巴蜀中学2019届高考适应性月考卷(三)理数-答案
3 3
【解析】
16．由 AD AB (1 ) AC ，得 CD CB ，又 | CD | 2 ， | BC | 2
3 ，所以
3 3
.
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
分）
19．（本小题满分 12 分）
（1）证明： 取AC的中点E，连接DE与BE，
∵底面是等边三角形，且AB AA1， ∴三棱柱的各个侧面均为菱形，∴A1C AC1， ∵E，D点分别为AC，CC1的中点，∴ED∥AC1，∴A1C ED， 又∵A1C BD，∴A1C 平面BDE，∴A1C BE， 又∵BE AC，A1C AC C，∴BE 平面ACC1A1， ∵BE 平面ABC，∴平面ABC 平面ACC1A1. ………………………………………（5 分）
巴蜀中学 2019 届高考适应性月考卷（三） 理科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 C B A D B D C A D B C B
【解析】
12．分离参数法，
a
x2 3 ex
，令
g(x)
x2 3 ex
设平面BAC1与平面AC1C的法向量分别为n1，n2，
则
AACB1nn1100，，即3
3x1 y1
3y1z10，0，可取n1
(1，
3，3)， ……………………………（7 分）
由（1）可取n2 (1，0，0)， ……………………………………………………………（9 分）
x2 a2
y2
3 4
a
2
1，
当x
2a 2
时，y
6 4
a，
………………………………………………………………（2
分）
∴S△AOB
2
1 2
2a 2
6 4
a
3 4
a2
4
3，故a 4，
∴椭圆C的标准方程为
x2 16
y2 12
1.
…………………………………………………（4 分）
∴co〈s n1，n2〉
1
13 1
13 ， 13
观察知二面角B AC1 C为锐角，
故二面角B
AC1
C的余弦值为
13 13
.Leabharlann ………………………………………………（12 分）
20．（本小题满分 12 分）
解：（1）∵e
c a
1 2
，∴b2
3 4
a2，代入椭圆C中，有
0)
C220 C320
8378，∴P(
1)
C120C110 C320
40 87
，∴P(
2)
C120 C320
9 87
，
………（10 分）
故 的分布列为
0
1
2
38
40
9
P
87
87
87
∴E(
)
1
40 87
2
9 87
2 3
．……………………………………………………………（12
x2
4k82km3 ，x1 x2
4m2 4k 2
48 3
，
……………………………………（6 分）
故S△AOB
1 2
| m ||
x1
x2
|
1 2
|
m|
( x1
x2 )2
4x1x2
1 2
|
m
|
8km 4k2 3
2
4
4m2 4k 2
48 3
1 2
|
m
|
(8km)2
4(4k 2 3)(4m2 (4k 2 3)2
48)
2|m| 4k 2 3
48k 2 3m2 36 4 3，
整理得m2 2(4k 2 3)，…………………………………………………………………（9 分）
18．（本小题满分 12 分）
解：（1） K 2
105
(10 30 55 30
20 45) 75 50
2
6.1 10.828，
∴没有99.9%的把握认为成绩优秀与走、住读有关. …………………………………（4 分）
（2）由题可知，有10人走读，20人非走读，
∴P(
，则
g ( x)
(x
1)(x ex
3) ，
得
g(x)
在
(，1) ， (3， ) 上递减；在 (1，3) 上递增，注意到当 x 时， g(x) 0 ，故选 B.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号
13
14
15
16
答案
四
40
[4， )
17．（本小题满分 12 分）
解：（1）由an 0，知q 0，∵a1q2 2a1 a1q，∴q2 2 q， …………………………（2 分） ∴q 2或q （1 舍去），…………………………………………………………………（4 分）
∴S3 a1(1 q q2 ) 7a1 21，a1 3 ， ∴an 3 2n1(n N ) ．…………………………………………………………………（6 分）
理科数学参考答案·第 1 页（共 6 页）
（2）由（1）知： 1 an
1 3 2n1
1 3
1 2
n
1
，
……………………………………………（8
分）
∴Tn
1 3
1
1 2
1
1 2
n
2 3
2 3
1 2
n
(n N ) ．…………………………………………（12 分）
（2） 设A(x1，y1)，B(x2，y2 )，AB的中点为M (xM，yM )， 设直线AB的方程为y kx m，
理科数学参考答案·第 3 页（共 6 页）
x2 联立 16
y2 12
1，得(4k 2
3) x 2
8kmx
4m2
48
0，
y kx m，
由韦达定理得x1
理科数学参考答案·第 2 页（共 6 页）
（2）解：以AC的中点E为原点，EB为x轴的正方向，EC为y轴的正方向，EA1为z轴的正 方向建立空间直角坐标系E xyz，
设AB的长度为2，则A(0，1，0)，B( 3，0，0)，C1(0，2， 3)，
故AB ( 3，1，0)，AC1 (0，3， 3)，
2019年9月西南名校联盟重庆市巴蜀中学2020届高三高考适应性月考(样卷)数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前西南名校联盟·重庆市巴蜀中学2020届高三年级上学期高考适应性月考(样卷)数学(理)试题(解析版)2019年9月一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合01x A x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{B x y ==，则A B =I （ ） A. []1,1-B. []0,1C. [)0,1D. ()0,1 【答案】C【解析】 求解分式不等式01x x ≤-可得：{}|01A x x =≤<,求解函数y 的定义域可得：{}|11B x x x =≥≤-或, 结合交集的定义可得：[)0,1A B ⋂=.本题选择C 选项.2.“非p 为假命题”是“p 且q 是真命题”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也木必要条件【答案】B【解析】【详解】“非p 为假命题”,则“p 为真命题”, “p 为真命题”推不出“p 且q 是真命题”, 但反之,“p 且q 是真命题”说明p 和q 都是真命题,所以能推出“非p 为假命题”,故选B.考点：本小题主要考查充要条件的判定,考查学生的推理能力.点评：判定充分条件和必要条件,关键是分清谁是条件谁是结论,另外要注意推理的严谨性.3.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,点(0M x 在抛物线C 上,则MF =（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】B【解析】由题意可得：(2004,2x x =⨯∴=,即(M , 而抛物线2:4C y x =的焦点坐标为()1,0F ,则3MF ==.本题选择B 选项.4.已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,则下列正确的是（ ）A. m α∥,n α∥,则m n ∥B. 若m α⊥,n α⊥,则m n ∥C. 若m α∥,m β∥,则αβ∥D. 若αγ⊥,βγ⊥,则αβ∥【答案】B【解析】逐一考查所给的命题： A ．若m α∥,n α∥,不一定可得m n ∥,该命题错误；B ．若m α⊥,n α⊥,则m n ∥,该命题正确；C ．若m α∥,m β∥,可能m ∥两平面的交线,不一定αβ∥,该命题错误；D ．若αγ⊥,βγ⊥,可能两平面有交线,不一定αβ∥,该命题错误.本题选择B 选项.5.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果是（ ）。
2019届重庆市巴蜀中学高三高考适应性月考(一)数学(理)试题(解析版)
解：（1）由题 ， ，
所以椭圆的标准方程为 .
