人教版_2021年自贡市中考数学试卷解析
四川省自贡市2021年中考数学试卷一、选择题(共10个小题，每小题4分，共40分)1．(4分)(2021•自贡)与﹣3的差为0的数是()A．3B．﹣3 C．D．考点: 有理数的减法．分析:与﹣3的差为0的数就是﹣3+0，据此即可求解．解答:解:﹣3+0=﹣3．故选B．点评:本题考查了有理数的减法运算，正确列出式子是关键．2．(4分)(2021•自贡)在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米．194亿用科学记数法表示为()A．1.94×1010B．0.194×1010C．19.4×109D．1.94×109考点: 科学记数法—表示较大的数．分析:科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答:解:194亿=19400000000，用科学记数法表示为:1.94×1010．故选:A．点评:此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．(4分)(2021•自贡)某班七个合作学习小组人数如下:4、5、5、x、6、7、8，已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是()A．5B．5.5 C．6D．7考点: 中位数；算术平均数．分析:根据平均数的定义先求出这组数据x，再将这组数据从小到大排列，然后找出最中间的数即可．解答:解:∵4、5、5、x、6、7、8的平均数是6，∴(4+5+5+x+6+7+8)÷7=6，解得:x=7，将这组数据从小到大排列为4、5、5、6、7、7、8，最中间的数是6；则这组数据的中位数是6；故选C．点评:此题考查了中位数，掌握中位数的概念是解题的关键，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)．4．(4分)(2021•自贡)在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为()A．B．C．D．考点: 列表法与树状图法；轴对称图形．分析:首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解答:解:分别用A、B、C、D表示等腰三角形、平行四边形、菱形、圆，画树状图得:∵共有12种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的有6种情况，∴抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为:=．故选D．点评:本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．5．(4分)(2021•自贡)如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B(8，0)，C(0，6)，则⊙A的半径为()A．3B．4C．5D．8考点: 圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理．专题: 计算题．分析:连接BC，由90度的圆周角所对的弦为直径，得到BC为圆A的直径，在直角三角形BOC中，由OB与OC的长，利用勾股定理求出BC的长，即可确定出圆A的半径．解答:解:连接BC，∵∠BOC=90°，∴BC为圆A的直径，即BC过圆心A，在Rt△BOC中，OB=8，OC=6，根据勾股定理得:BC=10，则圆A的半径为5．故选C点评:此题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．6．(4分)(2021•自贡)如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为()A．11 B．10 C．9D．8考点: 相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．分析:判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．解答:解:∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1:2，∴△CEF的周长为8．故选D．点评:本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．7．(4分)(2021•自贡)某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有()A．8B．9C．10 D．11考点: 由三视图判断几何体．分析:主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解答:解:易得第一层有4碗，第二层最少有3碗，第三层最少有2碗，所以至少共有9个碗．故选B．点评:考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．8．(4分)(2021•自贡)如图，将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为()A．B．9C．D．考点: 剪纸问题；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质．专题: 操作型．分析:这个棱柱的侧面展开正好是一个长方形，长为3，宽为3减去两个三角形的高，再用长方形的面积公式计算即可解答．解答:解:∵将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，∴这个正三角形的底面边长为1，高为=，∴侧面积为长为3，宽为3﹣的长方形，面积为9﹣3．故选A．点评:此题主要考查了剪纸问题的实际应用，动手操作拼出图形，并能正确进行计算是解答本题的关键．9．(4分)(2021•自贡)如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O(使该角的顶点落在点O处)，把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是()考点: 正多边形和圆．分析:根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即让周角除以30的倍数就可以解决问题．解答:解:360÷30=12；360÷60=6；360÷90=4；360÷120=3；360÷180=2．因此n的所有可能的值共五种情况，故选B．点评:本题考查了正多边形和圆，只需让周角除以30°的倍数即可．10．(4分)(2021•自贡)如图，已知A、B 是反比例函数上的两点，BC∥x轴，交y轴于C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过运动路线上任意一点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点)运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是(考点: 动点问题的函数图象．分析:通过两段的判断即可得出答案，①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积不变，可以排除B、D；②点P在BC上运动时，S减小，S与t的关系为一次函数，从而排除C．解答:解:①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S=K，保持不变，故排除B、D；②点P在BC上运动时，设路线O→A→B→C的总路程为l，点P的速度为a，则S=OC×CP=OC×(l﹣at)，因为l，OC，a均是常数，所以S与t成一次函数关系．故排除C．故选A．点评:本题考查了动点问题的函数图象，解答此类题目并不需要要求出函数解析式，只要判断出函数的增减性，或者函数的性质即可，注意排除法的运用．二、填空题(共5个小题，每小题4分，共20分)11．(4分)(2021•自贡)多项式ax2﹣a与多项式x2﹣2x+1的公因式是x﹣1．考点: 公因式．专题: 计算题．分析:第一个多项式提取a后，利用平方差公式分解，第二个多项式利用完全平方公式分解，找出公因式即可．解答:解:多项式ax2﹣a=a(x+1)(x﹣1)，多项式x2﹣2x+1=(x﹣1)2，则两多项式的公因式为x﹣1．故答案为:x﹣1．点评:此题考查了公因式，将两多项式分解因式是找公因式的关键．12．(4分)(2021•自贡)计算:=1．考点: 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题: 计算题．分析:本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答:解:原式=1+﹣2×﹣(2﹣)=1+2﹣﹣2+=1，故答案为1．点评:本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．13．(4分)(2021•自贡)如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED 的余弦值是．考点: 圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．专题: 网格型．分析:根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠AED，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出cos∠ABC的值，即为cos∠AED的值．解答:解:∵∠AED与∠ABC都对，∴∠AED=∠ABC，在Rt△ABC中，AB=2，AC=1，根据勾股定理得:BC=，则cos∠AED=cos∠ABC==．故答案为:点评:此题考查了圆周角定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．14．(4分)(2021•自贡)已知关于x的方程x2﹣(a+b)x+ab﹣1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论:①x1≠x2；②x1x2＜ab；③．则正确结论的序号是①②．(填上你认为正确结论的所有序号)考点: 根与系数的关系；根的判别式．分析:(1)可以利用方程的判别式就可以判定是否正确；(2)根据两根之积就可以判定是否正确；(3)利用根与系数的关系可以求出x12+x22的值，然后也可以判定是否正确．解答:解:①∵方程x2﹣(a+b)x+ab﹣1=0中，△=(a+b)2﹣4(ab﹣2)=(a﹣b)2+4＞0，∴x1≠x2故①正确；②∵x1x2=ab﹣1＜ab，故②正确；③∵x1+x2=a+b，即(x1+x2)2=(a+b)2，∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=(a+b)2﹣2ab+2=a2+b2+2＞a2+b2，即x12+x22＞a2+b2．故③错误；综上所述，正确的结论序号是:①②．故答案是:①②．点评:本题考查的是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及一元二次方程根与系数的关系，需同学们熟练掌握．15．(4分)(2021•自贡)如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3…、P n、P n+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、P n、P n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、S n，则S1=4，S n=．(用含n的代数式表示)考点: 反比例函数系数k的几何意义．专题: 规律型．分析:求出P1、P2、P3、P4…的纵坐标，从而可计算出S1、S2、S3、S4…的高，进而求出S1、S2、S3、S4…，从而得出S n的值．解答:解:当x=2时，P1的纵坐标为4，当x=4时，P2的纵坐标为2，当x=6时，P3的纵坐标为，当x=8时，P4的纵坐标为1，当x=10时，P5的纵坐标为:，…则S1=2×(4﹣2)=4=2[﹣]；S2=2×(2﹣)=2×=2[﹣]；S3=2×(﹣1)=2×=2[﹣]；…Sn=2[﹣]=；故答案为:4，．点评:此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求出个阴影的面积表达式是解题的关键．三、解答题(共2个题，每题8分，共16分)16．(8分)(2021•自贡)解不等式组:并写出它的所有的整数解．考点: 解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．专题: 计算题．分析:先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解即可．解答:解:，解不等式①得，x≥1，解不等式②得，x＜4，所以，不等式组的解集是1≤x＜4，所以，不等式组的所有整数解是1、2、3．点评:本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀:同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．17．(8分)(2021•自贡)先化简，然后从1、、﹣1中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值．考点: 分式的化简求值．分析:先把除法转化成乘法，再根据乘法的分配律分别进行计算，然后把所得的结果化简，最后选取一个合适的数代入即可．解答:解:=×=﹣==，由于a≠±1，所以当a=时，原式==．点评:此题考查了分式的化简求值，用到的知识点是乘法的分配律、约分，在计算时要注意把结果化到最简．四、解答题(共2个题，每小题8分，共16分)18．(8分)(2021•自贡)用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．考点: 解一元二次方程-配方法．分析:此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．解答:解:∵关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，∴a≠0．∴由原方程，得x2+x=﹣，等式的两边都加上，得x2+x+=﹣+，配方，得(x+)2=﹣，开方，得x+=±，解得x1=，x2=．当b2﹣4ac＜0时，原方程无实数根．点评:本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤:(1)形如x2+px+q=0型:第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．(2)形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．19．(8分)(2021•自贡)某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满．(1)求该校的大小寝室每间各住多少人？(2)预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间，问该校有多少种安排住宿的方案？考点: 二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．分析:(1)首先设该校的大寝室每间住x人，小寝室每间住y人，根据关键语句“高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满”列出方程组即可；(2)设大寝室a间，则小寝室(80﹣a)间，由题意可得a≤80，再根据关键语句“高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间”可得不等式8a+6(80﹣a)≥630，解不等式组即可．解答:解:(1)设该校的大寝室每间住x人，小寝室每间住y人，由题意得:，解得:，答:该校的大寝室每间住8人，小寝室每间住6人；(2)设大寝室a间，则小寝室(80﹣a)间，由题意得:，解得:80≥a≥75，①a=75时，80﹣75=5，②a=76时，80﹣a=4，③a=77时，80﹣a=3，④a=78时，80﹣a=2，⑤a=79时，80﹣a=1，⑥a=80时，80﹣a=0．故共有6种安排住宿的方案．点评:此题主要考查了二元一次方程组的应用，以及一元一次不等式组的应用，关键是正确理解题意，抓住题目中的关键语句，列出方程和不等式．五、解答题(共2个题，每题10分，共20分)20．(10分)(2021•自贡)为配合我市创建省级文明城市，某校对八年级各班文明行为劝导志愿者人数进行了统计，各班统计人数有6名、5名、4名、3名、2名、1名共计六种情况，并制作如下两幅不完整的统计图．(1)求该年级平均每班有多少文明行为劝导志愿者？并将条形图补充完整；(2)该校决定本周开展主题实践活动，从八年级只有2名文明行为劝导志愿者的班级中任选两名，请用列表或画树状图的方法，求出所选文明行为劝导志愿者有两名来自同一班级的概率．考点: 条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．分析:(1)根据志愿者有6名的班级占20%，可求得班级总数，再求得志愿者是2名的班数，进而可求出每个班级平均的志愿者人数；(2)由(1)得只有2名志愿者的班级有2个，共4名学生．设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，列出树状图可得出来自一个班的共有4种情况，则所选两名志愿者来自同一个班级的概率．解答:解:(1)∵有6名志愿者的班级有4个，∴班级总数为:4÷20%=20(个)，有两名志愿者的班级有:20﹣4﹣5﹣4﹣3﹣2=2(个)，如图所示:该年级平均每班有；(4×6+5×5+×4+3×3+2×2+2×1)=4(名)，(2)由(1)得只有2名文明行为劝导志愿者的班级有2个，共4名学生．设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，由树状图可知，共有12种可能的情况，并且每种结果出现的可能性相等，其中来自一个班的共有4种情况，则所选两名文明行为劝导志愿者来自同一个班级的概率为:=．点评:此题主要考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用以及树状图法求概率，根据图象得出正确信息是解题关键．21．(10分)(2021•自贡)如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm．(1)求证:AC是⊙O的切线；(2)求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．(结果保留π)考点: 切线的判定；扇形面积的计算．分析:(1)求出∠COB的度数，求出∠A的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OCA的度数，根据切线的判定推出即可；(2)如解答图所示，解题关键是证明△CDM≌△OBM，从而得到S阴影=S扇形BOC．解答:如图，连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M．(1)证明:根据圆周角定理得:∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，∵AC∥BD，∴∠A=∠OBD=30°，∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°，即OC⊥AC，∵OC为半径，∴AC是⊙O的切线；(2)解:由(1)知，AC为⊙O的切线，∴OC⊥AC．∵AC∥BD，∴OC⊥BD．由垂径定理可知，MD=MB=BD=．在Rt△OBM中，∠COB=60°，OB===6．在△CDM与△OBM中，∴△CDM≌△OBM∴S△CDM=S△OBM∴阴影部分的面积S阴影=S扇形BOC==6π(cm2)．点评:本题考查了平行线性质，切线的判定，扇形的面积，三角形的面积，圆周角定理的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．六、解答题(本题满分12分)22．(12分)(2021•自贡)在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN(如图)，在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处．(1)求该轮船航行的速度(保留精确结果)；(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．考点: 解直角三角形的应用-方向角问题．分析:(1)根据∠1=30°，∠2=60°，可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答．(2)延长BC交l于T，比较AT与AM、AN的大小即可得出结论．解答:解:(1)∵∠1=30°，∠2=60°，∴△ABC为直角三角形．∵AB=40km，AC=km，∴BC===16(km)．∵1小时20分钟=80分钟，1小时=60分钟，∴×60=12(千米/小时)．(2)作线段BR⊥x轴于R，作线段CS⊥x轴于S，延长BC交l于T．∵∠2=60°，∴∠4=90°﹣60°=30°．∵AC=8(km)，∴CS=8sin30°=4(km)．∴AS=8cos30°=8×=12(km)．又∵∠1=30°，∴∠3=90°﹣30°=60°．∵AB=40km，∴BR=40•sin60°=20(km)．∴AR=40×cos60°=40×=20(km)．易得，△STC∽△RTB，所以=，，解得:ST=8(km)．所以AT=12+8=20(km)．又因为AM=19.5km，MN长为1km，∴AN=20.5km，∵19.5＜AT＜20.5故轮船能够正好行至码头MN靠岸．点评:此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．七、解答题(本题满分12分)23．(12分)(2021•自贡)将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．(1)将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证:CP1=CQ；(2)在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？(3)如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．考点: 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形．分析:(1)先判断∠B1CQ=∠BCP1=45°，利用ASA即可证明△B1CQ≌△BCP1，从而得出结论．(2)作P1D⊥CA于D，在RtADP1中，求出P1D，在Rt△CDP1中求出CP1，继而可得出CQ的长度．(3)证明△AP1C∽△BEC，则有AP1:BE=AC:BC=:1，设AP1=x，则BE=x，得出S△P1BE关于x的表达式，利用配方法求最值即可．解答:(1)证明:∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，∴∠B1CQ=∠BCP1=45°，∵在△B1CQ和△BCP1中，，∴△B1CQ≌△BCP1(ASA)，∴CQ=CP1；(2)作P1D⊥CA于D，∵∠A=30°，∴P1D=AP1=1，∵∠P1CD=45°，∴=sin45°=，∴CP1=P1D=，又∵CP1=CQ，∴CQ=；(3)∵∠P1BE=90°，∠ABC=60°，∴∠A=∠CBE=30°，∴AC=BC，由旋转的性质可得:∠ACP1=∠BCE，∴△AP1C∽△BEC，∴AP1:BE=AC:BC=:1，设AP1=x，则BE=x，在Rt△ABC中，∠A=30°，∴AB=2BC=2，∴S△P1BE=×x(2﹣x)=﹣x2+x=﹣(x﹣1)2+，故当x=1时，S△P1BE(max)=．点评:本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题需要我们熟练掌握含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及配方法求二次函数的最值，有一定难度．八、解答题(本题满分14分)24．(14分)(2021•自贡)如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D(2，3)，tan∠DBA=．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA 面积的最大值；(3)在(2)中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．考点: 二次函数综合题．分析:(1)如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；(3)本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解．如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标．解答:解:(1)如答图1所示，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=3，OE=2．∵tan∠DBA==，∴BE=6，∴OB=BE﹣OE=4，∴B(﹣4，0)．∵点B(﹣4，0)、D(2，3)在抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)上，∴，解得，∴抛物线的解析式为:y=x2+x﹣2．(2)抛物线的解析式为:y=x2+x﹣2，令x=0，得y=﹣2，∴C(0，﹣2)，令y=0，得x=﹣4或1，∴A(1，0)．设点M坐标为(m，n)(m＜0，n＜0)，如答图1所示，过点M作MF⊥x轴于点F，则MF=﹣n，OF=﹣m，BF=4+m．S四边形BMCA=S△BMF+S梯形MFOC+S△AOC=BF•MF+(MF+OC)•OF+OA•OC=(4+m)×(﹣n)+(﹣n+2)×(﹣m)+×1×2=﹣2n﹣m+1∵点M(m，n)在抛物线y=x2+x﹣2上，∴n=m2+m﹣2，代入上式得:S四边形BMCA=﹣m2﹣4m+5=﹣(m+2)2+9，∴当m=﹣2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9．(3)假设存在这样的⊙Q．如答图2所示，设直线x=﹣2与x轴交于点G，与直线AC交于点F．设直线AC的解析式为y=kx+b，将A(1，0)、C(0，﹣2)代入得:，解得:k=2，b=﹣2，∴直线AC解析式为:y=2x﹣2，令x=﹣2，得y=﹣6，∴F(﹣2，﹣6)，GF=6．在Rt△AGF中，由勾股定理得:AF===3．设Q(﹣2，n)，则在Rt△AGF中，由勾股定理得:OQ==．设⊙Q与直线AC相切于点E，则QE=OQ=．在Rt△AGF与Rt△QEF中，∵∠AGF=∠QEF=90°，∠AFG=∠QFE，∴Rt△AGF∽Rt△QEF，∴，即，化简得:n2﹣3n﹣4=0，解得n=4或n=﹣1．∴存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为(﹣2，4)或(﹣2，﹣1)．点评:本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第(2)问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第(3)问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件的点Q坐标．。
