中考复习-几何探究题(含复习资料)

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2019年中考数学二轮复习几何探究题(压轴题) 综合练习 (含答案)

2019年中考数学二轮复习几何探究题（压轴题）综合练习1. (1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是________；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.求证：BE＋CF＞EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．2.如图①，②，③分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.(1)在图①中，求证：△ABE≌△ADC.(2)由(1)证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图①中∠BOC＝120°，请你探索在图②中∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程．(4)由此推广到一般情形(如图④)，分别以△ABC 的AB 和AC 为边向△ABC 外作正n 边形，BE 和CD 仍相交于点O ，猜想∠BOC 的度数为____________________(用含n 的式子表示)．图① 图② 图③ 图④3.已知正方形ABCD 的边长为1，点P 为正方形内一动点，若点M 在AB 上，且满足△PBC ∽△PAM ，延长BP 交AD 于点N ，连接CM.(1)如图①，若点M 在线段AB 上，求证：AP ⊥BN ；AM ＝AN.(2)①如图②，在点P 运动过程中，满足△PBC ∽△PAM 的点M 在AB 的延长线上时，AP ⊥BN 和AM ＝AN 是否成立(不需说明理由)?②是否存在满足条件的点P ，使得PC ＝12？请说明理由．4. 如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时，如图②，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图③，延长DB交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．图①图②图③5. 已知矩形ABCD中AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．(1)如图①，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA，若△OCP与△PDA的面积比为1∶ 4，求边CD的长；(2)如图②，在(1)的条件下擦去AO、OP，连接BP，动点M在线段AP上(点M不与点P、A重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律，若不变，求出线段EF的长度．图①图②6. 如图①，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，BP ＝1，∠MPN ＝90°，将∠MPN 绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边AB(或AD)于点E ，PN 交边AD(或CD)于点F ，当PN 旋转至PC 处时，∠MPN 的旋转随即停止．(1)特殊情形：如图②，发现当PM 过点A 时，PN 也恰好过点D ，此时，△ABP________△PCD(填“≌”或“∽”)；(2)类比探究：如图③，在旋转过程中，PEPF 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；(3)拓展延伸：设AE ＝t ，△EPF 的面积为S ，试确定S 关于t 的函数关系式；当S ＝4.2时，求所对应的t 值．7. 阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图①，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把1sinα的值叫做这个平行四边形的变形度．(1)若矩形发生形变后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是________；猜想证明：(2)设矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，1sinα之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：(3)如图②，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE·AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为4m(m>0)，平行四边形A1B1C1D1的面积为2m(m>0)，试求∠A1E1B1＋∠A1D1B1的度数．8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．9. 已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm.对角线AC，BD交于点O，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1 cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1 cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD 于点F.设运动时间为t(s)(0<t<6)，解答下列问题：(2)设五边形OECQF 的面积为S(cm 2)，试确定S 与t 的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OD 平分∠COP ？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．10. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E 、F 分别是AC 、AB 边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，求AE 的长；(2)如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使MF ∥CA. ①试判断四边形AEMF 的形状，并证明你的结论； ②求EF 的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AFBF的值．11. 已知AC ，EC 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE ＋∠CBE ＝90°. (1)如图①，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF. ①求证：△CAE ∽△CBF ；②若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长；(2)如图②，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB BC ＝EFFC ＝k 时，若BE ＝1，AE ＝2，CE ＝3，求k 的值；(3)如图③，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB ＝∠GEF ＝45°时，设BE ＝m ，AE ＝n ，CE ＝p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系(直接写出结果，不必写出解答过程)．12. 如图①，菱形ABCD 中，已知∠BAD ＝120°，∠EGF ＝60°，∠EGF 的顶点G 在菱形对角线AC 上运动，角的两边分别交边BC 、CD 于点E 、F.图①(1)如图②，当顶点G 运动到与点A 重合时，求证：EC ＋CF ＝BC ； (2)知识探究：①如图③，当顶点G 运动到AC 中点时，探究线段EC 、CF 与BC 的数量关系；②在顶点G 的运动过程中，若ACCG ＝t ，请直接写出线段EC 、CF 与BC 的数量关系(不需要写出证明过程)；(3)问题解决：如图④，已知菱形边长为8，BG ＝7，CF ＝65，当t ＞2时，求EC 的长度．13.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF.(1)观察猜想如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为：____________． ②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：____________(将结论直接写在横线上)．(2)数学思考如图②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． (3)拓展延伸如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB ＝22，CD ＝14BC ，请求出GE 的长．14. 在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE.(1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F.①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF＝DF；③请直接．．写出BE的长；(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接．．写出BE＋CE的值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．备用图15.问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图①，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD>90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.操作发现(1)将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图②所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是________；(2)创新小组将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图③所示的△AC′D，连接DB、C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形．请你证明这个结论；实践探究(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图③中BC＝13 cm，AC＝10 cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移a cm，得到△A′C″D′，连接BD′，CC″，使四边形BCC″D′恰好为正方形，求a的值．请你解答此问题；(4)请你参照以上操作，将图①中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图④中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．CB 上，且CD ∶DB ＝2∶1，OB 交AD 于点E ，平行于x 轴的直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴向上平移，到C 点时停止；l 与线段OB ，AD 分别相交于M ，N 两点，以MN 为边作等边△MNP(点P 在线段MN 的下方)，设直线l 的运动时间为t(秒)，△MNP 与△OAB 重叠部分的面积为S(平方单位)． (1)直接写出点E 的坐标； (2)求S 与t 的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t ，使得S ＝12S △ABD 成立？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．备用图17. 已知点O 是△ABC 内任意一点，连接OA 并延长到E ，使得AE ＝OA ，以OB ，OC 为邻边作▱OBFC ，连接OF ，与BC 交于点H ，再连接EF.(1)如图①，若△ABC 为等边三角形，求证：①EF ⊥BC ；②EF ＝3BC ；(2)如图②，若△ABC 为等腰直角三角形(BC 为斜边)，猜想(1)中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；18. 如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD的边上)．(1)计算矩形EFGH的面积；(2)将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为316时，求矩形平移的距离；(3)如图③，将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．参考答案1. (1)解：如图①中，∵AB＝10，AC＝6，AD是BC边上中线，由旋转性质知，BE＝AC＝6，AD＝DE.∴在△ABE中，10－6<AE<10＋6，即4<2AD<16，∴2<AD<8;(2)证明：延长FD至M，使FD ＝MD ，连接ME ，MB.如图①所示． ∵ED ⊥FM ，FD ＝DM ， ∴ME ＝EF.∵CD ＝BD ，∠CDF ＝∠BDM ， ∴△CDF ≌△BDM(SAS )， ∴CF ＝BM.∵BM ＋BE>ME ，∴BE ＋CF>EF;(3)解：BE ＋DF ＝EF. 理由：延长EB 至点N ，使BN ＝DF ，图②连接CN ，如图②所示．∵∠EBC ＋∠D ＝180°，∠EBC ＋∠CBN ＝180° ∴∠D ＝∠CBN ，∴在△CDF 和△CBN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧DF ＝BN ∠D ＝∠CBN DC ＝BC， ∴△CDF ≌△CBN(SAS )，∴CF ＝CN.∵∠BCD ＝140°，∠ECF ＝70°， ∴∠DCF ＋∠BCE ＝70°，∴∠BCN ＋∠BCE ＝70°，即∠NCE ＝70°， ∴在△ECF 和△ECN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CF ＝CN ∠ECF ＝∠ECN CE ＝CE， ∴△ECF ≌△ECN(SAS )， ∴EF ＝EN.∵EB ＋BN ＝EN ，∴BE ＋DF ＝EF.2. (1)证明：∵△ABD 、△ACE 是等边三角形， ∴AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠CAE ＝∠DAB ＝60°，∴∠CAE ＋∠BAC ＝∠DAB ＋∠BAC ，即∠BAE ＝∠DAC ，在△ABE 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠BAE ＝∠DAC AE ＝AC，(2)解：∠BOC ＝90°.理由如下：由(1)得△ABE ≌△ADC ，∴∠EBA ＝∠CDA.∵∠FBA ＋∠FDA ＝180°，∴∠FBA －∠EBA ＋∠FDA ＋∠CDA ＝180°，即∠FBO ＋∠FDO ＝180°.在四边形FBOD 中，∠F ＝90°，∴∠DOB ＝360°－∠F －(∠FBO ＋∠FDO)＝90°， ∴∠BOC ＝90°. (3)解：72°.【解法提示】∠BOC ＝180°－108°＝72°. (4)解：180°－180°·（n －2）n. 【解法提示】由(3)可知，∠BOC 度数应为180°减去正多边形内角度数． 3. (1)证明：∵△PBC ∽△PAM ， ∴∠PBC ＝∠PAM.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠PBC ＋∠PBA ＝∠CBA ＝90°， ∴∠PAM ＋∠PBA ＝90°， ∴∠APN ＝90°，即AP ⊥BN ， ∴∠BPA ＝∠BAN ＝90°. ∵∠ABP ＝∠NBA ，∴△ABP ∽△NBA ，PB AB ＝PAAN ， ∴AN AB ＝PA PB .又∵△PAM ∽△PBC ， ∴PA PB ＝AM BC ，故AN AB ＝AM BC . 又∵AB ＝BC ，∴AM ＝AN ；(2)解：①点M 在AB 的延长线上时，AP ⊥BN 和AM ＝AN 仍然成立；②不存在，理由如下：选择图②，如图，以AB 为直径，作半圆O ，连接OC ，OP ，∵BC ＝1，OB ＝12， ∴OC ＝52.∵由①知，AP ⊥BN ，∴点P 一定在以点O 为圆心、半径长为12的半圆上(A ，B 两点除外)．如果存在点P ，那么OP ＋PC ≥OC ，则PC ≥5－12.∵5－12>12，故不存在满足条件的点P ，使得PC ＝12.4. (1)解：BD ＝CF 成立．理由如下：∵AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAD ＝θ，AF ＝AD ， ∴△ACF ≌△ABD ，∴CF ＝BD.(2)①证明：由(1)得，△ACF ≌△ABD ， ∴∠HFN ＝∠ADN ，在△HFN 与△ADN 中，∵∠HFN ＝∠ADN ，∠HNF ＝∠AND ， ∴∠NHF ＝∠NAD ＝90°， ∴HD ⊥HF ，即BD ⊥CF.②解：如图，连接DF ，延长AB ，与DF 交于点M ，在△MAD 中，∵∠MAD ＝∠MDA ＝45°， ∴∠BMD ＝90°.在Rt △BMD 与Rt △FHD 中， ∵∠MDB ＝∠HDF ， ∴△BMD ∽△FHD.∵AB ＝2，AD ＝32，四边形ADEF 是正方形， ∴MA ＝MD ＝322＝3，∴MB ＝MA －AB ＝3－2＝1，BD ＝MB 2＋MD 2＝12＋32＝10，又∵MD HD ＝BD FD ，即3HD ＝106， ∴DH ＝9105.5. 解：(1)由矩形性质与折叠可知，∠APO ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°， ∴∠CPO ＋∠DPA ＝∠DPA ＋∠DAP ＝90°， ∴∠DAP ＝∠CPO ， ∴△OCP ∽△PDA ， ∴S △OCP S △PDA＝(CP DA )2，即14＝(CP8)2， ∴CP ＝4，∵AP 2－DP 2＝AD 2， ∴x 2－(x －4)2＝82，解得x ＝10，故CD ＝10.(2)线段EF 的长度始终不发生变化，为2 5.证明：如图，过点N 作NG ⊥PB ，与PB 的延长线相交于点G ， ∵AB ＝AP ，∴∠APB ＝∠ABP ＝∠GBN ，在△PME 和△BNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEP ＝∠NGB ＝90°∠MPE ＝∠NBG MP ＝NB， ∴△PME ≌△BNG(AAS )， ∴ME ＝NG ，PE ＝BG ，在△FME 和△FNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEF ＝∠NGF ∠MFE ＝∠NFG ME ＝NG， ∴△FME ≌△FNG(AAS )， ∴EF ＝GF ， ∴EF ＝12EG ，∵BP ＝BE ＋EP ＝BE ＋GB ＝EG ， ∴EF ＝12BP ，∵BP ＝BC 2＋CP 2＝82＋42＝45， ∴EF ＝12BP ＝2 5.6. 解：(1)△ABP ∽△PCD.【解法提示】∵∠MPN ＝90°， ∴∠APB ＋∠DPC ＝90°， ∵∠B ＝90°，∴∠APB ＋∠BAP ＝90°， ∴∠DPC ＝∠BAP ，又∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△ABP ∽△PCD.(2)在旋转过程中，PE的值为定值．如图，过点F 作FG ⊥BC ，垂足为G.类比(1)可得：△EBP ∽△PGF ， ∴EP PF ＝PB FG ，∵∠A ＝∠B ＝∠FGB ＝90°， ∴四边形ABGF 是矩形， ∴FG ＝AB ＝2， ∵BP ＝1， ∴PE PF ＝12，即在旋转过程中，PE PF 的值为定值12. (3)由(2)知△EBP ∽△PGF ， ∴EB PG ＝BP GF ＝12，又∵AE ＝t ， ∴BE ＝2－t ，∴PG ＝2(2－t)＝4－2t ，∴AF ＝BG ＝BP ＋PG ＝1＋(4－2t)＝5－2t ， ∴S ＝S 矩形ABGF －S △AEF －S △BEP －S △PFG＝2(5－2t)－12t(5－2t)－12×1×(2－t)－12×2×(4－2t) ＝t 2－4t ＋5,即S ＝t 2－4t ＋5(0≤t ≤2)，当S ＝4.2时，4.2＝t 2－4t ＋5，解得：t 1＝2－455，t 2＝2＋455(不合题意，舍去)． ∴t 的值是2－45 5. 7. 解：(1)233.【解法提示】sin 120°＝32，故这个平行四边形的变形度是233. (2)1sin α＝S 1S 2，理由如下：如图，设矩形的长和宽分别为a ，b ，其变形后的平行四边形的高为h ，则S 1＝ab ，S 2＝ah ，sin α＝hb ，∴S 1S 2＝ab ah ＝b h ，又∵1sin α＝b h ，∴1sin α＝S 1S 2. (3)由AB 2＝AE·AD ，可得A 1B 21＝A 1E 1·A 1D 1，即A 1B 1A 1D 1＝A 1E 1A 1B 1. 又∵∠B 1A 1E 1＝∠D 1A 1B 1， ∴△B 1A 1E 1∽△D 1A 1B 1， ∴∠A 1B 1E 1＝∠A 1D 1B 1， ∵A 1D 1∥B 1C 1，∴∠A 1E 1B 1＝∠C 1B 1E 1，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝∠C 1B 1E 1＋∠A 1B 1E 1＝∠A 1B 1C 1. 由(2)结论1sin α＝S 1S 2，可得1sin ∠A 1B 1C 1＝4m2m＝2，∴sin ∠A 1B 1C 1＝12， ∴∠A 1B 1C 1＝30°， ∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝30°.8. 