康托尔集合论共17页
标准康托尔集的定义
标准康托尔集的定义康托尔集是德国数学家康托尔在19世纪提出的一个重要概念，它是集合论中的一个重要概念，对于集合论的发展有着重要的影响。
康托尔集的定义对于我们理解集合论和数学基础有着重要的意义，下面我们将对标准康托尔集的定义进行详细的介绍。
首先，我们来看一下康托尔集的定义。
康托尔集是指一个无限集合，其基数大于可数集合，但小于连续集合。
简单来说，康托尔集是介于可数集合和连续集合之间的一类集合。
康托尔集的特点是具有无限的基数，但不同于连续集合的基数。
康托尔集的定义对于我们理解无限集合的性质和分类有着重要的意义。
其次，我们来看一下康托尔集的构造。
康托尔集的构造是通过对实数区间的分割来实现的。
具体来说，我们可以通过二进制小数的表示来构造康托尔集。
例如，我们可以将实数区间[0,1]分割为三等分，然后取中间的那一部分，再将这一部分分割为三等分，取中间的部分，如此循环下去，我们就可以构造出一个康托尔集。
康托尔集的构造方法对于我们理解集合的构造和基数的概念有着重要的启发作用。
最后，我们来看一下康托尔集的性质。
康托尔集具有许多重要的性质，例如它是不可数的、紧致的、完全不连通的等。
这些性质对于我们理解集合的结构和性质有着重要的启发作用。
康托尔集的性质也为我们理解实数集合和拓扑空间提供了重要的范例。
总的来说，康托尔集是集合论中一个重要的概念，它对于我们理解集合的性质和结构有着重要的意义。
康托尔集的定义、构造和性质都为我们理解集合论和数学基础提供了重要的启发和范例。
通过对康托尔集的研究，我们可以更深入地理解集合论和数学基础的重要概念，对于我们的数学学习和研究有着重要的意义。
在数学领域中，康托尔集的定义是一个重要的概念，它对于我们理解集合的结构和性质有着重要的意义。
通过对康托尔集的研究，我们可以更深入地理解集合论和数学基础的重要概念，对于我们的数学学习和研究有着重要的意义。
康托尔集的定义、构造和性质都为我们理解集合论和数学基础提供了重要的启发和范例。
《康托尔的集合论》课件
康托尔的思想和方法对数学基础研究 产生了深远的影响，推动了数学的发 展。
02
集合论的起源
集合论的背景
数学基础的探讨
19世纪数学界开始对数学的基础 进行深入探讨，寻求数学知识的 内在一致性和完备性。
数学逻辑的兴起
数学逻辑的兴起为集合论的创立 提供了重要的思想基础，为数学 的发展提供了更加严谨的框架。
图论等。
数据结构和算法
集合论中的概念如并集、交集、 差集等，在数据结构和算法设计
中有着重要的应用。
形式化方法
在计算机科学中，形式化方法是 一种基于数学的证明和推理技术 ，而集合论为其提供了数学基础
。
06
康托尔集合论的影响与评 价
对数学发展的影响
革命性的概念引入
康托尔首次提出了无穷集合的概念，打破了传统数学对无穷的限 制，为后续数学理论的发展奠定了基础。
在物理学领域的应用
测度论
在物理学中，测度论是描 述物理量大小和变化的数 学工具，而集合论为其提 供了数学基础。
概率论
物理学中的随机现象可以 通过概率论来描述，而集 合论则为概率论提供了数 学框架。
量子力学
量子力学中的波函数和状 态空间都可以用集合论的 语言来描述。
在计算机科学领域的应用
离散数学
集合论在离散数学中有着广泛的 应用，如集合运算、集合划分、
集合论的应用
集合论不仅在纯粹数学领域有广泛应用，还涉及到物理学、计算机科学、经济 学等多个领域。
03
康托尔的集合论
集合论的基本概念
01
02
03
04
集合
由确定的、不同的部分组成的 整体。
元素
集合中的一个具体部分。
子集
康托与集合论
康托与集合论康托（Georg Cantor ，1845-1918）德国数学家，19世纪数学伟大成就之一——集合论的创立人。
1845年3月3日生于俄国彼得堡一个犹太商人的家庭。
1856年全家迁居德国法兰克福。
康托先后就学于苏黎世大学、哥廷根大学、法兰克福大学和柏林大学，主要学习哲学、数学和物理。
十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。
