1995年考研数学二试题及答案
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设221cos()siny x x=,则y '=＿＿＿＿＿＿. (2) 微分方程2y y x ''+=-的通解为＿＿＿＿＿＿.(3) 曲线231x ty t⎧=+⎪⎨=⎪⎩在2t =处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.(4) 22212lim()12n nn n n n n n n→∞+++=++++++＿＿＿＿＿＿. (5) 曲线22x y x e -=的渐近线方程为＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设()f x 和()x ϕ在(,)-∞+∞内有定义,()f x 为连续函数,且()0f x ≠,()x ϕ有间断点,则 ( ) (A) [()]f x ϕ必有间断点 (B) 2[()]x ϕ必有间断点 (C) [()]f x ϕ必有间断点 (D)()()x f x ϕ必有间断点 (2) 曲线(1)(2)y x x x =--与x 轴所围图形的面积可表示为 ( )(A) 2(1)(2)x x x dx ---⎰(B)1201(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx -----⎰⎰(C) 121(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰(D)2(1)(2)x x x dx --⎰(3) 设()f x 在(,)-∞+∞内可导,且对任意12,x x ,当12x x >时,都有12()()f x f x >,则( )(A) 对任意,()0x f x '> (B) 对任意,()0x f x '-≤ (C) 函数()f x -单调增加 (D) 函数()f x --单调增加(4) 设函数()f x 在[0,1]上()0f x ''>,则(1)(0)(1)(0)f f f f ''-、、或(0)(1)f f -的大小顺序是 ( ) (A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>-> (C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->> (D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>-> (5) 设()f x 可导,()()(1|sin |)F x f x x =+,若使()F x 在0x =处可导,则必有 ( )(A) (0)0f = (B) (0)0f '= (C) (0)(0)0f f '+= (D) (0)(0)0f f '-=三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1)求0lim x +→(2) 设函数()y y x =由方程()f y yxee =确定,其中f 具有二阶导数,且1f '≠,求22d ydx.(3) 设222(1)ln 2x f x x -=-,且[()]ln f x x ϕ=,求()x dx ϕ⎰.(4) 设21arctan ,0,() 0, 0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩试讨论()f x '在0x =处的连续性. (5) 求摆线1cos sin x ty t t =-⎧⎨=-⎩一拱(02t π≤≤)的弧长.(6) 设单位质点在水平面内作直线运动,初速度00t v v ==,已知阻力与速度成正比(比例常数为1),问t 为多少时此质点的速度为03v ？并求到此时刻该质点所经过的路程.四、(本题满分8分)求函数2()(2)x t f x t e dt -=-⎰的最大值和最小值.五、(本题满分8分)设xy e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解,求此微分方程满足条件ln20x y ==的特解.六、(本题满分8分)如图,设曲线L 的方程为()y f x =,且0y ''>,又,MT MP 分别为该曲线在点00(,)M x y 处的切线和法线,已知线段MP 的长度为3220(1)y y '+''(其中00(),y y x ''= 00()y y x ''''=),试推导出点(,)P ξη的坐标表达式.七、(本题满分8分)设0sin ()xtf x dt tπ=-⎰,计算0()f x dx π⎰.八、(本题满分8分)设0()lim1x f x x→=,且()0f x ''>,证明()f x x ≥.1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】22222cos()sin12sin()sin x x x x xx ⋅-⋅-【解析】该函数是由两个复合函数的乘积构成,满足复合函数求导法则,222211cos()sin cos()sin y x x x x '⎡⎤''⎡⎤=+⎣⎦⎢⎥⎣⎦22221111sin()2sincos()2sin cos (1)x x x x x x x=-⋅⋅+⋅⋅⋅- 22222cos()sin 12sin()sin x x x x x x⋅=-⋅-. 【相关知识点】复合函数求导法则：(())y f x ϕ=的导数为(())()y f x f x ϕ'''=. (2)【答案】12cos sin 2y c x c x x =+-【解析】微分方程2y y x ''+=-对应的齐次方程0y y ''+=的特征方程为210r +=, 特征根为1,2r i =±,故对应齐次方程的通解为12cos sin C x C x +.设非齐次方程的特解Y ax b =+,则Y a '=,0Y ''=,代入微分方程2y y x ''+=-,得02ax b x ++=-,比较系数得2,0,a b =-=故2Y x =-.所以通解为12cos sin 2y C x C x x =+-.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .x y e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k xm y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1. (3)【答案】370y x -+= 【解析】切线的斜率为2222233322t t t t dy dy t dt t dx dx tdt========. 当2t =时,5,8x y ==.故所求切线方程为 83(5)y x -=-.化简得 370y x -+=.【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩,则()()dy t dx t ϕφ'='.(4)【答案】12【解析】应用夹逼准则求数列的极限.令2221212n na n n n n n n n=+++++++++ 则 22212n na n n n n n n n n n>+++++++++221(1)1222211.22n n n n n n n n n ++++==+++=⋅+ 又 222221(1)1212122n n n n n a n n n n n n n n n n ++++<+++===+++++, 即 111222n n a n +⋅<<+,所以 11111lim lim lim 22222n n n n n a n →∞→∞→∞+⋅=<<=+.由夹逼准则,得1lim 2n n a →∞=.即222121lim()122n n n n n n n n n →∞+++=++++++. (5)【答案】0y =【解析】函数22x y x e -=的定义域为全体实数,且22lim lim 0x x x y x e -→∞→∞==,所以曲线只有一条水平渐近线0y =.【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim ()x f x a →∞=(a 为常数),则y a =为函数的水平渐近线.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】方法一：反证法,利用连续函数的性质,即有限多个在同一点处连续的函数之乘积,仍然在该点处连续.设函数()()x f x ϕ无间断点,因为()f x 是连续函数,则()()()()x x f x f x ϕϕ=⋅必无间断点,这与()x ϕ有间断点矛盾,故应选择(D).方法二：排除法,举出反例排除.设 1,0,()1,()1,0,x f x x x ϕ-<⎧≡=⎨≥⎩则2[()]1,[()]1,[()]1f x f x x ϕϕϕ≡≡≡都处处连续,排除(A),(B),(C).故应选择(D). (2)【答案】(C)【解析】方法一：利用定积分的求面积公式有22(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx --=--⎰⎰121(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx =---+--⎰⎰应选择(C).方法二：画出曲线(1)(2)y x x x =--的草图,所求面积为图中两面积之和,即121(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰,故应选(C). (3)【答案】(D)【解析】因为对任意12,x x ,当12x x >时,12x x -<-,则函数12()()f x f x -<-,即12()()f x f x -->--,故()f x --是单调增加的.应选择(D).对于(A)(B)(C)可令3()f x x =,则对任意12,x x ,当12x x >时,都有12()()f x f x >,但 2(0)30x f x='==,2()3()0f x x '-=-≥,3()f x x -=-,在其定义域内单调减少.