康托尔集合论-推荐下载

康托尔集合论-罗素悖论-公理化集合论-不完全性定理1. 第二次数学危机的解决---集合论成了全部数学的基础。

(第二次数学危机详细见参考中三次数学危机.) 19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了 极限理论，19世纪70年代初，外尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理.从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。而严密的实数理论可以由集合论推出。集合论是19世纪70-80年代由德国数学家康托尔创立，它建立在一种无限观——“实无限”的基础上。所谓“实无限”，即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待。例如，在集合论中用N={n：n是自然数}表示全体自然数的集合就是如此。需要指出的是，在此之前的几千年数学发展史中，占主导地位的是另一种无限观，即古希腊哲学家亚里士多德所主张的“潜无限”观念。所谓“潜无限”，是把“无限”作为一个不断发展着的、又永远无法完成的过程来看待。例如，把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列1，2，3，…，n，…就是如此。 集合论是数学观念和数学方法上的一次革命性变革，由于它在解释旧的数学理论和发展新的数学理论方面都极为方便，因而逐渐为许多数学家所接受。实数理论奠定在集合论的基础上，而且各种复杂的数学概念都可以用“集合”概念定义出来，而各种数学理论又都可以“嵌入”集合论之内。因此，集合论就成了全部数学的基础，而且有力地促进了各个数学分支的发展。现代数学几乎所有的分支都会用到集合这个概念。

2. 康托尔集合论(现在有人也称之为朴素集合论)面料挑战.从康托尔创立了数学领域中的“集合论”，用集合论中的观点来诠释各个数学概念之间的逻辑关系，真可谓是“天衣无缝”。因此集合论被誉为“数学大厦的基石”。然而事情并非总是顺利的。1900年左右，正当康托尔的思想逐渐被人接受，并成功地把集合论应用到了许多别的数学领域中去，大家认为数学的“绝对严格性”有了保证的时候，一系列完全没有想到的逻辑矛盾，在集合论的边缘被发现了。开始，人们并不直接称之为矛盾，而是只把它们看成数学中的奇特现象。1897年意大利数学家布拉里.福尔蒂揭示了集合论的第一个悖论。1899年，康托尔发现了 “康托尔悖论”，亦称“最大基数悖论”。福尔蒂和康托的悖论只涉及到集合论中的结果，没有引起当时数学家们的足够重视。但罗素于1901年5月发现了一个悖论。它除了涉及集合概念本身外不需要别的概念。此后又有其他朴素集合论的悖论出现, 例如理查德悖论, 培里悖论, 格瑞林和纳尔逊悖论等. 集合论的现代悖论与逻辑的几个古代悖论还有关系。例如，公元前4世纪的欧伯利得悖论：“我现在正在做的这个陈述是假的。”埃皮门尼德（公元前6世纪，克利特人）悖论：“克利特人总是说谎的人。”

3. 罗素悖论和理发师悖论罗素悖论的数学表达：设性质P(x)表示“x不属于x ”，现假设由性质P确定了一个类A----也就是说“A全集P(x)(x属于A 与 x不属于A 性质不能同时成立 )”。那么现在的问题是：A属于A 是否成立？首先，若A属于A ，则A是A的元素，那么A具有性质P，由性质P知A不属于A ；其次，若A不属于A ，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A不属于A 。罗素悖论的普通表达:“一切不包含自身的集合所形成的集合是否包含自身？”答案如果说是，即包含自身，属于这个集合，那么它就不包含自身；如果说否，它不包含自身，那么它理应是这个集合的元素，即包含自身。可能有人看不懂罗素悖论，没关系，罗素本人就用通俗的“理发师悖论”作了比喻；理发师自称，他给所有自己不刮胡子的人刮胡子，但不给任何自己刮胡子的人刮胡子。试问理发师该不该给自己刮胡子？如果他从来不给自己刮胡子，就属于“自己不刮胡子的人”。根据他的自称，他就应该给自己刮胡子，但是，一旦他给自己刮胡子，他就成了“自己刮胡子的人”了。还是根据他的自称，他就不应该给自己刮胡子。所以不管理发师的胡子由谁来刮，都会产生矛盾。罗素悖论的详细解释:把集合分成两类，凡是不以自身作为元素的集合称为正常集P(x) 表示“x不属于x ”.(或称一种叫自吞的,一种叫非自吞的,或说自包含的,非自包含的.或说正常的,非正常的.)，（例如，自然数集合N本身不是自然数, 数学表达N不属于N. 因此N是正常集。再例如:所有彩虹网友的集合不是彩虹网友. 所有男人的集合不是男人）凡是以自身作为元素的集合称为异常集。（例如，所有的非生物的集合F并非生物，数学表达F属于F.因此F是异常集。所有非植物的集合不是植物.所有非质数的集合不是质数.等等）每个集合或者为正常集或者为异常集。设A为全体正常集(性质P)所组成的集合，那么A是不是正常集？如果A是正常集，由正常集P的定义知A不属于A，又因A是全体正常集的集合，所以正常集A属于A.但这说明A不是正常集，是异常集；反之，如果A不是正常集，是异常集，那么由异常集的定义知A属于A，这说明A是全体正常集组成的集合A的元素，因而A又应该是正常集。

