【中小学资料】九年级数学上册 28.5 弧长和扇形面积的计算 有关弧长公式的应用举例素材 (新版)冀教版
冀教版初中数学九年级上 28.5 弧长和扇形面积计算 课件 优质课件PPT
S
Or
B
请推导出圆锥的侧面积公式.
S侧
1 2
C底 R
S侧
1 2
2r
l.
l r
s全 s侧 s底 rl r2
S 侧 =πrl (r表示圆锥底面的半径, l表示圆锥的母线长 )
圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积(或表面积).
当堂练习
1.制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下 料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)
28.5弧长和扇形面积的计算
学习目标
1.理解并掌握扇形的弧长的计算公式并会进行计算. 2.理解并掌握扇形的面积的计算公式并会进行计算. (重点) 3.能够根据圆锥侧面展开图进行相关计算.（难点）
回顾与思考 问题1 已知⊙O半径为R，⊙O的周长C是多少？
C=2πR
问题2 已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少？
360 2
3.其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
侧面展开图扇形的弧长=底面周长 2r
圆锥的侧面展开图是扇形 S 侧 =πrl (r表示圆锥底面的半径,l表示圆锥的母线长)
s全 s侧 s底 rl r2
谢谢
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激 组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的 有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自 对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，挥动依旧没有 和球，然后用更大的力气对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”可是接下来的结果，并未如愿。男孩子似乎有些气馁，可是转念一想：我抛球这么刁，一定是个很 喊：“我是世界上最棒的挥球手！”其实，大多数情况下，很多人做不到这看似荒谬的自我鼓励，可是，这故事却深深反映了这个男孩子自我鼓励下的执著，而这执著 迹往往是执著者造成的。许多人惊奇地发现，他们之所以达不到自己孜孜以求的目标，是因为他们的主要目标太小、而且太模糊不清，使自己失去动力。如果你的主要 实现就会遥遥无期。因此，真正能激励你奋发向上的是确立一个既宏伟又具体的远大目标。实现目标的道路绝不是坦途。它总是呈现出一条波浪线，有起也有落，但你 你的时间表，框出你放松、调整、恢复元气的时间。即使你现在感觉不错，也要做好调整计划。这才是明智之举。在自己的事业波峰时，要给自己安排休整点。安排出 是离开自己挚爱的工作也要如此。只有这样，在你重新投入工作时才能更富激情。困难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。 很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力陡生。所以，困难不可怕，可怕的是回避困难。大多数人通过别人对自己的印象和看法来看自 尤其正面反馈。但是，仅凭别人的一面之辞，把自己的个人形象建立在别人身上，就会面临严重束缚自己的。因此，只把这些溢美之词当作自己生活中的点缀。人生的 上找寻自己，应该经常自省。有时候我们不做一件事，是因为我们没有把握做好。我们感到自己“状态不佳”或精力不足时，往往会把必须做的事放在一边，或静等灵 些事你知道需要做却又提不起劲，尽管去做，不要怕犯错。给自己一点自嘲式幽默。抱一种打趣的心情来对待自己做不好的事情，一旦做起来了尽管乐在其中。所以， 要尽量放松。在脑电波开始平和你的中枢神经系统时，你可感受到自己的内在动力在不断增加。你很快会知道自己有何收获。自己能做的事，放松可以产生迎接挑战的 社会，面对工作，一切的未来都需要自己去把握。人一定要靠自己。命运如何眷顾，都不会去怜惜一个不努力的人，更不会去同情一个懒惰的人，一切都需要自己去努 一时的享受也只不过是过眼云烟，成功需要自己去努力。当今社会的快速发展，各行各业的疲软，再加上每年几百万毕业生涌向社会，社会生存压力太大，以至于所有 高自己。看着身边一个个同龄人那么优秀，看着朋友圈的老同学个个事业有成、买房买车，我们心急如梵，害怕被这个社会抛弃。所以努力、焦躁、急迫这些名词缠绕 变自己，太想早一日成为自己梦想中的那个自己。收藏各种技能学习资料，塞满了电脑各大硬盘；报名流行的各种付费社群，忙的人仰马翻；于是科比看四点钟的洛杉 早起打卡行动。其实……其实我们不觉得太心急了吗？这是有一次自己疲于奔命，病倒了，在医院打点滴时想到的。我时常恐慌，害怕自己浪费时间，就连在医院打点 浪费。想快点结束，所以乘着护士不在，自己偷偷的拨快了点滴速度。刚开始自己还能勉强受得了，过了差不多十分钟，真心忍不住了，只好叫护士帮我调到合适的速 就在想，平时做事和打点滴何尝不是一样，都是有一个度，你太急躁了、太想赶超，身体是受不了的。身体是革命的本钱，我们还年轻，还有大把的时间够我们改变， 前面的那个若是1都不存在了，后面再多的0又有什么用？我是一个急性子，做事风风火火的，所以对于想改变自己，是比任何人都要心急。这次病倒了，个人感觉完全 乎才导致的，病倒换来的努力根本是一钱不值。生病的那几天，我跟自己的大学老师打了一个电话，想让老师帮我解惑一下，自己到底是怎么了。别人也很努力啊，而 为啥他们反到身体倍棒而一无所获的自己却病倒了？老师开着电脑，给我分享了两个小故事讲的第一个故事是“保龄球效应”，保龄球投掷对象是10个瓶子，你如果每 而你如果每次能砸倒10个瓶子，最终得分是240分。故事讲完，老师问我明白啥意思没？我说大概猜到一点，你让我再努力点，对吗？不对！你已经够努力了，都累病了 在就是那个每次砸倒9个瓶子的人。你累倒的原因是因为你同时在几个场馆玩，每一个场馆得分都是90分，而有些人，则是只在一个场馆玩，玩多了，他就能砸倒10个瓶 却还是远远超过你。老师讲的第二故事是“挖水井”，一个人选择好�
数学九上《弧长和扇形面积的计算》
14．(10分)如图，已知每个小正方形的边长为1 cm，O，A，B都在小正方形顶点上，扇形OAB是某个圆锥的侧面展开图．(1)计算这个圆锥侧面展开图的面积；(2)求这个圆锥的底面半径．