故排除(A)(B)(C). (4)【答案】(B)【解析】由()0f x ''>可知()f x '在区间[0,1]上为严格的单调递增函数,故(1)()(0),(01)f f x f x '''>> <<由微分中值定理,(1)(0)(),(01)f f f ξξ'-=<<.所以(1)(1)(0)()(0)f f f f f ξ'''>-=>,(01)ξ<<应选择(B). (5)【答案】(A)【解析】函数()f x 在0x x =处可导的充分必要条件是0()f x -'与0()f x +'存在且相等. 由于()()()|sin |F x f x f x x =+,而()f x 可导,所以()F x 在0x =处可导等价于()|sin |f x x 在0x =可导.令()()|sin |x f x x ϕ=,则0000()|sin |()sin (0)lim lim (0),()|sin |()sin (0)lim lim (0),x x x x f x x f x x f x xf x x f x x f x x ϕϕ++--+→→-→→⎧'===⎪⎪⎨⎪'==-=-⎪⎩于是要使()F x 在0x =处可导,当且仅当(0)(0)f f -=,即(0)0f =.故选择(A).三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)(1)【解析】利用等价无穷小计算,即当0x →时,sin xx .原式22200022sin 1112lim lim lim 222222x x x x x x +++→→→⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭====⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭. (2)【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数.方法一：将方程两边对x 求导,得()()()f y f y y e xe f y y e y '''+⋅⋅=⋅,即 ()()()f y y f y e y e xf y e '='-,将()f y y xee =代入并化简,得 1(1())y x f y '='-.两边再对x 求导,得[][][][]220(1())(1())(())(1())(1())x f y f y x f y y y x f y x f y ''''''----+-⋅''==''--[]221()(1())(1())y f y x f y x f y '''=-+'-'-. 将1(1())y x f y '='-代入并化简得[]3221()(1())(1())f y y x f y x f y ''''=-+'-'-. 方法二：方程两边先取对数再对x 求导.方程两边取对数得 ln ()x f y y +=,求导得1()f y y y x'''+⋅=, 因为1f '≠,所以 1(1())y x f y '='-. 以下同方法一.【相关知识点】复合函数求导法则：(())y f x ϕ=的导数为(())()y f x f x ϕ'''=. (3)【解析】首先应求出()x ϕ的表达式.由2222211(1)ln ln 211x x f x x x -+-==---,令21,x t -=得1()ln1t f t t +=-.又 ()1[()]lnln ()1x f x x x ϕϕϕ+==-,则()1()1x x x ϕϕ+=-.解得1()1x x x ϕ+=-.因此12()(1)2ln 111x x dx dx dx x x C x x ϕ+==+=+-+--⎰⎰⎰. (4)【解析】函数()f x 在0x x =处的导函数连续的充分必要条件是0()f x -'与0()f x +'存在且必与0()f x '相等.当0x ≠时,22412()arctan 1x f x x x'=-+,由于 224000012lim ()lim ()lim ()lim arctan 0122x x x x x f x f x f x x x ππ→-→+→→⎡⎤'''===-=-=⎢⎥+⎣⎦, 2000()(0)()1(0)limlim limarctan 02x x x f x f f x f x x x π→→→-'====-, 所以 00lim ()lim ()(0)x x f x f x f →-→+'''==.故()f x '在0x =处连续. (5)【解析】由弧微分公式得ds ===,所以2222000022sin2sin224cos4(11)8.2t t s dt dttπππππ====⎡⎤=-=---=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(6)【解析】设质点的运动速度为()v t,由题设,阻力为()v t-,按牛顿第二定律有()()dv tm v tdt=-,其中质量1m=,即()()dv tv tdt=-.这是简单变量可分离的微分方程,解之得()tv t Ce-=.另有初始条件(0)v v=,得()tv t v e-=.当此质点的速度为03v时,有3tvve-=,得ln3t=.到此时刻该质点所经过的路程为ln3ln3000012133t ts v e dt v e v v--⎛⎫⎡⎤==-=--=⎪⎣⎦⎝⎭⎰.四、(本题满分8分)【解析】对函数2()(2)x tf x t e dt-=-⎰两边求导并令()0f x'=,得22()2(2)0xf x x x e-'=-=,解得驻点0,x x==由于()0,()()0,0,()()0,0()()0,,()f x x f xf x x f xf x x f xf x x f x'>-∞<<'<<<'><<'<<<+∞⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩严格单调增,严格单调减,严格单调增,严格单调减,所以(f f为函数()f x的极大值点,(0)f为函数()f x的极小值点,且222200((2)(2)1t t tf t e dt t e e dt e----=-=---=+⎰⎰,(0)(2)0tf t e dt-=-=⎰,又00lim()li(2)(2)1m()x xt t tf x f t e dt t e e dtx+∞→-∞→+∞+∞+∞----=---===⎰⎰, 所以2(1f e-=+为函数()f x最大值,(0)0f=为函数()f x的最小值.【相关知识点】积分上限函数的求导公式：()()()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dx βαββαα''=-⎰.五、(本题满分8分)【解析】把xy e =和xy e '=代入所给的一阶线性微分方程,得()x x xe p x e x +=,解得 ()xp x xex -=-.线性方程被确定为()xxy xe x y x -'+-=,即(1)1x y e y -'+-=.这是一阶线性非齐次微分方程,通解为 (1)(1)x x e dxe dx y e e dx C -----⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ ()()xxxxx x e exex e x e x e x e eedx C e dx C e e dx C e -------+--++-⎛⎫⎛⎫'=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ ()xx xe xe x exe e C e Ce ---+-+=+=+.再由 ln20x y==得ln 2ln 2ln 20e e Ce-++=,即12C e -=-.故所求的特解为 12x e x xy e e-+-=-.【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的通解公式为:()()(())p x dx p x dxy e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.六、(本题满分8分)【解析】要求点P 的坐标,也就是说,要用0000,,,,x y y y '''表示出,ξη. 由()32201MP y y '''=+,有 ()3202200201()()y x y y ξη'+-+-='', ①又由法线的斜率与切线斜率互为负倒数的关系,知x y y ξη-'=--, ②把②式,即000()()x y y ξη'-=--代入①消去,ξ得到 2222000()(1)/y y y η'''-=+, ③ 由0y ''>,知曲线是向上凹的,容易看出0y η>,所以③可化为 20001y y y η'+-='',且 2000000(1)()y y x y y y ξη''+'-=--=-'',于是得 200002000(1),1(1).y x y y y y y ξη'⎧'=-+⎪''⎪⎨⎪'=++⎪''⎩七、(本题满分8分)【解析】方法一：这是一个积分上限函数求定积分,可以考虑用定积分的分部积分法.由于 sin ()xf x xπ'=-, 因而由分部积分法和00sin (0)0tf dt t π==-⎰,有()()()()()()()f x dx f x d x f x x f x x dx πππππππ'=-=-+-⎰⎰⎰[]000sin ()sin cos 2x x dx xdx x xπππππ=-==-=-⎰⎰.方法二：对于二重积分sin ()x t f x dx dt dx t πππ⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰,可以通过变换积分次序来求解. 000sin sin ()x Dt t f x dx dt dx dtdx t t ππππ⎛⎫== ⎪--⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰,其中{}{}(,)0,0(,)0,.D x t x t x x t t t x πππ=≤≤≤≤=≤≤≤≤于是000sin sin ()sin 2t t t t f x dx dx dt dt dx tdt t t ππππππππ⎛⎫==== ⎪--⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰.八、(本题满分8分) 【解析】由于 0()lim1x f x x→=,所以必有(0)0f =,且0()(0)()(0)limlim 10x x f x f f x f x x→→-'===-. 证法一：用函数单调性证明不等式. 令 ()()x f x x ϕ=-,则 ()()1()(0)x f x f x f ϕ''''=-=-. 由于()0f x ''>,所以函数()f x '单调增加,()()(0)0,0,()()(0)0,0,x f x f x x f x f x ϕϕ'''=->>⎧⎨'''=-<<⎩()x ϕ'在0x =由负变正,所以0x =是()x ϕ的极小值点也是最小值点,()()(0)(0)00x f x x f ϕϕ=-≥=-=,即()f x x ≥. 证法二：用泰勒公式.2211()(0)(0)()()2!2f x f f x f x x f x ξξ'''''=++=+. 因为()0f x ''>,所以 21()02f x ξ''≥. 所以 21()()2f x x f x x ξ''=+≥.。