（2）由题设直线 ： ， ， ， ，
联立直线方程和椭圆方程得 ，
， ， .
因为以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，
所以 ，
即 ，4，
经验证 ，所以直线过定点 .
【点睛】
圆锥曲线中的定点、定值、最值问题，通常可以通过设直线方程，把要求解的目标表示 （或 ）的整体，再利用韦达定理把求解的目标表示某参数（通常是斜率或直线的截距等）的代数式，最后讨论与代数式相关的最值、定点、定值等问题．
【详解】
，
,即 的最大值为2.
【点睛】
本题考查了含绝对值不等式的解法，以及参变分离求参数取值范围的问题，一般恒成立问题求参数，可以分成两种方法：法一：可以分离参数，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围；法二：先构造函数，利用导数研究函数单调性，求出含参函数的最值，进而得到相应的含参不等式求参数的取值范围.
19．重庆近年来旅游业高速发展，有很多著名景点，如洪崖洞、磁器口、朝天门、李子坝等.为了解端午节当日朝天门景点游客年龄的分布情况，从年龄在22～52岁之间的旅游客中随机抽取了1000人，制作了如图的频率分布直方图.
（1）求抽取的1000人的年龄的平均数、中位数；（每一组的年龄取中间值）
（2）现从 中按照分层抽样抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在 的人数为 ，求 的分布列及 .
20．已知椭圆 的短轴长为4，离心率为 ，斜率不为0的直线 与椭圆恒交于 ， 两点，且以 为直径的圆过椭圆的右顶点 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线 是否过定点，如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.
【答案】(1) . (2)直线过定点 .
巴蜀中学2020届高考适应性月考卷(三)理数-答案_PDF压缩
2
3
4
4
4
32
2
1
P
21
9
105
35
315
E(
X
)
0
4 9
2
32 105
3
2 35
4
1 315
26 24
.
………………………………（12 分）
理科数学参考答案·第 5 页（共 9 页）
20．（本小题满分 12 分）
解：（1）∵ an1
2an
2n1， ∴
an1 2n1
巴蜀中学 2020 届高考适应性月考卷（三） 理科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 A C A B D D C C
9 10 11 12 BDBA
【解析】
1． M {x | 4 x 2} ， N {x | 2 x 3} ，所以 M N {x | 4 x 3} ，故选 A．
以点 A 为坐标原点， AB，AD，AP 分别为 x，y，z 轴的正向建立空间直角坐标系，各点坐
标如下： A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1).
设平面 ACE 的法向量为 n (x0，y0，z0 ) ，
则
n n
AC AE
2x0 2 y0 y0 z0 0
0，x0 1
x0 y0
z0
巴蜀中学2019届高考适应性月考卷(二)理数-答案
直线 l 的一般方程为 2x y 2 0 .………………………………………………………（5 分）
（2）由参数方程设点 P 的坐标为 (1 2 cos，1 2 sin ) ，
则点
Q
的坐标为
1 2
2 2
cos，
1
2
sin
，
则点 Q 到直线 l 的距离为 d |1
2 cos 1
2 sin
f
(1)
1 e
，f
(0)
a 2
0 ，∴x0
(1，0)，使得f
(x0 )
0 ；………………（6
分）
当
x (，1)
时，
f
(x)
xex
1 2
a(x
1)2
x
1 2
a(x
1)2，
取
x1
a
1 a
2a 1 1，f (x1) 0 ，
∴x2 (x1，1)，使得f (x2 ) 0 ，故此时有两个零点；…………………………………（7 分）
解：（1）由题，在
△ABD
中，由正弦定理得
AB BD
sin sin
ADB BAD
，……………………（2
分）
在
△ACD
中，由正弦定理得
AC CD
sin sin
ADC CAD
，………………………………………（4
分）
又sin ADB
sin ADC，sin BAD
sin CAD
，∴ AB AC
BD CD
3 2
可知当 x (，1)，(1， ) 时， f (x) 0，f (x) 单调递增；………………………（2 分）
巴蜀中学2019届高考适应性月考卷(五)理数-答案
理科数学参考答案·第1页（共6页）巴蜀中学2019届高考巴蜀中学2019届高考适应性月考卷（五）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B B C A B A A C D A 【解析】1．因为(0)(2)(13)A B =-∞+∞= ，，，，，所以{|23}A B x x =<< ，故选B ．2．因为i i(1i)11i 1i (1i)(1i)22z +===-+--+，所以||z =2，故选C ． 3．因为156493a a a a =++=，所以74721S a ==，故选B ．4．222log 3log 322(2018log 3)(2log 3)24212f f ++=+=== ，故选B ． 5．经验证7k <满足题意，故选C ．6．14314121321354354354330P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=23225434556P P ⨯⨯===所以，故选A ． 7．x ，y 都是奇数是x ，y 中至少一个是偶数的反面，故选B ．8．依题意()P x y ，在2y x =-上，距离2483483355333x y d x x +-==-+-的最小值为43，故选A ．9．因为||1b = ，所以222||24(1)3a b λλλλ+=++=++ ，故||a b λ+ 故选A ．理科数学参考答案·第2页（共6页）10．丙在甲、乙中间时，有23424⨯⨯=（种），丙不在甲、乙中间，有2(222)12⨯⨯+=（种），所以总共36种，故选C ．11．2441()4x ax f x x -+'=，令2()441g x x ax =-+，因为(0)10g =>，所以依题意有012(1)00a g ⎧<<⎪⎪>⎨⎪∆>⎪⎩，，，解得514x <<，故选D ． 12．因为2=2PF ，1=4PF ，得121cos 4F PF ∠=，12sin 4F PF ∠=，所以12F PF S =△，得内切圆半径5r =，即||5I y =，内切圆与PF 1，PF 2，F 1F 2的三个切点分别为T 1，T 2，T 3，12112213322a PF PF T F T F FT T F =-=-=-，可得||1I x a ==，所以圆心I到原点的距离是5，延长F 1M 与PF 2相交易得12||12PF PF OM -==，故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．32251C 252⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．14．314S =+=．15．111592(2)222222y x xy x y x y x y ⎛⎫+=++=++++=⎪⎝⎭≥． 16．由正弦定理得ABC △的外接圆半径为r =，再由12AA =得外接球半径为R =以球的表面积为92π7．理科数学参考答案·第3页（共6页）三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分） 解：（1）因为π()213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，………………………………………………（3分）单调增区间为5ππππ()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，．……………………………………………（5分）（2）1π()sin 223f B B ⎛⎫=+=⎪⎝⎭， 因为(0π)B ∈，，所以π2π233B +=，得π6B =，………………………………………（7分）由余弦定理22323cos 222a c ac B ac ac +--==≥，得3(2ac +≤，…………………（9分）而1sin 2S ac B =，所以S，此时a c =．……………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（1）111222342422225555C C C C C 3C C C C 10P =+= ．