康托尔与集合论(1)
《康托尔的集合论》课件
康托尔的思想和方法对数学基础研究 产生了深远的影响，推动了数学的发 展。
02
集合论的起源
集合论的背景
数学基础的探讨
19世纪数学界开始对数学的基础 进行深入探讨，寻求数学知识的 内在一致性和完备性。
数学逻辑的兴起
数学逻辑的兴起为集合论的创立 提供了重要的思想基础，为数学 的发展提供了更加严谨的框架。
图论等。
数据结构和算法
集合论中的概念如并集、交集、 差集等，在数据结构和算法设计
中有着重要的应用。
形式化方法
在计算机科学中，形式化方法是 一种基于数学的证明和推理技术 ，而集合论为其提供了数学基础
。
06
康托尔集合论的影响与评 价
对数学发展的影响
革命性的概念引入
康托尔首次提出了无穷集合的概念，打破了传统数学对无穷的限 制，为后续数学理论的发展奠定了基础。
在物理学领域的应用
测度论
在物理学中，测度论是描 述物理量大小和变化的数 学工具，而集合论为其提 供了数学基础。
概率论
物理学中的随机现象可以 通过概率论来描述，而集 合论则为概率论提供了数 学框架。
量子力学
量子力学中的波函数和状 态空间都可以用集合论的 语言来描述。
在计算机科学领域的应用
离散数学
集合论在离散数学中有着广泛的 应用，如集合运算、集合划分、
集合论的应用
集合论不仅在纯粹数学领域有广泛应用，还涉及到物理学、计算机科学、经济 学等多个领域。
03
康托尔的集合论
集合论的基本概念
01
02
03
04
集合
由确定的、不同的部分组成的 整体。
元素
集合中的一个具体部分。
子集
康托与集合论
康托与集合论康托（Georg Cantor ，1845-1918）德国数学家，19世纪数学伟大成就之一——集合论的创立人。
1845年3月3日生于俄国彼得堡一个犹太商人的家庭。
1856年全家迁居德国法兰克福。
康托先后就学于苏黎世大学、哥廷根大学、法兰克福大学和柏林大学，主要学习哲学、数学和物理。
十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。
正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集。
这是集合论研究的开端。
1874年，德国数学家康托尔在著名的《克雷尔数学杂志》上发表了关于无穷集合论的第一章革命性文章。
从1874年到1884年，康托尔的一系列关于集合的文章，奠定了集合论的基础。
他对集合所下的定义是：把若干确定的、有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，其中各事物称为该集合的元素。
集合是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的所有领域。
如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，由此可见它在数学中的重要性。
其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之一。
但是如同每一个新事物的出现一样，集合论一经问世就遭到许多数学家及其他学者的激烈反对。
当时的权威数学家克罗内克(Kronecker)非常敌视康托尔的集合论思想，时间达整整十年之久，法国数学大家庞加莱(Poincare)则预测后一代人将把集合论当作一种疾病。
在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃。
然而乌云遮不住太阳，经历二十余年后，集合论最终获得了世界公认。
到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。
数学家们乐观地认为从算术公理系统出发，只要借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。
在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了。
康托尔的集合论
康托尔的集合论导言康托尔的集合论是一个重要的数学分支，它对于理解集合、无限、大小和无穷等概念起到了重要的作用。
本文将深入探讨康托尔的集合论，并从不同角度、不同层次对其进行详细阐述。