120
6π
27πcm2
1
8．(3分)一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为90°的扇形，则此圆锥的底面圆的半径为________．
B
10．(8分)如果圆锥底面的周长是20π，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，求该圆锥的侧面积和全面积．
A
11．(2013·聊城)把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16 cm，那么钢丝大约需要加长( )A．102 cm B．104 cmC．106 cm D．108 cm12．如图，半圆的直径AB＝10，P为AB上一点，点C，D为半圆上的三等分点，则图中阴影部分的面积等于________．
扇形
母线
高
C
Aபைடு நூலகம்
3π
4．(3分)一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保留π)．5．(3分)已知扇形的面积为12π，半径等于6，则它的圆心角等于________度．6．(3分)已知一扇形的弧长是4π，半径为3，那么这个扇形的面积是________．7．(3分)扇形的圆心角为120°，弧长为6π cm，那么这个扇形的面积为__________．
弧长和扇形面积的计算
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冀教版数学九年级上册28.5《弧长和扇形面积的计算》教案
《弧长和扇形面积的计算》教案教学目标了解扇形的概念，理解n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长L=180R n π和扇形面积2n 360R S π=扇形的计算公式，并应用这些公式解决一些题目． 教学重点n °的圆心角所对的弧长L=180n R π，扇形面积S 扇=2360n R π及其它们的应用． 教学难点两个公式的应用．教学过程一、复习引入1．圆的周长公式是什么？2．圆的面积公式是什么？3．什么叫弧长？二、探索新知（一）（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R ，则：1、圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．1°的圆心角所对的弧长是_______．2°的圆心角所对的弧长是_______． 4°的圆心角所对的弧长是_______．n °的圆心角所对的弧长是_______．2、应用公式：请全体学生独立完成对“弯形管道——P110”的计算．3、集体讲解．4、练习：P168练习.（二）如图：像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （小黑板），请同学们结合圆面积S =πR 2的公式，独立完成下题：1、该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积． 设圆的半径为R ，1°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______．设圆的半径为R ，2°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______．设圆的半径为R ，5°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______．……设圆半径为R ，n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______．因此：在半径为R 的圆中，圆心角n °的扇形的面积：2、应用公式P168例题.学生先独立思考，在讨论，最后老师讲评和板书．课堂小结让学生自己说出：n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式．课后作业P169习题A 组． 360n 2R S π=扇形。
人教九上数学24.弧长与扇形面积公式课件
1.已知扇形的圆心角为120°，
半径为2，则这个扇形的面积
S扇形=
.
2.已知扇形面积为 ，圆心 角为60°，则这个扇形的半 径R=____．
比较扇形面积与弧长公式,用弧长表示扇形面积:
交
B
A
流
解
A
B
惑
O
O
例题示范
例2：如图、水平放置的圆柱形排水管 道的截面半径是60cm，其中水面高 930 cm, 求截面上有水部分的面积。
实 制造弯形管道时，要先按中心 际 线计算“展直长度”，再下料，
应 试计算图所示管道的展直长度L.
用
(
+1400 )mm
思 考
什么是扇形？
并 回 答：
n°
B
扇形
A
o
O
由组成圆心角的两条半径和圆心角 所对的弧所围成的图形叫扇形．
交
流
展
A
n°
B
O
示
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的 扇形面积为S，则
B 则贴纸部分的面积为（ ）
A．
B.
曲苑杂坛
A
B C．
D．
C O
8. 已知等边三角形ABC的边长为a，分别以 A、B、C为圆心，以 为半径的圆相切于 点D、 E、F，求图中阴影
部分的面积S.
通过本节课的学习 你有哪些收获？
作业：
1.课后作业：教材124--125页，习题 24.4第3、7题。
预习作业：见预习《 圆锥侧面积 》 学案
有水部分的面积
= S扇- S△
A
0
D
B
C
例题示范
例2：如图、水平放置的圆柱形排水管 道的截面半径是60cm，其中水面高30cm，
冀教版初中数学九年级上 28.5 弧长和扇形面积计算 课件 优秀课件PPT
学习目标
1.理解并掌握扇形的弧长的计算公式并会进行计算. 2.理解并掌握扇形的面积的计算公式并会进行计算. (重点) 3.能够根据圆锥侧面展开图进行相关计算.（难点）
回顾与思考 问题1 已知⊙O半径为R，⊙O的周长C是多少？
C=2πR
问题2 已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少？
解：由弧长公式，可得弧AB的长
l 100 900 500 1570mm
180
因此所要求的展直长度 L 2 700 1570 2970(mm)
答：管道的展直长度为2970mm．
课堂小结
1.n°的圆心角所对的弧长 l n R.