解：(1)根据题意BM ＝2t ，BN ＝BC －3t ，而BC ＝5×tan 60°＝5 3.∴当BM ＝BN 时，2t ＝53－3t ，解得t ＝103－15. (2)分类讨论：①当∠BMN ＝∠ACB ＝90°时，如图①， △NBM ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BMBN ， ∴2t 53－3t＝32，解得t ＝157.②当∠BNM ＝∠ACB ＝90°时，如图②， △MBN ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BNBM ， ∴53－3t 2t ＝32，解得t ＝52.因此当运动时间是157秒或52秒时，△MBN 与△ABC 相似．(3)由于△ABC 面积是定值，∴当四边形ACNM 面积最小时，△MBN 面积最大，而△MBN 的面积是S ＝12BM ×BN ×sin B ＝12×2t ×(53－3t)×12＝－32t 2＋532t ，由于a ＝－32＜0，∴当t ＝－5322×（－32）＝52时，△MBN 面积最大，最大值是－32×(52)2＋532×52＝2538，因此四边形ACNM 面积最小值是12×5×53－2538＝7538. 9. (1)分三种情况： ①若AP ＝AO ，在矩形ABCD 中，∵AB ＝6，BC ＝8， ∴AC ＝10， ∴AO ＝CO ＝5， ∴AP ＝5， ∴t ＝5，②若AP ＝PO ＝t ，在矩形ABCD 中， ∵AD ∥BC ，∴∠PAO ＝∠OCE ，∠APO ＝∠OEC ，又∵OA ＝OC ， ∴△APO ≌△CEO ，∴PO ＝OE ＝t.作AG ∥PE 交BC 于点G ，则四边形APEG 是平行四边形， ∴AG ＝PE ＝2t ，GE ＝AP ＝t. 又∵EC ＝AP ＝t ，∴BG ＝8－2t.在Rt △ABG 中，根据勾股定理知62＋(8－2t)2＝(2t)2，解得t ＝258.③若OP ＝AO ＝5，则t ＝0或t ＝8，不合题意，舍去．综上可知，当t ＝5或t ＝258时，△AOP 是等腰三角形． (2)如解图②，作OM ⊥BC ，垂足是M ，作ON ⊥CD ，垂足是N.图②则OM ＝12AB ＝3，ON ＝12BC ＝4，∴S △OEC ＝12·CE·OM ＝12·t·3＝32t ， S △OCD ＝12·CD·ON ＝12·6·4＝12. ∵QF ∥AC ，∴△DFQ ∽△DOC ， ∴S △DFQ S △DOC＝(DQ DC )2，即S △DFQ 12＝(t6)2， ∴S △DFQ ＝13t 2， ∴S 四边形OFQC ＝12－13t 2，∴S 五边形OECQF ＝S 四边形OFQC ＋S △OEC ＝12－13t 2＋32t ，即S ＝－13t 2＋32t ＋12(0＜t ＜6)．(3)存在．理由如下：要使S 五边形OECQF ：S △ACD ＝9∶16，即(－13t 2＋32t ＋12)∶(12×6×8)＝9∶16，解得t 1＝3，t 2＝1.5，两个解都符合题意，∴存在两个t 值，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16，此时t 1＝3，t 2＝1.5； (4)存在．理由如下：如解图③，作DI ⊥OP ，垂足是I ，DJ ⊥OC ，垂足是J ，图③作AG ∥PE 交BC 于点G.∵S △OCD ＝12·OC·DJ ＝12·5·DJ ，且由(2)知，S △OCD ＝12， ∴DJ ＝245.∵OD 平分∠POC ，DI ⊥OP ，DJ ⊥OC ， ∴DI ＝DJ ＝245＝4.8. ∵AG ∥PE ， ∴∠DPI ＝∠DAG. ∵AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠AGB ， ∴∠DPI ＝∠AGB ，∴Rt △ABG ∽Rt △DIP .由(1)知，在Rt △ABG 中，BG ＝8－2t ， ∴AB DI ＝BG IP ，∴64.8＝8－2t IP ， ∴IP ＝45(8－2t)．在Rt △DPI 中，根据勾股定理得 (245)2＋[45(8－2t)]2＝(8－t)2，解得t ＝11239.(t ＝0不合题意，舍去)10. 解：(1)∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ， ∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF .∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴S △AEF S △ACB ＝14. ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴S △AEF S △ABC ＝(AE AB )2， ∴(AE AB )2＝14. 在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB ＝42＋32＝5， ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52.(2)图①①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图①，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ， ∴∠CAB ＝∠CEM ， ∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形．又∵AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形．②如解图①，连接AM ，AM 与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则ME ＝AE ＝x ，EC ＝4－x. ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴△ECM ∽△ACB. ∴EC AC ＝EMAB ， ∵AB ＝5，AC ＝4， ∴4－x 4＝x5，解得x ＝209，∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169.在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM ＝EM 2－EC 2＝（209）2－（169）2＝43. ∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ， ∴S 菱形AEMF ＝4S △AOE ＝2OE·AO. 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠MAC ， ∴OE AO ＝CM AC. ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S 菱形AEMF ＝6OE 2. 又∵S 菱形AEMF ＝AE·CM ， ∴6OE 2＝209×43，∴OE ＝2109，∴EF ＝4109. (3)如图②，图②过点F 作FH ⊥CB 于点H ，在Rt △NCE 和Rt △NHF 中， ∵tan ∠ENC ＝tan ∠FNH ，∴EC NC ＝FH NH， ∵NC ＝1，EC ＝47，∴FH NH ＝47，设FH ＝x ，则NH ＝74x ，∴CH ＝NH －NC ＝74x －1.∵BC ＝3，∴BH ＝BC －CH ＝3－(74x －1)＝4－74x.在Rt △BHF 和Rt △BCA 中，∵tan ∠FBH ＝tan ∠ABC ， ∴HF BH ＝CA BC ， ∴x4－74x ＝43，解得x ＝85，∴HF ＝85.∵∠B ＝∠B ，∠BHF ＝∠BCA ＝90°， ∴△BHF ∽△BCA ， ∴HF CA ＝BFBA，即HF·BA ＝CA·BF ， ∴85×5＝4BF ， ∴BF ＝2，∴AF ＝AB －BF ＝3， ∴AF BF ＝32. 11. (1)①证明：如图①， ∵∠ACE ＋∠ECB ＝45°，∠BCF ＋∠ECB ＝45°，图①∴∠ACE ＝∠BCF ，又∵四边形ABCD 和EFCG 是正方形， ∴AC BC ＝CECF＝2， ∴△CAE ∽△CBF.②解：∵AE BF ＝ACBC ＝2，AE ＝2，∴BF ＝AE2＝2，由△CAE ∽△CBF 可得∠CAE ＝∠CBF ，又∵∠CAE ＋∠CBE ＝90°， ∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°，即∠EBF ＝90°，由CE 2＝2EF 2＝2(BE 2＋BF 2)＝6，图② 解得CE ＝ 6.(2)解：连接BF ，如图②，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝90°，AC BC ＝AE BF，由AB BC ＝EFFC＝k ，可得BC ∶AB ∶AC ＝1∶k ∶k 2＋1， CF ∶EF ∶EC ＝1∶k ∶k 2＋1，∴CE EF ＝ACAB ＝k 2＋1k ，AE BF ＝AC BC＝k 2＋1， ∴EF ＝kCE k 2＋1，EF 2＝k 2CE 2k 2＋1，BF ＝AE k 2＋1，BF 2＝AE 2k 2＋1，∴CE 2＝k 2＋1k 2×EF 2＝k 2＋1k2(BE 2＋BF 2)， ∴32＝k 2＋1k 2(12＋22k 2＋1)，解得k ＝104. (3)解：p 2－n 2＝(2＋2)m 2.【解法提示】如图③，连接BF ，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝90°，过点C 作CH ⊥AB 交AB 延长线于点H ，类比第(2)问得AB 2∶BC 2∶AC 2＝1∶1∶(2＋2)，图③EF 2∶FC 2∶EC 2＝1∶1∶(2＋2)， ∴p 2＝(2＋2)EF 2 ＝(2＋2)(BE 2＋BF 2)＝(2＋2)(m 2＋n 22＋2)＝(2＋2)m 2＋n 2，∴p 2－n 2＝(2＋2)m 2.12. (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴∠BAC ＝60°，∠B ＝∠ACF ＝60°，AB ＝BC ， ∴AB ＝AC ，∵∠BAE ＋∠EAC ＝∠EAC ＋∠CAF ＝60°， ∴∠BAE ＝∠CAF ，在△BAE 和△CAF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CAF AB ＝AC ∠B ＝∠ACF， ∴△BAE ≌△CAF(ASA )， ∴BE ＝CF ，∴EC ＋CF ＝EC ＋BE ＝BC ，即EC ＋CF ＝BC ；(2)解：①线段EC ，CF 与BC 的数量关系为：EC ＋CF ＝12BC.理由如下：如图①，过点A 作AE′∥EG ，AF ′∥GF ，分别交BC 、CD 于E′、F′.图①类比(1)可得：E′C ＋CF′＝BC ， ∵G 为AC 中点，AE ′∥EG ， ∴CE CE′＝CG AC ＝12， ∴CE ＝12CE′，同理可得：CF ＝12CF′，∴CE ＋CF ＝12CE′＋12CF′＝12(CE′＋CF′)＝12BC ，即CE ＋CF ＝12BC ；②CE ＋CF ＝1tBC ；【解法提示】类比(1)可得：E′C ＋CF′＝BC ， ∵AE ′∥EG ，ACCG ＝t ，∴CE CE′＝CG AC ＝1t， ∴CE ＝1t CE′，同理可得：CF ＝1tCF′，∴CE ＋CF ＝1t CE′＋1t CF′＝1t (CE′＋CF′)＝1t BC ，即CE ＋CF ＝1tBC.(3)解：如图②，连接BD 与AC 交于点H.图②在Rt △ABH 中，∵AB ＝8，∠BAC ＝60°， ∴BH ＝AB·sin 60°＝8×32＝43， AH ＝CH ＝AB·cos 60°＝8×12＝4，∴GH ＝BG 2－BH 2＝72－（43）2＝1， ∴CG ＝4－1＝3， ∴CG AC ＝38， ∴t ＝83(t ＞2)，由(2)②得：CE ＋CF ＝1t BC ，∴CE ＝1t BC －CF ＝38×8－65＝95.∴EC 的长度为95.13. (1)解：①BC ⊥CF ；②BC ＝CD ＋CF. 【解法提示】①∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ，∵BC ＝CD ＋BD ，∴BC ＝CD ＋CF.(2)解：结论①仍然成立，②不成立． ①证明：∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ，∴∠ACF ＝∠ABD ＝180°－45°＝135°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②结论为：BC ＝CD －CF. 证明：∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ，∵BC ＝CD －BD ，∴BC ＝CD －CF.(3)解：如图，过点E 作EM ⊥CF 于M ，作EN ⊥BD 于点N ，过点A 作AH ⊥BD 于点H. ∵AB ＝AC ＝22，∴BC ＝4，AH ＝12BC ＝2，∵CD ＝14BC ，∴CD ＝1，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，∴CN ＝ME ，CM ＝EN ， ∴∠AGC ＝∠ABC ＝45°， ∴CG ＝BC ＝4， ∵∠ADE ＝90°，∴∠ADH ＋∠EDN ＝∠EDN ＋∠DEN ＝90°， ∴∠ADH ＝∠DEN ，又∵∠AHC ＝∠DNE ＝90°，AD ＝DE ， ∴△AHD ≌△DNE ，∴DN ＝AH ＝2，EN ＝DH ＝3， ∴CM ＝EN ＝3，ME ＝CN ＝3，则GM ＝CG －CM ＝4－3＝1，∴EG ＝EM 2＋GM 2＝10.14. (1)①证明：∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝60°， ∴△ABD 是等边三角形；②证明：由①得△ABD 是等边三角形， ∴AB ＝BD ，∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ， ∴AC ＝AE ，BC ＝DE ，∴EA ＝ED ，∴点B ，E 在AD 的中垂线上， ∴BE 是AD 的中垂线， ∵点F 在BE 的延长线上， ∴BF ⊥AD ，AF ＝DF ； ③解：BE 的长为33－4；【解法提示】由②知AF ＝12AD ＝12AB ＝3，AE ＝AC ＝5，BF ⊥AD ，由勾股定理得EF ＝AE 2－AF 2＝4.在等边△ABD 中，AB ＝6，BF ⊥AD ， ∴BF ＝32AB ＝33，∴BE ＝33－4. (2)解：BE ＋CE 的值为13；【解法提示】如图， ∵∠DAG ＝∠ACB ，∴∠DAB ＝2∠CAB. ∵∠DAE ＝∠CAB ， ∴∠BAE ＝∠CAB ， ∴∠BAE ＝∠CBA ， ∴AE ∥BC ，∵AE ＝AC ＝BC ，∴四边形ACBE 是菱形，∴CE 垂直平分AB ，BE ＝AC ＝5.设CE 交AB 于M ，则CM ⊥AB ，CM ＝EM ，AM ＝BM ， ∴在Rt △ACM 中，AC ＝5，AM ＝3，由勾股定理得CM ＝4， ∴CE ＝8，∴CE ＋BE ＝13. 15. (1)解：菱形．(2)证明：如解图①，作AE ⊥CC′于点E ，由旋转得AC′＝AC ，∴∠CAE ＝∠C′AE ＝12α＝∠BAC ，图①∴BA ＝BC ，BC ＝DC′， ∴∠BCA ＝∠BAC ， ∴∠CAE ＝∠BCA ， ∴AE ∥BC ，同理AE ∥DC′， ∴BC ∥DC ′，∴四边形BCC′D 是平行四边形，又∵AE ∥BC ，∠CEA ＝90°， ∴∠BCC ′＝180°－∠CEA ＝90°，∴四边形BCC′D 是矩形．(3)解：如解图①，过点B 作BF ⊥AC 于点F ， ∵BA ＝BC ，∴CF ＝AF ＝12AC ＝12×10＝5.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2－CF 2＝132－52＝12. 在△ACE 和△CBF 中，∵∠CAE ＝∠BCF ，∠CEA ＝∠BFC ＝90°， ∴△ACE ∽△CBF ， ∴CE BF ＝AC BC ，即CE 12＝1013，解得CE ＝12013.∵AC ＝AC′，AE ⊥CC ′， ∴CC′＝2CE ＝2×12013＝24013.当四边形BCC″D′恰好为正方形时，分两种情况： ①点C″在边CC′上，a ＝CC′－13＝24013－13＝7113，②点C″在边C′C 的延长线上，a ＝CC′＋13＝24013＋13＝40913.综上所述，a 的值为7113或40913.图②(4)解：答案不唯一，例：画出正确图形如图②所示．平移及构图方法：将△ACD 沿着射线CA 方向平移，平移距离为12AC 的长度，得到△A′C′D ，连接A′B ，DC.结论：四边形A′BCD 是平行四边形． 16. 解：(1)点E 的坐标是(33，3)．【解法提示】如∵OA ∥BC ，∴△DEB ∽△AEO ， ∴OE EB ＝OA BD ＝BC BD ＝BD ＋CD BD ＝1＋CD BD＝1＋2＝3， ∵∠EHO ＝∠BAO ＝90°， ∴EH ∥AB ，∴△OEH ∽△OBA ， ∴OE OB ＝EH AB ＝OH OA ＝34， ∵AB ＝4，OA ＝43， ∴EH ＝3，OH ＝33， ∴点E 的坐标是(33，3)．(2)如解图①，在矩形OABC 中，∵CD ∶DB ＝2∶1，点B 的坐标为(43，4), ∴点A 的坐标为(43，0)，点D 的坐标为(833，4)，可得直线OB 的解析式为y 1＝33x ，直线AD 的解析式为y 2＝－3x ＋12.当y 1＝y 2＝t 时，可得点M ，N 的横坐标分别为： x M ＝3t ，x N ＝43－33t ，则MN ＝|x N －x M |＝|43－433t|(0≤t ≤4)．当点P 运动到x 轴上时(如图②)，图①∵△MNP 为等边三角形， ∴MN ·sin 60°＝t ，即(43－433t)·32＝t ，解得t ＝2.讨论：分三种情况：①当0≤t ＜2时(如图①)，设PM ，PN 分别交x 轴于点F ，G ，则△PFG 的边长为PF ＝MP －MF ＝MN －MF ＝43－433t －233t ＝43－23t ， ∵MN ＝x N －x M ＝43－433t ，图②∴S ＝S 梯形FGNM ＝(43－23t ＋43－433t)t ×12＝－533t 2＋43t. ②当2≤t ≤3时(如图②)，此时等边△MNP 整体落在△OAB 内， ∴S ＝S △PMN ＝34(43－433t)2＝433t 2－83t ＋12 3. ③当3＜t ≤4时(如图③)，在Rt △OAB 中，tan ∠AOB ＝AB AO ＝33， ∴∠AOB ＝30°，∠NME ＝30°，图③∴△MNE 和△MPE 关于直线OB 对称． ∵MN ＝|x N －x M |＝433t －43， ∴S ＝12S △PMN ＝233t 2－43t ＋6 3.(3)存在t ，使S ＝12S △ABD 成立．∵S △ABD ＝12×4×433＝833，若S ＝12S △ABD 成立，则：①当0≤t ＜2时，－533t 2＋43t ＝433，解得t 1＝2(舍去)，t 2＝25．②当2≤t ≤3时，433t 2－83t ＋123＝433，解得t 3＝2，t 4＝4.(舍去)③当3＜t ≤4时，233t 2－43t ＋63＝433，得t 5＝3＋2(舍去)，t 6＝3－2(舍去)．综上所述，符合条件的t 的值有25或2.17. 证明：(1)①连接AH ，如图①，连接AH.图①∴BH ＝HC ＝12BC ，OH ＝HF ，∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ，AH ⊥BC ，在Rt △ABH 中，AH 2＝AB 2－BH 2， ∴AH ＝BC 2－（12BC ）2＝32BC ，∵OA ＝AE ，OH ＝HF ，∴AH 是△OEF 的中位线， ∴AH ＝12EF ，AH ∥EF ，∴EF ⊥BC. ②由①得AH ＝32BC ， AH ＝12EF∴32BC ＝12EF ， ∴EF ＝3BC.(2)EF ⊥AB 仍然成立，EF ＝BC.图②【解法提示】如解图②，连接AH ， ∵四边形OBFC 是平行四边形， ∴BH ＝HC ＝12BC ，OH ＝HF ，∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴AH ⊥BC ，在Rt △ABH 中，AH 2＝AB 2－BH 2＝ (2BH)2－BH 2＝BH 2， ∴AH ＝BH ＝12BC ，∵OA ＝AE ，OH ＝HF ， ∴AH 是△OEF 的中位线， ∴AH ＝12EF ，AH ∥EF ，∴EF ⊥BC ，EF ＝2AH ＝BC.(3)EF ＝4k 2－1 BC.【解法提示】如解图③，连接AH ， ∵四边形OBFC 是平行四边形， ∴BH ＝HC ＝12BC ，OH ＝HF ，∵△ABC 是等腰三角形，AB ＝kBC ，∴AH ⊥BC ，在Rt △ABH 中，AH 2＝AB 2－BH 2＝(kBC)2－(12BC)2＝(k 2－14)BC 2，∴AH ＝124k 2－1 BC ，∵OA ＝AE ，OH ＝HF ， ∴AH 是△OEF 的中位线， ∴AH ＝12EF ，AH ∥EF ，∴EF ⊥BC ，124k 2－1 BC ＝12EF ，∴EF ＝4k 2－1 BC.18. 解：(1)如图①，在△ABC 中， ∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1， ∴AB ＝2，又∵D 是AB 的中点，图①∴AD ＝1，CD ＝12AB ＝1，又∵EF 是△ACD 的中位线，∴EF ＝DF ＝12，在△ACD 中，AD ＝CD ，∠A ＝60°，∴△ACD 为等边三角形， ∴∠ADC ＝60°，在△FGD 中，GF ＝DF·sin 60°＝34， ∴矩形EFGH 的面积S ＝EF·GF ＝12×34＝38.(2)如图②，设矩形移动的距离为x ，则0＜x ≤12，①当矩形与△CBD 重叠部分为三角形时，则0＜x ≤14，重叠部分的面积S ＝12x·3x ＝316，∴x ＝24＞14(舍去)， ②当矩形与△CBD 重叠部分为直角梯形时，则14＜x ≤12，重叠部分的面积S ＝34x －12×14×34＝316， ∴x ＝38，即矩形移动的距离为38时，矩形与△CBD 重叠部分的面积是316.图③(3)如图③，作H 2Q ⊥AB 于Q ，设DQ ＝m ，则H 2Q ＝3m ，又DG 1＝14，H 2G 1＝12，在Rt △H 2QG 1中， (3m)2＋(m ＋14)2＝(12)2，解得m 1＝－1＋1316，m 2＝－1－1316＜0(舍去)，∴cos α＝QG 1F 1G 1＝－1＋1316＋1412＝3＋138.。