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2sin 0lim(13)xx x →+=_____________.(2)202cos x d x t dt dx⎰= _____________.(3)设()2,⨯=a b c 则[()()]()+⨯++a b b c c a =_____________.(4)幂级数2112(3)n n nn nx ∞-=+-∑的收敛半径R =_____________. (5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设有直线:L 321021030x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L(A)平行于π (B)在π上 (C)垂直于π(D)与π斜交(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是 (A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>-> (C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>(D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的 (A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件(4)设(1)ln(1nn u =-+则级数(A)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛 (B)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散(C)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散 (D)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有(A)12AP P =B (B)21AP P =B (C)12P P A =B(D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,yu f x y z x z y x ϕ===其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数,且0.zϕ∂≠∂求.du dx (2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1(),f x dx A =⎰求11()().xdx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分,zdS ∑⎰⎰其中∑为锥面z =222x y x +≤内的部分.(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数. 五、(本题满分7分)设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33(,),22求L 的方程. 六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,).Q x y七、（本题满分8分）假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====试证:(1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使()().()()f f g g ξξξξ''=''八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A 九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=则{max(,)0}P X Y ≥=____________. 十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度为()X f x = e 0x - 0x x ≥<,求随机变量e XY =的概率密度().Y f y。
1995-2008考研数学一至数学四真题及解答
1995-2008考研数学一至数学四真题及解答资料类别： 1995-XX年研究生入学统一考试数学一试题一填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） = .（2）曲面与平面平行的切平面的方程是 ..（3）设，则 = .（4）从的基到基的过渡矩阵为 . .（5）设二维随机变量(x,y)的概率密度为则 . .（6）已知一批零件的长度x (单位：cm)服从正态分布，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则的置信度为的置信区间是 ..二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(a) 一个极小值点和两个极大值点.(b) 两个极小值点和一个极大值点.(c) 两个极小值点和两个极大值点.(d) 三个极小值点和一个极大值点.yo x（2）设均为非负数列，且 , , ,则必有(a) 对任意n成立. (b) 对任意n成立.(c) 极限不存在. (d) 极限不存在.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且，则(a) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(b) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(c) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(d) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.（4）设向量组i：可由向量组ii：线性表示，则(a) 当时，向量组ii必线性相关. (b) 当时，向量组ii必线性相关.(c) 当时，向量组i必线性相关. (d) 当时，向量组i必线性相关.（5）设有齐次线性方程组ax=0和bx=0, 其中a,b均为矩阵，现有4个命题：①若ax=0的解均是bx=0的解，则秩(a) 秩(b)；②若秩(a) 秩(b)，则ax=0的解均是bx=0的解；③若ax=0与bx=0同解，则秩(a)=秩(b)；④若秩(a)=秩(b)，则ax=0与bx=0同解.以上命题中正确的是(a) ①②. (b) ①③.(c) ②④. (d) ③④.（6）设随机变量，则(a) . (b) .(c) . (d) .三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx 及x轴围成平面图形d.(1)求d的面积a;(2)求d绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积v.四、（本题满分12分）将函数展开成x的幂级数，并求级数的和.五、（本题满分10分）已知平面区域，l为d的正向边界. 试证：(1) ;(2)六、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0。
考研数二真题及解析
Born to win
(4) 设函数 f ( x) 在 [0,1] 上 f ′′( x) > 0 ,则 f ′(1)、f ′(0)、f (1) − f (0) 或 f (0) − f (1) 的大小 顺序是 (A) f ′(1) > f ′(0) > f (1) − f (0) (C) f (1) − f (0) > f ′(1) > f ′(0) (5) 设 f ( x) 可导, = F ( x) (A) f (0) = 0 (C) f (0) + f ′(0) = 0 (B) f ′(1) > f (1) − f (0) > f ′(0) (D) f ′(1) > f (0) − f (1) > f ′(0) ( ) ( )
2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解
Y ( x) ,可用特征方程法求解：即 y′′ + P( x) y′ + Q( x) y = 0 中的 P( x) 、 Q( x) 均是常数,方程
变为 y′′ + py′ + qy = 0 ,在复数域内解出两个特征根 r1 , r2 ； 0 .其特征方程写为 r + pr + q =
Born to win
1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1) 设 y = cos( x ) sin
2 2
1 ,则 y′ = ＿＿＿＿＿＿. x
(2) 微分方程 y′′ + y = −2 x 的通解为＿＿＿＿＿＿.