2021年-四川省自贡市中考数学试卷及解析
2021年四川省自贡市中考数学试卷一。
选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）计算﹣3+1的结果是（）A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．22．（4分）下列计算正确的是（）A．（a﹣b）2=a2﹣b2 B．x+2y=3xy C． D．（﹣a3）2=﹣a63．（4分）2021年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000元，将445800000用科学记数法表示为（）A．44。
58×107B．4。
458×108C．4。
458×109D．0。
4458×10104．（4分）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若∠1=55°，则∠2的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．35°5．（4分）下面几何的主视图是（）A．B．C．D．6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．167．（4分）在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（）A．众数是98 B．平均数是90 C．中位数是91 D．方差是568．（4分）回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（）A．数形结合B．类比C．演绎D．公理化9．（4分）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．10．（4分）从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在函数y=图象的概率是（）A．B．C．D．11．（4分）已知圆锥的侧面积是8πcm2，若圆锥底面半径为R（cm），母线长为l（cm），则R关于l的函数图象大致是（）A．B．C．D．12．（4分）如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（）A．B．C．D．二。
2021年四川省自贡市中考数学试卷
四川省自贡市中考数学试卷（含答案）一．选择题1．如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．40°B．50°C．55°D．60°2．5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开启网络直播，有着近千年历史的自贡灯会进入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀璨．人数700000用科学记数法表示为（）A．70×104B．0.7×107C．7×105D．7×1063．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．4．关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，则a的值为（）A．B．﹣C．1D．﹣15．在平面直角坐标系中，将点（2，1）向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（）A．（﹣1，1）B．（5，1）C．（2，4）D．（2，﹣2）6．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．对于一组数据3，7，5，3，2，下列说法正确的是（）A．中位数是5B．众数是7C．平均数是4D．方差是38．如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（）A．50°B．70°C．130°D．160°9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°10．函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（）A．B．C．D．11．某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．﹣＝40B．﹣＝40C．﹣＝40D．﹣＝4012．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（）A．2B．C．D．二、填空题13．分解因式：3a2﹣6ab+3b2＝．14．与﹣2最接近的自然数是．15．某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计．以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序（只填番号）：．①绘制扇形图；②收集最受学生欢迎菜品的数据；③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品；④整理所收集的数据．16．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为米（结果保留根号）．17．如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A 落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为．18．如图，直线y＝﹣x+b与y轴交于点A，与双曲线y＝在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝，前25个等边三角形的周长之和为．三、解答题19．计算：|﹣2|﹣（+π）0+（﹣）﹣1．20．先化简，再求值：•（+1），其中x是不等式组的整数解．21．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．22．某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图．（1）本次调查的学生人数是人，m＝；（2）请补全条形统计图；（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是．23．甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？24．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离．（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段P A与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，P A+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，P A+PB＞3．∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．（3）解决问题：①|x﹣4|+|x+2|的最小值是；②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4；③当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一点，且P A＝PC＝AB，连接PO交AC于点D，延长PO交⊙O于点F．（1）证明：＝；（2）若tan∠ABC＝2，证明：P A是⊙O的切线；（3）在（2）条件下，连接PB交⊙O于点E，连接DE，若BC＝2，求DE的长．参考答案与试题解析一．选择题1．如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．40°B．50°C．55°D．60°【解答】解：如图所示：∵a∥b，∴∠3＝∠1＝50°，∴∠2＝∠3＝50°；故选：B．2．5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开启网络直播，有着近千年历史的自贡灯会进入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀璨．人数700000用科学记数法表示为（）A．70×104B．0.7×107C．7×105D．7×106【解答】解：700000用科学记数法表示为7×105，故选：C．3．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体从左边看有两列，左边一列底层是一个正方形，右边一列是三个正方形．故选：B．4．关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，则a的值为（）A．B．﹣C．1D．﹣1【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，∴，∴a＝．故选：A．5．在平面直角坐标系中，将点（2，1）向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（）A．（﹣1，1）B．（5，1）C．（2，4）D．（2，﹣2）【解答】解：将点P（2，1）向下平移3个单位长度所得点的坐标为（2，1﹣3）即（2，﹣2）；故选：D．6．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．7．对于一组数据3，7，5，3，2，下列说法正确的是（）A．中位数是5B．众数是7C．平均数是4D．方差是3【解答】解：A、把这组数据从小到大排列为：2，3，3，5，7，最中间的数是3，则中位数是3，故本选项错误；B、3出现了2次，出现的次数最多，则众数是3，故本选项错误；C、平均数是：（3+7+5+3+2）÷5＝4，故本选项正确；D、方差是：[2×（3﹣4）2+（7﹣4）2+（5﹣4）2+（2﹣4）2]＝3.2，故本选项错误；故选：C．8．如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（）A．50°B．70°C．130°D．160°【解答】解：设这个角是x°，根据题意，得x＝2（180﹣x）+30，解得：x＝130．即这个角的度数为130°．故选：C．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，故选：D．10．函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k＞0，根据二次函数的图象确知a＜0，b＜0，∴函数y＝kx﹣b的大致图象经过一、二、三象限，故选：D．11．某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．﹣＝40B．﹣＝40C．﹣＝40D．﹣＝40【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，依题意，得：﹣＝40，即﹣＝40．故选：A．12．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（）A．2B．C．D．【解答】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．∵四边形ABCD是平行四边形，∴DQ∥BC，∴∠Q＝∠BEF，∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，∴△QF A≌△EFB（AAS），∴AQ＝BE＝x，∵∠EFD＝90°，∴DF⊥QE，∴DQ＝DE＝x+2，∵AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD，∴∠AEB＝∠EAD＝90°，∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，整理得：2x2+4x﹣6＝0，解得x＝1或﹣3（舍弃），∴BE＝1，∴AE＝，故选：B．二、填空题13．分解因式：3a2﹣6ab+3b2＝3（a﹣b）2．【解答】解：3a2﹣6ab+3b2＝3（a2﹣2ab+b2）＝3（a﹣b）2．故答案为：3（a﹣b）2．14．与﹣2最接近的自然数是2．【解答】解：∵3.5＜＜4，∴1.5＜﹣2＜2，∴与﹣2最接近的自然数是2．故答案为：2．15．某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计．以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序（只填番号）：②④①③．①绘制扇形图；②收集最受学生欢迎菜品的数据；③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品；④整理所收集的数据．【解答】解：②收集最受学生欢迎菜品的数据；④整理所收集的数据；①绘制扇形图；③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品；故答案为：②④①③．16．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为6米（结果保留根号）．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，∴DE＝CF，在Rt△CFB中，CF＝BC•sin45°＝3（米），∴DE＝CF＝3（米），在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2DE＝6（米），故答案为6．17．如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A 落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为．【解答】解：连接OG，∵将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，∴AD＝DF＝4，BF＝CF＝2，∵矩形ABCD中，∠DCF＝90°，∴∠FDC＝30°，∴∠DFC＝60°，∵⊙O与CD相切于点G，∴OG⊥CD，∵BC⊥CD，∴OG∥BC，∴△DOG∽△DFC，∴，设OG＝OF＝x，则，解得：x＝，即⊙O的半径是．连接OQ，作OH⊥FQ，∵∠DFC＝60°，OF＝OQ，∴△OFQ为等边△；同理△OGQ为等边△；∴∠GOQ＝∠FOQ＝60°，OH＝OQ＝，S扇形OGQ＝S扇形OQF，∴S阴影＝（S矩形OGCH﹣S扇形OGQ﹣S△OQH）+（S扇形OQF﹣S△OFQ）＝S矩形OGCH﹣S△OFQ＝×﹣（××）＝．故答案为：．18．如图，直线y＝﹣x+b与y轴交于点A，与双曲线y＝在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝4，前25个等边三角形的周长之和为60．【解答】解：设直线y＝﹣x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．∵y＝﹣x+b，∴当y＝0时，x＝b，即点D的坐标为（b，0），当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），∴OA＝b，OD＝b．∵在Rt△AOD中，tan∠ADO＝＝，∴∠ADO＝60°．∵直线y＝﹣x+b与双曲线y＝在第一象限交于点B、C两点，∴﹣x+b＝，整理得，﹣x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2＝k，即EB•FC＝k，∵＝cos60°＝，∴AB＝2EB，同理可得：AC＝2FC，∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC＝k＝16，解得：k＝4．由题意可以假设D1（m，m），∴m2•＝4，∴m＝2∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，设D2（4+n，n），∵（4+n）•n＝4，解得n＝2﹣2，∴E1E2＝4﹣4，即第二个三角形的周长为12﹣12，设D3（4+a，a），由题意（4+a）•a＝4，解得a＝2﹣2，即第三个三角形的周长为12﹣12，…，∴第四个三角形的周长为6﹣6，∴前25个等边三角形的周长之和12+12﹣12+12﹣12+12﹣12+…+12﹣12＝12＝60，故答案为4，60．三、解答题19．计算：|﹣2|﹣（+π）0+（﹣）﹣1．【解答】解：原式＝2﹣1+（﹣6）＝1+（﹣6）＝﹣5．20．先化简，再求值：•（+1），其中x是不等式组的整数解．【解答】解：•（+1）＝＝＝，由不等式组，得﹣1≤x＜1，∵x是不等式组的整数解，∴x＝﹣1，0，∵当x＝﹣1时，原分式无意义，∴x＝0，当x＝0时，原式＝＝﹣．21．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝CD＝CD＝AD，∵CE＝DF，∴BE＝CF，在△AEB与△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（SAS），∴AE＝BF．22．某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图．（1）本次调查的学生人数是60人，m＝30；（2）请补全条形统计图；（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是．【解答】解：（1）12÷20%＝60（人），×100%＝30%，则m＝30；故答案为：60，30；（2）C组的人数为60﹣18﹣12﹣9＝21（人），补全条形统计图如图：（3）如果小张同学随机选择连续两天，画树状图如图：共有20个等可能的结果，其中连续两天，有一天是星期一的结果有2个，∴其中有一天是星期一的概率为＝；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，画树状图如图：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期三的结果有6个，∴其中有一天是星期三的概率为＝；故答案为：，．23．甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？【解答】解：（1）由题意可得，y甲＝0.9x，当0≤x≤100时，y乙＝x，当x＞100时，y乙＝100+（x﹣100）×0.8＝0.8x+20，由上可得，y乙＝；（2）当0.9x＜0.8x+20时，得x＜200，即此时选择甲商场购物更省钱；当0.9x＝0.8x+20时，得x＝200，即此时两家商场购物一样；当0.9x＞0.8x+200时，得x＞200，即此时选择乙商场购物更省钱．24．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离．（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段P A与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，P A+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，P A+PB＞3．∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．（3）解决问题：①|x﹣4|+|x+2|的最小值是6；②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4；③当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．【解答】解：（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段P A与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，P A+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，P A+PB＞3．∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．（3）解决问题：①|x﹣4|+|x+2|的最小值是6；故答案为：6；②如图所示，满足|x+3|+|x﹣1|＞4的x范围为x＜﹣3或x＞1；③当a为1或5时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一点，且P A＝PC＝AB，连接PO交AC于点D，延长PO交⊙O于点F．（1）证明：＝；（2）若tan∠ABC＝2，证明：P A是⊙O的切线；（3）在（2）条件下，连接PB交⊙O于点E，连接DE，若BC＝2，求DE的长．【解答】（1）证明：连接OC．∵PC＝P A，OC＝OA，∴OP垂直平分线段AC，∴＝．（2）证明：设BC＝a，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵tan∠ABC＝＝2，∴AC＝2a，AB＝＝＝3a，∴OC＝OA＝OB＝，CD＝AD＝a，∵P A＝PC＝AB，∴P A＝PC＝3a，∵∠PDC＝90°，∴PD＝＝＝4a，∵DC＝DA，AO＝OB，∴OD＝BC＝a，∴AD2＝PD•OD，∴＝，∵∠ADP＝∠ADO＝90°，∴△ADP∽△ODA，∴∠P AD＝∠DOA，∵∠DOA+∠DAO＝90°，∴∠P AD+∠DAO＝90°，∴∠P AO＝90°，∴OA⊥P A，∴P A是⊙O的切线．（3）解：如图，过点E作EJ⊥PF于J，BK⊥PF于K．∵BC＝2，由（1）可知，P A＝6，AB＝6，∵∠P AB＝90°，∴PB＝＝＝6，∵P A2＝PE•PB，∴PE＝＝4，∵∠CDK＝∠BKD＝∠BCD＝90°，∴四边形CDKB是矩形，∴CD＝BK＝2，BC＝DK＝2，∵PD＝8，∴PK＝10，∵EJ∥BK，∴＝＝，∴＝＝，∴EJ＝，PJ＝，∴DJ＝PD﹣PJ＝8﹣＝，∴DE＝＝＝．。
