浅谈二次型及其应用1
二次型的正定性及其应用
毕业论文题目：二次型的正定性及其应用学生姓名：孙云云学生学号：0805010236系别：数学与计算科学系专业：数学与应用数学届别：2012 届指导教师：李远华目录摘要 (1)前言 (2)1 二次型的概念 (2)1.1 二次型的矩阵形式 (3)1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (3)2 二次型的正定性一些判别方法及其性质 (4)3 二次型的应用 (9)3.1 多元函数极值 (9)3.2 线性最小二乘法 (13)3.3 证明不等式 (15)3.4 二次曲线 (18)结论 (18)致谢 (19)参考文献 (19)二次型的正定性及其应用学生：孙云云指导老师：李远华淮南师范学院数学与计算科学系摘要：二次型与其矩阵具有一一对应关系，本文主要通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用。
通过研究二次型的性质并利用正（负）定矩阵判断多元函数的极值、证明不等式，由矩阵的特征值求多元函数的最值，再借助于非退化线性替换判断二次曲线的形状。
关键词：二次型；矩阵；正定性；应用The second type of positive definite matrixand its applicationsStudent: Sun YunYunInstructor: Li YuanHuaDepartment of mathematics and Computational Science, HuainanNormal UniversityAbstract: Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, this paper mainly through the study of the matrix is qualitative to study the second type is qualitative and its application. Through the study of the nature of the second type and use the positive (negative) set judgment matrix function of many extreme value, to testify inequality, the characteristic value of the matrix for the most value of a function of many, then the degradation by linear replace judgment of the shape of the quadratic curves.Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application前言二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。
浅谈正定二次型的判定方法
浅谈正定二次型的判定方法摘 要 二次型与其矩阵具有一一对应关系,可以通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用.本文主要通过正定二次型的定义，实矩阵的正定性的定义，特征值法，矩阵合同以及相应的推导性质来判定二次型的正定性。
关键词 二次型 矩阵 正定性 应用1 引 言在数学中，二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题.现在二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。
它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，下面将用二次型的性质来求函数的最值和证明不等式因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.2 二次型的相关概念 2.1 二次型的定义设p 是一个数域，ij a ∈p ，n 个文字1x ,2x ,…，n x 的二次齐次多项式22121111212131311(,,,)22nnn nn nij i j i j f x x x a x a x x a x x a x a x x ===++++=∑∑),...,2,1,,(n j i a a ji ij ==称为数域上p 的一个n 元二次型，简称二次型.当ij a 为实数时，f 称为实二次型.当ij a 为复数时,称 f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即12(,,...,)n f x x x =2221112...n n d x d x d x +++称f 为标准型.定义1 在实数域上，任意一个二次型经过适当的非退化线性替换可以变成规范性22222121z z z z z p p r ++++---…………,其中正平方项的个数p 称为f 的正惯性指数，负平方项的个数称为的f 负惯性指数.2.2 二次型的矩阵形式二次型12(,,...,)n f x x x 可唯一表示成12(,,...,)n f x x x =T x Ax ，其中12(,,...,)T n x x x x =，()ij n n A a ⨯=为对称矩阵，称上式为二次型的矩阵形式，称A 为二次型的矩阵（必是对称矩阵），称A 的秩为二次型f 的秩.2.3 正定二次型与正定矩阵的概念定义2.3.1 设12(,,...,)n f x x x =T x Ax 是n 元实二次型（A 为实对称矩阵），如果对任意不全为零的实数12,,...,n c c c 都有12(,,...)0n f c c c >，则称f 为正定二次型,称A 为正定矩阵；如果12(,,...)0n f c c c ≥，则称f 为半正定二次型，称A 为半正定矩阵;如果12(,,...)0n f c c c <，则称f 为负定二次型，称A 为负定矩阵;如果12(,,...)0n f c c c ≤，称f 为半负定二次型，称A 为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型，称A 为不定矩阵.定义2 另一种定义 具有对称矩阵A 的二次型,AX X f T =(1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0<AX X T ）成立，则称AX X f T =为正定（负定）二次型，矩阵A 称为正定矩阵（负定矩阵）. (2) 如果对任何非零向量X , 都有0≥AX X T （或0≤AX X T ）成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T ，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.注:二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.定义3 n 阶矩阵)(ij a A =的k 个行标和列标相同的子式)1(21212221212111n i i i a a a a a a a a a k i i i i i i i i i i i i i i i i i i kk k k k k ≤<<<≤称为A 的一个k 阶主子式.