康托尔的生平及其贡献-集合的无穷性康托尔的生平•康托尔（Georg Cantor）是19世纪末20世纪初的德国数学家，生于1845年，逝于1918年。
•他是现代集合论的奠基人，被誉为”无穷的数学家”。
•受到当时一些著名数学家的质疑和反对，康托尔的一生充满了挫折和痛苦。
集合的无穷性康托尔的集合论最大的贡献之一是解决了无穷的问题。
在康托尔之前，无穷常常是一个模糊的概念，康托尔通过创造性的思考和构建数学体系，给出了严格的定义和推理，奠定了集合论的基础。
康托尔证明了不同无穷集的”大小”可以有差异，他引入了”基数”的概念，用于度量集合的大小。
康托尔的实质性无穷概念对于数学的发展产生了深远的影响，也挑战了当时数学家们对于无穷的传统看法。
康托尔的集合论体系集合和元素集合论的基础是对”集合”和”元素”的概念的明确定义。
集合是由一些对象组成的整体，而元素则是集合的组成成分。
康托尔提出了集合的比较、相等和包含等概念，他认为两个集合相等当且仅当它们具有相同的元素。
而一个集合包含另一个集合当且仅当前者的所有元素都属于后者。
基数和大小康托尔引入了”基数”的概念来度量集合的大小。
基数是一个整数，用于表示集合中元素的个数。
例如，一个集合的基数为0表示这个集合是空集，没有任何元素；基数为1表示集合中有一个元素，依此类推。
康托尔的集合论认可了两个集合的基数可以相等，也可以不等。
例如，有理数集合和自然数集合的基数是相等的，而实数集合的基数则比自然数集合要大。
具有不同大小的无穷集康托尔的集合论最重要的一个发现是存在不同大小的无穷集。
他通过引入”可数无穷”和”不可数无穷”的概念，对无穷集的大小进行了分类。
可数无穷集的基数和自然数集的基数相等，因此可以通过一一对应的方式进行计数。
集合论的发展
集合论的发展1. 引言集合论是数学的一个基础分支，研究集合的性质、关系和操作。
它起源于19世纪末的数学基础危机中，由德国数学家乔治·康托尔创立。
本文将详细介绍集合论的发展历程，包括康托尔的贡献、集合论公理化、集合论的扩展以及应用领域。
2. 康托尔的贡献乔治·康托尔是集合论的奠基人，他首次提出了集合的概念，并研究了无穷集合的性质。
他首先定义了集合的基本概念，即由一些确定的对象组成的整体。
康托尔还引入了集合的基数概念，用来比较集合的大小。
他证明了有些无穷集合的基数比自然数集合的基数还大，从而引发了数学界的震动。
3. 集合论公理化为了确立集合论的严密性，数学家们开始努力将集合论公理化。
在20世纪初，数学家弗雷格和罗素分别提出了集合论的公理系统，但后来发现存在悖论，即罗素悖论。
这一悖论揭示了集合论的一些困难，迫使数学家们重新审视集合论的基础。
在此基础上，数学家祖尔菲提出了集合论的公理化方法，他通过限制集合的构造方式，避免了悖论的产生。
他的公理化系统成为了后来集合论的基础。
此后，数学家们不断完善集合论的公理系统，确立了集合论的严密性和可靠性。
4. 集合论的扩展随着集合论的发展，数学家们开始研究更为复杂的集合结构。
例如，康托尔研究了连续统假设，即不存在介于可数集合和实数集合之间的集合。
此外，数学家还研究了集合的运算、拓扑学中的集合论、模型论中的集合论等等。
5. 集合论的应用领域集合论在数学中有广泛的应用，同时也渗透到其他学科领域。
在数学中，集合论被用于数理逻辑、代数、拓扑学、数论等各个分支中。
在计算机科学中，集合论被广泛应用于算法设计、数据库理论、人工智能等领域。
在物理学、经济学和社会科学中，集合论被用于建立数学模型和分析问题。
6. 结论集合论作为数学的基础分支，经历了从康托尔的奠基到公理化的发展过程。
通过严密的公理化系统，集合论的基础得以确立。
随着集合论的发展，它在数学和其他学科中都发挥着重要的作用。
康托尔与集合论【精品论文】
康托尔与集合论【精品论文】摘要：作为人类，我们有必要去了解自己，这样才能更加地进步。
人性是从根本上决定并解释着人类行为的那些人类天性。
本文利用集合论的思想对此进行了一些讨论。
关键词：人性;理性;社会性;自然性;集合论思想一、引言在长期以来的生活中，人类的大脑会在无意识的作用下储存某些事物的信息，由于并没有通过大脑严谨的思考，所以这些信息大部分是外在的，只是事物表面的一些形态特征而已。
这些信息并非零散的分布，之间没有联系。
而是之间存在着一定的关联，虽然结构不严谨，可能其中会有错误。
但是有时候却可以起到一定的作用。
但是我们不能仅依靠这样的意识形态，因为我们有自我意识，需要不断完善，不断进步。