2021年云南省中考数学试卷及答案解析
2021年云南省中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）1．某地区2021年元旦的最高气温为9℃，最低气温为﹣2℃，那么该地区这天的最低气温比最高气温低（）A．7℃B．﹣7℃C．11℃D．﹣11℃【分析】根据题意，列出减法算式计算即可．【解答】解：9﹣（﹣2）＝9+2＝11（℃），故选：C．【点评】本题考查了有理数的减法的应用，解题的关键是：减去一个数等于加上这个数的相反数．2．如图，直线c与直线a、b都相交．若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝（）A．60°B．55°C．50°D．45°【分析】由对顶角相等可得，∠3＝∠1＝55°，又a∥b，由两直线平行，同位角相等可得，∠2＝∠3＝55°．【解答】解：如图，∵∠1＝55°，∠1和∠3是对顶角，∴∠3＝∠1＝55°，∵a ∥b ，∴∠2＝∠3＝55°． 故选：B ．【点评】本题主要考查平行线的性质，对顶角相等等内容，题目比较简单，掌握相关定理可快速解答．3．一个10边形的内角和等于（ ） A ．1800°B ．1660°C ．1440°D ．1200°【分析】根据多边形的内角和等于（n ﹣2）•180°即可得解． 【解答】解：根据多边形内角和公式得，10边形的内角和等于： （10﹣2）×180°＝8×180°＝1440°， 故选：C ．【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 4．在△ABC 中，∠ABC ＝90°．若AC ＝100，sin A =35，则AB 的长是（ ） A ．5003B ．5035C ．60D ．80【分析】利用三角函数定义计算出BC 的长，然后再利用勾股定理计算出AB 长即可． 【解答】解：∵AC ＝100，sin A =35， ∴BC ＝60，∴AB =√AC 2−BC 2=80， 故选：D ．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握正弦定义．5．若一元二次方程ax 2+2x +1＝0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜1B ．a ≤1C ．a ≤1且a ≠0D ．a ＜1且a ≠0【分析】由一元二次方程ax 2+2x +1＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0，a ≠0，继而可求得a 的范围．【解答】解：∵一元二次方程ax 2+2x +1＝0有两个不相等的实数根， ∴a ≠0，△＝b 2﹣4ac ＝22﹣4×a ×1＝4﹣4a ＞0， 解得：a ＜1， 故选：D ．【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得△＞0．6．按一定规律排列的单项式：a 2，4a 3，9a 4，16a 5，25a 6，…，第n 个单项式是（ ） A ．n 2a n +lB ．n 2a n ﹣1C ．n n a n +1D ．（n +1）2a n【分析】观察字母a 的系数、次数的规律即可写出第n 个单项式． 【解答】解：∵第1个单项式a 2＝12•a 1+1， 第2个单项式4a 3＝22•a 2+1， 第3个单项式9a 4＝32•a 3+1， 第4个单项式16a 5＝42•a 4+1， ……∴第n （n 为正整数）个单项式为n 2a n +1， 故选：A ．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是分别从系数、字母指数寻找其与序数间的规律．7．如图，等边△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AD 是⊙O 的直径．若OA ＝3，则劣弧BD 的长是（ ）A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π【分析】连接OB 、BD ，由等边△ABC ，可得∠D ＝∠C ＝60°，且OB ＝OD ,故△BOD 是等边三角形，∠BOD ＝60°，又半径OA ＝3，根据弧长公式即可得劣弧BD 的长． 【解答】解：连接OB 、BD ，如图：∵等边△ABC ， ∴∠C ＝60°， ∵弧AB ＝弧AB , ∴∠D ＝∠C ＝60°， ∵OB ＝OD ,∴△BOD 是等边三角形， ∴∠BOD ＝60°， ∵半径OA ＝3， ∴劣弧BD 的长为60π×3180=π，故选：B ．【点评】本题考查等边三角形及圆的弧长，解题的关键是掌握弧长公式并能熟练应用． 8．2020年以来，我国部分地区出现了新冠疫情．一时间，疫情就是命令，防控就是责任，一方有难八方支援．某公司在疫情期间为疫区生产A 、B 、C 、D 四种型号的帐篷共20000顶，有关信息见如下统计图：下列判断正确的是（ ）A ．单独生产B 型帐篷的天数是单独生产C 型帐篷天数的3倍B ．单独生产B 型帐篷的天数是单独生产A 型帐篷天数的1.5倍C ．单独生产A 型帐篷与单独生产D 型帐篷的天数相等D ．每天单独生产C 型帐篷的数量最多【分析】由条形统计图可得生产四种型号的帐篷的数量，分别求出四种帐篷所需天数即可判断各选项．【解答】解：A 、单独生产B 帐篷所需天数为20000×30%1500=4（天），单独生产C 帐篷所需天数为20000×15%3000=1（天），∴单独生产B 型帐篷的天数是单独生产C 型帐篷天数的4倍，此选项错误； B 、单独生产A 帐篷所需天数为20000×45%4500=2（天），∴单独生产B 型帐篷的天数是单独生产A 型帐篷天数的2倍，此选项错误； C 、单独生产D 帐篷所需天数为20000×10%1000=2（天），∴单独生产A 型帐篷与单独生产D 型帐篷的天数相等，此选项正确； D 、单由条形统计图可得每天单独生产A 型帐篷的数量最多，此选项错误； 故选：C ．【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图的综合运用，解题关键在于结合两个统计图，找到总数与各部分的关系．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）已知a ，b 都是实数．若√a +1+（b ﹣2）2＝0，则a ﹣b ＝ ﹣3 ． 【分析】根据两个非负数的和是0，因而两个非负数同时是0，即可求解． 【解答】解：∵√a +1+（b ﹣2）2＝0，√a +1≥0，（b ﹣2）2≥0， ∴a +1＝0，b ﹣2＝0， 解得a ＝﹣1，b ＝2， ∴a ﹣b ＝﹣1﹣2＝﹣3． 故答案为：﹣3．【点评】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．10．（3分）若反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为 y =−2x ．【分析】先设y =kx ，再把已知点的坐标代入可求出k 值，即得到反比例函数的解析式．【解答】解：设y=k x，把点（1，﹣2）代入函数y=kx得k＝﹣2，则反比例函数的解析式为y=−2 x，故答案为y=−2 x．【点评】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．11．（3分）如图图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．已知主视图和左视图是两个全等的矩形．若主视图的相邻两边长分别为2和3，俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体的体积为3π．【分析】由三视图得此几何体为：圆柱，并得到球的半径、圆柱的底面半径和高，由体积公式计算出几何体的体积．【解答】解：由三视图知几何体为圆柱，且底面圆的半径是1，高是3，∴这个几何体的体积为：π×12×3＝3π．故选:3π．【点评】本题考查由三视图求体积，解题的关键是熟练掌握三视图的作图规则，由三视图还原出实物图的几何特征12．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点F．若BF＝6，则BE的长是9．【分析】由题意可知，DE 是△ABC 的中线，则DE ∥AB ，且DE =12AB ，可得DE AB=EF BF=12，代入BF 的长，可求出EF 的长，进而求出BE 的长． 【解答】解：如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点， ∴DE ∥AB ，且DE =12AB ， ∴DE AB=EF BF=12，∵BF ＝6， ∴EF ＝3． ∴BE ＝BF +EF ＝9． 故答案为：9．【点评】本题主要考查三角形中位线，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识是解题基础．13．（3分）分解因式：x 3﹣4x ＝ x （x +2）（x ﹣2） ．【分析】应先提取公因式x ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：x 3﹣4x ， ＝x （x 2﹣4）， ＝x （x +2）（x ﹣2）． 故答案为：x （x +2）（x ﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．14．（3分）已知△ABC 的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC 的平分线与线段AC 交于点D ．若△ABC 的一条边长为6，则点D 到直线AB 的距离为 3√22或3或6√2−6或6﹣3√2 ．【分析】分两种情况：①当B 为直角顶点时，过D 作DH ⊥AB 于H ，由△AHD 和△BHD 是等腰直角三角形可得AH ＝DH ＝BH ,故DH =12BC ,若AC ＝6，则DH =3√22，即点D 到直线AB 的距离为3√22；若AB ＝BC ＝6，则点D 到直线AB 的距离为3；②当B 不是直角顶点时，过D 作DH ⊥BC 于H ，由△CDH 是等腰直角三角，得AD ＝DH ＝CH ,证明△ABD ≌△HBD (AAS ),有AB ＝BH ,若AB ＝AC ＝6时，则此时点D 到直线AB 的距离为6√2−6；若BC ＝6，则此时点D 到直线AB 的距离为6﹣3√2．【解答】解：①当B 为直角顶点时，过D 作DH ⊥AB 于H ,如图：∵△ABC 的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC 的平分线与线段AC 交于点D , ∴△ABC 是等腰直角三角形，∠ABD ＝∠ADH ＝45°，AD ＝CD =12AC , ∴△AHD 和△BHD 是等腰直角三角形， ∴AH ＝DH ＝BH , ∴DH =12BC ,若AC ＝6，则BC ＝AC •cos45°＝3√2，此时DH =3√22，即点D 到直线AB 的距离为3√22；若AB ＝BC ＝6，则DH =12BC ＝3，即点D 到直线AB 的距离为3； ②当B 不是直角顶点时，过D 作DH ⊥BC 于H ，如图：∵△ABC 的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC 的平分线与线段AC 交于点D , ∴△CDH 是等腰直角三角，AD ＝DH ＝CH , 在△ABD 和△HBD 中， {∠ABD =∠HBD ∠A =∠DHB BD =BD, ∴△ABD ≌△HBD (AAS ), ∴AB ＝BH ,若AB ＝AC ＝6时，BH ＝6，BC =√AB 2+AC 2=6√2， ∴CH ＝BC ﹣BH ＝6√2−6，∴AD ＝6√2−6，即此时点D 到直线AB 的距离为6√2−6； 若BC ＝6，则AB ＝BC •cos45°＝3√2， ∴BH ＝3√2， ∴CH ＝6﹣3√2，∴AD ＝6﹣3√2，即此时点D 到直线AB 的距离为6﹣3√2；综上所述，点D 到直线AB 的距离为3√22或3或6√2−6或6﹣3√2．故答案为：3√22或3或6√2−6或6﹣3√2． 【点评】本题考查正方形、等腰直角三角形性质及应用，涉及角平分线、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，正确分类，画出图形． 三、解答题（本大题共9小题，共70分） 15．（6分）计算：（﹣3）2+tan45°2+（√2−1）0﹣2﹣1+23×（﹣6）． 【分析】先分别计算乘方，特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，然后在按照有理数的混合运算顺序和法则进行计算． 【解答】解：原式＝9+12+1−12−4 ＝6．【点评】本题考查有理数的混合运算，特殊角三角函数值，零指数幂及负整数指数幂，掌握运算顺序准确计算是解题关键．16．（6分）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AC ＝BD ，AC 与BD 相交于点E ．求证：∠DAC ＝∠CBD ．【分析】证明△CDA ≌△DCB （SSS ），即可求解． 【解答】证明：在△DCA 和△DCB 中， {AD =BC AC =BD DC =CD， ∴△CDA ≌△DCB （SSS ）， ∴∠DAC ＝∠CBD ．【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．17．（8分）垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染、美化家园，甚至能够变废为宝、节约资源．为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织全校1565名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”（满分为100分）．该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，采用简单随机抽样的方法（即每名学生的竞赛分数被抽到的可能性相等的抽样方法）抽取部分学生的竞赛分数进行调查分析． （1）以下三种抽样调查方案：方案一：从七年级、八年级、九年级中指定部分学生的竞赛分数作为样本；方案二：从七年级、八年级中随机抽取部分男生的竞赛分数以及在九年级中随机抽取部分女生的竞赛分数作为样本；方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本． 其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是 方案三 （填写“方案一”、“方案二”或“方案三”）；（2）该校数学兴趣小组根据简单随机抽样方法获得的样本，绘制出如下统计表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”，学生竞赛分数记为x分）样本容量平均分及格率优秀率最高分最低分10083.5995%40%10052分数段50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100频数57183040结合上述信息解答下列问题：①样本数据的中位数所在分数段为80≤x＜90；②全校1565名学生，估计竞赛分数达到“优秀”的学生有626人．【分析】（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三符合题意；（2）①根据样本的中位数，估计总体中位数所在的范围；②样本中“优秀”人数占调查人数的40100，因此估计总体1565人的40%是“优秀”．【解答】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本进行调查分析，是最符合题意的．故答案为：方案三；（2）①样本总数为：5+7+18+30+40＝100（人），成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在80≤x＜90，因此中位数在80≤x＜90组中；②由题意得，1565×40100=626（人），故答案为：①80≤x＜90；②626．【点评】本题考查抽样调查、中位数的意义，样本估计总体是统计中常用的方法．18．（6分）“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场、车站、出租车、景区、手机短信……，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五•一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用A、B两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金，【分析】设每间B客房租金为x元，根据“用2000元租到A客房数量与用1600元租到B客房数量相同”列出方程并解答．【解答】解：设每间B客房租金为x元，则每间A客房租金为(x+40)元，根据题意可得：2000 x+40=1600x，解得：x＝160，经检验：x＝160是原分式方程的解，且符合实际，160+40＝200元，∴每间A客房租金为200元，每间B客房租金为160元．【点评】本题考查了分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．19．（7分）为庆祝中国共产党成立100周年，某市组织该市七、八两个年级学生参加演讲比赛，演讲比赛的主题为“追忆百年历程，凝聚青春力量”．该市一中学经过初选，在七年级选出3名同学，其中2名女生，分别记为x1、x2，1名男生，记为y1；在八年级选出3名同学，其中1名女生，记为x3，2名男生，分别记为y2、y3．现分别从两个年级初选出的同学中，每个年级随机选出一名同学组成代表队参加比赛．（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求所有可能出现的代表队总数；（2）求选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P．【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以画出相应的树状图，并写出一共有多少种可能性；（2）根据（1）中的结果和树状图，可以得到选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P．【解答】解：（1）树状图如下图所示：由上可得，出现的代表队一共有9种可能性；（2）由（1）可知，一共9种可能性，其中一男一女出现有5种，故选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P=5 9．【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是画出相应的树状图，求出相应的概率．20．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若ED＝2AE，AB•AD＝3√3，求EF•BD的值．【分析】（1）证明△OBF≌△ODE，得到OF＝OE即可得出结论．（2）由ED＝2AE，AB•AD＝3√3，可得出菱形BEDF的面积，进而可得出EF·BD的值．【解答】解：（1）证明：矩形ABCD沿EF折叠，使B，D重合，∴OB＝OD，EF⊥BD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ODE＝∠OBF，在△OBF和△ODE中，{∠OBF =∠ODE OB =OD ∠BOF =∠DOE， ∴△OBF ≌△ODE （ASA ）， ∴OE ＝OF ， ∵OB ＝OD ，∴四边形BFDE 是平行四边形， ∵EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形． （2）如图，∵AB •AD ＝3√3， ∴S △ABD =12AB •AD =32√3，∵ED ＝2AE ， ∴ED =23AD ，∴S △BDE :S △ABD ＝2：3， ∴S △BDE =12√3， ∴菱形BEDF 的面积=12EF •BD ＝2S △BDE =√3， ∴EF •BD ＝2√3．【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定与性质、矩形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．21．（8分）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案． 方案一：没有底薪，只付销售提成； 方案二：底薪加销售提成．如图中的射线l 1，射线l 2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资y 1（单位：元）和y 2（单位：元）与其当月鲜花销售量x （单位：千克）（x ≥0）的函数关系．（1）分别求y 1、y 2与x 的函数解析式（解析式也称表达式）；（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？【分析】（1）由待定系数法就可以求出解析式；（2）利用（1）中求出的两函数的解析式，把x ＝70代入求解即可． 【解答】解：（1）设y 1＝k 1x ， 根据题意得40k 1＝120， 解得k 1＝30， ∴y 1＝30x （x ≥0）； 设y 2＝k 2x +b ，根据题意，得{b =80040k 2+b =1200，解得{k 2=10b =800，∴y 2＝10x +800（x ≥0）； （2）当x ＝70时， y 1＝30×70＝2100＞2000； y 2＝10×70+800＝1500＜2000；∴这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次不等式的运用，设计方案的运用，解答时认真分析，弄清函数图象的意义是关键．22．（9分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且∠DCA ＝∠ABC ，点E 在DC 的延长线上，且BE ⊥DC ． （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）若OAOD=23，BE ＝3，求DA 的长．【分析】(1)连接OC,由等腰三角形的性质得出∠OCB＝∠OBC,由圆周角定理得出∠ACB ＝90°,证出∠DCO＝90°,则可得出结论;(2)设OA＝OB＝2x,OD＝3x,证明△DCO∽△DEB,由相似三角形的性质得出OCBE=ODDB=35,求出OC的长,则可求出答案．【解答】(1)证明:连接OC,∵OC＝OB,∴∠OCB＝∠OBC,∵∠ABC＝∠DCA,∴∠OCB＝∠DCA,又∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°,∴∠ACO+∠OCB＝90°,∴∠DCA+∠ACO＝90°,即∠DCO＝90°,∴DC⊥OC,∵OC是半径,∴DC 是⊙O 的切线; (2)解:∵OA OD=23,且OA ＝OB ,设OA ＝OB ＝2x ,OD ＝3x , ∴DB ＝OD +OB ＝5x , ∴OD DB=35,又∵BE ⊥DC ,DC ⊥OC , ∴OC ∥BE , ∴△DCO ∽△DEB , ∴OC BE=OD DB=35,∵BE ＝3, ∴OC =95, ∴2x =95, ∴x =910, ∴AD ＝OD ﹣OA ＝x =910, 即AD 的长为910．【点评】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与相似三角形的判定和性质是解题的关键．23．（12分）已知抛物线y ＝﹣2x 2+bx +c 经过点（0，﹣2），当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大，当x ＞﹣4时，y 随x 的增大而减小．设r 是抛物线y ＝﹣2x 2+bx +c 与x 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，m =r 9+r 7−2r 5+r 3+r−1r 9+60r 5−1．（1）求b 、c 的值；（2）求证：r 4﹣2r 2+1＝60r 2；（3）以下结论：m ＜1，m ＝1，m ＞1，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 【分析】（1）当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大，当x ＞﹣4时，y 随x 的增大而减小,可得对称轴为直线x ＝﹣4,且抛物线y ＝﹣2x 2+bx +c 经过点（0，﹣2），列出方程组即可得答案；（2）由r 是抛物线y ＝﹣2x 2﹣16x ﹣2与x 轴的交点的横坐标,可得r 2+8r +1＝0,r 2+1＝﹣8r ，两边平方得(r 2+1)2＝(﹣8r )2,r 4+2r 2+1＝64r 2,即可得结果r 4﹣2r 2+1＝60r 2；（3）m ＞1正确，可用比差法证明，由（2）可得r 4﹣62r 2+1＝0,即r 7﹣62r 5+r 3＝0,而m ﹣1=r 9+r 7−2r 5+r 3+r−1r 9+60r 5−1−1=rr 9+60r 5−1,再由r 2+8r +1＝0,判断r ＜0，r 9+60r 5﹣1＜0, 故r r 9+60r 5−1＞0,从而m ＞1．【解答】（1）解：∵y ＝﹣2x 2+bx +c 经过点（0，﹣2），当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大，当x ＞﹣4时，y 随x 的增大而减小,即对称轴为直线x ＝﹣4, ∴{c =−2−b −4=−4,解得{b =−16c =−2；(2)证明：由题意，抛物线的解析式为y ＝﹣2x 2﹣16x ﹣2, ∵r 是抛物线y ＝﹣2x 2﹣16x ﹣2与x 轴的交点的横坐标, ∴2r 2+16r +2＝0, ∴r 2+8r +1＝0, ∴r 2+1＝﹣8r ∴(r 2+1)2＝(﹣8r )2, ∴r 4+2r 2+1＝64r 2, ∴r 4﹣2r 2+1＝60r 2； (3)m ＞1正确，理由如下： 由（2）知：r 4﹣2r 2+1＝60r 2； ∴r 4﹣62r 2+1＝0, ∴r 7﹣62r 5+r 3＝0, 而m ﹣1=r 9+r 7−2r 5+r 3+r−1r 9+60r 5−1−1=r 9+r 7−2r 5+r 3+r−1−(r 9+60r 5−1)r 9+60r 5−1=r 7−62r 5+r 3+r r 9+60r 5−1=rr 9+60r 5−1,由（2）知：r 2+8r +1＝0, ∴8r ＝﹣r 2﹣1, ∵﹣r 2﹣1＜0,∴8r＜0,即r＜0，∴r9+60r5﹣1＜0,∴rr9+60r5−1＞0,即m﹣1＞0,∴m＞1．【点评】本题考查二次函数综合知识，涉及二次函数图象上的点坐标、对称轴、增减性、与x轴交点坐标等知识，解题的关键是用比差法时，判断r和r9+60r5﹣1的符号．。