180
2.圆心角为n°的扇形面积S扇= n R2 1 lR (l为扇形的弧长）.
S=πR2
一 扇形的弧长
制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中 虚线的长度)，再下料，这就涉及到计算弧长的问题.
已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长． （1）半径为R的圆,周长是多少？ C=2πR
（2）1°圆心角所对弧长是多少？ 2R R
360 180
（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的 弧长的多少倍？ n倍 （4）n°圆心角所对弧长是多少？
二 扇形的面积
已知⊙O半径为R，如何求圆心角n°的扇形的面积?
研究问题的步骤:
（1）半径为R的圆,面积是多少? S=πR2
（2）圆心角为1°的扇形的面积是多少? R2
360
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积 的多少倍？ n倍
n R2
（4）圆心角为n°的扇形的面积是多少?
360
nR
180
O
弧长公式和扇形面积公式的关系
弧长公式和扇形面积公式的关系弧长公式和扇形面积公式是几何学中常用的公式，用于计算弧长和扇形的面积。
这两个公式之间存在一定的关系，下面将详细介绍它们之间的联系。
我们来看一下弧长公式。
在一个圆中，弧长是指圆上两个点之间的弧所对应的圆周的长度。
假设圆的半径为r，弧所对应的圆心角为θ（弧度制），那么弧长L可以通过弧长公式来计算：L = rθ。
这个公式告诉我们，弧长与圆的半径和圆心角成正比，也就是说，当半径增加或圆心角增大时，弧长也会相应增加。
接下来，我们看一下扇形面积公式。
扇形是由一个圆心角所对应的圆弧和两条半径组成的图形。
扇形的面积可以用扇形面积公式来计算：A = 0.5r²θ，其中r是圆的半径，θ是扇形所对应的圆心角。
这个公式告诉我们，扇形的面积与圆的半径和圆心角成正比，也就是说，当半径增加或圆心角增大时，扇形的面积也会相应增加。
接下来，我们来探讨一下弧长公式和扇形面积公式之间的关系。
首先，我们可以发现，扇形是由弧和两条半径组成的，可以将扇形看作是一个弧和一个三角形的面积之和。
假设扇形的面积为A，弧长为L，那么可以得到以下关系：A = 0.5rL，其中r是圆的半径。
这个关系告诉我们，扇形的面积与弧长成正比，也就是说，当弧长增加时，扇形的面积也会相应增加。
对于给定的圆，如果我们知道了弧长L，我们可以通过扇形面积公式计算出扇形的面积A。
反过来，如果我们知道了扇形的面积A，我们可以通过扇形面积公式解出弧长L。
因此，弧长公式和扇形面积公式可以互相转换和应用。
除了上述的关系，弧长公式和扇形面积公式还与圆的周长和面积公式有一定的联系。
圆的周长C可以表示为C = 2πr，其中r是圆的半径。
而圆的面积S可以表示为S = πr²。
如果我们将弧长公式中的圆心角θ设置为360度或2π弧度，那么可以得到弧长公式和圆的周长公式之间的关系：L = Cr/360。
同样地，如果我们将扇形面积公式中的圆心角θ设置为360度或2π弧度，那么可以得到扇形面积公式和圆的面积公式之间的关系：A = Sr/360。
初中数学 圆的弧长及扇形面积公式 (含答案)
弧长及扇形面积第一部分 知识梳理（一）、圆的弧长及扇形面积公式在半径为R 的圆中,n °的圆心角所对的弧长为C 1,以n °为圆心角的扇形面积为S 1弧长公式 ： 弧长C 1＝180n R π 扇形面积公式： S 1＝2360n R π＝12C 1R注意：计算不规则图形的面积时，要转化成规则图形的面积进行计算。
（二）、圆锥的侧面积：注意：圆锥的侧面展开图是一个扇形 其中：（1）h 是圆锥的高,r 是底面半径；（2）l 是圆锥的母线,其长为侧面展开后所得扇形的半径R ；（3）圆锥的侧面展开图是半径等于 l ,弧长等于圆锥底面 周长C 的扇形.即： ①l =R ②180n Rπ=2πr ③h 2+r 2=l 2圆锥的侧面积 S 侧面积＝ πrl圆锥的全面积 S 全面积＝ πrl ＋πr 2第二部分 中考链接一、有关弧长计算 （一）、选择题1、（2018•淄博）如图，⊙O 的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC 的长为（ ）A 、2π B. 83π C 34π D. 43π1题图2题图 3题图 4题图 5题图2、（2018•黄石）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（ ）A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π3、（2018•沈阳）如图，正方形ABCD 内接于O ，AB=2，则的长是（ ）A ．πB ．πC ．2πD ．π4、（2018•陵城区二模）一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B 点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）A ．B ．C ．4D ．2+5、（2018•明光市二模）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，OA=2，∠OAB=30°，弦BC ∥OA ，则劣弧的长是（ ）A ．B ．C ．D ．6、（2019青岛）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（）A．π B．2π C．2π D．4π6题图 7题图 8题图7、（2019烟台）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（）A．B．πC．πD．π8、（2019泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π（二）、填空题1、（2018•潍坊）如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则的长是．．1题图 3题图 4题图5题图8题图2、（2018•连云港）一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为cm．3、（2018•永州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为．4、（2018•盐城）如图，图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径OA=2cm，∠AOB=120°．则图2的周长为cm（结果保留π）．5、（2018常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是．6、（2018•温州）已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为．．7、（2018•白银）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为．8．（2019泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为cm．（三）、解答题1．