河南数学中考题型汇总几何探究题题型练习含答案

河南数学中考题型汇总几何探究题题型练习含答案类型 1 实践操作类探究题角度1 折叠类1.[2022河南]综合与实践综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.(1)操作判断操作一:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平,连接PM,BM.根据以上操作,当点M在EF上时,写出图(1)中一个30°的角:.(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片,继续探究,过程如下.将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作,并延长PM交CD于点Q,连接BQ.①如图(2),当点M在EF上时,∠MBQ= °,∠CBQ= °;②改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合),如图(3),判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系,并说明理由.(3)拓展应用在(2)的探究中,已知正方形纸片ABCD的边长为8 cm,当FQ=1 cm时,直接写出AP 的长.图(1)图(2)图(3)2.[2022河南省实验模拟]问题情境数学活动课上,同学们开展了以折叠为主题的探究活动,如图(1),已知矩形纸片ABCD(AD>AB),其中宽AB=8.动手实践(1)如图(1),威威同学将矩形纸片ABCD折叠,点A落在BC边上的点M处,折痕为BN,连接MN,然后将纸片展平,得到四边形ABMN,则折痕BN的长为;探究发现(2)如图(2),胜胜同学将图(1)中的四边形ABMN剪下,取AN边的中点E,将△ABE 沿BE折叠得到△A'BE,延长BA'交MN于点F.点Q为BM边的中点,点P是MN边上一动点,将△MQP沿PQ折叠,当点M的对应点M'落在线段BF上时,求此时tan∠PQM的值;反思提升(3)明明同学改变图(2)中点Q的位置,即点Q为BM边上一动点,点P仍是MN边上一动点,按照(2)中方式折叠△MQP,使点M'落在线段BF上,明明同学不断改变点Q 的位置,发现在某一位置∠QPM与(2)中的∠PQM相等,请直接写出此时BQ的长.图(1)图(2)备用图3.综合与实践——探究平行四边形折叠中的数学问题问题情境已知▱ABCD中,ÐA为锐角,AB<AD,点E,F分别是AB,CD边的中点,点G,H分别是AD,BC边上的点,分别沿EG和FH折叠▱ABCD,点A,C的对应点分别为点A',C'.操作分析(1)如图(1),点A'与点B重合,点C'与点D重合.①四边形BHDG 平行四边形(填“是”或“不是”).②当▱ABCD满足某个条件时,四边形BHDG能成为矩形.这个条件可以是.(2)点A',C'均落在▱ABCD内部(含边界),连接A'H,C'G,若AG=CH,则四边形A'HC'G是平行四边形吗?若是,请就图(2)进行证明;若不是,请说明理由.拓展探究(3)在(2)的条件下,若ÐA=60°,AD=2AB=8,且A'G与▱ABCD的一边平行,则此时四边形A'HC'G的面积为.图(1)图(2)备用图4.综合与实践数学活动课上,张老师找来若干张等宽的矩形纸条,让学生们进行折纸探究. (1)希望小组将如图(1)所示的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在AB边上的点D'处,折痕为AE.填空:图(1)中四边形ADED'的形状是.(2)智慧小组准备了一张如图(2)所示的长、宽之比为3∶2的矩形纸片ABCD,用希望小组的方法折叠纸片,得到四边形ADED',接着沿过点B的直线折叠纸片,使点C落在ED'上的点M处,折痕为BF.求∠MBC的度数.(3)勤奋小组拿着一张如图(3)所示长为4,宽为2的矩形纸片ABCD,利用希望小组的方法折叠纸片,得到四边形ADED',在CE上取一点F(不与点C,E重合),沿BF 折叠△BCF,点C的对应点为N,射线FN交直线AB于点H.①HF与HB的数量关系为.②当射线FN经过△AED'的直角边的中点时,直接写出FC的长.图(1)图(2)图(3)5.综合与实践问题情境数学活动课上,老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题,开展数学活动,如图(1),在矩形ABCD中,AB=8,BC=4.观察发现(1)如图(2),智慧小组连接对角线BD,将矩形纸片ABCD沿直线BD折叠,使点A落在点P的位置,PB交CD于点Q,连接AP.直接写出图中所有的等腰三角形:.(不再添加字母)探究证明(2)求实小组在智慧小组的启发下,又对矩形纸片ABCD进行了如下操作,并对其中所产生的问题进行了探究:如图(3),沿过点A的直线折叠,使点B的对应点F 落在CD上,折痕交BC于点E,过点F作FG∥BC交AE于点G,连接BG.①小组成员发现四边形BEFG是特殊四边形.请你判断四边形BEFG的形状,并说明理由.②小组成员通过计算求得四边形BEFG的面积.请你直接写出这个面积:.探索拓广(3)参照上面的探究方式,对图(1)进行一次折叠操作,使点B的对应点B'落在BD 的三等分点上,设折痕与AB交于点N.请直接写出BN的长.图(1)图(2)图(3)角度2 旋转类6.综合与实践——图形变换中的数学问题问题情境数学活动课上,老师出示了一个问题:如图(1),已知正方形ABCD、矩形BCEF,点E,F分别在边CD,AB上,且BF=k(3<k<5),BC=5.将矩形BCEF绕点B顺时针旋转得到矩形BGHK,点G,H,K分别是点C,E,F的对应点,如图(2).图(1)图(2)图(3)图(4)同学们通过小组合作,提出下列数学问题,请你解答.(1)在图(2)中,连接BE,BH,EH,CG,得到图(3),可以发现在旋转过程中存在一个三角形始终与△BCG相似,这个三角形是,它与△BCG的相似比为(用含k的式子表示).(2)如图(4),矩形BGHK的顶点K恰好落在正方形ABCD的对角线AC上,KH交DC 的延长线于点T.求证:BK=KT.(3)在旋转过程中,连接CH,CK.若k=23,则当CH=CK时,直接写出CK的长.备用图(1)备用图(2)角度3 平移类7.综合与实践问题背景如图(1),在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,点E为边BC上一点,沿直线DE将矩形折叠,使点C落在AB边上的点C'处.问题解决(1)填空:AC'的长为.(2)如图(2),展开后,将△DC'E沿线段AB向右平移,使点C'的对应点与点B重合,得到△D'BE',D'E'与BC交于点F,D'B与DE交于点G.求EF的长.拓展探究(3)如图(3),在△DC'E沿射线AB向右平移的过程中,设点C'的对应点为C″,则当△D'C″E'在线段BC上截得的线段PQ(D'E',折线D'C″E'分别与BC交于点P,Q)的长度为2时,直接写出平移的距离.图(1)图(2)图(3)角度4 尺规作图类8.[2022南阳宛城区一调]下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作线段AB的垂直平分线的讨论片段,请仔细阅读,并完成相应的任务.任务:(1)小明的作图依据是.(2)小军作图得到的直线CP是线段AB的垂直平分线吗?请判断并说明理由.(3)如图(3),已知△ABC中,CA=CB,∠ACB=30°,点D,E分别是射线CA,CB上的动点,且CD=CE,连接BD,AE,交点为P.当AB=6,∠PAB=45°时,请直接写出线段CD 的长.图(3)9.[2022开封二模]中华文明源远流长,图(1)是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形,人们称它为“赵爽弦图”.2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标,该图由4个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间一个小正方形,巧妙地证明了勾股定理.问题发现如图(1),若直角三角形的直角边BC=3,斜边AB=5,则中间小正方形的边长CD= ,连接BD,△ABD的面积为.知识迁移如图(2),P是正方形ABCD内一点,连接PA,PB,PC,当∠BPC=90°,BP=10时,△PAB的面积为.拓展延伸如图(3),已知∠MBN=90°,以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交射线BM,BN 于点A,C.(1)已知D为线段AB上一动点,连接CD,过点B作BE⊥CD,垂足为点E,在线段CE 上取一点F,使EF=BE,过点F作GF⊥CD交BC于点G,试判断BE,DE,GF这三条线段之间的数量关系,并说明理由.(2)在(1)的条件下,若D为射线BM上一动点,F为射线EC上一点,当AB=10,CF=2时,直接写出线段DE的长.图(1)图(2)图(3)备用图类型 2 阅读理解类探究题10.[2022许昌二模]问题情境数学课上,王老师出示了这样一个问题:如图(1),在矩形ABCD中,AD=2AB,点E是AB延长线上一点,且BE=AB,连接DE,交BC于点M,以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM.试判断线段AM与DE的位置关系.探究展示小明发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法:证明:∵BE=AB,∴AE=2AB.又∵AD=2AB,∴AD=AE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴.(平行线分线段成比例)∵BE=AB,∴EM=1,∴EM=DM,DM即AM是△ADE的边DE上的中线.又∵AD=AE,∴.(等腰三角形的“三线合一”)∴AM垂直平分DE.反思交流(1)请将上述证明过程补充完整;(2)小颖受到小明的启发,继续进行探究,如图(2),连接CE,以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG,发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明;图(1)图(2)拓展应用(3)如图(3),连接CE,以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG,分别以点B,C 为圆心,m为半径作弧,两弧交于点M,连接MF.若MF=AB=1,请直接写出m的值.图(3)11.[2022商丘二模]如下是小明复习全等三角形时遇到的一个问题及由此引发的思考,请帮助小明完成以下学习任务.如图(1),OC平分∠AOB,点P在OC上,点M,N分别是OA,OB上的点,且OM=ON.求证:PM=PN.小明的思考:要证明PM=PN,只需证明△MOP≌△NOP即可.证明:如图(1),∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC.又∵OP=OP,OM=ON,∴△MOP≌△NOP,∴PM=PN.请仔细阅读并完成以下任务.(1)小明得出△MOP≌△NOP的依据是(填序号).①SSS ②SAS ③AAS ④ASA⑤HL(2)如图(2),在四边形ABCD中,AB=AD+BC,∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上的点P.求证:PC=PD.,当△PBC有一个内角是45°时,△PAD(3)在(2)的条件下,若AB=10,tan∠PAB=12的面积是.图(1)图(2)备用图(1)备用图(2)类型 3 类比、拓展探究题12.[2021湖北仙桃]已知△ABC和△DEC都为等腰三角形,AB=AC,DE=DC,∠BAC=∠EDC=n°.(1)当n=60时:①如图(1),当点D在AC上时,请直接写出BE与AD的数量关系:;②如图(2),当点D不在AC上时,判断线段BE与AD的数量关系,并说明理由.(2)当n=90时:①如图(3),探究线段BE 与AD 的数量关系,并说明理由; ②当BE ∥AC ,AB=3√2,AD=1时,请直接写出DC 的长.图(1) 图(2) 图(3)答案：1.(1)∠ABP ,∠PBM ,∠MBC 或∠BME (注:任意写出一个即可) (2)①15 15②∠MBQ=∠CBQ. 理由如下:∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC ,∠A=∠C=90°. 由轴对称性质,得BM=AB ,∠BMP=∠A=90°,∴∠BMQ=90°=∠C ,BM=BC.又∵BQ 是公共边,∴Rt △MBQ ≌Rt △CBQ ,∴∠MBQ=∠CBQ.(3)4011 cm 或2413cm. 解法提示:由翻折的性质知AP=PM ,DF=CF=4. 由(2)可知,△MBQ ≌△CBQ ,∴MQ=CQ. 分两种情况讨论.①当点Q 在EF 下方时,如图(1),则MQ=CQ=4-1=3,DQ=4+1=5,PQ=AP+3,PD=8-AP. 由勾股定理,得PD 2+DQ 2=PQ 2,∴(8-AP )2+52=(AP+3)2,∴AP=4011.图(1)②当点Q 在EF 上方时,如图(2),则MQ=CQ=4+1=5,DQ=4-1=3,PQ=AP+5,PD=8-AP. 由勾股定理,得PD 2+DQ 2=PQ 2,∴(8-AP )2+32=(AP+5)2,∴AP=2413.图(2)综上所述,AP 的长为4011 cm 或2413cm. 2.(1)8√2(2)如图(1),连接MM'交PQ 于点O ,连接EF.图(1)由折叠的性质知,点O 为MM'的中点. 又∵点Q 为BM 边的中点,∴QO ∥BM',即QP ∥BF ,∴∠PQM=∠FBM.∵点E 是AN 边的中点,且将△ABE 沿BE 折叠得到△A'BE , ∴EN=EA',∠EA'F=∠N=90°. 又∵EF=EF ,∴Rt △NEF ≌Rt △A'EF. 设NF=x ,则A'F=x ,MF=8-x ,∴BF=BA'+A'F=BA+A'F=8+x.在Rt △BMF 中,由勾股定理,得BM 2+FM 2=BF 2, 即82+(8-x )2=(8+x )2,解得x=2,∴FM=6,∴tan ∠FBM=FM BM =68=34,∴tan ∠PQM=34. (3)BQ 的长为398. 解法提示:如图(2),连接MM'交PQ 于点G.图(2)由折叠的性质知,PQ 垂直平分MM',∴∠QPM+∠PMM'=90°.∵∠PMQ=90°,∴∠PMM'+∠M'MB=90°, ∴∠QPM=∠M'MB.由(2)知,(2)中∠PQM=∠M'BM. 又∵∠QPM 与(2)中的∠PQM 相等,∴∠M'BM=∠M'MB.过点M'作M'H ⊥BM 于点H ,则BH=MH=4,M'H BH =34, ∴M'H=3.设MQ=M'Q=a ,则HQ=4-a.在Rt △M'HQ 中,根据勾股定理,得M'H 2+HQ 2=M'Q 2, 即32+(4-a )2=a 2,解得a=258, ∴BQ=8-258=398. 3.(1)①是解法提示:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠A=∠C ,∠ABC=∠ADC ,AD ∥BC. 如图(1),由折叠可知,∠A=∠1,∠C=∠2,图(1)∴∠1=∠2,∴∠ABC-∠1=∠ADC-∠2,即∠3=∠4. ∵AD ∥BC ,∴∠4+∠5=180°,∴∠3+∠5=180°, ∴BG ∥DH ,∴四边形BHDG 是平行四边形. ②∠A=45°(答案不唯一,正确即可) 解法提示:∵四边形BHDG 是矩形,∴∠BGD=90°,∴∠AGB=90°, 又由折叠可知,AG=A'G ,∴∠A=45°. (2)四边形A'HC'G 是平行四边形. 证明:如图(2),连接GH.图(2)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠A=∠C ,AB=CD ,AD ∥BC. ∵点E ,F 分别是AB ,CD 的中点,∴AE=12AB ,CF=12CD ,∴AE=CF. ∵AG=CH ,∴△AEG ≌△CFH , ∴∠1=∠3.