2021年四川省自贡市中考数学真题
四川省自贡市初2021届毕业学生考试数学满分：150分 时间：120分钟本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题两部分）第I 卷 选择题（共48分）一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.自贡恐龙博物馆是世界三大恐龙博物馆之一.今年“五一黄金周”共接待游客8.87万人次，人数88700用科学记数法表示为（ ）A.50.88710⨯ B.38.8710⨯ C.48.8710⨯ D.388.710⨯2.如图是一个正方体的展开图，把展开图叠成小正方体后，有“迎”字一面的向对面上的字是（ ） A.百 B.党 C.年 D.喜3.下列运算正确的是（ ）A.22541a a -=B.23246()a b a b -=C.933a a a ÷=D.222(2)4a b a b -=-4.下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ）5.如图，AC 是正五边形ABCDE 的对角线，∠ACD 的度数是（ ）A.72°B.36°C.74°D.88°6.学校为了解“阳光体育”活动展开情况，随机调查了50名学生一周参加体育锻炼时间，数据如下表所示：这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ） A.16,15 B.11,15 C.8,8.5 D.8,97.已知23120,x x --=则代数式2395x x -++的值是（ ）A.31B.-31C.41D.-418.如图，A （8,0），C （-2,0），以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为（ ）A.（0,5）B.（5,0）C.（6,0）D.（0,6）9.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A.函数解析式为13I R=B.蓄电池的电压是18VC.当10I ≤A 时， 3.6R ≥ΩD.当6R =Ω时，4I A =时10.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点F ，OE ⊥AC 于点E ，若OE=3，OB=5，则CD 的长度是（ ）A.9.6B.C.D.1011.如图，在正方形ABCD 中，AB=6，M 是AD 边上的一动点，AM ：MD=1:2,将△BMA 沿BM 对折至△BMN ，连接DN ，则DN 的长是（ ）A.52C.312.如图，直线22y x =-+与坐标轴交于A 、B 两点，点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线3y x =-+于点Q ，△OPQ 绕点O 顺时针旋转45°，边PQ 扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（ ）A.23π B.12π C.1116π D.2132π第II 卷（非选择题 共102分）二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13.请写出一个满足不等式7x >的整数解.14.某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占30%，期末考试成绩占70%.小彤的这两项成绩依次是90,80.则小彤这学期的体育成绩是. 15.化简：22824a a -=--. 16.如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI 密码做成了数学题.小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络，那么她输入的密码是.17.如图，△ABC 的顶点均在正方形网格格点上，只用不带尺度的直尺，作出△ABC 角平分线BD （不写作法，保留作图痕迹）18.当自变量13x -≤≤时，函数||y x k =-（k 为常数）的最小值为3k +，则满足条件的k 的值为.三.解答题（共8个题，共78分） 19.本题满分（8分）|7|(2-+-.20.（本题满分8分）如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点.求证：DE=BF21.（本题满分8分）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米.请你帮小明求出办公楼的高度（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，,1.73）22.（本题满分8分）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业,现有A，B两种型号的无人机都被用来送快递，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所有时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？23.为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩为：A（优秀）、B（优良）、C（合格）、D（不合格）四个等级.小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制成了如下统计图（1）本次抽样调查的样本容量是，请补全条形统计图；（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数.24.函数图象是研究函数的重要工具.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结合自己已有的学习经验，画出函数284xy x =-+的图象，并探究其性质. 列表如下：（1）直接写出表中a ，b 的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察函数284xy x =-+的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当22x -≤≤时，函数图象关于直线y x =对称； ②2x =时，函数有最小值，最小值为-2 ③11x -<<时，函数y 的值随x 的增大而减小. 其中正确的是（请写出所有正确命题的番号） （3）结合图象，请直接写出不等式2844xx >+的解集为.25.（本题满分12分）如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，过D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ，AE ⊥CD 于点E ，交⊙O 于点F ，连接AD ，FD. （1）求证：∠DAE=∠DAC ； （2）求证：DF·AC=AD·DC ；（3）若sin ∠C=14，AD=，求EF 的长.26.（本题满分14分）如图，抛物线(x 1)(x a)y =+-(其中1a >)与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C. （1）直接写出∠OCA 的度数和线段AB 的长（用a 表示）；（2）若点D 为△ABC 的外心，且△BCD 与△ACO 4，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线(x 1)(x a)y =+-上是否存在一点P ，使得∠CAP=∠DBA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.。
2021年四川省自贡市中考数学试卷
四川省自贡市中考数学试卷一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4.00分）计算﹣3+1的结果是（）A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．22．（4.00分）下列计算正确的是（）A．（a﹣b）2=a2﹣b2 B．x+2y=3xy C． D．（﹣a3）2=﹣a6 3．（4.00分）2017年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000元，将445800000用科学记数法表示为（）A．44.58×107B．4.458×108C．4.458×109D．0.4458×10104．（4.00分）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若∠1=55°，则∠2的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．35°5．（4.00分）下面几何的主视图是（）A．B．C．D．6．（4.00分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．167．（4.00分）在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（）A．众数是98 B．平均数是90 C．中位数是91 D．方差是568．（4.00分）回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（）A．数形结合B．类比C．演绎D．公理化9．（4.00分）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．10．（4.00分）从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在函数y=图象的概率是（）A．B．C．D．11．（4.00分）已知圆锥的侧面积是8πcm2，若圆锥底面半径为R（cm），母线长为l（cm），则R关于l的函数图象大致是（）A．B．C．D．12．（4.00分）如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（）A．B．C．D．二.填空题（共6个小题，每题4分，共24分）13．（4.00分）分解因式：ax2+2axy+ay2=．14．（4.00分）化简+结果是．15．（4.00分）若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为．16．（4.00分）六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为、个．17．（4.00分）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有个○．18．（4.00分）如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8.00分）计算：|﹣|+（）﹣1﹣2cos45°．20．（8.00分）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．21．（8.00分）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1500名，估计爱好运动的学生有人；（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是．22．（8.00分）如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC和AB的长．23．（10.00分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）24．（10.00分）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=log a N．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（M•N）=log a M+log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：设log a M=m，log a N=n，则M=a m，N=a n∴M•N=a m•a n=a m+n，由对数的定义得m+n=log a（M•N）又∵m+n=log a M+log a N∴log a（M•N）=log a M+log a N解决以下问题：（1）将指数43=64转化为对数式；（2）证明log a=log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）（3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34=．25．（12.00分）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC 的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．26．（14.00分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（﹣3，0），直线AD 交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．2018年四川省自贡市中考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4.00分）计算﹣3+1的结果是（）A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．2【分析】利用异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，然后用较大的绝对值减去较小的绝对值即可．【解答】解：﹣3+1=﹣2；故选：A．【点评】本题考查了有理数的加法，比较简单，属于基础题．2．（4.00分）下列计算正确的是（）A．（a﹣b）2=a2﹣b2 B．x+2y=3xy C． D．（﹣a3）2=﹣a6【分析】根据相关的运算法则即可求出答案．【解答】解：（A）原式=a2﹣2ab+b2，故A错误；（B）原式=x+2y，故B错误；（D）原式=a6，故D错误；故选：C．【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．3．（4.00分）2017年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000元，将445800000用科学记数法表示为（）A．44.58×107B．4.458×108C．4.458×109D．0.4458×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：445800000=4.458×108，故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4.00分）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若∠1=55°，则∠2的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．35°【分析】直接利用平行线的性质结合已知直角得出∠2的度数．【解答】解：由题意可得：∠1=∠3=55°，∠2=∠4=90°﹣55°=35°．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．5．（4.00分）下面几何的主视图是（）A．B．C．D．【分析】主视图是从物体正面看所得到的图形．【解答】解：从几何体正面看，从左到右的正方形的个数为：2，1，2．故选B．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误地选其它选项．6．（4.00分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．16【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∵=，∴=，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为：16，故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．7．（4.00分）在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（）A．众数是98 B．平均数是90 C．中位数是91 D．方差是56【分析】根据众数、中位数的概念、平均数、方差的计算公式计算．【解答】解：98出现的次数最多，∴这组数据的众数是98，A说法正确；=（80+98+98+83+91）=90，B说法正确；这组数据的中位数是91，C说法正确；S2=[（80﹣90）2+（98﹣90）2+（98﹣90）2+（83﹣90）2+（91﹣90）2]=×278=55.6，D说法错误；故选：D．【点评】本题考查的是众数、中位数的概念、平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式s12=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]是解题的关键．8．（4.00分）回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（）A．数形结合B．类比C．演绎D．公理化【分析】从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质正是数形结合的数学思想的体现．【解答】解：学习了一次函数、二次函数和反比例函数，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现了数形结合的数学思想．故选：A．【点评】本题考查了函数图象，解题的关键是掌握初中数学常用的数学思想．9．（4.00分）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R．【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=R，故选：D．【点评】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键．10．（4.00分）从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在函数y=图象的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出mn=6，列表找出所有mn 的值，根据表格中mn=6所占比例即可得出结论．【解答】解：∵点（m，n）在函数y=的图象上，∴mn=6．列表如下：m﹣1﹣1﹣1222333﹣6﹣6﹣6n23﹣6﹣13﹣6﹣12﹣6﹣123mn﹣2﹣36﹣26﹣12﹣36﹣186﹣12﹣18mn的值为6的概率是=．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，通过列表找出mn=6的概率是解题的关键．11．（4.00分）已知圆锥的侧面积是8πcm2，若圆锥底面半径为R（cm），母线长为l（cm），则R关于l的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形面积公式列出关系式，根据反比例函数图象判断即可．【解答】解：由题意得，×2πR×l=8π，则R=，故选：A．【点评】本题考查的是圆锥的计算、函数图象，掌握圆锥的圆锥的侧面积的计算公式是解题的关键．12．（4.00分）如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（）A．B．C．D．【分析】作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，根据旋转变换的性质得到△MBC是等边三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出MH、CH，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，则BG=GC，AB∥MG∥CD，∴AM=MN，∵MH⊥CD，∠D=90°，∴MH∥AD，∴NH=HD，由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形，∴MC=BC=a，由题意得，∠MCD=30°，∴MH=MC=a，CH=a，∴DH=a﹣a，∴CN=CH﹣NH=a﹣（a﹣a）=（﹣1）a，∴△MNC的面积=××（﹣1）a=a2，故选：C．【点评】本题考查的是旋转变换的性质、正方形的性质，掌握正方形的性质、平行线的性质是解题的关键．二.填空题（共6个小题，每题4分，共24分）13．（4.00分）分解因式：ax2+2axy+ay2=a（x+y）2．【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．【解答】解：原式=a（x2+2xy+y2）…（提取公因式）=a（x+y）2．…（完全平方公式）【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行两次分解，注意要分解要彻底．14．（4.00分）化简+结果是．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=+=故答案为：【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运分式的运算法则，本题属于基础题型．