而子式),,2,1(||212222111211n k a a a a a a a a a A kkk k k k k==称为A 的k 阶顺序主子式.3 实二次型正定的判别方法及其性质定理1 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是它的正惯性指数等于n证明 设实二次型AX X x x x f n '=),,,(21 经线形替换PY X =化为标准形2222211n n y d y d y d f +++= )1(其中.,,2,1,n i R d i =∈由于p 为可逆矩阵,所以n x x x ,,,21 不全为零时ny y y ,,,21 也不全为零,反之亦然.)(⇒如果f 是正定二次型,那么当n x x x ,,,21 不全为零,即n y y y ,,,21 不全为零时,有02222211>+++=n n y d y d y d f )2(若有某个),1(n i d i ≤≤比方说.0≤n d 则对1,0121=====-n n y y y y 这组不全为零的数,代入)1(式后得.0≤=n d f 这与f 是正定二次型矛盾.因此,必有),,2,1.(0n i d i =>即f 的正惯性指数等于n)(⇐如果f 的正惯性指数等于,n 则),,2,1(,0n i d i =>于是当n x x x ,,,21 不全为零,即当n y y y ,,,21 不全为零时)2(式成立,从而f 是正定型定理2 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是对任何n 维实的非零列向量X 必有0>'A X X证明 )(⇒由假设f 是正定二次型,故存在实的非退化的线形替换,QY X =使22221n y y y AX X +++=' )1(对,0≠X 因Q 非奇异,故,0≠Y 于是由)1(可知0>'A X X)(⇐设AX X '的秩与正惯性指数分别为r 与,p 先证,p r =如,r p <则由惯性定理,存在非退化的线形替换,QY X =使得221221'r p p y y y y AX X ---++=+ )2(由假设,对任何,0,0>'≠AX X X 但对列向量 0)0,,0,1,0,,0(≠'= Q X （因Q 是非奇异阵,1是X 的第1+p 个分量）却有 01<-='A X X这与假设矛盾.故p r =.再证n r =.如果,n r <则)2(式应化为n r y y y AX X r <+++=,22221')3( 于是取0)1,0,,0(≠'= Q X由)3(即得,0='A X X 又与假设矛盾,故,p n r ==即f 是正定二次型 定理3 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是f 的规范形为2222121),,,(n n y y y x x x f +++=证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理1可知f 的正惯性指数为n ，则二次型AX X x x x f n '=),,,(21 可经过非退化实线形替换成2222121),,,(n n y y y x x x f +++=)(⇐f 的规范形为2222121),,,(n n y y y x x x f +++= ,则f 的正惯性指数为,n 由定理1可知f 为正定二次型定理4 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 与单位矩阵合同证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理3,可知f 的规范形为2222121),,,(n n y y y x x x f +++=此即存在非退化线形替换(CY X =其中C 可逆),使得2222121)()(),,,(n n y y y ACY C Y CY A CY AX X x x x f +++=''='='=所以,E AC C ='因此矩阵A 单位矩阵合同)(⇐矩阵A 单位矩阵合同,则存在可逆矩阵,C 使得E AC C ='，令CY X =则2222121)()(),,,(n n y y y ACY C Y CY A CY AX X x x x f +++=''='='=因此,由证明4,可知f 是正定二次型定理5 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的主子式全大于零证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,以k A 表示A 的左上角k 阶矩阵,下证),,,2,1(,0n k A k =>考虑以k A 为矩阵的二次型j k i kj i ijk x x ax x x g ∑∑===1121),,,(由于)0,,0,,,,(),,,(2121 k k x x x f x x x g =所以当k x x x ,,,21 不全为零时,由f 正定二次型可知,0>g 从而g 为正定二次型,故.0>k A)(⇐对二次型的元数n 作数学归纳法当1=n 时,,)(21111x a x f =因为,011>a 所以f 正定,假设,1>n 且对1-n 元实二次型结论成立由于,01111>=a a 用111a a i -乘A 的第1列到第i 列,再用111a ai -乘第A 的第1行到第i 行),,,3,2(n i =经此合同变换后A ,可变为以下的一个矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000111A a B = 因为矩阵A 与B 合同,所以B 是一个n 阶对称矩阵.从而1A也是对称矩阵.上述的变换不改变A 的主子式的值,因此B ,的主子式也全大于零,而B 的)2(n k k ≤≤阶主子式等于1A 的1-k 阶主子式乘以,11a 并且011>a 于是1A 的主子式全大于零,由归纳假设,1A 与1-n I 合同,所以A 与单位矩阵合同,此即f 是正定二次型定理6 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的顺序主子式全都大于零证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理5可知A 的主子式全大于零,所以A 的顺序主子式也全大于零.)(⇐对二次型的元数n 作数学归纳法当1=n 时,,)(21111x a x f =由条件知,011>a 所以)(1x f 是正定的.假设充分性的判断对于1-n 元的二次型已经成立,现在来证n 元的情形.令1A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----1,11,11,111n n n n a a a a⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n a a ,11 α于是矩阵A 可以分块写成：A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛'nn a A αα1 则1A 的顺序主子式也全大于零,由归纳法假定,1A 是正定矩阵 则存在可逆的1-n 阶矩阵,G 使得1-='n E AG G 令1C =⎪⎪⎭⎫⎝⎛100G于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛''=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'='-nn n nn a G G E Ga A G AC C αααα111110010再令2C =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10'1a G E n 则有⎪⎪⎭⎫⎝⎛''-=''-ααG G a E C AC C C nn n 0012112令 21C C C = d G G a nn =''-αα就有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='d AC C11两边取行列式,d A C=2,则由条件,0>A 因此0>d .⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d d d 111111111 所以矩阵A 与单位矩阵合同,因此A 是正定矩阵即f 是正定二次型定理7 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵T T T A ('=是实可逆矩阵)证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理4可知存在可逆矩阵,C 使得E AC C =' 则 1111)()(----'='=C C C C A令1-=CT ,则T T A '=)(⇐若,T T A '=则 )()(),,,(21TX TX TX T X AX X AX X x x x f n '=''='='= 令TX Y =则 2222121),,,(n n y y y Y Y x x x f +++='=所以f 为正定二次型.定理8 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是ATT '正定矩阵(其中T 是实可逆矩阵)证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则A 是正定阵,令(1Y X T=-其中T 可逆)则 ATY T Y TY A TY x x x f n ''='=)()(),,,(21 又因非退化线性替换不改变正定性,则ATY T Y x x x f n ''=),,,(21是正定二次型,所以AT T '是正定阵)(⇐AT T '是正定阵,令ATY T Y y y y g n ''=),,,(21 ,则),,,(21n y y y g 是正定二次型令TY X =则),,,(21n y y y g AX X x x x f n '==),,,(21 是正定二次型 定理9 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的全部特征值都是正的证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则A 是正定阵,又对于任意一个n 阶实对称矩阵,A 都存在一个n 阶正交矩阵,T 使得AT T AT T 1'-=成为对角形令AT T AT T 1'-==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλ1则),,2,1(,0n i i =>λ否则与f 为正定二次型相矛盾， 则AT T1-特征值为n λλλ,,,21 均大于零,即为正的.又相似矩阵有相同特征值，则A 的特征值也均为正)(⇐ A 的全部特征值均为正的,则存在一个n 阶正交矩阵,T 使得AT T AT T 1'-==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλ1其中),,2,1(n i i =λ为A 的特征值,此由相似矩阵有相同的特征值得到.令,TY X =则 222221121),,,(n n n y y y ATY T Y AX X x x x f λλλ+++=''='=所以f 为正定二次型定理10 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 是正定阵证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型, 则由正定阵的定义可知A 是正定阵.)(⇐ A 是正定阵,则A 的顺序主子式全都大于零.由定理6可知f 是正定二次型.性质：若A 为n 阶实正定阵，显然TA ，1A -也是正定阵注 (1) 若A 是负定矩阵，则A -为正定矩阵.(2) A 是负定矩阵的充要条件是：).,,2,1(,0||)1(n k A k k =>-其中k A 是A 的k 阶顺序主子式.(3) 对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:a.对称矩阵A 是半正定（半负定）的;b.A 的所有主子式大于（小于）或等于零；c.A 的全部特征值大于（小于）或等于零.例 1 考虑二次型22212312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+,问λ为何值时，f为正定二次型.解 利用顺序主子式来判别,二次型f 的矩阵为1142124A λλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，A 的顺序主子式为 110∆=>；22144λλλ∆==-；23114214484(1)(2)124λλλλλλ-∆=-=--+=--+-.于是，二次型f 正定的充要条件是：230,0∆>∆>，有2240λ∆=->，可知，22λ-<<；由34(1)(2)0λλ∆=--+>, 可得12<<-λ,所以，当12<<-λ时, f 正定.例 2 已知A E -是n 阶正定矩阵，证明1E A --为正定矩阵.分析：只要证明1E A --的特征值全大于零即可 证明 由A E -正定知A 是实对称矩阵，从而111()()TT T E A E A E A ----=-=-即1E A --也是实对称矩阵.设A 的特征值为k λ(1,2,)k n =,则A E -的特征值为1k λ-(1,2,)k n =,而1E A --的特征值为11kλ-(1,2,)k n =,因为A E -是正定矩阵，所以,10k λ->(,从而11kλ<，故，110kλ->(1,2,)k n =即，1E A --的特征值全大于零，故，1E A --为正定矩阵.例 3 设有n 元二次型222121122231(,,)()()()n n n f x x x x a x x a x x a x =++++++其中(1,2,,)i a i n =为实数，试问：当12,,,n a a a 满足何种条件时，二次型1(,,)n f x x 为正定二次型.解 令1121221100001000010000000101n n n na y a x y x a x y a -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭第 11 页 共 13 页当121100001000010000001001n na a a a-=1121(1)0n n a a a ++-≠，即当12(1)n n a a a ≠-时，原二次型为正定二次型.例 4 设A ,B 分别是,m n 阶正定阵，试判定分块矩阵00A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵解 因为,A B 都是实对称阵，从而C 也是实对称阵.且,0,m nX RX +∀∈≠令12X X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则12,m n X R X R ∈∈，且至少一个不为零向量.于是()11211222000T TT T TX A X CX X X X AX X BX X B ⎛⎫⎛⎫==+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故C 为正定阵.