ϕ ( x)
f ( x)
考研数学二真题29套：1989年至2018年
六、(本题满分 7 分) 证明方程ln x
x 1 cos 2xdx 在区间(0, ) 内有且仅有两个不同实根. e 0
含 29 套考研数学二历年真题：1985 年至 2018 年 全国考研数学二真题 真题目录（29 套）
1、1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 2、1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 3、1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 4、1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 5、1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 6、1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 7、1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 8、1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 9、1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 10、1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 11、1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 12、2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 13、2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 14、2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 15、2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 16、2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 17、2005 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 18、2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 19、2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 20、2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 21、2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 22、2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 23、2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 24、2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 25、2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 26、2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 27、2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 28、2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 29、2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
1995年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)
1995年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分．第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题(本大题共15小题,第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知I 为全集，集合M ，N ⊂I ，若M ∩N =N ，则 ( )(A) N M ⊇ (B) N M ⊆(C) N M ⊆(D) N M ⊇2．函数y =11+-x 的图像是 ( ) 3．函数y =4sin(3x +4π)+3cos(3x +4π)的最小正周期是( )(A) 6π (B) 2π(C) 32π (D)3π 4．正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是( )(A)32a π (B)22a π(C) 2πa 2 (D) 3πa 25．若图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) (A) k 1<k 2<k 3 (B) k 3< k 1< k 2 (C) k 3< k 2< k 1(D) k 1< k 3< k 26．在(1－x 3)(1+x )10的展开式中，x 5的系数是 ( ) (A) －297(B) －252(C) 297(D) 2077．使arcsin x >arccos x 成立的x 的取值范围是( )(A) ⎥⎦⎤ ⎝⎛220， (B) ⎥⎦⎤⎝⎛122， (C)⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-221，(D) [)01，-8．双曲线3x 2－y 2=3的渐近线方程是 ( )(A) y =±3x(B) y =±31x (C) y =±3x(D) y =±33x 9．已知θ是第三象限角，且sin 4θ+cos 4θ=95，那么sin2θ等于 ( )(A)322 (B) 322-(C)32 (D) 32-10．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β 其中正确的两个命题是 ( )(A) ①与②(B) ③与④(C) ②与④(D) ①与③11．已知y =log a (2－ax )在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 ( ) (A) (0，1)(B) (1，2)(C) (0，2)(D) [)∞+，212．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ，若132+=n n T S n n ，则nn n b a ∞→lim 等于( )(A) 1(B) 36(C)32 (D)94 13．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共( ) (A) 24个(B) 30个(C) 40个(D) 60个14．在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点(2c ，0)，离心率为e ，则它的极坐标方程是( )(A) ()θρcos 11e e c --= (B) ()θρcos 112e e c --=(C) ()θρcos 11e e c --= (D) ()()θρcos 112e e e c --=15．如图，A 1B 1C 1－ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成的角的余弦值是( )(A)1030 (B)21 (C)1530 (D)1015第Ⅱ卷(非选择题，共85分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上)16．不等式x x 283312-->⎪⎭⎫ ⎝⎛的解集是__________17．已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为3π，则圆台的体积与球体积之比为_____________18．函数y =sin(x －6π)cos x 的最小值是____________ 19．直线l 过抛物线y 2=a (x +1)(a >0)的焦点，并且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为4，则a =20．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有 __________种(用数字作答)三、解答题(本大题共6小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)21．(本小题满分7分)在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z 1，Z 2，Z 3，O (其中O 是原点)，已知Z 2对应复数i Z 312+=．求Z 1和Z 3对应的复数．22．(本小题满分10分)求sin 220°+cos 250°+sin20°cos50°的值．23．(本小题满分12分)如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面的圆周上，AF ⊥DE ，F 是垂足．(1)求证：AF ⊥DB ；(2)如果圆柱与三棱锥D －ABE 的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABCD 所成的角．24．(本小题满分12分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克．根据市场调查，当8≤x ≤14时，淡水鱼的市场日供应量P 千克与市场日需求量Q 千克近似地满足关系：P =1000(x +t －8)( x ≥8，t ≥0)，Q =500()2840--x (8≤x ≤14)．当P =Q 时市场价格称为市场平衡价格．