正方体的展开和折叠问题的解题规律
正方体的展开和折叠问题的解题规律
正方体的展开和折叠问题在中考题中经常出现，多见于填空题和选择题。这
种题有利于培养学生的空间观念和实践、探索能力．本文对几种常见类型的解题
规律作初步的探讨．
一、判断给定的图形是否是正方体的展开图
例1：将一个正方体纸盒沿棱剪开并展开，共有_______种不同形式的展开图。
解:具体有以下11种图形，
1．“一·四·一” 型，中间一行4个作侧面，两边各1个分别作上下底面，
•共有6种．
；
2．“二·三·一”（或一·三·二）型，中间3个作侧面，上（或下）边
2•个那行，相连的正方形作底面，不相连的再下折作另一个侧面，共3种．
3．“二·二·二”型，成阶梯状．
%
4．“三·三”型，两行只能有1个正方形相连．
二、找正方体相邻或相对的面
1
．从展开图找．
例2水平放置的正方体六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右
面”表示。如图是一个正方体的平面展开图，若图中的“进”表示正方体的前面，
“步”表示右面，“习”表示下面，则“祝”、“你”、“学”分别表示正方体
的＿＿＿＿＿＿＿＿。
解析:“祝”与“进”，“你”与“习”中间都隔一个正方形，是相对的面，
所以“学”与“步”也是相对的面。答案：后面、上面、左面
例3右图是一个正方体的展开图，如果正方体相对的面上标注的值，那么
____，_______。
解析：“2x”与“8”中间都隔一个正方形，是相对的面，“y”与“10”是相
对的面。所以，x=4，y=10。
2．从立体图找．
例4：如图是3个完全相同的正方体的三种不同放置方式，下底面依次是＿
＿＿＿＿＿。
）
解析 先找相邻的面，余下就是相对的面．上图出现最多的是3，和3相连
的有2、4、5、6，余下的1就和3相对．再看6，•和6相邻的有2、3、4，和3
相对的是1，必和6相邻，故6和5相对，余下是4和2相对，•下底面依次是2、
5、1．
三、由带标志的正方体图去判断是否属于它的展开图
例5小丽制作了一个如下左图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那
么这个正方体的平面展开图可能是 （ ）
解析 基本方法是先看上下，后定左右，故选（A）．
—
例6 下面各图都是正方体的表面展开图，若将它们折成正方体，•则其中两个
正方体各面图案完全一样，它们是_______。
解析 首先找出上下两底，（1）是+和*，（2）是+和*，（3）（4）都是□
和×，排除（1）（2），再检查侧面，（3）（4）顺序相同，所以选（3）（4）．
正方体、长方体的展开图与折叠
正方体、长方体的展开图与折叠学习目标：1、知识与技能目标：通过展开与折叠活动，认识了长方体、正方体的不同的展开图，加深对长方体、正方体的认识，感受立体图形与平面图形的关系，建立长方体或正方体中的面与展开图中的面的对应关系。
2、过程与方法目标：在想象、操作等活动中，经历和体验立体图形与平面图形的相互转化过程，渗透转化和对应的数学思想，发展空间观念，培养学生多角度探究问题的能力和空间思维能力，积累数学活动经验。
3、情感态度价值观目标：激发学生对探索知识的强烈愿望和对数学学习的兴趣，并不断体验数学活动中探索过程和创造过程带来的乐趣，建立正确的数学学习观。
教学过程：第一课时活动一：复习长方体和正方体的特征。
引导学生根据提问回答问题。
1、出示长方体盒子，师问：长方体有几个顶点？几个面？几条棱？它的面和棱各有什么特点？2、再出示一个正方体盒子，师问：正方体又有几个顶点？几个面？几条棱？它的面和棱各有什么特点？3、师：如果确定了长方体或正方体的其中一个面为底面（下面），你能很快说出其余的五个面各是什么面吗？请同桌的同学互相说一说。
活动二：认识长方体、正方体的展开图：1、师指着长方体盒子问：谁有办法把这个立体图形变成平面图形？怎样剪最好？2、学生动手剪，师指导有困难的学生，并把一个剪得好的长方体展开图展示在黑板上。
3、师指着正方体盒子问：这个正方体的盒子能否剪成这样的平面图形？请同学们试一试。
4、学生继续剪，把一个剪得好的正方体展开图展示在黑板上。
5、师指着黑板上的展开图：像这样沿着长方体或正方体的棱剪开，使这个长方体或正方体完全的展开，得到一个六个面互相连接的平面图形，我们叫做长方体或正方体的平面展开图。