由折叠可知,∠1=∠2,∠3=∠4,AG=A'G ,CH=C'H ,∴∠1=∠2=∠3=∠4,A'G=C'H. ∵AD ∥BC ,∴∠AGH=∠CHG ,∴∠5=∠6, ∴A'G ∥C'H ,∴四边形A'HC'G 是平行四边形. (3)2√3或4√3解法提示:当A'G ∥BC 时,如图(3),点A'落在AD 上,EG ⊥AD ,则A'G=AG=12AE=1,∴S 四边形A'HC'G =A'G ·AB sin 60°=1×4×√32=2√3.图(3)当A'G ∥AB 时,如图(4),则∠AGA'=120°,∴∠AGE=∠A'GE=60°,图(4)从而易得△AEG ,△A'EG ,△CHF ,△C'HF 均是等边三角形,EA'∥BC ,C'F ∥AD ,∴S 四边形A'HC'G =S ▱ABCD -4S △AEG -2S 四边形A'EBH=8×4×√32-4×√34×22-2×12×(2+6)×2×√32=4√3. 综上可知,四边形A'HC'G 的面积为2√3或4√3. 4.(1)正方形(2)由题意可知,AB∶AD=3∶2,∴设AD=2a ,AB=3a , ∴BM=BC=AD'=2a ,∴BD'=a ,∴sin ∠BMD'=a 2a =12,∴∠BMD'=30°.又ED'∥AD ∥BC ,∴∠MBC=∠BMD'=30°. (3)①HF=HB②FC 的长为3-√5或23. 解法提示:①∵DC ∥AB ,∴∠CFB=∠ABF. 由折叠可知∠CFB=∠NFB ,∴∠ABF=∠NFB ,∴HF=HB.②设FC=NF=x ,分两种情况讨论.a.当射线FN 经过AD'的中点时,点H 即为AD'的中点,如图(1),则HF=HB=3,∴HN=3-x.在Rt △HBN 中,由勾股定理,得HN 2+BN 2=HB 2,∴(3-x )2+22=32,解得x=3-√5(不合题意的值已舍去),∴FC=3-√5.图(1)b.当射线FN 经过ED'的中点P 时,如图(2), 易证△HD'P ≌△FEP ,∴HD'=EF=2-x ,∴HF=HB=2-x+2=4-x , ∴HN=4-x-x=4-2x.在Rt △HBN 中,由勾股定理,得BN 2+HN 2=HB 2,∴22+(4-2x )2=(4-x )2,解得x=23(不合题意的值已舍去),∴FC=23.图(2)综上可知,当射线FN 经过△AED'的直角边的中点时,FC 的长为3-√5或23. 5.(1)△ADP ,△ABP ,△BDQ (2)①四边形BEFG 是菱形. 理由如下:由折叠知∠BEG=∠FEG.∵FG ∥BC ,∴∠EGF=∠BEG , ∴∠EGF=∠FEG ,∴FG=FE. 又∵FE=BE ,∴FG=BE ,∴四边形BEFG 是平行四边形. 又∵FE=BE ,∴四边形BEFG 是菱形.②224-128√3解法提示:由折叠的性质知AF=AB=8.在Rt △ADF 中,由勾股定理得DF=√AF 2-AD 2=√82-42=4√3,∴CF=8-4√3. 设BE=y ,则EF=y ,CE=4-y.在Rt △CEF 中,由勾股定理得EF 2=CF 2+CE 2, 即y 2=(8-4√3)2+(4-y )2,解得y=16-8√3,∴S 四边形BEFG =BE ·CF=(16-8√3)×(8-4√3)=128-64√3-64√3+96=224-128√3.(3)BN 的长为103或53. 解法提示:分两种情况讨论.①当点B'落在离点D 较近的三等分点上时,如图(1),过点B'作B'H ⊥AB 于点H ,易知B'H=83,BH=163,B'N=BN ,∴HN=163-BN. 根据勾股定理,得B'H 2+HN 2=B'N 2,即(83)2+(163-BN )2=BN 2,∴BN=103.图(1) 图(2)②当点B'落在离点B 较近的三等分点上时,如图(2),同理可求得BN=53. 综上可知,BN 的长为103或53. 6.(1)△BEH√k 2+255(2)证明:如图(1),过点K 分别作KN ⊥BC 于点N ,KM ⊥CD 于点M , 则KN=KM ,∠MKN=90°=∠BKH ,∴∠TKM=∠BKN.又∠TMK=∠BNK=90°,∴△TMK ≌△BNK ,∴BK=KT.图(1)(3)CK 的长为√7或√67.解法提示:分如图(2)、图(3)所示的两种情况讨论,连接CG ,过点K 作KP ⊥BC ,垂足为点P.图(2)图(3)∵CK=CH ,∴∠CKH=∠CHK ,∴∠CKB=∠CHG. 又KB=HG ,∴△CKB ≌△CHG ,∴CG=CB=BG ,∴△CBG 是等边三角形, ∴∠CBG=60°. 图(2)中∠KBC=30°,∴KP=12KB=√3,BP=√32KB=3, ∴CP=2,∴CK=√(√3)2+22=√7. 图(3)中∠KBP=30°,∴KP=12KB=√3,BP=√32KB=3, ∴CP=8,∴CK=√(√3)2+82=√67. 综上可知,CK 的长为√7或√67. 7.(1)6(2)由(1)得AC'=6,∴BC'=AB -AC'=10-6=4.在Rt △BEC'中,设BE=x ,则EC'=EC=8-x ,根据勾股定理,得(8-x )2=x 2+42, 解得x=3,即BE=3,∴EC'=EC=5.连接EE',由平移可知,EE'=C'B=4,EE'∥AB ∥CD ,DE ∥D'E',∴△FEE'∽△FCD'∽△ECD , ∴EF∶EE'=EC∶DC=5∶10=1∶2, 又EE'=4,∴EF=2.(3)平移的距离为85或385. 解法提示:设平移的距离为x. 分两种情况讨论.①当点C″在BC 左侧时,如图(1),则BC″=4-x ,D'C=10-x ,∴CP=D'C ·tan ∠CD'P=D'C ·tan ∠CDE=510(10-x )=12(10-x ),BQ=BC″·tan ∠QC″B=BC″·tan ∠ADC'=68(4-x )=34(4-x ). 又CP+PQ+BQ=8,PQ=2,∴12(10-x )+2+34(4-x )=8,解得x=85.图(1) 图(2)②当点C″在BC 右侧时,如图(2),则BC″=x -4,D'C=10-x ,∴CP=D'C ·tan ∠CD'P=12(10-x ),BQ=BC″·tan ∠QC″B=BC″·tan ∠AC'D=43(x-4). 又CP+PQ+BQ=8,PQ=2,∴12(10-x )+2+43(x-4)=8,解得x=385.综上可知,平移的距离为85或385. 8.(1)等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合 (2)是. 理由如下:由作图可知,CA=CB ,CD=CE. 又∵∠ACE=∠BCD ,∴△ACE ≌△BCD , ∴∠CAE=∠CBD. ∵CA=CB ,∴∠CAB=∠CBA , ∴∠PAB=∠PBA ,∴AP=BP ,∴直线CP 是线段AB 的垂直平分线. (3)线段CD 的长为√3+1或3√3+3. 解法提示:∵CD=CE ,∠C=∠C ,CA=CB ,∴△CAE ≌△CBD ,∴∠CAE=∠CBD. ∵CA=CB ,∠ACB=30°, ∴∠CAB=∠CBA=75°,∴∠PBA=∠PAB=45°,∴∠APB=90°, ∴PA=PB=√22AB=√3. 分两种情况讨论.①当点P 在AB 上方时,如图(1),图(1)则∠DAP=∠EBP=30°,∠APD=90°,∴DB=DC ,DP=√33AP=1,∴CD=DB=√3+1. ②当点P 在AB 下方时,如图(2), 则∠DAP=∠EBP=60°,∠APD=90°,∴∠ADP=30°,∴BD=BC,DP=√3AP=3,AD=2AP=2√3,∴BC=BD=√3+3,∴CD=CA+AD=CB+AD=√3+3+2√3=3√3+3.综上可知,线段CD的长为√3+1或3√3+3.图(2) 9.问题发现192知识迁移 5拓展延伸(1)BE=DE+GF.理由:如图(1),过点G作GH⊥BE于点H.图(1)∵BE⊥CD,GF⊥CD,∴∠HEF=∠EFG=∠EHG=90°,∴四边形EFGH为矩形,∴EH=GF,EF=GH.∵EF=BE,∴GH=BE.∵∠MBN=90°,∠BHG=90°,∴∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3.又∵∠BED=∠GHB=90°,BE=GH,∴△BDE≌△GBH(ASA),∴DE=BH,∴BE=BH+EH=DE+GF.(2)92或323. 解法提示:分两种情况讨论.①当点F 在线段EC 上时,如图(2).图(2)由(1)可得BE=DE+GF. 设BE=EF=m ,则EC=m+2.在Rt △BEC 中,根据勾股定理,得BE 2+CE 2=BC 2, 即m 2+(m+2)2=102,解得m=6(负值已舍),∴BE=EF=6.易证△CFG ∽△CEB ,∴CF CE =GF BE ,即22+6=GF 6, ∴GF=32,∴DE=BE -GF=6-32=92. ②当点F 在线段EC 的延长线上时,如图(3).图(3)同(1)中方法可得BE=DE-GF. 设BE=EF=n ,则EC=n-2.在Rt △BEC 中,根据勾股定理,得BE 2+CE 2=BC 2, 即n 2+(n-2)2=102,解得n=8(负值已舍),∴BE=EF=8.易证△CFG ∽△CEB ,∴CF CE =GF BE ,即28−2=GF 8, ∴GF=83,∴DE=BE+GF=8+83=323.10.(1)EM DM =EBAB AM ⊥DE(2)证明:如图(1),过点G 作GH ⊥BC 于点H.图(1)∵四边形ABCD 是矩形,点E 在AB 的延长线上, ∴∠CBE=∠GHC=90°,∴∠BCE+∠BEC=90°. ∵四边形CEFG 为正方形, ∴CG=CE ,∠GCE=90°,∴∠BCE+∠BCG=90°,∴∠BEC=∠BCG , ∴△GHC ≌△CBE ,∴HC=BE. ∵AD=BC=2AB ,BE=AB ,∴BC=2BE=2HC , ∴HC=BH ,∴GH 垂直平分BC , 即点G 在线段BC 的垂直平分线上. (3)√5或√17.解法提示:同(2)中思路可证得点F 在线段BC 的垂直平分线上.如图(2),过点F 作FN ⊥BC 于点N ,连接CF ,则CF=√2CE=√2×√22+12=√10,CN=1,∴NF=√(√10)2-12=3.图(2)由作图过程可知,点M 在线段BC 的垂直平分线上,故分两种情况讨论.①当点M 在点F 左侧时,如图(3),连接MC ,图(3)则NM=3-1=2,∴m=CM=√22+12=√5.②当点M在点F右侧时,如图(4),连接MC,图(4)则NM=3+1=4,∴m=CM=√42+12=√17.综上可知,m的值为√5或√17.11.(1)②(2)如图(1),在AB上取点E,使得AE=AD,连接PE.图(1)∵AP平分∠DAE,∴∠DAP=∠EAP.又∵AP=AP,AD=AE,∴△DAP≌△EAP,∴PD=PE.∵AD+BC=AB=AE+BE,AD=AE,∴BC=BE.∵BP平分∠CBE,∴∠CBP=∠EBP.又∵BP=BP,∴△EBP≌△CBP,∴PE=PC,∴PC=PD.(3)8或403解法提示:如图(1),由(2)可得△DAP ≌△EAP ,△EBP ≌△CBP ,∴∠DPA=∠EPA ,∠CPB=∠EPB ,∠D=∠AEP ,∠C=∠BEP. 又∵∠DPA+∠EPA+∠CPB+∠EPB=180°,∠AEP+∠BEP=180°,∴∠APB=∠EPA+∠EPB=90°,∠D+∠C=180°, ∴AD ∥BC.在Rt △PAB 中,tan ∠PAB=12,∠APB=90°, 故可设BP=x ,AP=2x ,∴AB=√x 2+(2x)2=√5x=10, 解得x=2√5,∴AP=4√5,sin ∠PAB=1√5. 易知∠PBC>45°,故分两种情况讨论.①当∠C=45°时,如图(2),图(2)过点P 作PM ⊥AD ,交AD 的延长线于点M ,则∠MDP=∠C=45°,∴MP=MD. 又∵tan ∠MAP=tan ∠PAB=12,∴AM=2MP , ∴AD=MD=MP=AP ·sin ∠MAP=4, ∴S △PAD =12×4×4=8. ②当∠BPC=45°时,如图(3),图(3)过点D 作DN ⊥AP 于点N ,则∠DPN=180°-45°-90°=45°,∴NP=ND.∵tan ∠DAP=tan ∠PAB=12,∴AN=2ND. 又∵AP=AN+NP ,∴4√5=2ND+ND ,∴ND=4√53,∴S △PAD =12×4√5×4√53=403. 综上可知,△PAD 的面积为8或403.12.(1)①BE=AD②BE=AD. 理由如下:当点D 不在AC 上时,∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=60°,∠DCE=∠BCE+∠DCB=60°,∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE中,{AC =BC,∠ACD =∠BCE,DC =EC,∴△ACD ≌△BCE ,∴AD=BE. (2)①BE=√2AD. 理由如下:当n=90时,在等腰直角三角形DEC 中,DC EC =sin 45°=√22, 在等腰直角三角形ABC 中,AC BC =sin 45°=√22.∵∠ACB=∠ACE+∠ECB=45°,∠DCE=∠ACE+∠DCA=45°,∴∠ECB=∠DCA. 在△DCA 和△ECB中,{DCEC=AC BC=√22,∠DCA =∠ECB,∴△DCA ∽△ECB ,∴AD BE =√22,∴BE=√2AD. ②5或√13.解法提示:当点D 在△ABC 外部时,设EC 与AB 交于点F ,如图(1)所示.图(1)∵AB=3√2,AD=1,由上可知:AC=AB=3√2,BE=√2AD=√2. 又∵BE ∥AC ,∴∠EBF=∠CAF=90°.而∠EFB=∠CFA ,∴△EFB ∽△CFA ,∴EF CF =BF AF =BE AC =√23√2=13,∴AF=3BF ,而AB=BF+AF=3√2,∴BF=14×3√2=3√24. 在Rt △EBF 中,EF=√EB 2+BF 2=(√2)2+(3√24)2=5√24. 又∵CF=3EF=3×5√24=15√24, ∴EC=EF+CF=5√24+15√24=5√2. 在等腰直角三角形DEC 中,DC=EC ·sin 45°=5√2×√22=5.当点D 在△ABC 内部时,设AB 延长线与CE 延长线交于点F ,如图(2),图(2)∵AB=3√2,AD=1,由上可知:AC=AB=3√2,BC=√2AB=6,BE=√2AD=√2. 又∵BE ∥AC ,∴△EFB ∽△CFA ,∴FB FA =BE AC =13, ∴BF=12AB=3√22,AF=AB+BF=3√2+3√22=9√22. 在Rt △ACF 中,CF=√AC 2+AF 2=3√262.CE=23CF=23×3√262=√26. 在等腰直角三角形DEC 中,DC=√22CE=√13. 综上所述,满足条件的CD 的值为5或√13.。

中考数学二轮复习专题4几何探究问题课件

(3)如图 4,将(1)中的正方形 ABCD 和等腰 Rt△ CEF 分别改成矩形 ABCD 和 Rt△ CEF,其中∠ECF=90°且CE = = CD 3 ,其他条件不变.
CF BC 4
①探索线段 BF 与 DE 的关系,说明理由;
谢谢观看
Thank you for watching
(4)老师提出问题:请参照聪聪的思路,若等边三角形的边长为 8,将图(2)中的△ EFD 在平面内进行一次平移,得到△ E″F″D″,请在图(4)中画出平移后构造出的新图形,标明字母,说明平移及构图方法,写出你发现的一个结论,不必证明.
2.(2020·达州)(1)问题发现:如图 1,△ ABC 是等腰直角三角
由(中,∵
AD BAD
= =
AF CAF
,
AB = CA
∴△ABD≌△ACF,∴BD=CF;
(3)解决问题:当△ ABC 绕点 A 逆时针旋转 45°时,如图 3,延长 BD 交 CF 于点 H.已知 AB=2,AD=3 2,求线段 DH 的长.
BF,DE.请直接写出 BF 与 DE 的关系
;
(2)如图 3,将(1)中的正方形 ABCD 和等腰 Rt△ CEF 分别改成菱形 ABCD 和等腰 Rt△ CEF,其中 CE=CF,∠ECF=∠BCD,其他条件不变,求证:BF=DE;
(2)证明:如答图:∵∠ECF=∠BCD,∴∠BCF=∠DCE, ∵四边形 ABCD 为菱形,∴BC=CD, 又∵CE=CF,∴△BCF≌△DCE,∴BF=DE;
点与点 A 重合,点 D 的对称点为 D',直线 EF 分别交□ABCD 的边
AD、BC 于点 E、F,若 AB= 2,BC=2,∠BCD=45°,则四边形 AFCE