依靠这样的意识是不可能看到事物的本质的。
有时候你问某个人为什么，他可能会答道：“凭直觉”。
我并不否认直觉所带来的“便利”，但这种“便利”是给自己不去思考事物本质的借口。
直觉也是一种意识形态，但是这种意识是在潜意识之下的，这样意识的形成也是要通过长时间的作用。
大脑可以自己不断地调整，不断地完善，但是这个过程相当缓慢。
要进步可不能依靠这样的思想。
现在我想说的是，我们必须减少对这些意识的依赖。
因为这些意识都不是通过严谨的思考之后得到的产物，所以用这样的意识去做出一些反应是很容易出错的。
这也会阻碍我们对真实世界的探索。
我们应该挖掘出这样的意识，分析其中的思想结构，将不好的思想去掉，并且把有缺陷的思想不断加强和完善。
这样一来，我们就会更加理性。
人就具有这样的性质——理性。
因此人类才能进步，文明才能发展。
二、理论分析假设A={a1，a2，…，an}，B={b1，b2，…，bm}。
若A?奂B，则说明A中的n个元素均可以在B中找到，且m>n。
反之，说明中的个元素均可以在A中找到，且n>m。
若A=B，则说明中的所有元素与B中的所有元素相同，且n=m。
如果某一个元素可以在集合A中找到，那么记作a∈A。
结合以上思想，对人与动物进行分析，动物={青蛙，鱼，狗，猫，人，……}，可以看出人是属于动物的，即人动物。
康托尔与集合论
Word文档可进行编辑康托尔与集合论康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大得数学家,集合论得创立者.是数学史上最富有想象力,最有争议得人物之一.19世纪末他所从事得关于连续性和无穷得研究从全然上背离了数学中关于无穷得使用和解释得传统,从而引起了激烈得争论乃至严厉得责备.然而数学得进展最终证明康托是正确得.他所创立得集合论被誉为20世纪最伟大得数学制造,集合概念大大扩充了数学得研究领域,给数学结构提供了一个基础,集合论不仅妨碍了现代数学,而且也深深妨碍了现代哲学和逻辑.1．康托尔得生平1845年3月3日,乔治·康托生于俄国得一个丹麦—犹太血统得家庭.1856年康托和他得父母一起迁到德国得法兰克福.像许多优秀得数学家一样,他在中学时期就表现出一种对数学得特别敏感,并不时得出令人惊奇得结论.他得父亲力促他学工,因而康托在1863年带着那个目地进入了柏林大学.这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究得中心.康托非常早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着得世界数学中心之一.因此在柏林大学,康托受了外尔斯特拉斯得妨碍而转到纯粹得数学.他在1869年取得在哈勒大学任教得资格,不久后就升为副教授,并在1879年被升为正教授.1874年康托在克列勒得《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论得第一篇革命性文章.数学史上一般认为这篇文章得发表标志着集合论得诞生.这篇文章得制造性引起人们得注意.wwWcoM 在以后得研究中,集合论和超限数成为康托研究得主流,他一直在这方面发表论文直到1897年,过度得思维劳累以及强列得外界刺激曾使康托患了精神分裂症.这一难以消除得病根在他后来30多年间一直断断续续妨碍着他得生活.1918年1月6日,康托在哈勒大学得精神病院中去世.2．集合论得背景为了较清晰地了解康托在集合论上得工作,先介绍一下集合论产生得背景.集合论在19世纪诞生得差不多缘故,来自数学分析基础得批判运动.数学分析得进展必定涉及到无穷过程,无穷小和无穷大这些无穷概念.在18世纪,由于无穷概念没有精确得定义,使微积分理论不仅遇到严峻得逻辑困难,而且还使实无穷概念在数学中信誉扫地.19世纪上半叶,柯西给出了极限概念得精确描述.在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数得理论.正是这19世纪进展起来得极限理论相当完美得解决了微积分理论所遇到得逻辑困难.然而,柯西并没有完全完成微积分得严密化.柯西思想有一定得模糊性,甚至产生逻辑矛盾.19世纪后期得数学家们发觉使柯西产生逻辑矛盾得咨询题得缘故在奠定微积分基础得极限概念上.严格地讲柯西得极限概念并没有真正地摆脱几何直观,确实地建立在纯粹严密得算术得基础上.