正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集。
这是集合论研究的开端。
1874年，德国数学家康托尔在著名的《克雷尔数学杂志》上发表了关于无穷集合论的第一章革命性文章。
从1874年到1884年，康托尔的一系列关于集合的文章，奠定了集合论的基础。
他对集合所下的定义是：把若干确定的、有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，其中各事物称为该集合的元素。
集合是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的所有领域。
如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，由此可见它在数学中的重要性。
其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之一。
但是如同每一个新事物的出现一样，集合论一经问世就遭到许多数学家及其他学者的激烈反对。
当时的权威数学家克罗内克(Kronecker)非常敌视康托尔的集合论思想，时间达整整十年之久，法国数学大家庞加莱(Poincare)则预测后一代人将把集合论当作一种疾病。
在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃。
然而乌云遮不住太阳，经历二十余年后，集合论最终获得了世界公认。
到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。
数学家们乐观地认为从算术公理系统出发，只要借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。
在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了。
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2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
康托尔集合论共17页4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
ENDLeabharlann 16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
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31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
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51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
伟大的康托尔与集合论
简介集合论或集论是研究集合（由一堆抽象物件构成的整体)的数学理论,包含集合、元素和成员关系等最基本数学概念。
在大多数现代数学的公式化中,集合论提供了要如何描述数学物件的语言.集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件.在朴素集合论中，集合是被当做一堆物件构成的整体之类的自证概念。
在公理化集合论中，集合和集合成员并不直接被定义，而是先规范可以描述其性质的一些公理。
在此一想法之下，集合和集合成员是有如在欧式几何中的点和线，而不被直接定义。
对集合论的异议一开始，有些数学家拒绝将集合论当做数学的基础，认为这只是一场含有奇幻元素的游戏。
埃里特·比修普驳斥集合论是“上帝的数学,应该留给上帝"。
而且，路德维希·维特根斯坦特别对无限的操作有疑问，这也和策梅罗—弗兰克尔集合论有关。
维特根斯坦对于数学基础的观点曾被保罗·贝奈斯所批评，且被克里斯平·赖特等人密切研究过. 对集合论最常见的反对意见来自结构主义者，他们认为数学是和计算些微相关着的，但朴素集合论却加入了非计算性的元素。
