广东省湛江市2020-2021学年高二上学期期末调研考试数学试卷
(高二数学答案)湛江市度第一学期期末高中调研测试
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广东省湛江市2020-2021学年高二上学期期末数学(文)试题(1)
广东省湛江市2020-2021学年高二上学期期末数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如果a b >，那么下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b ->-B ．c a c b ->-C ．a c b c +>+D ．22a b >2．命题“0x ∃∈R ，3210x x -+>”的否定是（ ） A ．0x ∃∈R ，3210x x -+< B ．x ∀∈R ，3210x x -+≤ C ．0x ∃∈R ，3210x x -+≤D ．不存在x ∈R ，3210x x -+>3．若,,,a b c d R ∈，则""a d b c +=+是“a,b,c,d 依次成等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知ABC 中内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，6c =，4a =，120B =，b =（ ）A ．76B ．C ．27D ．5．已知数列{}n a 的通项公式350n a n =-，则前n 项和n S 的最小值为( ) A ．－784B ．－368C ．－389D ．－3926．已知ABC 中内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，14a =，16b =，45A =，则满足条件的三角形有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个7．已知命题p ：“到点(1,0)的距离比到直线2x =-的距离小1的动点的轨迹是抛物线”，命题q ：“1和100的等比中项大于4和14的等差中项”，则（ ） A ．命题p q ∨是假命题 B ．命题p q ∧是真命题 C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()pq 是假命题8．若函数32()f x ax bx cx d =+++有极大值点1x 和极小值点2x （12x x <），则其导函数()'f x 的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，且AB 的中点的横坐标为2，则k ＝（ ） A ．2B ．－1C ．2或－1D ．10．已知函数()cos x f x x =，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭'（ ） A ．2π-B ．2πC ．3πD ．3π-11．已知双曲线221:143x y C -=的一条渐近线与双曲线2C 的—条渐近线垂直，则双曲线2C 的离心率为（ ）ABCD ．74或7312．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2127m n a a a =，则116m n+的最小值为（ ） A ．5 B ．215C ．516D ．654二、填空题13．若关于x 的不等式250ax x b -+< 的解集为{|23}x x << ，则+a b 的值是__________．14．函数()x f x xe =在0x =处的切线的斜率为_________.15．设变量x 、y 满足约束条件2022003x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩，则目标函数z x y =+的最大值为______.16．已知抛物线方程为2y x =，点M 在此抛物线上运动，则点(4,0)A 与点M 之间的距离||MA 的最小值为______________.三、解答题17．已知抛物线C ：22y x =和直线l ：1y kx =+，O 为坐标原点. （1）若抛物线C 的焦点到直线l 的距离为716，求k 的值； （2）若直线l 与直线2y x =平行，求直线l 与抛物线C 相交所得的弦长.18．甲乙两地相距100km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80/km h ，已知货车每小时的运输成本（单位：圆）由可变本和固定组成组成，可变成本是速度平方的19倍，固定成本为a 元. （1）将全程匀速匀速成本y （元）表示为速度(/)v km h 的函数，并指出这个函数的定义域；（2）若400a =，为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？19．已知椭圆2222x y C 1a b +=：()0,0a b >>的离心率为2，短轴长为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点P （2,1）作弦且弦被P 平分，则此弦所在的直线方程.20．已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >，其前n 项和为n S ，且11S a +，33S a +，22S a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 21．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知c=acosB+bsinA ． （1）求A ；（2）若a=2,b=c ，求ABC ∆的面积.22．已知函数()ln (1)f x x m x =-+（m R ∈）.（1）若1m =，判断函数()f x 的单调性，并求出单调区间；（2）若函数()20f x m +<对任意(1,)x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围.参考答案1．C 【解析】分析：根据题目中所给的条件，结合不等式的性质得到大小关系. 详解：a b >，22a b -<-,故A 不正确；c a c b -<-,B 也不正确；a cbc +>+，C 正确；D 22a b >不一定正确，当a,b 为负数时，不等式不成立.故答案为C.点睛：这个题目考查了根据已知条件得到不等式的大小关系；两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系. 2．B 【解析】根据命题的否定知，0x R ∃∈，3210x x -+>的否定为x R ∀∈，3210x x -+≤，故选B. 3．B 【解析】若a b c d ，，，依次成等差数列，则a d b c +=+，即必要性成立若2132a b c d ====，，，，满足a d b c +=+，但a b c d ，，，依次成等差数列错误，即充分性不成立 故选B 4．B 【分析】直接利用余弦定理求解即可 【详解】解：因为6c =，4a =，120B =， 所以由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-1636246cos120=+-⨯⨯⨯︒15248()2=-⨯-所以b = 故选：B 【点睛】此题考查余弦定理的应用，属于基础题 5．D 【解析】令3500n -≥，求得16n >，即数列从第17项开始为正数，前16项为负数，故数列的前16项的和最小，1612,47a a =-=-，()16472163922S --⨯∴==-，故选D.【方法点睛】求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最大值（若2B n A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值. 6．C 【分析】利用正弦定理解三角形即可判断. 【详解】ABC 中，由正弦定理得sin sin a b A B=，则16sin 2sin 147b AB a⨯===， b a >，B ∴可以有两个值.故选：C. 【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，属于基础题. 7．C 【分析】根据抛物线的定义判断出命题p 为真命题；根据等差中项和等比中项的性质判断命题q 为假【详解】对于命题p ，由动点到点(1,0)的距离比到直线2x =-的距离小1可知该动点到点(1,0)的距离与到直线1x =-的距离相等，则动点轨迹是以(1,0)为焦点，以1x =-为准线的抛物线，故命题p 为真命题；对于命题q ，1和100的等比中项为10或10-，4和14的等差中项为9，则1和100的等比中项不一定大于4和14的等差中项，故命题q 为假命题，所以命题p q ∨是真命题；命题p q ∧是假命题；命题q ⌝是真命题，则命题()p q ∧⌝是真命题；命题()p q 是真命题.故选：C. 【点睛】本题考查命题真假的判断，其中涉及抛物线的定义和等差等比中项的性质，属于基础题. 8．C 【分析】首先确定所给函数的导函数为二次函数，然后结合函数的极值确定函数的单调性，由函数的单调性即可确定函数()'f x 的大致图象. 【详解】()232f x ax bx c '=++为二次函数，其图象与x 轴有两个交点，结合函数的极值可知函数在区间()1,x -∞上单调递增，在区间()12,x x 上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增；则导函数在区间()1,x -∞上为正数，在区间()12,x x 上为负数，在区间()2,x +∞上为正数； 观察所给的函数图象可知，只有C 选项符合题意. 故选：C. 【点睛】本题考查函数与其导函数之间的关系，考查对导函数图象的辨别，属于基础题. 9．A 【解析】试题分析：假设，因是直线与抛物线的焦点，所以A ，B 坐标必满足方程组，消去得，为其两根，则，又的中点横坐标为，即，可解得，当时，方程为，由两个相等的实数根，即A ，B 为同一点，与题干中条件矛盾，所以舍去，故本题的正确选项为A ．考点：直线与抛物线的位置关系，中点公式．【易错点睛】在解答本题时，由中点坐标公式容易得的值为或者，因忽略条件A ，B 为两个不同点，而错误的选择C ，题中A ，B 为两个不同点，则其横、纵坐标都不是对应相等，便可利用一元二次方程的判别式就能够排除错误的答案． 10．A 【分析】 求得函数()cos x f x x =的导数，进而可求得2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值. 【详解】()cos x f x x =，()2sin cos x x x f x x --'∴=，因此，2sin 22222f πππππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭'-==- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查导数值的计算，考查计算能力，属于基础题. 11．C 【详解】双曲线1C的渐进线方程为02x =，故双曲线2C02y=. 设双曲线2C 的方程为()22:1034x y t t t-=≠.当0t >时，双曲线2C 的方程为22134x y t t -=，则234t 3t e t +=，解得：e = 当0t <时，双曲线2C 的方程为22143y x t t -=--，则234t 4t e t --=-，解得：e 2=； 故选C 12．A 【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据2127m n a a a =可得出5m n +=，利用基本不等式即可求出116m n+的最小值. 【详解】 正项等比数列中，2979a q a ==，所以3q =. 因为11222111127m n m n m n a a a q a q a qa --+-=⋅==，所以5m n +=.因为11611161161()()(17)17)5555n m m n m n m n m n +=++=++≥=， 当且仅当16n mm n=，即4n m =时取等号，因为m 、n *N ∈，所以1m =，4n =， 所以116m n+的最小值为5. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 13．7 【解析】由题意知0a ＞ 且2和3是方程250ax x b -+=的两个根，5321,7632a a a b b b a＝，＝⎧+⎪=⎧⎪∴∴+=⎨⎨=⎩⎪⨯⎪⎩.即答案为7.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，解题的关键是根据一元二次不等式与对应方程之间的关系，求出a b ，的值 14．1 【分析】直接利用导数的几何意义求解即可 【详解】解：由()xf x xe =，得'()xxf x e xe +=， 则'00)01(f e e +⋅==，所以()xf x xe =在0x =处的切线的斜率为1 故答案为：1 【点睛】此题考查导数的几何意义的应用，属于基础题 15．3 【分析】先由约束条件画出可行域，如图，由z x y =+得y x z =-+，画出直线y x =-向上平移过点B 时，截距最大，此时目标函数取得最大值，求出点B 的坐标代入目标函数中可得答案 【详解】解：如图，约束条件表示的可行域， 由z x y =+得y x z =-+，作直线y x =-，向上平移此直线过点B 时，截距最大，此时z x y =+取得最大值， 由于点(0,3)，所以z x y =+的最大值为3 故答案为：3【点睛】此题考查简单的线性规划的应用，解题的关键是画出可行域，数形结求解，属于基础题16．2【分析】由于点M 在抛物线2y x =上运动，所以设2(,)M m m ，则MA =整理配方可求得结果【详解】解：不妨设2(,)M m m （0m ≥），则MA ==.当272m =时，||MA【点睛】此题考查了点与抛物线的位置关系，考查两点间的距离公式的应用，属于基础题17．