例 5 若A 是n 阶实对称阵，证明：A 半正定的充要条件是对任何μ>0，B E A μ=+正定.证 A 是实对称阵，从而存在正交阵T ，使1'n A T T λλ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭,其中1,,n λλ为A 的全部实特征值.先证必要性 若A 半正定，则0,(1,2,,).i i n λ≥=又因为1'B E A T T n μλμμλ+⎛⎫⎪=+=⎪⎪+⎝⎭所以B 的全部特征值为0(1,2,,)i i n μλ+>=又'm nB B R+=∈，∴B 为正定阵.第 12 页 共 13 页 再证充分性 若A 不是正定阵，则存在0k λ<，此时可令2kλμ=-，则0μ>，但1'2kn B E A T T μλλμμλ+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭即B 中有一个特征值为02k λ<，这与B 为正定阵的假设矛盾，从而得证A 是半正定的.例 6 设()ij A a =是阶正定阵，证明：（1）对任意i j ≠，都有12();ij ii jj a a a < （2）A 的绝对值最大元素必在主对角线上. 证 （1）A 正定，从而A 的一切2阶主子式均大于0，当i j ≠时20iiijii jj ij ijjja a a a a a a =-> 移项后，开方即证12()(,,1,2,,)ij ii jj a a a i j i j n <≠=.（2）设的主对角线上最大元素为kk a （由于A 正定，0kk a >).再由第一问结论可知12()()ij ii jj kk a a a a i j <≤=≠由此即证(,1,2,,)ij kk a a i j n ≤=即A 中绝对值最大元素必在主对角线上.结束语二次型的研究起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的理论，二次型的理论在数学和物理的许多分支都有着广泛的应用.用二次型来解决初等数学、微积分中的一些问题，有时会起到意想不到的效果.本文通过研究二次型的性质，借助例子说明二次型在求多元函数的的极值、最值、证明不等式、及判断二次曲线的形状等方面的应用.将多元元函数求极值问题化为一个二次型问题.在三元及三元以上多元函数求极值时，这个方法比一般工科高等数学教材中介绍的求极值方法好用，而且能够确定是极大值还是极小值.参考文献[1] 王萼方，石生明高等代数（第三版）[M].北京:高等教育出版社，2008.[2] 白蒙蒙，朱小琨实矩阵正定性的简单判别方法[M] 高等函授学报[3] Liu Maosheng The Extension of positive matrix,Journal of ChongQING vocational&technical institute[4]. He ChunLing The Discussion in positive Definite Property of Product Matrix,HeiBei Like JiaoXue YanJiu[5] Zhan ShiLin Zhan XuZhou,some criterions on real positive definite matrix,Journal ofAnHui University[6] 张淑娜，郭艳君正定二次型的几个等价条件以及正定阵的若干性质[M].2005.[7] 陈大新矩阵理论[M]. 上海交通大学出版社 2003.[8] 郭忠矩阵正定性的判定[J]. 科学通报 2007.[9] 钱志祥，林文生.浅谈正定二次型的实际应用[J].科学创新导报，2009.第13页共13 页。
二次方程的解法与应用
二次方程的解法与应用一、引言二次方程是高中数学中的重要内容之一，是一种二次多项式方程。
它在实际生活中有着广泛的应用，例如物理学、工程学等众多领域。
本文将探讨二次方程的解法及其在实际中的应用。
二、二次方程的一般形式二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中，a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
三、求解二次方程的方法1. 通过配方法求解配方法是求解二次方程常用的方法之一，它的思路是通过变换将方程转化为一个完全平方来求解。
首先，将方程ax^2 + bx + c = 0两边同时除以a，化简为x^2 +(b/a)x + c/a = 0。
接着，我们希望将方程化为一个完全平方的形式。
考虑到完全平方的形式是(x + p)^2 = x^2 + 2px + p^2，我们将方程两边加上一个常数k，即得x^2 + (b/a)x + k = 0。
根据完全平方的形式，我们可以得到(x + b/2a)^2 - (b^2/4a^2) + k = 0。
根据上式，在两边同时找出一个合适的常数，使得方程的左边变成一个完全平方。
例如，当k = b^2/4a^2时，我们可以将方程变形为(x + b/2a)^2 =(b^2 - 4ac)/4a^2。
然后，我们对方程两边开根号，得到x + b/2a = ±√((b^2 - 4ac)/4a^2)。
继续化简，我们可以解得二次方程的两个根：x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)。
2. 利用求根公式求解求根公式是二次方程求解的另一种常用方法。
它的表达式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
这个公式是针对二次方程的一般形式而推导出来的，只要给定方程的系数，就可以直接利用这个公式求得方程的解。
需要注意的是，方程的判别式(b^2 - 4ac)应大于等于0，否则方程无实数解。
四、二次方程的应用1. 物理学中的运动轨迹在物理学中，二次方程常被用于描述物体的运动轨迹。
二次型地性质及指导应用
师学院本科毕业论文题目二次型的正定性及其应用学生王倩柳指导教师王军讲师年级 2012级数学专接本专业数学与应用数学系别数学与信息科学系师学院数学与信息科学系2014 年5月重声明本人的毕业论文（设计）是在指导教师王军的指导下独立撰写完成的。
如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。
特此重声明。
毕业论文（设计）作者（签名）：2014 年月日目录摘要 (1)前言 (1)1 二次型的历史及概念 (2)1.1二次型的历史 (2)1.1 二次型的矩阵形式 (2)1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (3)2 二次型的正定性判别方法及其性质 (3)3 二次型的应用 (6)3.1 多元函数极值 (6)3.2 证明不等式 (12)3.3 因式分解.................................. (错误!未定义书签。
)3.4 二次曲线 (13)结论 (14)参考文献 (14)致 (14)二次型的正定性及其应用学生：王倩柳指导老师：王军摘要：二次型是高等代数中的主要容之一, 其理论的应用非常广泛。
在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。
因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。