拓朴斯理论曾被认为是传统公理化集合论的另一种选择。
拓朴斯理论可以被用来解译各种集合集的替代方案,如结构主义、模糊集合论、有限集合论和可计算集合论等。
集合论（Set theory)作用按现代数学观点，数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合如群、环、拓扑空间，或者是可以通过集合来定义的（如自然数、实数、函数）。
从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础.历史集合论作为数学中最富创造性的伟大成果之一,是在19世纪末由德国的康托尔（1845－1918）创立起来的。
但是，它萌发、孕育的历史却源远流长，至少可以追溯到两千多年前.无穷集合的早期研究概念集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论。
集合作为数学中最原始的概念之一，通常是指按照某种特征或规律结合起来的事物的总体。
康托尔与集合论
Word文档可进行编辑康托尔与集合论康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大得数学家,集合论得创立者.是数学史上最富有想象力,最有争议得人物之一.19世纪末他所从事得关于连续性和无穷得研究从全然上背离了数学中关于无穷得使用和解释得传统,从而引起了激烈得争论乃至严厉得责备.然而数学得进展最终证明康托是正确得.他所创立得集合论被誉为20世纪最伟大得数学制造,集合概念大大扩充了数学得研究领域,给数学结构提供了一个基础,集合论不仅妨碍了现代数学,而且也深深妨碍了现代哲学和逻辑.1．康托尔得生平1845年3月3日,乔治·康托生于俄国得一个丹麦—犹太血统得家庭.1856年康托和他得父母一起迁到德国得法兰克福.像许多优秀得数学家一样,他在中学时期就表现出一种对数学得特别敏感,并不时得出令人惊奇得结论.他得父亲力促他学工,因而康托在1863年带着那个目地进入了柏林大学.这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究得中心.康托非常早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着得世界数学中心之一.因此在柏林大学,康托受了外尔斯特拉斯得妨碍而转到纯粹得数学.他在1869年取得在哈勒大学任教得资格,不久后就升为副教授,并在1879年被升为正教授.1874年康托在克列勒得《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论得第一篇革命性文章.数学史上一般认为这篇文章得发表标志着集合论得诞生.这篇文章得制造性引起人们得注意.wwWcoM 在以后得研究中,集合论和超限数成为康托研究得主流,他一直在这方面发表论文直到1897年,过度得思维劳累以及强列得外界刺激曾使康托患了精神分裂症.这一难以消除得病根在他后来30多年间一直断断续续妨碍着他得生活.1918年1月6日,康托在哈勒大学得精神病院中去世.2．集合论得背景为了较清晰地了解康托在集合论上得工作,先介绍一下集合论产生得背景.集合论在19世纪诞生得差不多缘故,来自数学分析基础得批判运动.数学分析得进展必定涉及到无穷过程,无穷小和无穷大这些无穷概念.在18世纪,由于无穷概念没有精确得定义,使微积分理论不仅遇到严峻得逻辑困难,而且还使实无穷概念在数学中信誉扫地.19世纪上半叶,柯西给出了极限概念得精确描述.在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数得理论.正是这19世纪进展起来得极限理论相当完美得解决了微积分理论所遇到得逻辑困难.然而,柯西并没有完全完成微积分得严密化.柯西思想有一定得模糊性,甚至产生逻辑矛盾.19世纪后期得数学家们发觉使柯西产生逻辑矛盾得咨询题得缘故在奠定微积分基础得极限概念上.严格地讲柯西得极限概念并没有真正地摆脱几何直观,确实地建立在纯粹严密得算术得基础上.因此,许多受分析基础危机妨碍得数学家致力与分析得严格化.在这一过程中,都涉及到对微积分得差不多研究对象─连续函数得描述.