相似三角形的模型及辅助线
相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结(学生版)学习资料
中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题知识点睛、相似的有关概念1 •相似形具有相同形状的图形叫做相似形•相似形仅是形状相同，大小不一定相同•相似图形之间的互相变换称为相似变换.2 •相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等.3. 相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例.、相似三角形的概念1. 相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形.如图，△ ABC与厶ABC相似，记作△ ABCABC，符号s读作相似于”2•相似比相似三角形对应边的比叫做相似比.全等三角形的相似比是1.全等三角形”一定是相似形” 相似形”不一定是全等形”、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等如图，△ ABC与厶ABC相似，则有A A , B B , C C .2 •相似三角形的对应边成比例△ ABC与厶ABC相似，则有-AB BC AC k（k为相似比）AB BC AC3•相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比.如图1,△ ABC与厶ABC相似，AM是厶ABC中BC边上的中线，AM 是厶ABC中BC边上的中线, 则有上邑匹竺k上也（k 为相似比）.AB BC AC AM如图则有2, △ ABC与厶ABC相似,AB BC AC kAB BC AC AHAH3, △ ABC 与厶ABC分线，则有2AB -BCAB BC AC如图相似,AC k1AH是△ ABC中BC边上的高线，AH是厶ABC中BC边上的高线，（k为相似比）.AD是厶ABC中BAC的角平分线，AD是厶ABC 竺（k为相似比）.AD图2中BAC的角平4. 相似三角形周长的比等于相似比.如图4, △ ABC与厶ABC相似, 则有AB BC ACkAB B C AC（k为相似比）.应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACAB BC AC AB BC A C5•相似三角形面积的比等于相似比的平方.四、相似三角形的判定1 •平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.2 •如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似•可简单说成：两 角对应相等，两个三角形相似.3 •如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.4. 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似.可简单地说成：三 边对应成比例，两个三角形相似.5. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这 两个直角三角形相似. 6 •直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7 •如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如 果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似.五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有三点定形法”.1 .横向定型法AB BC欲证一一 —一，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ,三个字母A , B , C 恰为△ ABC 的顶BE BF点；分母的两条线段是 BE 和BF ,三个字母B , E , F 恰为△ BEF 的三个顶点.因此只需证 △ ABCEBF •2. 纵向定型法欲证一一 匹，纵向观察，比例式左边的比 AB 和BC 中的三个字母 A , B , C 恰为△ ABC 的顶点；右边的 BC EF 比两条线段是 DE 和EF 中的三个字母 D , E , F 恰为A DEF 的三个顶点.因此只需证 △ ABC DEF .AH 是厶ABC 中BC 边上的高线,则有ABBC AC k AH （ k 为相似比） .进而可得比ABCABBCACAHABC-BC AH BC 2BC 空k 2•AH如图5, △ ABC 与厶ABC 相似，AH 是厶ABC 中BC 边上的高线,如图:S A ABCACD 1BC AH21CD AH2BCCD如图：SA ABC12BC AHAHSA BCD1BC DG DG2S A ABD S A ABD S A AED AB AD AB AD SA ACESA AEDSA ACEAE AC AE AC3. 中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形•这种方法就是等量代换法•在证明比例式时，常用到中间比.比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
《怎样判定三角形相似》 知识清单
《怎样判定三角形相似》知识清单三角形相似是初中数学中的重要知识点，在解决几何问题中经常会用到。
下面我们来详细了解一下怎样判定三角形相似。
一、定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似。
二、判定方法1、两角分别相等的两个三角形相似这是判定三角形相似最常用的方法之一。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似当两个三角形的两组对应边的比相等，并且它们的夹角相等时，这两个三角形相似。
比如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果 AB ／ A'B' ＝ AC ／ A'C'，且∠A ＝∠A'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
3、三边成比例的两个三角形相似如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
假设在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，AB ／ A'B' ＝ BC ／ B'C' ＝AC ／ A'C'，则三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
三、常见的相似三角形模型1、“A”字型在图形中，如果有一条直线平行于三角形的一边，与另外两边或其延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
例如，在三角形 ABC 中，DE 平行于 BC，交 AB、AC 于 D、E 两点，那么三角形 ADE 相似于三角形 ABC。
2、“8”字型在图形中，如果两个三角形的对顶角相等，且两组对边分别交叉成比例，那么这两个三角形相似。
相似三角形的辅助线技巧
︵
AHCD 的面积为 21，求△HBC 的面积．
九
【分析】延长 BA 与 CD，两延长线交于点 F，由 CH 垂直于 BF，得到一对直角相等，由
年
CH 为角平分线得到一对角相等，再由 CH 为公共边，利用 ASA 可得出三角形 CFH 与三
级
角形 CBH 全等，由全等三角形的对应边相等得到 CF＝CB，且 BH＝HF，由 BH＝3AH，
1
∴AE= 2AB＝1，
∵AB∥DC，
∴△AEM∽△GDM，
∴
=
= ；
（2）∵△ADG 是等腰直角三角形，
∴在 Rt△ADG 中，由勾股定理得：AG= √3 + 3 =3√2，
∵AB∥DC，
15
相似三角形的辅助线技巧
数
【解答】解：
（1）如图，连接 FC、AD．
学
∵点 F 是 AB 的中点，CD＝BC，
︵
∴FC 是△ADB 的中位线，
九
1
∴FC= 2AD，
年
∴△EFC∽△EDA，
级
∥
︶
∴
=
∴
= ；
=2，
（2）∵点 F 是 AB 的中点，AB＝18，FB＝EC，
1
∴EC= 2AB＝9．
由（1）知，
=2，则
=2，故 AE＝18，
∴AC＝AE+EC＝18+9＝27．
9
相似三角形的辅助线技巧
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．此类题要注意作平行线，能够根据相似
三角形对应边成比例即可求得线段的比．
2．如图，已知△ABC 的边 AB 上有一点 D，边 BC 的延长线上有一点 E，且 AD＝CE．DE
相似三角形-备战2022年中考数学一轮复习考点(浙江专用)(解析版)
考点14 相似三角形【命题趋势】相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，它不仅可以作为简单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察。
而且，在很多压轴题中，虽然题面上没有明确考察相似三角形的判定或性质，但是经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段。