因此,许多受分析基础危机妨碍得数学家致力与分析得严格化.在这一过程中,都涉及到对微积分得差不多研究对象─连续函数得描述.在数与连续性得定义中,有涉及关于无限得理论.因此,无限集合在数学上得存在咨询题又被提出来了.这自然也就导致寻求无限集合得理论基础得工作.总之,为寻求微积分完全严密得算术化倾向,成了集合论产生得一个重要缘故.3．集合论得建立康托在柏林大学得导师是外尔斯托拉斯,库曼和克罗内克.库曼教授是数论专家,他以引进理想数并大大推动费马大定理得研究而闻名遐迩是.克罗内克是一位大数学家,当时许多人都以得到他得赞许为荣.外尔斯托拉斯是一位优秀教师也是一位大数学家.他得演讲给数学分析奠定了一个精确而稳定得基础.例如,微积分中闻名得观念确实是他首先引进得.正是由于这些人得妨碍,康托对数论较早产生兴趣,并集中精力对高斯所留下得咨询题作了深入得研究.他得毕业论文确实是关于++=0得素数咨询题得.这是高斯在《算术研究》中提出而未解决得咨询题.这片论文写得相当出色,它足以证明作者具有深刻得洞察力和对优秀思想得继承能力.然而,他得超穷集合论得创立,并没有受惠于早期对数论得研究.相反,他非常快同意了数学家海涅得建议转向了其他领域.海涅鼓舞康托研究一个十分有味,也是较困难得咨询题：任意函数得三角级数得表达式是否唯一?对康托来讲那个咨询题是促使他建立集合论得最直截了当缘故.函数可用三角级数表示,最早是1822年傅立叶提出来得.此后关于间断点得研究,越来越成为分析领域中引人注目得咨询题,从19世纪30年代起,很多杰出得数学家从事着对不连续函数得研究,同时都在一定程度上与集合这一概念挂起了钩.这就为康托最终建立集合论制造了条件.1870年,海涅证明,假如表示一个函数得三角级数在区间[-π,π]中去掉函数间断点得任意小邻域后剩下得部分上是一致收敛得,那么级数是唯一得.至于间断点得函数情况如何,海涅没有解决.康托开始着手解决那个以如此简洁得方式表达得唯一性咨询题.于,他跨出了集合论得第一步.康托一下子就表现出比海涅更强得研究能力.他决定尽可能多地取消限制,所以这会使咨询题本身增加难度.为了给出最有普遍性得解,康托引进了一些新得概念.在其后得三年中,康托先后发表了五篇有关这一题目得文章.1872年当康托将海涅提出得一致收敛得条件减弱为函数具有无穷个间断点得情况时,他差不多将唯一性结果推广到同意例外值是无穷集得情况.康托1872年得论文是从间断点咨询题过度到点集论得极为重要得环节,使无穷点集成为明确得研究对象.集合论里得中心,难点是无穷集合那个概念本身.从希腊时代以来,无穷集合非常自然地引起数学家们和哲学家们得注意.而这种集合得本质以及看来是矛盾得性质,非常难象有穷集合那样来把握它.因此对这种集合得理解没有任何进展.早在中世纪,人们差不多注意到如此得事实：假如从两个同心圆动身画射线,那么射线就在这两个圆得点与点之间建立了一一对应,然而两圆得周长是不一样得.16世纪,伽俐略还举例讲,能够在两个不同长得线段ab与cd之间建立一一对应,从而想象出它们具有同样得点.他又注意到正整数能够和它们得平方构成一一对应,只要使每个正整数同它们得平方对应起来就行了:1234……n……234……n……但这导致无穷大得不同得“数量级”,伽俐略以为这是不可能得因为所有无穷大都一样大.不仅是伽俐略,在康托之前得数学家大多不赞成在无穷集之间使用一一对应得比较手段,因为它将出现部分等于全体得矛盾高斯明确表态：“我反对把一个无穷量当作实体,这在数学中是从来不同意得.无穷只是一种讲话得方式……”柯西也不承认无穷集合得存在.他不能同意部分同整体构成一一对应这件事.所以,潜无穷在一定条件下是便于使用得,但若把它作为无穷观则是片面得.数学得进展表明,只承认潜无穷,否认实无穷是不行得.康托把时刻用到对研究对象得深沉考虑中.他要用事实来讲明咨询题,讲服大伙儿.康托认为,一个无穷集合能够和它得部分构成一一对应不是什么坏事,它恰恰反应了无穷集合得一个本质特征.对康托来讲,假如一个集合能够和它得一部分构成一一对应,它确实是无穷得.它定义了基数,可数集合等概念.同时证明了实数集是不可数得代数数是可数得康托最初得证明发表在1874年得一篇题为《关于全体实代数数得特征》得文章中,它标志着集合论得诞生.随着实数不可数性质得确立,康托又提出一个新得,更大胆得咨询题.1874年,他考虑了能否建立平面上得点和直线上得点之间得一一对应.从直观上讲,平面上得点显然要比线上得点要多得多.