……………………………………………（6分） （2）2×2列联表如下表所示有驾照没有驾照总计中青年 20 10 30 中老年 8 12 20 总计28 22 5022250(2012810)50100(248)50168003.463 3.841203028222030472113711231K ⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯====≈<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，………………………………………………………………………………………（10分） 所以没有95%以上的把握认为拥有驾照与年龄(中青年、中老年)有关联．………………………………………………………………………………………（12分）理科数学参考答案·第4页（共6页）19．（本小题满分12分）（1）证明：如图取PD 的中点F ，连接AF EF ，，∵E F ，分别是PC PD ，的中点，∴12EF CD EF CD =∥，，…………………………（2分）∵12AB CD AB CD =∥，，∴EF AB EF AB =∥，，∴四边形ABEF 是平行四边形，∴BE AF ∥，……………………………………………（4分） ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥，又CD BE ⊥，即CD AF ⊥，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD AD ⊥，∴AD AB ⊥．……………………………………（6分） （2）解：以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 则(000)(100)(002)(220)(111)(020)A B P C E D ，，，，，，，，，，，，，，，，，，(011)(120)BE BD ==-，，，，，，………………………………………………………（8分） 设平面EBD 的法向量为()m x y z =，，，由00200m BE y z x y m BD ⎧⎪⎨=+=⎧⇒⎨-+=⎩⎪⎩=，，，令11z y ==-，，即(211)m =-- ，，， 同理可得平面PBD 的一个法向量(211)n =，，，………………………………………（10分）设二面角E BD P --的大小为θ，如图θ为锐角，则2cos |cos |3m n θ== <，>．………………………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）由222221112a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，，得椭圆方程为2212x y +=．………………………………（4分）理科数学参考答案·第5页（共6页）（2）设l 的方程为2x my =+①，将①代入轨迹C 的方程2222x y +=，并整理得22(2)420m y my +++=． 由于直线l 与椭圆C 有两个不同的交点，22168(2)0m m ∆=-+>∴，0m <，解得m <设1122()()E x y F x y ，，，，不妨设21y y >，则1212224222m y y y y m m +=-=++ ， ………………………………………………………………………………………（7分）121232121S y y EFS S DE DF y y -===+++（10分）0⎛== ⎝⎭．…………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）当0a <时，222ln 20f a a ⎛⎫⎛⎫-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矛盾；……………………………（2分）当0a ≥时，(1)(1)()ax x f x x-+-'=，(01)()0x f x '∈>，，，(1)()0x f x '∈+∞<，，，所以()f x 的最大值为(1)0f =，得2a =． ……………………………………………（5分） （2）由（1）有2ln x x x -≤，所以2121()2e1x x x x F x x --+++≤， 先证212112e 1x x x x x --+++≤等价于22122e 1x x x x xx ---+≤，………………………………………（7分）因为1x ≥，只需证122e 1x x -+≥，令12()2e 1(1)x g x x x -=--≥，1()2e 2x g x x -'=-， 由1[()]2e 20x g x -''=-≥，当且仅当1x =时取得等号， 所以()g x '在[1)+∞，上单调递增，所以()0g x '≥，当且仅当1x =时取得等号，故()(1)0g x g =≥，综上()1F x ≤，……………………………………………………（10分） 又因为(1)1F =，所以()F x 的最大值为1． …………………………………………（12分）理科数学参考答案·第6页（共6页）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）已知2πsin 2sin 2cos 4ρθρθρθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，，得2222x y y x +=+，即22(1)(1)2x y -+-=，所以参数方程为11x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，，(α为参数)． ………………………………………（5分）（2）44)AP BP αααϕ=++=++，其中tan 3ϕ=，所以AP BP的取值范围是[44-+．………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）210x x x x ⎧⇒∈∅⎨->⎩≥，或者212120x x x x <⎧⇒-<<⎨+-<⎩，， 综上，不等式的解集为(21)-，．………………………………………………………（5分） （2）2(|1||3|)3m x x --++≤，因为|1||3||1(3)|4x x x x --+---+=-≥，当且仅当1x ≥时取得等号，所以5m -≤．……………………………………………………………………………（10分）。
巴蜀中学2024届高考适应性月考卷(三)数学-答案
数学参考答案·第1页（共10页）巴蜀中学2024届高考适应性月考卷（三）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D D A B A B C 【解析】1．由题意设41a m =+，42b n =+，其中m n ，都是整数，则4()3a b m n +=++，其中m n +是整数，可以是奇数也可以是偶数，故a b D +∈，故选D ．2．设75()()()()a b m a b n a b m n a m n b -=-++=+--，所以75m n m n +=⎧⎨-=⎩，， 解得61m n =⎧⎨=⎩，，所以756()()a b a b a b -=-++；又[527][630]a b a b -∈+∈，，，，所以756()()[36192]a b a b a b -=-++∈，，故选D ．3．0112()x a f x a --==，∵∴且1a ≠，恒过定点(11)-，，111()1m n g x x==-=+，，∴∴，其图象不经过第四象限，故选D ．4．因为()a b a +⊥ ，所以2)0(a a a a b b =++= ，∴21||||||02a a b -= ，1||||2a b = ，所以a在b 方向上的投影向量为14||||ab b b b b =-，故选A ．5．不妨设(30)(06)A B -，，，，由||AB =，min 15()2AMB S =△知min ()M l d →． 设2002y M y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则M l d →==故min 6()M l pd →-==，故4p =，故选B ． 6．8341288C 1C r rr rrrT x x --+⎛⎫= ⎪⎭=⎝ ，其中08r r ∈N ≤≤，，当02468r =，，，，时为有理项，故有5项有理项，4项无理项，故555599A A A p = ，454599A A A q = ，故55554545A A A A 5p q == ，故选A ． 7．由题意知5S 是等差数列{}n a 的前n 项和中的最小值，必有10a <，公差0d >，若50a =，数学参考答案·第2页（共10页）此时45S S =，4S ，5S 是等差数列{}n a 的前n 项和中的最小值，此时5140a a d =+=，即1=4a d -，则18167335a d d a da d a +===+；若5600a a <>，，此时5S 是等差数列{}n a 的前n 项和中的最小值，此时1540a a d =+<，6150a a d =+>，即154a d-<<-，则1816111771(3)5552a a d d a a a d d da a ++===+∈+∞+++，，综合可得：86a a 的取值范围是[3)+∞，，故选B ．