需要考生在复习的时候给予加倍的重视！ 【中考考查重点】 一、比例线段 二、相似三角形的性质 三、相似三角形的判定 四、相似三角形的基本图形考向一：比例线段一．比例的性质1.基本性质：bc ad d c b a =⇔=::；2.比例中项：b a c b c c a ⋅=⇔=2::，此时，c 为a 、b 的比例中项； 二．比例线段1.比例线段：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段简称比例线段；2.黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ． 3.平行线分线段成比例的基本性质： 如图：AB ∥CD ∥EF ⇔DE BD CF AC =【同步练习】 1．已知＝，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】直接利用同一未知数表示出a，b的值，进而代入化简即可．【解答】解：∵＝，∴设a＝2x，b＝5x，∴＝＝．故选：C．2．线段AB的长为2，点C是线段AB的黄金分割点，则线段AC的长可能是（）A．+1B．2﹣C．3﹣D．﹣2【分析】根据黄金分割点的定义，知AC可能是较长线段，也可能是较短线段，分别求出即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，∴AC＝AB＝×2＝﹣1，或AC＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故选：C．3．如图，直线a，b，c截直线e和f，a∥b∥c，，则下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解答本题．【解答】解：∵a∥b∥c，，∴＝，∴，，，故选项A正确，符合题意，选项B、D不正确，不符合题意；连接AF，交BE于H，∵BE∥CF，∴△ABH∽△ACF，∴，，∴选项C不正确，不符合题意；故选：A．4．若＝＝（a≠c），则＝．【分析】根据等比的性质即可求解．【解答】解：∵＝＝（a≠c），∴＝．故答案为：．5．若（x、y、z均不为0），则＝．【分析】设比值为k，然后用k表示出x、y、z，再代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：设＝＝＝k（k≠0），则x＝6k，y＝4k，z＝3k，所以，＝＝3．故答案为：3．6．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，，则EC的长是．【分析】根据平行线分线段成比例定理的推论得出＝，将AE＝6代入，求出AC＝14，那么EC＝AC﹣AE＝8．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵AE＝6，∴＝，解得：AC ＝14，∴EC ＝AC ﹣AE ＝14﹣6＝8． 故答案是：8．考向二：相似三角形的性质相似三角形的性质相似 三角 形的 性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例 相似三角形的周长之比等于相似比 相似三角形的面积之比等于相似比的平方相似三角形的对应“三线”（高线、中线、角平分线）之比等于相似比【方法提炼】【同步练习】1．如图，已知△ABE ∽△CDE ，AD 、BC 相交于点E ，△ABE 与△CDE 的周长之比是，若AE ＝2、BE ＝1，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】首先利用周长之比求得相似比，然后根据AE 的长求得CE 的长，从而求得BC 的长． 【解答】解：∵△ABE ∽△CDE ，△ABE 与△CDE 的周长之比是， ∴AE ：CE ＝2：5， ∵AE ＝2， ∴CE ＝5，相似三角形性质的主要应用方向： ➢ 求角的度数 ➢ 求或证明比值关系 ➢ 证线段等积式 ➢ 求面积或面积比相似三角形的对应边成比例是求线段长度的重要方法，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段∵BE＝1，∴BC＝BE+EC＝1+5＝6，故选：D．2．如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（）A．30°B．35°C．80°D．100°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据相似三角形对应角相等即可解决问题．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝35°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣65°＝80°，又∵△ABC∽△DEF，∴∠F＝∠C＝80°，故选：C．3．如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】利用相似三角形的性质，证明∠BAC＝135°，可得结论．【解答】解：∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF＝135°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，故选：B．4．如图，△ABC∽△A'B′C′，下列说法正确的是（）A．∠B＝∠C′B．S△ABC＝2S△A′B'C'C．AC＝4A'C'D．A'B′＝6【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△A'B′C′，AB＝12，BC＝2a，B'C'＝a，∴∠B＝∠B'，S△ABC：S△ABC＝＝4，AC＝2A'C'，A'B'＝AB＝＝6．故A、B、C错误，D正确；故选：D．5．若D为△ABC中AB边上一点，且DE∥BC交AC于E，AB＝6，BC＝8，AC＝10，若△ADE与△ABC 的相似比为，则AE ＝．【分析】先根据DE∥BC得出△ADE∽△ABC，再根据AC＝10以及△ADE与△ABC的相似比为，即可求出AE．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵△ADE与△ABC的相似比为，∴＝，∵AC＝10，∴AE＝5．故答案为：5．考向三：相似三角形的判定一．相似三角形的判定方法：判定方法1·平行∵DE∥BC∴△ABC∽△ADE判定方法2·“AA”∵∠A=∠A`，∠C=∠C` ∴△ABC∽△A，B，C，二．判定三角形相似的思路：（1）有平行截线——用平行线的性质，找等角 （2）有一对等角，找⎩⎨⎧该角的两边对应成比例另一对等角 （3）有两边对应成比例，找夹角相等（4）直角三角形，找⎩⎨⎧例直角边、斜边对应成比一对锐角相等 （5）等腰三角形，找⎩⎨⎧底边和腰长对应成比例一对底角相等 【同步练习】1．如图，在△ABC 纸片中，∠A ＝76°，∠B ＝34°．将△ABC 纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ） A ．①②B ．②④C ．①③D ．③④【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：图①中，∠B ＝∠B ，∠A ＝∠BDE ＝76°，所以△BDE 和△ABC 相似；图②中，∠B ＝∠B ，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD 和△ABC 相似；判定方法3·“SAS ”∵````C B BCB A AB =，∠B=∠B ∴△ABC ∽△A ，B ，C ， 判定方法4·“SSS ”∵``````C A ACC B BC B A AB == ∴△ABC ∽△A ，B ，C ，图③中，∠C＝∠C，∠CED＝∠B，所以△CDE和△CAB相似；图④中，∠C＝∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似；所以阴影三角形与原三角形相似的有①③，故选：C．2．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．＝D．AB2＝AD•AC【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意；D、∵AB2＝AD•AC，∴，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意．故选：C．3．如图，在下列四个条件：①∠B＝∠C，②∠ADB＝∠AEC，③AD：AC＝AE：AB，④PE：PD＝PB：PC 中，随机抽取一个能使△BPE∽△CPD的概率是（）A．0.25B．0.5C．0.75D．1【分析】根据相似三角形的判定方法判断即可．【解答】解：由题意得：∠DPC＝∠EPB，①∠B＝∠C，根据两角相等的两个三角形相似可得：△BPE∽△CPD，②∵∠ADB＝∠AEC，∴∠PDC ＝∠PEB ，所以，根据两角相等的两个三角形相似可得：△BPE ∽△CPD ， ③∵AD ：AC ＝AE ：AB ，∠A ＝∠A ， ∴△ADB ∽△AEC ， ∴∠B ＝∠C ，所以，根据两角相等的两个三角形相似可得：△BPE ∽△CPD ，④PE ：PD ＝PB ：PC ，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得：△BPE ∽△CPD ， ∴在上列四个条件中，随机抽取一个能使△BPE ∽△CPD 的概率是：1， 故选：D ．4．如图，在△ABC 中，AB ＝12，BC ＝15，D 为BC 上一点，且BD ＝BC ，在AB 边上取一点E ，使以B ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BE＝ ．【分析】根据相似三角形对应边成比例得出或，再代值计算即可．【解答】解：∵△BDE ∽△BCA 或△BDE ∽△BAC ， ∴或，∵BD ＝BC ，BC ＝15， ∴BD ＝5， ∵AB ＝12， ∴或， 解得：BE ＝4或． 故答案为：4或．考向四：相似三角形的基本图形 一、A 字图及其变型“斜A 型”当∠ADE=∠ACB 时 △ADE ∽△ACB 性质：BCDEAB AE AC AD ==当DE ∥BC 时 △ADE ∽△ABC 性质：BCDEACAE ABAD ==①当∠A=∠C 时 △AJB ∽△CJD 性质：JDJBJC JA CDAB ==变型☆：斜A 型在圆中的应用： 如图可得：△PAB ∽△PCD二、8字图及其变型“蝴蝶型”变型三、一般母子型：联系应用：切割线定理：如图，PB 为圆O 切线，B 为切点，则：△PAB ∽△PBC得：四、一线三等角：同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）当AB ∥CD 时 △AOB ∽△DOC性质：OCOBOD OA CD AB ==当∠ABD=∠ACB 时 △ABD ∽△ACB 性质：ACAD AB •=2 PC PA PB •=2其中： ∠A 是公共角 AB 是公共边 BD 与BC 是对应边异侧型五、手拉手相似模型：模型名称几何模型图形特点具有性质相似型手拉手△ABC∽△ADEA、D、E逆时针A、B、C逆时针连结BD、CE①△ABD∽△ACE②△AOB∽△HOC③旋转角相等④A、B、C、H四点共圆“反向”相似型手拉手△ABC∽△ADEA、D、E顺时针A、B、C逆时针A、D、E`逆时针作△ADE关于AD对称的△ADE`性质同上①②③【同步练习】1．如图，已知，DE∥BC，AD：DB＝1：2，那么下列结论中，正确的是（）A．DE：BC＝1：2B．AE：AC＝1：3C．AD：AE＝1：2D．S△ADE：S四边形BDEC＝1：4【分析】利用平行线分线段成比例定理，比例的性质和相似三角形的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：∵AD：DB＝1：2，∴．