2023年九年级数学中考复习：几何探究题压轴题附答案

试卷第1页，共12页2023年九年级数学中考复习：几何探究题压轴题附答案1．（1）如图所示，正方形ABCD 及等腰Rt △AEF 有公共顶点A ，∠EAF ＝90°，连接BE 、DF ．将Rt △AEF 绕点A 旋转，在旋转过程中，BE 、DF 数量关系和位置关系是分别是．（2）将（1）中的正方形ABCD 变为矩形ABCD ，等腰Rt △AEF 变为Rt △AEF ，且AD ＝kAB ，AF ＝kAE ，其他条件不变．（1）中的结论是否发生变化？结合图（2）证明．（3）将（2）中的矩形ABCD 变为平行四边形ABCD ，将Rt △AEF 变为△AEF ，且∠BAD ＝∠EAF ＝a ，其他条件不变．（2）中的结论是否发生变化？结合图（3），如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k 表示出线段BE 、DF的数量关系2．如图，在ABC中，90∠=︒==ACB AC BC D 是边AB 上一点，连接CD ，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90︒至CE ，连接,AE BE ，取AE 的中点M ，连接CM．(1)求证：BE AD =；(2)问CM 与BD 有何数量关系？写出你的结论并证明；(3)若点D 在AB 上运动，则四边形BECM 能否形成平行四边形？若能，请直接写出此时CM 的长；若不能，说明理由．3．在ABC 中，AB AC =，D 是边BC 上一动点，连接AD ，将AD 绕点A 逆时针旋转试卷第2页，共12页到的AE 的位置，使得180DAE BAC ∠+∠=︒；(1)如图1，当90BAC ∠=︒，连接BE 交AC 于点F ，若BE 平分ABC ∠，2BD =，则CF =_________．(2)在（1）的条件下，求AF 的长；(3)如图2，连接BE ，取BE 的中点G ，连接AG ，猜想AG 与CD 存在的数量关系，并证明．4．阅读理解图1是边长分别为a 和b （a b >）的两个等边三角形纸片ABC 和C DE '叠放在一起（C 与C '重合）的图形．操作与证明：(1)操作：固定ABC ，将C DE ' 绕点C 按顺时针方向旋转30°，连接AD 、BE ，如图2，在图2中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)若将图1中的C DE ' 绕点C 按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD 、BE ，如图3，图3中线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；猜想与发现：(3)根据上面的操作和思考过程，请你猜想当α为______度时，线段AD 的长度最大，当α为某个角度时，线段AD 的长度最小，最小是______．5．如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF ，裁成一个边长为4的正方形ABCD试卷第3页，共12页和一个长为4、宽为2的长方形CEFD 如图2．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE F D '''，旋转角为a．(1)当点D ¢恰好落在EF 边上时，求旋转角a 的值；(2)如图3，G 为BC 中点，且0°＜a ＜90°，求证：GD E D ''=；(3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD ' 与CBD '△存在两次全等，请你帮助小军直接写出当DCD ' 与CBD '△全等时，旋转角a 的值．6．将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置，现将Rt AEF 绕A 点按逆时针方向旋转()090αα︒<<︒．如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P．(1)若AMC 是等腰三角形，则旋转角α的度数为______．(2)在旋转过程中，连接AP ，CE ，求证：AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线．(3)在旋转过程中，CPN V 是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．7．（1）如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，当△DCE 旋转至点A ，D ，E 在同试卷第4页，共12页一直线上，连接BE ．填空：①∠AEB 的度数为；②线段AD ，BE 之间的数量关系为．（2）如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，90ACB DCE ∠∠== ，点A ，D ，E 三点在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之前的数量关系．并说明理由．（3）图1中的△ACB 和△DCE ，在△DCE 旋转中当点A ，D ，E 在不同一直线上时，设AD 与BE 相交于点O ，旋转角θ)(0180θ<< 尝试在图中探索∠AOE 的度数，直接写出结果，不必说明理由．8．在△ABC 中，90°＜∠BAC ＜120°，将线段AB 绕点A 逆时针旋转120°得到线段AD ，连接CD．(1)如图1，若AB ＝8，∠ABC ＝45°，BA ⊥CD ，延长BA ，CD 交于点K ，求四边形ABCD 的面积；(2)如图2，点E 是CA 延长线上一点，点G 是AE 的中点，连接BE ，BG ，点F 在线段AC 上，点H 在线段BG 上，连接HF ，若BG ＝GF ，HF ＝BE ，GA ＝GH ，2∠ACB ＝∠EBG +∠ABC ，求证：BC +CD；(3)如图3，在（1）的条件下，点P 是线段BC 上的一个动点，连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转45°得到线段DP '，连接AP '，BP '，点M 是△ABP '内任意一点，点P 在运动过程中，AM +BM +P 'M 是否存在最小值；若存在，请直接写出：AM +BM +P 'M 的最小值；若不存在，请说明理由．试卷第5页，共12页9．如图①，在ABC 中，AB AC ABC n =∠=︒，，D 是BC的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD 上任取一点P ，连接PB ，将线段PB 绕点P 按逆时针方向旋转2n ︒，点B 的对应点是点E ，连接BE ，得到BPE ，小明发现，随着点P 在线段AD 上位置的变化，点E 的位置也在变化，点E 可能在直线AD 的右侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧，请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：(1)若点P 在线段AD 上，①若40ABC ∠=︒，当点E 在直线AD 上时，如图②所示，①BEP ∠=___________；②若35ABP ∠=︒，点E 落在直线AD 的___________（填“左侧”或“右侧”或“直线AD 上”）．(2)当4590n ︒<︒<︒，点P 在线段AD 上，如图③所示，连接CE ，试判断直线CE 与直线AB 的位置关系．并说明理由．(3)在（2）的条件下，若AB AC ==，ABC 的面积为12，求AE 的最小值．10．在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 在直线AB 上，连接CD ，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ，点F 是线段DE 的中点，连接AF．(1)如图1，当点D 在BA 的延长线上时，连接AE ，若DE=4，求线段AF 的长度；(2)如图2，当点D 在AB 的延长线上时，若点G 是线段AD 的中点，连接FG ，求证：2BD FG =；试卷第6页，共12页(3)如图3，连接CF 和BE ，若BC =当线段CF 取最小值时，请直接写出BCE 的面积．11．如图①，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点P 为射线,BD CE的交点．(1)如图②，将ADE 绕点A 旋转，当C 、D 、E 在同一条直线上时，连接BD 、BE ，求证：BD CE =且BD CE ⊥．(2)若8,4AB AD ==，把ADE 绕点A 旋转，①当90EAC ∠=︒时，求PB 的长；②旋转过程中线段BP 长的最小值是_______．12．探究题∶(1)特殊情景：如图（1），在四边形ABCD 中，AB =AD ，以点A 为顶点作一个角，角的两边分别交BC ，CD 于点E ，F ，且∠EAF =12∠BAD ，连接EF ，若∠BAD =∠B =∠D =90°，探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由(2)类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“∠BAD=∠B=∠D=90°”改成一股情况“∠BAD=α，∠B+∠D=180°，”如图（2），小明猜想：线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你写出结论；若不成立，请你写出成立时α的取值范围．(3)解决问题：如图（3），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BDDE的长度．13．（1）模型探究：如图1，已知△ABC，以A为旋转中心将边AB顺时针旋转至AD，将边AC逆时针旋转至AE，旋转角均为α（0º＜α＜180º），连接BE，CD．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②△ABE可以认为是由△ADC经过怎样的变换得到的？（2）创新应用：如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0)，点P为坐标平面内一动点，且2PO=，连接PA，以点A为旋转中心，将线段PA顺时针旋转60º至BA，连接OB，请直接写出AOB∠的最大值及此时点P的坐标．14．菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．试卷第7页，共12页试卷第8页，共12页(1)如图1，过菱形ABCD 的顶点A 作AE BC ⊥于点E ，交OB 于点H ，若6AB AC ==，求OH 的长；(2)如图2，过菱形ABCD 的顶点A 作AF AD ⊥，且AF AD =，线段AF 交OB 于点H ，交BC 于点E ．当D ，C ，F三点在同一直线上时，求证：2OH OA BH +=；(3)如图3，菱形ABCD 中，45ABC ∠=︒，点P 为直线AD 上的动点，连接BP ，将线段BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BQ ，连接AQ ，当线段AQ 的长度最小时，直接写出BAQ ∠的度数．15．如图①，在矩形ABCD 中，AD nAB =，点M ，P 分别在边,AB AD 上（均不与端点重合），且AP nAM =，以AP 和AM 为邻边作矩形AMNP ，连接,AN CN．(1)【问题发现】如图②，当1n =时，BM 与PD 的数量关系为__________，CN 与PD 的数量关系为________．(2)【类比探究】如图③，当3n =时，矩形AMNP 绕点A 顺时针旋转，连接PD ，则CN 与PD 之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图③给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图③说明理由；(3)【拓展延伸】在（2）的条件下，已知9,6AD AP ==，当矩形AMNP 旋转至C ，N ，M 三点共线时，请直接写出线段CN 的长．试卷第9页，共12页16．如图：(1)如图1，已知锐角△ABC 的边BC ＝3，S △ABC ＝6，点M 为△ABC 内一点，过点M 作MD ⊥BC 交BC 于点D ，连接AM ，则AM +MD 的最小值为．(2)如图2．点P 是正方形ABCD 内一点，PA ＝2，PBPC ＝4．求∠APB 的度数．(3)如图3，在长方形ABCD 中，其中AB ＝600，AD ＝800点P 是长方形内一动点，且S △ABC ＝2S △PBC ，点Q 为△ADP 内的任意﹣点，是否存在一点P 和一点Q ．使得AQ +DQ +PQ 有最小值？若存在，请求出此时PQ 的长度，若不存在，请说明理由．17．如图，四边形ABCD 是正方形，△ECF 为等腰直角三角形，∠ECF ＝90°，点E 在BC 上，点F 在CD 上，P 为EF 中点，连接AF ，G 为AF 中点，连接PG ，DG ，将Rt △ECF 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．(1)如图1，当α＝0°时，DG 与PG 的关系为；(2)如图2，当α＝90°时①求证：△AGD ≌△FGM ；②（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．试卷第10页，共12页18．如图，P 是等边ABC 内的一点，且5,4,3PA PB PC ===，将APB △绕点B 逆时针旋转，得到CQB △．(1)旋转角为_____度；(2)求点P 与点Q 之间的距离；(3)求BPC ∠的度数；(4)求ABC 的面积ABC S ．19．【问题情境】如图1，点E 为正方形ABCD 内一点，2AE =，4BE =，90AEB =︒∠，将直角三角形ABE 绕点A 逆时针方向旋转α度（0180α≤≤︒），点B 、E 的对应点分别为点B '、E '．(1)【问题解决】如图2，在旋转的过程中，点B '落在了AC 上，求此时CB '的长；(2)【问题解决】若90α=︒，如图3，得到ADE '△（此时B '与D 重合），延长BE 交B E ''于点F ，①试判断四边形AEFE '的形状，并说明理由；②连接CE ，求CE 的长；(3)【问题解决】在直角三角形ABE 绕点A 逆时针方向旋转过程中，求线段CE '长度的取值范围．20．【发现奥秘】(1)如图1，在等边三角形ABC 中，2AB =，点E 是ABC 内一点，连接,,AE EC BE ，分别将,AC EC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC FC ，连接,,AD DF EF ．当B ，E ，F ，D 四个点满足______时，BE AE CE ++的值最小，最小值为_______．【解法探索】(2)如图2，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，请求出当PA PB PC ++的值最小时BCP ∠的度数，并直接写出此时::PA PB PC 的值．（提示：分别将,PC AC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC EC ，连接,,PD DE AE ）【拓展应用】(3)在ABC 中，90,30,2ACB BAC BC ︒︒∠=∠==，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，直接写出当PA PB PC ++的值最小时，::PA PB PC 的值．21．如图1，在等腰三角形ABC 中，120,A AB AC ∠=︒=，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接BE ．点M 、N 、P 分别为DE BE BC 、、的中点．(1)观察猜想．图1中，线段,NM NP 的数量关系是__________，MNP ∠的大小为__________︒．(2)探究证明把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP BD CE 、、，判断MNP△的形状，并说明理由；(3)拓展延伸将图1中的ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若2,6AD AB ==，请直接写出MNP △面积的最大值．参考答案：1．（1）DF与BE相等且互相垂直．（2）数量关系改变，位置关系不变．DF＝kBE，DF⊥BE．（3）数量关系不改变．DF＝kBE，位置关系改变，DF与BE的夹角为180°﹣a．2．(2)2BD CM=，(3)能，103 CM=3．(1)2(3)AG=12CD，4．(1)BE=AD，(2)BE=AD，(3)180°，a-b5．(1)30°(3)135°，315°6．(1)60°或15°(3)能，30α∠=︒或60︒7．（1）①60°；②AD=BE；（2）∠AEB=90°；AE=BE+2CM；（3）∠AOE的度数是60°或120°．8．(1)S四边形ABCD＝72﹣(3)AM+BM+P'M的最小值为：9．(1)50°，左侧(2)CE∥AB，(3)510．(1)AF=2(3)BCE 的面积为211．(2)①PB =4-12．(1)BE +DF ＝EF(2)EF ＝BE +DF 成立，(3)DE 3=13．（1）①DC ，理由见解析；②以点A 为旋转中心，逆时针旋转角α得到的；（2）90°；(1,P -．14．(3)75︒15．(1)BM PD =，CN =(2)变化，2CN PD =，22+16．(1)4(2)135°(3)存在，PQ 的长度为4003-17．(1)DG PG =且DG GP⊥(2)①见解析；②成立，18．(1)60(2)4(3)150°9．19．(1)-(2)①正方形，②(3)2CE '≤≤20．(1)四点共线，(2)PA PB PC ++的值最小时45BCP ∠= ，此时)::2:2:1PA PB PC =(3)::4:2:1PA PB PC =21．(1)NM =NP ；60°；(2)MNP △是等边三角形，(3)MNP △的最大面积为。

专题39 几何探究题(6大类型)-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练(原卷版)

模块三重难点题型专项训练专题39 几何探究题（6大类型）考查类型一非动点探究题考查类型二动点探究题考查类型三平移探究题考查类型四旋转探究题考查类型五折叠探究题考查类型考查类型六类比探究题新题速递考查类型一非动点探究题例1 （2022·宁夏·中考真题）综合与实践知识再现如图，中，，分别以、、为边向外作的正方形的面积为、、．当，时，______．问题探究如图，中，．（1）如图，分别以、、为边向外作的等腰直角三角形的面积为、、，则、、之间的数量关系是______．（2）如图，分别以、、为边向外作的等边三角形的面积为、、，试猜想、、之间的数量关系，并说明理由．实践应用（1）如图，将图中的绕点逆时针旋转一定角度至，绕点顺时针旋转一定角度至，、相交于点．求证：；（2）如图，分别以图中的边、、为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，、、为直径的半圆柱的体积分别为、、．若，柱体的高，直接写出的值．例2（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明ADE≌ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．各地的中考数学试题中,最后一道压轴题以代数和几何的综合性问题最为常见,而非动点坐标系图形探究问题,更是近年的重点与难点,这类问题往往自成一系,解法有规律可循.非动点坐标系图形探究问题,是指以坐标系中的特殊图形如特殊三角形,特殊四边形,相似图形或特殊直线等为探究对象,以初中代数和几何难点内容相结合为背景,以数形结合为研究方法的题型.通过图形之间的特殊位置关系和一些特殊的值,建立方程或函数模型去求解,是解决这类问题的关键.【变式1】（2022·重庆·统考二模）如图，在矩形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE并延长交CD于点F，过点E作EG⊥AE交BC于点G，若AB＝8，AD＝6，BG＝2，则AE＝（）A．B．C．D．【变式2】（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，于点E，点F为的中点，与相交于点P，则的长为______．【变式3】（2022·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积．问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究．探究一：如图1，在中，，，，，求的面积．在中，，．．探究二：如图2，中，，，，求的面积（用含、、代数式表示），写出探究过程．探究三：如图3，中，，，，求的面积（用、、表示）写出探究过程．问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：___________（用文字叙述）．问题应用：如图4，已知平行四边形中，，，，求平行四边形的面积（用、、表示）写出解题过程．问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用、、、、、表示），其中，，，，，．考查类型二动点探究题例1（2022·辽宁阜新·统考中考真题）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，．(1)如图，求证：≌；(2)直线与相交于点．如图，于点，于点，求证：四边形是正方形；如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．例2（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在中，，，点M为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结．作点A 关于直线的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒．(1)点D到边的距离为__________；(2)用含t的代数式表示线段的长；(3)连结，当线段最短时，求的面积；(4)当M、、C三点共线时，直接写出t的值．从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图象等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索及发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