（2018•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．二、、有关扇形面积计算（一）、选择题1、（2018•德州）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）A．2B．C．πm2 D．2πm21题图2题图 3题图4题图2、（2018•广安）如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2B．π﹣C．π﹣2D．π﹣3、（2018•成都）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π4、（2018•绵阳）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A．（30+5）πm2B．40πm2C．（30+5）πm2D．55πm25．（2018•十堰）如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（）A．12π+18B．12π+36C．6D．66、（2018•山西）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣85题图6题图7题图8题图7、（2018•广西）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．2 D．28、（2018•威海）如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（）A．18+36πB．24+18πC．18+18πD．12+18π9题图10题图11题图12题图13题图9、（2019枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣12π10、（2019临沂）如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（）A．2+πB．2++πC．4+πD．2+π11、（2019宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）A．63﹣πB．63﹣2πC．63+πD．63+2π12. （2019四川南充）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A. 6π B. 33π C. 23π D. 2π13.（2019四川资阳）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A. 5πB. 6πC. 20πD. 24π（二）、填空题1、（2018青岛）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是．1题图2题图3题图4题图2、（2018•安顺）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2．3、（2018•荆门）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O 交BC于点E，则阴影部分的面积为．4、（2018•重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）5、（2018•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．5题图6题图8题图9题图10题图6．（2018•香坊区）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为．7、（2018•哈尔滨）一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是cm2．8、(2019日照)如图，已知动点A 在函数4(0y x x=＞）的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，延长CA 交以A 为圆心AB 长为半径的圆弧于点E ，延长BA 交以A 为圆心AC 长为半径的圆弧于点F ，直线EF 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，当NF ＝4EM 时，图中阴影部分的面积等于 ．9、（2019泰安）如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A 、点C ，交OB于点D ，若OA ＝3，则阴影都分的面积为 ．10、（2019德州）如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BC ＝，AC ＝3．则图中阴影部分的面积是 ．11、(2019无锡市)如图，在△ABC 中，AC ：BC ：AB ＝5：12：13，⊙O 在△ABC 内自由移动，若⊙O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为 ． A BABCOOCOOI HF GED11题图 12题图 12、（2019四川内江）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＜AD ，∠A ＝150°，CD ＝4，以CD 为直径的⊙O 交AD 于点E ，则图中阴影部分的面积为 ． （三）、解答题1、（2019东营）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AB 延长线上的一点，点C 在⊙O 上，且AC ＝CD ，∠ACD ＝120°．（1）求证：CD 是⊙O 的切线，（2）若⊙O 的半径为3，求图中阴影部分的面积．2、（2019无锡市）一次函数b kx y +=的图像与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴的正半轴相交于点B ，且sin ∠ABO 3OAB 的外接圆的圆心M 的横坐标为﹣3． （1）求一次函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积．xy M BAO3．（2019·武汉）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN于D 、C 两点（1） 如图1，求证：AB 2＝4AD ·BC（2） 如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积ODEMF EMO图1 图2 4．（2019·衡阳）如图，点A 、B 、C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连接BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．DAOCB三、圆锥（一）、选择题2、（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm 2，若圆锥底面半径为R （cm ），母线长为l （cm ），则R 关于l 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3、（2018•遵义）若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）A．