4. 公理化集合论的建立和完善.集合论中悖论的存在，明确地表示某些地方出了毛病。自从悖论被发现之后，关于这一课题发表了大量的文章，为解决它们作过了大量的尝试。激进的是以荷兰数学家布劳威尔为代表的直觉主义学派，他们对集合论采取了全盘否定的态度，并认为“实无限”的观念是集合论悖论产生的根源。还有以罗素为代表的逻辑主义.特别突出的是以希尔伯特为代表的形式主义数学学派。这方面的代表性成果是公理集合论，它已成为现代数学的一个重要分支。公理集合论采用公理化的方法来刻画集合和集合的运算，并对康托尔集合论中的“概括原则”作了修正。就数学而论，看来有一条容易的出路：人们只要把集合论建立在公理化的基础上，加以充分限制以排除所知道的矛盾。第一次这样的尝试是策梅罗于1908年做出的。以后还有多人进行加工。但是，此种方式曾受到批评，因为它只是避开了某些悖论，而未能说明这些悖论；此外，它不能保证将来不出现别种悖论。策梅罗的公理化集合理论中，集合这个概念一直不加定义，而它的性质就由公理反映出来。他不说什么是集合，而只讲从数学上怎样来处理它们，他引进七条公理：决定性公理(外延公理)、初等集合公理(空集公理、单元素公理、对集公理)、分离公理、幂集公理、并集公理、选择公理、无穷公理(稍稍改变一下原来形式)。 受到的批评：1)、为了讨论集合，我们必须从对象“域”开始，也就是用某种方法构成的域；2)、策梅罗关于确定的命题要有一个定义使得它精确化；3)、在所有完全的公理化中，集合论的概念不可避免地是相对的；4)、策梅罗的公理系统不足以提供通常集合论的基础；5)、当人们打算证明公理的无矛盾时，谓语句所引起的困难；6)、对象域B的不唯一性；7)、数学归纳法对于抽象给出的公理系统的必要性；8)、选择公理的问题。 兰克尔改进的策梅罗集合论公理系统，再加上选择公理是足够数学发展所需的，但是还需要加一条限制性的公理，即除了满足这些公理的集合之外没有其他的集合。 为排除一个悖论涉及所谓基础集合，为了排除这种集合，冯•诺依曼引进公理9(基础公理). 对改进后的ZF集合论公理系统的批评:这样施加限制有点不必要地过分严格，使得数学家在论证过程中失掉一些有时有用的论证方式，而这些论证方式似乎是没有恶性循环的。仍然存在许多问题，例如：不可达基数和序数是不是存在？；连续统假设是否能够证明；公理系统的协调性和独立性，……从三十年代之后，为了解决这些问题，公理集合论掀开了新的一页。