15．（4.00分）若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为﹣1．【分析】由抛物线与x轴只有一个交点，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．【解答】解：∵函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，∴△=22﹣4×1×（﹣m）=0，解得：m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点”是解题的关键．16．（4.00分）六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为10、20个．【分析】根据二元一次方程组，可得答案．【解答】解：设甲玩具购买x个，乙玩具购买y个，由题意，得，解得，甲玩具购买10个，乙玩具购买20个，故答案为：10，20．【点评】本题考查了二次元一次方程组的应用，根据题意找出两个等量关系是解题关键．17．（4.00分）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有6055个○．【分析】每个图形的最下面一排都是1，另外三面随着图形的增加，每面的个数也增加，据此可得出规律，则可求得答案．【解答】解：观察图形可知：第1个图形共有：1+1×3，第2个图形共有：1+2×3，第3个图形共有：1+3×3，…，第n个图形共有：1+3n，∴第2018个图形共有1+3×2018=6055，故答案为：6055．【点评】本题为规律型题目，找出图形的变化规律是解题的关键，注意观察图形的变化．18．（4.00分）如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是菱形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是．【分析】根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交ABA于点P，此时PE+PF最小，求出ME即可．【解答】解：∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=AD，BC=BD，∵AC=BC，∴AC=AD=BC=BD，∴四边形ADBC是菱形，故答案为菱；如图作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交ABA于点P，此时PE+PF最小，此时PE+PF=ME，过点A作AN⊥BC，∵AD∥BC，∴ME=AN，作CH⊥AB，∵AC=BC，∴AH=，由勾股定理可得，CH=，∵，可得，AN=，∴ME=AN=，∴PE+PF最小为，故答案为．【点评】此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事实分析出最短路径是解题的关键．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8.00分）计算：|﹣|+（）﹣1﹣2cos45°．【分析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=+2﹣2×=+2﹣=2．故答案为2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．20．（8.00分）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．【分析】分别解不等式①、②求出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将其表示在数轴上，此题得解．【解答】解：解不等式①，得：x≤2；解不等式②，得：x＞1，∴不等式组的解集为：1＜x≤2．将其表示在数轴上，如图所示．【点评】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，通过解不等式组求出x的取值范围是解题的关键．21．（8.00分）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了100名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1500名，估计爱好运动的学生有600人；（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是．【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数；（2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形．（3）利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数．（4）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率．【解答】解：（1）爱好运动的人数为40，所占百分比为40%∴共调查人数为：40÷40%=100（2）爱好上网的人数所占百分比为10%∴爱好上网人数为：100×10%=10，∴爱好阅读人数为：100﹣40﹣20﹣10=30，补全条形统计图，如图所示，（3）爱好运动所占的百分比为40%，∴估计爱好运用的学生人数为：1500×40%=600（4）爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为故答案为：（1）100；（3）600；（4）【点评】本题考查统计与概率，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型．22．（8.00分）如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC和AB的长．【分析】如图作CH⊥AB于H．在Rt△求出CH、BH，这种Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题；【解答】解：如图作CH⊥AB于H．在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，∴CH=BC=6，BH==6，在Rt△ACH中，tanA==，∴AH=8，∴AC==10，∴AB=AH+BH=8+6．【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23．（10.00分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）【分析】（1）作∠ABC的角平分线交AC于E，作EO⊥AC交AB于点O，以O为圆心，OB为半径画圆即可解决问题；（2）作OH⊥BC于H．首先求出OH、EC、BE，利用△BCE∽△BED，可得=，解决问题；【解答】解：（1）⊙O如图所示；（2）作OH⊥BC于H．∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°，∴四边形ECHO是矩形，∴OE=CH=，BH=BC﹣CH=，在Rt△OBH中，OH==2，∴EC=OH=2，BE==2，∵∠EBC=∠EBD，∠BED=∠C=90°，∴△BCE∽△BED，∴=，∴=，∴DE=．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（10.00分）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=log a N．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（M•N）=log a M+log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：设log a M=m，log a N=n，则M=a m，N=a n∴M•N=a m•a n=a m+n，由对数的定义得m+n=log a（M•N）又∵m+n=log a M+log a N∴log a（M•N）=log a M+log a N解决以下问题：（1）将指数43=64转化为对数式3=log464；（2）证明log a=log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）（3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34=1．【分析】（1）根据题意可以把指数式43=64写成对数式；（2）先设log a M=m，log a N=n，根据对数的定义可表示为指数式为：M=a m，N=a n，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；（3）根据公式：log a（M•N）=log a M+log a N和log a=log a M﹣log a N的逆用，将所求式子表示为：log3（2×6÷4），计算可得结论．【解答】解：（1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：3=log464，故答案为：3=log464；（2）设log a M=m，log a N=n，则M=a m，N=a n，∴==a m﹣n，由对数的定义得m﹣n=log a，又∵m﹣n=log a M﹣log a N，∴log a=log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）log32+log36﹣log34，=log3（2×6÷4），=log33，=1，故答案为：1．【点评】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．25．（12.00分）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC 的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【分析】（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出OD=OC，同OE=OC，即可得出结论；（2）同（1）的方法得OF+OG=OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．【解答】解：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°，∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=60°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°，在Rt△OCD中，OD=OC•cos30°=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC；（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．26．（14.00分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（﹣3，0），直线AD 交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标，再根据待定系数法，可得直线的解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据PQ的长是正整数，可得PQ，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可得DR的长，根据点的坐标表示方法，可得答案．【解答】解：（1）把（1，0），（﹣3，0）代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；当x=﹣2时，y=（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3，解得y=﹣3，即D（﹣2，﹣3）．设AD的解析式为y=kx+b，将A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入，得，解得，直线AD的解析式为y=x﹣1；（2）设P点坐标为（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3），l=（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）化简，得l=﹣m2﹣m+2配方，得l=﹣（m+）2+，=；当m=﹣时，l最大（3）由（2）可知，0＜PQ≤．当PQ为边时，DR∥PQ且DR=PQ．∵R是整点，D（﹣2，﹣3），∴PQ是正整数，∴PQ=1，或PQ=2．当PQ=1时，DR=1，此时点R的横坐标为﹣2，纵坐标为﹣3+1=﹣2或﹣3﹣1=﹣4，∴R（﹣2，﹣2）或R（﹣2，﹣4）；当PQ=2时，DR=2，此时点R的横坐标为﹣2，纵坐标为﹣3+2=﹣1或﹣3﹣2=﹣5，即R（﹣2，﹣1）或R（﹣2，﹣5）．设点R的坐标为（n，n+m2+m﹣3），则QR2=2（m﹣n）2．又∵P（m，m﹣1）、D（﹣2，﹣3），∴PD2=（m+2）2，∴（m+2）2=（m﹣n）2，解得n=﹣2（不合题意，舍去）或n=2m+2．∴点R的坐标为（2m+2，m2+3m﹣1）．∵R是整点，﹣2＜m＜1，∴当m=﹣1时，点R的坐标为（0，﹣3）；当m=0时，点R的坐标为（2，﹣1）．综上所述，存在满足R的点，它的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣2，﹣4）或（﹣2，﹣1）或（﹣2，﹣5）或（0，﹣3）或（2，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用二次函数的性质；解（3）的关键是利用DR=PQ且是正整数得出DR 的长．。
2021年自贡市中考数学试卷含答案解析
2021年自贡市中考数学试卷含答案解析2021年四川省自贡市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48分） 1. 计算的结果是A. B. C. 4 D. 2 【答案】A【解析】解：；故选：A．利用异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，然后用较大的绝对值减去较小的绝对值即可．本题考查了有理数的加法，比较简单，属于基础题．2. 下列计算正确的是A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：原式，故A错误；原式，故B错误；原式，故D错误；故选：C．根据相关的运算法则即可求出答案．本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．3. 2021年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000元，将445800000用科学记数法表示为 A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：，故选：B．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，n是非负数；当原数的绝对值时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4. 在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若，则的度数是A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：由题意可得：，．故选：D．直接利用平行线的性质结合已知直角得出的度数．第1页，共15页此题主要考查了平行线的性质，正确得出的度数是解题关键．5. 下面几何的主视图是A.B.C.D.【答案】B【解析】解：从几何体正面看，从左到右的正方形的个数为：2，1，故选B．主视图是从物体正面看所得到的图形．本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误地选其它选项．E分别是AB、AC的中点，6. 如图，在中，点D、若的面积为4，则的面积为 A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D【解析】解：在中，点D、E分别是AB、AC的中点，，，∽，，，的面积为4，的面积为：16，故选：D．，直接利用三角形中位线定理得出，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出∽是解题关键．80、98、7. 在一次数学测试后，随机抽取九年级班5名学生的成绩单位：分如下：98、83、91，关于这组数据的说法错误的是 A. 众数是98 B. 平均数是90 C. 中位数是91 D. 方差是56 【答案】D第2页，共15页【解析】解：98出现的次数最多，这组数据的众数是98，A说法正确；，B说法正确；这组数据的中位数是91，C说法正确；，D说法错误；故选：D．根据众数、中位数的概念、平均数、方差的计算公式计算．本题考查的是众数、中位数的概念、平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式是解题的关键．8. 回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是A. 数形结合B. 类比C. 演绎D. 公理化【答案】A【解析】解：学习了一次函数、二次函数和反比例函数，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现了数形结合的数学思想．故选：A．从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质正是数形结合的数学思想的体现．本题考查了函数图象，解题的关键是掌握初中数学常用的数学思想．9. 如图，若内接于半径为R的，且，连接OB、OC，则边BC的长为 A.B. C.D.【答案】D【解析】解：延长BO交于D，连接CD，则，，，，，，故选：D．延长BO交圆于D，连接CD，则，；又，根据第3页，共15页锐角三角函数的定义得此题综合运用了圆周角定理、直角三角形角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键．2、3、n，这四个数中任取两数，10. 从、分别记为m、那么点在函数图象的概率是A.【答案】BB.C.D.【解析】解：点在函数的图象上，．列表如下： m n mn 2 3 2 2 2 3 3 3 3 3 62 2 6 6 6 mn的值为6的概率是．故选：B．根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出，列表找出所有mn的值，根据表格中所占比例即可得出结论．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，通过列表找出的概率是解题的关键．11. 已知圆锥的侧面积是，若圆锥底面半径为，母线长为，则R关于l的函数图象大致是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意得，，则，故选：A．根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形面积公式列出关系式，根据反比例函数图象判断即可．本题考查的是圆锥的计算、函数图象，掌握圆锥的圆锥的侧面积的计算公式是解题的关键．第4页，共15页12. 如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则的面积为A.B. C.D.【答案】C【解析】解：作于G，于H，则，，，，，，，由旋转变换的性质可知，是等边三角形，，由题意得，，，，，，的面积，故选：C．作于G，于H，根据旋转变换的性质得到是等边三角形，根CH，据直角三角形的性质和勾股定理分别求出MH、根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是旋转变换的性质、正方形的性质，掌握正方形的性质、平行线的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，共24分） 13. 分解因式： ______．【答案】【解析】解：原式提取公因式完全平方公式先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解完全平方公式：．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行两次分解，注意要分解要彻底．第5页，共15页14. 化简结果是______．【答案】【解析】解：原式故答案为：根据分式的运算法则即可求出答案．本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运分式的运算法则，本题属于基础题型．15. 若函数的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为______．【答案】【解析】解：函数的图象与x轴有且只有一个交点，，解得：．故答案为：．由抛物线与x轴只有一个交点，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当时，抛物线与x轴有1个交点”是解题的关键．16. 六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为______、______个【答案】10；20【解析】解：设甲玩具购买x个，乙玩具购买y个，由题意，得，解得，甲玩具购买10个，乙玩具购买20个，故答案为：10，20．根据二元一次方程组，可得答案．本题考查了二次元一次方程组的应用，根据题意找出两个等量关系是解题关键．17. 观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2021个图形共有______个．第6页，共15页【答案】6055【解析】解：观察图形可知：第1个图形共有：，第2个图形共有：，第3个图形共有：，，第n个图形共有：，第2021个图形共有，故答案为：6055．每个图形的最下面一排都是1，另外三面随着图形的增加，每面的个数也增加，据此可得出规律，则可求得答案．本题为规律型题目，找出图形的变化规律是解题的关键，注意观察图形的变化． 18. 如图，在中，，，将它沿AB翻折得到，则四边形ADBC的形状是______形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则的最小值是______．【答案】菱；【解析】解：沿AB翻折得到，，，，，四边形ADBC是菱形，故答案为菱；如图第7页，共15页作出F关于AB的对称点M，再过M作，交ABA于点P，此时最小，此时，过点A作，，，作，，，由勾股定理可得，，，可得，，，最小为，故答案为．根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出F关于AB的对称点M，再过M作，交ABA于点P，此时最小，求出ME即可．此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事实分析出最短路径是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共78分） 19. 计算：．【答案】解：原式．故答案为2．第8页，共15页【解析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值3个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．20. 解不等式组：，并在数轴上表示其解集．【答案】解：解不等式，得：；解不等式，得：，不等式组的解集为：．将其表示在数轴上，如图所示．【解析】分别解不等式、求出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将其表示在数轴上，此题得解．本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，通过解不等式组求出x的取值范围是解题的关键．21. 某校研究学生的课余爱好情况吧，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：在这次调查中，一共调查了______名学生；补全条形统计图；若该校共有1500名，估计爱好运动的学生有______人；在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是______．【答案】100；600；【解析】解：爱好运动的人数为40，所占百分比为共调查人数为：爱好上网的人数所占百分比为爱好上网人数为：，爱好阅读人数为：，补全条形统计图，如图所示，爱好运动所占的百分比为，估计爱好运用的学生人数为：第9页，共15页。