（1）k =（2【分析】（1）先求出抛物线的焦点坐标，再利用点到直线的距离公式列方程可求出k 的值；（2）由题可得直线l 为21y x =+，设直线l 与抛物线C 相交于11(,)A x y ，22(,)B x y ，将21y x =+代入22y x =得：22210x x --=， 则121x x =+，1212x x ⋅=-，然后利用弦长公式求解即可【详解】（1）由22y x =得：212x y =， 所以抛物线C 的焦点为1(0,)8F .716=2=，所以k =（2）因为直线l 与直线2y x =平行，所以2k =.设直线l 与抛物线C 相交于11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以1121y x =+，2221y x =+.将21y x =+代入22y x =得：22210x x --=，则121x x =+，1212x x ⋅=-.所以AB ===.【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题18．(1)1100()9a y v v =+，定义域为(0,80].(2)当货车以60/km h 的速度行驶，全程运输成本最小.【解析】试题分析：（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可得全程运输成本，及函数的定义域； （2）利用基本不等式1400400010093y v v 即⎛⎫=+≥⎪⎝⎭可得结论． 试题解析：（1）可变成本为219v ，固定成本为a 元，所用时间为100v，所以210019y v a v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即11009a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，定义域为(]0,80. （2）1400400010093y v v ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭，当且仅当4009v v =，即60v =时，等号成立， 所以当60v =时，min 40003y =， 答：当货车以60/km h 的速度行驶，全程运输成本最小.19．(1) 221164x y += (2) 240x y +-= 【解析】试题分析：（1）根据椭圆的性质列方程组解出a ，b ，c 即可；（2）设直线斜率为k ，把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出k 的值，从而求出直线方程．试题解析：（1）c e a ==，2b=4，所以a=4，b=2，c=221164x y += （2）设以点()2,1P 为中点的弦与椭圆交于()()1122,,,A x y B x y ，则12124,2x x y y +=+=，分别代入椭圆的方程，两式相减得()()()()1212121240x x x x y y y y +-++-=，所以()()1212480x x y y -+-=，所以121212y y k x x -==--，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为()1122y x -=--，即240x y +-=． 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.20．(1)112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2)()121nn T n =-⋅+. 【解析】试题分析： （1）由题意可得()()()3311222S a S a S a +=+++，整理计算有：314a a =，据此可得数列的公比为12q =，通项公式112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）结合（1）的结果知12n n b n -=⋅， 其通项公式为等差数列与等比数列相乘的形式，错位相减可得前n 项和为()121nn T n =-⋅+. 试题解析：（1）因为11S a +，33S a +，22S a +成等差数列，所以()()()3311222S a S a S a +=+++，所以()()31323122S S S S a a a -+-+=+，所以314a a =，因为数列{}n a 是等比数列，所以23114a q a ==， 又0q >，所以12q =，所以数列{}n a 的通项公式112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）由（1）知12n n b n -=⋅， 01211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()12121222122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，所以()()()012112212322122n n n T n n n -⎡⎤-=⋅+-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+--⋅-⋅⎣⎦012122222n n n -=+++⋅⋅⋅+-⋅()()112212112n n n n n -=-⋅=-⋅--.故()121nn T n =-⋅+. 点睛：一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解． 21．(1) 4π;(2) 1. 【解析】试题分析: （1）由c=acosB+bsinA 及正弦定理化边为角,再根据三角形内角和为π,将C 换为角A,B,代入化简即可;(2) 由，b=c 及余弦定理求出b,代入面积公式即可.试题解析：(1)由及正弦定理可得.在中，，所以由以上两式得，即， 又，所以. （2）的面积，由，及余弦定理得，因为，所以，即 ，故的面积．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.22．（1）在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；（2）[1,)+∞.【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数求导，然后令导数大于零可求出其增区，令导数小于零可求出其减区间；（2）设()()2g x f x m =+，则1()(ln )g x x mx m m x=-=''+-，然后分0m ≤和0m >利用导数讨论()g x 的单调性，使其在(1,)x ∈+∞所有的值小于零即可，从而可求出m 的取值范围【详解】（1）显然函数()f x 的定义域为(0,)+∞.1()1f x x'=-. 由()0f x '>解得：1x <，即函数()f x 在(0,1)上单调递增，由()0f x '<解得：1x >，即函数()f x 在(1,)+∞上单调递减.所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减.（2）设()()2g x f x m =+，则1()(ln )g x x mx m m x=-=''+-. 所以当0m ≤时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，()(1)0g x g >=，不合题意. 当0m >时，由()0g x '>可得：1x m <，由()0g x '<可得：1x m >， 即函数()g x 在区间1(0,)m 上单调递增，在区间1(,)m+∞上单调递减. 当11m≤，即：m 1≥时，函数()g x 在(1,)+∞单调递减，()(1)0g x g <=恒成立. 当11m >，即：1m <时，函数()g x 在1(1,)m 上单调递增，在1(,)m +∞上单调递减， 所以存在0x ，使0()(1)0g x g >=成立，不合题意.综上所述，所求m 的范围是[1,)+∞.【点睛】此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查计算能力，属于中档题。
广东省湛江市2020_2021学年高二数学上学期期末调研考试试题
广东省湛江市2020-2021学年高二数学上学期期末调研考试试题（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．命题“∀x∈[0，+∞），x2+2x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x2+2x≥0B．∀x∈（﹣∞，0），x2+2x＜0C．∃x0∈[0，+∞），x02+2x0≥0D．∃x0∈[0，+∞），x02+2x0＜02．双曲线＝1的焦距是（）A．10 B．20 C．2D．43．在数列{a n}中，a1＝0，a n＝3a n﹣1+2（n≥2），则a3＝（）A．2 B．6 C．8 D．144．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则b＝（）A．B．C．D．5．已知点P（﹣2，4）在抛物线y2＝2px（p＞0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（）A．（0，2）B．（0，4）C．（2，0）D．（4，0）6．已知双曲线＝1的焦点与椭圆＝1的焦点相同，则m＝（）A．1 B．3 C．4 D．57．“﹣1＜m＜3”是“方程+＝1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是该双曲线上的一点，且|PF1|＝10，则|PF2|＝（）A．2或18 B．2 C．18 D．49．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin2B＝b cos A cos B，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定10．直线l：y＝kx+2与椭圆C：＝1有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣，] B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）11．已知等差数列{a n}的前n项和S n有最小值，且，则使得S n＞0成立的n 的最小值是（）A．11 B．12 C．21 D．2212．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过点F1且与l1垂直的直线l交l1于点P，交l2于点Q，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．3二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆4x2+6y2＝24的短轴长是．14．已知a＞b＞0，且a+b＝2，则的最小值是．15．从某建筑物的正南方向的A处测得该建筑物的顶部C的仰角是45°，从该建筑物的北偏东30°的B处测得该建筑物的顶部C的仰角是30°，A，B之间的距离是35米，则该建筑物的高为米．16．已知抛物线C：y2＝4x，点Q在x轴上，直线l：（m﹣2）x﹣y﹣2m+4＝0与抛物线C交于M，N两点，若直线QM与直线QN的斜率互为相反数，则点Q的坐标是．三．解答题（共6小题，17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知p：函数f（x）＝|ax﹣m|（a≠0）在区间[1，+∞）上单调递增，q：关于x的不等式x2+mx+m≤0的解集非空．（1）当a＝3时，若p为真命题，求m的取值范围；（2）当a＞0时，若p为假命题是q为真命题的充分不必要条件，求a的取值范围．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a，．（1）求C；（2）若，求△ABC的面积．19．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，直线l与抛物线C交于M，N两点．（1）若直线l的方程为y＝x+3，求|MF|+|NF|的值；（2）若直线l的斜率为2，l与y轴的交点为P，且＝2，求|MN|．20．已知数列{a n}的前n项和Sn＝2﹣a n，数列{b n}满足b1＝1，b3+b7＝18．且b n+1+b n﹣1＝2b n （n≥2）．（I）数列{a n}和{b n}的通项公式．（II）若b n＝a n•c n，求数列{c n}的前n项和T n．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，PA＝PB＝PD，PE＝2EC，O为BD的中点．（1）证明：OP⊥平面ABCD．（2）若AB＝2，BC＝2AD＝4，PA＝4，求二面角C﹣BD﹣E的余弦值．22．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，点A在椭圆E上，且|OA|的最小值是（O为坐标原点）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知动直线l与圆O：x2+y2＝t2（t＞0）相切，且与椭圆E交于P，Q两点．是否存在实数t，使得OP⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．广东2020-2021学年第一学期高二期末考试数学一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．命题“∀x∈[0，+∞），x2+2x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x2+2x≥0 B．∀x∈（﹣∞，0），x2+2x＜0 C．∃x0∈[0，+∞），x02+2x0≥0 D．∃x0∈[0，+∞），x02+2x0＜0【解答】解：命题为全称命题，则命题“∀x∈[0，+∞），x2+2x≥0”的否定：∃x0∈[0，+∞），x02+2x0＜0，故选：D．2．双曲线＝1的焦距是（）A．10 B．20 C．2D．4【解答】解：双曲线﹣＝1中a＝8，b＝6，∴c＝＝10，∴2c＝20．故选：B．3．在数列{a n}中，a1＝0，a n＝3a n﹣1+2（n≥2），则a3＝（）A．2 B．6 C．8 D．14【解答】解：因为a1＝0，a n＝3a n﹣1+2，所以a2＝3a1+2＝2，则a3＝3a2+2＝8．故选：C．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则b＝（）A．