中考数学专题复习几何探究练习(三)

中考数学专题复习几何探究练习（三）学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、解答题1．【感知】如图①，点C是AB中点，CD⊥AB，P是CD上任意一点，由三角形全等的判定方法“SAS”易证△P AC≌△PBC，得到线段垂直平分线的一条性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”【探究】如图①，在平面直角坐标系中，直线y=-13x+1分别交x轴、y轴于点A和点B，点C是AB中点，CD⊥AB交OA于点D，连结BD，求BD的长【应用】如图①（1）将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB′，请在图①网格中画出线段AB;（2）若存在一点P，使得P A=PB′，且∠APB′≠90°，当点P的横、纵坐标均为整数时，则AP长度的最小值为______．2．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上任意一点（点E不与点B、C重合），连结DE，点C关于DE的对称点为C1，连结AC1并延长交DE的延长线于点M，F是AC1的中点，连结DF．【猜想】如图①，①FDM的大小为度．【探究】如图①，过点A作AM1①DF交MD的延长线于点M1，连结BM．求证：△ABM①①ADM1．【拓展】如图①，连结AC，若正方形ABCD的边长为2，则△ACC1面积的最大值为．3．问题呈现：下图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小明完成以下学习任务．请根据小明的思路，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：（1）如图①，在四边形ABCD中，AB AD BC=+，DAB∠的平分线和ABC∠的平分线交于CD边上点P．求证：PC PD=；（2）在（1）的条件下，如图①，若10AB=，1tan2PAB∠=．当PBC有一个内角是45︒时，PAD△的面积是．4．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第117页的部分内容．结合图①，补全证明过程．【应用】如图①，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形ABCD 沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝3，BC＝4，则四边形ABFE的周长为．【拓展】如图①，直线EF分别交▱ABCD的边AD、BC于点E、F，将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝22，BC＝4，①C＝45°，则EF的长为．5．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，10,AB=点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．()1如图①，连接,CD则CD的长为；()2如图①，'B E与AC交于点,//F DB BC'．①求证:四边形'BDB E为菱形；①连接',B C则'B FC的形状为；()3如图①，则CEF∆的周长为；6．【教材呈现】数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：【问题1】赵老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是．【问题2】小明发现只利用直角三角板也可以作①AOB的角平分线，方法如下：步骤：①利用三角板上的刻度，在OA、OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON．①分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P．①作射线OP，则OP为①AOB的平分线．（1）请写出小明作法的完整证明过程．（2）当tan①AOB＝43时，量得MN＝4cm，直接写出MON△的面积．7．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．定理证明：请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．定理应用：在矩形ABCD中，AB＝2AD，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE＝3BE．（1）如图①，点F在边CB上，连结EF．若13BFCF，则EF与AC的关系为．（2）如图①，将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AE'，连结CE′，点H为CE'的中点，连结BH．设BH的长度为m，若AB＝4，则m的取值范围为．8．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB＝10，点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．（1）如图①，连接CD，则CD的长为；（2）如图①，B'E与AC交于点F，DB'①BC．①求证：四边形BDB'E为菱形；①连接B'C，则①B'FC的形状为；（3）如图①，则①CEF的周长为．9．如图，在ABC中，中线BD，CE相交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）当四边形DEFG的形状为矩形时，ABC为______三角形；（3）连接OA，当OA BC时，四边形DEFG的形状为______．10．如图1，正方形ABCD的边长为8cm，点F从点B出发，沿射线AB方向以1cm/秒的速度移动，点E从点D出发，向点A以1cm/秒的速度移动（不与点A重合）．设点E，F同时出发移动t秒．(1)基础探究：如图1，在点E、F移动过程中，连接CE、CF、EF，判断CE与CF的数量与位置关系，并说明理由．(2)应用拓展：如图2，点G、H分别在边AD、BC上，且217cmGH=，连接EF，当EF与GH交于点P，且45GPE∠=︒，若点P为EF的中点，则CF的长度为________，AP的长度为________．参考答案：1．探究：BD 的长为53；应用：(1)见解析；(2)5.【解析】【分析】探究：根据直线解析式，求出点A 、B 坐标，得到BO 、AO 的长，设BD 的长为a ，根据勾股定理列方程可求出BD ；应用：（1）根据旋转的性质作图即可；（2）根据题意可知P 点坐标在AB’线段垂直平分线上，如图所示，点P’是垂直平分线上最近的格点，但是此时'’90AP B ∠=︒，不符合题意，根据网格特点可知垂直平分线上下一个格点位置，由网格特点和勾股定理可得符合题意的AP=5. 【详解】解：探究：由题意得：当x 0=时，y 1=；当y 0=时，x 3=；()A 3,0∴，()B 0,1. AO 3∴=，BO 1=．设BD 的长为a ．①点C 是AB 中点，CD AB ⊥交OA 于点D ，DA DB a ∴==，OD 3a =-．在Rt BOD 中，BOD 90∠=︒，222BD BO DO ∴=+，()22213a a +-=，5a 3∴=，5BD 3=． BD ∴的长为53．应用：(1)如图，线段'AB 即为所求．(2)根据题意可知P点坐标在AB’线段垂直平分线上，如图所示，点P’是垂直平分线上最近的格点，但是此时'’90AP B∠=︒，不符合题意，根据网格特点可知垂直平分线上下一个格点位置，由网格特点和勾股定理可得符合题意的AP=5.【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键.2．（1）45°；（2）证明见解析；（3）22﹣2．【解析】【分析】（1）证明①CDE=①C1DE和①ADF=①C1DF，可得①FDM=12①ADC=45°；（2）先判断出①DAM1=①BAM，由（1）可知：①FDM=45°，进而判断出①AMD=45°，得出AM=AM1，即可得出结论；（3）先作高线C1G，确定①ACC1的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C1在BD上时，C1G最大，其①AC1C的面积最大，并求此时的面积．【详解】（1）由对称得：CD＝C1D，①CDE＝①C1DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，①ADC＝90°，①AD＝C1D，①F是AC1的中点，①DF①AC1，①ADF＝①C1DF，①①FDM＝①FDC1+①EDC1＝12①ADC＝45°；故答案为：45；（2）①DF①AC1，①①DFM＝90°，①①MAM'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，①BAD＝90°，①①DAM1＝①BAM，由（1）可知：①FDM＝45°①①DFM＝90°①①AMD＝45°，①①M1＝45°，①AM＝AM1，在：△ABM和△ADM1中，①11BA DABAM DAMAH AM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ABM①①ADM1（SAS）；（3）如图，过C1作C1G①AC于G，则1AC CS＝12AC•C1G，在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，①AC＝2222+＝22，即AC为定值，当C1G最大值，△AC1C的面积最大，连接BD交AC于O，当C1在BD上时，C1G最大，此时G与O重合，①CD＝C1D＝2，OD＝12AC＝2，①C1G＝C1D﹣OD＝2﹣2，①1AC CS＝12AC•C1G＝12×22（2﹣2）＝22﹣2，故答案为：22﹣2．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是①AMD=45°．3．问题呈现：见解析；结论应用：（1）见解析；（2）403或8 【解析】【分析】问题呈现：由“SAS ”可证△MOP ≌△NOP ，可得PM ＝PN ；结论应用：（1）在AB 上截取AE ＝AD ，连接PE ，由“SAS ”可证△ADP ≌△AEP ，△BPC ≌△BPE ，可得PD ＝PE ＝PC ；（2）延长AP ，BC 交于点H ，由“ASA ”可证△ADP ≌△HCP ，可得CP ＝DP ，AD ＝CH ，S △ADP ＝S △CPH ，分三种情况讨论，由角平分线的性质和锐角三角函数可求解．【详解】问题呈现：证明：①OC 平分AOB ∠，①AOC BOC ∠=∠．在POM 和PON △中，OP OP POM PON OM ON =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．①POM PON △≌△．结论应用：在AB 上截取AE AD =，①AP 平分DAB ∠，①DAP BAP ∠=∠，①AP AP =，①ADP AEP △≌△．①PE PD=．①AB AD BC=+，①BE BC=，①BP平分ABC∠，①ABP CBP ∠=∠．①BP BP=．①PBE PBC△≌△．①PE PC=．①PC PD=．（2）由（1）可证∠D＝∠AEP，∠PCB＝∠PEB，∵∠AEP+∠PEB＝180°，∴∠PCB+∠D＝180°，∴AD∥BC，∵AB＝10，tan∠P AB＝PBPA＝12，∴P A＝2PB，∵P A2+PB2＝AB2，∴PB＝25，P A＝45，如图③，延长AP，BC交于点H，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠H，∴∠H＝∠BAP，∴AB＝BH＝10，又∵PB平分∠ABC，∴BP⊥AP，AP＝PH＝45，∵∠DAP＝∠H，AP＝PH，∠DP A＝∠CPH，∴△ADP≌△HCP（ASA），∴CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，若∠PBC＝45°时，则∠PBC＝∠H＝45°，∴PB＝PH（不合题意舍去），若∠BPC＝45°时，则∠HPC＝∠BPC＝45°，如图④，过点C作CN⊥BP于N，CM⊥PH于M，∴CM＝CN，∵S△PBH＝12×BP×PH＝12×BP×CN+12×PH×CM，∴CM＝CN＝453，∴S△PCH＝12×45×453＝403＝S△ADP；若∠PCB＝45°时，如图⑤，过点P作PF⊥BC于F，∵∠P AB＝∠H，∴tan H＝tan∠P AB＝12，∴12 PFFH，∴FH＝2PF，∵PF2+FH2＝PH2＝80，∴PF＝4，FH＝8，∵PF⊥BC，∠BCP＝45°，∴∠PCB＝∠FPC＝45°，∴CF＝PF＝4，∴CH＝4，∴S△ADP＝S△CPH＝12×4×4＝8，故答案为：8或403．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．4．【教材呈现】证明见解析；【应用】434；【拓展】2103；【解析】【分析】教材呈现：由“ASA”可证①AOE①①COF，可得OE＝OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形AFCE是平行四边形，即可证平行四边形AFCE是菱形；应用：过点F作FH①AD于H，由折叠的性质可得AF＝CF，①AFE＝①EFC，由勾股定理可求BF的长，EF的长，拓展：过点A作AN①BC，交CB的延长线于N，过点F作FM①AD于M，由等腰直角三角形的性质可求AN＝BN＝2，由勾股定理可求AE＝AF＝103，再利用勾股定理可求EF的长．【详解】解：【教材呈现】①四边形ABCD是矩形，①AE①CF，①①EAO＝①FCO，①EF垂直平分AC，①AO＝CO，①AOE＝①COF＝90°，①①AOE①①COF（ASA）①OE＝OF，又①AO＝CO，①四边形AFCE是平行四边形，①EF①AC，①平行四边形AFCE是菱形；【应用】如图，过点F作FH①AD于H，①将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，①AF＝CF，①AFE＝①EFC，①AF2＝BF2+AB2，①（4﹣BF）2＝BF2+9，①BF＝78，①AF＝CF＝258，①AD①BC，①①AEF＝①EFC＝①AFE，①AE＝AF＝258，①①B＝①BAD＝①AHF＝90°，①四边形ABFH是矩形，①AB＝FH＝3，AH＝BF＝78，①EH＝94，①EF＝22EH FH+＝81916+＝154，①四边形ABFE的周长＝AB+BF+AE+EF＝3+78+258+154＝434，故答案为：434．【拓展】如图，过点A作AN①BC，交CB的延长线于N，过点F作FM①AD于M，①四边形ABCD是平行四边形，①C＝45°，①①ABC＝135°，①①ABN＝45°，①AN①BC，①①ABN＝①BAN＝45°，①AN＝BN＝22AB＝2，①将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，①AF＝CF，①AFE＝①EFC，①AD①BC，①①AEF＝①EFC＝①AFE，①AE＝AF，①AF2＝AN2+NF2，①AF2＝4+（6﹣AF）2，①AF＝103，①AE＝AF＝103，①AN①MF，AD①BC，①四边形ANFM是平行四边形，①AN①BC，①四边形ANFM是矩形，①AN ＝MF ＝2，①AM ＝22AF MF -＝10049-＝83， ①ME ＝AE ﹣AM ＝23，①EF ＝22MF ME +＝449+＝2103，故答案为：2103．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 5．（1）5；（2）①见解析；①等腰三角形；（3）52【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解；（2）①由翻折可知','45DB DB B B =∠=∠=︒，进而证得'//,B E AB 则有∴四边形'BDB E 为平行四边形，由',BD B D =即可得证；①连接CD,易证得','45DB DC DB E DCA =∠=∠=︒进而证得''FB C FCB ∠=∠，则有'FB FC =，即可得出结论；（3）由'FB FC =和'B E BE =得CEF ∆的周长=''CE FC EF CE B F EF CE B E CE BE BC ++=++=+=+=，由等腰直角三角形的性质可求得BC ，即可求得CEF ∆的周长．【详解】解:（1）①①ABC 是等腰直角三角形，D 为斜边AB 的中点，AB=10，①152CD AB ==，故答案为：5；()2①证明:由翻折可知','45DB DB B B =∠=∠=︒'DB ①BC''45,B EC B ∴∠=∠=︒①'45,B EC B ∠=∠=︒①'EB ①BD∴四边形'BDB E 为平行四边形．又',BD B D =∴四边形'BDB E 为菱形；②如图2，连接CD ，则有CD=BD=AD,由翻折可知','45DB DB DB E B =∠=∠=︒①','45DB DC DB E DCA A =∠=∠=∠=︒,①''DB C DCB ∠=∠①DB E CB F DCA FCB ∠+∠=∠+∠'''①''CB F FCB ∠=∠①'FB FC =,①'B FC 的形状为等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（3）如图3，由（2）知'FB FC =，'B E BE =，①CEF ∆的周长=''CE FC EF CE B F EF CE B E CE BE BC ++=++=+=+=，①①ABC 是等腰直角三角形，AB=10，①222100BC AB ==,解得：52BC =，①CEF ∆的周长为52，故答案为：52．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线性质、折叠性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定，解得的关键是认真审题，从图形中分析相关联信息，借助辅助线，利用基本图形的性质进行推理、计算．6．【问题1】SSS ；【问题2】（1）见解析；（2）8．【解析】【分析】问题1：根据SSS证明三角形全等即可．问题2：（1）根据HL证明三角形全等即可解决问题．（2）作MH①OB于H，连接MN．想办法求出ON，MH即可解决问题．【详解】解：问题1：由作图可知：OE＝OD，EC＝DC，OC＝OC，①EOC DOC≌△△（SSS），故答案为SSS．问题2：（1）证明：由作图可知：OM＝ON，①①ONP＝①OMP＝90°，OP＝OP，①Rt ONP≌Rt OMP△（HL），①①PON＝①POM，即OP平分①AOB．（2）解：作MH①OB于H，连接MN．①tan①AOB＝4,3MHOH=①可以假设MH＝4k，OH＝3k，则OM＝ON＝5k，①HN＝2k，在Rt MNH△中，①222,MN HN MH=+①()()222442,k k=+①255k=（负根已经舍弃），①ON＝5k＝25，MH＝4k＝855，①1185258.225MNO S ON MH ==⨯⨯= 【点睛】本题考查的是角平分线的作图与作图原理，三角形全等的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．7．定理证明：见解析；定理应用：（1）EF ∥AC ，EF ＝14AC ；（2）5﹣32≤BH ≤5+32 【解析】【分析】定理证明：延长DE 到F ，使FE ＝DE ，连接CF ，易证①ADE ①①CFE ，再根据全等三角形的性质，进一步可得出CF ①AB ，从而可证明四边形BCFD 是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证；定理应用：（1）取AB ，BC 的中点M ，N ，连接MN ．再根据题目中的线段关系，可得出AM ＝BM ，CN ＝BN ，ME ＝EB ，FN ＝FB ，根据三角形的中位线定理即可得出答案；（2）如图①中，延长CB 到T ，连接AT ，TE ′．根据题意得出BH ＝12TE ′，再根据矩形的性质可求得AT 的值，结合题意求得AE 的值，最后根据三角形三边关系即可得出答案．【详解】解：定理证明：如图①中，延长DE 到F ，使FE ＝DE ，连接CF ，在△ADE 和△CFE 中，AE EC AED CEF DE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CFE （SAS ），∴∠A ＝∠ECF ，AD ＝CF ，∴CF ∥AB ，又∵AD ＝BD ，∴CF＝BD，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝12BC．定理应用：（1）如图①中，取AB，BC的中点M，N，连接MN．∵AE＝3BE，BF：CF＝1：3，∴AM＝BM，CN＝BN，ME＝EB，FN＝FB，∴MN∥AC，MN＝12AC，EF∥MN，EF＝12MN，∴EF∥AC，EF＝14AC．故答案为：EF∥AC，EF＝14AC．（2）如图①中，延长CB到T，连接AT，TE′．∵CH＝HE′，CB＝BT，∴BH＝12TE′，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠ABT＝90°，∵AB＝4，BC＝AD＝BT＝2，∴AT＝22224225AB BT+=+=，∵AE＝3BE，AB＝4，∴AE＝AE′＝3，∴25﹣3≤TE′≤25+3，∴5﹣32≤BH≤5+32．故答案为：5﹣32≤BH≤5+32．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形三边关系、平行四边形的判定及性质、三角形中位线性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质，综合性比较强，添加合适的辅助线，是解题的关键．8．（1）5；（2）①见解析；①等腰三角形；（3）52．【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案；（2）①由折叠的性质得B'D=BD，B'E=BE，①B'DE=①BDE，证出B'D=BE，得四边形BDB'E是平行四边形，进而得出结论；①证出CD=B'D，得①DCB'=①DB'C，证出DB'①AC，则①ACB'=90°-①DB'C，证出CD①B'E，则①EB'C=90°-①DCB'，得①ACB'=①EB'C，即可得出结论；（3）连接B'C，由等腰直角三角形的性质得BC=22AB=52，①B=45°，CD=12AB=BD，①ACD=12①ACB=45°，证出CF=B'F，进而得出答案．【详解】（1）解：①①ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB的中点，AB＝10，①CD＝12AB＝5，故答案为：5；（2）①证明：由折叠的性质得：B'D＝BD，B'E＝BE，①B'DE＝①BDE，①DB'①BC，①①B'DE＝①BED，①①BDE＝①BED，①BD＝BE，①B'D＝BE，①四边形BDB'E是平行四边形，又①B'D＝BD，①四边形BDB'E为菱形；①解：①①ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB的中点，AB＝BD，①CD＝12由折叠的性质得：B'D＝BD，①CD＝B'D，①①DCB'＝①DB'C，①①ACB＝90°，①AC①BC，①DB'①BC，①DB'①AC，①①ACB'＝90°﹣①DB'C，由①得：四边形BDB'E为菱形，①AB①B'E，①CD①AB，①CD①B'E，①①EB'C＝90°﹣①DCB'，①①ACB'＝①EB'C，①FB'＝FC，即①B'FC为等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（3）解：连接B'C，如图①所示：①①ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，①BC ＝22AB ＝52，①B ＝45°，CD ＝12AB ＝BD ，①ACD ＝12①ACB ＝45°，由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，①B '＝①B ＝45°，①CD ＝B 'D ，①①DCB '＝①DB 'C ，①①FCB '＝①FB 'C ，①CF ＝B 'F ，①①CEF 的周长＝EF +CF +CE ＝EF +B 'F +CE ＝B 'E +CE ＝BE +CE ＝BC ＝52；故答案为：52．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．9．（1）见解析；（2）等腰；（3）菱形．【解析】【分析】（1）由中线BD ，CE 相交于点O ，可得DE 是ABC 的中位线，可得//DE BC ，12DE BC =，由F 、G 分别是OB ，OC 的中点，可得FG 是OBC 的中位线，可得//FG BC ，12FG BC =，可推出//DE FG ，DE FG =即可；（2）由四边形DEFG 的形状为矩形，可得FD=EG ，OE=OF=OG=OD ，EF①ED ，①EOF=①DOG ，由F 、G 分别是OB ，OC 的中点，可得BO=CO ，，由中线CE ，E 为中点，F 是OB 的中点，可得EF①OA ，可推出OA①ED ，由等腰三角形性质可得OA 平分①EOD ，可证△AOB①①AOC （SAS ），可得AB=AC 即可；（3）连接OA ，由（1）知四边EFGD 为平行四边形，由中位线性质可得AO=2EF ，2BC FG =，由OA BC =，可得EF=FG 即可．【详解】证明：（1）①中线BD ，CE 相交于点O ，①E 、D 分别为AB 、AC 中点，①DE 是ABC 的中位线，①//DE BC ，12DE BC =，又①F 、G 分别是OB ，OC 的中点，①FG 是OBC 的中位线，①//FG BC ，12FG BC =， ①//DE FG ，DE FG =，①四边形DEFG 是平行四边形；（2）连接OA ，如图①四边形DEFG 的形状为矩形，①FD=EG ，OE=OF=OG=OD ，EF①ED ，①EOF=①DOG ， ①F 、G 分别是OB ，OC 的中点，①BO=CO ，①中线CE ，E 为中点，F 是OB 的中点，①EF①OA ，①OA①ED ，①OA 平分①EOD ，①①EOA=①DOA ，①①BOA=①EOF+①EOA=①DOG+①DOA=①COA ，①AO=AO ，①①AOB①①AOC （SAS ），①AB=AC ，①①ABC 为等腰三角形，故答案为：等腰；（3）当OA BC =时，四边形DEFG 的形状为菱形．由（1）知四边EFGD 为平行四边形，①中线CE ，E 为中点，F 是OB 的中点，①EF 为①ABO 的中位线，①AO=2EF ，又①F 、G 分别是OB ，OC 的中点，①FG 是OBC 的中位线，①2BC FG =，①OA BC =，①2EF=2FG ，①EF=FG ，①四边形DEFG 是菱形，故答案为：菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，菱形的判定，掌握平行四边形的判定方法与性质，等腰三角形的判定，菱形的判定定理，细心观察图形，利用数形结合从图形中分析线段之间和角之间关系是解题关键．10．(1)CE CF =，CE CF ⊥，理由见解析；(2)217，34；【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和运动的距离可证明()EDC FBC SAS ≌△△，可得CE CF =，再利用角之间的关系可证CE CF ⊥；（2）连接EC ，证明四边形GECH 是平行四边形，即可求出CF ，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出AP ．(1)解：①四边形ABCD为正方形,①CD CB=，90EDC ABC BCD∠=∠=∠=︒，①90FBC EDC∠=∠=︒，①ED FB t==，在EDC△和FBC中，90CD CBFBC EDCED FB=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩①()EDC FBC SAS≌△△，①CE CF=，ECD BCF=∠∠，①90ECD BCE∠+∠=︒，①90BCF BCE∠+∠=︒，即：90ECF∠=︒，①CE CF=，CE CF⊥，(2)解：连接CE，如图①CE CF=，CE CF⊥，①45CEF∠=︒，①45GPE∠=︒，①CEF GPE∠=∠，①CE GH∥，①GE CH∥，①四边形GECH是平行四边形，①217CE GH==，①CE CF =，①217CF =，①2234EF CF ==，①P 是EF 的中点，AFE △是直角三角形，①1342AP EF ==．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定以及性质，平行四边形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（1）的关键是证明()EDC FBC SAS ≌△△，（2）的关键是证明四边形GECH 是平行四边形．。

