六年级奥数最短路线

最短路线

一、学习目标：通过最短路线的学习，体会转化的数学思想。

二、基础知识：最短路线通常的最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引伸出来的。在求最短路线时，常常先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题。利用对称性把折线化成易求的直线段，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等。有时所求最短路线位于凸多面体的不同平面上，需将它们展开在同一平面上。

三、例题解析：

例1：如图，A、B两个学校在公路的两侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？

解：

例2：如图，A、B两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？

解：

练一练：如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报．在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来。并说明做法。

解：

例3：少先队一小队组织一次有趣的赛跑比赛，规则是从A点出发（见下图），跑到墙边，用手触摸墙壁，然后跑到B点．接着，离B点再次跑到墙边手触摸墙壁后，跑到C点．问选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来。

分析：实际上是两个最短路线问题。

解：

例4：在河中有A、B两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到B岛，最后回到A岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？

解：

例5：如图13—6，河流EF与公路FD所夹的角是一个锐角，某公司A在锐角EFD内．现在要在河边建一个码头，在公路边修建一个仓库，工人们从公司出发，先到河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A 处，问仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短。

解：

例6：A、B两个村子，中间隔了一条小河，现在要在小河上架一座桥，使它垂直于河岸。请你在河两岸选择合适的架桥地点。使A、B两个村子之间的路程最短？

解：

例7：长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB=4，A′A=2′，AD=1，有一只小虫从顶点D′出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图）

解：

结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线。

例8、如图13—10，在圆柱形的木桶外，有一个小甲虫要从桶外的A点爬到桶内的B点．已知A点到桶口C点的距离为14厘米，B点到桶口D点的距离是10厘米，而C、D两点之间的弧长是7厘米．如果小甲虫爬行的是最短路线，应该怎么走？路程是多少？

分析与解：先设想将木桶的圆柱展开成矩形平面，如图13—11，由于B点在桶内，不便于作图，利用轴对称原理，作点B关于直线CD的对称点B′，这就可以用B′代替B，从而找出最短路线．

如图13—11，将圆柱体侧面展成平面图形．作点B关于直线CD的对称点B′，连结AB′，AB′是A、B′两点间的最短距离，与桶口边交于O点，则OB′=OB，AB′=AO+OB，那么A、B之间的最短距离就是AO+OB，所以小甲虫在桶外爬到O点后，再向桶内的B点爬去，这就是小甲虫爬行的最短路线．延长AC到E，使CE＝B′D，因为△AEB′是直角三角形，AB′是斜边，EB′=CD=7厘米，AE=14+10=24（厘米），根据勾股定理：

AB′2=AE2+EB′2=242+72=625

所以AB′=25（厘米）

即小甲虫爬行的最短路程是25厘米．

课后练习：（作图题写出具体过程）

一、基本题

1、如图一位牧童从甲地出发，赶着羊群先到河边饮水，再到乙地，问应当怎样选择河边的位置，使得羊群所走的路线最短？在图上标明，并写出画法。

2、甲、乙两村之间隔一条河，如图。现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行人最节省时间，桥应修在何处？在图上标明，并写出画法。

3、如图一只壁虎要从一面墙壁α上A点，爬到邻近的另一面墙壁β上的B点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？请仿照例5画出图示来说明理由。

4、下图，小明住在甲村，奶奶住在乙村，星期天小明去看奶奶，先在北山坡打一捆草，又在南山坡砍一捆柴给奶奶送去.请问：小明应选择怎样的路线使路程最短？在图上标明，并写出画法。

二、综合题

5、如下图，在河弯处M点有个观测站，观测员要从M点出，先到AB岸，再到CD岸，然后返回M点，问船应该走什么路线最短？在图上标明。

6、一个小虫从圆柱体（如图13—15）的A点处绕圆柱体侧面一周，最后爬到顶点B处．请画出小虫从A点绕到圆柱体侧面到达B点的最短路线．

7、如下图，在河的两岸共有三个小镇A、B、C．问应在河的什么位置架两座桥，使两岸人们来往路程最短？

（两座桥都垂直于河岸．）

三、思考题

8、按从上到下、从左到右的路线，从A点走到B点，共有几种不同的走法？

9、一个邮递员投送信件的街道如图，其上标有各段街道的旅程.他从邮局出发，走遍各街道，最后回到邮局，问走什么样的路线最合理？