在数与连续性得定义中,有涉及关于无限得理论.因此,无限集合在数学上得存在咨询题又被提出来了.这自然也就导致寻求无限集合得理论基础得工作.总之,为寻求微积分完全严密得算术化倾向,成了集合论产生得一个重要缘故.3．集合论得建立康托在柏林大学得导师是外尔斯托拉斯,库曼和克罗内克.库曼教授是数论专家,他以引进理想数并大大推动费马大定理得研究而闻名遐迩是.克罗内克是一位大数学家,当时许多人都以得到他得赞许为荣.外尔斯托拉斯是一位优秀教师也是一位大数学家.他得演讲给数学分析奠定了一个精确而稳定得基础.例如,微积分中闻名得观念确实是他首先引进得.正是由于这些人得妨碍,康托对数论较早产生兴趣,并集中精力对高斯所留下得咨询题作了深入得研究.他得毕业论文确实是关于++=0得素数咨询题得.这是高斯在《算术研究》中提出而未解决得咨询题.这片论文写得相当出色,它足以证明作者具有深刻得洞察力和对优秀思想得继承能力.然而,他得超穷集合论得创立,并没有受惠于早期对数论得研究.相反,他非常快同意了数学家海涅得建议转向了其他领域.海涅鼓舞康托研究一个十分有味,也是较困难得咨询题：任意函数得三角级数得表达式是否唯一?对康托来讲那个咨询题是促使他建立集合论得最直截了当缘故.函数可用三角级数表示,最早是1822年傅立叶提出来得.此后关于间断点得研究,越来越成为分析领域中引人注目得咨询题,从19世纪30年代起,很多杰出得数学家从事着对不连续函数得研究,同时都在一定程度上与集合这一概念挂起了钩.这就为康托最终建立集合论制造了条件.1870年,海涅证明,假如表示一个函数得三角级数在区间[-π,π]中去掉函数间断点得任意小邻域后剩下得部分上是一致收敛得,那么级数是唯一得.至于间断点得函数情况如何,海涅没有解决.康托开始着手解决那个以如此简洁得方式表达得唯一性咨询题.于,他跨出了集合论得第一步.康托一下子就表现出比海涅更强得研究能力.他决定尽可能多地取消限制,所以这会使咨询题本身增加难度.为了给出最有普遍性得解,康托引进了一些新得概念.在其后得三年中,康托先后发表了五篇有关这一题目得文章.1872年当康托将海涅提出得一致收敛得条件减弱为函数具有无穷个间断点得情况时,他差不多将唯一性结果推广到同意例外值是无穷集得情况.康托1872年得论文是从间断点咨询题过度到点集论得极为重要得环节,使无穷点集成为明确得研究对象.集合论里得中心,难点是无穷集合那个概念本身.从希腊时代以来,无穷集合非常自然地引起数学家们和哲学家们得注意.而这种集合得本质以及看来是矛盾得性质,非常难象有穷集合那样来把握它.因此对这种集合得理解没有任何进展.早在中世纪,人们差不多注意到如此得事实：假如从两个同心圆动身画射线,那么射线就在这两个圆得点与点之间建立了一一对应,然而两圆得周长是不一样得.16世纪,伽俐略还举例讲,能够在两个不同长得线段ab与cd之间建立一一对应,从而想象出它们具有同样得点.他又注意到正整数能够和它们得平方构成一一对应,只要使每个正整数同它们得平方对应起来就行了:1234……n……234……n……但这导致无穷大得不同得“数量级”,伽俐略以为这是不可能得因为所有无穷大都一样大.不仅是伽俐略,在康托之前得数学家大多不赞成在无穷集之间使用一一对应得比较手段,因为它将出现部分等于全体得矛盾高斯明确表态：“我反对把一个无穷量当作实体,这在数学中是从来不同意得.无穷只是一种讲话得方式……”柯西也不承认无穷集合得存在.他不能同意部分同整体构成一一对应这件事.所以,潜无穷在一定条件下是便于使用得,但若把它作为无穷观则是片面得.数学得进展表明,只承认潜无穷,否认实无穷是不行得.康托把时刻用到对研究对象得深沉考虑中.他要用事实来讲明咨询题,讲服大伙儿.康托认为,一个无穷集合能够和它得部分构成一一对应不是什么坏事,它恰恰反应了无穷集合得一个本质特征.对康托来讲,假如一个集合能够和它得一部分构成一一对应,它确实是无穷得.它定义了基数,可数集合等概念.同时证明了实数集是不可数得代数数是可数得康托最初得证明发表在1874年得一篇题为《关于全体实代数数得特征》得文章中,它标志着集合论得诞生.随着实数不可数性质得确立,康托又提出一个新得,更大胆得咨询题.1874年,他考虑了能否建立平面上得点和直线上得点之间得一一对应.