中考数学复习型五几何探究题类型三折叠问题课件1

明确我国地势三级阶梯
关于我国地势三级阶梯，是中考题中常见的设题“雷
区”。考生不仅要明确阶梯界线，还要明确每一级阶梯主
要的地形类型。
练：链接实战演练T20
典例精讲
针对演练
2．地势对我国自然环境的影响
海上湿润气流
(1)对气候的影响：降西水高东低的地势便农于业_____________
深入内陆，形成_______，有利于_______生产。 (2)对交东通西的影响：顺着地势，我国众多大河滚滚东流，
典例精讲
针对演练
②圆心M在直线AC上运动，在运动过程中，能否与y轴也相切？如果能相切，求出此时⊙M与x轴、y轴和直线AD都相切时的圆心M的坐标；如果不能相切，请说明理由．【思维教练】⊙M与y轴相切，可知圆心M到y轴的距离即点M 横坐标为半径r，再结合点M在直线AC上，用含r的式子表示
出点M的纵坐标，利用点M横、纵坐标相等可求出r的值．
束迟，雨季长；北方雨季开始迟，结束早，雨季短
大致是 _________—_____山山脉— _____山— _________山脉—冈底斯山脉一
大兴安岭阴
贺兰
巴颜喀拉
线
夏季风很难到达，降水稀少，大部分地区全年都比较干旱
典例精讲
4.降水分布
针对演练
中国年降水量分布图
典例精讲
针对演练
(1)空东间南分沿布海：东部西多北于内西陆部，南方多于北方，呈现出
针对演练
2.四大高原
代号
名称
①
青__藏___高___原_
②
___________
内蒙古高原
③
_________
④
黄__土___高___原_
云贵高原

中考数学总复习专题07 几何动点探究题课件

专题(zhuāntí)（七）
几何( jǐ hé)动点探究题
2021/12/9
第一页，共二十五页。
题型解读
几何中的动点问题(wèntí
)是数学的一大难点,在每年的中考中占有非常重要的位置,它一般作为压
轴题出现,要想完整地解决整个数学问题,不仅要整合整个初中的数学知识,还要结合几何图形.
面对动点在不同的位置,出现的各种特殊情形进行全面综合的分析,因此,解决此类题需要通过点的
题型二与面积(miàn jī)有关
(3)(ⅰ)分别过点 M,N 作 MG⊥AB,NH⊥AB,垂足分别为 G,H.
∵∠ADM+∠MDN+∠NDB=180°,∠A+∠ADM+∠DMA=180°,∠EDF=∠A,
∴∠NDB=∠DMA.
又∵∠A=∠B,∴△NDB∽△DMA.∴

=

.
∵AD=a,BD=b,∴BN·AM=AD·BD=ab.
称点为F,连接EF并延长,交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE,交DG的延长线于点H,连接BH.
(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.
图 Z7-1
2021/12/9
第四页，共二十五页。
题型一
与线段(xiànduàn)有关
(2)如图②,在 AD 上取点 P,使 AP=AE,连接 PE,则 BE=DP.
1
1
2
2
在 Rt△AMG 中,MG=AM·sinα,∴S1= AD·MG= a·sinα·AM.
1
1
2
4
同理:S2= b·sinα·BN,∴S1·S2= a2b2sin2α.
1
(ⅱ)S1·S2= a2b2sin2α.

《几何综合探究问题》(共48题)中考专项配套练习(重庆专用)