活动三：剪出来的平面展开图和黑板上的展开图不一样，而且周围同学剪出来的展开图也不太一样，这是为什么呢？第二课时：正方体的展开探究一：相同的长方体或正方体，剪出来的展开图为什么会不一样呢？谁来帮忙解决这个问题？小组内讨论交流，自主探索：探究二：回忆一下刚才你是怎么剪的？为什么会不一样呢？把你的剪法和想法与小组内的其他成员交流。
正方体的11种折叠法及背会小窍门小口诀
正⽅体的11种折叠法及背会⼩窍门⼩⼝诀有⼀⽆盖⽴⽅体纸箱，若将其沿棱剪成展开图，问有多少种不同形式的展开图？解因总⾯数是5，不会出现5个⾯全部排成⼀⾏（列）的情形.（1）当⼀⾏（列）⾯数最多是4时，有两种情形（注意对称性），如图）（2）当⼀⾏（列）⾯数最多是3时，剩下的两个⾯位于这⼀⾏（列）的同⼀侧有两种不（3）剩下的两个⾯位于这⼀⾏（列）的异侧有三种不同情形，如图（4）当⼀⾏（列）的⾯数最多是2时，仅⼀种情形，如图所⽰.总数为2+2+3+1=8种，即有8种不同的展开形式.探究正⽅体的展开图将⼀个正⽅体的表⾯沿某些棱剪开，展成⼀个平⾯，共有哪些不同的图形呢？要搞清这个问题，最好是动⼿实践，⽐如找⼀些正⽅体纸盒，沿着棱按不同⽅式将其剪开（但不要剪断，六个⾯要通过边连在⼀起），展成平⾯，再观察、对⽐⼀下不同形状的图形有哪些。
如果不容易找到⾜够的正⽅体纸盒，还可以找⼀些不太厚、易折叠的正⽅体纸板，利⽤逆向思维，先猜测正⽅体展开图会有哪些不同形状，并将它们画在纸板上，再将周围多余部分剪去，然后沿所画直线直⾏折叠，看看哪些图形纸板可以折叠成正⽅体。
这种探究⽅法虽然有点⿇烦，但操作简便易⾏，快速有效。
事先可多画⼀些纸板（六个正⽅形边与边对齐，任意连接成不同的平⾯图形），经过逐个验证，记录下所有可以折叠成正⽅体的图形，再将这些图形分类，总结并寻找出其中的规律。
那么，沿棱剪开展开⼀个正⽅体，究竟有哪些不同的形状呢？如果不考虑由于旋转或翻折等造成相对位置的不同，只从本质上讲，有以下三类共11种。
⼀、“141型”（共6种）特点：这类展开图中，最长的⼀⾏（或⼀列）有4个正⽅形（图1～图6）。
理解：有4个⾯直线相连，其余2个⾯分别在“直线”两旁，位置任意。
⼆、“231型”与“33型”（共4种）特点：这类展开图中，最长的⼀⾏（或⼀列）有3个正⽅形（如图7～图10）。
理解：在“231型”中，“3”所在的⾏（列）必须在中间，“2”、“1”所在⾏（列）分属两边（前后不分），且“2”与“3”同向，“1”可以放在“3”的任意⼀个正⽅形格旁边，这种情况共有3种，⽽“33型”只有1种。
正方体的11种展开图及判断方法教案-参考模板
正方体的11种展开图及判断方法教案今天这节课我分成了两大块，前一部分：学习正方体的展开图；后一部分：动手操作、验证。
因为我在课前已经布置了学生预习，“找几个正方体纸盒，把它剪开，看看可以有哪些不同的展开图？”我在检查预习作业时，我就发现有的同学已经能找出10种不同的展开图。
但有也一些学生根本就没有完成预习作业。
为了，使不同的学生在本课上都能得到不同的发展，所以我把这节课分成了上面两大板块，第一板块：我直接就将11种不同的情况的展开图出示给学生，因为好学生在课前已经完成过“剪”的操作活动，如果课上再安排去剪，对于他们来说本课对他们来说没有什么收获。
而那些没有认真去做预习的同学，往往是那些成绩暂差生，如果上课再慢慢地安照教材给他们去动手再剪，一节课下来可能无法完成“11种”不同展开图的教学任务。
我直接告诉他们这些不同的展开图，至少可以应付后面的练习，有的学生虽然没有动手剪，但是在课堂上他们可以去想象，我想这样同样也可以培养学生的空间观念。
到了六年级，我个人认为有的操作是可有可无的。
我想操作的目的也是为了不操作，最后终归要回到抽象中，比如今天的“展开图教学”，一般的教学顺序应该是找一个正方体实物剪开，观察、认识展开图；然后把几种展开图动手折叠判断看看哪些展开图能做成正方体。
最后，运用获得的一些展开图的知识去判断、练习。
我在备课时，就产生了这样的疑问：1、通过剪的操作能不能找全部11种不同的展开图吗？2、通过什么活动能让学生发现11种不同的展开图？第一个问题：我想通过剪的操作不可能得全11种展开图，难道要学生去准备11个正方体纸盒吗？况且课堂时间也不允许，因为这部分知识只有1课时。
所以，我认为正方体的11种展开图用自主探索的方法可能不太可能，所以，我就运用讲授法，直接将这个结果告诉学生。
但是我在教学这个知识点的时候并不是生硬的直接出示，我是这样教学第一部分知识的：第一板块：师：如果给你一张硬纸板，你能做成一个正方体纸盒吗？怎么做？教学长方体展开图：（这时，我先教学长方体的展开图，拿出事先准备好的长方体的展开图，重点是让学生能判断，“谁和谁是对面？”。
