数学人教b版必修3导学案：§2.3变量的相关性含解析

合集下载

人教版高中数学选择性必修第3册8-1-2样本相关系数课件

D．③④
• 【答案】B
• 【解析】样本相关系数r的绝对值越大，变量x，y的线性相关程度越高．
易错警示样本相关系数r概念理解不到位致误
•
以下是收集到的新房屋的销售价格y(万元)和房屋的大
小x(m2)的数据.
房屋大小/m2 115 110 80 135 105
销售价格/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22
65.6≈0.96，
由相关系数 r＝0.96 可知，房屋大小与销售价格呈正相关，且相关性
高，拟合程度较高．
素养达成
• 1．判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判断．
＝
1
3 308 570×
65.6≈0.96，
• 由相关系数r＝0.96可知，房屋大小与销售价格呈负相关，且相关性不高，拟合程度不高．
• 易错防范：判断变量之间的线性相关关系，通常利用相关系数r，当|r|越接近1，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据的效果就越好．
• 正解：由题设数据，得
• (1)当r＞0时，称成对样本数正据______相关；当r＜0时，
称成对样本数据负相关；当r＝0时不，两个变量线性______相
关．
[－1,1]
• (2)样本相关系数r的取值范围为__________．
• 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
• 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关程度性越强，r 的绝对值越接近于0，表明两个变量的线性相关程度越弱，故 D正确．

高中数学人教B版必修三基础知识梳理

算法与程序框图1．算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的________和________的步骤．2．(1)程序框图的概念：通常用一些通用图形符号构成一张图来表示算法，这种图叫____________，简称________．(2)画程序框图的规则：①使用标准的框图的符号．②框图一般按____________、____________的方向画．③除判断框外，其他框图符号只有______进入点和________退出点．判断框是具有超过一个退出点的唯一符号．④一种判断框是二择一形式的判断，有且仅有______个可能结果；另一种是多分支判断，可能有几种不同的结果．⑤在图形符号内描述的语言要非常简练清楚．3．三种基本逻辑结构(1)顺序结构描述的是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间按____________的顺序进行．这是任何一个算法都离不开的基本结构．其结构形式为(2)条件分支结构是依据指定条件选择执行不同指令的控制结构．其结构形式为(3)循环结构是根据指定条件决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构．其结构形式为统计随机抽样1．简单随机抽样(1)定义：一般地，从元素个数为N 的总体中__________地抽取容量为n 的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：____________和________________．2．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本．(1)先将总体的N 个个体________；(2)确定____________，对编号进行________，当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n； (3)在第1段用________________确定第一个个体编号l (l ≤k )；(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号____________，再加k 得到第3个个体编号__________，依次进行下去，直到获取整个样本．3．分层抽样(1)定义：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样，将总体中各个个体按某种特征分成若干个______________的几部分，每一部分叫做______，在各层中按层在总体中所占比例进行____________抽样或________抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由________________________组成时，往往选用分层抽样．用样本估计总体1．频率分布直方图(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用_______________________，另一种是用________________________________________________．(2)在频率分布直方图中，纵轴表示________，数据落在各小组内的频率用___________表示，各小长方形的面积总和等于______．(3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着__________的增加，作图时所分的________增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为____________，它能够更加精细的反映出_______________________________________________________．(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以______________，而且__________________，方便________和________都带来方便．2．用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)平均数平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝____________________________________.(2)样本方差、标准差标准差s ＝ 1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x n 是样本数据的第n 项，n 是________________，x 是__________．__________是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的________．通常用样本方差估计总体方差，当________________________时，样本方差很接近总体方差．变量的相关性1．两个变量的线性相关(1)正相关如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由小变大，这种相关称为正相关．(2)负相关如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．(3)线性相关关系如果散点图中点的分布从整体上看大致在______________，就称这两个变量之间具有线性相关关系．2．回归方程(1)最小二乘法求回归直线，使“离差平方和为最小”的方法叫做最小二乘法．(2)回归方程方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ^ ，b ^ 是待定参数． ⎩⎨⎧ b ^ ＝＝ a ^ ＝ .概率1．事件与基本事件空间(1)当我们在同样的条件下重复进行试验时，有的结果________________，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中______________，它称为必然事件．在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为____________，简称事件，通常用大写英文字母A ，B ，C ，…来表示．(2)在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为____________，所有基本事件构成的集合称为________________，通常用大写希腊字母Ω表示．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是________的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成____________的和．2．频率与概率(1)在相同的条件下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数m 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例m n为事件A 出现的频率． (2)在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率m n，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P (A )．3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：____________. (2)必然事件的概率P (E )＝______.(3)不可能事件的概率P (F )＝______.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝______________.②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝________.4．古典概型①具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件_________．(2)每个基本事件出现的可能性________． ②如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是______；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝______.③古典概型的概率公式 P (A )＝______________________________.5．几何概型事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)__________，而与A 的位置和形状________，满足以上条件的试验称为几何概型．在几何概型中，事件A 的概率定义为：P (A )＝μA μΩ，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA 表示子区域A 的几何度量．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解。

高中数学人教B必修二学案：第二单元 2.2.3 第1课时两条直线相交、平行与重合的条件含答案

2．2.3 两条直线的位置关系第1课时两条直线相交、平行与重合的条件学习目标 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.能根据斜截式方程和一般式方程判定两条直线是否平行或重合.3.能应用两直线平行与重合求参数或直线方程．知识点两条直线相交、平行与重合的条件思考1 直线l 1：2x ＋3y －6＝0与直线l 2：3x ＋2y ＋6＝0的位置关系是怎样的？思考2 直线l 3：2x ＋3y －2＝0与直线l 4：4x ＋6y ＋3＝0的位置关系是怎样的？梳理两条直线相交、平行与重合的判定方法 (1)代数法两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解进行判断(如表所示)：(2)几何法设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1；l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则： ①l 1与l 2相交⇔____________； ②l 1∥l 2⇔________________； ③l 1与l 2重合⇔____________.类型一两条直线位置关系的判定例1 判断下列各组中两条直线的位置关系． (1)l 1：y ＝3x ＋4，l 2：2x －6y ＋1＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0，l 2：y ＝x 3＋23；(3)l 1：(2－1)x ＋y ＝3，l 2：x ＋(2＋1)y ＝2； (4)l 1：x ＝5，l 2：x ＝6.反思与感悟两条直线位置关系的判定方法设两条直线的方程分别为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)若A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2、B 2≠0)，则两直线相交．(2)若A 1A 2＋B 1B 2＝0，则两直线相互垂直．(3)若A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0或(B 1C 2－B 2C 1≠0)或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)，则两直线平行．跟踪训练1 已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交？(2)平行？(3)重合？类型二两条直线平行的应用例2 (1)求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程； (2)求过点P (3,2)且与经过点A (0,1)，B (－2，－1)的直线平行的直线方程．反思与感悟 (1)求与直线y ＝kx ＋b 平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y ＝kx ＋m (m ≠b )，然后通过待定系数法，求参数m 的值．(2)求与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，代入已知条件求出m 即可．其中对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论．跟踪训练2 若直线l 与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为56，求直线l的方程．类型三两条直线的交点问题例3 求经过原点，且经过直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点的直线l 的方程．反思与感悟利用过交点的直线系方程避免了解方程组的过程，减少了运算量，因此我们必须熟练掌握这一方法，并能灵活运用它解决求过两直线交点的直线方程的问题．跟踪训练3 三条直线x ＋y ＋1＝0,2x －y ＋8＝0，ax ＋3y －5＝0只有两个不同的交点，则a ＝________.1．直线Ax ＋4y －1＝0与直线3x －y －C ＝0重合的条件是( ) A ．A ＝12，C ≠0 B ．A ＝－12，C ＝14C ．A ＝－12，C ≠－14D ．A ＝－12，C ＝－142．直线2x －y ＋k ＝0和直线4x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．不平行C ．平行或重合D ．既不平行也不重合3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( ) A ．－8 B ．0 C ．2D ．104．过点(－1，－3)且与直线2x ＋y －1＝0平行的直线方程为________________________． 5．已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0,1)，B (1,0)，C (4,3)，求顶点D 的坐标．两条直线相交、平行与重合的条件(1)两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下：答案精析问题导学知识点思考1 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －6＝0，3x ＋2y ＋6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝6.∴l 1与l 2相交．思考2 24＝36≠－23，∴l 3∥l 4.梳理 (1)平行 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 相交 A 1A 2≠B 1B 2 重合 A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(2)①k 1≠k 2 ②k 1＝k 2且b 1≠b 2 ③k 1＝k 2且b 1＝b 2 题型探究例1 解 (1)A 1＝3，B 1＝－1，C 1＝4； A 2＝2，B 2＝－6，C 2＝1. 因为A 1A 2≠B 1B 2，所以l 1与l 2相交．(2)A 1＝2，B 1＝－6，C 1＝4；把l 2化为x －3y ＋2＝0，所以A 2＝1，B 2＝－3，C 2＝2. 因为A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，所以l 1与l 2重合．(3)A 1＝2－1，B 1＝1，C 1＝－3； A 2＝1，B 2＝2＋1，C 2＝－2. 因为A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，所以l 1与l 2平行．(4)A 1＝1，B 1＝0，C 1＝－5； A 2＝1，B 2＝0，C 2＝－6，因为A 1B 2－A 2B 1＝0，而A 2C 1－A 1C 2≠0，所以l 1与l 2平行．跟踪训练1 解因为直线l 1：x ＋my ＋6＝0，直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，所以A 1＝1，B 1＝m ，C 1＝6， A 2＝m －2，B 2＝3，C 2＝2m .(1)若l 1与 l 2相交，则A 1B 2－A 2B 1≠0，即1×3－m (m －2)≠0，即m 2－2m －3≠0，所以(m －3)(m ＋1)≠0，解得m ≠3且m ≠－1.故当m ≠3且m ≠－1时，直线l 1与l 2相交．(2)若l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m (m －2)＝0，2m 2－18≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3＝0，m 2≠9，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠3且m ≠－3，所以m ＝－1.故当m ＝－1时，直线l 1与l 2平行．(3)若l 1与l 2重合，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m (m －2)＝0，2m 2－18＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ＝3或m ＝－3.所以m ＝3.故当m ＝3时，直线l 1与l 2重合．例2 解 (1)方法一已知直线的斜率为－23，∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线方程的斜率为－23.由点斜式，得所求直线的方程为y ＋4＝－23(x －1)，即2x ＋3y ＋10＝0.方法二设与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线l 的方程为2x ＋3y ＋λ＝0(λ≠5)． ∵l 经过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋λ＝0，解得λ＝10， ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.(2)经过点A (0,1)，B (－2，－1)的直线的斜率为k ＝1－(－1)0－(－2)＝1.∵所求直线经过点P (3,2)， ∴所求直线方程为y －2＝x －3 即x －y －1＝0.跟踪训练2 解设直线l 的方程为 2x ＋3y ＋C ＝0，令x ＝0，得y ＝－C3，令y ＝0，得x ＝－C2.由题意，得－C 3－C 2＝56，解得C ＝－1.所以直线的方程为2x ＋3y －1＝0.例3 解方法一解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点坐标为(－1，－2)．又直线l 经过原点， ∴直线l 的方程为y －0－2－0＝x －0－1－0，即2x －y ＝0. 方法二设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0， ∵直线过原点(0,0)， ∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴直线方程为2x ＋3y ＋8＋8x －8y －8＝0，即2x －y ＝0. 跟踪训练3 3或－6解析当直线ax ＋3y －5＝0与x ＋y ＋1＝0平行时，a ＝3. 当直线ax ＋3y －5＝0与2x －y ＋8＝0平行时， a 2＝3－1≠－58，得a ＝－6， ∴a ＝3或a ＝－6. 当堂训练 1．D 2.C 3.A 4．2x ＋y ＋5＝0解析设所求直线方程为2x ＋y ＋C ＝0，将点(－1，－3)代入方程， 2×(－1)－3＋C ＝0，得C ＝5. ∴直线方程为2x ＋y ＋5＝0.5．解设D (m ，n )，由题意，得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC .所以⎩⎪⎨⎪⎧0－11－0＝3－n4－m，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝4.所以点D 的坐标为(3,4)．。