5.公理系统的最后努力遇到了不完全性定理:1930年前，整个数学界是非常乐观的：希尔伯特的思想占统治地位；数学是建立在集合论和数理逻辑两块基石之上；康托尔的朴素集合论已被公理集合论所代替，从而消除了悖论；选择公理是一个很好的工具，数学中许多部门都要用到它；连续统假设仍然是悬案，不过希尔伯特多次觉得自己已接近解决这个难题，看来前景是乐观的；大部分数学可以建立在谓词演算的基础上，而一阶谓词演算的公理系统是无矛盾的，尽管其完全性仍有待证明；整个数学的基本理论是自然数的算术和实数理论，它们都已经公理化。这些公理系统应该是无矛盾的、完全的，如果它们能够得证，并且集合论公理系统也能得到同样的结果，那么整个数学就比较牢靠了。为了不使一小撮直觉主义者指手划脚、评头品足，希尔伯特提出他的计划：把理论系统形式化，然后通过有限多步证明它们没有矛盾。他信心十足，在1930年9月东普鲁士哥尼斯堡的科学会会议上，他批判了不可知论。1928年希尔伯特提出四个问题：1)、分析的无矛盾性。1924年阿克曼和1927年冯•诺依曼的工作使希尔伯特相信只要一些纯算术的初等引理即可证明。1930年夏天，哥德尔开始研究这个问题，他不理解希尔伯特为什么要直接证明分析的无矛盾性。哥德尔认为应该把困难分解：用有限主义的算术证明算术的无矛盾性，再用算术的无矛盾性证明分析的无矛盾性，哥德尔由此出发去证明算术的无矛盾性而得出不完全性定理。2)、更高级数学的无矛盾性，特别是选择公理的无矛盾性。这个问题后来被哥德尔在1938年以相对的方式解决。

3)、算术及分析形式系统的完全性。这个问题在1930年秋天哥尼斯堡的会议上，哥德尔已经提出了一个否定的解决，这个问题的否定成为数理逻辑发展的转折点。4)、一阶谓词逻辑的完全性。这个问题已被哥德尔在1930年完全解决。这样一来，哥德尔的工作把希尔伯特的方向扭转，使数理逻辑走上全新的道路。哥德尔的不完全性定理：这是数理逻辑最重大的成就之一，是数理逻辑发展的一个里程碑和转折点。哥德尔在研究过程中直接考虑悖论及解决悖论的方法，从而把第三次数学危机引导至另外一个方向上。哥德尔证明不完全性定理是从考虑数学分析的协调性问题开始的。1930年秋在哥尼斯堡会议上，他宣布了第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式系统，如果是协调的，那就是不完全的。不久之后他又宣布：如果初等算术系统是协调的，则协调性在算术系统内不可证明。哥德尔的证明使用了“算术化”的方法。哥德尔说：“一个系统的公式……从外观上看是原始符号的有穷序列……。不难严格地陈述，哪些原始符号的序列是合适公式，哪些不是；类似地，从形式观点看来，证明也只不过是(具有某种确定性质的)一串公式的有穷序列”。因此，研究一个形式系统实际上就是研究可数个对象的集合。我们给每个对象配上一个数，这种把每一个对象配上一个数的方法称为“哥德尔配数法”。哥德尔通过这些数反过来看原来形式系统的性质。哥德尔研究了46种函数和谓词，哥德尔证明了他的前45个函数和谓词都是原始递归的。但第46个谓词为“X是一个可证公式的哥德尔数”。在对哥德尔配数的系统中，可以得到一个公式，它相当于：我是不可证的。所以这个句子是不可证的且是真的。所以系统中存在真语句而又不可证，也就是系统不完全。哥德尔的论文在1931年发表之后，立即引起逻辑学家的莫大兴趣。它开始虽然使人们感到惊异不解，不久即得到广泛承认，并且产生巨大的影响：哥德尔的证明对希尔伯特原来的计划是一个巨大的打击，因此把整个数学形式化的打算是注定要失败的，因而逻辑主义和形式主义的原则是不能贯彻到底的；“希尔伯特计划”中证明论的有限主义观点必须修正，从而使证明论的要求稍稍放宽。1936年甘岑在容许超穷归纳的条件下证明了算术的无矛盾性，而倡导有限构造主义的直觉主义也不能解决问题；哥德尔的工具递归函数促进了递归函数论的系统研究，同时推动了不可判定问题的研究，开始出现递归论的新分支。哥德尔不完全定理的证明结束了关于数学基础的争论不休的时期，数学基础的危机不那么突出表现出来。数理逻辑形成了一个带有强技巧性的独立学科，而绝大部分数学家仍然把自己的研究建立在朴素集合论或ZF公理集合论的基础上。尽管集合论中存在矛盾，但这些矛盾大部分均可回避。研究这些矛盾，特别是集合论的矛盾变成数理逻辑学家的事业。因为矛盾也好、危机也好，根源在于无穷，但是数学中毕竟少不了无穷。归根结蒂，数学终究是研究无穷的科学。