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∴A选项的结论错误；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∴B选项的结论正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∴C选项的结论错误；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．设S△ADE＝k，则S△ABC＝9k，∴S四边形BDEC＝S△ABC﹣S△ADE＝8k，∴．∴D选项的结论错误．综上所述，正确的结论是B，故选：B．2．如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（）A．4B．C．D．5【分析】由矩形的性质可求出∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，证明△EFB∽△FGC，由相似三角形的性质得出，求出CG＝4，同理可得出△DAE∽△EBF，由相似三角形的性质求出AE的长，则可求出答案．【解答】解：∵EF⊥FG，∴∠EFB+∠GFC＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，∴∠GFC+∠FGC＝90°，∴∠EFB＝∠FGC，∴△EFB∽△FGC，∴，∵BE＝3，BF＝2，FC＝6，∴，∴CG＝4，同理可得△DAE∽△EBF，∴，∴，∴AE＝，∴BA＝AE+BE＝+3＝，∴DG＝CD﹣CG＝﹣4＝．故选：B．3．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，此时点D落在边AB上，且DE垂直平分BC，则的值是（）A．B．C．D．【分析】根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质证明△DCF∽△DEC，对应边成比例即可解决问题．【解答】解：如图，设DE与BC交于点F，由旋转可知：CA＝CD，AB＝DE，BC＝EC，∠B＝∠E，∵DE垂直平分BC，∴DF⊥BC，DC＝DB，CF＝BF＝BC＝EC，∴∠DCB＝∠B＝∠E，∵∠DCB+∠FDC＝90°，∴∠E+∠FDC＝90°，∴∠DCE＝90°，∴△DCF∽△DEC，∴＝＝，∴＝．故选：B．4．如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，那么下列条件中不能判定△ABC∼△ACD的是（）A．B．AC2＝AD•AB C．∠B＝∠ACD D．∠ADC＝∠ACB【分析】△ABC和△ACD有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：∵∠DAC＝∠CAB，∴当∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC；当，即AC2＝AD•AB时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC．故选：A．5．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝3，ED＝5，则的值为．【分析】利用平行线的性质判定△ABE∽△DCE，利用相似三角形的性质可得结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE．∴．∵AE＝3，ED＝5，∴＝．故答案为：．1．已知，则的值是（）A．B．C．D．【分析】设＝k（k≠0），得出a＝13k，b＝5k，再代入要求的式子进行计算即可求出答案．【解答】解：设＝k（k≠0），则a＝13k，b＝5k，∴＝＝；故选：D．2．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，所以AB长为（）A．2B．C．D．4【分析】将∠ABC三等分，与△ABC外接圆相交，交点分别为：E与F，利用托勒密定理列出方程组，求解即可解决问题．【解答】解：将∠ABC三等分，与△ABC外接圆相交，交点分别为：E与F，如图所示：圆上依次为ABCEF，记BE＝m，AB＝b，则利用托勒密定理有：，可得：，即，∴b＝，故选：B．3．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（）A．1：4B．1：9C．1：16D．1：25【分析】根据平行四边形的性质求出AD＝BC，AD∥BC，推出△AFE∽△BGE，△AFO∽△CGO，再根据相似三角形的性质得出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AB的中点，F为AD的中点，∴AE＝BE，AF＝AD＝BC，∵AD∥BC，∴△AFE∽△BGE，∴，∵AE＝BE，∴AF＝BG＝BC，∴＝∵AD∥BC，∴△AFO∽△CGO，∴＝（）2＝，即S△AOF：S△COG＝1：9，故选：B．4．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．【解答】解：∵EF∥BC，∴，∵EG∥AB，∴，∴，故选：A．5．如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△P AB 的面积分别为S，S1，S2．若S＝3，则S1+S2的值为（）A．24B．12C．6D．3【分析】过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP 都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积＝△CPQ面积+△PBQ面积，即为△PDC面积+△P AB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．【解答】解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S△PDC＝S△CQP，S△ABP＝S△QPB，∵EF为△PCB的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，∴S△PEF：S△PBC＝1：4，S△PEF＝3，∴S△PBC＝S△CQP+S△QPB＝S△PDC+S△ABP＝S1+S2＝12．故选：B．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE＝2EB，连接DF．若S△AEF＝4，则S△ADF的值为（）A．6B．10C．15D．【分析】因为四边形ABCD是平行边形，所以AD∥BC，则△AEF∽△ABC，得＝＝，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积为25，而△CDA≌△ABC，则△CDA的面积为25，根据等高三角形面积的比等于底的比即可求出△ADF的面积．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行边形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵3AE＝2EB，∴＝，∴＝＝，∴＝＝＝，∵S△AEF＝4，∴S△ABC＝＝＝25，∴CD＝AB，AD＝BC，AC＝CA，∴△CDA≌△ABC（SSS），∴S△CDA＝S△ABC＝25，∴S△ADF＝S△CDA＝×25＝10，∴S△ADF的值为10，故选：B．7．如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么＝．【分析】由平行四边形的对边相等可求得BC＝AD，BC∥AD，易证得△BEF∽△DAF，则，根据比例的性质即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC；∵＝，∵AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴，∴，∴＝＝．故答案为：．8．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F，连接CF、AC．（1）线段DF的长为；（2）若AC交DF于点M，则＝．【分析】（1）利用三角形面积相等，列出等式，求解即可；（2）延长DF交CB的延长线于K，利用相似三角形的性质求出KE，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．【解答】解：（1）根据题意，画出下图：∵AB＝6，AD＝8，BE＝＝4，∴AE＝，∴S△ADE＝＝，S△ADE＝＝24，∴DF＝＝．（2）若AC交DF于点M，延长DF交BC延长线于点K，如图所示：∵∠KEF＝∠AEB，∠EFK＝∠ABE＝90°，∴△KEF∽△AEB，∴，∴，∴KE＝5，∴CK＝KE+EC＝9，∵AD∥CK，∴＝．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：BD•AD＝DE•AC．（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．（3）在（2）的条件下，求cos∠BDE的值．【分析】（1）证明∠B＝∠C，∠DEB＝∠ADC＝90°，可证明△BDE∽△CAD即可解决问题；（2）利用面积法：•AD•BD＝•AB•DE求解即可；（3）可得出∠BDE＝∠BAD，则cos∠BDE＝cos∠BAD＝．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD．∴，∴BA•AD＝DE•CA；（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝．（3）∵∠ADB＝∠AED＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴cos∠BDE＝cos∠BAD＝．10．已知：四边形ABCD中，AC＝AB＝20，点E为BC边上一点，BE≥CE，且DE＝DC，∠AED＝∠B，AC、DE相交于点F，cos∠B＝．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若BE＝18，求EF的长；（3）若∠DAE＝90°，求CE的长．【分析】（1）正确作出辅助线，找到对等关系，即可证明△ABE∽△ECF；（2）找到包含有要求解的边长有关系的三角形，利用勾股定理，求出AE的边长，再利用相似三角形，找到对应关系，即可求出EF的长；（3）在直角三角形内，根据给定的余弦值，找到对应边长，即可求出CE的长．【解答】（1）证明：如图所示：过点A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝20，∴∠AED＝∠B，∴∠1+∠2＝180°﹣∠AED，∵∠3+∠2＝180°﹣∠B，∴∠1＝∠3，∴△ABE∽△ECF；（2）解：由（1）知，过点A作AH⊥BC于H，∵AB＝20，cos∠B＝，∴BH＝16，∵AB＝AC，∴BH＝CH＝16，∴BC＝32，∵BE＝18，∴EC＝14，在△ABH中，AH＝，HE＝BE﹣BH＝18﹣16＝2，∴AE＝，∵△ABE∽△ECF，∴，即，∴EF＝．