香农信息论中的三大极限定理
香农公式,信道容量
香农公式香农定理指出，如果信息源的信息速率R小于或者等于信道容量C，那么，在理论上存在一种方法可使信息源的输出能够以任意小的差错概率通过信道传输。
该定理还指出：如果R>C，则没有任何办法传递这样的信息，或者说传递这样的二进制信息的差错率为1/2。
可以严格地证明；在被高斯白噪声干扰的信道中，传送的最大信息速率C由下述公式确定：C=B*log2(1+S/N) （log2表示以2为底的对数）该式通常称为香农公式。
B是信道带宽（赫），S是信号功率（瓦），N是噪声功率（瓦）。
香农公式中的S/N为无量纲单位。
如：S/N＝1000（即，信号功率是噪声功率的1000倍）但是，当讨论信噪比（S/N）时，常以分贝（dB）为单位。
公式如下：S/N = 10lgS/N （dB）(分贝与信噪比之间的关系为：dB=10lgS/N)公式表明，信道带宽限制了比特率的增加，信道容量还取决于系统信噪比以及编码技术种类信道容量信道容量是信道的一个参数，反映了信道所能传输的最大信息量，其大小与信源无关。
对不同的输入概率分布，互信息一定存在最大值。
我们将这个最大值定义为信道的容量。
一但转移概率矩阵确定以后，信道容量也完全确定了。
尽管信道容量的定义涉及到输入概率分布，但信道容量的数值与输入概率分布无关。
我们将不同的输入概率分布称为试验信源，对不同的试验信源，互信息也不同。
其中必有一个试验信源使互信息达到最大。
这个最大值就是信道容量。
信道容量有时也表示为单位时间内可传输的二进制位的位数（称信道的数据传输速率，位速率），以位/秒（b/s）形式予以表示，简记为bps。
[编辑本段]nyjingle补充:通信的目的是为了获得信息，为度量信息的多少（信息量），我们用到了熵这个概念。
在信号通过信道传输的过程中，我们涉及到了两个熵，发射端处信源熵——即发端信源的不确定度，接收端处在接收信号条件下的发端信源熵——即在接收信号条件下发端信源的不确定度。
香农和信息论
香农和信息论克劳德·香农(Claude Elwood Shannon)1916年4月30日诞生于美国密执安州，他生长在一个有良好教育的环境，香农的祖父是一位农场主兼发明家，发明过洗衣机和许多农业机械，祖父的发明创造对香农影响很大。
此外，香农的家庭与大发明家爱迪生还有远亲关系。
在童年时代，香农还喜欢组装无线电收音机、练习莫尔斯电报码、研究密码学等等。
他有许多爱好，另人难以置信是香农可以熟练地玩一套杂技，他能骑着独轮车手里来回抛着三个球在贝尔实验室的大厅里骑来骑去。
他发明过有两个座位的独轮车，并使该独轮车好象偏离地心似的，骑在上面忽高忽低，像鸭子行走一样。
香农的一生都迷恋于平衡与控制稳定性。
他设计并建造了下棋机器、迷宫老鼠、杂耍器械以及智力阅读机等，下国际象棋的机器包括用3个指头能抓起棋子的手臂、蜂鸣器以及简单的记录装置。
这些活动表明香农有十分的好奇心和探索精神。
香农有一句名言是：“我感到奇妙的是事物何以集成一体。
”1936年香农在密执安大学获得数学与电气工程学士学位；1938年香农写出论文《继电器与开关电路的符号分析》，当时他就发现电话交换电路与布尔代数之间具有类似性，即把布尔代数的“真”与“假”和电路系统的“开”与“关”对应起来，并可用1和0表示。
随后又证明布尔代数的逻辑运算，可以通过继电器电路来实现，明确地给出了实现加、减、乘、除等运算的电子电路的设计方法，他在实践中进一步证明，可以采用能实现布尔代数运算的继电器或电子元件来制造计算机。
他奠定了数字电路的理论基础，并使计算机具有逻辑功能，从而使计算机既能用于数值计算，又具有各种非数值应用功能，使得以后的计算机在几乎任何领域中都得到了广泛的应用。
1941年他加入贝尔实验室数学部，工作到1972年。
1956年他成为MIT（麻省理工学院）客座教授，并于1958年成为终生教授，1978年成为名誉教授。
香农博士于2001年2月26日去世，享年84岁。
香农定理到底有什么含义？能通俗地解释一下么？
香农定理到底有什么含义？能通俗地解释一下么？香农定理是信息论的主要内容。
香农定理实际上是多个定理构成，国内似乎比较常用“香农三定理”的提法，而在国外资料很少这么提. 信息论和香农定理信息论研究信息的量化，存储和传播。
最初由克劳德·香农于1948年提出，他在具有里程碑意义的题为《通讯的数学原理》的论文中阐述了信号处理和通信操作（如数据压缩）的基本限制。