(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域； (2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元? 25．(本小题满分12分)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和． (1)证明12lg 2lg lg ++<+n n n S S S ；(2)是否存在常数c >0，使得()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg 成立?并证明你的结论．26．(本小题满分12分) 已知椭圆1162422=+y x ，直线1812:=+yx l ．P 是l 上点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |=|OR |，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．1995年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)1．C 2．B 3．C 4．B 5．D 6．D 7．B8．C9 . A10．D11．B12．C13．A14．D15．A二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)16．{x |－2<x <4} 17．3237 18． 43- 19．4 20．144 三、解答题21．本小题主要考查复数基本概念和几何意义，以及运算能力． 解：设Z 1，Z 3对应的复数分别为z 1，z 3，依题设得=()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++i i 2222312122．本小题主要考查三角恒等式和运算能力． 解： 原式()()︒︒+︒++︒-=50cos 20sin 100cos 12140cos 12123．本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力． (1)证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ． ∵EB ⊂平面ABE ， ∴DA ⊥EB ．∵AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上， ∴AE ⊥EB ，又AE ∩AD =A ， 故得EB ⊥平面DAE ． ∵AF ⊂平面DAE ， ∴EB ⊥AF ．又AF ⊥DE ，且EB ∩DE =E ， 故得AF ⊥平面DEB ． ∵DB ⊂平面DEB ， ∴AF ⊥DB ．(2)解：过点E 作EH ⊥AB ，H 是垂足，连结DH ．根据圆柱性质，平面ABCD ⊥平面ABE ，AB 是交线．且EH 平面ABE ，所以EH ⊥平面ABCD ．又DH平面ABCD ，所以DH 是ED 在平面ABCD 上的射影，从而∠EDH 是DE 与平面ABCD 所成的角．设圆柱的底面半径为R ，则DA =AB =2R ，于是 V 圆柱=2πR 3，由V 圆柱：V D －ABE =3π，得EH =R ，可知H 是圆柱底面的圆心，AH =R ，DH=R AH DA 522=+ ∴∠EDH =arcctgEHDH=arcctg 5， 24．本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．解：(1)依题设有1000(x +t －8)=500()2840--x ，化简得 5x 2+(8t －80)x +(4t 2－64t +280)=0． 当判别式△=800－16t 2≥0时， 可得 x =8－t 54±25052t -． 由△≥0，t ≥0，8≤x ≤14，得不等式组：① ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-≤≤≤14505254885002t t t ② ⎪⎩⎪⎨⎧≤---≤≤≤14505254885002t t t 解不等式组①，得0≤t ≤10，不等式组②无解．故所求的函数关系式为 函数的定义域为[0，10]． (2)为使x ≤10，应有82505254t t -+-≤10 化简得 t 2+4t －5≥0．解得t ≥1或t ≤－5，由t ≥0知t ≥1．从而政府补贴至少为每千克1元．25．本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识，考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力．(1)证明：设{a n }的公比为q ，由题设a 1>0，q >0． (i)当q =1时，S n =na 1，从而S n ·S n +2－21+n S =na 1·(n +2)a 1－(n +1)221a =－21a <0(ⅱ)当q ≠1时，()qq a S nn --=111，从而S n ·S n +2－21+n S =021<-nq a ．由(i)和(ii)得S n ·S n +2－21+n S ．根据对数函数的单调性，知 lg(S n ·S n +2)<lg 21+n S ， 即12lg 2lg lg ++<+n n n S S S ．(2)解：不存在． 证明一：要使()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg ．成立，则有⎩⎨⎧>--=--++.0,)())((212c S c S c S c S n n n n 分两种情况讨论： (i)当q =1时，(S n —c )( S n +2—c ) =( S n +1—c )2 =(na 1－c )[(n +2)a 1－c ]－[(n +1)a 1－c ]2 =21a - <0．可知，不满足条件①，即不存在常数c >0，使结论成立． (ii)当q ≠1时，若条件①成立，因为 (S n —c )( S n +2—c )－( S n +1—c )2=()()()211211111111⎥⎦⎤⎢⎣⎡----⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++c q q a c q q a c q q a n n n =－a 1q n [a 1－c (1－q )]，且a 1q n ≠0，故只能有a 1－c (1－q )=0，即qa c -=11此时，因为c >0，a 1>0，所以0<q <1．但0<q <1时，01111<--=--qq a q a S nn ，不满足条件②，即不存在常数c >0，使结论① ② ③ ④成立．综合(i)、(ii)，同时满足条件①、②的常数c >0不存在，即不存在常数c >0，使()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg ．证法二：用反证法，假设存在常数c >0，使()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-->->->-++++.)())((,0,0021221c S c S c S c S c S c S n n nn n n ， 由④得S n S n +2－21+n S =c (S n + S n +2－2 S n +1)． ⑤ 根据平均值不等式及①、②、③、④知S n + S n +2－2 S n +1=(S n —c )+( S n +2—c )－2(S n +1—c ) ≥2()()c S c S n n --+2－2( S n +1—c )=0．因为c >0，故⑤式右端非负，而由(1)知，⑤式左端小于零，矛盾．故不存在常数c >0，使()()2lg lg 2c S c S n n -+-+=lg( S n +1—c )26．本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力．解法一：由题设知点Q 不在原点．设P 、R 、Q 的坐标分别为(x P ，y P )，(x R ，y R )，(x ，y )，其中x ，y 不同时为零．当点P 不在y 轴上时，由于点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2222222232483248y x y y y x x x R R 由于点P 在直线l 上及点O 、Q 、P 共线，得方程组解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x y y y x x x p p 32243224当点P 在y 轴上时，经验证①－④式也成立． 由题设|OQ |·|OP |=|OR |2，得 将①－④代入上式，化简整理得因x 与x p 同号或y 与yp 同号，以及③、④知2x +3y >0，故点Q 的轨迹方程为()()135125122=-+-y x (其中x ，y 不同时为零)．所以点Q 的轨迹是以(1，1)为中心，长、短半轴分别为210和315且长轴与x 轴平行的椭圆、去掉坐标原点．解法二：由题设知点Q 不在原点．设P ，R ，Q 的坐标分别为(x p ，y p )，(x R ，y R )，(x ，y )，其中x ，y 不同时为零．设OP 与x 轴正方向的夹角为α，则有 x p =|OP |cos α，y p =|OP |sin α； x R =|OR |cos α，y R =|OR |sin α； x =|OQ |cos α，y =|OQ |sin α； 由上式及题设|OQ |·|OP |=|OR |2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====,,,,2222y OQOP y x OQ OP x y OQ OP y x OQ OP x R R P P由点P 在直线l 上，点R 在椭圆上，得方程组1812=+PP y x ， ⑤ 1162422=+RR y x ， ⑥ 将①，②，③，④代入⑤，⑥，整理得点Q 的轨迹方程为()()135125122=-+-y x (其中x ，y 不同时为零)．所以点Q 的轨迹是以(1，1)为中心，长、短半轴分别为210和315且长轴与x 轴平行的椭圆、去掉坐标原点．。
1995考研数二真题及解析