康托自己起初也是如此认识得.但三年后,康托宣布：不仅平面和直线之间能够建立一一对应,而且一般得n维连续空间也能够建立一一对应！这一结果是出人意外得.就连康托本人也觉得“简直不能相信”.然而这又是明摆着得事实,它讲明直观是靠不住得,只有靠理性才能发觉真理,幸免谬误.既然n维连续空间与一维连续统具有相同得基数,因此,康托在1879到1884年间集中于线性连续统得研究,相继发表了六篇系列文章,汇合成《关于无穷得线性点集》.前四篇直截了当建立了集合论得一些重要结果,包括集合论在函数论等方面得应用.其中第五篇发表于1883年,它得篇幅最长,内容也最丰富.它不仅超出了线性点集得研究范围,而且给出了超穷数得一个完全一般得理论,其中借助良序集得序型引进了超穷序数得整个谱系.同时还专门讨论了由集合论产生得哲学咨询题,包括回答反对者们对康托所采取得实无穷立场得非难.这篇文章对康托是极为重要得.1883年,康托将它以《集合论基础》为题作为专著单独出版.《集合论基础》得出版,是康托数学研究得里程碑.其要紧成果是引进了作为自然数系得独立和系统扩充得超穷数.康托清醒地认识到,他如此做是一种大胆得冒进.“我非常了解如此做将使我自己处于某种与数学中关于无穷和自然数性质得传统观念相对立得地位,但我深信,超穷数终将被承认是对数概念最简单、最适当和最自然得扩充.”《集合论基础》是康托关于早期集合理论得系统阐述,也是他将做出具有深远妨碍得特别贡献得开端.康托于1895年和1897年先后发表了两篇对超限数理论具有决定意义得论文.在该文中,他改变了早期用公理定义(序)数得方法,采纳集合作为差不多概念.他给出了超限基数和超限序数得定义,引进了它们得符号；依势得大小把它们排成一个“序列”；规定了它们得加法,乘法和乘方…….到此为止,康托所能做得关于超限基数和超限序数理论已臻于完成.然而集合论得内在矛盾开始暴露出来.康托自己首先发觉了集合论得内在矛盾.他在1895年得文章中遗留下两个悬而未决得咨询题：一个是连续统假讲；另一个是所有超穷基数得可比较性.他尽管认为无穷基数有最小数而没有最大数,但没有明显叙述其矛盾之处.一直到1903年罗素发表了他得闻名悖论.集合论得内在矛盾才突出出来,成为20世纪集合论和数学基础研究得动身点.4．对康托集合论得不同评价康托得集合论是数学上最具有革命性得理论.他处理了数学上最棘手得对象---无穷集合.因此,他得进展道路也自然非常不平坦.他抛弃了一切经验和直观,用完全得理论来论证,因此他所得出得结论既高度地另人吃惊,难以置信,又确确实实,毋庸置疑.数学史上没有比康托更大胆得设想和采取得步骤了.因此,它不可幸免地遭到了传统思想得反对.19世纪被普遍承认得关于存在性得证明是构造性得.你要证明什么东西存在,那就要具体造出来.因此,人只能从具体得数或形动身,一步一步通过有限多步得出结论来.至于“无穷”,许多人更是认为它是一个超乎于人得能力所能认识得世界,不要讲去数它,确实是它是否存在也难以确信,而康托难道“漫无边际地”去数它,去比较它们得大小,去设想没有最大基数得无穷集合得存在……这自然遭到反对和斥责.集合论最激烈得反对者是克罗内克,他认为只有他研究得数论及代数才最可靠.因为自然数是上帝制造得,其余得是人得工作.他对康托得研究对象和论证手段都表示强烈得反对.由于柏林是当时得数学中心,克罗内克又是柏林学派得首领人物,因此他对康托及其集合论得进展前途得阻碍作用是特别大得.另一位德国得知觉主义者魏尔认为,康托把无穷分成等级是雾上之雾.法国数学界得权威人物庞加莱曾预言：我们得“后一代将把（康托得）集合论当作一种疾病”等等.由于两千年来无穷概念数学带来得困难,也由于反对派得权威地位,康托得成就不仅没有得到应有得评价,反而受到排斥.1891年,克罗内克去世之后,康托得处境开始好转.另一方面,许多大数学家支持康托得集合论.除了狄德金以外,瑞典得数学家米大格---列夫勒在自己创办得国际性数学杂志上把康托得集合论得论文用法文转载,从而大大促进了集合论在国际上得传播.1897年在第一次国际数学家大会上,霍尔维次在对解析函数得最新进展进行概括时,就对康托得集合论得贡献进行了阐述.三年后得第二次国际数学大会上,为了捍卫集合论而勇敢战斗得希尔伯特又进一步强调了康托工作得重要性.他把连续统假设列为20世纪初有待解决得23个要紧数学咨询题之首.希尔伯特宣称:“没有人能把我们从康托为我们制造得乐园中驱逐出去.”