关键词：二次型；矩阵；正定性；应用The second type of positive definite matrix and its applicationsStudent: Wang qianliuInstructor: Zhang wangjunAbstract: Quadratic form is one of its main content in Higher Algebra, Quadratic form theory is widely used in the middle school mathematics-the proof of inequality, extremum and the factorization problem, It is too cumbersome often using elementary mathematics method, but if solve them using of advanced algebra quadratic form properties, will make a lot of problems change numerous for brief, from difficult to easy. For our students, more should learn to use the knowledge of higher mathematics to guide or understanding of elementary mathematics knowledge content, a deeper understanding of the essence of higher algebra. This paper will discuss quadratic form theory to prove inequality, polynomial factorization, calculation of elliptical area, judge two the shape of the curve and actual examples of application.Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application前言二次型是高等代数中的主要容之一, 其理论的应用非常广泛。
关于二次型理论的若干应用
（ ｘ） ｄｘ） ２≤
ｂ２
∫φ（ ｘ） ｄｘ·
ｂ２
∫ψ（ ｘ） ｄｘ等 号 仅 当
φ（ ｘ）
（或
ψ（ ｘ）
）≡
ａ
ａ
ψ（ ｘ） φ（ ｘ）
常数时成立。
ｂ
２
证 明 ： 取ｆ（ｔ）＝ ∫［ ｔφ（ ｘ） ＋ψ（ ｘ） ］ ｄｘ， 则ｆ（ｔ）对 任 意 ｔ都 是 非 负
ａ
２ｂ ２
ｂ
的。即ｆ（ｔ）是半正定二次型。由ｆ（ｔ）＝ｔ ∫φ（ ｘ） ｄｘ＋２ｔ ∫φ（ ｘ） ψ（ ｘ）
所满足的条件恰为所要证明的不等式。
例２ 证明
ｎ
ｎ
∑ ∑ ２
２
ｎ Ｘｉ ≥（ Ｘｉ） 。
ｉ＝１
ｉ＝１
ｎ
ｎ
∑ ∑ ２
２
证明 令ｆ＝ｎ Ｘｉ － （ Ｘｉ）
ｉ＝１
ｉ＝１
则ｆ为二次型， 其矩阵为
&ｎ－ １ － １ Λ － １ )
Ａ＝’’－Ｍ１
ｎ－ １ Ｍ
Λ Ｏ
－１ * －１ *
(－ １ － １ Λ ｎ－ １+ｎ×ｎ
二次型是线性代数的基本内容， 其用途十分广泛， 下面我
们 介 绍 它 在 证 明 不 等 式 、化 二 次 曲 面 方 程 为 标 准 型 、求 多 元 函
数极值三个方面的应用。
一 、利 用 二 次 型 的 正 定 性 证 明 不 等 式
ｂ
例 １ 设 ａ＜ｂ，φ（ ｘ） 与 ψ（ ｘ） 在 ［ ａ，ｂ］ 上 连 续 ， 证 明 （ ∫φ（ ｘ） ψ ａ
ΘＡ的 顺 序 主 子 式 大 于 或 等 于 零
∴Ａ是 半 正 定 的
∴二 次 型 ｆ是 半 正 定 的
浅谈“二次型”在高中数学中的应用
浅谈“二次型”在高中数学中的应用作者：吴明廉来源：《新教育时代·教师版》2017年第45期摘要：高中数学很多考察模块中都含有“二次型”，我总结了几个类型题供参考，主要有求解不等式，求参数取值范围，求数列的最大项，求函数值，恒成立问题，方程的根的个数，单调区间问题等。
关键词：“二次型” 一元二次方程二次函数纵观高中数学的教学过程，我发现在高中的解不等式、指数函数、三角函数、数列、极值、值域、单调性等多个领域都有广泛应用。
本文中所提到的是广义范围内的，包括二次函数、一元二次方程、一元二次不等式。
很多同学在高中的数学学习过程中，由于不掌握解题的关键，无法完美解决问题。
针对这类现象，我急学生所想，急学生所急，积累了几个例子，配以详细的分析解答过程，以期和大家共勉。
[例1 ]已知不等式ax+bx+c3，求不等式bx+ax+c>0的解分析：此题要结合二次函数y=ax+bx+c，（a≠0），一元二次方程ax+bx+c=0，考虑二次函数的图象，一元二次方程的根，结合韦达定理找到系数a，b，c之间的关系，在通过化简整理的过程，从而达到解出不等式bx+ax+c>0的目的。
解：由不等式ax+bx+c3，可构造相应二次函数y=ax+bx+c，借助图象可知a0可变为-5ax+ax+6a>0，由于a0，因式分解可得不等式bx+ax+c>0的解为x。
[例2 ]若关于x的方程1-2cos2x-sinx+a=0有实数解，则实数a的取值范围是（）A（-∞，） B[-2，] C[0，] D[-1，]分析：此题通过三角函数公式把cosx化归为sinx形式，观察出以sinx为主要元素，构造一个以sinx为主的二次函数，通过配方法，再通过换元法，结合二次函数的图象求出二次函数的最大值、最小值。
解：因为，以sinx为主要元素配方可得a=sinx-2sin2x+1=-2（sinx-）2+用换元法令t=sinx，可得-1≤t≤1由a=f（t）=-2（t-）2+，（-1≤t≤1）图象开口向下，由t的范围可知当t=时a有最大值为，当t=-1时a有最小值为-2。
(完整版)二次型的有定性及其应用本科毕业设计
本科毕业论文（设计）题目二次型的有定性及其应用院（系）数学系专业数学与应用数学学生 XXXXXX指导教师 XXXX 职称 XXXX论文字数 7000完成日期: 年月日巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果．除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明．本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担．本人签名：日期：巢湖学院本科毕业论文 (设计)使用授权说明本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文(设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院．学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文 (设计)被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致．保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定．本人签名：日期：导师签名：日期：二次型的有定性及其应用摘要二次型的有定性是二次型中有重要地位的内容。
二次型的有定性指的是二次型的正定性、半正定性、负定性、半负定性。
该文章没有考虑复二次型情况，只分析了实二次型的正定性，半正定性以及它们在数学以及其他科学上的应用。
该文章先介绍二次型的定义，以及正定性，半正定性的定义和性质以及一些相关定理的证明，接着举例说明实二次型的有定性（正定性、半正定性）在高等数学以及物理学等科学上的应用。
该文分两部分，先是总结并给出了实正定二次型的性质定理，以此为基础，再论述出半正定二次型的相关性质、定理，并总结出了其在处理数学问题方面的应用。