8．由(1)[2()()]()x f x xf x xf x '++>，可得22()2()()1x f x xf x x f x x '+>+，即22()(())1x f x x f x x '>+，令2()()g x x f x =，则()()()(1)0()11g x g x g x x g x x x '-+'>-=++．令()()1g x G x x =+，2()()(1)()()01(1)g x g x x g x G x x x ''+-⎛⎫'==> ⎪++⎝⎭，所以()G x 在(0)+∞，上是单调递增．不等式2315(4)(4)x f x x ++<+，等价于2(4)(4)35x f x x ++<+，即(4)(4)35g x G x x ++=<+，(6)36(6)(6)377g f G ===，所求不等式即(4)(6)G x G +<．由于()G x 在(0)+∞，上是单调递增函数，所以46x +<，解得2x <，且40x +>，即4x >-，故不等式的解集为(42)-，，故选C ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案 ABD ACD BC BC【解析】9．函数πsin 3cos32y x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，A 选项，将cos y x =的图象上各点的横坐标缩小为原来的13得cos3y x =，再将图象关于x 轴翻折得到cos3y x =-的图象；B 选项，将sin y x =的图象上各点的横坐标缩小为原来的13，得sin 3y x =，再向右平移π6个单位长度得ππsin 3sin 362y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象；C 选项，将sin y x =的图象向右平移π6个单位长度数学参考答案·第3页（共10页）得πsin 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将各点的横坐标缩小为原来的13得π6sin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；D选项，将cos y x =的图象左平移π个单位长度得cos y x =-，再将各点的横坐标缩小为原来的13得cos3y x =-的图象，故选ABD ． 10．∵12m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，41n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，∴42m n a b =+ ．对A ：若m n ，可以作为平面向量的一组基底，则m n ，不平行，故11240a b ⨯-⨯≠，18ab ≠，故23log ab ≠-，故A 正确；对B ：若m n ⊥ ，则42420b am n a b ab +=+== ，故20a b +=，2a b +的值不确定，故B 错误；对C ：若1a b +=，则424242()666b a m n a b a b a b a b ⎛⎫=+=++=+++=+ ⎪⎝⎭≥，当且仅当42211b a a a b b a b ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⎪⎩+=⎩时取等号，故C 正确；对D：由||||m n => 知221141632a b +=+>，故221112a b -=且2116b >，故22222221112127111114b a b a b b b +⎛⎫===+∈ ⎪⎝⎭，，故1b a ⎛∈ ⎝⎭，故D 正确，故选ACD ． 11．()(1)sin cos f x x x x λ'=++，令()0f x '=，则(1)sin cos x x x λ+=-，当cos 0x =时，sin 1x =±，则(1)sin cos x x x λ+=-无解，此时()f x 无极值点；当cos 0x ≠时，1tan (1)1x x λλ=->-+，数形结合知：tan y x =与1(1)1y x λλ=->-+在[ππ]()x k k k +∈-∈N ，上有21n k =+个交点，对应()f x 在[ππ]()k k k +-∈N ，上的极值点为21222111()k k x x x x x x ++<<< ，，，，且2122321120k k k k k x x x x x x x x +-+++++===== ，10k x +=，故A 错误，B 正确；当1k =时，3n =，并且21320x x x ==+，故123x x x ，，为等差数列，C 正确；当2k =时，5n =，并且5124320x x x x x ++===，21312ππππ22x x ⎛⎫⎛⎫∈--∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，故要使125x x x ，，，为等差数列，只需312(0)x x x =，，为等差数列，即等价于122x x =成立即可，故数学参考答案·第4页（共10页）1122222212tan tan 211tan 22tan 1tan 1x x x x x x x x λλλ⎧=-⇒=-⎪⎪++⇒=⎨⎪=-⎪+⎩，，由二倍角公式：222222tan tan 22tan 1tan x x x x ==-，故221tan 0ππ2x x ⎛⎫=⇒∈-- ⎪⎝⎭，时无解，故当2k =时，不存在1λ>-使得125x x x ，，，为等差数列，D 错误，故选BC ． 12．令||()|log |||0x a f x a x =-=，则|||log |||x a a x =，||x y a =与|log |||a y x =都是偶函数，故考虑0x >时：||x x y a a ==与|log ||||log |a a y x x ==的图象的交点；当01a <<时，作出函数|log |x a y a y x ==，的图象易得：函数|log |x a y a y x ==，的图象有两个交点，所以当01a <<时，函数()|log |x a f x a x =-的零点个数为2；当1a >时，作出函数|log |x a y a y x ==，的图象，此时两个函数图象的交点个数取决于方程log x a a x =的解的个数，x y a =与log a y x =的函数图象关于y x =对称，故临界情况是x y a =与log a y x =都与y x =相切，此时有111e e ln ln 1ln 1e x x x xx a x a x x x x a a a =⎧⎧=⎪⎪⇒=⇒==⇒⎨⎨=⎪⎪⎩=⎩，，，故当0x >时：1e1e a <<时，函数|log |x a y a y x ==，的图象有3个交点，1e e a =时，函数|log |x a y a y x ==，的图象有2个交点，1e e a >时，函数|log |x a y a y x ==，的图象有1个交点． 综上所述：1ee a >时，函数()yf x =的图象有2个零点；01a <<或1e e a =时，函数()yf x =的图象有4个零点；1e1e a <<时，函数()y f x =的图象有6个零点，故选BC ． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．2a ∵，10a 是方程213140x x -+=的两个实数根，2102101314a a a a +==，，∴故21000a a >>，，根据等比数列的性质有：2621014a a a ==且4620a a q => ，故6a =数学参考答案·第5页（共10页）14．直线y x c =+过上焦点2(0)F c ，且倾斜角为π4，由12112F F F B F A += ，知A 是2BF 的中点，由2(0)(0)F c A c -，，，，得(2)B c c --，，故双曲线的渐近线方程为12y x =±．15．对数函数符合1122()()x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合()f x 是偶函数：可令()log ||a f x x =，代入点382⎛⎫⎪⎝⎭，，解得4a =，故()f x =4log ||x ． 16．三倍角公式：2cos3cos(2)cos 2cos sin 2sin (2cos 1)cos A A A A A A A A A =+=-=--232(1cos )cos 4cos 3cos A A A A -=-，故cos cos30cos cos3C A C A +=⇒=-=cos(π3)π32A C A B A -⇒=-⇒=，ABC △为锐角三角形，故π02π022π0π32A A A ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，，解得ππ64A <<，故tan 13A <<，114tan 4tan 5tan()tan A A B A A ⎫+=+∈⎪⎪-⎝⎭． 