专门自1901年勒贝格积分产生以及勒贝格得测度理论充实了集合论之后,集合论得到了公认,康托得工作获得崇高得评价.当第三次国际数学大会于1904年召开时,“现代数学不能没有集合论”已成为大伙儿得看法.康托得声望差不多得到举世公认.5．集合论得意义集合论是现代数学中重要得基础理论.它得概念和方法差不多渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门,为这些学科提供了奠基得方法,改变了这些学科得面貌.几乎能够讲,假如没有集合论得观点,非常难对现代数学获得一个深刻得理解.因此集合论得创立不仅对数学基础得研究有重要意义,而且对现代数学得进展也有深远得妨碍.康托一生受过磨难.他以及其集合论受到粗暴攻击长达十年.康托虽曾一度对数学失去兴趣,而转向哲学、文学,但始终不能放弃集合论.康托能不顾众多数学家、哲学家甚至神学家得反对,坚决地捍卫超穷集合论,与他得科学家气质和性格是分不开得.康托得个性形成在非常大程度上受到他父亲得妨碍.他得父亲乔治·瓦尔德玛·康托在福音派新教得妨碍下成长起来.是一位精明得商人,明智且有天份.他得那种深笃得宗教信仰强烈得使命感始终带给他以勇气和信心.正是这种坚决、乐观得信念使康托义无返顾地走向数学家之路并真正取得了成功.今天集合论已成为整个数学大厦得基础,康托也因此成为世纪之交得最伟大得数学家之一.。
高中数学 1.1 集合 集合的概念 康托尔-集合论的创造者素材 新人教版必修1
康托尔-集合论的创造者康托尔·G（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3～1918.1.6 ）德国数学家，集合论的创始人。
生于俄国圣彼得堡。
父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家。
1856年全家迁居德国的法兰克福。
先在一所中学，后在威斯巴登的一所大学预科学校学习。
1862年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大学攻读数学和神学，受教于库默尔（Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29～1893.5.14）、魏尔斯特拉斯（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31～1897.2.19）和克罗内克(Kronecker，Leopold，1823.12.7～1891.12.29)。
1866年曾去格丁根学习一学期。
1867年在库默尔指导下以解决一般整系数不定方程ax2+by2+cz2=0求解问题的论文获博士学位。
毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论的研究，不久崭露头角。
他在哈雷大学任教（1869～1913）的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数列极限定义无理数。
1872年成为该校副教授，1879年任教授。
由于学术观点上受到的沉重打击，使康托尔曾一度患精神分裂症，虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直被病魔缠身。
1918年1月6日在德国哈雷（Halle）-维滕贝格大学附属精神病院去世。
康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。
早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——集合论和超穷数理论的建立。
除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学问题.1888～1893年康托尔任柏林数学会第一任会长，1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。
主要贡献康托尔对数学的贡献是集合论和超穷数理论。
集合论创始人康托尔-PPT精品文档
19世纪末期，数学界出现了一件引人注目 的事情。一位名叫康托尔（G.Cantor， 1845 －1918）的德国数学家提出一种令人费解的 古怪理论----集合论。它的内容是如此与常 识格格不入，以致于一出世就引起了一场轩 然大波。