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设()xx y 1sincos 22=,则________='y . (2) 微分方程x y y 2-=+''的通解为 .(3) 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为 . (4) _______2211lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n L n n n n n . (5) 曲线22x e x y -=的渐近线方程为 .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设()x f 和()x φ在()+∞∞-,内有定义,()x f 为连续函数,且()0≠x f ,()x φ有间断点,则 ( ) (A) ()[]x f φ必有间断点 (B) ()2][x φ必有间断点 (C) ()][x f φ必有间断点 (D)()()x f x φ必有间断点 (2) 曲线()()x x x y --=21与x 轴所围图形的面积可表示为 ( )(A) ()()dx x x x ---⎰212(B)()()()()⎰⎰-----2112121dx x x x dx x x x(C) ()()()()⎰⎰--+---2112121dx x x x dx x x x(D)()()dx x x x --⎰212(3) 设()x f 在()+∞∞-,内可导,且对任意21,x x ,当21x x >时,都有()()21x f x f >,则( )(A) 对任意()0,>'x f x (B) 对任意()0,≤-'x f x (C) 函数()x f -单调增加 (D) 函数()x f --单调增加(4) 设函数()x f 在[]1,0上()0>''x f ,则()1f ',()0f ',()()01f f -或()()10f f -的大小顺序是 ( ) (A) ()()()()0101f f f f ->'>' (B) ()()()()0011f f f f '>->' (C) ()()()()0101f f f f '>'>- (D) ()()()()0101f f f f '>->' (5) 设()x f 可导,()()()x x f x F sin 1+=,若使()x F 在0=x 处可导,则必有 ( )(A) ()00=f (B) ()00='f (C)()()000='+f f (D) ()()000='-f f三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1) 求()xx xx cos 1cos 1lim 0--+→.(2) 设函数)(x y y =由方程()yy f e xe=确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,求22dxyd .(3) 设()2ln 1222-=-x x x f ,且()[]x x f ln =ϕ,求()dx x ⎰ϕ.(4) 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,00,1arctan 2x x xx x f 试讨论()x f '在0=x 处的连续性. (5) 求摆线⎩⎨⎧-=-=tt y tx sin cos 1一拱()π20≤≤t 的弧长.(6) 设单位质点在水平面内作直线运动,初速度00v v t ==,已知阻力与速度成正比(比例常数为1),问t 为多少时此质点的速度为3v ？并求到此时刻该质点所经过的路程.四、(本题满分8分)求函数()()dt et x f tx -⎰-=22的最大值和最小值.五、(本题满分8分)设xe y =是微分方程()x y x p y x =+'的一个解,求此微分方程满足条件02ln ==x y的特解.六、(本题满分8分)如图,设曲线L 的方程为()x f y =,且0>''y ,MT MP ,又分别为该曲线在点()00,y x M 处的切线和法线,已知线段MP 的长度为()23201y y '''+(其中()00x y y '=' ()00x y y ''=''),试推导出点()ηξ,P 的坐标表达式.七、(本题满分8分)设()⎰-=xdt ttx f 0sin π,计算()⎰π0dx x f .八、(本题满分8分)设()1lim=→xx f x ,且()0>''x f ,证明()x x f ≥.1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】22222cos()sin12sin()sin x x x x xx ⋅-⋅-【解析】该函数是由两个复合函数的乘积构成,满足复合函数求导法则,222211cos()sin cos()sin y x x x x '⎡⎤''⎡⎤=+⎣⎦⎢⎥⎣⎦22221111sin()2sincos()2sin cos (1)x x x x x x x=-⋅⋅+⋅⋅⋅- 22222cos()sin 12sin()sin x x x x x x⋅=-⋅-. 【相关知识点】复合函数求导法则：(())y f x ϕ=的导数为(())()y f x f x ϕ'''=. (2)【答案】12cos sin 2y c x c x x =+-【解析】微分方程2y y x ''+=-对应的齐次方程0y y ''+=的特征方程为210r +=, 特征根为1,2r i =±,故对应齐次方程的通解为12cos sin C x C x +.设非齐次方程的特解Y ax b =+,则Y a '=,0Y ''=,代入微分方程2y y x ''+=-,得02ax b x ++=-,比较系数得2,0,a b =-=故2Y x =-.所以通解为12cos sin 2y C x C x x =+-.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .x y e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k x m y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]x l n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1. (3)【答案】370y x -+= 【解析】切线的斜率为2222233322t t t t dy dyt dt t dx dx tdt========. 当2t =时,5,8x y ==.故所求切线方程为 83(5)y x -=-.化简得 370y x -+=.【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩,则()()dy t dx t ϕφ'='.(4)【答案】12【解析】应用夹逼准则求数列的极限.令2221212n na n n n n n n n=+++++++++ 则 22212n na n n n n n n n n n>+++++++++221(1)1222211.22n n n n n n n n n ++++==+++=⋅+ 又 222221(1)1212122n n n n n a n n n n n n n n n n ++++<+++===+++++, 即 111222n n a n +⋅<<+, 所以 11111lim lim lim 22222n n n n n a n →∞→∞→∞+⋅=<<=+. 由夹逼准则,得1lim 2n n a →∞=.即222121lim()122n n n n n n n n n →∞+++=++++++. (5)【答案】0y =【解析】函数22x y x e -=的定义域为全体实数,且22lim lim 0x x x y x e -→∞→∞==,所以曲线只有一条水平渐近线0y =.【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim ()x f x a →∞=(a 为常数),则y a =为函数的水平渐近线.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】方法一：反证法,利用连续函数的性质,即有限多个在同一点处连续的函数之乘积,仍然在该点处连续.设函数()()x f x ϕ无间断点,因为()f x 是连续函数,则()()()()x x f x f x ϕϕ=⋅必无间断点,这与()x ϕ有间断点矛盾,故应选择(D).方法二：排除法,举出反例排除.设 1,0,()1,()1,0,x f x x x ϕ-<⎧≡=⎨≥⎩则2[()]1,[()]1,[()]1f x f x x ϕϕϕ≡≡≡都处处连续,排除(A),(B),(C).故应选择(D). (2)【答案】(C)【解析】方法一：利用定积分的求面积公式有22(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx --=--⎰⎰121(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx =---+--⎰⎰应选择(C).方法二：画出曲线(1)(2)y x x x =--的草图,所求面积为图中两面积之和,即121(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰,故应选(C). (3)【答案】(D)【解析】因为对任意12,x x ,当12x x >时,12x x -<-,则函数12()()f x f x -<-,即12()()f x f x -->--,故()f x --是单调增加的.应选择(D).对于(A)(B)(C)可令3()f x x =,则对任意12,x x ,当12x x >时,都有12()()f x f x >, 但 20(0)30x f x='==,2()3()0f x x '-=-≥,3()f x x -=-,在其定义域内单调减少.故排除(A)(B)(C). (4)【答案】(B)【解析】由()0f x ''>可知()f x '在区间[0,1]上为严格的单调递增函数,故(1)()(0),(01)f f x f x '''>> <<由微分中值定理,(1)(0)(),(01)f f f ξξ'-=<<.所以(1)(1)(0)()(0)f f f f f ξ'''>-=>,(01)ξ<<应选择(B). (5)【答案】(A)【解析】函数()f x 在0x x =处可导的充分必要条件是0()f x -'与0()f x +'存在且相等. 由于()()()|sin |F x f x f x x =+,而()f x 可导,所以()F x 在0x =处可导等价于()|sin |f x x 在0x =可导.