人教b版数学必修三：第3章《概率》章末复习导学案(含答案)

章末复习课知识概览对点讲练知识点一互斥事件与对立事件互斥事件和对立事件，都是研究怎样从一些较简单的事件的概率的计算来推算较复杂事件的概率．应用互斥事件的概率加法公式解题，备受高考命题者的青睐，应用公式时一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．例1某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率．点评“互斥”和“对立”事件容易搞混．互斥事件是指两事件不可能同时发生．对立事件是指互斥的两事件中必有一个发生．变式迁移1互相输血，小明是B型血，若小明因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？知识点二古典概型古典概型是一种基本的概型，也是学习其它概型的基础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P (A )＝mn时，关键是正确理解基本事件与事件A 的关系，求出n 、m .例2 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求(1)两次向上的点数之和为7或是4的倍数的概率；(2)以第一次向上的点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝20的内部(不包括边界)的概率．变式迁移2 任取两个一位数，观察结果，问： (1)共有多少种不同的结果？(2)取出的两数之和等于3的结果有多少种？ (3)两数的和是3的概率是多少？知识点三几何概型几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置．我们要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征，即每次试验中基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性，并能求简单的几何概型试验的概率．例3 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．(保留小数点后三位)变式迁移3 在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率．课时作业一、选择题1．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有1个黑球与都是黑球B ．至少有1个黑球与至少有1个红球C ．恰有1个黑球与都是黑球D ．至少有1个黑球与都是红球2．一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率是( )A ．0.59B ．0.85C ．0.96D ．0.743．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样的大小的小正方体，从中任取一个小正方体，其中恰有3面涂有颜色的概率为( )A.19B.827C.427D.494．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，然后将它们混和，再任意排列成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是( )A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.85．已知实数x 、y ，可以在0<x <2,0<y <2的条件下随机取数，那么取出的数对(x ，y )满足(x －1)2＋(y －1)2<1的概率是( )A.π4B.4πC.π2D.π3 二、填空题6．某射击选手射击一次，击中10环、9环、8环的概率分别为0.3、0.4、0.1，则射手射击一次，击中环数小于8的概率是________．7．某市公交车每隔10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客等车时间不超过7分钟的概率为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是________．三、解答题9．袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求： (1)3只全是红球的概率； (2)3只颜色全相同的概率； (3)3只颜色不全相同的概率； (4)3只颜色全不相同的概率．10．在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0内随机投点，求点与圆心距离小于13的概率．章末复习课对点讲练例1 解 (1)记“他乘火车去”为事件A 1，“他乘轮船去”为事件A 2，“他乘汽车去”为事件A 3，“他乘飞机去”为事件A 4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥．故P (A 1∪A 4)＝P (A 1)＋P (A 4)＝0.3＋0.4＝0.7. 所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P ，则P ＝1－P (A 2) ＝1－0.2＝0.8.变式迁移1 解 (1)对任一人，其血型为A 、B 、AB 、O 型血的事件分别记为A ′、B ′、C ′、D ′，它们是互斥的．由已知，有P (A ′)＝0.28，P (B ′)＝0.29，P (C ′)＝0.08，P (D ′)＝0.35.因为B 、O 型血可以输给B 型血的人，故“可以输给B 型血的人”为事件B ′∪D ′.根据互斥事件的加法公式，有P (B ′∪D ′)＝P (B ′)＋P (D ′)＝0.29＋0.35＝0.64. (2)由于A 、AB 型血不能输给B 型血的人，故“不能输给B 型血的人”为事件A ′∪C ′，且P (A ′∪C ′)＝P (A ′)＋P (C ′)＝0.28＋0.08＝0.36.答任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36. 例2 解 (1)第一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能的基本事件．记“两数之和为7”为事件A ，则事件A 中含有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，6个基本事件．∴P (A )＝636＝16.记“两数之和是4的倍数”为事件B ，则事件B 中含有(1,3)，(2,2)，(3,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)，9个基本事件，∴P (B )＝936＝14.∵事件A 与事件B 是互斥事件，∴所求概率为P (A )＋P (B )＝512.(2)记“点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝20的内部”为事件C ，则事件C 中共含有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，11个基本事件，∴P (C )＝1136.变式迁移2 解 (1)因为每次取出的数是0,1,2，…，9这十个数字中的一个，从而每次取数都有10种可能，所以两次取数共有等可能的结果总数为n ＝10×10＝100(种)．(2)记“两个数的和等于3”为事件A ，则事件A 的可能取法有第一次取的数分别为0,1,2,3，相应的第二次取的数分别为3,2,1,0，即事件A 包含4种结果．(3)事件A 的概率是P (A )＝4100＝0.04.例3 解要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2，设A 为“两船都不需要等待码头空出”，则A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为右图中阴影部分，Ω为边长是24的正方形，由几何概型定义知，所求概率为P (A ) ＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝506.5576≈0.879. 变式迁移3 解如图所示，设事件A 是“作射线OC ，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”，μA ＝90°－30°－30°＝30°，μΩ＝90°，由几何概型的计算公式，得P (A )＝μA μΩ＝30°90°＝13.故所求“使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”的概率是13.课时作业1．C [结合互斥事件和对立事件的定义知，对于C 中恰有1个黑球，即1黑1红，与都是黑球是互斥事件．但不是对立事件，因为还有2个都是红球的情况，故应选C.]2．C 3．B4．C [最后一位数有5种结果，而能被2或5整除的有3种．] 5．A 6．0.2解析 P ＝1－0.3－0.4－0.1＝0.2. 7.45 8.π169．解 (1)记“3只全是红球”为事件A .从袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共会出现3×3×3＝27种等可能的结果，其中3只全是红球的结果只有一种，故事件A 的概率为P (A )＝127.(2)“3只颜色全相同”只可能是这样三种情况：“3只全是红球”(设为事件A )，“3只全是黄球”(设为事件B )，“3只全是白球”(设为事件C )，且它们之间是互斥关系，故“3只颜色全相同”这个事件可记为A ∪B ∪C .由于事件A 、B 、C 不可能同时发生，因此它们是互斥事件；再由于红、黄、白球个数一样，故不难得到P (B )＝P (C )＝P (A )＝127，故P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝19.(3)3只颜色不全相同的情况较多，如有两只球同色而另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色；或三只球颜色全不相同，这些情况一一考虑起来比较麻烦．现在记“3只颜色不全相同”为事件D ，则事件D 为“3只颜色全相同”，显然事件D 与D 是对立事件．∴P (D )＝1－P (D )＝1－19＝89.(4)要使3只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各一只，要分三次抽取，故3次抽到红、黄、白各一只的可能结果有3×2×1＝6种，故3只颜色全不相同的概率为627＝29.10．解圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，则圆的圆心C (1,1)，半径r ＝1，点与圆心距离小于13的区域是以C (1,1)为圆心，以13为半径的圆内部分．故点与圆心距离小于13的概率为P ＝π⎝⎛⎭⎫132π·12＝19.。