四川省自贡市2021版中考数学试卷(I)卷
四川省自贡市2021版中考数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·锦屏期末) 下列说法中，不正确的是（）A . 0既不是正数，也不是负数B . 1是绝对值最小的数C . 0的相反数是0D . 0的绝对值是02. （2分） (2018九上·天河期末) 下列一元二次方程中，两个实数根之和为1的是（）A . x²+x+2=0B . x²+x-2=0C . x²-x+2=0D . x²-x-2=03. （2分）(2018·惠阳模拟) 如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE=40°，则∠FGB=（）A . 40°B . 50°C . 60°D . 70°4. （2分） (2019九下·新田期中) 按如图所示的运算程序，若输入数字“9”，则输出的结果是（）A . 7B . 11﹣6C . 1D . 11﹣35. （2分） (2017九上·北京期中) 如图，已知⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为（）A . 4B . 8C . 8D . 46. （2分） (2018七上·惠来月考) 代数式的值等于1时，x的值是（）A . 3B . 1C . 4D . ﹣17. （2分）(2012·内江) 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD= ，则阴影部分图形的面积为（）A . 4πB . 2πC . πD .8. （2分） (2016八上·大悟期中) 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数为（）A . 72°B . 100°C . 108°D . 120°9. （2分）一工程动用了15台挖土运土机械，已知每台机械的挖土速度为3㎡/h，而运土速度为2㎡/h，要使挖土运土同时完成，指挥部安排了x台运土，则x应满足的方程是（）A . 2x=3(15－x)B . 3x=2(15－x)C . 15－2x=3xD . 3x－2x=1510. （2分） (2017九下·沂源开学考) 在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的．任一点，过P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E，F．如图，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象为（）A .B .C .D .11. （2分）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正确的是（）A . ②③B . ③④C . ①②④D . ②③④12. （2分） (2017八下·射阳期末) 如图，若双曲线与它的一条对称轴交于A、B两点，则线段AB称为双曲线的“对径”．若双曲线的对径长是，则 k的值为（）A . 2B . 4C . 6D .二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分 (共6题；共6分)13. （1分）tan45°________.14. （1分） (2016八上·县月考) 已知不等式组的解集为x＞3，则m的取值范围是________。
2021年中考数学真题试卷(13)(解析版)
第1页，共7页2021年中考数学真题试卷考试时间120分钟。
满分120分。
注意事项：1、答题前，考生需在答题卡左侧划线处完整填写自己的信息，并将自己的准考证号填写清楚，在准考证号区域用2B 铅笔填涂考号。
要求粘贴条形码的市、县（区），考生应认真核对条形码上的姓名、准考证号，将条形码粘贴在指定位置上。
2、答题时必须使用黑色中性（签字）笔或黑色墨迹钢笔书写，字迹工整，笔迹清楚。
3、按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损。
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1.下列各式中正确的是（ ）A.a 3·a 2=a 6B. 3ab-2ab=1C.123162+=+a a a D. a(a-3)= a 2-3a 2.小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（ ）A.中位数是3，众数是2B. 众数是1，平均数是2C.中位数是2，众数是2D. 中位数是3，平均数是2.5人数（人） 4 6 ·· · ·E FA第2页，共7页3.现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ）A.41 B. 21 C. 53 D. 434. 如图摆放的一副学生用直角三角板∠F=30°，∠C=45°，AB 与DE 相交于点G ，当EF ∥BC 时，∠EGB 的度数是（ ）A.135°B. 120°C. 115°D. 105°5.如图，菱形ABCD 的边长为13，对角线AC=24，点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG=（ ）A.13B.10C.12D.56.已知：如图，等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC=2，以点C 为圆心画弧与斜边AB 相切于点D ，则图中阴影部分的面积为（ ）A.41π-B.41-π C.42π- D. 41π+AB GE D CF第5题·DACB第6题图FE第3页，共7页7.如图，函数11+=x y 与函数xy 22=的图象相交于点M （1，m ），N （-2，n ）.若21y y >，则x 的取值范围是（ ）A.x ＜-2或0＜x ＜1B. x ＜-2或x ＞1C.-2＜x ＜0或0＜x ＜1D. -2＜x ＜0或x ＞18.如图2是图1长方体的三视图，若用S 表示面积，S 主=a 2，S 左=a 2+a ，则S 俯=（ ） A. a 2+a B. 2a 2C. a 2+2a+1 D. 2a 2+a 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9.分解因式：3a 2-6a+3=_________. 10.若二次函数k x xy ++-=22的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是________.11.有三张大小、形状完全相同的卡片.卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是_______.12.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小。
云南省2021年中考数学试卷(含解析)
2021年云南省中考数学试卷解析版数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）1．（2021云南中考，1，4分）某地区2021年元旦的最高气温为9℃，最低气温为﹣2℃，那么该地区这天的最低气温比最高气温低（）A．7℃B．﹣7℃C．11℃D．﹣11℃【考点】有理数的减法.【专题】实数；运算能力．【分析】根据题意，列出减法算式计算即可．【答案】解：9﹣（﹣2）＝9+2＝11（℃），故选C．【点评】本题考查了有理数的减法的应用，解题的关键是：减去一个数等于加上这个数的相反数．2．（2021云南中考，2，4分）如图，直线c与直线a、b都相交．若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝（）A．60°B．55°C．50°D．45°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】由对顶角相等可得，∠3＝∠1＝55°，又a∥b，由两直线平行，同位角相等可得，∠2＝∠3＝55°．【答案】解：如图，∵∠1＝55°，∠1和∠3是对顶角，∴∠3＝∠1＝55°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝55°．故选B．【点评】本题主要考查平行线的性质，对顶角相等等内容，题目比较简单，掌握相关定理可快速解答．3．（2021云南中考，3，4分）一个10边形的内角和等于（）A．1800°B．1660°C．1440°D．1200°【考点】多边形内角与外角．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【分析】根据多边形的内角和等于（n﹣2）•180°即可得解．【答案】解：根据多边形内角和公式得，10边形的内角和等于：（10﹣2）×180°＝8×180°＝1440°，故选C．【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．4．（2021云南中考，4，4分）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sin A＝35，则AB的长是（）A．5003B．5035C．60 D．80【考点】锐角三角函数的定义．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】利用三角函数定义计算出BC的长，然后再利用勾股定理计算出AB 长即可．，【答案】解：∵AC＝100，sin A＝35∴BC＝60，∴AB80，故选D．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握正弦定义．5．（2021云南中考，5，4分）若一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0【考点】根的判别式．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【分析】由一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0，a≠0，继而可求得a的范围．【答案】解：∵一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，∴a≠0，△＝b2﹣4ac＝22﹣4×a×1＝4﹣4a＞0，解得：a＜1，故选D．【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得△＞0．6．（2021云南中考，6，4分）按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是（）A．n2a n+l B．n2a n﹣1C．n n a n+1D．（n+1）2a n【考点】规律型：数字的变化类；单项式．【专题】规律型；推理能力．【分析】观察字母a 的系数、次数的规律即可写出第n 个单项式．【答案】解：∵第1个单项式a 2＝12•a 1+1，第2个单项式4a 3＝22•a 2+1，第3个单项式9a 4＝32•a 3+1，第4个单项式16a 5＝42•a 4+1，……∴第n （n 为正整数）个单项式为n 2a n +1，故选A ．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是分别从系数、字母指数寻找其与序数间的规律．7．（2021云南中考，7，4分）如图，等边△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AD 是⊙O 的直径．若OA ＝3，则劣弧BD 的长是（ ）A ．2πB ．πC ．32πD ．2π【考点】等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心．【专题】与圆有关的计算；应用意识．【分析】连接OB 、BD ，由等边△ABC ，可得∠D ＝∠C ＝60°，且OB ＝OD ，故△BOD 是等边三角形，∠BOD ＝60°，又半径OA ＝3，根据弧长公式即可得劣弧BD 的长．【答案】解：连接OB 、BD ，如图：∵等边△ABC ，∴∠C ＝60°，∵弧AB ＝弧AB ，∴∠D ＝∠C ＝60°，∵OB ＝OD ，∴△BOD 是等边三角形，∴∠BOD ＝60°，∵半径OA ＝3，∴劣弧BD 的长为603180π⨯＝π， 故选B ．【点评】本题考查等边三角形及圆的弧长，解题的关键是掌握弧长公式并能熟练应用．8．（2021云南中考，8，4分）2020年以来，我国部分地区出现了新冠疫情．一时间，疫情就是命令，防控就是责任，一方有难八方支援．某公司在疫情期间为疫区生产A 、B 、C 、D 四种型号的帐篷共20000顶，有关信息见如下统计图：下列判断正确的是（ ）A ．单独生产B 型帐篷的天数是单独生产C 型帐篷天数的3倍B．单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的1.5倍C．单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等D．每天单独生产C型帐篷的数量最多【考点】扇形统计图；条形统计图．【专题】统计的应用；应用意识．【分析】由条形统计图可得生产四种型号的帐篷的数量，分别求出四种帐篷所需天数即可判断各选项．⨯＝4（天），单独【答案】解：A项，单独生产B帐篷所需天数为2000030%1500⨯＝1（天），生产C帐篷所需天数为2000015%3000∴单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的4倍，此选项错误；⨯＝2（天），B项，单独生产A帐篷所需天数为2000045%4500∴单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的2倍，此选项错误；⨯＝2（天），C项，单独生产D帐篷所需天数为2000010%1000∴单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等，此选项正确；D项，单由条形统计图可得每天单独生产A型帐篷的数量最多，此选项错误；故选C．【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图的综合运用，解题关键在于结合两个统计图，找到总数与各部分的关系．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（2021云南中考，9，3分）已知a，b+（b﹣2）2＝0，则a﹣b＝．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【专题】实数；运算能力．【分析】根据两个非负数的和是0，因而两个非负数同时是0，即可求解．+（b﹣2）2＝00≥，（b﹣2）2≥0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2，∴a﹣b＝﹣1﹣2＝﹣3．故填﹣3．【点评】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．10．（2021云南中考，10，3分）若反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数【分析】先设y＝kx的解析式．，【答案】解：设y＝kx得k＝﹣2，把点（1，﹣2）代入函数y＝kx，则反比例函数的解析式为y＝﹣2x．故填y＝﹣2x【点评】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．11．（2021云南中考，11，3分）如图图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．已知主视图和左视图是两个全等的矩形．若主视图的相邻两边长分别为2和3，俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体的体积为．【考点】简单几何体的三视图；由三视图判断几何体．【专题】投影与视图；运算能力．【分析】由三视图得此几何体为：圆柱，并得到球的半径、圆柱的底面半径和高，由体积公式计算出几何体的体积．【答案】解：由三视图知几何体为圆柱，且底面圆的半径是1，高是3，∴这个几何体的体积为：π×12×3＝3π．故填3π．【点评】本题考查由三视图求体积，解题的关键是熟练掌握三视图的作图规则，由三视图还原出实物图的几何特征12．（2021云南中考，12，3分）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，AD 与BE 相交于点F ．若BF ＝6，则BE 的长是 ．【考点】三角形中位线定理；平行线分线段成比例．【专题】三角形；运算能力．【分析】由题意可知，DE 是△ABC 的中线，则DE ∥AB ，且DE ＝12AB ，可得DE EF AB BF＝12，代入BF 的长，可求出EF 的长，进而求出BE 的长．【答案】解：如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，∴DE ∥AB ，且DE ＝12AB ， ∴DE EF AB BF ＝12， ∵BF ＝6，∴EF ＝3．∴BE ＝BF +EF ＝9．故填9．【点评】本题主要考查三角形中位线，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识是解题基础．13．（2021云南中考，13，3分）分解因式：x 3﹣4x ＝ ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】应先提取公因式x ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【答案】解：x 3﹣4x ，＝x （x 2﹣4），＝x （x +2）（x ﹣2）．故填x （x +2）（x ﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．14．（2021云南中考，14，3分）已知△ABC 的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC 的平分线与线段AC 交于点D ．若△ABC 的一条边长为6，则点D 到直线AB 的距离为 ．【考点】角平分线的性质；正方形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；应用意识．【分析】分两种情况：①当B为直角顶点时，过D作DH⊥AB于H，由△AHDBC，若AC＝6，和△BHD是等腰直角三角形可得AH＝DH＝BH，故DH＝12则DH即点D到直线AB若AB＝BC＝6，则点D到直线AB的距离为3；②当B不是直角顶点时，过D作DH⊥BC于H，由△CDH 是等腰直角三角，得AD＝DH＝CH，证明△ABD≌△HBD(AAS)，有AB＝BH，若AB＝AC＝6时，则此时点D到直线AB的距离为6；若BC＝6，则此时点D到直线AB的距离为6﹣．【答案】解：①当B为直角顶点时，过D作DH⊥AB于H，如图：∵△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC 交于点D，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABD＝∠ADH＝45°，AD＝CD＝1AC，2∴△AHD和△BHD是等腰直角三角形，∴AH＝DH＝BH，BC，∴DH＝12若AC＝6，则BC＝AC•cos45°＝DH D到直线AB的若AB＝BC＝6，则DH＝1BC＝3，即点D到直线AB的距离为3；2②当B不是直角顶点时，过D作DH⊥BC于H，如图：∵△ABC 的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC 的平分线与线段AC 交于点D ，∴△CDH 是等腰直角三角，AD ＝DH ＝CH ， 在△ABD 和△HBD 中，ABD HBD A DBH BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△HBD (AAS)， ∴AB ＝BH ，若AB ＝AC ＝6时，BH ＝6，BC＝∴CH ＝BC ﹣BH ＝6，∴AD ＝6，即此时点D 到直线AB 的距离为6； 若BC ＝6，则AB ＝BC •cos45°＝∴BH ＝∴CH ＝6﹣∴AD ＝6﹣D 到直线AB 的距离为6﹣综上所述，点D 到直线AB3或﹣6或6﹣．故填2或3或﹣6或6﹣【点评】本题考查正方形、等腰直角三角形性质及应用，涉及角平分线、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，正确分类，画出图形．三、解答题（本大题共9小题，共70分）15．（2021云南中考，15，6分）计算：（﹣3）2+tan 452︒+1）0﹣2﹣1+23×（﹣6）．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题；运算能力．【分析】先分别计算乘方，特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，然后在按照有理数的混合运算顺序和法则进行计算． 【答案】解：原式＝9+12+1﹣12﹣4 ＝6．【点评】本题考查有理数的混合运算，特殊角三角函数值，零指数幂及负整数指数幂，掌握运算顺序准确计算是解题关键．16．（2021云南中考，16，6分）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AC ＝BD ，AC 与BD 相交于点E ．求证：∠DAC ＝∠CBD ．【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】图形的全等；几何直观．【分析】证明△CDA ≌△DCB （SSS ），即可求解． 【答案】证明：在△DCA 和△DCB 中，AD BC AC BD DC CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△CDA ≌△DCB （SSS ）， ∴∠DAC ＝∠CBD ．【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．17．（2021云南中考，17，8分）垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染、美化家园，甚至能够变废为宝、节约资源．为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织全校1565名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”（满分为100分）．该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，采用简单随机抽样的方法（即每名学生的竞赛分数被抽到的可能性相等的抽样方法）抽取部分学生的竞赛分数进行调查分析．（1）以下三种抽样调查方案：方案一：从七年级、八年级、九年级中指定部分学生的竞赛分数作为样本；方案二：从七年级、八年级中随机抽取部分男生的竞赛分数以及在九年级中随机抽取部分女生的竞赛分数作为样本；方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本．其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是（填写“方案一”、“方案二”或“方案三”）；（2）该校数学兴趣小组根据简单随机抽样方法获得的样本，绘制出如下统计表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”，学生竞赛分数记为x分）样本容量平均分及格率优秀率最高分最低分100 83.59 95% 40% 100 52分数段50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100频数 5 7 18 30 40结合上述信息解答下列问题：①样本数据的中位数所在分数段为；②全校1565名学生，估计竞赛分数达到“优秀”的学生有人．【考点】总体、个体、样本、样本容量；抽样调查的可靠性；用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数；中位数．