（3）解：若∠DAE＝90°，则∠BAE＝90°，∵AB＝20，cos∠B＝，∴BE＝25，∴CE＝BC﹣BE＝32﹣25＝7．1.（2021·浙江衢州）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且OA＝OB，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，F A，EB均与地面垂直，测得F A＝54cm，EB＝45cm，AB＝48cm．（1）椅面CE的长度为cm．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD 的度数达到最小值30°时，A，B两点间的距离为cm（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）【分析】（1）由平行线的性质可得∠ECB＝∠ABF，由锐角三角函数可得，即可求解；（2）如图2，延长AD，BE交于点N，由“ASA”可证△ABF≌△BAN，可得BN＝AF，可求NE的长，由锐角三角函数可求DE的长，即可求DH的长，如图3，连接CD，过点H作HP⊥CD于P，由锐角三角函数和等腰三角形的性质，可求DC的长，通过相似三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵CE∥AB，∴∠ECB＝∠ABF，∴tan∠ECB＝tan∠ABF，∴，∴，∴CE＝40（cm），故答案为：40；（2）如图2，延长AD，BE交于点N，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，在△ABF和△BAN中，，∴△ABF≌△BAN（ASA），∴BN＝AF＝54（cm），∴EN＝9（cm），∵tan N＝，∴＝，∴DE＝8（cm），∴CD＝32（cm），∵点H是CD的中点，∴CH＝DH＝16（cm），∵CD∥AB，∴△AOB∽△DOC，∴＝＝＝，如图3，连接CD，过点H作HP⊥CD于P，∵HC＝HD，HP⊥CD，∴∠PHD＝∠CHD＝15°，CP＝DP，∵sin∠DHP＝＝sin15°≈0.26，∴PD≈16×0.26＝4.16（cm），∴CD＝2PD＝8.32（cm），∵CD∥AB，∴△AOB∽△DOC，∴，∴，∴AB＝12.48≈12.5（cm），故答案为：12.5．2.（2021·浙江宁波）【证明体验】（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC．求证：DE平分∠ADB．【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长．【分析】（1）由△EAD≌△CAD得∠ADE＝∠ADC＝60°，因而∠BDE＝60°，所以DE平分∠ADB；（2）先证明△BDE∽△CDG，其中CD＝ED，再由相似三角形的对应边成比例求出BD的长；（3）根据角平分线的特点，在AB上截取AF＝AD，连结CF，构造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性质求出AC的长．【解答】（1）证明：如图1，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵AE＝AC，AD＝AD，∴△EAD≌△CAD（SAS），∴∠ADE＝∠ADC＝60°，∵∠BDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠BDE＝∠ADE，∴DE平分∠ADB．（2）如图2，∵FB＝FC，∴∠EBD＝∠GCD；∵∠BDE＝∠CDG＝60°，∴△BDE∽△CDG，∴；∵△EAD≌△CAD，∴DE＝CD＝3，∵DG＝2，∴BD＝＝＝.（3）如图3，在AB上取一点F，使AF＝AD，连结CF．∵AC平分∠BAD，∴∠F AC＝∠DAC，∵AC＝AC，∴△AFC≌△ADC（SAS），∴CF＝CD，∠FCA＝∠DCA，∠AFC＝∠ADC，∵∠FCA+∠BCF＝∠BCA＝2∠DCA，∴∠DCA＝∠BCF，即∠DCE＝∠BCF，∵∠EDC＝∠ABC，即∠EDC＝∠FBC，∴△DCE∽△BCF，∴，∠DEC＝∠BFC，∵BC＝5，CF＝CD＝2，∴CE＝＝＝4；∵∠AED+∠DEC＝180°，∠AFC+∠BFC＝180°，∴∠AED＝∠AFC＝∠ADC，∵∠EAD＝∠DAC（公共角），∴△EAD∽△DAC，∴＝，∴AC＝2AD，AD＝2AE，∴AC＝4AE＝CE＝×4＝．3.（2021·浙江杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD ＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．【分析】（1）根据∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，知∠BAC＝∠F AC，由圆周角定理知∠G＝∠C，即可证△ABG∽△AFC；（2）由（1）知＝，由AC＝AF得AG＝AB，即可计算FG的长度；（3）先证△DGB∽△BGE，得出线段比例关系，即可得证BG2＝GE•GD．【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠F AC，又∵∠G＝∠C，∴△ABG∽△AFC；（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC，∴＝，∵AC＝AF＝b，∴AB＝AG＝a，∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，∴∠BAG＝∠CBG，∵∠ABD＝∠CBE，∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，又∵∠DGB＝∠BGE，∴△DGB∽△BGE，∴＝，∴BG2＝GE•GD．4.（2021·浙江金华）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若BA＝BO，求证：CD＝CO．②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①由BC⊥AB，CO⊥BO，可得∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，而根据已知有∠BAD＝∠DOB，故∠ADB＝∠COD，从而可得∠COD＝∠CDO，CD＝CO；②过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，设M（m，m），可得tan∠OMN＝tan∠AOM＝，即＝，设AM＝3n，则OM＝8n，Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，可求出AM＝3，OM＝8，由∠CBO＝45°可知△BOC是等腰直角三角形，△ABM是等腰直角三角形，从而有AM＝BM＝3，BO＝CO ＝OM﹣BM＝5，AB＝AM＝3，BC＝BO＝5，即可求出S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；（2）（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB ＝，由△AMB∽△BOC，＝，即＝，得OC＝，BC＝＝，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①若＝，OB＝4；②若＝，OB ＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；（二）当B在线段MO延长线上时，设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，由△AMB∽△BOC，＝，即＝，得OC＝•（8+x），以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，可得OB＝1．【解答】（1）①证明：∵BC⊥AB，CO⊥BO，∴∠ABC＝∠BOC＝90°，∴∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，∵BA＝BO，∴∠BAD＝∠DOB，∴∠ADB＝∠COD，∵∠ADB＝∠CDO，∴∠COD＝∠CDO，∴CD＝CO；②解：过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，如图：∵M在直线l：y＝x上，设M（m，m），∴MN＝|m|＝﹣m，ON＝|m|＝﹣m，Rt△MON中，tan∠OMN＝＝，而OA∥MN，∴∠AOM＝∠OMN，∴tan∠AOM＝，即＝，设AM＝3n，则OM＝8n，Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，又A的坐标为（﹣，0），∴OA＝，∴（3n）2+（8n）2＝（）2，解得n＝1（n＝﹣1舍去），∴AM＝3，OM＝8，∵∠CBO＝45°，CO⊥BO，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC⊥AB，∠CBO＝45°，∴∠ABM＝45°，∵AM⊥OB，∴△ABM是等腰直角三角形，∴AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，∴等腰直角三角形△ABM中，AB＝AM＝3，等腰直角三角形△BOC中，BC＝BO＝5，∴S△ABC＝AB•BC＝15，S△BOC＝BO•CO＝，∴S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；（2）解：存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，理由如下：（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，如图：由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB＝，∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，∴△AMB∽△BOC，∴＝，即＝，∴OC＝，Rt△BOC中，BC＝＝，∵∠ABC＝∠BOC＝90°，∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①若＝，则＝，解得x＝4，∴此时OB＝4；②若＝，则＝，解得x1＝4+，x2＝4﹣，x3＝9，x4＝﹣1（舍去），∴OB＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；（二）当B在线段MO延长线上时，如图：由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，∴△AMB∽△BOC，∴＝，即＝，∴OC＝•（8+x），Rt△BOC中，BC＝＝•，∵∠ABC＝∠BOC＝90°，∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，解得x1＝﹣9（舍去），x2＝1，∴OB＝1，综上所述，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，则OB的长度为：4或4+或4﹣或9或1；1．