(新教材)2020-2021高中数学人教B版选择性必修三学案：6.3利用导数解决实际问题含解析

6.3 利用导数解决实际问题新版课程标准学业水平要求利用导数解决与函数有关的问题1.借助教材实例进一步掌握导数在研究函数的单调性、极值、图象、零点等问题中的应用.(数学运算)2.能利用导数解决简单的实际问题.(数学运算)关键能力·素养形成类型一函数的图象问题【典例】给定函数f=e x -x.(1)判断函数f的单调性,并求出f的值域;(2)画出函数f的大致图象;(3)求出方程f=m在区间[-1,2]的解的个数. 【思维·引】(1)求导数、求极值后确定最值,得到值域;(2)利用函数的单调性,增长趋势作图;(3)利用图象的交点个数判断解的个数.【解析】(1)函数的定义域为R.f′=e x-1,令f′=0,解得x=0.f′,f的变化情况如表所示:x 0f′- 0 +f单调递减 1 单调递增所以,f在区间上单调递减,在区间上单调递增.当x=0时,f的极小值f=1.也是最小值,故函数f的值域为.(2)由(1)可知,函数的最小值为1.函数的图象经过特殊点f=+1,f=e2-2,f=1,当x→+∞时,f→+∞,f′→+∞;当x→-∞时,指数函数y=e x越来越小,趋向于0,因此函数f图象上的点逐渐趋向于直线y=-x.根据上述信息,画出函数f的大致图象如图所示.(3)截取函数f在区间[-1,2]上的图象如图所示.由图象得:当f<m≤f,即m∈时,f与y=m恰有两个不同交点,即m∈时,方程f=m在区间上恰有两个不同的实根;同理,当m=1或+1<m≤e2-2时,方程f=m在区间上有唯一的实根;当m<1或m>e2-2时,方程f=m在区间上无实根.【内化·悟】作函数的图象时需要关注哪些方面?提示:定义域、单调性、极值、最值以及图象的变化趋势等.【类题·通】作函数f图象的步骤(1)求出函数的定义域;(2)求导数f′及函数f′的零点;(3)用f′的零点将f的定义域划分为若干个区间,列表给出f′在各个区间上的正负,并得出f的单调性与极值;(4)确定f的图象所经过的一些特殊点,以及图象的变化趋势;(5)画出f的大致图象.【习练·破】函数f(x)=(x2+tx)e x(实数t为常数,且t<0)的图象大致是 ( )【解析】选B.由f(x)=0得x2+tx=0,得x=0或x=-t,即函数f(x)有两个零点,排除A,C, 函数的导数f′(x)=(2x+t)e x+(x2+tx)e x=[x2+(t+2)x+t]e x,当x→-∞时,f′(x)>0,即在x轴最左侧,函数f(x)为增函数,排除D.类型二实际生活中的最值问题【典例】(2020·泰州高二检测)某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a(1≤a≤3)元的管理费,预计当每件商品的售价为x(8≤x≤9)元时,一年的销售量为(10-x)2万件. (1)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x);(2)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最大值.【思维·引】(1)利润=每件商品的利润×销售量;(2)利用导数求最值. 【解析】(1)该连锁分店一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L(x)= (x-4-a)(10-x)2,x∈[8,9].(2)L′(x)=(10-x)2-2(x-4-a)(10-x)=(10-x)(18+2a-3x),令L′(x)=0,得x =6+a或x=10(舍去).因为1≤a≤3,所以≤6+a≤8.所以L(x)在x∈[8,9]上单调递减,故L(x)max=L(8)=(8-4-a)(10-8)2=16-4a.当每件商品的售价为8元时,该连锁分店一年的利润L最大,最大值为(16-4a)万元.【类题·通】解决实际优化问题时应注意的问题(1)列函数关系式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域;(2)一般地,通过函数的极值来求函数的最值.如果函数在给定区间上只有一个极值点,则根据所求即可判断该值是最大值还是最小值. 【习练·破】(2020·焦作高二检测)欲制作一个容积为V的圆柱形蓄水罐(无盖),为能使所用的材料最省,它的底面半径应为 ( )A. B. C. D.【解析】选C.设圆柱的底面半径为r,高为h,表面积为y,则由题意有πr2h=V,所以h=.蓄水罐的表面积y=πr2+2πrh=πr2+2πr=πr2+(r>0).令y′=2πr-==0,得r=.检验得,当r=时表面积取得最小值,即所用的材料最省.类型三利用导数研究函数的问题角度1 恒成立问题【典例】(2020·龙凤高二检测)函数f(x)=e x-kx,当x∈(0,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则k的取值范围是( )A.k≤1B.k≤2C.k≤eD.k≤【思维·引】转化为最值问题.【解析】选C.依题意,e x-kx≥0在(0,+∞)上恒成立,即k≤在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=(x>0),则g′(x)==,当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)min=g(1)=e,所以k≤e.【素养·探】将恒成立问题转化为最值问题用到了核心素养中的逻辑推理.将本例改为在区间上存在x,使f(x)≥0成立,试求k的取值范围. 【解析】在区间上存在x,使f(x)≥0成立,即在区间上存在x,使k≤成立.令g(x)=(x>0),则g′(x)==,因为当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)min=g(1)=e,又g=2,g=e3,所以g(x)max=g=e3.所以k≤e3.角度2 证明问题【典例】已知函数f(x)=ae x-blnx在点(1,f(1))处的切线方程为y=(e-1)x+1.(1)求a,b的值;(2)求证:f(x)>2.【思维·引】(1)利用切点坐标、切线斜率构造方程(组)求值.(2)转化为最值进行证明.【解析】(1)函数f=ae x-bln x的导数为f′=ae x-,函数f=ae x-bln x在点处的切线斜率为k=ae-b,由切线方程y=x+1,可得ae-b=e-1,e=ae,解得a=1,b=1.(2)f=e x-ln x,导数为f′=e x-,x>0,易知f′为增函数,且f′>0,f′<0.所以存在m∈,有f′=0,即e m=,且x>m时,f′>0,f递增;0<x<m时,f′<0,f递减,可得在x=m处f取得最小值,f=e m-ln m=+m>2,可得f>2成立.【类题·通】1.关于恒成立问题注意区分“对于定义域内的任意值”“在定义域内存在值”成立的区别,两种叙述反映了不同的逻辑关系,对应的最值类型不同,要准确判断针对的是最大值还是最小值,确定好最值类型后利用导数求最值解题.2.关于证明问题首先分析要证明的命题是否与函数的最值、单调性等性质有关,如果有关则转化为相应的问题证明;其次是针对要证明的命题构造函数,再通过构造的函数性质证明.函数的证明问题往往都比较复杂,需要综合应用函数、导数等知识进行构造、转化等方式证明.【习练·破】1.(2020·秦州高二检测)已知函数f(x)=-mx(e为自然对数的底数),若f(x)<0在(0,+∞)上有解,则实数m的取值范围是( )A.(e,+∞)B.(-∞,e)C. D.【解析】选C.由f(x)=-mx<0在(0,+∞)上有解,可得,m>在(0,+∞)上有解,令g(x)=,x>0,则m>g(x)min,g′(x)=,则当0<x<2时,g′(x)<0,函数单调递减,当x>2时,g′(x)>0,函数单调递增,故当x=2时,函数g(x)取得最小值,g(2)=.故m>.2.已知函数f(x)=alnx+bx,g(x)=x2-,曲线y=f在点处的切线方程为x-2y-2=0.(1)求a,b的值;(2)证明:f(x)≤g(x).【解析】(1)f′(x)=+b,则a+b=,f(1)=b=-,解得a=1,b=-.(2)令h(x)=ln x-x-x2+,则h′(x)=--x=,又x>0,则h(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以h(x)≤h(1)=0,f(x)≤g(x)成立.课堂检测·素养达标1.有一长为16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则此矩形场地的最大面积为( )A.4 m2B.8 m2C.12 m2D.16 m2【解析】选 D.设矩形一边长为xm(0<x<8),则另一边长为(8-x)m.S=x(8-x),易知当x=4时,S有最大值16 m2.2.一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2·(0<x<60),则当箱子的容积最大时,x的值为( )A.30B.40C.50D.60【解析】选 B.V(x)=-x3+30x2,V′(x)=-x2+60x,令V′(x)=0,得x=40(x=0舍去),且当0<x<40时,V′(x)>0,当40<x<60时,V′(x)<0,故V(x)在x=40时取得最大值.3.函数f(x)=x3-x2-2x+5,若对于任意x∈[-1,2],都有f(x)<m,则实数m的取值范围是________.【解析】f′(x)=3x2-x-2,令f′(x)=0,得x=-或x=1.可求得f(x)max=f(2)=7.所以对于任意x∈[-1,2],f(x)<m恒成立时,m>7.答案:m>74.已知函数f(x)=e x(lnx-1),使得f(m)≥-e成立的实数m的取值范围为________.【解析】f′(x)=e x,令g(x)=ln x+-1,则g′(x)=-=,当0<x<1时,g′(x)<0,函数单调递减,当x>1时,g′(x)>0,函数单调递增,故g(x)≥g(1)=0,即f′(x)≥0恒成立,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=-e,故m≥1.答案:[1,+∞)【新情境·新思维】随着人们生活水平的提高,汽车的拥有量越来越多,据有关统计数据显示,从上午6点到9点,车辆通过某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似表示为y=-t3-t2+36t-.则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是________.【解析】由题意知,所求的量为当y为最大值时的自变量t的取值,y′=-t2-t+36,令y′=0,得3t2+12t-36×8=0,解得t1=8,t2=-12(舍).当t∈(6,8)时,y′>0,t∈(8,9)时,y′<0,所以t=8时,y有最大值.答案:8点。