60πB．65πC．78πD．120π4、（2018•遂宁）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π5、（2018•东阳市模拟）已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．50πcm2C．60πcm2D．3πcm26、（2019东营）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）A．3B．C．3 D．3（二）、填空题1、（2018烟台）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON 的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=．1题图2题图3题图7题图8题图2、（2018徐州）如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为．3、（2018•郴州）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）4、（2018•聊城）用一块圆心角为216°的扇形铁皮，做一个高为40cm的圆锥形工件（接缝忽略不计），那么这个扇形铁皮的半径是cm．5、（2018•黑龙江）用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为．6、（2018•扬州）用半径为10cm ，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为cm．7、（2018•苏州）如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D 均在格点上．若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2，则12rr的值为8、（2019聊城）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为．9．（2019无锡市）已知圆锥的母线成为5cm，侧面积为15πcm 2，则这个圆锥的底面圆半径为cm ．答案与提示：一、弧长计算（一）、选择题1、D2、D3、A4、B5、B6、B7、D8、C1、解：如图，连接CO，∵∠BAC=50°，AO=CO=3，∴∠ACO=50°，∴∠AOC=80°，∴劣弧AC的长为=，故选：D．1题图2题图3题图6题图8题图2、解：连接OD，∵∠ABD=30°，∴∠AOD=2∠ABD=60°，∴∠BOD=120°，∴的长==，故选：D．3、解：连接OA、OB，∵正方形ABCD内接于O，∴AB=BC=DC=AD，∴===，∴∠AOB=×360°=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，解得：AO=2，∴的长为=π，故选：A．4、BC=AB=AC=1，∠BCB′=120°，∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′=2×12014=1803ππ⨯故选B．5、连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧长为6011= 1803ππ⨯．6、解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝4，∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝2π，故选：B．7、解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，∴△ADC∽△CEB，∴＝，即＝，∵tan∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠ABC＝30°∴AC＝2AD＝2，∴AB＝4，∴⊙O的半径为2，∴的长为：＝π，故选：D．8、解：连接OA．OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．（二）、填空题1、201923π2、2π3、24π4、83π5、26、67、πa8、6π1、解：直线y=x，点A1坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1可知B1点的坐标为（2，2），以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，OA2==4，点A2的坐标为（4，0），这种方法可求得B2的坐标为（4，4），故点A3的坐标为（8，0），B3（8，8）以此类推便可求出点A2019的坐标为（22019，0），则的长是=．故答案为：．2、1203=2 180ππ⨯3、解：∵点A（1，1），∴OA==，点A在第一象限的角平分线上，∵以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，∴∠AOB=45°，∴的长为=．故答案为．4、解：由图1得：的长+的长=的长 ∵半径OA=2cm ，∠AOB=120°则图2的周长为：=故答案为：．5、连接OB.OC ，由∠BAC=60°得∠BOC=120°，1204=1803r ππ⨯ 得：r=26、解：设半径为r ，60=2180rππ⨯，解得：r=6，故答案为：6 7、解：如图．∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a ， ∴的长=的长=的长==，∴勒洛三角形的周长为×3=πa ．故答案为πa ．(三)、解答题1、证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°， ∵OC ∥BD ，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC ⊥AD ，∴AE=ED ； （2）∵OC ⊥AD ，∴，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴．二、有关扇形面积计算1、A2、C3、C4、A5、C6、A7、D8、C9、C 10、A 11、A 12、A 13、A 1、解：连接AC ，∵从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°， ∴AC 为直径，即AC=2m ，AB=BC ，∵AB 2+BC 2=22，∴AB=BC=m ，∴阴影部分的面积是=（m 2），故选：A ．2、解：连接OB 和AC 交于点D ，如图所示：∵圆的半径为2，∴OB=OA=OC=2，又四边形OABC 是菱形，∴OB ⊥AC ，OD=OB=1， 在Rt △COD 中利用勾股定理可知：CD==，AC=2CD=2，∵sin ∠COD==，∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，∴S 菱形ABCO =OB ×AC=×2×2=2，S 扇形AOC ==，则图中阴影部分面积为S 菱形ABCO ﹣S 扇形AOC =π﹣2，故选：C ．1题图 2题图 5题图 7题图 8题图3、解：∵在□ABCD 中，∠B=60°，⊙C 的半径为3，∴∠C=120°， ∴图中阴影部分的面积是：=3π，故选：C ．