立体几何展开与折叠核心解析
立体几何展开与折叠核心解析北师大版《展开与折叠》精华版主要涉及几何学中立体图形与平面图形之间的转换，特别是正方体和棱柱的展开与折叠。
以下是对该内容的详细归纳：一、正方体的展开与折叠1.正方体的展开图o正方体有11种不同的展开图，这些展开图可以根据其形状特点进行分类：●1-4-1型：共6种展开图，特点是由1个正方形、4个正方形和再1个正方形组成，中间4个正方形排成一行。
●2-3-1型：共3种展开图，特点是由2个正方形、3个正方形和再1个正方形组成，且2个正方形在3个正方形的两端。
●2-2-2型：只有1种展开图，由3行2列的正方形组成，且每行正方形都相邻。
●3-3型：也只有1种展开图，由2行3列的正方形组成，每行有3个正方形。
2.正方体展开的操作o要将一个正方体展开成一个平面图形，通常需要沿7条棱剪开。
o展开时，需要注意保持各面的相对位置关系，以便在折叠时能够恢复成立方体。
3.判断图形能否折成正方体o通过观察给定的平面图形，判断其是否包含上述11种展开图中的一种或变形。
o注意检查图形的边数、形状以及各边之间的连接方式是否符合正方体展开图的特征。
二、棱柱的展开与折叠1.棱柱的定义o棱柱是一种具有上下两个平行、相等多边形底面，侧面为矩形的立体图形。
根据底面多边形的边数，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
2.棱柱的展开图o棱柱的展开图包括底面和侧面。
底面保持原样，侧面则展开为与底面边数相等的矩形。
o例如，四棱柱的展开图包括一个矩形底面和四个矩形侧面。
3.棱柱的折叠o将棱柱的展开图按照正确的位置关系折叠起来，可以恢复成立体图形。
o在折叠过程中，需要确保底面和侧面的相对位置正确，以及各侧面之间的连接紧密无缝隙。
三、教学建议与活动设计1.创设情境o通过观察生活中的正方体形状的盒子等实物，引导学生思考这些物体展开后的形状。
2.动手操作o组织学生动手展开正方体或棱柱的模型，观察并记录其展开图的形状和特点。
o小组合作交流，展示各自的展开图并进行分类讨论。
正方体表面展开图的口诀
巧记口诀确定正方体表面展开图6个相连的正方形组成的平面图形，经折叠能否围城正方体问题，是近年来中考常考题型。
同学们在学习这一知识时常感到无从下手，现将确定正方体展开图的方法以口诀的方式总结出来，供大家参考：正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。
十四条边布周围，十一类图记分明：四方成线两相卫，六种图形巧组合；跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。
对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、“田”。
现将口诀的内涵解释如下：将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形，需剪7刀，故平面展开图中周围有14条边长共有十一种展开图：一、四方成线两相卫，六种图形巧组合（1）（2）（3）（4）（5）（6）以上六种展开图可归结为四方连线，，另外两个小方块在四个方块的上下两侧，共六种情况。
二、跃马失蹄四分开（1）（2）（3）（4）以上四种情况可归结为五个小方块组成“三二相连”的基本图形（如图），另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小方块中的任意一个，这一图形有点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄”。
三、两两错开一阶梯这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯”。
四、对面相隔不相连这是确定展开图的又一种方法，也是确定展开图中的对面的一种方法。
如果出现三个相连，则1号面与3号面是对面，中间隔了一个2号面，并且是对面的一定不相连。
五、识图巧排“7”、“凹”、“田”（1） （2） （3）这里介绍的是一种排除法。
如果图中出现象图（1）中的“7”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为图中1号面与3号面是对面，3号面又与5号面是对面，出现矛盾。
如果图中出现象图（2）中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为同一顶点处不可能出现四个面的。