令()()|sin |x f x x ϕ=,则0000()|sin |()sin (0)lim lim (0),()|sin |()sin (0)lim lim (0),x x x x f x x f x x f x xf x x f x x f x x ϕϕ++--+→→-→→⎧'===⎪⎪⎨⎪'==-=-⎪⎩于是要使()F x 在0x =处可导,当且仅当(0)(0)f f -=,即(0)0f =.故选择(A).三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)(1)【解析】利用等价无穷小计算,即当0x →时,sin xx .原式22200022sin 1112lim lim lim 2222x x x x x x +++→→→⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭====⋅⎝⎭. (2)【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数.方法一：将方程两边对x 求导,得()()()f y f y y e xe f y y e y '''+⋅⋅=⋅,即 ()()()f y y f y e y e xf y e'='-, 将()f y y xee =代入并化简,得 1(1())y x f y '='-.两边再对x 求导,得[][][][]220(1())(1())(())(1())(1())x f y f y x f y y y x f y x f y ''''''----+-⋅''==''--[]221()(1())(1())y f y x f y x f y '''=-+'-'-. 将1(1())y x f y '='-代入并化简得 []3221()(1())(1())f y y x f y x f y ''''=-+'-'-. 方法二：方程两边先取对数再对x 求导.方程两边取对数得 ln ()x f y y +=,求导得1()f y y y x'''+⋅=, 因为1f '≠,所以 1(1())y x f y '='-.以下同方法一.【相关知识点】复合函数求导法则：(())y f x ϕ=的导数为(())()y f x f x ϕ'''=. (3)【解析】首先应求出()x ϕ的表达式.由2222211(1)ln ln 211x x f x x x -+-==---,令21,x t -=得1()ln1t f t t +=-.又 ()1[()]lnln ()1x f x x x ϕϕϕ+==-,则()1()1x x x ϕϕ+=-.解得1()1x x x ϕ+=-.因此12()(1)2ln 111x x dx dx dx x x C x x ϕ+==+=+-+--⎰⎰⎰. (4)【解析】函数()f x 在0x x =处的导函数连续的充分必要条件是0()f x -'与0()f x +'存在且必与0()f x '相等.当0x ≠时,22412()arctan 1x f x x x '=-+,由于224000012lim ()lim ()lim ()lim arctan 0122x x x x x f x f x f x x x ππ→-→+→→⎡⎤'''===-=-=⎢⎥+⎣⎦, 2000()(0)()1(0)limlim limarctan 02x x x f x f f x f x x x π→→→-'====-, 所以 00lim ()lim ()(0)x x f x f x f →-→+'''==.故()f x '在0x =处连续. (5)【解析】由弧微分公式得ds ===,所以2222000022sin2sin224cos4(11)8.2t t s dt dttπππππ====⎡⎤=-=---=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(6)【解析】设质点的运动速度为()v t,由题设,阻力为()v t-,按牛顿第二定律有()()dv tm v tdt=-,其中质量1m=,即()()dv tv tdt=-.这是简单变量可分离的微分方程,解之得()tv t Ce-=.另有初始条件(0)v v=,得()tv t v e-=.当此质点的速度为03v时,有3tvve-=,得ln3t=.到此时刻该质点所经过的路程为ln3ln3000012133t ts v e dt v e v v--⎛⎫⎡⎤==-=--=⎪⎣⎦⎝⎭⎰.四、(本题满分8分)【解析】对函数2()(2)x tf x t e dt-=-⎰两边求导并令()0f x'=,得22()2(2)0xf x x x e-'=-=,解得驻点0,x x==由于()0,()()0,0,()()0,0()()0,,()f x x f xf x x f xf x x f xf x x f x'>-∞<<'<<'><<'<<<+∞⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩严格单调增,严格单调减,严格单调增,严格单调减,所以(f f为函数()f x的极大值点,(0)f为函数()f x的极小值点,且222200((2)(2)1t t tf t e dt t e e dt e----=-=---=+⎰⎰,(0)(2)0tf t e dt-=-=⎰,又00lim()li(2)(2)1m()x xt t tf x f t e dt t e e dtx+∞→-∞→+∞+∞+∞----=---===⎰⎰, 所以2(1f e-=+为函数()f x最大值,(0)0f=为函数()f x的最小值.【相关知识点】积分上限函数的求导公式：()()()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dxβαββαα''=-⎰.五、(本题满分8分)【解析】把x y e =和x y e '=代入所给的一阶线性微分方程,得()x x xe p x e x +=,解得 ()x p x xe x -=-.线性方程被确定为()x xy xe x y x -'+-=,即(1)1x y e y -'+-=.这是一阶线性非齐次微分方程,通解为 (1)(1)x x e dxe dx y e e dx C -----⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ ()()xx x x x x e e xe xe xe x e x e eedx C edx C e e dx C e -------+--++-⎛⎫⎛⎫'=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ ()xx xe xe x exe e C e Ce ---+-+=+=+.再由 ln20x y==得ln 2ln2ln20e eCe-++=,即12C e -=-.故所求的特解为 12x e x xy e e-+-=-.【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的通解公式为:()()(())p x dx p x dxy e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.六、(本题满分8分)【解析】要求点P 的坐标,也就是说,要用0000,,,,x y y y '''表示出,ξη. 由()3201MP y y '''=+,有 ()3202200201()()y x y y ξη'+-+-='', ①又由法线的斜率与切线斜率互为负倒数的关系,知x y y ξη-'=--, ②把②式,即000()()x y y ξη'-=--代入①消去,ξ得到 2222000()(1)/y y y η'''-=+, ③ 由0y ''>,知曲线是向上凹的,容易看出0y η>,所以③可化为 20001y y y η'+-='',且 2000000(1)()y y x y y y ξη''+'-=--=-'',于是得 200002000(1),1(1).y x y y y y y ξη'⎧'=-+⎪''⎪⎨⎪'=++⎪''⎩七、(本题满分8分)【解析】方法一：这是一个积分上限函数求定积分,可以考虑用定积分的分部积分法.由于 sin ()xf x xπ'=-, 因而由分部积分法和0sin (0)0tf dt tπ==-⎰,有 0()()()()()()()f x dx f x d x f x x f x x dx πππππππ'=-=-+-⎰⎰⎰[]000sin ()sin cos 2x x dx xdx x xπππππ=-==-=-⎰⎰.方法二：对于二重积分sin ()x t f x dx dt dx t πππ⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰,可以通过变换积分次序来求解. 00sin sin ()x Dt t f x dx dt dx dtdx t t ππππ⎛⎫== ⎪--⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰, 其中{}{}(,)0,0(,)0,.D x t x t x x t t t x πππ=≤≤≤≤=≤≤≤≤于是00sin sin ()sin 2t t t t f x dx dx dt dt dx tdt t t ππππππππ⎛⎫==== ⎪--⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰.八、(本题满分8分) 【解析】由于 0()lim1x f x x→=,所以必有(0)0f =,且0()(0)()(0)limlim 10x x f x f f x f x x→→-'===-. 证法一：用函数单调性证明不等式. 令 ()()x f x x ϕ=-,则 ()()1()(0)x f x f x f ϕ''''=-=-. 由于()0f x ''>,所以函数()f x '单调增加,()()(0)0,0,()()(0)0,0,x f x f x x f x f x ϕϕ'''=->>⎧⎨'''=-<<⎩()x ϕ'在0x =由负变正,所以0x =是()x ϕ的极小值点也是最小值点,()()(0)(0)00x f x x f ϕϕ=-≥=-=,即()f x x ≥. 证法二：用泰勒公式.2211()(0)(0)()()2!2f x f f x f x x f x ξξ'''''=++=+. 因为()0f x ''>,所以 21()02f x ξ''≥. 所以 21()()2f x x f x x ξ''=+≥.。
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题-推荐下载
ey 确定,其中
f [(x)] ln x ,求
试讨论
2
f (x) 在 x
)的弧长.