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自从17世纪牛顿和莱布尼茨创立微积分理 论体系之后，在近一二百年时间里，微积分 理论一直缺乏一个严格的逻辑基础。它的一 些基本概念的表述，还有某些混乱和自相矛 盾之处。从19世纪开始，柯西、魏尔斯特拉 斯等人进行了微积分理论严格化的工作。他 们建立了极限理论，并把极限理论的基础归 结为实数理论。那么，实数理论的基础又该 是什么呢？康托尔试图用集合论来作为实数 理论，以至整个微积分理论体系的基础。
这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论 如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的 余地。绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中。这就 是数学史上的第三次数学危机。
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1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进 形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系 统。原本直观的集合概念被建立在严格的公理基 础之上，从而避免了悖论的出现。这就是集合论 发展的第二个阶段：公理化集合论。与此相对应， 在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素 集合论。
德国数学家魏尔认为，康托尔关于基数的等级 观点是雾上之雾。
菲利克斯．克莱因也不赞成集合论的思想。
数学家H．A．施瓦兹原来是康托尔的好友，但他 由于反对集合论而同康托尔断交。
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尽管有希尔伯特等著名数学家赞同他的集合论， 尽管他的集合论事实上已取得巨大的成功，仍未能 使康托尔感到欣慰和满足。
从1884年春天起，即在他40岁的时候，他患了 严重的忧郁症，极度沮丧，神态不安。不过，在精 神病发作的间歇阶段，康托尔仍然顽强地坚持集合 论的研究。而且当每次从精神病发作中恢复过来的 时候，他都感到自己的脑子变得格外清晰。他在集 合论方面许多非常出色的成果，都是在精神病发作 的间歇时期获得的。然而，长期的精神折磨所造成 的危害毕竟是不容忽视的。由于健康状况逐渐恶化， 1918年，他在哈勒大学附属精神病院去世。
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康托尔与集合论(1)
：
康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者。
是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一。
19世纪末他所从事
的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和
解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。
然而数学的发
展最终证明康托是正确的。
他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的
数学创造，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了
一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学
和逻辑。
1．康托尔的生平
1845年3月3日，乔治・康托生于俄国的一个丹麦―犹太血统的家庭。
1856年康托和他的父母一起迁到德国的法兰克福。
像许多优秀的数学
家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出
令人惊奇的结论。
他的父亲力促他学工，因而康托在1863年带着这个
目地进入了柏林大学。