选择性必修第三册成对数据的相关关系(含解析)

选择性必修第三册 8.1 成对数据的相关关系一、选择题（共13小题）1. 下列关系属负相关的是( )A. 父母的身高与子女身高的关系B. 农作物产量与施肥的关系C. 吸烟与健康的关系D. 数学成绩与物理成绩的关系2. 对于变量x与y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫做( )A. 函数关系B. 线性关系C. 相关关系D. 回归关系3. 观察下列图形，其中两个变量x，y具有相关关系的图是( )A. ①②B. ①④C. ③④D. ②③4. 某公司去年上半年的月收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如表所示：月份123456月收入x(万元)12.314.515.017.019.820.6月支出y(万元) 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据上述统计资料，则( )A. 月收入的中位数是15，x与y有正相关关系B. 月收入的中位数是17，x与y有负相关关系C. 月收入的中位数是16，x与y有正相关关系D. 月收入的中位数是16，x与y有负相关关系5. 两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是( )A. ①②③B. ②③①C. ②①③D. ①③②6. 对变量x，y有观测数据(x i,y i)(i=1,2,⋯,10)，可得散点图如图①；对变量u，v有观测数据(u i,v i)(i=1,2,⋯,10)，可得散点图如图②．由这两个散点图可以判断( )A. 变量x与y正相关，u与v正相关B. 变量x与y正相关，u与v负相关C. 变量x与y负相关，u与v正相关D. 变量x与y负相关，u与v负相关7. 对于给定的两个变量的统计数据，下列说法中正确的是( )A. 都可以分析出两个变量的关系B. 都可以用一条直线近似地表示两者的关系C. 都可以作出散点图D. 都可以用确定的表达式表示两者的关系8. 在下列各图中，图中的两个变量间具有相关关系的是( )A. （1）（2）B. （1）（3）C. （2）（4）D. （2）（3）9. 以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件进行某项指标检测，这种抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程ỳ=0.2x+12中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量ỳ平均增加0.2个单位；④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k越小，" X与Y有关系"的把握程度越大，其中正确的命题是( )A. ①④B. ②③C. ①③D. ②④10. 已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩（单位：分）对应如下表，对应散点图如图所示：学生编号12345678数学成绩6065707580859095物理成绩7277808488909395根据以上信息，则下列结论：①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③从全班随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则可以判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高；④从全班随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则不能判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高；其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 对相关系数r，下列说法正确的是( )A. ∣r∣越大，线性相关程度越强B. ∣r∣越小，线性相关程度越强C. ∣r∣越大，线性相关程度越弱，∣r∣越接近0，线性相关程度越强D. ∣r∣≤1，且∣r∣越接近1，线性相关程度越强，∣r∣越接近0，线性相关程度越弱12. 某公司2013−2018年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示：年份201320142015201620172018利润x12.214.6161820.422.3支出y0.620.740.810.89 1.00 1.11根据统计资料，则( )A. 利润中位数是16，x与y有正相关关系B. 利润中位数是17，x与y有正相关关系C. 利润中位数是17，x与y有负相关关系D. 利润中位数是18，x与y有负相关关系13. 对变量x，y有观测数据(x i,y i)(i=1,2,⋯,10)，其散点图如图（1）；对变量u，v有观测数据(u i,v i)(i=1,2,⋯,10)，其散点图如图（2），由这两个散点图可以判断( )A. 变量x与y成正相关，u与v成正相关B. 变量x与y成正相关，u与v成负相关C. 变量x与y成负相关，u与v成正相关D. 变量x与y成负相关，u与v成负相关二、填空题（共5小题）14. 回归直线方程（1）回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在附近，就称这两个变量之间具有关系，这条直线叫作回归直线．（2）回归方程：对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程．（3）最小二乘法：求回归直线时，使得样本数据的点到回归直线的的方法叫作最小二乘法．（4）求回归方程：若两个具有线性相关关系的变量的一组数据为：(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，(x n,y n)，则所求的回归方程为，其中à，b̀为待定的参数，由最小二乘法得：{b̀=i−x)ni=1i−y)∑(x−x)2n=∑x ini=1y i−nxy∑x i2ni=1−nx2, à= .b̀是回归直线斜率，à是回归直线在y轴上的截距．15. 变量间的相关关系．（1）相关关系：不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的，而是带有性．（2）散点图：将样本中几个数据点(x i,y i)(i=1,2,⋯,n)描在平面直角坐标系中得到的图形．（3）正相关与负相关．①正相关：散点图中的点散布在从到的区域．②负相关：散点图中的点散布在从到的区域．16. 某校高三年级267名学生参加期末考试，其中某班37名学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况分别如图①，图②所示，甲、乙、丙为该班三名学生．从这次考试成绩看，（1）在甲、乙两人中，语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；（2）在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．17. 某市居民2007−2011年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：年份20072008200920102011收入x11.512.11313.315支出y 6.88.89.81012根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是，家庭年平均收入与年平均支出有关系．18. 在一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，(x n,y n)（n≥2，x1，x2，⋯，x n不全相等）的散点图x+1上，则这组样本数据的样本相关系中，若所有样本点(x i,y i)(i=1,2,⋯,n)都在直线y=12数为．三、解答题（共5小题）19. 如表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断交通事故数与机动车辆数是否有线性相关关系．机动车辆数x/千台95110112120129135150180交通事故数y/千件 6.27.57.78.58.79.810.213.020. 以下是在某地搜集到的不同楼盘房屋的销售价格y（单位：万元）和房屋面积x（单位：m2）的数据：房屋面积11511080135105销售价格49.643.238.858.444判断房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有线性相关关系．如果有线性相关关系，是正相关还是负相关?21. 某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示．年龄x(岁)123456身高y(cm)788798108115120（1）画出散点图．（2）判断y与x是否具有线性相关关系．22. 请回答下列问题：（1）下列关系中，属于相关关系的是（填序号）．①人的身高与视力的关系；②做自由落体运动的物体的质量与落地时间的关系；③降雪量与交通事故的发生率之间的关系．（2）有个男孩的年龄与身高的统计数据如表：年龄/岁123456身高/cm788798108115120画出散点图，并判断它们是否有相关关系．如果有相关关系，是正相关还是负相关?23. 已知箱子中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从该箱中任取3个球（无放回，且每球取到的机会均等），记随机变量X为取出3球所得分数之和．（1）求X的分布列；（2）求X的数学期望EX．答案1. C【解析】吸烟越多，危害越大，身体越不健康．2. C【解析】对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫相关关系．3. C4. C5. D6. C7. C【解析】给出一组样本数据，总可以作出其相应的散点图，但不一定能分析出两个变量的关系，更不一定符合线性相关或有函数关系．8. D9. B【解析】①中抽样间隔相同，应是系统抽样，④中K2的观测值越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故应选②③．10. B【解析】由散点图知两变量间是相关关系，非函数关系，所以①正确，②错误；利用概率知识进行预测，得到结论有一定的随机性，所以③错误，④正确；所以正确命题的个数为2．11. D【解析】两个变量之间的相关系数r的绝对值越接近于1，表示两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表示两个变量的线性相关性越弱，此时两个变量之间几乎不存在线性相关关系．故选D．12. B13. C【解析】题图（1）中的散点大致分布在一条直线附近，且y随x的增大而减小，所以x与y成负相关．题图（2）中的散点大致分布在一条直线附近，且v随u的增大而增大，所以u与v成正相关．14. 一条直线，线性相关，回归直线，距离的平方和最小，ỳ=b̀x+à，y−b̀x15. 不确定，左下角，右上角，左上角，右下角16. 乙，数学【解析】（1）由题图①可知，在甲、乙两人中，语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙．（2）因为同一个人的总成绩是不会变的，在题图②中丙是从右往左数第5个点，即丙的总成绩在班里倒数第5，所以在题图①中从右往左数第5个点表示的就是丙，可知这个点的位置比题图②中丙的位置高，所以语文名次更“大”，即其数学成绩更靠前．17. 13，正相关【解析】收入数据按大小排列为11.5，12.1，13，13.3，15，所以中位数为13．从数据变化情况看出，两个变量是正相关的．18. 119. 将数据列成如表：i x i y i x i2y i2x i y i195 6.2902538.44589.021107.51210056.25825.031127.71254459.29862.441208.51440072.251020.051298.71664175.691122.361359.81822596.041323.0715010.222500104.041530.0818013.032400169.002340.0∑103171.6137835671.009611.7由此可得x=128.875，y=8.950．≈0.993，进而求得r=√137835−8×128.8752×√671.00−8×8.9502因为0.993>0.75，所以可以得出：交通事故数y与机动车辆数x有较强的线性相关关系．20. 数据对应的散点图如图：由以上数据对应的散点图可以判断，房屋的销售价格和房屋面积之间具有线性相关关系，是正相关．21. （1）散点图如图所示．（2）由图知，所有样本点接近一条直线排列，因此，认为 y 与 x 具有线性相关关系． 22. （1） ③【解析】① 身高与视力无关，不具有函数关系，也不具有相关关系；② 自由落体的物体的质量与落地时间无关，不具有相关关系；③ 降雪量越大，交通事故发生率越高，具有不确定性的相关关系．（2）散点图是分析变量相关关系的重要工具．作出散点图如下图所示．由图可见，男孩年龄与身高具有线性相关关系，且是正相关． 23. （1）由题可知 X 的所有取值为：3，4，5，6．所以 P (x =3)=C 53C 93=542；P (x =4)=C 52C 41C 93=1021；P (x =5)=C 51C 42C 93=514；P (x =6)=C 43C 93=121．故所求 X 的分布列为X 3456P5421021514121（2）所求 X 的数学期望 EX =3×542+4×1021+5×514+6×121=133．。