（2021•瓯海区模拟）若＝，则的值是（）A．3B．C．D．2【分析】根据比例的性质求出b＝2a，再代入求出答案即可．【解答】解：∵＝，∴b＝2a，∴＝＝＝，故选：C．2．（2021•下城区校级四模）在比例尺为1：10000的地图上，相距4cm的A、B两地的实际距离是（）A．400m B．400dm C．400cm D．400km【分析】设AB的实际距离为xcm，根据比例尺的定义得到4：x＝1：10000，利用比例的性质求得x的值，注意单位统一．【解答】解：设AB的实际距离为xcm，∵比例尺为1：10000，∴4：x＝1：10000，∴x＝40000cm＝400m．故选：A．3．（2021•温岭市一模）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，则BC：CE＝（）A．3：5B．1：3C．5：3D．2：3【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝＝．故选：A．4．（2021•拱墅区二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC、AB上一点，且AF＝BE，AE与DF 交于点G，连接CG．若CG＝BC，则AF：FB的比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【分析】作CH⊥DF于点H，证明△AGD≌△DHC，可得AG＝DH＝GH，tan∠ADG＝＝．由此可解决此问题．【解答】解：作CH⊥DF于点H，如图所示．在△ADF和△BAE中，，∴△ADF≌△BAE（SAS）．∴∠ADF＝∠BAE，又∠BAE+∠GAD＝90°，∴∠ADF+∠GAD＝90°，即∠AGD＝90°．由题意可得∠ADG+∠CDG＝90°，∠HDC+∠CDG＝90°，．∴∠ADG＝∠HDC．在△AGD和△DHC中，，∴△AGD≌△DHC（AAS）．∴DH＝AG．又CG＝BC，BC＝DC，∴CG＝DC．由等腰三角形三线合一的性质可得GH＝DH，∴AG＝DH＝GH．∴tan∠ADG＝．又tan∠ADF＝＝，∴AF＝AB．即F为AB中点，∴AF：FB＝1：1．故选：A．5．（2021•宁波模拟）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝2，则的值为（）A．B．C．2D．3【分析】根据平行线分线段成比例定理定理列出比例式，计算即可．【解答】解：∵＝2，∴＝，∵DE∥AB，∴＝＝，故选：B．6．（2021•丽水模拟）如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（）A．2B．C．D．4【分析】直接利用相似三角形的性质得出BC2＝AC•CD，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC∽△BDC，∴＝，∵AC＝4，CD＝2，∴BC2＝AC•CD＝4×2＝8，∴BC＝2．故选：B．7．（2021•宁波模拟）如图，△ABC的两条中线BE，CD交于点O，则下列结论不正确的是（）A．＝B．＝C．△ADE∽△ABC D．S△DOE：S△BOC＝1：2【分析】根据三角形中位线定理得到DE＝BC，DE∥BC，根据相似三角形的性质进行计算，判断即可．【解答】解：∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE＝BC，DE∥BC，∴＝，A选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴＝，B选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，C选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴S△DOE：S△COB＝1：4，D选项结论错误，符合题意；故选：D．8．（2021•西湖区校级二模）如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（）A．3B．C．2D．【分析】连接BD，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，解直角三角形求出BD，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【解答】解：连接BD，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°，∴BD＝a．∵OD∥AB，∴＝＝＝，故选：B．9．（2021•拱墅区二模）黄金分割比符合人的视觉习惯，在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女士身高165cm，若她下半身的长度（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）【分析】根据黄金分割定义：下半身长与全身的比等于0.618即可求解．【解答】解：根据已知条件可知：下半身长是165×0.6＝99（cm），设需要穿的高跟鞋为ycm，则根据黄金分割定义，得＝0.618，解得：y≈8，经检验y≈8是原方程的根，答：她应该选择大约8cm的高跟鞋．故答案为8．10．（2021•金东区校级模拟）如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4）、C（2，﹣3），分别过A、C作AB、CD垂直于x轴于B、D．设P是x轴上的点，且P A、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，请写出所有符合上述条件的点P的坐标是．【分析】需要分情况分析，当点P在AB左边，在AB与CD之间，在CD的右边，通过相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例即可求得．【解答】解：设OP＝x（x＞0），分三种情况：一、若点P在AB的左边，有两种可能：①此时△ABP∽△PDC，则PB：CD＝AB：PD，则（x﹣2）：3＝4：（x+2），解得x＝4，∴点P的坐标为（﹣4，0）；②若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝PB：PD，则（﹣x﹣2）：（2﹣x）＝4：3，解得：x＝14，与假设在B点左边矛盾，舍去．二、若点P在AB与CD之间，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，∴4：3＝（x+2）：（2﹣x），解得：x＝，∴点P的坐标为（，0）；②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，∴4：（2﹣x）＝（x+2）：3，方程无解；三、若点P在CD的右边，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，∴4：3＝（2+x）：（x﹣2），∴x＝14，∴点P的坐标为（14，0），②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，∴4：（x﹣2）＝（x+2）：3，∴x＝4，∴点P的坐标为（4，0）；∴点P的坐标为（，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）．故答案为：（，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）．11．（2021•宁波模拟）如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠ACB，G是线段OD上一点，∠DGC﹣∠DCG＝90°，tan∠DCG＝，则的值为．【分析】由锐角三角函数可设GF＝a，CF＝2a，由“AAS”可证△GCE≌△GCF，可得CE＝CF＝2a，GF＝EG＝a，通过证明△GFD∽△CED，可求DC＝a，DE＝a，通过证明△DCO∽△ACD，可得，由勾股定理可求OE，即可求解．【解答】解：如图，过点C作CE⊥BD于E，过G作GF⊥CD于F，∵∠DGC＝∠CEG+∠GCE＝90°+∠GCE，∴∠DGC﹣∠GCE＝90°，又∵∠DGC﹣∠DCG＝90°，∴∠GCD＝∠ECG，∵tan∠DCG＝＝，∴设GF＝a，CF＝2a，在△GCE和GCF中，，∴△GCE≌△GCF（AAS），∴CE＝CF＝2a，GF＝EG＝a，∵∠GDF＝∠EDC，∠GFD＝∠CED＝90°，∴△GFD∽△CED，∴，∴＝＝，∴DF＝a，DG＝a，∴DC＝a，DE＝a，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AO＝CO，BO＝DO，∴∠ABD＝∠BDC，∠DAC＝∠ACB，∵∠ABD＝∠ACB，∴∠BDC＝∠DAC，又∵∠ACD＝∠DCO，∴△DCO∽△ACD，∴，∴DC2＝2OC2，∴OC2＝a2＝a2，∴OE＝＝a，∴OD＝DE+OE＝a＝OB，∴＝，故答案为：．12．（2021•西湖区二模）如图，在矩形ABCD中，E是CD上一点，AE＝AB，作BF⊥AE．（1）求证：△ADE≌△BF A；（2）连接BE，若△BCE与△ADE相似，求．