【考前三个月】(江苏专用)高考数学 压轴大题突破练 概率与统计

中档大题规范练——概率与统计
1．第12届全运会已于2013年8月31日在辽宁沈阳举行，组委会在沈阳某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)，身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm 以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”．
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；
(2)若从身高180 cm 以上(包括180 cm)的志愿者中选出男、女各一人，求这2人身高相差5 cm 以上的概率．
解 (1)根据茎叶图知，“高个子”有12人，“非高个子”有18人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，
所以抽取的5人中，“高个子”有12×16＝2人，“非高个子”有18×16＝3人．
“高个子”用A ，B 表示，“非高个子”用a ，b ，c 表示，则从这5人中选2人的情况有(A ，B)，(A ，a)，(A ，b)，(A ，c)，(B ，a)，(B ，b)，(B ，c)，(a ，b)，(a ，c)，(b ，c)，共10种，
至少有一名“高个子”被选中的情况有(A ，B)，(A ，a)，(A ，b)，(A ，c)，(B ，a)，(B ，b)，(B ，c)，共7种．
因此，至少有一人是“高个子”的概率是P ＝710.
(2)由茎叶图知，有5名男志愿者身高在180 cm 以上(包括180 cm)，身高分别为181 cm,182 cm,184 cm,187 cm,191 cm ；有2名女志愿者身高为180 cm 以上(包括180 cm)，身高分别为180 cm,181 cm.抽出的2人用身高表示，则有(181,180)，(181,181)，(182,180)，(182,181)，(184,180)，(184,181)，(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共10种情况，
身高相差5 cm 以上的有(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共4种情况，故这2人
身高相差5 cm 以上的概率为410＝25.
2．(2013·北京)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；
(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
解 (1)在3月1日至3月13日到达这13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6天的空气质量优良．
所以，此人到达当日空气质量优良的概率P ＝613.
(2)事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”发生，则该人到达日期应在4日，5日，7日或8日．
所以，只有一天空气重度污染的概率P ＝413.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
3．先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x 表示第1枚骰子出现的点数，y 表示第2枚骰子出现的点数．
(1)求点P(x ，y)在直线y ＝x －2上的概率；
(2)求点P(x ，y)满足y2<2x 的概率．
解 每枚骰子出现的点数都有6种情况，
所以，基本事件总数为6×6＝36(个)．
(1)记“点P(x ，y)在直线y ＝x －2上”为事件A ，
则事件A 有4个基本事件：(3,1)，(4,2)，(5,3)，(6,4)，
所以，P(A)＝436＝19.
(2)记“点P(x ，y)满足y2<2x”为事件B ，
则事件B 有12个基本事件：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，
所以，P(B)＝1236＝13.
4
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；
(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？
(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．
解 (1)苹果的重量在[90,95)的频率为2050＝0.4.
(2)重量在[80,85)的有55＋15
×4＝1个． (3)设[80,85)段中的苹果为A ，[95,100)段中的苹果为B 、C 、D ，从中任取两个，其一切可能的基本事件有(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(B ，C)，(B ，D)，(C ，D)共6种，设“重量在[80,85)和[95,100)中各有1个”为事件E ，其包括(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)共3种．
则P(E)＝36＝12.
5．有编号为1,2,3的三个白球，编号为4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，
现从中任意取出两个球．
(1)求取得的两个球颜色相同的概率；
(2)求取得的两个球颜色不相同的概率．
解 从六个球中取出两个球的基本事件有
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共计15个基本事件．
(1)记事件A 为“取出的两个球是白球”，则这个事件包含的基本事件的是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共
计3个基本事件，故P(A)＝315＝15.
记事件B 为“取出的两个球是黑球”，同理可得P(B)＝15.
记事件C 为“取出的两个球的颜色相同”，则C ＝A ＋B ，且A ，B 互斥，根据互斥事件的概率加
法公式，得P(C)＝P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)＝25.
(2)记事件D 为“取出的两个球的颜色不相同”，则事件C ，D 互斥，根据互斥事件概率之间的关
系，得P(D)＝1－P(C)＝1－25＝35.
6．(2014·福建)根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1 035美元为低收入国家；人均GDP 为1 035～4 085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4 085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：
(1)判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；
(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．
解 (1)设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为1a (8 000×0.25a ＋4 000×0.30a ＋6 000×0.15a
＋3 000×0.10a ＋10 000×0.20a)＝6 400.
因为6 400∈[4 085,12 616)，
所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准．
(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是{A ，B}，{A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{C ，D}，{C ，E}，{D ，E}，共10个．
设事件“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为M ，
则事件M 包含的基本事件是：{A ，C}，{A ，E}，{C ，E}，共3个，所以所求概率为P(M)＝310.。