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）由频率分布直方图可知：分数低于70分的学生所占比例为40%，分数低于80分的学生的所占比例为70%，所以该学校学生参与知识问答测试的得分的中位数在[70)80，内．…………………………………………………………………………………………（2分） 由0.500.40220701073.30.700.403-+⨯=≈-，所以该学校学生参与知识问答测试的得分的中位数约为73.3分．………………………………………………………………………………………（5分） （2）根据按比例的分层抽样：抽取的“亚运迷”学生3人，“非亚运迷”学生2人，ξ的所有可能取值分别为0，1，2，……………………………………………………（6分）0325C 1(0)C 10P ξ===，113225C C 3()C 15P ξ===，2325C 3(2)C 10P ξ===，………………………………………………………………………………………（9分）数学参考答案·第6页（共10页）所以ξ的分布列为：所以数学期望1336()012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=．………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）由tan ϕ=sin cos ϕϕ==………………………………………………………………………………………（1分）故222()cos (cos )sin cos sin 2f x x x x x x x x ωωωωωωω=+-=-+ 1πcos22cos22sin 226x x x x x ωωωωω⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ………………………………………………………………………………………（4分） 所以2ππ2T ω==，解得1ω=， 所以π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………………………（5分）（2）由π12x ϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得πππ22636x ϕ⎡⎤+∈+⎢⎣⎦，tan 32ππϕϕ⎛⎫=⇒∈⇒ ⎪⎝⎭， π5π7π2666ϕ⎛+⎫∈ ⎪⎝⎭，， 2sin y x =在ππ32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在π2π26x ϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣+⎦，上单调递减，…………………………………………………………………………………………（7分） π2sin 3=π2sin 22=，222π2tan 1tan 22cos 261tan 2si 1t a n n ϕϕϕϕϕϕϕ-⎛⎫++=+ ⎪++=⎝⎭113=，……………………………………………………………………………………（11分）所以函数()y f x =在区间π12ϕ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域为1213⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……………………………………………………………………………………（12分）数学参考答案·第7页（共10页）19．（本小题满分12分）解：（1）由1n n a a +>，知221111a a k k a =+=+>=，故0k >．………………………………………………………………………………………（2分）当0k >时，显然0n a >，且221111()()n n n n n n n n a a a a a a a a +----=-=+-，故1n n a a +-与1n n a a --同号，故对一切n +∈N 都有1n n a a +>．综上所述：实数k 的取值范围是(0).+∞， ……………………………………………（5分）（2）若13a =且0k =，则21n n a a +=．由130a =>，知0n a >，两边取对数：212ln ln ln n n na a a +==，且1ln ln 3a =，…………………………………（8分） 故1ln ln 32n n a -= ，故11ln 322e 3n n n a --== ，故数列{}n a 的通项公式为123()n n a n -+=∈N ．…………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（1）在ABC △中，由2sin a B =，可得：2sin sin A B B ，而sin 0B >，所以sin 2A =，即π3A =或2π.3A =由2||AC AB AB = ，知π2B =，故ππ.36A C ==，…………………………………………………………………………（3分）由2b =，知1c a =， 故ABC △的面积为1sin 22ABC S ac B ==△．…………………………………………（5分） （2）在ACD △中，由余弦定理：2222cos 4024cos AC AD CD AD CD D D =+-=- ，………………………………………………………………………………………（7分）故2126sin 6sin 82ABCD ABC ACD S S S AC D D D =+=+⨯⨯⨯=-+△△)D ϕ=+-，其中sin cos 77ϕϕ==11分）所以，当π2D ϕ=+时，ABCD S取得最大值+………………………………（12分）数学参考答案·第8页（共10页）21．（本小题满分12分）解：（1）由已知得1ABD a a b S ab ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪==⎪⎩⎩△，， ………………………………………………………………………………………（2分） 所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=．…………………………………………………（4分）（2）设直线P Q '的方程为(0)x ty n t =+≠，联立方程2213x y x ty n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，， 得：222(3)2(3)0.t y tny n +++-=设1122()()P x y Q x y '，，，，则由韦达定理：12221222333tn y y t n y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ………………………………………………………………………………………（6分） 由点P 与点P '关于x 轴对称知11()P x y -，， 由M P Q ，，三点共线知MP MQ k k =，即2121y y x m x m-=--，即2121y y ty n m ty n m -=+-+-， 故122121()()ty y n m y ty y n m y ---=+-，即12122()()0.ty y n m y y +-+=………………………………………………………………………………………（8分） 代入韦达定理：2222232262(3)2()03333n tn tnm t t nm t n m t t t t -----===++++ ， 由0t ≠，知3n m=， 故直线P Q '与x 轴交于定点30.K m ⎛⎫⎪⎝⎭，………………………………………………（10分） 由(0)M m ，在椭圆2213x C y +=：外，得：()m ∈-∞+∞ ，，由AKB ∠是钝角，知||||1OK OA b <==(O 为坐标原点)， 即3(01)m∈，，解得(3)(3)m ∈-∞-+∞ ，，， 综上所述：m 的取值范围是(3)(3)-∞-+∞ ，，．……………………………………………………………………………………（12分）数学参考答案·第9页（共10页）22．（本小题满分12分）（1）证明：π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，求证()1f x <等价于求证sin x x <．令()sin x x x ϕ=-，则()cos 10x x ϕ'=-≤，故()x ϕ在π02⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，故()(0)0x ϕϕ<=，不等式成立．