蔡子星模拟题-第三届物理竞赛贴吧排位赛第1次比赛

第三届物理竞赛贴吧排位赛第1次比赛试题时间180分钟满分160分命题人：唐鹏、蔡子星作答说明1、比赛旨在提升物理学习兴趣，发现和培养物理青年人才，促进竞赛教学交流，并方便同学自我定位；2、为方便阅卷，题目全部为填空题，答案正确即给分；如果答案不正确，将按步骤适当给分，所以请尽量给出步骤（可另加纸写步骤）；3、答案扫描或拍照上传，如果有附加页写步骤，请务写明页码，格式为（当前页/总页数）。

题一【悠悠球】黄俏老师悠悠球玩的不错，蔡子星老师决定用悠悠球玩学生。

如图，将悠悠球视作质量为m、半径为R的匀质圆柱，中间有质量可忽略不计、半径为r 的轴，轻绳绳十分柔软，已经在轴上绕了若干圈。

桌面有缝，可以使轻绳通过。

（1）基础知识考察，此悠悠球以其中心轴为轴转动时的转动惯量I1为：；（2）轻绳下挂一质量为nm（已知）的小重物A，若悠悠球与桌面间光滑，先用手保持如图所示的静止状态，则释放的瞬间，A物体的加速度a1为；（3）利用平行轴定理，可以知道悠悠球沿平行于中心轴且过B点的轴转动时的转动惯量I2为；（4）若第（2）问中，悠悠球与桌面间摩擦系数足够，释放后悠悠球纯滚动，则释放瞬间A物体的加速度a2为，悠悠球中点的加速度a2为，B点处正压力N1为，摩擦力f1为，摩擦系数至少为μ1=；（5）在悠悠球右边放一个匀质长方体，若B处光滑，（填“能”或“不能”）通过调节CD处摩擦及长方体尺寸、质量的方法使系统在放手后仍保持平衡？简述理由：（50字以内，越少越好）。

（6）第（5）问中，长方体质量km（已知），宽度l（未知），C处光滑，则要使系统在放手后仍静止，则需要B处摩擦系数μB满足条件，D处摩擦系数μD满足条件，宽度l满足条件。

题二 【橡皮筋】弹簧或弹性绳的劲度系数被定义为k =F/x ，其中F 为弹力，x 为相应的伸长量。

现有一长度l 0截面积为S 的橡皮筋，测得其劲度系数为k 。

（1） 基础知识考察，将两根这样的橡皮筋并列放置，其劲度系数k 1为 ；然后再用刚性轻绳与第三根串起来，并绕过光滑动滑轮（如图），此时整个系统的劲度系数k 2为 ；（2） 从（1）中可以看出，同种材料制作成不同形状的的橡皮筋之后表现出来的劲度系数是不一样的，如果我们想定义一个物理量来表示材料本身的弹性，而与其形状无关，这个量通常叫做弹性模量，例如沿着物体长度方向上的此弹性模量叫做杨氏模量，若有一材料制成的长度l 0截面积为S 的橡皮筋，在长度方向上有一个较小的伸长量x 时的弹力为F 。

根据（2）中的描述，你认为此杨氏模量E 可以定义为 （用l 0,S,x,F 表示，需要让杨氏模量越大代表弹簧越硬，且各个量之间为线性关系，写出可能的最简表达式）；（3） 将6根长为l 0/3截面积S 的同种橡皮筋，按照三根并联（取名A 段）、两根并联（取名B 段）、一根并联（取名C 段），再将三者串联起来的方式捆在一起。

若用外力F 作用在此复合橡皮筋两端，则A 段的伸长量Δl A 为 （用k,F表示） ，复合橡皮筋整体的伸长量Δl 1为 （用k,F 表示），由此得出此复合橡皮筋的劲度系数k 3应该为 （用k 表示）；（4） 现有一用主题干中同种材料制成的橡皮筋，长度为l 0，不过一端截面积S 1，另一端截面积为S 2（为便与说明，令S 2>S 1），中间的截面积线性分布，则其劲度系数k 4可写为 （用k,S,S 1,S 2表示，已知∫(1/x )dx b a =ln b/a ）；（5） 若此种材料密度为ρ，将（3）中的橡皮筋S 1端悬挂，S 2端自由释放，若平衡后此橡皮筋总伸长量不大，则此伸长量Δl 为 （用k,l 0,S,S 1,S 2表示）题三如图（俯视），在一个半径为R的光滑的固定的碗里，有一根长度为l的轻质牙签，牙签两头固定有质量为m的光滑小球。

开始的时候静止在最低点，牙签沿着x方向。

（1）回复力（或力矩）、能量、动力学微分方程的判定方法是判定简谐振动常见方法，如果判定某系统回复力（或力矩）为F=−kx；或者动、势能表达式为E k+E p=1/2mẋ2+1/2kx2=常量；或者算得其动力学微分方程为ẍ+(k/m)x=0，其中m为系统等效质量（或转动惯量）， x为坐标（或角度），ẋ为速度（或角速度），ẍ为加速度（或角加速度），都可以判定系统做简谐振动。