关键字：实二次型；正定性；正定性应用；半正定性；半正定定性应用The qualitative matrix and its applicationAbstractDefiniteness of quadratic form important position in quadratic form. The definiteness of quadratic form refers to positive definite, positive simi-definite, negative definiteness , negative simi-definite in quadratic form. In this paper, It did not take complex quadratic form into account, but analyzing the positive definiteness ,positive simi-definite of real quadratic form and their roles in mathematics and other scientific applications. This paper introduced the definition of the quadratic form ,along with the definition and the properties of the positive definiteness, positive simi-definite and some proof of relevant theorem at first ,then illustrate the real quadratic form are qualitative(positive qualitative, positive simi-definite)in advanced mathematics, physics and others scientific applications. This paper is divided into two parts, firstly , it summarized and given the properties of the real positive definite quadratic form theorem, as a basis, and then discusses the related properties ,theorem of positive semi-definite quadratic form , and summed up their applications in dealing with math problems .Keywords:Real quadratic form, positive definiteness, applications of positive definiteness, semi-positive definite, semi-definite qualitative applications目录中文摘要 (Ⅰ)英文摘要 (Ⅱ)引言 (1)1二次型正定（半正定）的定义 (2)2. 二次型有定性的相关性质以及定理 (4)2.1 二次型正定性的判别定理 (4)2.2 二次型半正定性的一些判别方法 (5)3.二次型正定性及半正定性的应用 (5)3.1二次型的正定性在数学解题中的应用 (6)3.2 用二次型的正定性求三元函数极值问题 (6)3.3 二次型半正定型的判定定理，性质，及简单的应用 (10)3.4用二次型半正定性证明不定式 (15)参考文献 (19)前言实二次型的正定性在大学课本以及相关教材中都有大量的涉及，但却很少有关于半正定的研究。
二次方程的解法及其应用
二次方程的解法及其应用二次方程是一种含有二次项的方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，且a≠0。
解二次方程是数学中的基本内容，它在各个学科领域都有广泛的应用。
本文将介绍二次方程的解法以及它在实际问题中的应用。
一、二次方程的解法解二次方程的常用方法有因式分解法、配方法、求根公式等。
1. 因式分解法对于形如x^2 + (a+b)x + ab = 0的二次方程，可以使用因式分解法进行求解。
将方程进行因式分解后，即可得到方程的解。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，可以将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，得到x = -2或x = -3两个解。
2. 配方法当形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程无法直接因式分解时，可以使用配方法进行求解。
该方法的关键是通过添加适当的常数，将方程改写为一个完全平方的形式，使得方程可以被直接解得。
具体的步骤为：首先将方程中二次项的系数除以2，得到二次项系数的一半为p；然后将方程两边同时加上p^2，并进行平方，此时方程会变为一个完全平方的形式，即(x+p)^2 = q；最后对方程开方并移项，即得到方程的解。
例如，对于方程x^2 + 2x - 8 = 0，可以将其通过配方法转化为(x+1)^2 - 9= 0，即(x+1)^2 = 9，解得x = -4或x = 2。
3. 求根公式不论二次方程的系数是多少，都可以通过求根公式来解得它的根。
求根公式是根据二次方程的标准形式推导而来的。
对于一般形如ax^2+ bx + c = 0的二次方程，其根可以通过以下公式得到：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)其中，b^2 - 4ac被称为判别式，通过判别式的值可以得到方程有多少个实根、重根或无实根。
当判别式大于0时，方程有两个不等实根；当判别式等于0时，方程有两个相等实根；当判别式小于0时，方程无实根。
浅谈正定二次型的判定方法
浅谈正定二次型的判定方法
正定二次型是最常见的凸二次规划。
由于其凸性，正定二次型可以使用有限步数且算
法复杂度较低、单调性强等优势，常用于金融、经济、控制、管理科学和工程技术等领域
的优化计算。
针对正定二次型，学术界提出了多种判定方法。
其中，Kuhn-Tucker 条件是早期提出的一种判定方法。
该方法通过引入拉格朗日函数，结合梯度、Hessian矩阵等分析查找，得出非空解的判定条件，可以有效的判定正定二次
型的有界性。
此外，亦可采用项变换方法。
该方法采用数学变换，重新表达约束式，进而利用拉伸Hessian矩阵得出判定条件，进而判定正定二次型有界性是否成立。
研究显示，利用该方
法明显可以缩短优化计算所需要的时间与计算复杂度。
再者，如果约束条件中不带有不等式，则可以采用图论判定方法，该方法可以巧妙的
将正定二次型有界性的判定转化为图论最优路径问题，从而可以综合利用BFS/DFS等搜索
法得出结论，又不用考虑不等式条件的问题。
最后，学术界最近提出了几类新的判定方法，如s-lemma、解空间判定等，它们以不
同的数学思想对正定二次型有界性建模，具有较高的计算效率和判定结果准确性。
相比现
有的判定方法，这些新的方法可以有效的降低复杂度，在一定程度上提高判定的准确性。
综上所述，为了确定正定二次型是否有界，已有多项判定方法可供选择。
诸如Kuhn-Tucker 条件、项变换方法、图论判定以及s-lemma、解空间判定等，都可以在不同领域结合实际应用进行深入研究，以精确判定正定二次型的有界性。
二次型(1)
q(c1,c2,…,cn)=
(c12+c22+…+cn2).