………………………………………………………（2分） （2）解：令sin cos ()()().x ax xF x f x g x x-=-=因为()()F x F x -=，所以题设等价于()0F x >在π02⎛⎫⎪⎝⎭，上恒成立，即：()sin cos 0H x x ax x =->在π02⎛⎫⎪⎝⎭，上恒成立，………………………………………………………………………………………（3分） ()(1)cos sin H x a x ax x '=-+，(0)0(0)1.H H a '==-，（i ）当0a ≤时，在π02⎛⎫⎪⎝⎭，上sin 0cos 0x ax x >-，≥，故()0H x >，所以()0F x >，符合题意；（ii ）当01a <≤时，()(1)cos sin 0H x a x ax '=-+≥在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒成立，故()H x 在π02⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故()(0)0H x H >=，所以()0F x >，符合题意； （iii ）当1a >时，(0)10H a '=-<，ππ022aH ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭， 故必存在0π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得0()0H x '=，且当0(0)x x ∈，时，()0H x '<，故()H x 在0(0)x ，上单调递减，故在0(0)x ，上()(0)0H x H <=，不符合题意．综上所述：实数a 的取值范围是(1]-∞，．……………………………………………（6分） （3）解：由（1）知：sin x x <在π02⎛⎫⎪⎝⎭，上恒成立．由（2）知：当1a =时，()()f x g x >，即sin cos sin cos x x x x x x >⇒>在π02⎛⎫⎪⎝⎭，上恒成立．令222222sin sin cos ()[()]()cos x x ax xG x f x g x a x x x -=-=-=，因为()()x x G G =-，所以题设等价于()0G x >在π02⎛⎫⎪⎝⎭，上恒成立，数学参考答案·第10页（共10页）即：22()sin cos 0h x x ax x =->在π02⎛⎫⎪⎝⎭，上恒成立．………………………………………………………………………………………（7分） （i ）当0a ≤时，在π02⎛⎫⎪⎝⎭，上22sin 0cos 0x ax x >-，≥，故()0h x >，所以()0G x >，符合题意；（ii ）当01a <≤时，2222()sin cos sin cos h x x ax x x x x =--≥， 令22()sin cos r x x x x =-，π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则22()2sin cos 2cos sin 2sin cos 2sin sin r x x x x x x x x x x x x >-+'=-+ 22222[2(1cos )]sin 4sin sin 4sin sin 0222x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=->⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以()r x 在π02⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，所以()(0)0r x r >=，故()0h x >，所以()0G x >，符合题意；（iii ）当1a >时，22()sin cos h x x ax x =-222cos (1cos )x ax x x a x <-=-， 当1cos 1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，1cos 0a x -<， 故222()cos 1c s ()o 0h x x ax x x a x <-=-<，不符合题意．综上所述：a 的取值范围为(1]-∞，．…………………………………………………（12分）。
巴蜀中学2018届高考适应性月考卷(三)理数-答案
面 PAB ，∴ PD⊥AB ，∴ AB⊥平面DPE ，∴ PED 为二面角 P AB D 的平面角，
理科数学参考答案·第 2 页（共 5 页）
即 PED 30 ．
………………………………………………………（6 分）
过 D 作 DF 平面 ABCD ，则 DE，DC，DF 两两垂直，以 D 为原点，分别以 DE，DC，DF
设
g(x)
ex 1 x
2 ln
x(x
0)
，
g(x)
xex
ex 1 x2
2x
(x
0) ．
设 t(x) xex ex 1 2x (x 0) ， t(x) xex 2 在 (0， ) 上递增，
∵ t(0) 2 0，t(1) e 2 0 ， ∴存在唯一的 x1 (0，1) ，使 t(x1) 0 ，
∴ x (，0) 时， h(x) 0 h(x) h(0) 0 f (x) 0 ，
x (0， ) 时， h(x) 0 h(x) h(0) 0 f (x) 0 ．
∴ f (x) 的增区间为 (，0) ， (0， ) ，无减区间．
……………………（4 分）
（Ⅱ）证明： x 0 时， ex 2x ln x kx 1≥ 0 k ≤ ex 1 2 ln x ， x
（Ⅱ） 2a sin x2 y2 2ay 0 x2 ( y a)2 a2 ，
圆心
C(0，a)
到
l
的距离为
|
2
a 2
|
|
a
|
a
2
2
2.
…………………（10 分）
23．（本小题满分 10 分）【选修 4−5：不等式选讲】
解：（Ⅰ）∵ | 2x 2 | |
2019年重庆市巴蜀中学高2019级高考模拟理科数学试卷答案
参考答案选择题： ADCCA DBCBC BD13． 14． 15． 16．17．（1）原式可变形得：()()11211121n n n nn t a a a t ++-+=--+-，则()()11212111112121n n n n n n n n n a a a t a t a t t +++++-==+-+-+-，记11n nn a b t +=-， 则112,22n n n b b b b +==+，易求得2n b n =，所以()211n n t a n -=-． （2）()()()2112111n n n n t a a nt t t t n n -+-⎡⎤-=-++++⎣⎦+，易知，当0t >且1t ≠时，1t -与()211n n nt t t t -⎡⎤-++++⎣⎦同号，所以1n n a a +>．18．（Ⅰ）∵，，∴在中，，，∴，，又为正方形，∴，又，∴，，又面，面，，∴平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）方法一：平面平面，，∴平面，，即、、两两垂直，以、、分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，取平面的法向量，设平面的法向量为，则，即，令，则，，故，设平面与平面所成锐二面角为，则.方法二：连接，，则、、共线，是平面与平面的交线，取的中点为，连接，，则由平面平面，平面平面，，且面，∴平面，即平面，又为正方形，为的中点，∴，∴.∴是平面与平面所成锐二面角的平面角，由（Ⅰ）可得，，，在中，. ∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为..19．（Ⅰ）抽取的螺帽质量指标值的样本平均数和样本方差分别为：.（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，，从而，，，，，（ⅱ）由（ⅰ）知，一件螺帽的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以.20．（Ⅰ）由，则，，则，又，所以.（Ⅱ）设直线的方程为：，设，，由，得，所以，得，又，，由，，可知，，由，点到直线的距离为，所以.又，所以，因为，所以.21．（Ⅰ）当时，，由，得，∴在上单调递减，在上单调递增.∴时，取得极小值，即最小值.当时，，，∵，∴，即.（Ⅱ）证明：当时，，则，∴时，，单调递减，时，，单调递增，令，则，∴，当时，，，，∴，单调递减，∴，即，∴当时，.又在内是增函数，在内是减函数.，且，∴，不再同一单调区间内，不妨设，由上可知：，∵，∴.∵，，又在内是增函数，∴，即.22．（Ⅰ）由，得到曲线的普通方程是：，又，，代入得，，即（也可得分）.（Ⅱ）因为，所以，由，故，设点的极坐标为，则点的极坐标可设为，所以.23．（Ⅰ）当时，由，即，两边平方，得：，即，解得：，所以不等式的解集为：.（Ⅱ）若存在，使得不等式成立，即成立，所以存在，使得成立，令，只需即可.又函数，当时，单调递减，；当时，单调递增，；当时，单调递减，；可知函数，所以.。
巴蜀中学2019届高考适应性月考卷(一)文数-答案
]
1 2
，2
，
所以
f
(x)
在 [x1，x2 ]
上单调递增，又
f
(x)
在 [x1，x2 ]
上的值域是
b x1
1 ，b 1 x2
1 1
，
知
f
( x1 )
b x1
11，f
(x2 )
b 1 x2 1
，其中
1 2
≤x1
x2≤2 ，
则
f
(x)
b x
1 1
在
1 2
，2
