立体几何中的向量方法——证明平行及垂直

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

1．直线的方向向量与平面的法向量确实定

(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，

则求法向量的方程组为⎩⎨⎧

n ·a ＝0，n ·b ＝0.

2．用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.

(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数*，y ，使v ＝*v 1＋y v 2.

(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .

(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.

3．用向量证明空间中的垂直关系

(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.

(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .

(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打"√〞或"×〞)

(1)直线的方向向量是唯一确定的．()

(2)平面的单位法向量是唯一确定的．()

(3)假设两平面的法向量平行，则两平面平行．()

(4)假设两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．()

(5)假设a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．()

(6)假设空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．()

1．以下各组向量中不平行的是()

A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)

B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)

C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)

D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)

2．平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则以下点P 中，在平面α的是()

A ．P (2,3,3)

B ．P (－2,0,1)

C ．P (－4,4,0)

D ．P (3，－3,4)

3．AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，假设AB →⊥BC →，BP →＝(*－1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数*，y ，z 分别为______________．

4．假设A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58

)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(*，y ，z )，则*∶y ∶z ＝________.

题型一 证明平行问题

例1(2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥

CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在

线段AC 上，且AQ ＝3QC .

证明：PQ ∥平面BCD .

如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，

AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．

(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；

(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由．

题型二 证明垂直问题

例2 如下图，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱

柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1

⊥平面A 1BD .

如下图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝

2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在

PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．

(1)求证：CM ∥平面PAD ；

(2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .

题型三 解决探索性问题

例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.

(1)求证：BD⊥AA1；

(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；

(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，假设存在，求出点P的位置，假设不存在，请说明理由．

如下图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱

的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．

(1)求证：AC⊥SD.

(2)假设SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面

PAC.假设存在，求SE∶EC的值；假设不存在，试说明理由．

利用向量法解决立体几何问题

典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面

ABCD，E为PD的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC；

(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E

－ACD的体积．

A组专项根底训练

1．假设直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()

A．l∥αB．l⊥α

C．l⊂αD．l与α相交

2．假设AB→＝λCD→＋μCE→，则直线AB与平面CDE的位置关系是()

A．相交B．平行

C．在平面D．平行或在平面

3．A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是() A．(2,4，－1) B．(2,3,1)

C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)

4．a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，假设a，b，c三向量共面，则实数λ等于()