□
例5.1.3 (中南大学,2004年) 设实二次型
f
2 ( a x a x a x ) , i1 1 i 2 2 in n i 1 s
证明:
a11 f的秩等于矩阵 a21 A as1
(2)记S={x∈Rn|xTAx=0},给出S为Rn的子空间的充分必 要条件,并证明你的结论. 解: (1)令二次型f=XTAX,由于r(A)<n,不妨设二次型 的正惯性指数为r,那么它的负惯性指数必为r(A)-r.由 二次型总可以通过相合变换化为规范形,则存在可逆 矩阵P,使得： 0 0 I
P T AP 0 0
显然由b是对称阵知矩阵cbc是个对称阵它的特征值全是实数注意到相似的矩阵具有相同的特征值于是ab的特征值为实bcc1若b正定那么b的特征值全是正数于是cbc具有和b相同的正惯性指数它的特征值也全为正数注意相似变换不改变矩阵的特征值知ab的特征值全大于零
第五章 二次型 设A是n阶实对称矩阵,X是n维列向量,则f(X)=XTAX 是一个实二次型,简称为二次型,本章研究二次型的基 本性质和标准形.特别是正定二次型的性质.同时也研 究对称矩阵、正定矩阵、反对称矩阵的性质. 一、基本概念和重要结果 1.二次型f(X)=XTAX的矩阵是对称阵,即AT=A.下面 我们给出关于对称矩阵的一些重要结果. (1)设A和B是对称矩阵,则A+B，A*是对称矩阵.若 A可逆,则A-1是对称矩阵.更一般地,若f(x)是任一多项 式,则f(A)是对称矩阵. (2)设A和B是对称矩阵,则AB是对称矩阵当且仅当 AB=BA 2b 1 2b 1
注意到A的特征值为0,1,2,那么显然有:
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目 录 摘 要………………………………………………………………… 1 引言…………………………………………………………………… 2 1.二次型的相关定义及定理………………………………………… 3 2.二次型的应用……………………………………………………… 6 2.1在二次曲线中的应用…………………………………………………… 6 2.2在证明不等式中的应用………………………………………………… 7 2.3在求极值中的应用……………………………………………………… 8 2.4在求某些曲线或曲面积分中的应用…………………………………… 10 2.5在多项式因式分解中的应用…………………………………………… 10 参考文献……………………………………………………………… 12 致谢…………………………………………………………………… 13 周口师范学院本科毕业论文(设计)
1 浅谈二次型及其应用 摘 要：二次型是高等代数的重要内容之一，通过研究二次型的结构及性质，解决一些不等式的证明、求极值、因式解等初等问题.并比较正交变换和配方法化二次型为标准型的区别，给出了二次型在计算某些积分中的应用.再借助非退化线性替换判断二次曲线的形状，展现线性代数中的二次型知识在微积分中的应用. 关键词：二次型；正定矩阵；非退化线性替换；标准型；正交变换
A Talk about Quadric Form and Its Application Abstract: the quadric form is one of the important contents of higher algebra, through the
study of the structure and the quadratic nature, solve some inequality proof, for extreme, factoring in elementary problems and solutions. And compared with orthogonal transformation method HuaEr times and the difference between the standard model, and gives the second type in the calculation of the application of some points. Again the degradation of linear replace judgment by the shape of the quadratic curves, show linear algebra in the second type of the application of the knowledge in the calculus. Key Words: Quadratic; Positive definite matrix; The degradation of linear replacement; Standard; Orthogonal transformation 周口师范学院本科毕业论文(设计)
2 引言 高等代数与初等代数的联系是密不可分的，在中学数学中，不等式的证明、求极值及因式分解问题都是重点问题.用初等数学方法去处理这些问题往往会相当麻烦，而如果利用高等代数中二次型的性质去解决，则会是很多问题化繁为简.用二次型来解决微积分中的一些问题，有时也会起到意想不到的效果. 由于二次型具有较高的综合性和抽象性，对于相当一部分非数学专业的学生来说，虽然能够按照化二次型为标准型的步骤将一个普通二次型化为标准型，但是仍然无法建立起二次型的直观概念，很多学生很疑惑：二次型到底是什么？它有什么几何意义？在化二次型为标准型时使用的正交变换和配方法有什么区别？二次型的标准形有什么用？等等这些问题我们将一一解决. 周口师范学院本科毕业论文(设计)
3 1.二次型的相关定义及定理 二次型从本质上来说仍然是一个关于n个变量的函数，只不过是一个比较特殊的二次其次函数，在表达式中出了平方项就是交叉项，没有一次项和常数项，只是希望利用矩阵的理论来研究二次型时才将二次型写为: /fXAX 定义1.1 每个n元二次型/12(,,)nfxxxXAX， /12(,,)nXxxx都可唯一地表成/12(,,)nfxxxXAX, 其中/12(,,)nXxxx，A为对称阵，称为二次型f的矩阵，A的秩称为f的秩. 定义1.2 实二次型/fXAX (A为实对称阵，/12(,,,)nXxxx），若对于任意的0x，皆有0(0,)fffo，则称f为正定（半正定，半负定）二次型，若既f不是半正定也不是半负定的，则称f为不定二次型. 定理1.1 实二次型/12(,,,)nfxxxXAX (A为实对称阵）为正定二次型的充分必要条件为 1）12(,,,)nfxxx的正惯性指数为n; 2) A的各阶顺序主子是都大于零; 3) A与单位矩阵合同； 4）A的特征值全大于零； 5）A的主子式全大于零； 6）存在可逆的B，使得/ABB. 定理1.2 实二次型 /12(,,,)nfxxxXAX /()AA为半正定的充要条件为 1）12(,,,)nfxxx的正惯性指数与秩相等； 2）A的各阶主子式大于或等于零； 3）A的特征值全大于等于零； 4）A的正惯性指数pr，负惯性指数0q; 周口师范学院本科毕业论文(设计) 4 5)与A矩阵000rE合同，秩Ar. 定理1.3 实二次型/12(,,,)nfxxxXAX可经过变量的正交变换YQX (Q为正交阵）化为: 2221122nnfyyy ((1,2,,)iin是矩阵A的全部特征值）.