上至少有两个实数根，有 b
1
2x2
18．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ） x 556 ， y 600 ．…………………………………………………………（4 分）
n
（Ⅱ） bˆ
( xi
i 1
n
x)( yi (xi x)2
y)
11 3 5 (5) (3) 7 (1) (4) (2) (1)2 32 (5)2 72 (4)2
而
(1)
0
，∴当
x
1 2
，1
时，
(x)
0
；当
x
(1，2]
时， (
x)
0
，
∴
(
x)
在
12 ，1
上为减函数，在
(1，2]
上为增函数，
而
1 2
3 ln
2 2
9
，
(1)
4
，
(2)
3 ln
2
，
由
(2)
1 2
，结合函数图象有
(1)
b
1≤
1 2
重庆市巴蜀中学2023届高考适应性月考(三)数学答案
数学参考答案·第1页（共8页）巴蜀中学2023届高考适应性月考卷（三）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DBCCADBA【解析】1．2i (1i)2i i(1i)1i 1i 1iz z z -=⇒==+=-+⇒=--- ，故选D ．2．2201||a b x x a b ⊥⇒-=⇒=⇒-=，故选B ．3．(10)(01)A =- ，，，(1][0)(01)B A B =-∞-+∞⇒=R R ，，， ，故选C ．4．令0(0)(0)(0)1(0)1x y f f f f ==⇒=+-⇒=，这样()()()1()f x x f x f x f x -=+--⇒+()2f x -=，所以()f x 的图象关于点(01)，对称，故选C ． 5．设AG x =，则GC GE x ==，所以1121828.38CE x x ⎛=-=⇒=+≈ ⎝，所以站台高度28.38 1.629.9830.0AB AG GB =+=+=≈，故选A ．6．2221546593377373722()8a a a a a a a a a a a a a a ++=++=+==⇒+，故选D ．7．62AB AC ==，∵，AD 为BAC ∠的角平分线，23144AD AC AB =+⇒= ∴221(96)16AC AC AB AB ++ ，1cos sin 33ABC BAC BAC S ∠=-⇒∠=⇒=△∴，故选B ． 8．如图1，由双曲线的定义知，12|||2|QF QF a -=，1||=||QF QP ∵，212||||4PF a PF a =⇒=∴，而12||2FF c =，设12F F P θ∠=，在12PF F △中，由余弦定理知：2222244163cos 2222a c a c a a c acθ+--==， cos 4c e aθ===∵．因为2122||||2a a QF QF a λλ==+，，在12QF F △中，由余弦定理有：222222282cos 3a a a a a θλλλλ⎛⎫⎛⎫+=++⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．图1数学参考答案·第2页（共8页）二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案 BCDABDACBC【解析】9．A ．由22||||a b a b ⇔==得不出a b = 或a b =- ，所以错误；B ．由||||||a b a b a b =⇒ ∥，所以正确；C ．由||||0a b a b a b a b +=-⇒=⇒⊥ ，所以正确；D ．由a ，b同向得：||||||||a bb a a b a b =⇒=，所以正确，故选BCD ． 10．137771330S a a a ==⇒=，而10a >，所以A ，B 正确；60a >，70a =⇒n S 取最大值时，6n =或7，所以C 错误；1314131400S S S a ==+<，，所以D 正确，故选ABD ．11．A ．0a =时，()ln ()ln 1(1)1f x x x f x x f =⇒'=+⇒'=，而(1)0f =，所以在1x =处的切线方程是1y x =-，正确；由于始终有(1)0f =，所以B 错误；C ．1a >时，1()ln 10e 1a f x x a x -'=-+=⇒=>，11()(e )e 0a a f x f a --==-<极小值，而x →+∞时，()0f x >，所以()f x 在1(e )a -+∞，有唯一零点，显然()f x 在1(0e )a -，有唯一零点1x =，所以正确；D. 1a <时，同样有11()(e )e 0a a f x f a --==-<极小值，此时10e 1a -<<，令ln 2(01)a =∈，，此时()(ln ln 2)ln 2f x x x =-+，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f x 在ln 21(0e )-，有一零点，又(1)0f =，所以错误，故选AC ．12．在等腰ABC △中，120BAC ∠=︒， 2BC AB AC =⇒==，AM AE EM AE =+=+212233333EF AE AF AB AC λμ=+=+，||||2AB AC == ，∵120BAC ∠=︒，AB AC ∴ 4cos1202=︒=-，222416849999AM λμλμ=+-= ∵，22421λμλμ+-=∴，所以A 错误；22()31λμμ-+=∵，∴令cos sin λμθθ-==，显然cos [11]λμθ-=∈-，，所以B正确；cos μθλθθ==+，，∴22222sin cos cos 3λμθθθθ+=++∴11cos 25(1cos 2)2)tan 326θθθθϕϕ⎛+=-+=++= ⎝⎭，当sin(2)θϕ+ 1=时，22max 5()6λμ++=，所以C 正确，故选BC ．数学参考答案·第3页（共8页）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．设第1r +项为常数项，则23631332C ()C (2)rr rr r rr T x xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭为常数项，所以2r =，2221332C ()12T x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．14．35ππ3ππ241234T T ω⎛⎫=--=⇒=⇒= ⎪⎝⎭，5ππππ2()2sin 212233f xx ϕϕ⎛⎫+=⇒=-⇒=- ⎪⎝⎭ ． 15．取AB ，11A B 的中点分别为E ，F ，在等腰梯形ABCD 中易算得：AC =222AC BC AB+=，∵90ADB ACB ∠=∠=︒，∴122ED EC AB ===，∴∴外接球的球心O 是EF 的中点，1322OE h ==∵，2EB =，52R OB ==∴，34π3V R =∴ 125π6=． 16．2222()()2log [()2]3()f x x a x a f x -=-+-++-=∵，()f x ∴为R 上的偶函数，()f x ∵为R上的偶函数，又有且只有一个零点，2(0)2301f a a a =+-=⇒=∴或3a =-，当1a =时，222()2log (2)2f x x x =++-，显然(0)0f =，当x ∈R 且0x ≠时，222x +>⇒222log (2)20()0x f x +->⇒>，()fx ∴此时只有0x =这个零点，符合题意；当3a =-时，222()6log (2)6f xx x =-++，286log 440f =-=-<∵，2366log 32f =-60=>，()f x ∴在内至少还有一个零点，与题意不合，舍去，所以1a =． 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）1111094910100122a d a d a d ⨯+=+=⇒==，，， 21n a n =-∴．…………………………………………………………（5分）（2）21max 222(41)200430143n a n n n n n b T n -==⇒=-<⇒<⇒=． ………………（10分）数学参考答案·第4页（共8页）18．（本小题满分12分）（1）证明：3sin cos sin sin()sin cos cos sin A C B A C A C A C ==+=+2sin cos cos sin tan 2tan A C A C C A ⇒=⇒=．