 ∞
==1n n G G 其中n G 为第n 次去掉的所有开区间的并集。
由康托尔三分集的作法知，n G 为1-2n 个互不相交的长度为
n
31的开区间的并，并且)(n n m G G m ≠=ϕ。
由G 可测知P=[0，1]-G 可测，而P+G=[0，1]，所以
1]1,0[m ==+m mG P ，故：
0113211)(1111
11=-=-=-=-=-=∑∑∑∞
=-∞=∞=n n n n n n n mG G m mG mP 即康托尔三分集的测度为0.
由于康托尔三分集的测度为0，由勒贝格积分的定义我们可以推出若)(x f 为定义在康托尔三分集（P ）上的函数，则有(L)⎰P
dx x f )(=0 四、康托尔三分集的应用
对一门学科，研究其性质并不是我们的最终目的，而对它的应用才是最终目的，前面我们已经对康托尔三分集的性质进行了分析研究，下面我们来进一步看它在数学、经济等方面的应用。
康托尔三分集在数学方面的应用：
由于康托尔三分集的许多奇特性质，使得其在构造反例中被广泛应用，它的研究在整个数学研究中起了十分重要的作用，使许多问题迎刃而解。
下面我们举例说明它的具体用处。
命题1 可列集的测度为零，但测度为零的集合不一定为可列集。
例如康托尔三分集的测度为零，但它为不可列集。
命题2 如果A 、B 为R1上的正测集，则A+B 包含一个区间。
反之不成立，即A+B 包含一个区间，但可能m(A)=m(B)=0。
例如A 、B 均为康托尔三分集时就是其中的反例
康托尔三分集在数学中还有其它的应用在这里不一一举例，我们来看下它在经济方面的应用，由于康托尔三分集是将一条直线分割成三份，去掉一份，留下两个线段，把剩下的两份线段各自再分割成为两份，连续重复删去三分之一线段，保留两个线段，而这两个线段将形成四个相同的线段，这个过程循环往复，被切割为无限多个线段其长度是一样的，这是转变中的自相似性和对称性，可以应用于股价的量度上在新股群体中寻找目标，我们发现，上市后即暴跌的新股，在经过暴跌后一定会产生对称性反弹。
我们可以选择新股上市后创出的最高价，将之视为一条直线，将其连续切割两次，每一次都分割成三份，最终把分割结果累加为四份，而这将会是新股从最高价下跌的终点站，并且会由此价位开始反弹。
应用这个原理我们可以进一步分析股票的涨跌情况。
五、康托尔三分集的不足
康托尔三分集是最早出现的分形。
首先，它具有自相似性，即其局部与整体彼此相似，这是分形的一个重要特征。
其次，它是无穷操作或迭代的结果，呈现出一种特别精细的结构这种奇异的几何图形，但即便如此康托尔三分集还是有明显的不足，那就是没有将极限引入定理之中，对于很多问题都无法用极限来解决。
另外康托尔三分集的构造是基于集合论的一种集合的划分方法，在集合论上还能进一步推广。
这两个问题都有待我们去进一步解决。