信息论的基本的应用主题包括无损数据压缩（例如ZIP文件），有损数据压缩（例如MP3和JPEG）和信道编码（例如用于DSL）。
信息论的一个关键量是“熵”。
熵是不确定性的定量描述。
例如，掷骰子的可能性。
信息论中还讨论的其他一些重要的量包括：互信息、信道容量、误差指数和相对熵等等。
上图：克劳德·艾尔伍德·香农-1916.4.30-2001.2.24,享年84岁。
美国。
专业领域：电子工程学和数学。
香农定理涉及这三个部分：•信道编码——主要涉及噪音下模拟信道的信道容量的定理，即香农-哈特利定理（香农-哈特利定理只描述涉及高斯噪音的模拟信道，但还有二进制信道模式的模式的对应定理这里略述）•信源编码——包含涉及无损编码和有损编码的两个定理；•信源采样——奈奎斯特-香农采样定理但国内资料常说的“香农三定理”是指前两个部分所涉及的的三个定理，下面主要详述这三个定理：有噪音的模拟信道编码定理（国外资料一般称“香农-哈特利定理”）注意：这个定理在国外资料中才通常被简称为“香农定理”这个定理通俗地说，就是首先表明了如果传输信息的信道存在噪音，但是也可以实现信息的传递，然后可以根据带宽等参数计算出信息传递的最大的有效速率。
这可以通俗地类比我们熟悉的语音通话，虽然在电话里面有很多电流噪音或者环境噪音，但是我们仍然可以听懂对方讲的话。
因为我们用语音和语言对信息进行了双重的编码，“语音”这种编码可以在大量噪音干扰的情况下仍然能够工作，那是因为我们的声音通常有一个带宽，但噪音往往只是某一个频率的声音，不一定能够覆盖我们嗓音的全频段。
香农三大定理简介_信息论与编码基础共47页文档
ห้องสมุดไป่ตู้
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
END
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
信息论与编码期末考试题----学生复习用1
密文c=？请写出具体的步骤。
六、设有离散无记忆信源，其概率分布如下：
对其进行费诺编码，写出编码过程，求出信
源熵、平均码长和编码效率。
七、信道编码 现有生成矩阵
1. 求对应的系统校验矩阵Hs。 2求该码字集合的最小码字距离d、最大检错能力 、最大纠错能力t max 。
2. 填写下面的es表
e
s
0000000
H(Y/X) 0,I(X;Y) H(X)。
二、若连续信源输出的幅度被限定在【2,6】区域内，当输出
信号的概率密度是均匀分布时，计算该信源的相对熵，并说明 该信源的绝对熵为多少。
三、已知信源
（1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6分） （2）计算平均码长;（4分） （3）计算编码信息率;（2分） （4）计算编码后信息传输率;（2分） （5）计算编码效率。（2分）
。
2、 一张1024×512像素的16位彩色BMP图像能
包含的最大信息量为
。
3、 香农编码中,概率为的信源符号xi对应的码
字Ci的长度Ki应满足不等式
。
3、设有一个信道，其信道矩阵为 ，则它是
信道（填对称，准对称），其信道容量是
比特/信道符号。
三、，通过一个干扰信道，接受符号集为，信道转
移矩阵为
试求（1）H(X),H(Y),H(XY);
0000001
0000010
0000100
0001000
0010000
0100000
1000000
4. 现有接收序列为，求纠错译码输出。 5. 5. 画出该码的编码电路
(四)
4、 简答题 1. 利用公式介绍无条件熵、条件熵、联合熵和平均互信息 量之间的关系。 2. 简单介绍哈夫曼编码的步骤
香农定理
谈香农定理克劳德.香农,1916年4月30日出生于美国密歇根州的加洛德，他是信息时代的奠基人。
他这一生的两大贡献之一便就是信息论，信息熵的概念提出和香农公式。
信息传输给出基本数学模型的核心人物是香农。
1948年香农长达数十页的论文“通信的数学理论”成了信息论正式诞生的里程碑。
在他的通信数学模型中，清楚地提出信息的度量问题，他把哈特利的公式扩大到概率pi不同的情况，得到了著名的计算信息熵H的公式：H=∑-pi log pi如果计算中的对数log是以2为底的，那么计算出来的信息熵就以比特(bit)为单位。
今天在计算机和通信中广泛使用的字节 (Byte)、KB、MB、GB等词都是从比特演化而来。
“比特”的出现标志着人类知道了如何计量信息量。
香农的信息论为明确什么是信息量概念作出决定性的贡献。