B．C．D．【解答】解：利用正弦定理：因为，所以．故选：A．5．已知点P（﹣2，4）在抛物线y2＝2px（p＞0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（）A．（0，2）B．（0，4）C．（2，0）D．（4，0）【解答】解：因为点P（﹣2，4）在抛物线y2＝2px的准线上，所以，所以p＝4，则该抛物线的焦点坐标是（2，0）．故选：C．6．已知双曲线＝1的焦点与椭圆＝1的焦点相同，则m＝（）A．1 B．3 C．4 D．5【解答】解：因为椭圆＝1的焦点坐标（，0），双曲线＝1的焦点坐标（，0）所以＝，解得m＝1．故选：A．7．“﹣1＜m＜3”是“方程+＝1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程表示椭圆，则，解得﹣1＜m＜3或3＜m＜7，故“﹣1＜m＜3”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件．故选：A．8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是该双曲线上的一点，且|PF1|＝10，则|PF2|＝（）A．2或18 B．2 C．18 D．4【解答】解：因为|PF1|＝10＜a+c＝12，所以点P在该双曲线左支上，则|PF2|＝2a+|PF1|＝2×4+10＝18．故选：C．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin2B＝b cos A cos B，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解答】解：因为a sin2B＝b cos A cos B，所以sin A sin2B＝sin B cos A cos B，所以sin B（sin A sin B﹣cos A cos B）＝0，即﹣sin B cos（A+B）＝0．因为0＜A＜ð，0＜B＜ð，所以，故△ABC是直角三角形．故选：B．10．直线l：y＝kx+2与椭圆C：＝1有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣，] B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【解答】解：∵直线l：y＝kx+2与椭圆C：＝1有公共点，∴联立方程，消去y得：（1+2k2）x2+8kx+6＝0，∴△＝64k2﹣24（1+2k2）≥0，解得：或，故选：B．11．已知等差数列{a n}的前n项和S n有最小值，且，则使得S n＞0成立的n 的最小值是（）A．11 B．12 C．21 D．22【解答】解：由题意可得等差数列{a n}的公差d＞0．因为，所以a12＞0，a11＜0，所以a11+a12＞0，则，S21＝21a11＜0．故使得S n＞0成立的n的最小值是22．故选：D．12．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过点F1且与l1垂直的直线l交l1于点P，交l2于点Q，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．3【解答】解：记O为坐标原点．由题意可得F1（﹣c，0），不妨设l1：，l2：，则直线l：．联立，解得，则，故|PF1|＝b，|OP|＝a．因为，所以|PQ|＝2|PF1|，所以|PQ|＝2b，，则．因为，所以，所以，整理得c4﹣4a2c2+3a4＝0，则e4﹣4e2+3＝0，解得．故选：B．二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆4x2+6y2＝24的短轴长是 4 ．【解答】解：由题意椭圆4x2+6y2＝24，即：，可得b＝2，则短轴长是2b＝4．故答案为：4．14．已知a＞b＞0，且a+b＝2，则的最小值是．【解答】解：因为a+b＝2，所以，因为a＞b＞0，所以（当且仅当，时，等号成立），所以，故答案为：．15．从某建筑物的正南方向的A处测得该建筑物的顶部C的仰角是45°，从该建筑物的北偏东30°的B处测得该建筑物的顶部C的仰角是30°，A，B之间的距离是35米，则该建筑物的高为米．【解答】解：设该建筑物的高|OC|＝h（O为该建筑物的底部），由题意可得|OA|＝h，，|AB|＝35，∠AOB＝150°，则|AB|2＝|OA|2+|OB|2﹣2|OA||OB|cos∠AOB，即，解得．故答案为：．16．已知抛物线C：y2＝4x，点Q在x轴上，直线l：（m﹣2）x﹣y﹣2m+4＝0与抛物线C交于M，N两点，若直线QM与直线QN的斜率互为相反数，则点Q的坐标是（﹣2，0）．【解答】解：如图所示，直线QM、QN交Y轴分别于A、B点，不妨设m＝3，则直线方程为y+2＝x，联立抛物线y2＝4x，得：y2﹣4y﹣8＝0，∴y1+y2＝4，y1y2＝﹣8，设Q（n，0），M（x1，y1），N（x2，y2）∵直线QM与直线QN的斜率互为相反数，∴，∴y1（x2﹣n）+y2（x1﹣n）＝0，∵x＝y+2∴y1（y2+2）+y2（y1+2）﹣n（y1+y2）＝02y1y2+2（y1+y2）﹣n（y1+y2）＝0﹣16+8﹣4n＝0∴n＝﹣2．故答案为：（﹣2，0）．三．解答题（共6小题，17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知p：函数f（x）＝|ax﹣m|（a≠0）在区间[1，+∞）上单调递增，q：关于x的不等式x2+mx+m≤0的解集非空．（1）当a＝3时，若p为真命题，求m的取值范围；（2）当a＞0时，若p为假命题是q为真命题的充分不必要条件，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝3时，f（x）＝|3x﹣m|．因为p为真命题，所以，即m≤3，故m的取值范围是（﹣∞，3]．（2）因为p为假命题，所以，因为a＞0，所以m＞a．记满足p为假命题的m的取值集合为A＝（a，+∞）．因为q为真命题，所以m2﹣4m≥0，解得m≤0或m≥4．记满足q为真命题的m的取值集合为B＝（﹣∞，0]∪[4，+∞）．因为p为假命题是q为真命题的充分不必要条件，所以集合A是集合B的真子集，则a ≥4．故a的取值范围是[4，+∞）．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a，．（1）求C；（2）若，求△ABC的面积．【解答】解：（1）因为b＝2a，所以c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝5a2﹣4a2cos C．所以，可得sin C+cos C＝1，整理得．又因为C∈（0，ð），所以．（2）由（1）可知，c2＝5a2﹣4a2cos C＝7a2，又因为，所以a＝2，b＝2a＝4．所以．19．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，直线l与抛物线C交于M，N两点．（1）若直线l的方程为y＝x+3，求|MF|+|NF|的值；（2）若直线l的斜率为2，l与y轴的交点为P，且＝2，求|MN|．【解答】解：（1）设直线l与抛物线C交点M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去x，整理得y2﹣14y+9＝0，所以y1+y2＝14，所以|MF|+|NF|＝y1+2+y2+2＝18，所以|MF|+|NF|的值18；（2）设直线P（0，t），直线l的方程为y＝2x+t，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去y，整理得x2﹣16x﹣8t＝0，由△＝162+4×8t＞0，则t＞﹣8，所以x1+x2＝16，x1x2＝﹣8t，①因为＝2，（0﹣x1，t﹣y1）＝2（0﹣x2，t﹣y2），所以x1＝2x2，②由①②解得t＝﹣，满足t＞﹣8，所以|MN|＝•＝．20．已知数列{a n}的前n项和Sn＝2﹣a n，数列{b n}满足b1＝1，b3+b7＝18．且b n+1+b n﹣1＝2b n （n≥2）．（I）数列{a n}和{b n}的通项公式．（II）若b n＝a n•c n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解由题意可得S n＝2﹣a n，①当n≥2时，S n﹣1＝2﹣a n﹣1，②①﹣②得，a n＝S n﹣S n﹣1＝a n﹣1﹣a n，即又a1＝S1＝2﹣a1，可得a1＝1，易知a n﹣1≠0，故数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列，所以由b n+1+b n﹣1＝2b n可知数列{b n}为等差数列，设其公差为d，则，所以d＝＝2，故b n＝b1+（n﹣1）d＝2n﹣1（II）由（I）结合题意可得，＝（2n﹣1）•2n﹣1．则+…+（2n﹣1）×2n﹣1③两边同乘以2得，+…+（2n﹣1）×2n④③﹣④得，﹣T n＝1+2（21+22+23+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）2n整理得，﹣T n＝1+＝﹣（2n﹣3）•2n﹣3故21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，PA＝PB＝PD，PE＝2EC，O为BD的中点．（1）证明：OP⊥平面ABCD．（2）若AB＝2，BC＝2AD＝4，PA＝4，求二面角C﹣BD﹣E的余弦值．【解答】解：（1）证明：取AD的中点F，连接PF，OF．因为PA＝PD，F为AD的中点，所以AD⊥PF．因为O为BD的中点，F为AD的中点，所以OF∥AB．因为AB⊥AD，所以OF⊥AD，因为OF∩PF＝F，OF⊂平面POF，PF⊂平面POF，所以AD⊥平面POF．又OP⊂平面POF，所以AD⊥OP．因为PB＝PD，O为BD的中点，所以PO⊥BD．因为AD∩BD＝D，AD⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD．（2）解：以O为坐标原点，平行AD的直线为x轴，FO所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．则O（0，0，0），B（﹣，1，0），D（，﹣1，0），C（3，1，0），P（0，0，2）．因为PE＝2EC，所以E（2，，），故＝（2，﹣2，0），＝（，，），＝（0，0，2）．设平面BDE的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，则＝（1，，﹣4）．记二面角C﹣BD﹣E的大小为è，由图可知è为锐角，则cosè＝|cos＜＞|＝＝＝．∴二面角C﹣BD﹣E的余弦值为．22．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，点A在椭圆E上，且|OA|的最小值是（O为坐标原点）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知动直线l与圆O：x2+y2＝t2（t＞0）相切，且与椭圆E交于P，Q两点．是否存在实数t，使得OP⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为|OA|的最小值是，所以b＝，因为椭圆E的焦距为2，所以2c＝2，即c＝，所以a2＝b2+c2＝4，故椭圆E的标准方程是；（2）①当直线l的斜率不存在时，因为直线l与圆O相切，所以直线l的方程为x＝±t，则直线l与椭圆E的交点为（t，）或（﹣t，），因为OP⊥OQ，所以，所以，即t＝，②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，整理得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，则，，因为P（x1，y1），Q（x2，y2），在直线l上，所以y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝，将则，代入上式，得：，因为OP⊥OQ，所以，即3m2＝4（k2+1），因为动直线l与圆O相切，所以，所以，即t＝，综上，存在t＝，使得OP⊥OQ．。
2020-2021学年广东省湛江市高二下学期期末考试数学试题及答案
2020-2021学年广东省湛江市高二下学期期末考试数学试题★祝考试顺利★（含答案）（本卷满分150分，考试用时120分钟）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}12A x x =-<<，{}1B x x =>，则A B ⋃=（ ）A ．{}11x x -<<B ．{}12x x <<C ．{}1x x >-D ．{}1x x >2．设()i 2i z =+，则z 的共轭复数z =（ ）A ．12i +B ．12i -+C ．12i -D ．12i --3．已知()f x 是奇函数，且当0x ≥时，()e 1x f x =-，则当0x <时，()f x =（）A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．-e 1x --D ．-e 1x -+4．抛物线22y x =的准线方程是（ ）A ．18y =- B ．14y =- C ．12y =- D ．1y =-5．若1x >，则1411x x ++-的最小值为（ ）A ．6B ．9C ．4D ．16．若函数()cos sin f x x x =-在[]0,a 上是减函数，则a 的最大值为（ ）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π7．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的12，男生追星的人数占男生人数的16，女生追星的人数占女生人数的23，若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有（ ） 参考数据及公式如下：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++A ．12人B ．11人C ．10人D ．18人 8．设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P 、Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D 二、选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．9．下列命题中，正确的是（ ）A ．若a b <，则22ac bc <B ．0.22log 0.3log 3<c ．若a b <，则11a b >D ．)1>10．若直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长则该直线的倾斜角可能为（ ）A ．56πB ．3πC ．23πD ．6π 11．在正四面体A BCD -中，M 为AD 的中点，N 为BC 的中点，则下列说法正确的是（ ）。