如果图中出现象图（3）中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为如果把该图形折叠起来将有两个面重合。
现举例说明：例1．（2004海口市实验区）下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（ ）解析：本题可用“识图巧排 ‘7’、‘田’、‘凹’”来解决。
正方体的11种折叠法及背会小窍门小口诀
有一无盖立方体纸箱，若将其沿棱剪成展开图，问有多少种不同形式的展开图？解因总面数是5，不会出现5个面全部排成一行（列）的情形.（1）当一行（列）面数最多是4时，有两种情形（注意对称性），如图）（2）当一行（列）面数最多是3时，剩下的两个面位于这一行（列）的同一侧有两种不）（b同情形，如图15-2图如，形情同不种三有侧异的）列（行一这于位面个两的下剩）3（．（4）当一行（列）的面数最多是2时，仅一种情形，如图所示.总数为2+2+3+1=8种，即有8种不同的展开形式.探究正方体的展开图将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面，共有哪些不同的图形呢？要搞清这个问题，最好是动手实践，比如找一些正方体纸盒，沿着棱按不同方式将其剪开（但不要剪断，六个面要通过边连在一起），展成平面，再观察、对比一下不同形状的图形有哪些。
如果不容易找到足够的正方体纸盒，还可以找一些不太厚、易折叠的正方体纸板，利用逆向思维，先猜测正方体展开图会有哪些不同形状，并将它们画在纸板上，再将周围多余部分剪去，然后沿所画直线直行折叠，看看哪些图形纸板可以折叠成正方体。
这种探究方法虽然有点麻烦，但操作简便易行，快速有效。
事先可多画一些纸板（六个正方形边与边对齐，任意连接成不同的平面图形），经过逐个验证，记录下所有可以折叠成正方体的图形，再将这些图形分类，总结并寻找出其中的规律。
那么，沿棱剪开展开一个正方体，究竟有哪些不同的形状呢？如果不考虑由于旋转或翻折等造成相对位置的不同，只从本质上讲，有以下三类共11种。
一、“141型”（共6种）特点：这类展开图中，最长的一行（或一列）有4个正方形（图1～图6）。
理解：有4个面直线相连，其余2个面分别在“直线”两旁，位置任意。
二、“231型”与“33型”（共4种）。
）10～图7个正方形（如图3：这类展开图中，最长的一行（或一列）有特点．”所在行（列）分2“”、“1理解：在“231型”中，“3”所在的行（列）必须在中间，”的任意一个正方形格旁边，”同向，“1”可以放在“3属两边（前后不分），且“2”与“3 33型”只有1种。
裁剪正方体盒总结规律
裁剪正方体盒总结规律正方体的展开和折叠问题是经常考的问题，在考试中常见于选择题，这种题有利于培养学生的空间观念和实践、探索能力。
一般情况解决这类问题有两种方法：一是动手操作来解决，二是通过空间想象进行确定。
然而今天给大家带来更为简单有效的方法，希望在以后遇到这样的问题时，能够快速准确的解答。
首先，应该明确，由平面折叠成立体图形时，给定的是正方体的外表面。
注意，本次讲解的方法都是应用于选择题，为了是排除错误选项，从而通过排除法确定正确答案。
由平面图重构立体图形的方法一：相对面排除存在以下选项的答案：一组相对面出现两个的选项；一组相对面出现0个的选项。
那么展开图中如何判断相对面呢？1、同行或同列隔一个的。
2、“Z”字型两端（“Z”字型两端是指紧挨着中间竖线的两个面）。
二、相邻面可以采用公共边法或者是画边法（注意：构成直角的两个边是同一条边）画边法：1、结合选项，在题干中确定一个面的唯一点或者唯一边。
2、从起点出发，沿着顺时针或者逆时针方向描边。
3、确定相邻面与选项相匹配，对应面不一致的选项排除。
对于初中的学生老师，掌握这两种方法基本就能判断空间重构类型的题目了。
而对于从正方体展开成为平面图形，要记住以下特点：1.上中下三行，每两行之间只能有一条边重合。
2.222、33两类是特殊的，为阶梯状。
3.有的看似不属于任一类，旋转后就是其中一类了。
记住正方体展开图口诀：正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。
一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。
展开与折叠
友情提示：
1、沿着棱剪
2、展开后是 一个图形
可以动手剪,也 可以想着画.