……………………………………（6分）（2）解：2222221323a b c a b c a b ab +-=⇒=+ ，而3c b =，222712933b a b a b =+⇒=，∴1πcos 323b C C a ===∴． ……………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）列联表如下：…………………………………………………………………………（3分）由公式得：222()400(12010010080)4004.040()()()()20020018022099n ad bc a b c d a c b d χ-⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯5.024<，所以认为喜爱马拉松项目与性别无关． ………………………………………（6分）（2）易得：采取分层抽样方法从接受问卷调查且喜爱马拉松的居民中抽取10人中有6名男士，4名女士；从10人中抽取4人有1名女士的概率：31641410C C 821C p ==， 从10人中抽取4人没有女士的概率：462410C 114C p ==， 所以从10人中抽到的4人中至少有2名女士的概率：1223142p p p =--=．………………………………………………………………（12分）喜爱 不喜爱 合计 男性 120 100 220 女性 80 100 180 合计200200400数学参考答案·第5页（共8页）20．（本小题满分12分）（1）证明：连接DQ ，因为PO ⊥平面ABC ，所以PO AB ⊥．又因为CD AB ⊥，CD PO O = ，所以AB ⊥平面PCD ， 所以AB PC ⊥，AB DQ ⊥．由二面角的定义可知：QDC ∠即为截面QAB 与底面ABC 所成的二面角． 又因为QDC OPC ∠=∠，所以90PQD POD ∠=∠=︒，即PC DQ ⊥． 又因为AB DQ D = ，所以PC ⊥平面QAB ，证毕．…………………………（5分）（2）解：由（1）知：可以Q 为坐标原点，向量QD ，DB ，QP所在方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系Q xyz -，由题可知：(000)Q ，，，(002)P ，，，(420)A -，，，(420)B ，，， 所以(002)QP = ，，，(422)PA =-- ，，，(422)PB =-，，，设平面PAB 和平面PBC 的法向量分别为1111()n x y z = ，，，2222()n x y z =，，， 则有1100n PA n PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，可得11111142204220x y z x y z --=⎧⎨+-=⎩，， 令11x =，得10y =，12z =，所以1(102)n =，，， 则有2200n QP n PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，可得2222204220z x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，， 令21x =，得22y =-，20z =，所以2(120)n =-，，， 设平面ABP 与平面BPC 夹角的大小为θ， 则1212||1cos 5||||n n n n θ==． …………………………………………………………（12分）图2数学参考答案·第6页（共8页）21．（本小题满分12分）（1）解：由题可知：2222221914a c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，，，解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． …………………………………（4分）（2）证明：设直线l 的方程为1x my =+，点11()M x y ，，22()N x y ，， 联立2213412x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得：223(1)412my y ++=， 化简得：22(34)690m y my ++-=，由于直线l 所过点F 在椭圆内部，所以直线l 与椭圆必相交，即0∆>， 所以由韦达定理得：122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩易得：121246()my y y y =+，…………………………………………………………………（7分）又因为(20)A -，，11()M x y ，，所以直线AM 的方程为11(2)2y y x x =++， 又因为(20)B ，，22()N x y ，，所以直线BN 的方程为22(2)2y y x x =--， 联立直线AM 与BN 得：1212(2)(2)22y y x x x x +=-+-，…………………………………………………………………（9分）解得：21121221121221121221121224422(1)442(1)22(1)22(1)x y y y x y my y y y my y x x y y y x y my y y y my y -+++-+++==-+++-+++++1212121212124266()26433my y y y y y y y y y y y -++-+===++，即点P 的横坐标为4，同理：点Q 的横坐标也为4，PQ 即为直线4x =， 所以PQ x ⊥轴，证毕．…………………………………………………（12分）数学参考答案·第7页（共8页）22．（本小题满分12分）（1）解：由题可知：()f x 的定义域为(0)+∞，，导函数222e e 11(1)(e )()(0)x x xx x k f x k x x x xx ----⎛⎫'=-+=> ⎪⎝⎭．……………………（1分）①当1k ≤时，易得：e 0x k ->，从而当(01)x ∈，时，()0f x '<；当(1)x ∈+∞，时，()0f x '>， 所以()f x 在(01)，上单减，(1)+∞，上单增；②当1k >时，由()0f x '=可得：1x =或ln k ， 1︒．当ln 1k =时，即e k =时，()0f x '≥恒成立， 所以()f x 在(0)+∞，上单增；2︒．当ln 1k <时，即1e k <<时，从而当(0ln )x k ∈，时，()0f x '>； 当(ln 1)x k ∈，时，()0f x '<；当(1)x ∈+∞，时，()0f x '>， 所以()f x 在(0ln )k ，上单增，(ln 1)k ，上单减，(1)+∞，上单增； 3︒．当ln 1k >时，即e k >时，从而当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(1ln )x k ∈，时，()0f x '<；当(ln )x k ∈+∞，时，()0f x '>； 所以()f x 在(01)，上单增，(1ln )k ，上单减，(ln )k +∞，上单增． 综上：①当1k ≤时，()f x 在(01)，上单减，(1)+∞，上单增；②当1e k <<时，()f x 在(0ln )k ，上单增，(ln 1)k ，上单减，(1)+∞，上单增； ③当e k =时，()f x 在(0)+∞，上单增；④当e k >时，()f x 在(01)，上单增，(1ln )k ，上单减，(ln )k +∞，上单增．…………………………………………………………………（5分）（2）证明：由（1）知：若()f x 存在极小值，则1e k <<或e k >，①当1e k <<时，()f x 在(0ln )k ，上单增，(ln 1)k ，上单减，(1)+∞，上单增， 易得：()(1)e 0f x f k ==->极小，而2(ln )0k -<，所以不符合题意，舍去；…………………………………………………………………（6分）②当e k >时，()f x 在(01)，上单增，(1ln )k ，上单减，(ln )k +∞，上单增，数学参考答案·第8页（共8页）易得：2()(ln )ln(ln )(ln )f x f k k k k ==-=-极小， 得到：2ln(ln )(ln )k k k =，令ln 1t k =>，则有2e ln tt t =，得到ln ln e e ett t t t t ==，………………………………………………………………………（8分） 令ln ()(1)x g x x x =>，则21ln ()xg x x -'=， 从而得到()g x 在(1e)，上单增，(e )+∞，上单减， 又因为()(e )t g t g =，所以1e e t t <<<， 令()(2e )ln ln(2e )G x x x x x =---，1e x <<， 则2e 2e ()ln ln(2e )ln((2e ))2e 2e x x x xG x x x x x x x xx --'=-+--+=--++--2222e ln((e)e )ln(e )202e x xx xx -=---+++>-+=-， 所以()G x 在(1e)，上单增，从而()(e)0G x G <=， 得到：(2e )ln ln(2e )x x x x -<-，即ln ln(2e )2e x x xx -<-，又因为1e e tt <<<，所以ln e ln ln(2e )2e et t t t t t -=<-， 又因为()g x 在(e )+∞，上单减，所以e 2e t t >-， 从而e 2e t t +>，即ln 2e k k +>，证毕．…………………………………（12分）。