人教A版高中数学选择性必修第三册【整合课件】8.1.1、8.1.2_变量的相关关系、样本相关系数

(多选题)下列变量之间的关系是相关关系
的是
()
A．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是判别
式Δ＝b2－4ac
B．光照时间和果树亩产量
C．降雪量和交通事故产生率
D．每亩田施肥量和食粮亩产量
答案 BCD
解析在A中，若b确定，则a，b，c都是常数，Δ＝b2－4ac也就唯一确定了，因此，这两者之间是确定性的函数关系；一般来说，光照时间越长，果树亩产量越高；降雪量越大，交通事故产生率越高；施肥量在一定范围内越多，食粮亩产量越高，所以B、C、D是相关关系．
探究二利用散点图判断变量间的相关关系
以下是在某地搜集到的不同楼盘房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据：
房屋面积x/m2 115 110 80 135 105 销售价格y/万元 49.6 43.2 38.8 58.4 44 (1)画出数据对应的散点图； (2)判断房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系，如果有相关关系，是正相关还是负相关？
∴r＝
7 xiyi－7－x －y
i＝1
7 x2i －7－x 2
i＝1
7 y2i －7－y 2
i＝1
＝ 5 414－178×54227－.427××2172.44×39831－.3 7×81.32≈0.837 5.
由于 r≈0.837 5 与 1 比较接近，∴x 与 y 具有线性相关关系．
[方法总结] 利用相关系数判断成对数据的相关性强弱的步骤 (1)由公式先计算出r的值． (2)当相关系数|r|越接近1时，两个变量的线性相关程度越高，当相关系数|r|越接近0时，两个变量的线性相关程度越低．
三、样本相关系数