香农在进行信息的定量计算的时候，明确地把信息量定义为随机不定性程度的减少。
这就表明了他对信息的理解：信息是用来减少随机不定性的东西。
或香农逆定义：信息是确定性的增加。
事实上，香农最初的动机是把电话中的噪音除掉，他给出通信速率的上限，这个结论首先用在电话上，后来用到光纤，现在又用在无线通信上。
我们今天能够清晰地打越洋电话或卫星电话，都与通信信道质量的改善密切相关。
香农定理：香农定理描述了有限带宽、有随机热噪声信道的最大传输速率与信道带宽、信号噪声功率比之间的关系.在有随机热噪声的信道上传输数据信号时，数据传输率Rmax与信道带宽B，信噪比S/N关系为： Rmax=B*Log2(1+S/N)。
在信号处理和信息理论的相关领域中，通过研究信号在经过一段距离后如何衰减以及一个给定信号能加载多少数据后得到了一个著名的公式，叫做香农（Shannon）定理。
它以比特每秒（bps）的形式给出一个链路速度的上限，表示为链路信噪比的一个函数，链路信噪比用分贝（dB）衡量。
因此我们可以用香农定理来检测电话线的数据速率。
香农定理由如下的公式给出: C=B*log2(1+S/N) 其中C是可得到的链路速度也就是信道容量，B是链路的带宽，S是平均信号功率,N是平均噪声功率，信噪比（S/N）通常用分贝（dB）表示，分贝数=10×log10（S/N）。
信息论与编码期末考试题
信息论与编码期末考试题信息论与编码期末考试题（一）一、判断题. 1. 当随机变量和相互独立时，条件熵等于信源熵. （） 2.由于构成同一空间的基底不是唯一的，所以不同的基底或生成矩阵有可能生成同一码集. （） 3.一般情况下，用变长编码得到的平均码长比定长编码大得多. （） 4. 只要信息传输率大于信道容量，总存在一种信道编译码，可以以所要求的任意小的误差概率实现可靠的通信.（） 5. 各码字的长度符合克拉夫特不等式，是唯一可译码存在的充分和必要条件. （） 6. 连续信源和离散信源的熵都具有非负性. （） 7.信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大，信宿收到消息后对信源存在的不确定性就越小，获得的信息量就越小.8. 汉明码是一种线性分组码. （） 9. 率失真函数的最小值是. （） 10.必然事件和不可能事件的自信息量都是. （）二、填空题 1、码的检、纠错能力取决于 . 2、信源编码的目的是；信道编码的目的是 . 3、把信息组原封不动地搬到码字前位的码就叫做. 4、香农信息论中的三大极限定理是、、 . 5、设信道的输入与输出随机序列分别为和，则成立的条件.. 6、对于香农-费诺编码、原始香农-费诺编码和哈夫曼编码，编码方法惟一的是 . 7、某二元信源，其失真矩阵，则该信源的= . 三、计算题. 1、某信源发送端有2种符号,；接收端有3种符号，转移概率矩阵为. （1）计算接收端的平均不确定度；（2）计算由于噪声产生的不确定度；（3）计算信道容量以及最佳入口分布. 2、一阶马尔可夫信源的状态转移图如右图所示，信源的符号集为. （1）求信源平稳后的概率分布；（2）求此信源的熵；（3）近似地认为此信源为无记忆时，符号的概率分布为平稳分布.求近似信源的熵并与进行比较. 3、设码符号为，信源空间为试构造一种三元紧致码. 4、设二元线性分组码的生成矩阵为. （1）给出该码的一致校验矩阵，写出所有的陪集首和与之相对应的伴随式；（2）若接收矢量，试计算出其对应的伴随式并按照最小距离译码准则试着对其译码. （二）一、填空题1、信源编码的主要目的是，信道编码的主要目的是。
信息论与编码期末考试题(全套)
（一）一、判断题共 10 小题，满分 20 分.1. 当随机变量X 和Y 相互独立时，条件熵)|(Y X H 等于信源熵)(X H . （ ）2. 由于构成同一空间的基底不是唯一的，所以不同的基底或生成矩阵有可能生成同一码集.（ ） 3.一般情况下，用变长编码得到的平均码长比定长编码大得多. （ ）4. 只要信息传输率大于信道容量，总存在一种信道编译码，可以以所要求的任意小的误差概率实现可靠的通信.（ ） 5. 各码字的长度符合克拉夫特不等式，是唯一可译码存在的充分和必要条件. （ ） 6. 连续信源和离散信源的熵都具有非负性.（ ）7. 信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大，信宿收到消息后对信源存在的不确 定性就越小，获得的信息量就越小. 8. 