4、解：设底面圆的半径为R ，则πR 2=25π，解得R=5， 圆锥的母线长==，所以圆锥的侧面积=•2π•5•=5π；圆柱的侧面积=2π•5•3=30π，所以需要毛毡的面积=（30π+5π）m 2．故选：A ．5、解：如图，连接OD ，AD ，∵点C 为OA 的中点，∴OC=OA=OD ， ∵CD ⊥OA ，∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，∴△ADO 为等边三角形，OD=OA=12，OC=CA=6，∴CD=，6，∴S 扇形AOD ==24π，∴S 阴影=S 扇形AOB ﹣S 扇形COE ﹣（S 扇形AOD ﹣S △COD ）=﹣﹣（24π﹣×6×6）=18+6π．故选：C ．6、解：利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF 的面积﹣△ABD 的面积=﹣×4×2=4π﹣4，故选：A ． 7、解：过A 作AD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵AD ⊥BC ，∴BD=CD=1，AD=BD=， ∴△ABC 的面积为=，S 扇形BAC ==π，∴莱洛三角形的面积S=3×π﹣2×=2π﹣2，故选：D ．8、解：作FH ⊥BC 于H ，连接FH ，如图，∵点E 为BC 的中点，点F 为半圆的中点，∴BE=CE=CH=FH=6， 226+125Rt △ABE ≌△EHF ，∴∠AEB=∠EFH ， 而∠EFH+∠FEH=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°，∴∠AEF=90°，∴图中阴影部分的面积=S正方形ABCD +S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF=12×12+12•π•62﹣12×12×6﹣12•65×65 =18+18π．故选：C．9、解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，故选：C．10、解：∵＝，∴AB＝AC，∵∠ACB＝75°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝BC＝2，作AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴AD经过圆心O，∴OD＝OB＝，∴AD＝2+，∴S△ABC＝BC•AD＝2+，S△BOC＝BC•OD＝，∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝2++﹣＝2+π，故选：A．12.连接OA、OB，则S阴=S扇形OAB=2606360π⨯=6π故选A13、圆所扫过的图形面积=长方形的面积+圆的面积=2π×2+π=5π二、填空题1、734-23π2、4π3、40π4、14π5、43π﹣36、8﹣2π7、6﹣π8、3 9、6π10、2.5π 11、34π 12、 13、25 14、233π+解：∵∠B=90°，∠C=30°，∴∠A=60°，∵OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠COF=120°，∵OA=2，∴扇形OGF的面积为：=∵OA为半径的圆与CB相切于点E，∴∠OEC=90°，∴OC=2OE=4，∴AC=OC+OA=6，∴AB=AC=3，∴由勾股定理可知：BC=3∴△ABC的面积为：×3×3=∵△OAF的面积为：×2×=，∴阴影部分面积为：﹣﹣π=﹣π故答案为：﹣π1题图 3题图 8题图2、解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC 绕圆心O 逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O ，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°， ∵AB=2cm ，∴OB=1cm ，OC′=，∴B′C′=，∴S 扇形B′OB ==π，S 扇形C′OC ==，∴阴影部分面积=S 扇形B′OB +S △B′C′O ﹣S △BCO ﹣S 扇形C′OC =S 扇形B′OB ﹣S 扇形C′OC =π﹣=π；3、解：连接OE 、AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，∴AE=AB=2，BE==2，∵OA=OB=OE ，∴∠B=∠OEB=30°，∴∠BOE=120°，∴S 阴影=S 扇形OBE ﹣S △BOE ，=﹣×，=﹣，=﹣，4、解：S 阴=S △ABD ﹣S 扇形BAE =×4×4﹣=8﹣2π，故答案为8﹣2π．5、解：∵矩形ABCD ，∴AD=2，∴S 阴影=S 矩形﹣S 四分之一圆=2×3﹣π×22=6﹣π，6、解：∵在⊙O 上，∠ACB=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°， ∴此扇形的半径为：=3．故答案为：3．7、解：设扇形的半径为Rcm ，∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm ， ∴=3π，解得：R=4，所以此扇形的面积为=6π（cm 2），故答案为：6π．8．解：作DF ⊥y 轴于点D ，EG ⊥x 轴于G ，∴△GEM ∽△DNF ，∵NF ＝4EM ，∴＝＝4，设GM ＝t ，则DF ＝4t ，∴A （4t ，），由AC ＝AF ，AE ＝AB ，∴AF ＝4t ，AE ＝，EG ＝， ∵△AEF ∽△GME ，∴AF ：EG ＝AE ：GM ，即4t ：＝：t ，即4t 2＝，∴t 2＝，图中阴影部分的面积＝+＝2π+π＝2.5π，11、解：连接OC ，作CH ⊥OB 于H ，∵∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，∴∠OAB ＝60°，AB ＝2OA ＝6， 由勾股定理得，OB ＝＝3，∵OA ＝OC ，∠OAB ＝60°，∴△AOC 为等边三角形，∴∠AOC ＝60°，∴∠COB ＝30°， ∴CO ＝CB ，CH ＝OC ＝， ∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．11题图12题图 13题图解：在Rt △ABC 中，∵BC ＝，AC ＝3．∴AB ＝＝2，∵BC ⊥OC ，∴BC 是圆的切线，∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴BD ＝BC ，∴AD ＝AB ﹣BD ＝2﹣＝，在Rt △ABC 中，∵sinA ＝＝＝，∴∠A ＝30°，∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴OD ⊥AB ，∴∠AOD ＝90°﹣∠A ＝60°， ∵＝tanA ＝tan30°，∴＝，∴OD ＝1，∴S 阴影＝＝．故答案是：．