2020版数学人教B版必修3学案：第二章 2.2.1 用样本的频率分布估计总体的分布(一) Word版含解析

2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体的分布(一)学习目标 1.体会分布的意义和作用.2.学会用频率分布表，画频率分布直方图表示样本数据.3.能通过频率分布表或频率分布直方图对数据做出总体统计．知识点一用样本估计总体思考还记得我们抽样的初衷吗？答案用样本去估计总体，为决策提供依据．梳理用样本的频率分布估计总体的分布．知识点二频率分布表与频率分布直方图思考1 要做频率分布表，需要对原始数据做哪些工作？答案分组，频数累计，计算频数和频率．思考2 如何决定组数与组距？答案若极差组距为整数，则极差组距＝组数．若极差组距不为整数，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤极差组距＋1＝组数．注意：[x]表示不大于x 的最大整数．思考3 同样一组数据，如果组距不同，得到的频率分布直方图也会不同吗？答案不同．对于同一组数据分析时，要选好组距和组数，不同的组距与组数对结果有一定的影响．梳理一般地，频数指某组中包含的个体数，各组频数和＝样本容量；频率＝频数样本容量，各组频率和等于1.在频率分布直方图中，纵轴表示频率组距，数据落在各小组内的频率用小长方形的面积来表示，各小长方形的面积的总和等于1.1．频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值．( √ )2．频率分布直方图中小长方形的面积表示该组的个体数．( × ) 3．频率分布直方图中所有小长方形面积之和为1.( √ )题型一频率分布的理解例1 关于频率分布直方图，下列说法正确的是( ) A ．直方图中小长方形的高表示取某数的频率B ．直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率C ．直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值D ．直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值答案 D解析注意频率分布直方图和条形图的区别，在直方图中，纵轴(小长方形的高)表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等于该组距上的小长方形的面积．反思与感悟由频率的定义不难得出，各组数据的频率之和为1，因为各组数据的个数之和为样本容量．在列频率分布表时，可以利用这种方法检查是否有数据的丢失．跟踪训练1 一个容量为20的样本数据，将其分组如下表：则样本在区间(－∞，50)上的频率为( ) A ．0.5 B ．0.25 C ．0.6 D ．0.7 答案 D解析样本在区间(－∞，50)上的频率为2＋3＋4＋520＝1420＝0.7.题型二频率分布直方图的绘制例2 某中学从高一年级随机抽取50名学生进行智力测验，其得分如下(单位：分)： 48 64 52 86 71 48 64 41 86 79 71 68 82 84 68 64 62 68 81 57 90 52 74 73 56 78 47 66 55 64 56 88 69 40 73 97 68 56 67 59 70 52 79 44 55 69 62 58 32 58 根据上面的数据，回答下列问题：(1) 这次测验成绩的最高分和最低分分别是多少？(2)将区间[30,100]平均分成7个小区间，试列出这50名学生智力测验成绩的频率分布表，进而画出频率分布直方图；(3)分析频率分布直方图，你能得出什么结论？解(1)这次测验成绩的最低分是32分，最高分是97分．(2)根据题意，列出样本的频率分布表如下：频率分布直方图如图所示．(3)从频率分布直方图可以看出，这50名学生的智力测验成绩大体上呈两头小、中间大，左右基本对称的状态，说明这50名学生中智力特别好或特别差的占极少数，而智力一般的占多数，这是一种最常见的分布．反思与感悟组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况．数据分组的组数与样本容量有关，一般样本容量越大，所分组数越多．当样本容量不超过100时，按照数据的多少，常分成5至12组．跟踪训练2一个农技站为了考察某种麦穗生长的分布情况，在一块试验田里抽取了100株麦穗，量得长度如下(单位：cm)：6．5 6.4 6.7 5.8 5.9 5.9 5.2 4.0 5.4 4.65．8 5.5 6.0 6.5 5.1 6.5 5.3 5.9 5.5 5.86．2 5.4 5.0 5.0 6.8 6.0 5.0 5.7 6.0 5.56．8 6.0 6.3 5.5 5.0 6.3 5.2 6.07.0 6.46．4 5.8 5.9 5.7 6.8 6.6 6.0 6.4 5.77.46．0 5.4 6.5 6.0 6.8 5.8 6.3 6.0 6.3 5.6 5．3 6.4 5.7 6.7 6.2 5.6 6.0 6.7 6.7 6.0 5．6 6.2 6.1 5.3 6.2 6.8 6.6 4.7 5.7 5.7 5．8 5.3 7.0 6.0 6.0 5.9 5.4 6.0 5.2 6.0 6．3 5.7 6.8 6.1 4.5 5.6 6.3 6.0 5.8 6.3根据上面的数据列出频率分布表、绘制出频率分布直方图，并估计在这块试验田里长度在5.75～6.35 cm 之间的麦穗所占的百分比．解 (1)计算极差：7.4－4.0＝3.4； (2)决定组距与组数：若取组距为0.3，因为3.40.3≈11.3，需分为12组，组数合适，所以取组距为0.3，组数为12；(3)决定分点：使分点比数据多一位小数，并且把第1小组的起点稍微减小一点，那么所分的12个小组可以是3.95～4.25,4.25～4.55,4.55～4.85，…，7.25～7.55； (4)列频率分布表：(5)绘制频率分布直方图如图．从表中看到，样本数据落在5.75～6.35之间的频率是0.28＋0.13＝0.41，于是可以估计，在这块试验田里长度在5.75～6.35 cm 之间的麦穗约占41%. 题型三频率分布表及频率分布直方图的应用例3 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； (2)求频率分布直方图中的a ，b 的值；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)．解 (1)根据频数分布表知，100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10(名)，所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1－10100＝0.9.故从该校随机选取一名学生，估计其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.(2)课外阅读时间落在[4,6)组内的有17人，频率为0.17，所以a ＝频率组距＝0.172＝0.085.课外阅读时间落在[8,10)组内的有25人，频率为0.25，所以b ＝频率组距＝0.252＝0.125.(3)样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组．反思与感悟在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.跟踪训练3 为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率约是多少？解 (1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08.因为第二小组的频率＝第二小组的频数样本容量，所以样本容量＝第二小组的频数第二小组的频率＝120.08＝150.(2)由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标率约为17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%.1．如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在[15,20]内的频数为( )A ．20B ．30C ．40D ．50 答案 B解析样本数据落在[15,20]内的频数为100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30.2．已知样本数据：10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,11.那么频率为0.2的是() A．[5.5,7.5) B．[7.5,9.5)C．[9.5,11.5) D．[11.5,13.5]答案 D解析列出频率分布表，依次对照就可以找到答案，频率分布表如下：从表中可以看出频率为0.2的是[11.5,13.5]，故选D.3．如图是将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出的频率分布直方图，则此班的优秀(120分及以上为优秀)率为________．答案30%解析优秀率为10×(0.022 5＋0.005＋0.002 5)＝0.3＝30%.4．一个频数分布表(样本容量为50)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60)内的频率为0.6，则估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数之和是________．答案21解析根据题意，设分布在[40,50)，[50,60)内的数据个数分别为x，y.∵样本中数据在[20,60)内的频率为0.6，样本容量为50，∴4＋5＋x＋y50＝0.6，解得x＋y＝21.即样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数之和为21.5．暑假期间某班为了增强学生的社会实践能力，把该班学生分成四个小组到一果园帮果农测量果树的产量，某小组来到一片种植苹果的山地，他们随机选取20株作为样本测量每一株的果实产量(单位：kg)，获得的数据按照区间[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60]进行分组，得到如下频率分布表：已知样本中产量在区间[45,50)内的株数是产量在区间[50,60]内的株数的43倍．(1)分别求出a ，b ，c 的值； (2)作出频率分布直方图．解 (1)易得c ＝1.0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43(0.1＋b )，0.3＋a ＋0.1＋b ＝1.0，∴a ＝0.4，b ＝0.2.(2)根据频率分布表画出频率分布直方图，如图所示．1．频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频率分布规律，我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布． 2．频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式，用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况．通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息．3．样本数据的频率分布表和频率分布直方图，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况．一、选择题1．观察新生婴儿的体重(单位：g)，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿的体重在[2 700,3 000)内的频率为( )A ．0.001B ．0.01C ．0.003D ．0.3答案 D解析频率＝频率组距×组距，组距＝3 000－2 700＝300，频率组距＝0.001， ∴频率＝0.001×300＝0.3.2．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：第三组的频数和频率分别是( ) A ．14和0.14 B ．0.14和14 C.114和0.14 D.13和114答案 A解析 x ＝100－(10＋13＋14＋15＋13＋12＋9)＝100－86＝14，第三组的频率为14100＝0.14.3．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa )的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8C ．12D ．18 答案 C解析志愿者的总人数为20(0.16＋0.24)×1＝50，所以第三组人数为50×0.36×1＝18，有疗效的人数为18－6＝12.4．某校为了解高三学生的身体情况，抽取了100名女生的体重．将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在[40,45) kg 的人数是( )A ．10B ．2C ．5D ．15 答案 A解析由图可知频率＝频率组距×组距，频率＝0.02×5＝0.1，∴女生体重在[40,45) kg 的人数为0.1×100＝10.5．为了了解某幼儿园儿童的身高情况，抽查该园120名儿童的身高绘制成如图所示的频率分布直方图，则抽查的120名儿童身高大于或等于98 cm 且小于104 cm 的有( )A ．90名B ．75名C ．65名D ．40名答案 A解析由图可知身高大于或等于98 cm 且小于104 cm 的儿童的频率为(0.1＋0.15＋0.125)×2＝0.75，抽查的120名儿童有120×0.75＝90(名)儿童的身高大于或等于98 cm 且小于104 cm. 6．将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 的值为( ) A ．20 B ．27 C ．6 D ．60答案 D解析 ∵n ·2＋3＋42＋3＋4＋6＋4＋1＝27，∴n ＝60.7．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )A ．588B ．480C ．450D ．120 答案 B解析 ∵少于60分的学生人数为600×(0.05＋0.15)＝120， ∴不少于60分的学生人数为600－120＝480.8．对某种电子元件使用寿命进行跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图．由图可知，这一批电子元件中寿命在100～300 h 的电子元件的数量与寿命在300～600 h 的电子元件的数量的比是( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶6 答案 C解析由题意，寿命在100～300 h 的电子元件的频率为100×⎝⎛⎭⎫12 000＋32 000＝0.2，寿命在300～600 h 的电子元件的频率为100×⎝⎛⎭⎫1400＋1250＋3 2 000＝0.8，则寿命在100～300 h 的电子元件的数量与寿命在300～600 h 的电子元件的数量比大约是0.2∶0.8＝1∶4. 二、填空题9．将一个容量为n 的样本分成若干组，已知甲组的频数和频率分别为36和14，则容量n ＝________，频率为16的乙组的频数是________．答案 144 24解析 14＝36n ，所以n ＝36×4＝144，同理16＝x144，x ＝24.10．某大学对1 000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图所示)，现规定不低于70分为合格，则合格人数是________．答案 600解析由频率分布直方图知合格的频率为(0.035＋0.015＋0.01)×10＝0.6，故合格人数为1 000×0.6＝600.11．下列命题正确的是________．(填序号)①频率分布直方图中每个小矩形的面积等于相应组的频数； ②频率分布直方图中各小矩形面积之和等于1；③频率分布直方图中各小矩形的高(平行于纵轴的边)表示频率与组距的比．答案 ②③解析在频率分布直方图中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距.由于小矩形的面积＝组距×频率组距＝频率，所以各小矩形的面积等于相应各组的频率，因此各小矩形面积之和等于1.综上可知②③正确．12．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5，22.5)，[22.5,23.5)，[23.5，24.5)，[24.5,25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．答案 9解析最左边两个矩形面积之和为0.10×1＋0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9.13．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．则频率分布直方图中x 的值为 __________.答案 0.004 4解析 ∵(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x ＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，∴x ＝0.004 4. 三、解答题14．为加强中学生实践创新能力和团队精神的培养，促进教育教学改革，某市教育局将举办全市中学生创新知识竞赛．某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，请你根据尚未完成的频率分布表解答问题：(1)求a ，b ，c ，d ，e 的值； (2)作出频率分布直方图．解 (1)根据题意，得分在[60.5,70.5)内的频数是a ＝50×0.26＝13，在[90.5,100.5]内的频数是b ＝50－13－15－18＝4，在[70.5,80.5)内的频率是c ＝1550＝0.30，在[90.5,100.5]内的频率是d ＝450＝0.08，频率和e ＝1. (2)根据频率分布表作出频率分布直方图，如图所示．四、探究与拓展15．某市共有5 000名高三学生参加联考，为了了解这些学生对数学知识的掌握情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：根据上面的频率分布表，可知①处的数值为________，②处的数值为__________．答案 3 0.025解析由位于[110,120)的频数为 36，频率＝36n ＝0.300，得样本容量n ＝120，所以[130,140)的频率＝12120＝0.1，②处的数值＝1－0.050－0.200－0.300－0.275－0.1－0.050＝0.025；①处的数值为0.025×120＝3.。