汉明码是一种线性分组码. （ ） 9. 率失真函数的最小值是0.（ ）10.必然事件和不可能事件的自信息量都是0.（ ）二、填空题共 6 小题，满分 20 分.1、码的检、纠错能力取决于 .2、信源编码的目的是 ；信道编码的目的是 .3、把信息组原封不动地搬到码字前k 位的),(k n 码就叫做 .4、香农信息论中的三大极限定理是 、 、 . 5、设信道的输入与输出随机序列分别为X 和Y ，则),(),(Y X NI Y X I N N =成立的条件 .6、对于香农-费诺编码、原始香农-费诺编码和哈夫曼编码，编码方法惟一的是 .7、某二元信源01()1/21/2X P X ⎡⎤⎧⎫=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，其失真矩阵00a D a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则该信源的max D = . 三、本题共 4 小题，满分 50 分.1、某信源发送端有2种符号i x )2,1(=i ,a x p =)(1；接收端有3种符号iy )3,2,1(=j ，转移概率矩阵为1/21/201/21/41/4P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1） 计算接收端的平均不确定度()H Y ； （2） 计算由于噪声产生的不确定度(|)H Y X ； （3） 计算信道容量以及最佳入口分布. 2、一阶马尔可夫信源的状态转移图如右图所示， 信源X 的符号集为}2,1,0{. （1）求信源平稳后的概率分布； （2）求此信源的熵；（3）近似地认为此信源为无记忆时，符号的概率分布为平稳分布.求近似信源的熵)(X H 并与H ∞进行比较. 4、设二元)4,7(线性分组码的生成矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000101010011100101100001011G . （1）给出该码的一致校验矩阵，写出所有的陪集首和与之相对应的伴随式；（2）若接收矢量)0001011(=v ，试计算出其对应的伴随式S 并按照最小距离译码准则试着对其译码. （二）一、填空题（共15分，每空1分）1、信源编码的主要目的是 ，信道编码的主要目的是 。
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香农信息论中的三大极限定理
香农信息论是现代通信领域的重要理论基础，其中的三大极限定理为信息熵的极限定理、信道容量的极限定理和源编码的极限定理。
本文将分别对这三大极限定理进行详细阐述。
信息熵的极限定理是香农信息论的核心内容之一。
信息熵是度量信息的不确定性的量，它反映了信息源的不确定性程度。
香农通过引入信息熵的概念，提出了信息传输的理论极限。
信息熵的极限定理表明，在信息传输过程中，无论采用何种编码方式，信息的传输速率都不能超过信息源的熵。
这意味着，如果想要传输的信息越多且越准确，就需要使用更高效的编码方式。
信道容量的极限定理是香农信息论的另一个重要内容。
信道容量是度量信道传输效率的指标，它反映了在给定信道带宽和信号传输功率限制下，信道最大能够传输的信息速率。
香农通过引入信道容量的概念，提出了信道传输的理论极限。
信道容量的极限定理表明，在给定的信噪比条件下，信道的传输速率是有上限的，并且只有当信噪比趋于无穷大时，传输速率才能无限接近信道容量。
这意味着，如果想要提高信道传输速率，就需要提高信噪比。
源编码的极限定理是香农信息论的最后一个重要内容。
源编码是指将源信号进行压缩编码的过程，用较少的比特数来表示源信号，从而达到压缩信号的目的。
香农通过引入源编码的概念，提出了源编
码的理论极限。
源编码的极限定理表明，在给定信源的统计特性下，存在一种最佳的编码方式，使得信源编码后的比特数趋于信息熵。
这意味着，在给定信源统计特性的情况下，无论采用何种编码方式，编码后的比特数都趋于一定的极限值。
香农信息论的三大极限定理为信息熵的极限定理、信道容量的极限定理和源编码的极限定理。
这三个定理分别描述了信息传输的极限、信道传输的极限和源编码的极限。
在实际应用中，这些极限定理为通信系统的设计提供了重要的理论指导，同时也对信息传输的可靠性和效率提出了严格的要求。
通过深入理解和应用这些极限定理，可以为通信系统的设计和优化提供有力支持，进一步推动通信技术的发展。