13、如图，圆心O 在△ABC 内所能到达的区域是△O 1O 2O 3，∵△O 1O 2O 3三边向外扩大1得到△ACB ，∴它的三边之比也是5∶12∶13， ∵△O 1O 2O 3的面积=103，∴O 1O 2=53，O 2O 3=4，O 1O 3=133，连接AO 1 与CO 2，并延长相交于I ，过I 作ID ⊥AC 于D ，交O 1O 2于E ，过I 作IG ⊥BC 于G 交O 3O 2于F ，则I 是Rt △ABC 与Rt△O 1O 2O 3的公共内心，四边形IEO 2F 四边形IDCG 都是正方形，∴IE =IF = 1223122313O O O O O O O O O O ⨯++ =23，ED =1，∴ID =IE +ED =53，设△ACB 的三边分别为5m 、12m 、13m ，则有ID =AC BC AC BC AB ⨯++=2m =53，解得m =56，△ABC 的周长=30m =25.14、连接OE,则S 阴=S 扇形OEC +S △OED =260212123336023ππ⨯+⨯⨯=（三）、解答题 1、（1）证明：连接OC ．∵AC ＝CD ，∠ACD ＝120°∴∠A ＝∠D ＝30°．∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ＝30°．∴∠OCD ＝∠ACD ﹣∠ACO ＝90°．即OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线． （2）解：∵∠A ＝30°，∴∠COB ＝2∠A ＝60°．∴S 扇形BOC ＝，在Rt △OCD 中，CD ＝OC ，∴，∴，∴图中阴影部分的面积为．2、作MN ⊥OB,垂足为N,连接OM,则MN=12OA=3,OA=6 ,A(-6,0)由sin ∠ABO 3则∠A=60°tan ∠BAO=OBOA∴3 ∴B （0，3）设直线AB:y=kx+b,将A,B 点的坐标代入得：3,b=3∴3x+3 S 阴=S 扇形MAO -S △MAO 2120(23)1634332ππ⨯-⨯-3、证明：（1）如图1，连接OD ，OC ，OE ．∵AD ，BC ，CD 是⊙O 的切线， ∴OA ⊥AD ，OB ⊥BC ，OE ⊥CD ，AD ＝ED ，BC ＝EC ，∠ODE ＝12∠ADC ，∠OCE ＝12∠BCD ∴AD //BC ，∴∠ODE ＋∠OCE ＝12（∠ADC ＋∠BCD ）＝90°， ∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠DOE ＝∠OCE ． 又∵∠OED ＝∠CEO ＝90°，∴△ODE ∽△COE ．∴OE ECED OE=，OE 2＝ED ·EC ∴4OE 2＝4AD ·BC ，∴AB 2＝4AD ·BC （2）解：如图2，由（1）知∠ADE ＝∠BOE ，∵∠ADE ＝2∠OFC ，∠BOE ＝∠2COF ，∴∠COF ＝∠OFC ，∴△COF 等腰三角形。
九年级数学上册第28章圆28.5弧长和扇形面积的计算导学课件新版冀教版
28．4 垂径定理
(2)圆锥的高：圆锥的顶点与__底__面_圆__心_之__间____的线段叫做圆锥 高(如图28－5－6中的线段AO)． 2．圆锥的侧面积和表面积 (1)圆锥的侧面展开图是__扇 __形 ____； (2)圆锥的表面积＝侧面积＋底面积．
28．4 垂径定理
反思
已知扇形的圆心角为 45°，半径长为 12 cm，求该扇形的弧长 解：l＝n3π60r2＝45π36×0 122＝18π (cm)． 上面的解答过程正确吗？如果不正确，错在哪里？请你写出正 解答过程．
第二十八章 圆
第二十八章 圆
28.5 弧长和扇形面积的计算
知识目标 目标突破 总结反思
28.5 弧长和扇形面积的计算
知识目标
1．通过对扇形的认识，探索弧长公式及扇形的面积公式， 够利用公式计算弧长及扇形的面积． 2．通过对圆锥侧面展开图的探究，知道圆锥的侧面积和展 图扇形面积之间的关系，会计算圆锥的侧面积．
∴图中阴影部分的面积为
S
－S ＝ 扇形 BOC
△BOC
360
－
12OB·OC＝π－2.故选 C.
图28－5－3
28.5 弧长和扇形面积的计算
[归纳总结]求图形面积的方法 求图形面积的方法一般有两种，规则图形直接使用面积 公式计算；不规则图形则利用割补、旋转、平移等方法， 把不规则图形的面积转化为规则图形的面积或规则图形 面积的和或差进行计算．
28.5 弧长和扇形面积的计算
[解析] ∵在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2， 120π×4 8π
∴AC＝2BC＝4，∴点 A 经过的路线的长是 180 ＝ 3 .故选 D.
[归纳总结]利用弧长公式解题的“三个步骤” 第一步：从问题中找出公式所涉及三个量(弧长、弧所 对的圆心角、半径)中的两个； 第二步：把已知的两个量代入弧长公式； 第三步：求出公式中的未知量．
九年级数学弧长和扇形面积公式
九年级数学弧长和扇形面积公式好嘞，以下是为您生成的关于“九年级数学弧长和扇形面积公式”的文章：咱上了九年级，数学里有个特重要的知识点，就是弧长和扇形面积公式。
这玩意儿听起来可能有点复杂，但是别慌，咱们慢慢捋清楚。
先来说说弧长公式。
弧长公式是啥呢？就是L = nπr/180 ，这里的 L 表示弧长，n 是圆心角度数，r 是圆的半径。
我给您举个例子哈。
有一次我去公园散步，看到公园里有个圆形的花坛。
我就琢磨着，假如这个花坛的半径是 5 米，其中一段弧所对的圆心角是 60 度，那这段弧长是多少呢？咱们就可以用弧长公式来算一算。
把数值代入公式，L = 60×π×5÷180 ，算出来弧长就是5π / 3 米。
您看，是不是还挺简单的？再说说扇形面积公式，扇形面积公式有两个，一个是S = nπr²/360 ，另一个是 S = 1/2 × Lr 。
这两个公式都能用来求扇形面积，具体用哪个，得看题目给的条件。
比如说，还是那个花坛，这次咱们要算扇形花坛的面积。
如果知道圆心角是 60 度，半径是 5 米，那用第一个公式，S = 60×π×5²÷360 ，算出来面积就是25π / 6平方米。
要是知道弧长是5π / 3 米，半径是 5 米，那就用第二个公式，S = 1/2 × 5π / 3 × 5 ，算出来也是25π / 6 平方米。
在做这类题目的时候，可一定要仔细看清楚题目给的条件，别用错公式啦。
我之前就有个学生，做题的时候心急，没看清条件就用公式，结果算错了，还被我好好教育了一番。
其实啊，弧长和扇形面积公式在生活中的应用可多了去了。
像做个圆形的扇子，要知道用多少材料，就得用到扇形面积公式。
还有设计个弧形的窗户，得算出弧长，才能知道需要多长的边框材料。
总之，九年级数学里的弧长和扇形面积公式虽然有点小复杂，但只要咱们多做几道题，多联系联系实际生活，就一定能把它拿下！您觉得这弧长和扇形面积公式是不是也没那么难啦？希望您在学习的过程中也能像我一样，发现其中的乐趣，轻松搞定这些知识点！。
九年级数学上册28.5弧长和扇形面积的计算课件(新版)冀教版
检测反馈
1.已知一条弧的半径(bànjìng)为9,弧长为8π, 那么这条弧所对的圆心角B为 ( ) A.200° B.160° C.120° D.80°
解析(jiě xī):∵弧长的公n式R
180
l= ,∴
,
解得n=1603页。
2.用半径(bànjìng)为30 cm,圆心角为120°的扇 形围成一个圆锥的侧面,则圆锥的底面半径A (bànjìng)为( )
A.10 cm B.30 cm
C.45 cm D.300 cm
解析:设此圆锥的底面半径为r cm,根据圆锥的
侧面(cèmiàn)展开图扇形的弧长等于圆锥底
面周长12,得01820π30r=
,r=10.故选A.