广东省湛江市晨光中学2020-2021学年高二数学理上学期期末试卷含解析
广东省湛江市晨光中学2020-2021学年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若复数是纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．3 C．1或3 D．-1参考答案：B2. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且轴，则双曲线的离心率为（）A．B． C． D．参考答案：A3. 三个数的大小关系为 ( )A. B.C. D.参考答案：A4. 直线2x－3y－4=0与直线mx+(m+1)y+1=0互相垂直，则实数m=（）A. 2B.C.D. －3参考答案：D5. 椭圆： =1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，若AF2⊥BF2，则三角形△AF2B的面积是（）A．15 B．32 C．16 D．18参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】AO=BO=c=3，设A（x，y），则x2+y2=9，由此能求出三角形△AF2B的面积．【解答】解：椭圆=1中，a=5，b=4，c=3，∵椭圆=1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，AF2⊥BF2，∴AO=BO=c=3，设A（x，y），则x2+y2=9，∵=1，∴|y|==4，∴三角形△AF2B的面积是2××4×4=16，故选：C．【点评】本题考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．6. 一布袋中装有n个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（）A. 若，则乙有必赢的策略 B. 若，则甲有必赢的策略C. 若，则甲有必赢的策略D. 若，则乙有必赢的策略参考答案：A【分析】乙若想必胜，则最后一次抓取前必须有1~3个球，根据试验法可得解。
2020-2021学年度高二级第一学期期末考试数学试题与答案
湛江二中港城中学2020-2021学年度高二级第一学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某校有男生1600人，女生1000人，为了解该校学生的身高情况，采用分层抽样法抽取一个容量为104的样本，则抽取的男生人数是（ ） A ．24 B ．40C ．32D ．64【答案】D【分析】按抽样比计算可得正确的选项. 【详解】由题意可得抽取的男生人数是16001046416001000⨯=+.故选：D.2．为了更好地配合我市“文明城市”的创建工作，我校开展了“文明行为进班级”的评比活动，现对甲､乙两个年级进行评比，从甲､乙两个年级中随机选出10个班级进行评比打分，每个班级成绩满分为100分，评分后得到如图所示的茎叶图，通过茎叶图比较甲､乙两个年级成绩的平均数及方差大小（ ）A ．x x <甲乙，22s s >甲乙B ．B ．x x >甲乙，22s s <甲乙 C ．x x <甲乙，22s s <甲乙D ．x x >甲乙，22s s >甲乙【答案】C【分析】根据茎叶图，进行数据的分析判断，即可得解.【详解】由茎叶图可知，甲年级的平均分主要集中在70多分，而且比较集中，而乙主要集中在80分以上，但是比较分散，所以乙的平均数和方差较大，故选:C.【点睛】本题考查茎叶图，考查了对数据的分析判断，属于基础题. 3．“1x <”是“2540x x -+>”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A4．设命题:0p x ∀>，ln 0x x -<，则命题P 的否定为（ ） A ．0x ∀>，ln 0x x -≥ B ．00x ∃>，00ln 0x x -≥ C ．00x ∃≤，00ln 0x x -≥ D ．0x ∀≤，ln 0x x -≥【答案】B【分析】根据全称命题的否定直接得结果.【详解】因为,x s ∀的否定为,x s ∃⌝，所以p ⌝为00x ∃>，00ln 0x x -≥故选：B 【点睛】本题考查全称命题的否定，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B6．若双曲线()2222100x y a b a b-=>>，）A ．12y x =±B．6y x =±C ．2y x =±D．y =【答案】C【分析】由双曲线()2222100x y a b a b-=>>，c e a ==，即可求得224b a =，进而求得双曲线的渐近线方程.【详解】双曲线()2222100x y a b a b -=>>，∴ce a==，即c =── ①根据双曲线性质可得：222c b a =+ ──② 由①②可得：224b a =，即2ba =双曲线()2222100x y a b a b-=>>，可得其焦点在x 轴上∴曲线的渐近线方程为2by x x a=±=±故选：C 【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7．若椭圆()222210,0x y a b a b +=>>的离心率为21，则22b c +的最小值为（ ）A． BCD【答案】A8．如图，在的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则直线1A B 与平面BDE 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．56π【答案】B【详解】以点D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，1(1,0,1)A ，∴(1,1,0)DB =，10,1,2DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1(0,1,1)A B =-，设平面BDE 的一个法向量(,,)n x y z =，则00n DB n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令1x =，则1,2y z =-=，所以平面BDE 的一个法向量(1,1,2)n =-， ∵1(0,1,1)BA =-，∴113cos ,,,[0,]2BA n BA n π<>==<>∈，∴1,6BA n π<>=，∴直线1A B 与平面BDE 的夹角为3π.故选：B. 二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年广东省湛江市高二(下)期末数学试卷
2020-2021学年广东省湛江市高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|−1<x <2}，B ={x|x >1}，则A ∪B =( )A. {x|−1<x <1}B. {x|1<x <2}C. {x|x >−1}D. {x|x >1}2. 设z =i(2+i)，则z −=( )A. 1+2iB. −1+2iC. 1−2iD. −1−2i3. 设f(x)为奇函数，且当x ≥0时，f(x)=e x −1，则当x <0时，f(x)=( )A. e −x −1B. e −x +1C. −e −x −1D. −e −x +14. 抛物线y =2x 2的准线方程为( )A. y =14B. y =18C. y =−14D. y =−185. 若x >1，则4x +1+1x−1的最小值等于( )A. 6B. 9C. 4D. 16. 若f(x)=cosx −sinx 在[0,a]上是减函数，则a 的最大值是( )A. π4B. π2C. 3π4D. π7. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生追星的人数占男生人数的16，女生追星的人数占女生人数的23.若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则男生至少有( ) 参考数据及公式如下：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)A. 12B. 11C. 10D. 188. 设F 为双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. √5二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列命题中，正确的是( )A. 若a<b，则ac2<bc2B. log0.20.3<log23C. 若a<b，则1a >1bD. 0.3(√3−√2)>0.3(√2−1)10.若直线y=kx+3被圆(x−2)2+(y−3)2=4截得的弦长2√3，则该直线的倾斜角可能为()A. 5π6B. π3C. 2π3D. π611.在正四面体A−BCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则下列说法正确的是()A. MN//CDB. 直线AD与平面BCD所成的角小于π3C. AC⊥BDD. 正四面体A−BCD外接球的球心在MN上12.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，A、B、C、D四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是()A. A地：中位数为2，极差为5B. B地：总体平均数为2，众数为2C. C地：总体平均数为1，总体方差大于0D. D地：总体平均数为2，总体方差为3三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知sinα=13，则cos(2α−π)=______．14.已知向量a⃗=(2,3)，b⃗ =(3,2)，则|a⃗−b⃗ |=______．15.已知正项等比数列{a n}中，a3=3a1a2，a4=2563，用<x>表示实数x的小数部分，如：<1.52>=0.52，<43>=13=0.3.，记b n=<a n>，则数列{a n}的通项公式a n=______；数列{b n}的前15项之和S15=______．16.某城市新修建的一条路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能相邻的两盏灯，则熄灭灯的方法有______种.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=√5，b=3，cosB=−45．(1)求sin A的值；(2)设M是边AC的中点，求线段BM的长．18.已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n a n+1，数列{b n}的前n项和为S n，求使S n>50101成立的最小正整数n的值．19.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是棱C1D1的中点．(1)求二面角D−AC−M的余弦值；(2)在棱CC1(包含端点)上是否存在点E，使BE//平面ACM，给出你的结论，并证明．20. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．已知选手甲每道题自己有把握独立答对的概率为12，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为15.假设每道题答对与否互不影响．(1)若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；(2)甲答了4道题，甲答对题目的个数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ． 21. 设椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B.已知椭圆的离心率为√53，|AB|=√13．(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y =kx(k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，直线l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．22. 已知函数f(x)=[ax 2−(3a +1)x +3a +2]e x ．(1)若曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)若函数f(x)在x =1处取得极小值，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={x|−1<x<2}，B={x|x>1}，∴A∪B={x|x>−1}．故选：C．进行并集的运算即可．本题考查了描述法的定义，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数四则运算及共轭复数，是基础题．利用复数代数形式的乘法运算化简，再由共轭复数的概念即可得答案．【解答】解：∵z=i(2+i)=−1+2i，∴z−=−1−2i，故选D．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查运用函数奇偶性求函数解析式，是基础题．设x<0，则−x>0，代入已知函数解析式，结合函数奇偶性可得x<0时的f(x)．