【分析】（1）根据矩形的性质得出∠D＝∠DAB＝90°，求出∠DAE+∠F AB＝90°，∠FBA+∠F AB＝90°，求出∠D＝∠AFB，∠DAE＝∠FBA，再根据全等三角形的判定推出即可；（2）根据矩形的性质得出∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，根据平行线的性质得出∠CEB＝∠ABE，设∠CEB＝∠ABE＝x°，根据等腰三角形的性质求出∠AEB＝∠EBA＝x°，根据相似三角形的性质得出两种情况：①∠DEA＝∠CEB＝x°，根据∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°得出x+x+x＝180，求出x，再解直角三角形求出AE和AD，再求出答案即可；②∠DEA＝∠EBC，设∠DEA＝∠EBC＝y°，求出∠DEA+∠AEB+∠CEB＝（y+2x）°＝180°，∠EBC+∠CEB＝（y+x）°＝90°，求出x，再得出答案即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DAB＝90°，∴∠DAE+∠F AB＝90°，∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°，∴∠D＝∠AFB，∠FBA+∠F AB＝90°，∴∠DAE＝∠FBA，在△ADE和△BF A中，∴△ADE≌△BF A（AAS）；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，∴∠CEB＝∠ABE，设∠CEB＝∠ABE＝x°，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠EBA＝x°，当△BCE与△ADE相似时，有两种情况：①∠DEA＝∠CEB＝x°，∵∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°，∴x+x+x＝180，解得：x＝60，即∠DEA＝60°，∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝2DE，由勾股定理得：AD＝＝＝DE，∵AE＝AB，∴＝＝＝；②∠DEA＝∠EBC，设∠DEA＝∠EBC＝y°，∵∠CEB＝∠EBA＝∠AEB＝x°，则∠DEA+∠AEB+∠CEB＝y°+x°+x°＝（y+2x）°＝180°，在Rt△BCE中，∠EBC+∠CEB＝y°+x°＝（y+x）°＝90°，即，解得：x＝90°，即∠CEB＝90°，此时点E和点C重合，△BEC不存在，舍去；所以＝．13．（2021•拱墅区二模）如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．（1）若AB＝10，求FD的长；（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．【分析】（1）首先利用中位线定理得到DE∥AB以及DE的长，再证明∠DEC＝∠F即可；（2）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，进而求出∠CDE＝∠F并结合∠CED＝∠DEF即可证明△CDE∽△DFE．【解答】解：（1）∵D、E分别是AC、BC的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝5，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B，而∠F＝∠B，∴∠DEC＝∠F，∴DF＝DE＝5；（2）∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B，∴∠CDE＝∠B，∵∠B＝∠F，∴∠CDE＝∠F，∵∠CED＝∠DEF，∴△CDE∽△DFE．14．（2021•宁波模拟）如图，矩形ABCD中，E是边AD的中点，CE与BD交于点P，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F刚好落在线段CP上．（1）求证：△EBC是等边三角形．（2）求的值．【分析】（1）根据矩形的性质证明△ABE≌△DCE（SAS），可得EB＝EC，∠AEB＝∠CED，由翻折可知：∠AEB＝∠FEB，进而可以解决问题；（2）证明△PDE∽△PBC，可得＝＝，所以＝，进而可以解决问题．【解答】（1）证明：∵E是边AD的中点，∴AE＝DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠CDA＝90°，AB＝CD，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴EB＝EC，∠AEB＝∠CED，由翻折可知：∠AEB＝∠FEB，∴∠AEB＝∠FEB＝∠CED＝60°，∴△EBC是等边三角形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，。
相似三角形的性质(经典全面)
一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）． 相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）． H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B C 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AH S BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
相似三角形完整版PPT课件
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析， 寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论 之间的关系，找到证明相 似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力 和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
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04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严 格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。
思维特训(十一) 相似三角形中的辅助线作法归类
思维特训(十一) 相似三角形中的辅助线作法归类在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段，或得出等角、等边，从而为证明三角形相似或进行有关的计算找到等量关系． 作辅助线的方法主要有以下几种：(1)作平行线构造“A ”型或“X ”型相似；(2)作平行线转换线段比；(3)作垂直证明相似．图11－S －1类型一 作平行线构造“A ”型或“X ”型相似1．如图11－S －2，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于点F ，若AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，求BF 的长．图11－S －22．如图11－S －3，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于点E ，交AB 于点F .求证：AE DE ＝2AF BF. 图11－S －33．在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：如图11－S －4，在△ABC中，D 是BA 延长线上一动点，点F 在BC 上，且CF BF ＝12，连接DF 交AC 于点E . (1)如图△，当E 恰为DF 的中点时，请求出AD AB的值； (2)如图△，当DE EF ＝a (a ＞0)时，请求出AD AB的值(用含a 的代数式表示)． 思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：甲：过点F 作FG △AB 交AC 于点G ，构造相似三角形解决问题；乙：过点F 作FG △AC 交AB 于点G ，构造相似三角形解决问题；丙：过点D 作DG △BC 交CA 的延长线于点G ，构造相似三角形解决问题． 老师说：“这三位同学的想法都可以”．请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问中AD AB的值． 图11－S －4类型二 作平行线转换线段的比4．如图11－S －5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，求AF AE的值． 图11－S －55．如图11－S －6，已知等边三角形ABC ，D 为AC 边上的一动点，CD ＝nDA ，连接BD ，M 为线段BD 上一点，∠AMD ＝60°，连接AM 并延长交BC 于点E .(1)若n ＝1，则BE CE ＝______，BM DM＝______； (2)若n ＝2，如图△，求证：BM ＝6DM ；(3)当n ＝________时，M 为BD 的中点(直接写出结果，不要求证明)．图11－S －66．2019·朝阳 已知：如图11－S －7，在△ABC 中，点D 在AB 上，E 是BC 的延长线上一点，且AD ＝CE ，连接DE 交AC 于点F .(1)猜想证明：如图△，在△ABC 中，若AB ＝BC ，学生们发现：DF ＝EF .下面是两位学生的证明思路：思路1：过点D 作DG △BC ，交AC 于点G ，可通过证△DFG △△EFC 得出结论；思路2：过点E 作EH △AB ，交AC 的延长线于点H ，可通过证△ADF △△HEF 得出结论． 请你参考上面的思路，证明DF ＝EF (只用一种方法证明即可)．(2)类比探究：在(1)的条件下(如图△)，过点D 作DM △AC 于点M ，试探究线段AM ，MF ，FC 之间满足的数量关系，并证明你的结论．(3)延伸拓展：如图△，在△ABC 中，若AB ＝AC ，∠ABC ＝2△BAC ，AB BC＝m ，请你用尺规作图在图△中作出AD 的垂直平分线交AC 于点N (不写作法，只保留作图痕迹)，并用含m的代数式直接表示FN AC的值． 图11－S －7类型三 作垂直证相似7．如图11－S －8，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 为边AB 的中点，M ，N 分别为边AC ，CB 上的点，且DM ⊥DN .(1)求证：DM DN ＝BC AC； (2)若BC ＝6，AC ＝8， CM ＝5，直接写出CN 的长．图11－S －88．如图11－S －9，在△ABC 中，D 是BC 边上的点(不与点B ，C 重合)，连接AD . 问题引入：(1)如图△，当D 是BC 边的中点时，S △ABD ∶S △ABC ＝________；当D 是BC 边上任意一点时，S △ABD ∶S △ABC ＝________(用图中已有线段表示)．探索研究：(2)如图△，在△ABC 中，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连接BO ，CO ，试猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．