5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（重庆专用）专题13 几何综合探究问题（共48题）一．解析题（共10小题）1．（2020•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF=√22AD；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG 与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使P A+PB+PC的值最小．当P A+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．2．（2020•重庆）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2√3．以AE 为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面五年中考真题积．3．（2019•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD 于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．（1）若DP＝2AP＝4，CP=√17，CD＝5，求△ACD的面积．（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD=√2CM+2CE．4．（2019•重庆）在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）如图1，若∠D＝30°，AB=√6，求△ABE的面积；（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB＝AF．求证：ED﹣AG＝FC．5．（2018•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF=√2CG．6．（2018•重庆）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC＝12√2，AB＝13，求AF的长；（2）求证：EB＝EH．7．（2017•重庆）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AB＝3√2，BC＝5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．8．（2017•重庆）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE．（1）如图1，若AB＝4√2，BE＝5，求AE的长；（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF＝DF时，求证：DC＝BC．9．（2016•重庆）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE＝AF，连接EG，DG，且GE＝DF．（1）若AB ＝2√2，求BC 的长；（2）如图1，当点G 在AC 上时，求证：BD =12CG ；（3）如图2，当点G 在AC 的垂直平分线上时，直接写出ABCG 的值．10．（2016•重庆）已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，CD =12BC ，DE ⊥CE ，DE ＝CE ，连接AE ，点M 是AE 的中点．（1）如图1，若点D 在BC 边上，连接CM ，当AB ＝4时，求CM 的长；（2）如图2，若点D 在△ABC 的内部，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，NE ，求证：MN ⊥AE ；（3）如图3，将图2中的△CDE 绕点C 逆时针旋转，使∠BCD ＝30°，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，探索MNAC 的值并直接写出结果．一．解答题（共38小题）1．（2020•渝中区校级二模）如图，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，连接CD ；点E 为CD 的中点，EF ＝EG ＝EC ，且∠FEG ＝90°；点O 为CB 的中点，直线GO 与直线CF 交于点N ．（1）如图1，若∠FCD ＝30°，OC =√2，求CF 的长；（2）连接BG 并延长至点M ，使BG ＝MG ，连接CM ．①如图2，若NG ⊥MB ，求证：AB =√10CM ；②如图3，当点G 、F 、B 共线时，BM 交AC 于点H ，AH =14AC ，请直接写出FCMH 的值．一年模拟新题2．（2020•渝中区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，E为线段CD上一点（不含端点），连接AE，设F为AE的中点，作CG⊥CF交直线AB于点G．（1）猜想：线段AG、BC、EC之间有何等量关系？并加以证明；（2）如果将题设中的条件“E为线段CD上一点（不含端点）”改变为“E为直线CD上任意一点”，试探究发现线段AG、BC、EC之间有怎样的等量关系，请直接写出你的结论，不用证明．3．（2020•沙坪坝区校级一模）在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．（1）如图1，若△ACE为等边三角形，CD＝2√3，求AB的长；（2）如图2，作EG⊥AB，求证：AD=√2BE；（3）如图3，作EG⊥AB，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BF与EC之间的数量关系．4．（2020•南岸区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点．（1）若GE⊥GF，点E，F分别在AB，AC上，当点G与点D重合时，如图①所示，容易证明AE+AF=√2AD．当点G在线段AD外时，如图②所示，点E与点B重合，猜想并证明AE，AF与AG存在的数量关系．（2）当点G在线段AD上时，AG+BG+CG的值是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．5．（2020•南岸区校级模拟）△ABC与△ADE都是等边三角形，DE与AC交于点P，点P恰为DE的中点，延长AD交BC于点F，连结BD、CD，取CD的中点Q，连结PQ．求证：PQ=12BD．（1）如图1，理清思路，完成解答：本题证明的思路可以用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）如图2，特殊位置，求线段长：若点P为AC的中点，连接PF，已知PQ=√3，求PF的长．（3）知识迁移，探索新知：若点P是线段AC上任意一点，直接写出PF与CD的数量关系．6．（2020•九龙坡区校级模拟）【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F 在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．7．（2019•渝中区校级一模）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连结DF，CF．（1）如图1，点D在AC上，请你判断此时线段DF，CF的关系，并证明你的判断；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45时，若AD＝DE＝2，AB＝6，求此时线段CF的长．8．（2019•重庆模拟）一节数学课后，老师布置了一道课后练习：△ABC是等边三角形，点D是线段BC上的点，点E为△ABC的外角平分线上一点，且∠ADE＝60°，如图①，当点D是线段BC上（除B，C 外）任意一点时，求证：AD＝DE（1）理清思路，完成解答本题证明思路可以用下列框图表：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）特殊位置，计算求解当点D为BC的中点时，等边△ABC的边长为6，求出DE的长；（3）知识迁移，探索新知当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC时，若AB＝2，请直接写出△ADE的面积（不必写解答过程）9．（2020•南岸区校级模拟）如图1，直角三角形△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，∠A＝60°，O为BC中点，将△ABC 绕O 点旋转180°得到△DCB ．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿A →B →D 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ⊥AC 交折线段A ﹣C ﹣D 于M ．（1）如图2，当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →D 的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN ∥PM 交折线段A ﹣C ﹣D 于N ，设点Q 的运动时间为t 秒，（0＜t ＜10）直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．（2）如图3，当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B →C →D 的路线运动，且在BC 上以每秒√32的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀速运动，是否存在这样的P 、R ．使△BPR 为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由．10．（2019秋•沙坪坝区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，连接AC ，动点P 从A 点出发沿射线AB 方向运动，同时动点Q 从B 点出发以与P 点相同的速度沿射线BC 方向运动，连接AQ ，CP ，直线AQ 与直线CP 交于点H ．（1）如图1，当P ，Q 两点分别在线段AB 和线段BC 上时，直接写出∠CHQ 的度数；（2）如图2，当P ，Q 两点分别运动到线段AB 和线段BC 的延长线上时，试问（1）问中的结论是否成立：若成立请说明理由，若不成立，请求出∠CHQ 的度数；（3）如图3，在（2）问的前提下，连接DH ，过点D 作DE ⊥PH 交PH 延长线于点E ．求证：AH ﹣CE =12DH ．11．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E ，点F 分别在线段OB ，线段AB 上，且AF ＝OE ，连接AE 交OF 于G ，连接DG 交AO 于H ．（1）如图1，若点E为线段BO中点，AE=√5，求BF的长；（2）如图2，若AE平分∠BAC，求证：FG＝HG；（3）如图3，点E在线段BO（含端点）上运动，连接HE，当线段HE长度取得最大值时，直接写出cos ∠HDO的值．12．（2020•沙坪坝区自主招生）在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，∠BAC＝90°，点E是对角线AC上的点，连结BE．（1）如图1．若AB＝AE，BF＝3，求BE的长；（2）如图2，若AB＝AE，点G是BE的中点，∠F AG＝∠BFG，求证：AB=√10FG；（3）如图3，以点E为直角顶点，在BE的右下方作等腰直角△BEM，若点E从点A出发，沿AC运动到点C停止，设在点E运动过程中，BM的中点N经过的路径长为m，AC的长为n，请直接写出nm的值．13．（2020•巴南区自主招生）已知，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，且AE⊥DE，AE＝DE，点F是BC的延长线上一点，AF与DE相交于点G，DH⊥AF，垂足为H，DH的延长线与BC相交于点K．（1）如图1，求AD的长；（2）如图2，连接KG，求证：AG＝DK+KG；（3）如图3，设△ADM与△ADH关于AD对称，点N、Q分别是MA、MD的中点，请直接写出BN+NQ 的最大值．14．（2020•南岸区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM ⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE=√2NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．15．（2020•北碚区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE=√2，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG=√22BE；（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB于点H，过点F 作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．16．（2019秋•九龙坡区校级期末）已知，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，点F，G在边BC上，且AF＝AG．（1）如图1，若AG平分∠F AC，∠AFC＝5∠BAF，且AF＝4，求线段AC的长；（2）如图2，点E在边AB上，且BE＝EF，证明：AE＝BG；（3）在（2）的条件下，连接CE（如图3），若∠AEC＝∠ACD，你能得到AD，FG，BE怎样的数量关系？试证明你的猜想．17．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，已知在矩形ABCD中，AD＝8，CD＝4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，到达A点停止运动；同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，到达D点停止运动，设点E移动的时间为t（秒）．（1）当t＝1时，求四边形BCFE的面积；（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的关系式，并写出t的取值范围；（3）若F点到达D点后立即返回，并在线段CD上往返运动，当E点到达A点时它们同时停止运动，求当t为何值时，以E，F，D三点为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此的等腰三角形的面积S△EDF．18．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知，在▱ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE 交BD于点F．（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2√5，求AD的长；（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH；（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N在BC边上且BN＝1，已知AB＝4√2，请直接写出MN的最小值．19．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC．（1）如图1，若点D、E分别在BC、AC边上，且CD＝CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．求证：△OMN是等腰直⻆三角形；（2）将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图2，O、M、N分别为AB、AD、BE中点，则（1）中的结论是否成⽴，并说明理由；（3）如图3，将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转，记旋转⻆为α（0＜α＜360°），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，当MN=√10，请求出四边形ABED的⽴积．20．（2019秋•九龙坡区期末）（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH上，且∠AEB=12∠FEH，求证：AB＝AF+BH．（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH交FM于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．21．（2019秋•吉州区期末）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系：；（2）AM＝DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．22．（2019春•江北区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点A （﹣2，0），线段AB＝8，线段AD＝6，且∠BAD＝60°，AD与y的交点记为E，连接BE．（1）求▱ABCD的面积．（2）如图2，在线段BE上有两个动点G、K（G在K点上方），且KG=√3，点F为BC中点，点P为线段CD上一动点，当FG+GK+KP的值最小时，求出此时P点的坐标；此时在y轴上找一点H，x轴上线一点M，使得PH+HM−√22AM取得最小值，请求出PH+HM−√22AM的最小值．（3）如图3，将△AOE沿射线EB平移到△A′O'E'的位置，线段E′A′的中点N落在x轴上，此时再将△A′O'E'绕平面内某点W旋转90°，旋转后的三角形记为△A''O''E''，若△A''O''E'恰好只有两个顶点同时落在直线BC和直线BE上，且△A''E''B''的边均不在直线BC或直线BE上，请求出满足条件的W的坐标．23．（2019秋•北碚区校级月考）已知平行四边形ABCD中，N是边BC上一点，延长DN、AB交于点Q，过A作AM⊥DN于点M，连接AN，则AD⊥AN．（1）如图①，若tan∠ADM=34，MN＝3，求BC的长；（2）如图②，过点B作BH∥DQ交AN于点H，若AM＝CN，求证：DM＝BH+NH．24．（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，过A作AE⊥CD于点E，点G，F分别为AD，BC上一点，连接CG交AE于点H，连接AF，AF＝AH，∠GCF＝∠F AE＝45°．（1）若tan∠DAE=23，GH＝4，求AF的长；（2）求证：AG+√2GH＝GC．25．（2020春•北碚区校级期末）已知在△ABC和△ADE中，∠ACB+∠AED＝180°，CA＝CB，EA＝ED，AB＝3．（1）如图1，若∠ACB＝90°，B、A、D三点共线，连接CE：①若CE=5√22，求BD长度；②如图2，若点F是BD中点，连接CF，EF，求证：CE=√2EF；（2）如图3，若点D在线段BC上，且∠CAB＝2∠EAD，试直接写出△AED面积的最小值．26．（2020春•重庆期末）已知三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D（0，﹣4），M（4，﹣4）．（1）如图1，若点C与点O重合，A（﹣2，2）、B（4，4），求△ABC的面积；（2）如图2，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，若∠AOG＝55°，求∠CEF的度数；（3）如图3，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，∠NEC+∠CEF＝180°，求证：∠NEF＝2∠AOG．27．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为斜边作Rt△AEC，∠AEC＝90°，AB与CE相交于点D．（1）如图1，AB平分∠CAE，BD＝4，CD＝5，求AC；（2）如图2，若AC＝BC，点F在EA的延长线上，连接FB、FC，FB与CE相交于点G，且∠EAD＝∠ACF，求证：AF＝2GE；（3）如图3，在（2）的条件下，CE的中垂线与AB相交于点Q，连接EQ，若∠DEQ+2∠ACE＝90°，请直接写出线段FC、ED、EQ的关系．28．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC边上一点，以BD为边作等腰直角△BDE，其中BD＝BE，∠DBE＝90°，边AB与DE交于点F，点G是BC上一点．（1）如图1，若DG⊥DE，连接FG．①若∠ABD＝30°，DE=√6+√2，求BF的长度；②求证：DG＝EF﹣FG；（2）如图2，若DG⊥BD，EP⊥BE交BA的延长线于点P，连接PG，请猜想线段PG，DG，PE之间的数量关系，并证明．29．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在等边△ABC中，延长AB至点D，延长AC交BD的中垂线于点E，连接BE，DE．（1）如图1，若DE＝3√10，BC＝2√3，求CE的长；（2）如图2，连接CD交BE于点M，在CE上取一点F，连接DF交BE于点N，且DF＝CD，求证：AB=12EF；（3）在（2）的条件下，若∠AED＝45°，直接写出线段BD，EF，ED的等量关系．30．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF=√2DF；（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．31．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图所示，△ABC为等边三角形，点D，点E分别在CA，CB的延长线上，连接BD，DE，DB＝DE．（1）如图1，若CA：AD＝3：7，BE＝4，求EC的长；（2）如图2，点F在AC上，连接BE，∠DBF＝60°，连接EF，①求证：BF+EF＝BD；②如图3，若∠BDE＝30°，直接写出EFBF的值．32．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC，△CDE中，∠BAC＝∠DEC＝90°，连接BD，F为BD中点，连接AF，EF．（1）如图1，若A，C，E三点在同一直线上，∠ABC＝∠EDC＝45°，已知AB＝3，DE＝5，求线段AF的长；（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝45°，求证：△AEF为等腰直角三角形；（3）如图3，若∠ABC＝∠EDC＝30°，请判断△AEF的形状，并说明理由．33．（2019秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，以AC为边作等边△ACD，连接BD．（1）如图1，若∠ACB＝90°，AB＝4，求△BCD的面积；（2）如图2，若∠ACB＜90°，点E为BD中点，连接AE、CE，且AE⊥CE，延长BC至点F，连接AF，使得∠F＝30°，求证：AF＝CE+√3AE．34．（2020春•南岸区期末）把△ABC绕着点A逆时针旋转α，得到△ADE．（1）如图1，当点B恰好在ED的延长线上时，若α＝60°，求∠ABC的度数；（2）如图2，当点C恰好在ED的延长线上时，求证：CA平分∠BCE；（3）如图3，连接CD，如果DE＝DC，连接EC与AB的延长线交于点F，直接写出∠F的度数（用含α的式子表示）．35．（2020春•渝中区期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以DE为边向外作正方形DEFG，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，连接AG．（1）如图1，若AD＝2√3、DE＝2，当∠ADG＝150°时，求AG的长；（2）如图2，正方形DEFG绕点D旋转的过程中，取AG的中点M，连接DM、CE，猜想：DM和CE 之间有何等量关系？并利用图2加以证明．36．（2020春•沙坪坝区校级月考）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点M是对角线BD上一动点，将线段CM绕点C顺时针旋转120°到CN，连接DN，连接NM并延长，分别交AB、CD于点P、Q．（1）如图1，若CM⊥BD且PQ＝4√3，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，求证：PM＝QN．37．（2019秋•江津区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝CD，∠BAC＝90°，点E为BC边上一点，将AE绕点A顺时针旋转90°后得到线段AF，连接FB，FB⊥BC．且FB的延长线与AE的延长线交于点G，点E是AG的中点．（1）若BG＝2，BE＝1，求FG的长；（2）求证：√2AB＝BG+2BE．38．（2020春•渝北区期中）如图1，光线照射在光滑表面上时会发生反射现象，入射光线与镜面的夹角等于出射光线与镜面的夹角，即∠1＝∠2．（1）如图1，AB、BC为两个平面镜，∠B＝90°，一束光线l经两次反射后，经点D，由从点E射出，求证：DM∥EN；（2）如图2，AB、BC为两个平面镜，∠B＝122°，一束光线l经两次反射后，经点D，且由从点E射出，且EN⊥AB，求∠ADM的度数；（3）如图3，已知FL∥GS，FG⊥GS，∠LPK＝∠SQK＝30°，∠PKQ绕点K顺时针旋转，旋转速度为5°/秒，记旋转角α（0＜α≤360°），同时，射线FG绕点F顺时针旋转，旋转速度为3°/秒，记旋转角β（0＜β≤360°），当FG所在直线平行于∠PKQ边所在直线时，直接写出对应时间t的所有值．。

2022年中考数学复习：几何探究证明题专项训练(含答案)

2022年中考数学复习：几何探究证明题专项训练 1．已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将

此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N． (1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN (2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系 (3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．

2．四边形ABCD是由等边ABC和顶角为120的等腰ABD排成，将一个60角顶点

放在D处，将60角绕D点旋转，该60交两边分别交直线BC、AC于M、N，交直线AB于E、F两点．（1）当E、F都在线段AB上时（如图1），请证明：BMANMN；

（2）当点E在边BA的延长线上时（如图2），请你写出线段MB，AN和MN之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若7AC，2.1AE，请直接写出MB的长为． 3．正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．（1）如图1，求证AE⊥BF；（2）如图2，在GF上截取GM＝GB，⊥MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝2BN；

4．综合与实践：如图1，在正方形ABCD中，连接对角线AC，点O是AC的中点，

点E是线段OA上任意一点（不与点A，O重合），连接DE，BE．过点E作EFDE

交直线BC于点F．

（1）试猜想线段DE与EF的数量关系，并说明理由；（2）试猜想线段,,CECDCF之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，当E在线段CO上时（不与点C，O重合），EF交BC延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段,,CECDCF之间的数量关系． 5．在正方形ABCD和正方形DEFG中，1,5ABDG

，连接BF，H是BF的中

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几何探究题 1题（1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．

①如图1，求证：； ②探究：如图1，；如图2，；如图3，．（2）如图4，已知：是以为边向外所作正边形的一组邻边；是以为边向外所作正边形的一组邻边．的延长相交于点． ①猜想：如图4，（用含的式子表示）； ②根据图4证明你的猜想．

2题.请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）． 3题。如图，等腰梯形中，4，9，∠60°，动点P从点C出发沿方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.

（1）求的长；（2）设，问当x为何值时△的面积达到最大，并求出最大值；（3）探究：在边上是否存在点M使得四边形是菱形？若存在，请找出点M，并求出的长；不存在，请说明理由.

D A B E

C P G

图1

D C G P

A B E F

图2

（第25题 4题已知矩形和点P，当点P在上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．答：对图（2）的探究结论为．对图（3）的探究结论为．证明：如图（2） 5题如图，以矩形的顶点O为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知＝3，＝2，点E是的中点，在上取一

点D，将△沿翻折，使点A落在边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且

以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

（第226题如图1，四边形是正方形，G是边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以为一边在正方形外作正方形，连结，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图1中的正方形绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且，，， (，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结、，且3，2，，求的值． 7题正方形中，点O是对角线的中点，P是对角线上一动点，过点P作⊥于点F。如图1，当点P与点O重合时，显然有＝． ⑴如图2，若点P在线段上（不与点A、O重合），⊥且交于点E。 ①求证：＝； ②写出线段、、之间的一个等量关系，并证明你的结论； ⑵若点P在线段上（不与点O、C重合），⊥且交直线于点E。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）

F P(OD C B A 图1 图2

O D C B A E F P

D C B A

图3 P 8题将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．（1）用含的代数式表示；（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；（3）连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．

9题（1）探究新知：如图1，已知△与△的面积相等，试判断与的位置关系，并说明理由．

图O P

B D C

图O P A

B C

A B

D C

图 1 （2）结论应用： ① 如图2，点M，N在反比例函数（k

＞0）的图象上，过点M作⊥y轴，过点N作⊥x轴，垂足分别为E，F．试证明：∥． ② 若①中的其他条件不变，只改变点M，N 的位置如图3所示，请判断与是否平行．

1题。（1）①证法一：与均为等边三角形，，且，即．证法二：与均为等边三角形，，且可由绕着点按顺时针方向旋转得到．

②，，．（2）①

O y N M

图 2 E

F x N

x O

y D M

图 3 N ②证法一：依题意，知和都是正边形的内角，，，

，即． ····· 11分． ················· 12分，， 13分，

········ 14分证法二：同上可证． ········· 12分，如图，延长交于，， ······ 13分

··· 14分证法三：同上可证． ········· 12分．

， ··········· 13分

即 ·············· 14分证法四：同上可证． ········· 12分．如图，连接，． ······· 13分即 ······ 14分 2题⑴ 线段与的位置关系是；． ··············· 2分

⑵ 猜想：（1）中的结论没有发生变化．证明：如图，延长交于点，连结．是线段的中点，．由题意可知．．，．，．四边形是菱形，，．由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，可得．．四边形是菱形，

D C G P

A B E F

H ．．．，．．即．，，，．． ··············· 6分 ⑶ ． 8分 3题（1）解法一：如图25-1 过A作⊥，垂足为E .

依题意，. …………………………2分在△中，. ………5分解法二：如图25-2 过点A作∥交于点E，则4 . …2分 ∠∠60°. 又∵∠∠60°， ∴△是等边三角形 . ∴9－4=5 . …………………………………5分（2）解：如图25-1

图25-1 ∵，h为边上的高,依题意，△的面积S可表示为： ·h ………………………………………6分 =(9－x)·x·60° =(9x－x2) =－(x－)2＋. ………………………………………………… 8分由题意，知0≤x≤5 . ……………………………………………………… 9分当时（满足0≤x≤5），S最大值=. …………………………… 10分

（3）证法一：如图25-3 假设存在满足条件的点M，则必须等于 . ………………………… 11分

于是9－，. 此时，点P、Q的位置如图25-3所示，连 . △恰为等边三角形 . 过点Q作∥，交于M，点M即为所求. 连结，以下证明四边形是菱形 . 易证△≌△，∴∠∠3 . ∴∥ , ∴四边形是平行四边形 . 又 , ∴四边形是菱形 . ………………………………… 13分

所以存在满足条件的点M，且－5－=. ………………… 14分

[注] 本题仅回答存在，给1分. 证法二：如图25-4 假设存在满足条件的点M，则必须等

图25-2 图25-3