高中数学选择性必修三 8 1 2 样本相关系数

8.1.2样本相关系数课标要求素养要求1.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.2.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系. 通过学习样本相关系数，提升数学抽象及数据分析素养.新知探究散点图可以说明变量间有无线性相关关系，但无法量化两个变量之间的相关程度的大小，更不能精确地说明成对样本数据之间关系的密切程度，那么我们如何才能寻找到这样一个合适的量来对样本数据的相关程度进行定量分析呢？问题若样本系数r＝0.97，则成对样本数据的相关程度如何？提示r＝0.97，表明成对样本数据正线性相关程度很强．1．相关系数r的计算注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，对数据作进一步的“标准化处理”处理，用s x＝1n∑ni＝1（x i－x－）2，s y＝1n∑ni＝1（y i－y－）2分别除x i －x －和y i －y － (i ＝1，2，…，n ，x －和y －分别为x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n 的均值)，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x －s x ，y 1－y －s y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x －s x ，y 2－y －s y ，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫x n －x －s x ，y n －y －s y ，为简单起见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为(x 1′，y 1′)，(x 2′，y 2′)，…，(x n ′，y n ′)，则变量x 和变量y 的样本相关系数r 的计算公式如下： r ＝1n (x 1′y 1′＋x 2′y 2′＋…＋x n ′y n ′)＝∑n i ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑n i ＝1（x i －x －）2∑n i ＝1（y i －y －）2.2．相关系数r 的性质(1)当r >0时，称成对样本数据正相关；当r <0时，成对样本数据负相关；当r ＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系． (2)样本相关系数r 的取值范围为[－1，1]．当|r |越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r |越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 3．样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系r ＝1n x ′·y ′＝1n |x ′||y ′|cos θ＝cos θ(其中x ′＝(x 1′，x 2′，…，x n ′)，y ′＝(y 1′，y 2′，…，y n ′)，|x ′|＝|y ′|＝n ，θ为向量x ′和向量y ′的夹角)．拓展深化[微判断]1．回归分析中，若r ＝±1说明x ，y 之间具有完全的线性关系．(√) 2．若r ＝0，则说明成对样本数据间是函数关系．(×) 提示若r ＝0，则说明成对样本数据间没有线性相关关系． 3．样本相关系数r 的范围是r ∈(－∞，＋∞)．(×) 提示样本相关系数的范围是[－1，1]． [微训练]1．下面对相关系数r 描述正确的是( )A．r>0表明两个变量负相关B．r>1表明两个变量正相关C．r只能大于零D.||r越接近于0，两个变量相关关系越弱解析因r＞0表明两个变量正相关，故A错误；又因r∈[－1，1]，故B，C错误；两个变量之间的相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关，故D 正确．答案 D2．(多选题)下面的各图中，散点图与相关系数r符合的是()解析因为相关系数r的绝对值越接近1，线性相关程度越高，且r＞0时正相关，r＜0时负相关，故观察各选项，易知B不符合，A，C，D均符合．故选ACD. 答案ACD[微思考]当r＝1或－1时，两个变量的相关性如何？提示当r＝1时，两个变量完全正相关；当r＝－1时，两个变量完全负相关.题型一线性相关性的检验【例1】现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩x(分)与入学后第一次考试的数学成绩y(分)如下：学生号12345678910 x 12010811710410311010410599108y 84648468696869465771请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性相关关系？解 x －＝110(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8， y －＝110(84＋64＋…＋57＋71)＝68，∑10i ＝1x 2i＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116 584， ∑10i ＝1y 2i＝842＋642＋…＋572＋712＝47 384， ∑10i ＝1x i y i ＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71 ＝73 796.所以相关系数为r ＝73 796－10×107.8×68（116 584－10×107.82）（47 384－10×682）≈0.750 6.由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有线性相关关系．规律方法利用相关系数r 判断线性相关关系，需要应用公式计算出r 的值，由于数据较大，需要借助计算器．【训练1】假设关于某种设备的使用年限x (年)与所支出的维修费用y (万元)有如下统计资料：已知∑5i ＝1x 2i ＝90，∑5i ＝1y 2i ＝140.78，∑5i ＝1x i y i＝112.3. (1)求x －，y －；(2)对x ，y 进行线性相关性检验．解 (1)x －＝2＋3＋4＋5＋65＝4.y －＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5.(2) ∑5i ＝1x i y i －5x － y －＝112.3－5×4×5＝12.3，∑5i ＝1x 2i －5x －2＝90－5×42＝10， ∑5i ＝1y 2i －5y －2＝140.78－125＝15.78，所以r ＝12.310×15.78≈0.979.所以x 与y 之间具有很强的线性相关关系．题型二判断线性相关的强弱【例2】维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y 来衡量，这个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x (克/升)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据．求样本相关系数r 并判断它们的相关程度．解列表如下x －＝1687＝24，y －＝202.947，r＝∑7i＝1x i y i－7x－y－∑7i＝1x2i－7x－2∑7i＝1y2i－7y－2＝4 900.16－7×24×202.9474 144－7×2425 892.013 6－7×⎝⎛⎭⎪⎫202.9472≈0.96.由此可知，甲醛浓度与缩醛化度之间有很强的正线性相关关系．规律方法当相关系数|r|越接近1时，两个变量的相关关系越强，当相关系数|r|越接近0时，两个变量的相关关系越弱．【训练2】以下是收集到的新房屋的销售价格y(万元)和房屋的大小x(m2)的数据．(1)画出数据的散点图；(2)求相关系数r，并作出评价．解(1)图略．(2)列表如下：x －＝5455＝109，y －＝1165＝23.2，r ＝∑5i ＝1x i y i －5x － y －∑5i ＝1x 2i －5x－2∑5i ＝1y 2i －5y－2＝12 952－5×109×23.260 975－5×10922 756.8－5×23.22＝3081 570×65.6≈0.96，由此可知，新房屋的销售价格和房屋的大小之间有很强的正线性相关关系.一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数据分析素养．2．判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就可利用线性相关系数来判断．3．|r |越接近1，它们的散点图越接近一条直线，两个变量之间的相关关系越强．二、素养训练1．两个变量之间的相关程度越低，则其线性相关系数的数值( ) A ．越小 B ．越接近1 C ．越接近0D ．越接近－1解析由相关系数的性质知选C. 答案 C2．给定y 与x 的一组样本数据，求得相关系数r ＝－0.690，则( ) A ．y 与x 线性不相关 B ．y 与x 正线性相关 C ．y 与x 负线性相关D ．以上都不对解析因为r ＝－0.690<0，所以y 与x 负线性相关．答案 C3．(多选题)下列说法正确的是( )A ．变量间的关系是非确定性关系，因此因变量不能由自变量唯一确定B ．线性相关系数可以是正的或负的C ．如果r ＝±1，说明x 与y 之间完全线性相关D ．线性相关系数r ∈(－1，1) 解析 ∵相关系数|r |≤1， ∴D 错误．答案 ABC4．某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据：x 6 8 10 12 y2356已知记忆力x 和判断力y 是线性相关的，求相关系数r . 解列表如下i x i y i x 2i y 2i x i y i 1 6 2 36 4 12 2 8 3 64 9 24 3 10 5 100 25 50 4 12 6 144 36 72 ∑361634474158x －＝364＝9，y －＝164＝4，∴r ＝∑4i ＝1x i y i －4x － y － ∑4i ＝1x 2i －4x －2∑4i ＝1y 2i －4y －2＝158－4×9×4344－4×8174－4×16≈0.99.基础达标一、选择题1．已知某产品产量与产品单位成本之间的线性相关系数为－0.97，这说明二者之间存在着()A．高度相关B．中度相关C．弱度相关D．极弱相关解析由|－0.97|比较接近1知选A.答案 A2．关于两个变量x，y与其线性相关系数r，有下列说法：①若r>0，则x增大时，y也相应增大；②若|r|越趋近于1，则x与y的线性相关程度越强；③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上．其中正确的有()A．①②B．②③C．①③D．①②③解析根据相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用相关系数r进行判断：当r为正数时，表示变量x，y正相关；当r为负数时，表示两个变量x，y负相关；|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0，相关程度越弱．故可知①②③正确．答案 D3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量进行线性相关试验，并分别求得相关系数r如表：则这四位同学的试验结果能体现出A，B两变量有更强的线性相关性的是() A．甲B．乙C．丙D．丁解析由相关系数的意义可知，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，结合题意可知，丁的线性相关性最强，故选D. 答案 D4．对于相关系数r ，下列结论正确的个数为( ) ①r ∈[－1，－0.75]时，两变量负相关很强 ②r ∈[0.75，1]时，两变量正相关很强③r ∈(－0.75，－0.3]或[0.3，0.75)时，两变量相关性一般 ④r ＝0.1时，两变量相关性很弱 A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析由相关系数的性质可知4个结论都正确．答案 D5．对四对变量y 和x 进行线性相关检验，已知n 是观测值组数，r 是相关系数，且已知：①n ＝7，r ＝0.953 3；②n ＝15，r ＝0.301 2； ③n ＝17，r ＝0.499 1；④n ＝13，r ＝0.995 0. 则变量y 和x 线性相关程度最高的两组是( ) A ．①② B ．①④ C ．②④D ．③④解析相关系数r 的绝对值越接近于1，变量x ，y 的线性相关程度越高．答案 B 二、填空题6．已知某个样本点中的变量x ，y 线性相关，相关系数r >0，平移坐标系，则在以(x －，y －)为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第__________象限．解析因为r >0，所以大多数的点都落在第一、三象限．答案一、三7．若已知∑ni ＝1 (y i －y －)2是∑ni ＝1 (x i －x －)2的4倍，∑ni ＝1 (x i －x －)(y i －y －)是∑ni ＝1 (x i －x －)2的1.5倍，则相关系数r 的值为__________．解析由r ＝∑n i ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑n i ＝1（x i －x －）2∑ni ＝1（y i －y －）2，得r ＝34.答案 348．部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值x 与工业增加值y 资料如下表(单位：百万元)：根据上表资料计算的相关系数为__________．解析 x －＝3＋3＋5＋6＋6＋7＋8＋9＋9＋1010＝6.6.y －＝15＋17＋25＋28＋30＋36＋37＋42＋40＋4510＝31.5.∴r ＝∑10i ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑10i ＝1 （x i －x －）2∑10i ＝1（y i －y －）2≈0.991 8.答案 0.991 8 三、解答题9．5个学生的数学和物理成绩如表：试用散点图和相关系数r判断它们是否有线性相关关系，若有，是正相关还是负相关？解散点图法：涉及两个变量：数学成绩与物理成绩，可以以数学成绩为自变量，考察因变量物理成绩的变化趋势．以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图．由散点图可见，两者之间具有线性相关关系且是正相关．(相关系数r法)列表：i x i y i x2i y2i x i y i18070 6 400 4 900 5 60027566 5 625 4 356 4 95037068 4 900 4 624 4 76046564 4 225 4 096 4 16056062 3 600 3 844 3 720∑35033024 75021 82023 190∴r＝∑5i＝1x i y i－5x－y－⎝⎛⎭⎪⎫∑5i＝1x2i－5x－2⎝⎛⎭⎪⎫∑5i＝1y2i－5y－2＝23 190－23 100250×40＝0.9＞0.∴两变量具有相关关系且正相关．10．某火锅店为了了解营业额y(百元)与气温x(℃)之间的关系，随机统计并制作了某6天当天营业额与当天气温的对比表．气温/℃261813104－1营业额/百元 20 24 34 38 50 64画出散点图并判断营业额与气温之间是否具有线性相关关系．解画出散点图如图所示．x －＝16(26＋18＋13＋10＋4－1)≈11.7， y －＝16(20＋24＋34＋38＋50＋64)≈38.3，∑6i ＝1x i y i ＝26×20＋18×24＋13×34＋10×38＋4×50－1×64＝1 910， ∑6i ＝1x 2i ＝262＋182＋132＋102＋42＋(－1)2＝1 286， ∑6i ＝1y 2i ＝202＋242＋342＋382＋502＋642＝10 172，由r ＝∑6i ＝1x i y i －6x － y － ∑6i ＝1x 2i －nx －2∑6i ＝1y 2i －6y －2，可得r ≈－0.98.由于|r |的值较接近1，所以x 与y 具有很强的线性相关关系．能力提升11．为考察两个变量x ，y 的相关性，搜集数据如下表，则两个变量的线性相关程度( )x 5 10 15 20 25 y103105110111114A.很强 B ．很弱 C ．无相关D ．不确定解析 ∑5i ＝1x i ＝75，∑5i ＝1y ＝543，∑5i ＝1x 2i ＝1 375，∑5i ＝1x i y i ＝8 285，∑5i ＝1y 2i ＝59 051，x －＝15，y －＝108.6，r ＝∑5i ＝1x i y i －5x － y －∑5i ＝1x 2i －5x －2∑5i ＝1y 2i －5y －2＝8 285－5×15×108.61 375－5×152×59 051－5×108.62≈0.982 6，故相关程度很强．答案 A12．下图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2012～2018.由折线图看出，y 与t 有线性相关关系，请用相关系数加以说明．附注：参考数据：∑7i ＝1y i ＝9.32，∑7i ＝1t i y i ＝40.17，∑7i ＝1（y i －y －）2＝0.55，7≈2.646. 参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1（t i －t －）（y i －y －）∑n i ＝1 （t i －t －）2∑ni ＝1（y i －y －）2.解由折线图中数据和附注中参考数据得t －＝4，∑7i ＝1 (t i －t －)2＝28，∑7i ＝1（y i －y －）2＝0.55.∑7i ＝1 (t i －t －)(y i －y －)＝∑7i ＝1t i y i －t －∑7i ＝1y i ＝40.17－4×9.32＝2.89， r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99. 因为y 与t 的相关系数近似为0.99，所以y 与t 的线性相关程度相当高．创新猜想13．(多选题)对于线性相关系数r ，以下说法错误的是( ) A ．r 只能是正值，不能为负值B.||r ≤1，且||r 越接近于1，相关程度越大；相反则越小C.||r ≤1，且||r 越接近于1，相关程度越小；相反则越大 D ．r <0时表示两个变量无相关解析由相关系数的性质知B 正确，其余均错误．答案 ACD。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