【专题】统计的应用；应用意识．【分析】（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三符合题意；（2）①根据样本的中位数，估计总体中位数所在的范围；②样本中“优秀”人数占调查人数的40，因此估计总体1565人的40%是“优秀”．100【答案】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本进行调查分析，是最符合题意的．故填：方案三；（2）①样本总数为：5+7+18+30+40＝100（人），成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在80≤x＜90，因此中位数在80≤x＜90组中；②由题意得，1565×40＝626（人），100故填：①80≤x＜90；②626．【点评】本题考查抽样调查、中位数的意义，样本估计总体是统计中常用的方法．18．（2021云南中考，18，6分）“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场、车站、出租车、景区、手机短信……，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五•一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用A、B两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金，【考点】分式方程的应用．【专题】应用题；运算能力．【分析】设每间B 客房租金为x 元，根据“用2000元租到A 客房数量与用1600元租到B 客房数量相同”列出方程并解答．【答案】解：设每间B 客房租金为x 元，则每间A 客房租金为(x +40)元，根据题意可得：2000160040x x=+， 解得：x ＝160，经检验：x ＝160是原分式方程的解，且符合实际， 160+40＝200元，∴每间A 客房租金为200元，每间B 客房租金为160元．【点评】本题考查了分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．19．（2021云南中考，19，7分）为庆祝中国共产党成立100周年，某市组织该市七、八两个年级学生参加演讲比赛，演讲比赛的主题为“追忆百年历程，凝聚青春力量”．该市一中学经过初选，在七年级选出3名同学，其中2名女生，分别记为x 1、x 2，1名男生，记为y 1；在八年级选出3名同学，其中1名女生，记为x 3，2名男生，分别记为y 2、y 3．现分别从两个年级初选出的同学中，每个年级随机选出一名同学组成代表队参加比赛．（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求所有可能出现的代表队总数；（2）求选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P ． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】统计与概率；数据分析观念．【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以画出相应的树状图，并写出一共有多少种可能性；（2）根据（1）中的结果和树状图，可以得到选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P ． 【答案】解：（1）树状图如下图所示：由上可得，出现的代表队一共有9种可能性；（2）由（1）可知，一共9种可能性，其中一男一女出现有5种，．故选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P＝59【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是画出相应的树状图，求出相应的概率．20．（2021云南中考，20，8分）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若ED＝2AE，AB•AD＝EF•BD的值．【考点】菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【分析】（1）证明△OBF≌△ODE，得到OF＝OE即可得出结论．（2）由ED＝2AE，AB•AD＝可得出菱形BEDF的面积，进而可得出EF·BD 的值．【答案】解：（1）证明：矩形ABCD沿EF折叠，使B，D重合，∴OB＝OD，EF⊥BD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ODE＝∠OBF，在△OBF 和△ODE 中，OBF ODE OB ODBOF DOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OBF ≌△ODE （ASA ）， ∴OE ＝OF ， ∵OB ＝OD ，∴四边形BFDE 是平行四边形， ∵EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形． （2）如图，∵AB •AD ＝∴S △ABD ＝12AB •AD ＝32∵ED ＝2AE ， ∴ED ＝23AD ， ∴S △BDE :S △ABD ＝2：3， ∴S △BDE ＝12∴菱形BEDF 的面积＝12EF •BD ＝2S △BDE∴EF •BD ＝【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定与性质、矩形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．21．（2021云南中考，21，8分）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只付销售提成； 方案二：底薪加销售提成．如图中的射线l 1，射线l 2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资y 1（单位：元）和y 2（单位：元）与其当月鲜花销售量x （单位：千克）（x ≥0）的函数关系．（1）分别求y 1、y 2与x 的函数解析式（解析式也称表达式）；（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？【考点】一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．【专题】一元一次不等式(组)及应用；一次函数及其应用；应用意识． 【分析】（1）由待定系数法就可以求出解析式；（2）利用（1）中求出的两函数的解析式，把x ＝70代入求解即可． 【答案】解：（1）设y 1＝k 1x ， 根据题意得40k 1＝120， 解得k 1＝30， ∴y 1＝30x （x ≥0）； 设y 2＝k 2x +b ， 根据题意，得2800401200b k b =⎧⎨+=⎩，解得280010b k =⎧⎨=⎩， ∴y 2＝10x +800（x ≥0）； （2）当x ＝70时， y 1＝30×70＝2100＞2000； y 2＝10×70+800＝1500＜2000；∴这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次不等式的运用，设计方案的运用，解答时认真分析，弄清函数图象的意义是关键． 22．（2021云南中考，22，9分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且∠DCA ＝∠ABC ，点E 在DC 的延长线上，且BE ⊥DC ． （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）若OA OD＝23，BE ＝3，求DA 的长．【考点】圆周角定理；切线的判定与性质．【专题】与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【分析】（1）连接OC ，由等腰三角形的性质得出∠OCB ＝∠OBC ，由圆周角定理得出∠ACB ＝90°，证出∠DCO ＝90°，则可得出结论;（2）设OA ＝OB ＝2x ，OD ＝3x ，证明△DCO ∽△DEB ，由相似三角形的性质得出35OC OD BE DB ==，求出OC 的长，则可求出答案． 【答案】（1）证明:连接OC ，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ， ∵∠ABC ＝∠DCA ， ∴∠OCB ＝∠DCA ， 又∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACO +∠OCB ＝90°， ∴∠DCA +∠ACO ＝90°， 即∠DCO ＝90°， ∴DC ⊥OC ， ∵OC 是半径， ∴DC 是⊙O 的切线; （2）解：∵OA OD＝23，且OA ＝OB ， 设OA ＝OB ＝2x ，OD ＝3x ， ∴DB ＝OD +OB ＝5x ， ∴35OD DB =， 又∵BE ⊥DC ，DC ⊥OC ， ∴OC ∥BE ， ∴△DCO ∽△DEB ， ∴35OC OD BE DB ==， ∵BE ＝3， ∴OC ＝95，∴2x ＝95，∴x ＝910，∴AD ＝OD ﹣OA ＝x ＝910， 即AD 的长为910． 【点评】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与相似三角形的判定和性质是解题的关键．23．（2021云南中考，23，12分）已知抛物线y ＝﹣2x 2+bx +c 经过点（0，﹣2），当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大，当x ＞﹣4时，y 随x 的增大而减小．设r 是抛物线y ＝﹣2x 2+bx +c 与x 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，m ＝97539521601r r r r r r r +-++-+-． （1）求b 、c 的值；（2）求证：r 4﹣2r 2+1＝60r 2；（3）以下结论：m ＜1，m ＝1，m ＞1，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x 轴的交点．【专题】数与式；二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．【分析】（1）当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大，当x ＞﹣4时，y 随x 的增大而减小，可得对称轴为直线x ＝﹣4，且抛物线y ＝﹣2x 2+bx +c 经过点（0，﹣2），列出方程组即可得答案；（2）由r 是抛物线y ＝﹣2x 2﹣16x ﹣2与x 轴的交点的横坐标，可得r 2+8r +1＝0，r 2+1＝﹣8r ，两边平方得(r 2+1)2＝(﹣8r )2，r 4+2r 2+1＝64r 2，即可得结果r 4﹣2r 2+1＝60r 2；（3）m ＞1正确，可用比差法证明，由（2）可得r 4﹣62r 2+1＝0，即r 7﹣62r 5+r 3＝0，而m ﹣1＝97539521601r r r r r r r +-++-+-﹣1＝95601r r r +-，再由r 2+8r +1＝0，判断r ＜0，r 9+60r 5﹣1＜0， 故95601r r r +-＞0，从而m ＞1． 【答案】（1）解：∵y ＝﹣2x 2+bx +c 经过点（0，﹣2），当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大，当x ＞﹣4时，y 随x 的增大而减小，即对称轴为直线x ＝﹣4， ∴244c b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩-，解得216c b =-⎧⎨=-⎩； （2）证明：由题意，抛物线的解析式为y ＝﹣2x 2﹣16x ﹣2，∵r 是抛物线y ＝﹣2x 2﹣16x ﹣2与x 轴的交点的横坐标，∴2r 2+16r +2＝0，∴r 2+8r +1＝0，∴r 2+1＝﹣8r∴(r 2+1)2＝(﹣8r )2，∴r 4+2r 2+1＝64r 2，∴r 4﹣2r 2+1＝60r 2；（3）m ＞1正确，理由如下：由（2）知：r 4﹣2r 2+1＝60r 2；∴r 4﹣62r 2+1＝0，∴r 7﹣62r 5+r 3＝0，而m ﹣1＝97539521601r r r r r r r +-++-+-﹣1＝95601r r r +- 由（2）知：r 2+8r +1＝0，∴8r ＝﹣r 2﹣1，∵﹣r 2﹣1＜0，∴8r ＜0，即r ＜0，∴r 9+60r 5﹣1＜0， ∴95601r r r +-＞0， 即m ﹣1＞0，∴m ＞1．【点评】本题考查二次函数综合知识，涉及二次函数图象上的点坐标、对称轴、增减性、与x 轴交点坐标等知识，解题的关键是用比差法时，判断r 和r 9+60r 5﹣1的符号．。
2021年云南省中考数学试卷及答案解析
2021年云南省中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）1．（4分）（2021•云南）某地区2021年元旦的最高气温为9C ︒，最低气温为2C ︒-，那么该地区这天的最低气温比最高气温低( )A ．7C ︒B ．7C ︒- C ．11C ︒D ．11C ︒-2．（4分）（2021•云南）如图，直线c 与直线a 、b 都相交．若//a b ，155∠=︒，则2(∠= )A ．60︒B ．55︒C ．50︒D ．45︒3．（4分）（2021•云南）一个10边形的内角和等于( )A ．1800︒B ．1660︒C ．1440︒D ．1200︒4．（4分）（2021•云南）在ABC ∆中，90ABC ∠=︒．若100AC =，3sin 5A =，则AB 的长是( )A ．5003B ．5035C ．60D ．805．（4分）（2021•云南）若一元二次方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．1a <B ．1aC ．1a 且0a ≠D ．1a <且0a ≠6．（4分）（2021•云南）按一定规律排列的单项式：2a ，34a ，49a ，516a ，625a ，⋯，第n 个单项式是( )A ．2n l n a +B ．21n n a -C ．1n n n a +D ．2(1)n n a +7．（4分）（2021•云南）如图，等边ABC ∆的三个顶点都在O 上，AD 是O 的直径．若3OA =，则劣弧BD 的长是( )A ．2πB ．πC ．32πD ．2π8．（4分）（2021•云南）2020年以来，我国部分地区出现了新冠疫情．一时间，疫情就是命令，防控就是责任，一方有难八方支援．某公司在疫情期间为疫区生产A 、B 、C 、D 四种型号的帐篷共20000顶，有关信息见如下统计图：下列判断正确的是( )A ．单独生产B 型帐篷的天数是单独生产C 型帐篷天数的3倍B ．单独生产B 型帐篷的天数是单独生产A 型帐篷天数的1.5倍C ．单独生产A 型帐篷与单独生产D 型帐篷的天数相等D ．每天单独生产C 型帐篷的数量最多二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）（2021•云南）已知a ，b 21(2)0a b +-=，则a b -= ．10．（3分）（2021•云南）若反比例函数的图象经过点(1,2)-，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为 ．11．（3分）（2021•云南）如图图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．已知主视图和左视图是两个全等的矩形．若主视图的相邻两边长分别为2和3，俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体的体积为 ．12．（3分）（2021•云南）如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，AD 与BE 相交于点F ．若6BF =，则BE 的长是 ．13．（3分）（2021•云南）分解因式：34x x -= ．14．（3分）（2021•云南）已知ABC ∆的三个顶点都是同一个正方形的顶点，ABC ∠的平分线与线段AC 交于点D ．若ABC ∆的一条边长为6，则点D 到直线AB 的距离为 ．三、解答题（本大题共9小题，共70分）15．（6分）（2021•云南）计算：201tan 452(3)(21)2(6)23-︒-++-+⨯-． 16．（6分）（2021•云南）如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AC BD =，AC 与BD 相交于点E ．求证：DAC CBD ∠=∠．17．（8分）（2021•云南）垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染、美化家园，甚至能够变废为宝、节约资源．为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织全校1565名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”（满分为100分）．该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，采用简单随机抽样的方法（即每名学生的竞赛分数被抽到的可能性相等的抽样方法）抽取部分学生的竞赛分数进行调查分析．（1）以下三种抽样调查方案：方案一：从七年级、八年级、九年级中指定部分学生的竞赛分数作为样本；方案二：从七年级、八年级中随机抽取部分男生的竞赛分数以及在九年级中随机抽取部分女生的竞赛分数作为样本；方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本．其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是 （填写“方案一”、“方案二”或“方案三” )；（2）该校数学兴趣小组根据简单随机抽样方法获得的样本，绘制出如下统计表(90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”，学生竞赛分数记为x 分） 样本容量平均分 及格率 优秀率 最高分 最低分 10083.59 95% 40% 100 52 分数段5060x < 6070x < 7080x < 8090x < 90100x 频数 5 7 18 30 40 结合上述信息解答下列问题：①样本数据的中位数所在分数段为 ；②全校1565名学生，估计竞赛分数达到“优秀”的学生有 人．18．（6分）（2021•云南）“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场、车站、出租车、景区、手机短信⋯⋯，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五⋅一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用A 、B 两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A 、B 两种客房每间客房的租金，19．（7分）（2021•云南）为庆祝中国共产党成立100周年，某市组织该市七、八两个年级学生参加演讲比赛，演讲比赛的主题为“追忆百年历程，凝聚青春力量”．该市一中学经过初选，在七年级选出3名同学，其中2名女生，分别记为1x 、2x ，1名男生，记为1y ；在八年级选出3名同学，其中1名女生，记为3x ，2名男生，分别记为2y 、3y ．现分别从两个年级初选出的同学中，每个年级随机选出一名同学组成代表队参加比赛．（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求所有可能出现的代表队总数；（2）求选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P ．20．（8分）（2021•云南）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是线段AD 、BC 上的点，点O 是EF 与BD 的交点．若将BED ∆沿直线BD 折叠，则点E 与点F 重合．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若2ED AE =，33AB AD ⋅=，求EF BD ⋅的值．21．（8分）（2021•云南）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案． 方案一：没有底薪，只付销售提成；方案二：底薪加销售提成．如图中的射线1l ，射线2l 分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资1y （单位：元）和2y （单位：元）与其当月鲜花销售量x （单位：千克）(0)x 的函数关系．（1）分别求1y 、2y 与x 的函数解析式（解析式也称表达式）；（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？22．（9分）（2021•云南）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC 是O 的切线；（2）若23OA OD =，3BE =，求DA 的长．23．（12分）（2021•云南）已知抛物线22y x bx c =-++经过点(0,2)-，当4x <-时，y 随x 的增大而增大，当4x >-时，y 随x 的增大而减小．设r 是抛物线22y x bx c =-++与x 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，97539521601r r r r r m r r +-++-=+-． （1）求b 、c 的值；（2）求证：4222160r r r -+=；（3）以下结论：1m <，1m =，1m >，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．2021年云南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）1．（4分）（2021•云南）某地区2021年元旦的最高气温为9C ︒，最低气温为2C ︒-，那么该地区这天的最低气温比最高气温低( )A ．7C ︒B ．7C ︒- C ．11C ︒D ．11C ︒-【分析】根据题意，列出减法算式计算即可．【解答】解：9(2)--92=+11(C)︒=，故选：C ．【点评】本题考查了有理数的减法的应用，解题的关键是：减去一个数等于加上这个数的相反数．2．（4分）（2021•云南）如图，直线c 与直线a 、b 都相交．若//a b ，155∠=︒，则2(∠= )A ．60︒B ．55︒C ．50︒D ．45︒【分析】由对顶角相等可得，3155∠=∠=︒，又//a b ，由两直线平行，同位角相等可得，2355∠=∠=︒．【解答】解：如图，155∠=︒，1∠和3∠是对顶角，3155∴∠=∠=︒，//a b ，2355∴∠=∠=︒．故选：B ．【点评】本题主要考查平行线的性质，对顶角相等等内容，题目比较简单，掌握相关定理可快速解答．3．（4分）（2021•云南）一个10边形的内角和等于( )A ．1800︒B ．1660︒C ．1440︒D ．1200︒【分析】根据多边形的内角和等于(2)180n -⋅︒即可得解．【解答】解：根据多边形内角和公式得，10边形的内角和等于：(102)180********-⨯︒=⨯︒=︒，故选：C ．【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．4．（4分）（2021•云南）在ABC ∆中，90ABC ∠=︒．若100AC =，3sin 5A =，则AB 的长是( ) A ．5003 B ．5035 C ．60 D ．80【分析】利用三角函数定义计算出BC 的长，然后再利用勾股定理计算出AB 长即可．【解答】解：100AC =，3sin 5A =， 60BC ∴=， 2280AB AC BC ∴-，故选：D ．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握正弦定义．5．（4分）（2021•云南）若一元二次方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．1a <B ．