【解答】解：∵f(x)为奇函数，又∵当x≥0时，f(x)=e x−1，设x<0，则−x>0，f(x)=−f(−x)=−(e−x−1)=−e−x+1，故选D．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查抛物线的准线方程，在解答的过程当中充分运用抛物线的方程与性质是解题的关键．先把抛物线化为标准方程为x2=12y，再求准线．【解答】解：∵抛物线的标准方程为x2=12y，∴p=14，开口朝上，∴准线方程为y=−18，故选：D．5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是求值条件的配凑．由4x+1+1x−1=4(x−1)+1x−1+5，利用基本不等式即可求解．【解答】解：由x>1，得x−1>0，∵4x+1+1x−1=4(x−1)+1x−1+5≥2√4+5=9，当且仅当4(x−1)=1x−1，即x=32时，等号成立．故选：B．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查辅助角公式的应用，函数y=Asin(ωx+φ)的性质，属于基本知识的考查，是基础题．利用辅助角公式化简f(x)得f(x)=−√2sin(x−π4)，由−π2+2kπ≤x−π4≤π2+2kπ，k∈Z，求得f(x)的一个减区间为[−π4,3π4]，结合已知条件即可求出a的最大值．【解答】解：f(x)=cosx−sinx=−(sinx−cosx)=−√2sin(x−π4)，由−π2+2kπ≤x−π4≤π2+2kπ，k∈Z，得−π4+2kπ≤x≤34π+2kπ，k∈Z，取k=0，得f(x)的一个减区间为[−π4,3π4]，由f(x)在[0,a]是减函数，得0<a≤3π4．则a的最大值是3π4．故选：C．7.【答案】A【解析】【分析】设男生人数为x，依题意填写列联表，计算观测值，列不等式求出x的取值范围，再根据题意求出男生的人数．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．【解答】解：设男生人数为x，依题意可得列联表如下：喜欢追星不喜欢追星总计男生x65x6x女生x3x6x2总计x2x3x2若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则K2>3.841，由K2=32x(x6⋅x6−x3⋅5x6)2x2⋅x⋅x2⋅x=38x>3.841，解得x>10.24，∵x2，x6都为整数，∴若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有12人．故选：A．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．方法一：根据题意画图，由图形的对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率．方法二：由题意画出图形，先求出|PQ|，再由|PQ|=|OF|列式求C的离心率．【解答】解：方法一：设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ⊥x轴，又∵|PQ|=|OF|=c，∴|PA|=c2，∴PA为以OF为直径的圆的半径，∴A为圆心，|OA|=c2，∴P(c2,c2)，又P点在圆x2+y2=a2上，∴c24+c24=a2，即c22=a2，∴e2=c2a2=2∴e=√2，故选A．方法二：如图，以OF为直径的圆的方程为x2+y2−cx=0，又圆O的方程为x2+y2=a2，∴PQ所在直线方程为x=a2c．把x=a2c 代入x2+y2=a2，得|PQ|=2abc，再由|PQ|=|OF|，得2abc=c，即4a2(c2−a2)=c4，∴e2=2，解得e=√2．故选A．9.【答案】BD【解析】解：当c=0时，ac2=bc2，∴A错；∵log0.20.3<log0.20.2=1，log23>log22=1，∴B对；取a=−1，b=1，满足a<b，但不满足1a >1b，∴C错；∵(2√2)2=8=4+2√4>4+2√3=(√3+1)2，∴√3+1<2√2，∴√3−√2−(√2−1)=√3+1−2√2<0，∴√3−√2<√2−1，∴0.3√3−√2>0.3√2−1，∴D对．故选：BD．c=0时可判断A；两数都和1比较可判断B；a取负数b取正数可判断C；按照函数的单调性可判断D．本题考查不等关系与不等式、指对函数应用，考查数学运算能力及推理能力．10.【答案】AD【解析】解：∵圆(x−2)2+(y−3)2=4的圆心C(2,3)，半径r=2，∴圆心到直线y=kx+3的距离d=|2k−3+3|√k2+1=|2k|√k2+1，∵直线y=kx+3被圆(x−2)2+(y−3)2=4截得的弦长为2√3，∴2√3=2√r2−d2=2√4−4k2k2+1，解得k=±√33，又直线倾斜角的范围是[0,π)，∴直线的倾斜角为π6或5π6．故选：AD．求出圆心到直线y=kx+3的距离，由直线y=kx+3被圆(x−2)2+(y−3)2=4截得的弦长为2√3，利用垂径定理列式求得k，由此能求出直线的倾斜角．本题考查直线的倾斜角的求法，考查直线、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．11.【答案】BCD【解析】解：对于A，因为MN与平面BCD相交，交点为N，CD⊂平面BCD，若直线与平面相交，则直线与平面内的直线是相交或异面，不可能平行，故选项A错误；对于B，连接ND，则顶点A在底面的射影O在直线ND上，且O为△BCD的中心，所以∠ADO即为直线AD与平面BCD所成的角，不妨设正四面体的棱长为2，则ND=√3，所以OD=23ND=2√33，在Rt△AOD中，cos∠ADO=ODAD =2√332=√33>12=cosπ3，因为余弦函数在(0,π2)上单调递减，所以∠ADO<π3，则直线AD与平面BCD所成的角小于π3，故选项B正确；O为正△ABC的中心，则BD⊥CO，又CO为AC在平面ABC内的射影，由三垂线定理可得，AC⊥BD，故选项C正确；考虑将正四面体放入正方体中，则MN为正方体两条对棱中点的连线，则正四面体A−BCD外接球即正方体的外接球，正方体的外接球的球心为正方体体对角线的交点，而MN经过正方体体对角线的交点，所以球心在MN上，故选项D正确．故选：BCD．利用直线与直线的位置关系判断选项A，由线面角的定义找到对应的角，求出余弦值，利用余弦函数的单调性即可判断选项B，由三垂线定理即可判断选项C，将正四面体放入正方体，将问题转化为正方体外接球问题进行分析，即可判断选项D．本题以命题的真假判断为载体考查了正四面体的理解与应用，主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．在A地，中位数为2，极差为5，2+5=7，每天新增疑似病例不会超过7人，所以A地符合标准；在B地，总体平均数为2，众数为2，如0，0，0，0，2，2，2，2，2，10，每天新增疑似病例可以超过7人，所以B地不符合标准；在C地，总体平均数为1，总体方差大于0，如，0，0，0，0，0，0，0，0，0，10，每天新增疑似病例可以超过7人，所以C地不符合标准；在D地，总体平均数为2，总体方差为3.根据方差公式，如果存在大于7的数存在，根据方差公式s2=110×[(x1−2)2+(x2−2)2+...]，若出现大于7的数值8，则s2=110×[(8−2)2+...]>3.6，与总体方差为3矛盾，因而不会出现超过7人的情况，所以D地符合标准．故选：AD ．根据平均数、中位数、众数和方差、极差的定义和性质，对选项中的命题真假性判断即可．本题考查了平均数、中位数、众数和方差、极差的定义与性质的应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．13.【答案】−79【解析】解：∵sinα=13，∴cos(2α−π)=−cos2α=−(1−2sin 2α)=2sin 2α−1=2×(13)2−1=−79． 故答案为：−79．根据已知条件，结合三角函数的诱导公式和二倍角公式，即可求解．本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及三角函数的二倍角公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.【答案】√2【解析】解：向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(3,2)， 则a ⃗ −b ⃗ =(−1,1)，所以|a ⃗ −b ⃗ |=√(−1)2+12=√2． 故答案为：√2．根据平面向量的坐标表示与模长公式，计算即可．本题考查了平面向量的坐标表示与模长计算问题，是基础题．15.【答案】4n3 5【解析】解：设正项等比数列{a n }的公比为q ，q >0，由a 3=3a 1a 2，可得a 1q 2=3a 12q ，即q =3a 1，由a 4=2563，可得a 1q 3=2563，解得a 1=43，q =4，则a n=a1q n−1=43⋅4n−1=4n3；由4n=(1+3)n=1+3C n1+32C n2+...+3n C n n，可得b n=<a n>=<4n3>=13，所以S15=15×13=5．故答案为：4n3；5．设正项等比数列{a n}的公比为q，q>0，由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，可得a n；再由二项式定理和<x>的定义，可得b n=13，即可得到所求和．本题考查等比数列的通项公式和新定义<x>的理解和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】56【解析】解：本题使用插空法，先将亮的9盏灯排成一排，由题意，两端的灯不能熄灭，则有8个符合条件的空位，进而在8个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，有C83=56种方法，故答案为56．根据题意，先将亮的9盏灯排成一排，分析可得有8个符合条件的空位，用插空法，再将插入熄灭的3盏灯插入8个空位，用组合公式分析可得答案．本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．17.【答案】解：(1)∵B∈(0,π)，∴sinB=√1−cos2B=35，由正弦定理得，asinA =bsinB，即√5sinA=3sinB，∴sinA=√55．(2)∵cosB<0，∴B为钝角，∴A为锐角，∴cosA=√1−sin2A=2√55，∴cosC=−cos(A+B)=−(cosAcosB−sinAsinB)=−[2√55×(−45)−√55×35]=11√525．在△BCM中，由余弦定理得，BM2=BC2+MC2−2BC⋅MC⋅cosC=5+94−2×√5×32×11√525=1320，∴BM =√6510．【解析】(1)结合sinB =√1−cos 2B =35和正弦定理，即可得解；(2)根据cosC =−cos(A +B)，利用两角和的余弦公式展开后求得cos C 的值，再在△BCM 中，由余弦定理，即可得解．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合应用，熟练掌握正弦定理、余弦定理、两角和的余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，因为a 1=1，且a 1、a 2、a 5成等比数列，所以a 22=a 1⋅a 5，即(1+d)2=1×(1+4d)，整理得d(d −2)=0，解得d =2或d =0(舍去)，所以a n =1+2(n −1)=2n −1． (2)依题意：b n =1an a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)．所以数列{b n }的前n 项和S n =12(1−13+13−15+⋅⋅⋅+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1． 依题意：n2n+1>50101，解得n >50， 所以n 的最小值为51．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，由a 1，a 2，a 5成等比数列可得a 22=a 1⋅a 5，即(1+d)2=1×(1+4d)，解的d 值后利用等差数列的通项公式即可求得a n ．(2)易知可利用裂项相消求和法求得S n ，再令S n >50101解出n 的取值范围即可确定最小正整数n 的值． 本题主要考查等差数列的通项公式、裂项相消求和法、数列与不等式的综合问题，考查学生的推理论证和运算求解能力，属于基础题．19.【答案】(1)解：设正方体的棱长为单位长度，建立如图直角坐标系，则M(0,12,1)，A(1,0，0)，C(0,1，0)，所以AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,12,1)， 设平面AMC 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即{−x +y =0−x +y 2+z =0，令z =1，则n⃗ =(2,2,1)，又因为平面ACD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,0,1)， 所以cos〈n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ 〉=√22+22+1⋅√1=13， 所以二面角D −AC −M 的余弦值为13；(2)棱CC 1(包含端点)上不存在点E ，使BE//平面ACM ． 证明如下：设E 的坐标为(0,1，t)(0≤t ≤1)， 因为B 的坐标为(1,1，0)， 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,t)，若在棱CC 1(包含端点)上存在点E ，使BE//平面ACM ， 则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，所以−2+t =0，即t =2，这与0≤t ≤1矛盾， 所以棱CC 1(包含端点)上不存在点E ，使BE//平面ACM ．【解析】(1)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面AMC 的法向量，由向量的夹角公式求解即可；(2)设E 的坐标为(0,1，t)(0≤t ≤1)，假设BE//平面ACM ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，求出t ，结合题意判断即可． 