其周期为；-平面内做小振动，则系统的（2）给两个小球一个切向微扰，使得牙签保持在x zT为。

振动周期1（3）给两个小球一个横向微扰，两个质点都获得向y方向的初速度，使得牙签保持-平面内做同步的小振动，方向不变，两个质点在各自保持x坐标不变，在y zT为。

则其振动周期2<<（注意只有本小问中成立），初态两个小球静止在如图的位置，然（4）假设l R后给右边的小球一个向y方向的初速度0v，同时给左边的小球一个向x方向的v，求解之后两个小球的坐标随时间的变化关系。

请将你的结果填在下初速度面横线上。

ylxR题四 如图一个顶角θ的直角三角形木块A ，质量为m ，放在摩擦系数为μ的水平地面上。

上放一个相同角度的梯形木块B ，质量为m 。

A 、B 之间摩擦系数也为μ。

B 被光滑卡口限制只能沿竖直方向上下运动。

假设在运动过程中A 、B 始终没有分离，A 始终没有离开地面。

（1） 当A 沿着x 方向速度为v ，加速度为a 的时候，B 的速度v B 为 ，加速度a B 为 ；（2） 假设μ足够大，以至于初态系统能保持静止。

用恒定的沿着x 外力F 作用到A上面。

以F 为横轴，以A 的加速度为纵轴，画出所有可能的情景（请务必先用铅笔打草稿）。

（3） 假设μ足够大，以至于初态系统能保持静止。

用周期变化的沿着x 外力F 作用到A 上面。

00()t F t F t =（0[0,)t t ∈，0()()F t t F t +=）针对不同请情况，画出A 的速度随时间图像()v t 。

题五如图，一个质量为m半径为r长度为l的均匀圆柱体放在水平地面上。

绕圆柱平行于地面的直径和高有一组电阻可以忽略的线圈，匝数为N，自感大小为L。

初态线圈位于水平方向，沿着ABCD方向有电流0I。

空间中有水平向右的匀强磁场0B。

（1）地面光滑，初态圆柱受到的安培力矩M1为，角加速度β1为；（2）地面粗糙，圆柱只能纯滚动，初态圆柱的角加速度β2为；（3）地面粗糙，当圆柱转动角度θ时线圈中的电流大小()Iθ为；（4）求当圆柱转动角度θ时候圆柱的角速度ω为；A B CDB题六【一个薄透镜】题目中涉及的光路全部满足旁轴条件。

（1）单球面折射成像。

当界面为半径为R的球面，物距为u、像距为v时，由折射定律及小角近似可得成像公式：n1/u+n2/v=(n2−n1)/R。

像方焦点定义为平行光入射时的聚焦点，则左图中系统的右焦距（即像方焦点到光心的距离）f0为；（2）如中间图所示为一个放在空气中的薄透镜，已知左边界面半径为R1=20cm，玻璃折射率1.5，空气折射率取1，此透镜的焦距为f=160/3cm，则可以知道右界面半径R2为cm；（3）右边图为一个凸面镜，半径为R3，焦点定义类似（1）问，可知反射光的反向延长线可交于一点，可知其焦距为负值，则其焦距为（用R3表示）；（4）在（2）中薄透镜右界面镀上一薄层银，使其既能反射部分光，又能透射部分光，若在薄透镜左边光轴上放一发光点，使其两个像重合（只考虑单次反射），则这个发光点应放在透镜左边u处，u为cm，像距v为cm（像在物的异侧为正，同侧为负）。

（5）（4）问中，将发光点放在右边光轴上，使两个像重合，则物距u2为cm，此时的相距v2为cm。

这两个像的横向放大率之比为，这两个像的纵向放大率之比为。

（像在物的异侧为正，同侧为负）。

题七 肥皂泡的表面张力系数为σ，用一根绝缘、绝热的细管将两个半径为0r 的球形肥皂泡联通起来。

肥皂泡外面的气压可以忽略，内部有温度为0T ，定体摩尔热容量为32V C R =的理想气体。

已知一个肥皂泡的总质量为m 。

（1） 此时肥皂泡内部压强0p 为 ；在微扰下，体系 （填“是”或“不是”）稳定平衡；（2） 将绝缘细管封闭，在一个肥皂泡上加Q 的电量，在扰动下，肥皂泡各方向同步均匀胀大-缩小做振动的周期T 为 ；（3） 将绝缘细管打开，气体可以自由流通，假设任意时刻气体各处温度相等，为了保持体系稳定平衡，需要在两只球表面分别加电量Q ，则这个Q 的最小值应该为 。

题八 在密度为0ρ的水中，有一个密度也为0ρ的长度为0l 的静止的潜水艇。

水中任意两点压强差满足0p g h ρ∆=∆，其中h ∆为两点之间的高度差。

由于不知名的原因，潜水艇以匀速v 沿长度方向运动起来，水仍然保持静止（不考虑侧面水和潜水艇之间的相互作用），不考虑侧面，水各处的压强保持原来的大小。

考虑狭义相对论相应。

（1） 在水参照系中，潜水艇的体积V 1为 ，密度ρ1为 。

（2） 在水参照系中，潜水艇受到的重力G 1为 ，水在上下两个面对潜水艇的压力差F 1为 。

（3） 在潜水艇参照系中，水的密度ρ2为 ，潜水艇受到的重力G 2为 ，水在上下面对潜艇的压力差F 2为 。