1aC ．1a 且0a ≠D ．1a <且0a ≠【分析】由一元二次方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根，即可得判别式△0>，0a ≠，继而可求得a 的范围．【解答】解：一元二次方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根，0a ∴≠，△224241440b ac a a =-=-⨯⨯=->，解得：1a <，故选：D ．【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得△0>．6．（4分）（2021•云南）按一定规律排列的单项式：2a ，34a ，49a ，516a ，625a ，⋯，第n 个单项式是( )A ．2n l n a +B ．21n n a -C ．1n n n a +D ．2(1)n n a +【分析】观察字母a 的系数、次数的规律即可写出第n 个单项式．【解答】解：第1个单项式22111a a +=⋅，第2个单项式322142a a +=⋅，第3个单项式423193a a +=⋅，第4个单项式5241164a a +=⋅，⋯⋯∴第(n n 为正整数）个单项式为21n n a +，故选：A ．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是分别从系数、字母指数寻找其与序数间的规律．7．（4分）（2021•云南）如图，等边ABC ∆的三个顶点都在O 上，AD 是O 的直径．若3OA =，则劣弧BD 的长是( )A ．2πB ．πC ．32π D ．2π【分析】连接OB 、BD ，由等边ABC ∆，可得60D C ∠=∠=︒，且OB OD =，故BOD ∆是等边三角形，60BOD ∠=︒，又半径3OA =，根据弧长公式即可得劣弧BD 的长． 【解答】解：连接OB 、BD ，如图：等边ABC ∆，60C ∴∠=︒，弧AB =弧AB ，60D C ∴∠=∠=︒， OB OD =，BOD ∴∆是等边三角形， 60BOD ∴∠=︒，半径3OA =， ∴劣弧BD 的长为603180ππ⨯=， 故选：B ．【点评】本题考查等边三角形及圆的弧长，解题的关键是掌握弧长公式并能熟练应用．8．（4分）（2021•云南）2020年以来，我国部分地区出现了新冠疫情．一时间，疫情就是命令，防控就是责任，一方有难八方支援．某公司在疫情期间为疫区生产A、B、C、D四种型号的帐篷共20000顶，有关信息见如下统计图：下列判断正确的是()A．单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的3倍B．单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的1.5倍C．单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等D．每天单独生产C型帐篷的数量最多【分析】由条形统计图可得生产四种型号的帐篷的数量，分别求出四种帐篷所需天数即可判断各选项．【解答】解：A、单独生产B帐篷所需天数为2000030%41500⨯=（天)，单独生产C帐篷所需天数为2000015%13000⨯=（天)，∴单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的4倍，此选项错误；B、单独生产A帐篷所需天数为2000045%24500⨯=（天)，∴单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的2倍，此选项错误；C、单独生产D帐篷所需天数为2000010%21000⨯=（天)，∴单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等，此选项正确；D、单由条形统计图可得每天单独生产A型帐篷的数量最多，此选项错误；故选：C．【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图的综合运用，解题关键在于结合两个统计图，找到总数与各部分的关系．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）（2021•云南）已知a ，b 2(2)0b -=，则a b -= 3- ． 【分析】根据两个非负数的和是0，因而两个非负数同时是0，即可求解．【解答】解：2(2)0b -=0，2(2)0b -，10a ∴+=，20b -=，解得1a =-，2b =，123a b ∴-=--=-．故答案为：3-．【点评】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．10．（3分）（2021•云南）若反比例函数的图象经过点(1,2)-，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为 2y x=- ． 【分析】先设ky x =，再把已知点的坐标代入可求出k 值，即得到反比例函数的解析式． 【解答】解：设k y x=， 把点(1,2)-代入函数ky x=得2k =-， 则反比例函数的解析式为2y x=-， 故答案为2y x=-．【点评】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．11．（3分）（2021•云南）如图图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．已知主视图和左视图是两个全等的矩形．若主视图的相邻两边长分别为2和3，俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体的体积为 3π ．【分析】由三视图得此几何体为：圆柱，并得到球的半径、圆柱的底面半径和高，由体积公式计算出几何体的体积．【解答】解：由三视图知几何体为圆柱， 且底面圆的半径是1，高是3，∴这个几何体的体积为：2133ππ⨯⨯=．故选:3π．【点评】本题考查由三视图求体积，解题的关键是熟练掌握三视图的作图规则，由三视图还原出实物图的几何特征12．（3分）（2021•云南）如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，AD 与BE 相交于点F ．若6BF =，则BE 的长是 9 ．【分析】由题意可知，DE 是ABC ∆的中线，则//DE AB ，且12DE AB =，可得12DE EF AB BF ==，代入BF 的长，可求出EF 的长，进而求出BE 的长． 【解答】解：如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，//DE AB ∴，且12DE AB =， ∴12DE EF AB BF ==，6BF=，3EF∴=．9BE BF EF∴=+=．故答案为：9．【点评】本题主要考查三角形中位线，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识是解题基础．13．（3分）（2021•云南）分解因式：34x x-=(2)(2)x x x+-．【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：34x x-，2(4)x x=-，(2)(2)x x x=+-．故答案为：(2)(2)x x x+-．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．14．（3分）（2021•云南）已知ABC∆的三个顶点都是同一个正方形的顶点，ABC∠的平分线与线段AC交于点D．若ABC∆的一条边长为6，则点D到直线AB的距离为322或3或626-或632-．【分析】分两种情况：①当B为直角顶点时，过D作DH AB⊥于H，由AHD∆和BHD∆是等腰直角三角形可得AH D H BH==，故12DH BC=，若6AC=，则32DH=，即点D到直线AB 32；若6AB BC==，则点D到直线AB的距离为3；②当B不是直角顶点时，过D作DH BC⊥于H，由CDH∆是等腰直角三角，得AD DH CH==，证明()ABD HBD AAS∆≅∆，有AB BH=，若6AB AC==时，则此时点D到直线AB的距离为626-；若6BC=，则此时点D到直线AB 的距离为632-．【解答】解：①当B为直角顶点时，过D作DH AB⊥于H，如图：ABC∆的三个顶点都是同一个正方形的顶点，ABC∠的平分线与线段AC交于点D，ABC∴∆是等腰直角三角形，45ABD ADH∠=∠=︒，12AD CD AC==，AHD∴∆和BHD∆是等腰直角三角形，AH D H BH∴==，12DH BC∴=，若6AC=，则cos4532BC AC=⋅︒=，此时32DH=，即点D到直线AB的距离为32；若6AB BC==，则132DH BC==，即点D到直线AB的距离为3；②当B不是直角顶点时，过D作DH BC⊥于H，如图：ABC∆的三个顶点都是同一个正方形的顶点，ABC∠的平分线与线段AC交于点D，CDH∴∆是等腰直角三角，AD DH CH==，在ABD∆和HBD∆中，ABD HBDA DHBBD BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD HBD AAS∴∆≅∆，AB BH∴=，若6AB AC==时，6BH=，2262BC AB AC+=626CH BC BH ∴=-=-，626AD ∴=-，即此时点D 到直线AB 的距离为626-；若6BC =，则cos4532AB BC =⋅︒=， 32BH ∴=， 632CH ∴=-，632AD ∴=-，即此时点D 到直线AB 的距离为632-；综上所述，点D 到直线AB 的距离为32或3或626-或632-． 故答案为：32或3或626-或632-． 【点评】本题考查正方形、等腰直角三角形性质及应用，涉及角平分线、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，正确分类，画出图形． 三、解答题（本大题共9小题，共70分） 15．（6分）（2021•云南）计算：201tan 452(3)(21)2(6)23-︒-++--+⨯-． 【分析】先分别计算乘方，特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，然后在按照有理数的混合运算顺序和法则进行计算． 【解答】解：原式1191422=++-- 6=．【点评】本题考查有理数的混合运算，特殊角三角函数值，零指数幂及负整数指数幂，掌握运算顺序准确计算是解题关键．16．（6分）（2021•云南）如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AC BD =，AC 与BD 相交于点E ．求证：DAC CBD ∠=∠．【分析】证明()CDA DCB SSS ∆≅∆，即可求解． 【解答】证明：在DCA ∆和DCB ∆中，AD BC AC BD DC CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()CDA DCB SSS ∴∆≅∆，DAC CBD ∴∠=∠．【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．17．（8分）（2021•云南）垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染、美化家园，甚至能够变废为宝、节约资源．为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织全校1565名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”（满分为100分）．该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，采用简单随机抽样的方法（即每名学生的竞赛分数被抽到的可能性相等的抽样方法）抽取部分学生的竞赛分数进行调查分析． （1）以下三种抽样调查方案：方案一：从七年级、八年级、九年级中指定部分学生的竞赛分数作为样本；方案二：从七年级、八年级中随机抽取部分男生的竞赛分数以及在九年级中随机抽取部分女生的竞赛分数作为样本；方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本． 其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是 方案三 （填写“方案一”、“方案二”或“方案三” )；（2）该校数学兴趣小组根据简单随机抽样方法获得的样本，绘制出如下统计表(90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”，学生竞赛分数记为x 分）5 7 18 30 40结合上述信息解答下列问题：①样本数据的中位数所在分数段为 ；②全校1565名学生，估计竞赛分数达到“优秀”的学生有 人．【分析】（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三符合题意； （2）①根据样本的中位数，估计总体中位数所在的范围； ②样本中“优秀”人数占调查人数的40100，因此估计总体1565人的40%是“优秀”． 【解答】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本进行调查分析，是最符合题意的． 故答案为：方案三；（2）①样本总数为：57183040100++++=（人)，成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在8090x <，因此中位数在8090x <组中； ②由题意得，401565626100⨯=（人)， 故答案为：①8090x <；②626．【点评】本题考查抽样调查、中位数的意义，样本估计总体是统计中常用的方法． 18．（6分）（2021•云南）“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场、车站、出租车、景区、手机短信⋯⋯，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五⋅一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用A 、B 两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A 、B 两种客房每间客房的租金， 【分析】设每间B 客房租金为x 元，根据“用2000元租到A 客房数量与用1600元租到B 客房数量相同”列出方程并解答．【解答】解：设每间B 客房租金为x 元，则每间A 客房租金为(40)x +元，根据题意可得：2000160040x x=+， 解得：160x =，经检验：160x =是原分式方程的解，且符合实际，16040200+=元，∴每间A 客房租金为200元，每间B 客房租金为160元．【点评】本题考查了分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．19．（7分）（2021•云南）为庆祝中国共产党成立100周年，某市组织该市七、八两个年级学生参加演讲比赛，演讲比赛的主题为“追忆百年历程，凝聚青春力量”．该市一中学经过初选，在七年级选出3名同学，其中2名女生，分别记为1x 、2x ，1名男生，记为1y ；在八年级选出3名同学，其中1名女生，记为3x ，2名男生，分别记为2y 、3y ．现分别从两个年级初选出的同学中，每个年级随机选出一名同学组成代表队参加比赛．（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求所有可能出现的代表队总数；（2）求选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P ．【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以画出相应的树状图，并写出一共有多少种可能性；（2）根据（1）中的结果和树状图，可以得到选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P ．【解答】解：（1）树状图如下图所示：由上可得，出现的代表队一共有9种可能性；（2）由（1）可知，一共9种可能性，其中一男一女出现有5种， 故选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率59P =． 【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是画出相应的树状图，求出相应的概率．20．（8分）（2021•云南）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是线段AD 、BC 上的点，点O 是EF 与BD 的交点．若将BED ∆沿直线BD 折叠，则点E 与点F 重合．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若2ED AE =，33AB AD ⋅=，求EF BD ⋅的值．【分析】（1）证明OBF ODE ∆≅∆，得到OF OE =即可得出结论．（2）由2ED AE =，33AB AD ⋅=可得出菱形BEDF 的面积，进而可得出EF BD ⋅的值．【解答】解：（1）证明：矩形ABCD 沿EF 折叠，使B ，D 重合，OB OD ∴=，EF BD ⊥，四边形ABCD 是矩形，90C ∴∠=︒，//AD BC ，ODE OBF ∴∠=∠，在OBF ∆和ODE ∆中，OBF ODE OB ODBOF DOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()OBF ODE ASA ∴∆≅∆，OE OF ∴=，OB OD =，∴四边形BFDE 是平行四边形，EF BD ⊥， ∴四边形BFDE 是菱形．（2）如图，33AB AD ⋅=， 13322ABD S AB AD ∆∴=⋅=2ED AE =， 23ED AD ∴=， :2:3BDE ABD S S ∆∆∴=，3BDE S ∆∴=，∴菱形BEDF 的面积12232BDE EF BD S ∆=⋅==， 43EF BD ∴⋅=． 【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定与性质、矩形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．21．（8分）（2021•云南）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只付销售提成；方案二：底薪加销售提成．如图中的射线1l ，射线2l 分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资1y （单位：元）和2y （单位：元）与其当月鲜花销售量x （单位：千克）(0)x 的函数关系．（1）分别求1y 、2y 与x 的函数解析式（解析式也称表达式）；（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？【分析】（1）由待定系数法就可以求出解析式；（2）利用（1）中求出的两函数的解析式，把70x =代入求解即可．【解答】解：（1）设11y k x =，根据题意得140120k =，解得130k =，130(0)y x x ∴=；设22y k x b =+，根据题意，得2800401200b k b =⎧⎨+=⎩，解得210800k b =⎧⎨=⎩， 210800(0)y x x ∴=+；（2）当70x =时，1307021002000y =⨯=>；2107080015002000y =⨯+=<；∴这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次不等式的运用，设计方案的运用，解答时认真分析，弄清函数图象的意义是关键．22．（9分）（2021•云南）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC 是O 的切线；（2）若23OA OD =，3BE =，求DA 的长．【分析】（1）连接OC ，由等腰三角形的性质得出OCB OBC ∠=∠，由圆周角定理得出90ACB ∠=︒，证出90DCO ∠=︒，则可得出结论；（2）设2OA OB x ==，3OD x =，证明DCO DEB ∆∆∽，由相似三角形的性质得出35OC OD BE DB ==，求出OC 的长，则可求出答案． 【解答】（1）证明：连接OC ，OC OB =，OCB OBC ∴∠=∠，ABC DCA ∠=∠，OCB DCA ∴∠=∠，又AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，90ACO OCB ∴∠+∠=︒，90DCA ACO ∴∠+∠=︒，即90DCO ∠=︒，DC OC ∴⊥，OC 是半径，DC ∴是O 的切线；（2）解：23OA OD =，且OA OB =， 设2OA OB x ==，3OD x =，5DB OD OB x ∴=+=， ∴35OD DB =， 又BE DC ⊥，DC OC ⊥， //OC BE ∴，DCO DEB ∴∆∆∽， ∴35OC OD BE DB ==， 3BE =，95OC ∴=， 925x ∴=， 910x ∴=， 910AD OD OA x ∴=-==， 即AD 的长为910． 【点评】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与相似三角形的判定和性质是解题的关键．23．（12分）（2021•云南）已知抛物线22y x bx c =-++经过点(0,2)-，当4x <-时，y 随x 的增大而增大，当4x >-时，y 随x 的增大而减小．设r 是抛物线22y x bx c =-++与x 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，97539521601r r r r r m r r +-++-=+-． （1）求b 、c 的值；（2）求证：4222160r r r -+=；（3）以下结论：1m <，1m =，1m >，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．【分析】（1）当4x <-时，y 随x 的增大而增大，当4x >-时，y 随x 的增大而减小,可得对称轴为直线4x =-,且抛物线22y x bx c =-++经过点(0,2)-，列出方程组即可得答案；（2）由r 是抛物线22162y x x =---与x 轴的交点的横坐标,可得2810r r ++=,218r r +=-，两边平方得222(1)(8)r r +=-,4222164r r r ++=,即可得结果4222160r r r -+=；（3）1m >正确，可用比差法证明，由（2）可得426210r r -+=,即753620r r r -+=,而975395952111601601r r r r r r m r r r r +-++--=-=+-+-,再由2810r r ++=,判断0r <，956010r r +-<, 故950601r r r >+-,从而1m >． 【解答】（1）解：22y x bx c =-++经过点(0,2)-，当4x <-时，y 随x 的增大而增大，当4x >-时，y 随x 的增大而减小,即对称轴为直线4x =-, ∴244c b =-⎧⎪⎨-=-⎪⎩-,解得162b c =-⎧⎨=-⎩； (2)证明：由题意，抛物线的解析式为22162y x x =---, r 是抛物线22162y x x =---与x 轴的交点的横坐标,221620r r ∴++=,2810r r ∴++=,218r r ∴+=-222(1)(8)r r ∴+=-,4222164r r r ∴++=,4222160r r r ∴-+=；(3)1m >正确，理由如下：由（2）知：4222160r r r -+=；426210r r ∴-+=,753620r r r ∴-+=, 而9753952111601r r r r r m r r +-++--=-+- 9753959521(601)601r r r r r r r r r +-++--+-=+- 7539562601r r r r r r -++=+-95601r r r =+-, 由（2）知：2810r r ++=,281r r ∴=--,210r --<,80r ∴<,即0r <，956010r r ∴+-<, ∴950601r r r >+-, 即10m ->,1m ∴>．【点评】本题考查二次函数综合知识，涉及二次函数图象上的点坐标、对称轴、增减性、与x 轴交点坐标等知识，解题的关键是用比差法时，判断r 和95601r r +-的符号．。