本题考查了线面平行的应用以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．20.【答案】解：(1)记事件A 为“甲答对了某道题”，事件B 为“甲确实会做”，则所求的事件为条件概率P(B|A)=P(AB)P(A)，又P(A)=12+(1−12)×15=35，P(B|A)=P(AB)P(A)=1235=56，所以所求概率为56．(2)由题意，X 可能取值为0，1，2，3，4， 甲答对某道题的概率为P(A)=12+12×15=35，则X ～B(4,35)，P(X =k)=C 4k(35)k (25)4−k (k =0,1，2，3，4)， 则X 的分布列为：则E(X)=4×35=125．【解析】(1)利用条件概率的概率公式求解可；(2)先求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了条件概率的求解，二项分布的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知可得c 2a 2=59，又a 2=b 2+c 2，|AB |=√a 2+b 2=√13， 解得a =3，b =2， ∴椭圆的方程为：x 29+y 24=1，(2)设点P(x 1,y 1)，M(x 2,y 2)，(x 2>x 1>0)，则Q(−x 1,−y 1). ∵△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，∴|PM|=2|PQ|，从而x 2−x 1=2[x 1−(−x 1)]， ∴x 2=5x 1，易知直线AB 的方程为：2x +3y =6． 由{2x +3y =6y =kx，可得x 2=63k+2>0． 由{4x 2+9y 2=36y =kx，可得x 1=√9k 2+4， √9k 2+4=5(3k +2)⇒18k 2+25k +8=0，解得k =−89或k =−12． 由x 2=63k+2>0， 可得k >−23，故k =−12．【解析】本题考查了椭圆的方程、几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题． (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知可得c 2a 2=59，又a 2=b 2+c 2，解得a =3，b =2，即可得解．(2)设点P(x 1,y 1)，M(x 2,y 2)，(x 2>x 1>0)，则Q(−x 1,−y 1)，由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得x2−x1=2[x1−(−x1)]，x2=5x1，联立方程求出由x2=63k+2>0，x1=√9k2+4，可得k．22.【答案】解：(1)函数f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]e x的导数为f′(x)=[ax2−(a+1)x+1]e x，∵曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线线平行于x轴，∴(4a−2a−2+1)e2=0，解得a=12．(2)f(x)的导数为f′(x)=[ax2−(a+1)x+1]e x=(x−1)(ax−1)e x，若a=0，当x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴函数f(x)在x=1处取得极大值，不符合题意，若a=1，由f′(x)=(x−1)2e x≥0知f(x)单调递增，无极值，不符合题意，若a>1，则1a <1，f(x)在(1a,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，可得函数f(x)在x=1处取得极小值，符合题意，若0<a<1，则1a >1，f(x)在(−∞,1)单调递增，在(1,1a)单调递减，可得函数f(x)在x=1处取得极大值，不符合题意．若a<0，则1a <1，f(x)在(1a,1)递增，在(1,+∞)递减，可得函数f(x)在x=1处取得极大值，不符合题意．综上所述，a的范围是(1,+∞)．【解析】本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法及分类讨论思想的运用，属于中档题．(1)根据已知条件，结合导数的几何含义，即可求解．(2)对函数f(x)求导，根据a的取值进行分类讨论，即可求解．。
广东省湛江一中2020-2021学年高二数学上学期期末考试 理 新人教A版
广东省湛江一中2020-2021学年高二上学期期末考试含答案（数学理）考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“若3a b +≠，则12a b ≠≠或”的逆否命题为（ ）A. 若3a b +=，则12a b ==且B. 若12a b ==或，则3a b +=C. 若12a b ≠≠或，则3a b +≠D. 若12a b ==且，则3a b +=2.抛物线y =42x 的焦点坐标是（ ）A. （1,0）B. (0,1)C. (0,161) D. ()0,161 3.已知)5,2,3(-=a ，)1,,1(-=x b ，2=•b a ，则x 的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 64.“13-<<-m ”是方程11222=+++m y m x 表示双曲线的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5. 以下四个命题中正确的是 ( )A ．若1123OP OA OB =+,则P 、A 、B 三点共线; B ．若{,,}a b c 为空间的一个基底，则{,,}a b b c c a +++构成空间的另一个基底;C ．|()|||||||a b c a b c •=⋅⋅;D ．ABC ∆为直角三角形的充要条件是0AB AC ⋅=．6. 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M 和N 分别为11B A 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ） A ．1010 B ． 52- C ．53 D ．527.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线与抛物线12+=x y 有公共点，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A. [)+∞,5B. [)+∞,5C. ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,25D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,45 8.若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2:1，则称此椭圆或双曲线为“倍分曲线”，则下列曲线中是“倍分曲线”的是（ ）A. 1151622=+y xB. 1242522=+y x C. 11522=-y x D. 122=-y x 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.抛物线x y 82=上与焦点的距离等于6的点的坐标是 .10.已知向量),215,,3(),5,3,2(λ=-=b a 且a ∥b ，则λ= . 11.点)1,4(P 平分双曲线4422=-y x 的一条弦，则这条弦所在的直线方程是12.过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______________13.已知=a (3cos ,3sin ,1)αα，(2cos ,2sin ,1)b ββ=，则b a -的取值范围是 . 14.给出下列命题：①椭圆12322=+y x 的离心率35=e ，长轴长为32；②抛物线22y x =的准线方程为;81-=x ③双曲线1254922-=-x y 的渐近线方程为x y 75±=；④方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率. 其中所有正确命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
2021-2022学年广东省深圳第二高级中学、第七高级中学高二(上)期末数学试卷
2021-2022学年广东省深圳第二高级中学、第七高级中学高二（上）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）在空间直角坐标系下，点M（-3，6，2）关于y轴对称的点的坐标为（）A.（3，-6，2）B.（-3，-6，-2）C.（3，6，-2）D.（3，-6，-2）2.（单选题，5分）若椭圆x2p +y24=1的一个焦点为（0，-1），则p的值为（）A.5B.4C.3D.23.（单选题，5分）双曲线x2m2+12−y24−m2=1的焦距是（）A.4B. 2√2C.8D.与m有关4.（单选题，5分）在数列{a n}中，a1=- 14，a n=1−1a n−1（n＞1），则a2020的值为（）A. −14B.5C. 45D.以上都不对5.（单选题，5分）若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 √3，则点P到抛物线的焦点F的距离为（）A.4B.5C.6D.76.（单选题，5分）中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得（）A.78石B.76石C.75石D.74石7.（单选题，5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（1，2），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（）A.x-2y-4=0B.2x+y-4=0C.4x+2y+1=0D.2x-4y+1=08.（单选题，5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos∠F1AF2= 34，则椭圆的离心率e=（）A. 12B. √22C. 14D. √249.（多选题，5分）已知递减的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7=S11，则（）A.a10＞0B.当n=9时，S n最大C.S17＞0D.S19＞010.（多选题，5分）已知双曲线C过点(3，√2)且渐近线方程为y=±√3x，则下列结论正3确的是（）A.C的方程为x2−y2=13B.C的离心率为√3C.曲线y=e x-2-1经过C的一个焦点D.直线x−√3y−1=0与C有两个公共点11.（多选题，5分）已知直线l：（a+1）x+ay+a=0（a∈R）与圆C：x2+y2-4x-5=0，则下列结论正确的是（）A.存在a，使得l的倾斜角为90°B.存在a，使得l的倾斜角为135°C.存在a，使直线l与圆C相离D.对任意的a直线l与圆C相交，且a=1时相交弦最短12.（多选题，5分）如图，点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（）A.直线AD与直线C1M始终是异面直线B.存在点M，使得B1M⊥AEC.四面体EMAC的体积为定值D.当D1M=2MB时，平面EAC⊥平面MAC13.（填空题，5分）等轴双曲线的离心率为___ ．14.（填空题，5分）若a n=（-1）n•（2n-1），则数列{a n}的前21项和S21=___ ．15.（填空题，5分）将数列{n}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（2，3），（4，5，6），⋯，则第22组中的第一个数是 ___ ．16.（填空题，5分）数列{a n}中，a1=1，a n+a n+1=（1）n，S n=a1+4a2+42a3+…+4n-1a n，类比4课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5S n-4n a n=___ ．17.（问答题，10分）已知各项均为正数的等差数列{a n}中，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和T n．18.（问答题，12分）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，点M为棱A1B1的中点．（1）求证：C1M || 平面DB1E；（2）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．19.（问答题，12分）已知点P（1，m）是抛物线C：y2=2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|=2，直线l：y=k（x-1）与抛物线C相交于不同的两点A，B．（1）求抛物线C的方程；（2）若|AB|=8，求k的值．20.（问答题，12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=3a1=3，且当n≥2，n∈N*时，a n+1+2a n-1+3S n-1=3S n．（1）证明：数列{a n+1-a n}是等比数列；，求数列{b n}的前n项和T n．（2）设b n=a n+1a n+1a n21.（问答题，12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD || BC，AD⊥CD，且AD=CD=1，BC=2，PA=1．（1）求证：AB⊥PC；，求三棱锥M-ACP体积．（2）点M在线段PD上，二面角M-AC-D的余弦值为√3322.（问答题，12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？（2）若l过点（m3若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．