第十八页，共23页。
3.已知扇形的半径(bànjìng)为3 cm,扇形的弧
长为π cm,则该扇形的面积1.5是π
第十一页，共23页。
圆锥(yuánzhuī)是由一个底面和一个侧面围 成的．
我们把连接圆锥顶点(dǐngdiǎn)和底面圆周上任 意一点的线段叫做圆锥的母线．
A
母线
l 侧面
B
C
底面
第十二页，共23页。
沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易
得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形．
圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的 母线长为l，底面圆的半径(bànjìng)为r，那
360 180
,其中n表示1°的圆心角的倍数,不带单位.
2.在弧长公式(gōl ngnshrì)
中有三个量l,n,r,已知
180
其中任意两个量,可以求出第三个量.
第十五页，共23页。
3.圆锥看成是由一个直角三角形绕一条直角边所在 的直线旋转而成的图形,圆锥的母线长a,高h,底面半 径r恰好构成一个直角三角形,满足r2+h2=a2,利用 这一关系可以在已知任意两个(liǎnɡ ɡè)量的情况 下求出第三个量.
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有关弧长公式的应用举例
近年中考，有关弧长公式的计算问题逐渐成为命题的热点．我们知道，利用下面两个公
式可以计算弧长：①180nrl；②12Slr扇形．当然，运用这两个公式及其变形也可以解决
许多问题，下面以中考题为例加以说明，供同学们参考．
一、求扇形圆心角的度数
例1 如图1，是排洪水管的横截面，若此管道的半径为54cm，水面
以上部分的弓形的弧长为30πcm，则这段弓形所对的圆心角的度数为
______．
析解：直接将公式①变形可得：
1801803010054lnr
．故填100°．
二、求阴影部分的面积
例2 如图2，OAB是以6cm为半径的扇形，AC切AB于A，
交OB的延长线于C，如果AB=3cm，AC=4cm，则图中阴影部分的面
积为（ ）
A．15cm2 B．6cm2 C．4cm2 D．3cm2
析解：观察图形知：S阴影＝S△AOC－S扇形AOB，因此需要分别计算出△AOC与扇形OAB的面
积．164122AOCS△（cm2），由公式②得：13692AOBS扇形（cm2），
所以S阴影＝S△AOC－S扇形AOB=12-9=3（cm2），故选D．
三、求滑轮旋转的度数
例3 一定滑轮的起重装置如图3，滑轮半径为12cm，当重物上升4π
cm时，滑轮的一条半径OA按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间
没有滑动）（ ）
A．12° B．30° C．60° D．90°
析解：在绳索与滑轮之间没有滑动的前提下，轮子是带着绳子在转动的，当轮子上的点
A转到某一点A′时，绳子上的某一点也就从点A被带到某一点A
′，绳子被带动上升了4
πcm．也就是AA的长为4πcm，所以由公式①得：124180n，解得n=60．故选C．
四、求扇形圆心角的度数和纸杯的表面积
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例4 图4是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥．该圆锥的侧
面展开图形是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm，
下底面直径为4cm，母线长EF=8cm．求扇形OAB的圆心角及这
个纸杯的表面积（面积计算结果用π表示）．
解：由题意可知：AB=6π，CD=4π，
设∠AOB＝n°，AO＝r，CO=r-8，
由公式180nr=6π，(8)4180nr，
可得方程组
618041808.nrnrn，
．
解之，得4524.nr，．
所以扇形OAB的圆心角是45°．
因为r=24，r-8=16，
所以由公式②，得1416322OCDS扇形，
1
624722OABS
扇形
．
所以S纸杯侧面积＝S扇形OAB－S扇形OCD
＝72π-32π=40π，
S
纸杯底面积
＝π×22＝4π．
所以S纸杯表面积＝40π＋4π＝44π．