这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的
中心。
康托很早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着的世界数学中心之一。
所以在柏林大学，康托受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。
他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，
并在1879年被升为正教授。
1874年康托在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。
数学史上一般认为这篇
文章的发表标志着集合论的诞生。
这篇文章的创造性引起人们的注意。
在以后的研究中，集合论和超限数成为康托研究的主流，他一直在这
方面发表论文直到1897年，过度的思维劳累以及强列的外界刺激曾使
康托患了精神分裂症。
这一难以消除的病根在他后来30多年间一直断
断续续影响着他的生活。
1918年1月6日，康托在哈勒大学的精神病
院中去世。
毕业论文
2．集合论的背景
为了较清楚地了解康托在集合论上的工作，先介绍一下集合论产生的
背景。
集合论在19世纪诞生的基本原因，来自数学分析基础的批判运动。
数
学分析的发展必然涉及到无穷过程，无穷小和无穷大这些无穷概念。
在18世纪，由于无穷概念没有精确的定义，使微积分理论不仅遇到严
重的逻辑困难，而且还使实无穷概念在数学中信誉扫地。
19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描述。
在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数的理论。
正是这19世纪发展起来的极限理论
相当完美的解决了微积分理论所遇到的逻辑困难。
但是，柯西并没有
彻底完成微积分的严密化。
柯西思想有一定的模糊性，甚至产生逻辑
矛盾。
19世纪后期的数学家们发现使柯西产生逻辑矛盾的问题的原因
在奠定微积分基础的极限概念上。
严格地说柯西的极限概念并没有真
正地摆脱几何直观，确实地建立在纯粹严密的算术的基础上。
于是，
许多受分析基础危机影响的数学家致力与分析的严格化。
在这一过程中，都涉及到对微积分的基本研究对象─连续函数的描述。
在数与连
续性的定义中，有涉及关于无限的理论。
因此，无限集合在数学上的
存在问题又被提出来了。
这自然也就导致寻求无限集合的理论基础的
工作。
总之，为寻求微积分彻底严密的算术化倾向，成了集合论产生
的一个重要原因。
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4．对康托集合论的不同评价
康托的集合论是数学上最具有革命性的理论。
他处理了数学上最棘手
的对象---无穷集合。
因此，他的发展道路也自然很不平坦。
他抛弃了
一切经验和直观，用彻底的理论来论证，因此他所得出的结论既高度
地另人吃惊，难以置信，又确确实实，毋庸置疑。
数学史上没有比康
托更大胆的设想和采取的步骤了。
因此，它不可避免地遭到了传统思
想的反对。
19世纪被普遍承认的关于存在性的证明是构造性的。
你要证明什么东
西存在，那就要具体造出来。
因此，人只能从具体得数或形出发，一
步一步经过有限多步得出结论来。
至于“无穷”，许多人更是认为它
是一个超乎于人的能力所能认识的世界，不要说去数它，就是它是否
存在也难以肯定，而康托竟然“漫无边际地”去数它，去比较它们的
大小，去设想没有最大基数的无穷集合的存在……这自然遭到反对和
斥责。
集合论最激烈的反对者是克罗内克，他认为只有他研究的数论及代数
才最可靠。
因为自然数是上帝创造的，其余的是人的工作。
他对康托
的研究对象和论证手段都表示强烈的反对。
由于柏林是当时的数学中心，克罗内克又是柏林学派的领袖人物，所以他对康托及其集合论的
发展前途的阻碍作用是非常大的。
另一位德国的知觉主义者魏尔认为，康托把无穷分成等级是雾上之雾。
法国数学界的权威人物庞加莱曾预言：我们的“后一代将把（康托的）集合论当作一种疾病”等等。
由
于两千年来无穷概念数学带来的困难，也由于反对派的权威地位,康托
的成就不仅没有得到应有的评价，反而受到排斥。
1891年，克罗内克
去世之后，康托的处境开始好转。