2021-2022学年广东省深圳第二高级中学、第七高级中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）在空间直角坐标系下，点M（-3，6，2）关于y轴对称的点的坐标为（）A.（3，-6，2）B.（-3，-6，-2）C.（3，6，-2）D.（3，-6，-2）【正确答案】：C【解析】：直接利用点的对称的应用求出结果．【解答】：解：点M（-3，6，2）关于y轴对称的点的坐标为N（3，6，-2）；故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：点的对称，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．2.（单选题，5分）若椭圆x2p +y24=1的一个焦点为（0，-1），则p的值为（）A.5B.4C.3D.2【正确答案】：C【解析】：由题意得到关于p的方程，解方程即可确定p的值．【解答】：解：由题意可知椭圆的焦点在y轴上，则a2=4，b2=p，c2=1，从而4=p+1，p=3．故选：C．【点评】：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的简单性质的应用，属于基础题．3.（单选题，5分）双曲线x2m2+12−y24−m2=1的焦距是（）A.4B. 2√2C.8D.与m有关【正确答案】：C【解析】：由双曲线的方程可先根据公式c2=a2+b2求出c的值，进而可求焦距2c【解答】：解：由题意可得，c2=a2+b2=m2+12+4-m2=16∴c=4 焦距2c=8故选：C．【点评】：本题主要考查了双曲线的定义的应用，解题的关键熟练掌握基本结论：c2=a2+b2，属于基础试题4.（单选题，5分）在数列{a n}中，a1=- 14，a n=1−1a n−1（n＞1），则a2020的值为（）A. −14B.5C. 45D.以上都不对【正确答案】：A【解析】：求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可．【解答】：解：数列{a n}中，a1=- 14，a n=1−1a n−1（n＞1），a2=1+4=5，a3=1- 15 = 45，a4=1- 54=- 14，•••，所以数列的周期为3，a2020=a673×3+1=a1= −14．故选：A．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基础题．5.（单选题，5分）若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 √3，则点P到抛物线的焦点F的距离为（）A.4B.5C.6D.7【正确答案】：A【解析】：求得抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，可得点P到抛物线的焦点F的距离．【解答】：解：抛物线y2=4x的准线方程为x=-1∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 √3，则P（3，±2√3），∴P到抛物线的准线的距离为：4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4．故选：A．【点评】：本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，属于基础题．6.（单选题，5分）中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得（）A.78石B.76石C.75石D.74石【正确答案】：A【解析】：由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差d=a3−a13−1 = −362=-18，再由S3=3a1+3×22×(−18) =180，能求出甲应该分得78石．【解答】：解：今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，∴ d=a3−a13−1 = −362=-18，S3=3a1+3×22×(−18) =180，解得a1=78（石）．∴甲应该分得78石．故选：A．【点评】：本题考查等差数列的首项的求法，考等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（单选题，5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（1，2），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（）A.x-2y-4=0B.2x+y-4=0C.4x+2y+1=0D.2x-4y+1=0【正确答案】：D【解析】：由三角形的重心、垂心和外心的定义与性质，推出△ABC的欧拉线就是线段AB的中垂线，再求得中垂线的斜率和线段AB的中点，即可得解．【解答】：解：因为AC=BC，所以点C在线段AB的中垂线上，设该中垂线为直线l，取BC的中点D，连接AD，则AD与直线l的交点在直线l上，该交点即为△ABC的重心，过点A作AE⊥BC于E，则AE与直线l的交点在直线l上，该交点即为△ABC的垂心，因为外心到△ABC的三个顶点的距离相等，所以外心也在直线l上，故△ABC的欧拉线就是直线l，由A（2，0），B（1，2），知AB的中点坐标为（32，1），直线AB的斜率为2−01−2=-2，所以直线l的斜率为12，其方程为y-1= 12（x- 32），即2x-4y+1=0．故选：D．【点评】：本题考查直线方程的求法，两条直线的垂直关系，理解三角形的重心、垂心和外心的定义与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8.（单选题，5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos∠F1AF2= 34，则椭圆的离心率e=（）A. 12B. √22C. 14D. √24【正确答案】：D【解析】：由题意可得|AF1|=|AF2|=a，|F1F2|=2c，在三角形中由余弦定理可得a，c之间的关系，进而求出离心率．【解答】：解：由题意可得|AF1|=|AF2|=a，|F1F2|=2c，在△PF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1AF2= |PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1|•|PF2| = a2+a2−4c22a2= 34，可得a2=8c2，即离心率e= ca = √24（0＜e＜1），故选：D．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查余弦定理的应用，是基础题．9.（多选题，5分）已知递减的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7=S11，则（）A.a10＞0B.当n=9时，S n最大C.S17＞0D.S19＞0【正确答案】：BC【解析】：由递减的等差数列{a n}的前n项和为S n，S7=S11，列出方程，求出a1=−172d＞0，再逐一判断各选项．【解答】：解：∵递减的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7=S 11，∴ {d ＜07a 1+7×62d =11a 1+11×102d，解得 a 1=−172d ＞0， ∴a 10=a 1+9d=- 172d +9d = 12d ＜0，故A 错误；S n =na 1+ n (n−1)2d =- 17d 2n + d 2n 2 - d 2n = d 2 （n-9）2- 812d ． ∴当n=9时，S n 最大，故B 正确；S 17=17a 1+17×162d =17×（- 172 d ）+136d=-8.5d ＞0，故C 正确； S 19=19a 1+ 19×182 d=19×（- 172d ）+171d=9.5d ＜0，故D 错误．故选：BC ．【点评】：本题考查命题真假的判断，等差数列的性质，考查运算求解能力，是基础题．10.（多选题，5分）已知双曲线C 过点 (3，√2) 且渐近线方程为 y =±√33x ，则下列结论正确的是（ ）A.C 的方程为 x 23−y 2=1B.C 的离心率为 √3C.曲线y=e x-2-1经过C 的一个焦点D.直线 x −√3y −1=0 与C 有两个公共点【正确答案】：AC【解析】：由双曲线的渐近线为 y =±√33x ，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断A ；再求出双曲线的焦点坐标判断B ，C ；直线与双曲线的渐近线的关系判断D ．【解答】：解：由双曲线的渐近线方程为 y =±√33x ，可设双曲线方程为 x 23−y 2=λ ， 把点 (3，√2) 代入，得 93 -2=λ，即λ=1．∴双曲线C 的方程为 x 23−y 2=1 ，故A 正确；由a 2=3，b 2=1，得c= √a 2+b 2 =2，∴双曲线C √3 = 2√33 ，故B 错误；取x-2=0，得x=2，y=0，曲线y=e x-2-1过定点（2，0），故C 正确； 双曲线的渐近线 x ±√3y =0，直线 x −√3y −1=0 与双曲线的渐近线平行，直线 x −√3y −1=0 与C 有1个公共点故D 不正确．故选：AC．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用，考查双曲线方程的求法，考查双曲线的简单性质，是中档题11.（多选题，5分）已知直线l：（a+1）x+ay+a=0（a∈R）与圆C：x2+y2-4x-5=0，则下列结论正确的是（）A.存在a，使得l的倾斜角为90°B.存在a，使得l的倾斜角为135°C.存在a，使直线l与圆C相离D.对任意的a直线l与圆C相交，且a=1时相交弦最短【正确答案】：AD【解析】：对于AB选项，根据倾斜角可判断直线的位置以及斜率，进而可以求出a的值，而C选项根据直线与圆相离满足的条件可求出a的值是否存在，而D选项，先求出直线过的定点，可判断直线与圆的位置，且定点与圆心连线与直线垂直时弦长最短可求出a的值．【解答】：解：选项A：当a=0时，直线方程为x=0，此时倾斜角为90°，A正确，选项B：当倾斜角为135°时，直线斜率为-1，即- a+1a=-1，解得a为空集，B错误，选项C：圆C的圆心为C（2，0），半径r=3，若直线与圆相离，则圆心到直线的距离为|(a+1)×2+a|√(a+1)2+a2＞3，整理得：9a2+6a+5＜0，不等式无解，C错误，选项D：经分析直线过定点M（0，-1），此点在圆内，所以直线与圆恒相交，当直线CM与直线l垂直时，直线CM和直线l的斜率之积等于-1，即：−a+1a ×0−(−1)2−0=-1解得a=1，此时弦长最短，D正确，故选：AD．【点评】：本题考查了直线与圆的位置关系以及直线倾斜角和直线过定点的问题，考查了学生的运算能力，推理能力，属于基础题．12.（多选题，5分）如图，点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（）A.直线AD与直线C1M始终是异面直线B.存在点M，使得B1M⊥AEC.四面体EMAC 的体积为定值D.当D 1M=2MB 时，平面EAC⊥平面MAC【正确答案】：BCD【解析】：当M 为BD 1的中点时可知A 错误，证明BD 1 || 平面EAC 可知C 正确；建立空间坐标系，利用向量判断BD 即可．【解答】：解：（1）当M 为BD 1的中点时，直线AD 与直线C 1M 是相交直线，交点为A ，故A 错误；（2）以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1为坐标轴建立空间坐标系D-xyz ，设正方体棱长为1，则A （1，0，0），E （0，0， 12 ），B （1，1，0），D 1（0，0，1），B 1（1，1，1），∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，0， 12）， B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，-1）， BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，-1，1）． BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （0≤λ≤1），则 B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-λ，-λ，λ-1），若B 1M⊥AE ，则 B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即λ+ 12 （λ-1）=0，解得λ= 13， ∴当M 为线段BD 1的靠近B 的三等分点时，B 1M⊥AE ，故B 正确；（3）连接BD ，取BD 的中点O ，连接EO ，则O 也是AC 的中点，由中位线定理可知BD 1 || EO ，∴BD 1 || 平面ACE ，故V E-MAC =V M-ACE =V B-ACE ，故C 正确；（4）∵AC⊥BD ，AC⊥DD 1，BD∩DD 1=D ，∴AC⊥平面BDD 1，∴AC⊥OE ，AC⊥OM ，故∠EOM 为二面角E-AC-M 的平面角，当D 1M=2BM 时，M （ 23 ， 23 ， 13 ），又O （ 12 ， 12 ，0），∴ OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 16 ， 16 ， 13 ）， OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- 12 ，- 12 ， 12）， ∴ OE ⃗⃗⃗⃗⃗ •OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =- 112 - 112 + 16 =0，∴OE⊥MO ， 故平面EAC⊥平面MAC ，故D 正确．故选：BCD ．【点评】：本题考查了空间线面位置关系的判断与性质，可适当选用平面向量法解决几何问题，属于中档题．13.（填空题，5分）等轴双曲线的离心率为___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：根据等轴双曲线的定义，可得a=b，从而可得离心率．