(6) 设单位质点在水平面内作直线运动,初速度 v t0 v0 ,已知阻力与速度成正比(比例常 数为 1),问 t 为多少时此质点的速度为 v0 ？并求到此时刻该质点所经过的路程. 3
四、(本题满分 8 分)
M (x0 , y0 )
(1 y02 )2 y0
x
3
(其中
y0
y(x0 ),
1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)
(1)【答案】
2x
sin( x 2
)
sin 2
1 x
cos(x2 ) sin x2
【解析】该函数是由两个复合函数的乘积构成,满足复合函数求导法则,
求函数 f (x) x2 (2 t)etdt 的最大值和最小值.
0
五、(本题满分 8 分)
设 y ex 是微分方程 xy p(x) y x 的一个解,求此微分方程满足条件 y 0 的特 xln 2
解.
六、(本题满分 8 分)
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
历年考研数学二真题与答案(09~13年)
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为()A 1()B 2 ()C 3()D 无穷多个【答案】C【解析】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即0,1±.(2) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则()A 11,6a b ==- ()B 11,6a b == ()C 11,6a b =-=- ()D 11,6a b =-=【答案】A 【解析】 22000()sin sin limlim lim ()ln(1)()x x x f x x ax x axg x x bx x bx →→→--==-⋅- 22002301cos sin lim lim 36sin lim 1,66x x x a ax a ax bx bxa ax ab b axa→→→---==-=-⋅洛洛36a b ∴=-,故排除,B C .另外,201cos lim 3x a axbx→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故 1.a =排除D . 所以本题选A .(3) 设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0()A 不是(),f x y 的连续点 ()B 不是(),f x y 的极值点()C 是(),f x y 的极大值点 ()D 是(),f x y 的极小值点【答案】D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂. 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂,又在()0,0处,0,0z zx y∂∂==∂∂,210AC B -=>, 故()0,0为函数(,)z f x y =的一个极小值点.(4) 设函数(),f x y 连续,则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰ ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰()D ()221,ydy f x y dx ⎰⎰【答案】C 【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-,将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤-, 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰,故答案为C .(5) 若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则函数()f x 在区间()1,2内()A 有极值点,无零点 ()B 无极值点,有零点()C 有极值点,有零点()D 无极值点,无零点【答案】B【解析】由题意可知,()f x 是一个凸函数,即()0f x ''<,且在点(1,1)处的曲率322||(1())y y ρ''=='+,而(1)1f '=-,由此可得,(1)2f ''=-. 在[1,2] 上,()(1)10f x f ''≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点. 对于(2)(1)()1(1,2)f f f ξξ'-=<- , ∈ ,(拉格朗日中值定理)(2)0f ∴ <而(1)10f =>,由零点定理知,在[1,2] 上,()f x 有零点.故应选B .（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。
1995考研数学二真题及答案解析
1995考研数学二真题及答案解析一、选择题1.设函数f(f)在[f,f]上连续，f(f)在(f,f)内可导，f(f)=1，f(f)=f，则必有__________。
A. f′(f0)=f f，其中$x_0\\in (a,b)$B. f′(f0)=f f，其中$y\\in[f(a),f(b)]$C. $f'(x_0)=\\ln y$，其中$y\\in[f(a),f(b)]$D. $f'(x_0)=\\ln e$，其中$x_0\\in (a,b)$答案解析：根据题目的条件，函数f(f)在[f,f]上连续，f(f)在(f,f)内可导。
根据柯西中值定理，存在一个$x_0\\in(a,b)$，使得：$$\\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$即：$$\\frac{f(x)-1}{x-a}=\\frac{e-1}{b-a}$$对上式两边同时取极限，得到：$$f'(x_0)=\\lim_{x\\to x_0}\\frac{f(x)-1}{x-a}=\\frac{f(b)-1}{b-a}=\\frac{e-1}{b-a}=e^x$$所以选项A正确。
所以答案是：A2.观察下列不等式：$$\\frac{1}{\\cos(x-\\alpha)}+\\frac{1}{\\sin(x-\\alpha)}>2\\sqrt{2}$$其中$0<\\alpha<\\frac{\\pi}{4}$，则__________。
A. $x\\in \\left(\\alpha,\\alpha+\\frac{\\pi}{4}\\right)$B. $x\\in \\left(0,\\alpha+\\frac{\\pi}{4}\\right)$C. $x\\in \\left(\\alpha-\\frac{\\pi}{4},\\alpha+\\frac{\\pi}{4}\\right)$D. $x\\in \\left(0,\\alpha-\\frac{\\pi}{4}\\right)\\cup \\left(0,\\alpha+\\frac{\\pi}{4}\\right)$答案解析：首先，考察分母的正负。
1995考研数学二真题及答案解析
π
f (x)dx .
0 π −t
0
八、(本题满分 8 分)
设 lim f (x) = 1,且 f ′′(x) > 0 ,证明 f (x) ≥ x . x→0 x
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1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)
(1)【答案】
−2x
五、(本题满分 8 分)
设 y = ex 是微分方程 xy′ + p(x) y = x 的一个解,求此微分方程满足条件 y = 0 的特 x=ln 2
解.
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六、(本题满分 8 分)
如图,设曲线 L 的方程为 y = f (x) ,且 y′′ > 0 ,又 MT , MP 分别为该曲线在点
3
M (x0 ,
x0
处有
lim
x → x0
f (x) =
∞ ,则
x = x0 是函数的一条铅直渐近线；
水平渐近线：当 lim f (x) = a ( a 为常数),则 y = a 为函数的水平渐近线. x→∞
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(D)
【解析】方法一：反证法,利用连续函数的性质,即有限多个在同一点处连续的函数之乘 积,仍然在该点处连续.
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(4) 设函数 f (x) 在[0,1] 上 f ′′(x) > 0 ,则 f ′(1)、f ′(0)、f (1) − f (0) 或 f (0) − f (1) 的大小
顺序是
(A) f ′(1) > f ′(0) > f (1) − f (0)
()
(B) f ′(1) > f (1) − f (0) > f ′(0)