定理1.4 设n元二次型/fXAX，则f在条件211niix下的最大（小）值恰为矩阵A的最大（小）特征值. 定理1.5一个实二次型可以分解为两个实系数的一次多项式乘积的充分必要条件是：它的秩等于2和符号差等于0，或者秩等于1.
下面，我们来讨论论一般的n元二次型极值的判定和求极值的一般方法. 一般的n元二次型多项式形如
1112nnnijijiiijiaxxbxc （1）
显然（1）存在极值当且仅当 1112nnnijijiiijiaxxbx （2）
存在极值（上述两式中ijjiaa），易见11nnijijijaxx是一个n元二次型，设其矩阵为A，我们有: 定理1.6实元n二次型（2），它的前一个和的矩阵为A,秩为r,则对二次型做非
退化线性替换XPY,使得/PAP为对角阵，如: 1、〈1〉A正定，rn,且（2）中一次项系数不全为零，则（2）存在极值； 〈2〉半A正定，若rn,一次项所含新变量均在平方项中出现，则（2）有极小值； 〈3〉半A正定，若rn,一次项所含新变数至少有一个不在平方项中出现，则（2)不存在极值； 2、〈1〉A负定，rn,且一次项系数不全为零，则（2）有极大值； 周口师范学院本科毕业论文(设计) 5 〈2〉A 半负定, rn,且一次项所含新变量均在平方项中出现，则（2）有极大值； 〈3〉A半负定，rn,且一次项所含新变量至少有一个不在平方项中出现，则（2）不存在极值. 3、A不定，则（2)不存在极值. 注：可逆阵P可经合同变换求得，即对A施行一对列初等变换和行初等变换时，对E施行同样列初等变换（E与A同阶），当把A化为对角阵时，E就化成P. 以上总结了二次型的一般理论，下面我们就用其来解决一些应用问题. 周口师范学院本科毕业论文(设计)
6 2．二次型的应用 2.1在二次曲线中的应用 事实上，化简二次曲线并判断曲线类型所用的坐标变换就是二次型中的非退化线性替换. 已知当P为正交矩阵时，线性替换YPX称为正交变换，那么就有 ////yyyxPPxxxx
上式说明经过正交变换线段的长度保持不变，从而能够保持几何体的几何形状不变，因此可以利用二次型来判断二次曲线的形状. 例1判断二次型2242220xyxyx的形状. 解 设22(,)4222fxyxyxyx 令222(,,)4222gxyzxyzxyxz 则(,)(,,1)fxygxy 对(,,)gxyz施行非退化线性替换：
1113xxyzzyyzz 即11111433xyzzyyzz 则 22211110(,,)33gxyzxyz 从而 221110(,)(,,1)303fxygxyxy 即 22113911010xy 故曲线2242220xyxyx表示椭圆. 例2化简二次曲线方程22240xxyyxzyz，若是封闭曲线，计算其面积. 周口师范学院本科毕业论文(设计) 7 解 记22(,)24Fxyxxyyxy 令22(,,)24fxyzxxyyxzyz 于是(,)(,,1)Fxyfxy，对(,,)fxyz实施非退化线性替换：
111122xxyzyyxzz 即11111122xxyyyxzz 则 2221113(,,)44fxyzxyz 从而 22113(,)(,,1)404Fxyfxyxy 即 221131416xy 故原曲线表示椭圆，它的两半轴分别为：2，43， 从而其面积为:483233S 2.2在证明不等式中的应用 例3求证：2211()nniiiinxx. 证明 22221231212(,,,)()()nnfxxxnxxxxxx 2221212131(1)(1)(1)222nnnxnxnxxxxxxx
该二次型的矩阵为111111111nnAn 将第2,3，…,n列加到第一列，则第1列元素全为零，故0A；同样可求出A的i阶主子式为1()0inin（i=1,2,n-1）.因此A是半正定的，从而，二次型12(,)nfxxx半正定，所以
12(,)nfxxx0，即