提出问题
（1）粮食产量与施肥量有关系吗？
（2）两个变量间的相关关系是什么？有几种？
（3）两个变量间的相关关系的判断.
讨论结果：
（1）粮食产量与施肥量有关系,一般是在标准范围内,施肥越多,粮食产量越高；
但是,施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素.因为粮食产量还要受到土壤质量、
降雨量、田间管理水平等因素的影响.例如:商品销售收入与广告支出经费之间的
关系.商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系,但商品销售收入不仅与广告
支出多少有关,还与商品质量、居民收入等因素有关.
（2）相关关系的概念：自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个
变量之间的关系,叫做相关关系.两个变量之间的关系分两类：
①确定性的函数关系, 例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；
②带有随机性的变量间的相关关系, 例如“身高者,体重也重”,我们就说身高
与体重这两个变量具有相关关系.相关关系是一种非确定性关系.
（3）两个变量间的相关关系的判断：①散点图: (散点图的概念：将各数据在
平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的
图形叫做散点图)
②根据散点图中变量的对应点的离散程度,可以准确地判断两个变量是否具有相
关关系. (a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量
之间的关系,即变量之间具有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲
线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量
之间就有线性相关关系)
③正相关、负相关:正相关与负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角
到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区
域内,称为负相关.（注：散点图的点如果几乎没有什么规则,则这两个变量之间不
具有相关关系）
应用示例
例1 下列关系中,带有随机性相关关系的是_____________.
①正方形的边长与面积之间的关系
②水稻产量与施肥量之间的关系
③人的身高与体重之间的关系
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系
知能训练
以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
房屋面积（m2） 115 110 80 135 105
销售价格（万元） 24.8 21.6 18.4 29.2 22
（1）画出数据对应的散点图；
（2）指出是正相关还是负相关;
（3）关于销售价格y和房屋的面积x,你能得出什么结论？
解：（1）数据对应的散点图如下图所示：
§2.3.2两个变量的线性相关
提出问题
（1）什么是线性相关？
（2）什么叫做回归直线？
（3）如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？它有什么样的思想？
讨论结果
（1）如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系.
（2）如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变
量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.如果能够求出这条回归直线的
方程(简称回归方程)
（3）实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与
此直线的距离最小”.人们经过长期的实践与研究,已经得出了计算回归方程的斜
率与截距的一般公式