拓展应用：(3)如图△，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连接BO 并延长交AC 于点F ，连接CO 并延长交AB 于点E .试猜想OD AD ＋OE CE ＋OF BF的值，并说明理由． 图11－S －99．如图11－S －10，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别是AC ，AB 边上的点，连接EF .(1)如图△，若将直角三角形纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，则AE ＝________；(2)如图△，若将直角三角形纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且MF △CA ，求EF 的长；(3)如图△，若FE 的延长线与BC 的延长线相交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AF BF的值． 图11－S －10详解详析1．解：如图，过点O 作OM △BC 交AB 于点M .∵O 是AC 的中点，OM ∥BC ，∴M 是AB 的中点，即MB ＝12a ， ∴OM 是△ABC 的中位线，OM ＝12BC ＝12b . ∵OM ∥BC ，∴△BEF ∽△MEO ，∴BF MO ＝BE ME ， 即BF 12b ＝c a 2＋c ，∴BF ＝bc a ＋2c . 2．证明：如图，过点D 作DG △CF 交AB 于点G .∵DG ∥CF ，D 为BC 的中点，∴G 为BF 的中点，FG ＝BG ＝12BF . ∵EF ∥DG ，∴AE DE ＝AF GF ＝AF 12BF ＝2AF BF . 3．解：(1)甲同学的想法：如图△，过点F 作FG △AB 交AC 于点G ，∴△AED ∽△GEF ，∴AD GF ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴AD ＝GF .∵FG ∥AB ，∴△CGF ∽△CAB ，∴GF AB ＝CF CB. ∵CF BF ＝12，∴CF CB ＝13，∴AD AB ＝GF AB ＝CF CB ＝13. 乙同学的想法：如图△，过点F 作FG △AC 交AB 于点G ，∴AD AG ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴AD ＝AG .∵FG ∥AC ，∴AG AB ＝CF CB. ∵CF BF ＝12，∴CF CB ＝13，∴AD AB ＝AG AB ＝CF CB ＝13. 丙同学的想法：如图③，过点D 作DG △BC 交CA 的延长线于点G ，∴∠C ＝△G ，∠CFE ＝△GDE ，∴△GDE ∽△CFE ，∴GD CF ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴GD ＝CF .∵DG ∥BC ，∴∠C ＝△G ，∠B ＝△ADG ，∴△ADG ∽△ABC ，∴AD AB ＝DG BC .∵CF BF ＝12，∴CF BC ＝13. ∴AD AB ＝DG BC ＝CF BC ＝13. (2)如图△，过点D 作DG △BC 交CA 的延长线于点G ，∴∠C ＝△G ，∠CFE ＝△GDE ，∴△GDE ∽△CFE ，∴GD CF ＝ED EF. ∵DE EF ＝a ，∴ED ＝aEF ， ∴DG ＝aCF .∵DG ∥BC ，∴∠C ＝△G ，∠B ＝△ADG ，∴△ADG ∽△ABC ，∴AD AB ＝DG BC . ∵CF BF ＝12，∴CF BC ＝13，即BC ＝3CF . ∴AD AB ＝DG BC ＝aCF 3CF ＝a 3. 4．解：取CF 的中点G ，连接BG .∵B 为AC 的中点，∴BG AF ＝12，且BG △AF . 又E 为BD 的中点，∴F 为DG 的中点，△EF BG ＝12，∴EF AF ＝14， ∴AF AE ＝43. 5．解：(1)当n ＝1时，CD ＝DA .∵△ABC 是等边三角形，∴BD ⊥AC ，∠BAC ＝60°，∴∠ADM ＝90°.又△△AMD ＝60°，∴∠MAD ＝30°，∴∠BAE ＝△BAC －△MAD ＝30°，即△BAE ＝△EAD ，∴AE 为△ABC 的中线，∴BE CE＝1. 在△AMD 中，DM ＝12AM (30°角所对的直角边等于斜边的一半)． ∵∠BAM ＝△ABM ＝30°，∴AM ＝BM ，∴BM DM＝2. (2)证明：△△AMD ＝△ABD ＋△BAE ＝60°，∠CAE ＋△BAE ＝60°，∴∠ABD ＝△CAE .又△BA ＝AC ，∠BAD ＝△ACE ＝60°，∴△BAD △△ACE (ASA)，∴AD ＝CE ，∴CD ＝BE .如图，过点C 作CF △BD 交AE 的延长线于点F ，∴FC BM ＝CE BE ＝AD CD ＝12①，DM FC ＝AD AC ＝13②，由△×△得DM BM ＝16，∴BM ＝6DM . (3)△M 为BD 的中点，∴BM ＝MD .∵△BAD ≌△ACE ，∴AD ＝CE ，∴CD ＝BE .∵△AMD ∽△ACE ，△BME ∽△BCD ，△AD AE ＝MD CE ，BM BC ＝ME CD， ∴AD ＝MD ·AE CE ③，CD ＝BC ·ME BM④， 由△×△得CD ＝5－12DA ，∴n ＝5－12. 6．解：(1)思路1：如图△，过点D 作DG △BC ，交AC 于点G .∵AB ＝BC ，∴∠A ＝△BCA .∵DG ∥BC ，∴∠DGA ＝△BCA ，∠DGF ＝△ECF ，∴∠A ＝△DGA ，∴DA ＝DG .∵AD ＝CE ，∴DG ＝CE .又△△DFG ＝△EFC ，∴△DFG ≌△EFC ，∴DF ＝EF .思路2：如图△，过点E 作EH △AB ，交AC 的延长线于点H .∵AB ＝BC ，∴∠A ＝△BCA .∵EH ∥AB ，∴∠A ＝△H .∵∠ECH ＝△BCA ，∴∠H ＝△ECH ，∴CE ＝EH .∵AD ＝CE ，∴AD ＝EH .又△△AFD ＝△HFE ，∴△DF A ≌△EFH ，∴DF ＝EF .(2)结论：MF ＝AM ＋FC .证明：如图△，由思路1可知：DA ＝DG ，△DFG ≌△EFC ，∴FG ＝FC .∵DM ⊥AG ，∴AM ＝GM .∵MF ＝FG ＋GM ，∴MF ＝AM ＋FC .(3)AD 的垂直平分线交AC 于点N ，如图△所示．连接DN ，过点D 作DG △CE 交AC 于点G .设DG ＝a ，BC ＝b ，则AB ＝AC ＝mb ，AD ＝AG ＝ma .∵∠ABC ＝2△BAC ，设△BAC ＝x ，则△B ＝△ACB ＝2x ，∴5x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠A ＝36°. ∵NA ＝ND ，∴∠A ＝△ADN ＝36°.∵∠ADG ＝△B ＝72°，∴∠NDG ＝△A ＝36°.又△△DGN ＝△AGD ，∴△GDN ∽△GAD ，∴DG 2＝GN ·GA .易知DG ＝DN ＝AN ＝a ，∴a 2＝(ma －a )·ma ，两边同除以a ，得m 2a －ma －a ＝0. ∵DG ∥CE ，∴DG ∶CE ＝FG △FC ＝DG △DA ＝1△m .∵CG ＝mb －ma ，∴FG ＝1m ＋1·m (b －a )， ∴FN ＝GN ＋FG ＝ma －a ＋1m ＋1m (b －a )＝m 2a －a ＋mb －ma m ＋1＝mb m ＋1， ∴FN AC ＝mbm ＋1mb ＝1m ＋1. 7．解：(1)证明：如图，过点D 作DP △BC 于点P ，DQ ⊥AC 于点Q ，∴∠DQM ＝△DPN ＝90°.又△△C ＝90°，∴四边形CPDQ 为矩形，∴∠QDP ＝90°，即△MDQ ＋△MDP ＝90°. ∵DM ⊥DN ，∴∠MDN ＝90°，即△MDP ＋△NDP ＝90°，∴∠MDQ ＝△NDP ，∴△DMQ ∽△DNP ，∴DM DN ＝DQ DP. ∵D 为AB 的中点，DQ ∥BC ，DP ∥AC ，∴DQ ＝12BC ，DP ＝12AC ，∴DQ DP ＝BC AC ，∴DM DN＝BC AC. (2)由题意得AQ ＝CQ ＝4，MQ ＝CM －CQ ＝5－4＝1，DQ ＝12BC ＝3，DP ＝12AC ＝4. ∵△DMQ ∽△DNP ，∴MQ NP ＝DQ DP ，∴NP ＝43. 又CP ＝PB ＝3，∴CN ＝3－43＝53. 8．解：(1)1△2 BD △BC(2)猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于OD △AD .理由：如图，分别过点O ，A 作BC 的垂线OE ，AF ，垂足分别为E ，F ，∴OE ∥AF ，∴OD ∶AD ＝OE △AF .∵S △BOC ＝12BC ·OE ，S △ABC ＝12BC ·AF ， ∴S △BOC ∶S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫12BC ·OE ∶⎝⎛⎭⎫12BC ·AF ＝OE △AF ＝OD △AD . (3)猜想OD AD ＋OE CE ＋OF BF的值是1.理由如下： 由(2)可知：OD AD ＋OE CE ＋OF BF ＝S △BOC S △ABC ＋S △BOA S △ABC ＋S △AOC S △ABC ＝S △BOC ＋S △BOA ＋S △AOC S △ABC ＝S △ABC S △ABC＝1. 9．解：(1)△将△ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S △ABC ＝4S △AEF .在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5.∵∠EAF ＝△BAC ，∴Rt △AEF ∽Rt △ABC ，∴S △AEF S △ABC ＝(AE AB)2，即(AE 5)2＝14，∴AE ＝2.5. (2)连接AM 交EF 于点O ，如图△，∵将△ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，∴AE ＝EM ，AF ＝MF ，∠AFE ＝∠MFE .∵MF ∥CA ，∴∠AEF ＝△MFE ，∴∠AEF ＝△AFE ，∴AE ＝AF ，∴AE ＝EM ＝MF ＝AF ，∴四边形AEMF 为菱形．设AE ＝x ，则EM ＝x ，CE ＝4－x .∵四边形AEMF 为菱形，∴EM ∥AB ，∴△CME ∽△CBA ，∴CM CB ＝CE CA ＝EM AB， 即CM 3＝4－x 4＝x 5，解得x ＝209，CM ＝43. 在Rt △ACM 中，AM ＝AC 2＋CM 2＝4103. ∵S 菱形AEMF ＝12EF ·AM ＝AE ·CM ， ∴EF ＝2×43×2094103＝4109. (3)如图△，过点F 作FH △BC 于点H ，∵EC ∥FH ，∴△NCE ∽△NHF ， ∴CN ∶NH ＝CE △FH ，即1△NH ＝47∶FH ，∴FH ∶NH ＝4△7. 设FH ＝4x ，NH ＝7x ，则CH ＝7x －1，BH ＝3－(7x －1)＝4－7x .∵FH ∥AC ，∴△BFH ∽△BAC ，∴BH ∶BC ＝FH △AC ，即(4－7x )△3＝4x △4，解得x ＝0.4，∴FH ＝4x ＝85，BH ＝4－7x ＝65.第11页/共11页 在Rt △BFH 中，BF ＝（65）2＋（85）2＝2， ∴AF ＝AB －BF ＝5－2＝3，∴AF BF ＝32.。