【解答】：解：∵等轴双曲线中a=b∴c= √a2+b2 = √2 a= √2∴e= ca故答案为：√2【点评】：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．14.（填空题，5分）若a n=（-1）n•（2n-1），则数列{a n}的前21项和S21=___ ．【正确答案】：[1]-21【解析】：直接利用数列的通项公式和组合法的应用求出结果．【解答】：解：由于a n=（-1）n•（2n-1），则S21=（-1+3）+（-5+7）+（-9+11）+…+（-41）=2×10-4=-21．故答案为：-21．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式，组合法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．15.（填空题，5分）将数列{n}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（2，3），（4，5，6），⋯，则第22组中的第一个数是 ___ ．【正确答案】：[1]232【解析】：根据已知可得，第n组中最后一个数即为前n组数的个数和，由此可求得第21组的最后一个数，进而求得第22组中的第3个数【解答】：解：由条件，可得第21组的最后一个数为1+2+3+4+5+6+⋯⋯+21= 21(1+21)2=231，所以第22组的第1个数为232．【点评】：本题考查了归纳推理，等差数列前n项和公式的应用，找到数字的规律是解题的关键，属于中档题．16.（填空题，5分）数列{a n}中，a1=1，a n+a n+1=（14）n，S n=a1+4a2+42a3+…+4n-1a n，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5S n-4n a n=___ ．【正确答案】：[1]n【解析】：先对S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n-1两边同乘以4，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出5S n-4n a n的表达式．【解答】：解：由S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n-1①得4•s n=4•a1+a2•42+a3•43+…+a n-1•4n-1+a n•4n②① + ② 得：5s n=a1+4（a1+a2）+42•（a2+a3）+…+4n-1•（a n-1+a n）+a n•4n=a1+4× 14 +42•（14）2+…+4n-1•（14）n-1+4n•a n=1+1+1+…+1+4n•a n=n+4n•a n．所以5s n-4n•a n=n，故答案为：n．【点评】：本题主要考查数列的求和，用到了类比法，关键点在于对课本中推导等比数列前n 项和公式的方法的理解和掌握．17.（问答题，10分）已知各项均为正数的等差数列{a n}中，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和T n．【正确答案】：【解析】：（1）通过等数列中项的性质求出a2=5，等比数列中项性质求出d=2，然后分别求出数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）分组求和即可．【解答】：解：（1）设等差数列的公差为d，则由已知得，a1+a2+a3=3a2=15，即a2=5，又（5-d+2）（5+d+13）=（a 2+5）2=100，解得d=2或d=-13（舍去），所以a 1=a 2-d=3，∴a n =a 1+（n-1）×d=2n+1，又b 1=a 1+2=5，b 2=a 2+5=10，∴q=2，∴ b n =5⋅2n−1 ．（2）由（1）知，a n +b n =2n+1+5×2n-1，所以T n = n (3+2n+1)2 + 5−5×2n 1−2=5×2n +n 2+2n-5．【点评】：本题考查了等差数列等比数列的综合，分组求和，属于基础题．18.（问答题，12分）如图所示，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC⊥BC ，AC=BC=2，CC 1=3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD=1，CE=2，点M 为棱A 1B 1的中点．（1）求证：C 1M || 平面DB 1E ；（2）求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（1）只要证明C 1M 与平面DB 1E 的法向量数量积为零即可；（2）用向量数量积计算直线与平面成角正弦值．【解答】：（1）证明：建系如图，C （0，0，0），A （2，0，0），B （0，2，0），C 1（0，0，3），A 1（2，0，3），B 1（0，2，3），D （2，0，1），E （0，0，2），M （1，1，3），C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，0)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，−2，−2) ， ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，-1），令 n ⃗ =(1，−1，2) ，因为 B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n⃗ =0， ED ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ =0 ， 所以 n ⃗ =(1，−1，2) 为平面DB 1E 的法向量，因为 C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ =0，C 1M⊄平面DB 1E ，所以C 1M || 平面DB 1E ．（2）解：由（1）知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，2，0) ， n ⃗ =(1，−1，2) 为平面DB 1E 的一个法向量， 设AB 与平面DB 1E 所成角为θ，所以 sinθ=|cos ＜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|n ⃗ |=√33， 所以直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为 √33 ．【点评】：本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．19.（问答题，12分）已知点P （1，m ）是抛物线C ：y 2=2px 上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF|=2，直线l ：y=k （x-1）与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ．（1）求抛物线C 的方程；（2）若|AB|=8，求k 的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用已知条件求出p，即可得到抛物线方程．（2）设出AB坐标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】：解：（1）抛物线C：y2=2px的准线为x=p2，由|PF|=2得：1+p2=2，得p=2．所以抛物线的方程为y2=4x．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由{y=k(x−1)y2=4x，可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，Δ=16k2+16＞0，∴ x1+x2=2k2+4k2，∵直线l经过抛物线C的焦点F，∴ |AB|=x1+x2+p=2k2+4k2+2=8，解得：k=±1，所以k的值为1或-1．【点评】：本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是基本知识的考查，中档题．20.（问答题，12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=3a1=3，且当n≥2，n∈N*时，a n+1+2a n-1+3S n-1=3S n．（1）证明：数列{a n+1-a n}是等比数列；（2）设b n=a n+1a n+1a n，求数列{b n}的前n项和T n．【正确答案】：【解析】：（1）将条件中的递推式整理为a n+1-a n=2a n-2a n-1=2（a n-a n-1），从而可证数列{a n+1-a n}是等比数列；（2）化简数列{b n}的通项公式，利用裂项相消法求和．【解答】：（1）证明：因为当n≥2，n∈N*时，a n+1+2a n-1+3S n-1=3S n，所以a n+1+2a n-1=3S n-3S n-1=3a n，所以a n+1-a n=2a n-2a n-1=2（a n-a n-1），即a n+1−a na n−a n−1=2，（n≥2，n∈N*），又a2-a1=3-1=2，所以数列{a n+1-a n}是首项为2，公比为2的等比数列；解：（2）由（1）知，a n+1−a n=2⋅2n−1=2n，则a1=1，a2−a1=21，a3−a2=22，…… a n−a n−1=2n−1，各项相加，可得a n=1+21+22+⋯+2n−1=1−2n1−2=2n-1，所以b n=a n+1a n+1a n =2n(2n+1−1)(2n−1)= 12n−1−12n+1−1，故 T n=b1+b2+…+b n= 121−1−122−1+122−1−123−1+…+12n−1−12n+1−1= 121−1−12n+1−1= 1−12n+1−1．【点评】：本题考查了等比数列的证明以及数列的求和问题，属于中档题．21.（问答题，12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD || BC，AD⊥CD，且AD=CD=1，BC=2，PA=1．（1）求证：AB⊥PC；（2）点M在线段PD上，二面角M-AC-D的余弦值为√33，求三棱锥M-ACP体积．【正确答案】：【解析】：（1）可证△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，可得PA⊥AB，进而AB⊥平面PAC，可证结论；（2）过点M作MN⊥AD于N，则MN || PA，过点M作MG⊥AC于G，连接NG，则AC⊥NG，cos∠MGN= √33，则√2 NG=MN，又AN= √2 NG=MN，设MN=x，△MND是等腰直角三角形，可解得x，从而可求体积．【解答】：（1）证明：∵四边形ABCD是直角梯形，AD=CD=1，BC=2，∴AC= √2，AB= √(BC−AD)2+CD2 = √2，∴△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，又PA∩AC=A，∴AB⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴AB⊥PC，（2）解：过点M作MN⊥AD于N，则MN || PA，∴MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC，过点M作MG⊥AC于G，连接NG，则AC⊥NG，∴∠MGN是二面角M-AC-D的平面角，若cos∠MGN= √33，则√2 NG=MN，又AN= √2 NG=MN，设MN=x，则AN=x，ND=1-x，∵△MND是等腰直角三角形，解得x=1-x，所以MN= 12，所以M是PD的中点，所以V P-ACM= 12 V P-ACD= 12× 13× 12×1×1×1= 112．【点评】：本题考查线线垂直的证明，以及空间几何体的体积，属中档题．22.（问答题，12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（m3，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】：解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M （x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0，则判别式△=4k2b2-4（k2+9）（b2-m2）＞0，则x1+x2= −2kb9+k2，则x M= x1+x22= −kb9+k2，y M=kx M+b= 9b9+k2，于是直线OM的斜率k OM= y Mx M = −9k，即k OM•k=-9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（m3，m），∴由判别式△=4k2b2-4（k2+9）（b2-m2）＞0，即k2m2＞9b2-9m2，∵b=m- k3m，∴k2m2＞9（m- k3m）2-9m2，即k2＞k2-6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y= −9kx，设P的横坐标为x P，由{y=−9kx9x2+y2=m2得x P2=k2m29k2+81，即x P=3√9+k2，将点（m3，m）的坐标代入l的方程得b= m(3−k)3，即l的方程为y=kx+ m(3−k)3，将y= −9k x，代入y=kx+ m(3−k)3，得kx+ m (3−k )3 = −9kx 解得x M =k (k−3)m 3(9+k 2) ， 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P =2x M ，于是 3√9+k 2 =2× k (k−3)m 3(9+k 2) ， 解得k 1=4- √7 或k 2=4+ √7 ，∵k i ＞0，k i ≠3，i=1，2，∴当l 的斜率为4- √7 或4+ √7 时，四边形OAPB 能为平行四边形．【点评】：本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。