从直观上讲,平面上得点显然要比线上得点要多得多.康托自己起初也是如此认识得.但三年后,康托宣布：不仅平面和直线之间能够建立一一对应,而且一般得n维连续空间也能够建立一一对应！这一结果是出人意外得.就连康托本人也觉得“简直不能相信”.然而这又是明摆着得事实,它讲明直观是靠不住得,只有靠理性才能发觉真理,幸免谬误.既然n维连续空间与一维连续统具有相同得基数,因此,康托在1879到1884年间集中于线性连续统得研究,相继发表了六篇系列文章,汇合成《关于无穷得线性点集》.前四篇直截了当建立了集合论得一些重要结果,包括集合论在函数论等方面得应用.其中第五篇发表于1883年,它得篇幅最长,内容也最丰富.它不仅超出了线性点集得研究范围,而且给出了超穷数得一个完全一般得理论,其中借助良序集得序型引进了超穷序数得整个谱系.同时还专门讨论了由集合论产生得哲学咨询题,包括回答反对者们对康托所采取得实无穷立场得非难.这篇文章对康托是极为重要得.1883年,康托将它以《集合论基础》为题作为专著单独出版.《集合论基础》得出版,是康托数学研究得里程碑.其要紧成果是引进了作为自然数系得独立和系统扩充得超穷数.康托清醒地认识到,他如此做是一种大胆得冒进.“我非常了解如此做将使我自己处于某种与数学中关于无穷和自然数性质得传统观念相对立得地位,但我深信,超穷数终将被承认是对数概念最简单、最适当和最自然得扩充.”《集合论基础》是康托关于早期集合理论得系统阐述,也是他将做出具有深远妨碍得特别贡献得开端.康托于1895年和1897年先后发表了两篇对超限数理论具有决定意义得论文.在该文中,他改变了早期用公理定义(序)数得方法,采纳集合作为差不多概念.他给出了超限基数和超限序数得定义,引进了它们得符号；依势得大小把它们排成一个“序列”；规定了它们得加法,乘法和乘方…….到此为止,康托所能做得关于超限基数和超限序数理论已臻于完成.然而集合论得内在矛盾开始暴露出来.康托自己首先发觉了集合论得内在矛盾.他在1895年得文章中遗留下两个悬而未决得咨询题：一个是连续统假讲；另一个是所有超穷基数得可比较性.他尽管认为无穷基数有最小数而没有最大数,但没有明显叙述其矛盾之处.一直到1903年罗素发表了他得闻名悖论.集合论得内在矛盾才突出出来,成为20世纪集合论和数学基础研究得动身点.4．对康托集合论得不同评价康托得集合论是数学上最具有革命性得理论.他处理了数学上最棘手得对象---无穷集合.因此,他得进展道路也自然非常不平坦.他抛弃了一切经验和直观,用完全得理论来论证,因此他所得出得结论既高度地另人吃惊,难以置信,又确确实实,毋庸置疑.数学史上没有比康托更大胆得设想和采取得步骤了.因此,它不可幸免地遭到了传统思想得反对.19世纪被普遍承认得关于存在性得证明是构造性得.你要证明什么东西存在,那就要具体造出来.因此,人只能从具体得数或形动身,一步一步通过有限多步得出结论来.至于“无穷”,许多人更是认为它是一个超乎于人得能力所能认识得世界,不要讲去数它,确实是它是否存在也难以确信,而康托难道“漫无边际地”去数它,去比较它们得大小,去设想没有最大基数得无穷集合得存在……这自然遭到反对和斥责.集合论最激烈得反对者是克罗内克,他认为只有他研究得数论及代数才最可靠.因为自然数是上帝制造得,其余得是人得工作.他对康托得研究对象和论证手段都表示强烈得反对.由于柏林是当时得数学中心,克罗内克又是柏林学派得首领人物,因此他对康托及其集合论得进展前途得阻碍作用是特别大得.另一位德国得知觉主义者魏尔认为,康托把无穷分成等级是雾上之雾.法国数学界得权威人物庞加莱曾预言：我们得“后一代将把（康托得）集合论当作一种疾病”等等.由于两千年来无穷概念数学带来得困难,也由于反对派得权威地位,康托得成就不仅没有得到应有得评价,反而受到排斥.1891年,克罗内克去世之后,康托得处境开始好转.另一方面,许多大数学家支持康托得集合论.除了狄德金以外,瑞典得数学家米大格---列夫勒在自己创办得国际性数学杂志上把康托得集合论得论文用法文转载,从而大大促进了集合论在国际上得传播.1897年在第一次国际数学家大会上,霍尔维次在对解析函数得最新进展进行概括时,就对康托得集合论得贡献进行了阐述.