第13讲 相似三角形判定定理的证明
第13讲 相似三角形判定定理的证明课程标准1.了解相似三角形判定定理的证明过程，会选择恰当的方法证明两个三角形相似；2.会作辅助线来证明两个三角形相似，掌握证明过程。
知识点01 相似三角形判定定理的证明（一）相似三角形的判定定理1的证明过程已知：如图,在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B ′.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E, 则∠ADE=∠B ，∠AED=∠C,(.AD AEAB AC=平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） 过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F,则(AD CFAB CB =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴AE CFAC CB=∵DE ∥BC,DF ∥AC,∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF. ∴AE:AC=DE:CB ∴AD AE DEAB AC BC==. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE ∽△ABC.∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE ∽△A′B′C′.知识精讲目标导航∴△ABC ∽△A′B′C′.（二）相似三角形的判定定理2的证明过程 已知：在△ABC 和△A ′B′C′中，∠A=∠A′,''''AB ACA B A C =,求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E, 则∠B=∠ADE,∠C=∠AED,∴△ABC ∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似). ∴AB ACAD AE=. ∵''''AB ACA B A C =,AD=A′B′, ∴''AB ACAD A C =∴''AC ACAE A C =∴AE=A ′C′ 而∠A=∠A ′ ∴△ADE ≌△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.（三）相似三角形的判定定理3的证明过程 已知：在△ABC 和△A ′B′C′中，''''''AB BC ACA B B C A C ==.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A′B′,AE=A′C′,连接DE. ∵''''AB ACA B A C =，AD=A′B′,AE=A′C′,∴AB ACAD AE=而∠BAC=∠DAE,∴△ABC ∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴AB BCAD DE=又''''AB BCA B B C =，AD= A′B′, ∴''AB BCAD B C =∴''BC BCDE B C =∴DE=B′C′,∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△ABC ∽△A′B′C′.知识点02 证明相似三角形的一般思路（1）有平行线——用平行线的性质，找“等角”（用判定定理1）。
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原三角形相似，则AN的长为
16 或3 3
.
高分必备
熟悉相似的基本模型； 在运动变化中分析角与边的对应关系。
如图，双曲线 y k 经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足 AO 2
x
AB 3
与BC交于点D，S△BOD=21，则k= 8 ．
如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，BD交OC于E，
答案：12
如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，
D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（B ）
A． 3 2
B．2 3
C．1 2
D．3 4
A
60°
D
BP
C
三角形△ABC为边长为1的等边三角形,如图翻折,使点A落在BC边上D 2
点处,EF为折痕，且AE=AF=5：4,则BD的长为 3 ．
(2)如图，D为第三象限内抛物线上的一个动点，当m取何值时，以A、 D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？
解：∵ y m x 3 x 1 m x 12 4m
∴点D的坐标为(-1，-4m)
∴ AC2 xA xC 2 yA yC 2 3 02 0 3m2 9 9m2 AD2 xA xD 2 yA yD 2 3 12 0 4m2 4 16m2 CD2 xC xD 2 yC yD 2 0 12 3m 4m2 1 m2
∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E,F,则 的值是(
)
A． 2 1 B． 2 2 C． 2 1
D． 2
解析：易得AC平分∠DAB, ∠AEB=67.5°, 由三角形内角平分线性质定理得BF AB
EF AE 故tan AEB AB tan 67.5 2 1
AE
如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G， CD＝16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE－BF的值。
OM OC 又∠O是公共角， ∴△OCM∽△OPC ∴ ∠OPC＝∠OCM
已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点A(-3,0)和点B(1,0)， 与y轴相交于点C(0,-3m)(m>0)，顶点为点D。 ⑴求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；
已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点A(-3,0)和点B(1,0)， 与y轴相交于点C(0,-3m)(m>0)，顶点为点D。 ⑴求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）； 解：∵该二次函数的图象与x轴分别相交于点A(-3,0)和点B(1,0)， ∴设该二次函数的解析式为y=a(x+3)(x-1) ∵该二次函数的图象与y轴相交于点C(0,-3m)， ∴a·3·(-1)=-3a，故a=m ∴该二次函数的解析式为 y=m(x+3)(x-1)=mx2+2mx-3m
2 13
若AC＝4，AB＝5，则BE＝ 3 。
如图，在直角梯形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°, AC⊥BC，AC=BC，
∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E,F,则 的值是(
)
A． 2 1 B． 2 2 C． 2 1
D． 2
如图，在直角梯形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°, AC⊥BC，AC=BC，
2
AC 2 CD2
18 3, CO 3 3 2 OB 1
∴ AC CO 3 CD OB
∵∠ACD=∠COB=90°且 AC CO 3 CD OB
∴△ACD与△OBC相似，符合题意；
②若在△ACD中，∠ADC=90°，则AD2+CD2=AC2
即 (4+16m2)+(1+m2)= 9+9m2化简整理得：m2 1
如图，已知P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，OP与AB相交 于点M，C为 AB 上一点。求证：∠OPC＝∠OCM。
如图，已知P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，OP与AB相交 于点M，C为 AB 上一点。求证：∠OPC＝∠OCM。
证明：连结OA，OA2=OM·OP=OC2， ∴ OC OP
∴综上所述，
只有当m=1时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似。
相似三角形
1. 熟悉相似三角形证明的基本图形； 2. 注意分类讨论； 3. 综合运用勾股定理、等腰三角形等知识解决问题.
∵ △OBC是直角三角形，
∴欲使以 A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似，必有Rt△ACD
①若在△ACD中， ∠ACD=90° ，则 AC2+CD2=AD2
即 (9+9m2)+(1+m2)=4+16m2 化简整理得：m2=1
∵m>0，∴m=1（舍去负值）
此时 AC CD
AC CD
2
∵m>0，∴ m 2 （舍去负值）
此时 AD CD
2
AD
2
CD
AD2 CD2
12 3
3 8 2 2, CO 2
23
OB 1 2
2
2
∴ AD CO
CD OB
虽然∠ACD=∠COB=90°，但是
AD CD
CO OB
∴△ACD与△OBC不相似，应舍去；
相似三角形的模型及辅助线
高级教师 萧老师
核心考点
三角形及 相似
考纲要求
了解相似三角形 的性质定理与判 定定理；能利用 相似三角形的性 质定理与判定定 理解决有关简单 的问题。
考试题型
选择题 填空题 解答题
中考分值 考查频率
B=12,AC=16.在AC上作一点N,使△AMN与