如图(1),由6个小正方体连成的一块硬纸板(不 计粘贴接缝)折叠后可制成1个正方体纸盒.若 把6个小正方体每种不同位置的排列作为一种 纸样(只是摆放位置不同,翻转后可以重叠的不 计,例如图(2),图(3)都算与图(1)同一种纸样). 问可粘贴成正方体纸盒的纸样有几种,请在笔 记本上画出其平面图形,并与同伴交流.
延伸思维训练
1.“坚”在下，“就”在后，胜 利在哪里？
坚
持 就 是 胜 利
2.把左图中长方体的表面展开图， 折叠成一个长方体，那么与字母 J重合 的点是？
E F
A B C D G
N
M
L K
I
H
J
3.如图，一只蚂蚁要从正方体的顶点A沿表 面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果 要爬行到顶点C呢？说出你的理由.
胜在上，利在前。
H
和
N
C
壁虎
4.
蚊子
• 4. A • 5. 红对绿，黄对黑，兰对白。 • 6. （1）F在上面（2）C在上面 • （3）A在上面
C
B A
4.有一天壁虎在圆桶的下方,发现上 方有一只蚊子，饥饿的它要想尽快吃到 蚊子，应该走哪条路最近呢？
●
蚊子
你有何高招？
壁虎
●
5.有一个正方体，在它的各个面上分 别涂了白、红、黄、兰、绿、黑六种颜色. 甲、乙、丙三位同学从三个不同的角度去 观察此正方体，结果如下图，问这个正方 体各个面的对面的颜色是什么？
9.如图示的三种形状,你能想象哪一个可以折叠
成三棱锥（四面体）?
(1)
图1
正方体展开图巧记口诀及解释(2)(最新整理)
6个相连的正方形组成的平面图形，经折叠能否围城正方体问题，是近年来中考常考题型。
同学们在学习这一知识时常感到无从下手，现将确定正方体展开图的方法以口诀的方式总结出来，供大家参考：
正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。
十四条边布周围，十一类图记分明：
四方成线两相卫，六种图形巧组合；
跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。
对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、“田”。
现将口诀的内涵解释如下：将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形，需剪7刀，故平面展开图中周围有14条边长共有十一种展开图：
工具/原料
剪刀，制作正方体
方法/步骤
1.1
四方成线两相卫，六种图形巧组合
2.2
跃马失蹄四分开
3.3
两两错开一阶梯
4.4
对面相隔不相连
5.5
识图巧排“7”、“凹”、“田”
END。
解密初中数学解题技巧之立体形的展开与折叠
解密初中数学解题技巧之立体形的展开与折叠数学是一门既有逻辑又有创造性的学科，其中立体几何是初中数学的重要内容之一。
在立体几何中，展开与折叠是解题的重要技巧之一。
本文将围绕这一主题展开。
一、展开的概念及方法在解决立体几何问题时，有时需要将立体形体展开成平面图形来进行分析与计算。
展开就是将一个立体形体在平面上按照一定规则展开，使之成为一个平面图形的过程。
展开后，我们可以更好地观察各个面的结构和关系，进而解决问题。
展开的方法主要有以下几种：1. 表面展开法：通过边沿的共边共点将立体形体展开。
2. 断口展开法：在立体形体上选择适当位置，然后将其切割成若干个部分，使得每个部分能够展开。
3. 考虑对称性：对于具有对称性的立体形体，可以利用对称性将其展开。
二、折叠的概念及技巧与展开相反，折叠是将一个平面图形折叠成一个立体形体的过程。
折叠可以将平面上的关系转化为空间中的关系，从而解决立体几何问题。
折叠的技巧主要有以下几点：1. 边线对折：将图形的边线按照一定关系对折，可以得到立体形体的边。
2. 角点对折：将图形的角点按照一定关系对折，可以得到立体形体的顶点。
3. 面对折：将图形的面按照一定关系对折，可以得到立体形体的面。
三、展开与折叠的应用举例为了更好地理解展开与折叠的技巧，我们来看几个具体的例子。
例1：展开与折叠的应用 - 正方体展开为平面图形假设有一个边长为a的正方体，我们将其展开为平面图形。
首先，我们将正方体的各个面按照一定规则展开，最后将展开后的各个面的边线进行连接，就可以得到一个包含正方形的平面图形。
例2：展开与折叠的应用 - 圆锥展开为扇形考虑一个圆锥，我们可以将其展开为扇形。
将圆锥绕着底面上的一条边旋转，就可以得到一个扇形。
在解题时，我们可以利用扇形的性质来解决问题。
例3：展开与折叠的应用 - 矩形展开为长方体将一个矩形的两个相对边折叠，使其形成一条立体的边，然后将其余两边折叠，可以得到一个长方体。