三年后得第二次国际数学大会上,为了捍卫集合论而勇敢战斗得希尔伯特又进一步强调了康托工作得重要性.他把连续统假设列为20世纪初有待解决得23个要紧数学咨询题之首.希尔伯特宣称:“没有人能把我们从康托为我们制造得乐园中驱逐出去.”专门自1901年勒贝格积分产生以及勒贝格得测度理论充实了集合论之后,集合论得到了公认,康托得工作获得崇高得评价.当第三次国际数学大会于1904年召开时,“现代数学不能没有集合论”已成为大伙儿得看法.康托得声望差不多得到举世公认.5．集合论得意义集合论是现代数学中重要得基础理论.它得概念和方法差不多渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门,为这些学科提供了奠基得方法,改变了这些学科得面貌.几乎能够讲,假如没有集合论得观点,非常难对现代数学获得一个深刻得理解.因此集合论得创立不仅对数学基础得研究有重要意义,而且对现代数学得进展也有深远得妨碍.康托一生受过磨难.他以及其集合论受到粗暴攻击长达十年.康托虽曾一度对数学失去兴趣,而转向哲学、文学,但始终不能放弃集合论.康托能不顾众多数学家、哲学家甚至神学家得反对,坚决地捍卫超穷集合论,与他得科学家气质和性格是分不开得.康托得个性形成在非常大程度上受到他父亲得妨碍.他得父亲乔治·瓦尔德玛·康托在福音派新教得妨碍下成长起来.是一位精明得商人,明智且有天份.他得那种深笃得宗教信仰强烈得使命感始终带给他以勇气和信心.正是这种坚决、乐观得信念使康托义无返顾地走向数学家之路并真正取得了成功.今天集合论已成为整个数学大厦得基础,康托也因此成为世纪之交得最伟大得数学家之一.。
康托尔集合论
康托尔集合论-罗素悖论-公理化集合论-不完全性定理1. 第二次数学危机的解决---集合论成了全部数学的基础。
(第二次数学危机详细见参考中三次数学危机.)19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。
柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。
无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，19世纪70年代初，外尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理.从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。
从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。
而严密的实数理论可以由集合论推出。
集合论是19世纪70-80年代由德国数学家康托尔创立，它建立在一种无限观——“实无限”的基础上。
所谓“实无限”，即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待。
例如，在集合论中用N={n：n是自然数}表示全体自然数的集合就是如此。
需要指出的是，在此之前的几千年数学发展史中，占主导地位的是另一种无限观，即古希腊哲学家亚里士多德所主张的“潜无限”观念。
所谓“潜无限”，是把“无限”作为一个不断发展着的、又永远无法完成的过程来看待。
例如，把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列1，2，3，…，n，…就是如此。
集合论是数学观念和数学方法上的一次革命性变革，由于它在解释旧的数学理论和发展新的数学理论方面都极为方便，因而逐渐为许多数学家所接受。
实数理论奠定在集合论的基础上，而且各种复杂的数学概念都可以用“集合”概念定义出来，而各种数学理论又都可以“嵌入”集合论之内。
因此，集合论就成了全部数学的基础，而且有力地促进了各个数学分支的发展。
现代数学几乎所有的分支都会用到集合这个概念。
2. 康托尔集合论(现在有人也称之为朴素集合论)面料挑战.从康托尔创立了数学领域中的“集合论”，用集合论中的观点来诠释各个数学概念之间的逻辑关系，真可谓是“天衣无缝”。