二重积分的概念
二重积分的概念及性质
积分对变量的可加性
定义
如果f(x,y)在平面上是可积的，那么对于任 意的a和b，有 ∫∫Df(x,y)dσ=∫a→bf(x,y)dσ+∫∫Df(x,y)dσ， 其中D是包含在区间[a,b]内的可积区域。
应用
该性质可以用于计算二重积分，特别是当被 积函数与某个变量的关系较为简单时。
04 二重积分的物理应用
个小弧段进行积分，然后将结果相加得到总长度。
平面曲线的曲率与挠率
曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以 通过二重积分计算出曲线的曲率。
挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的弯曲 程度的量，也可以通过二重积分计算 出曲线的挠率。
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积分区域的可加性
定义
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。 即，如果D=D1∪D2，则∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
应用
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
积分对区域的可加性
转换坐标
将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。
分层积分
将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。
逐个计算
对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。
得出结果
将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。
二重积分的概念及性质
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的性质和定理 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的数学应用
10.1节 二重积分的概念与性质
(1) 分割 M
M
i 1
n
i
( 2 ) 近似
( 3 ) 求和
M
M
k
( k , k ) k
n
( k , k ) k
k 1
( k ,k )
k
x
( 4 ) 取极限
M lim
0
(
i 1
n
i
, i ) i . max k 的直径
1 k n
4
二重积分定义 设 f ( x , y ) 是有界闭区域 D 上的有界函数，将 闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域
1, 2 , n, ， 其中 i
表
示第 i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个 i 上任取一点
( i , i )
， 作乘积
D
[ln( x y )] d
2
的大小, 其中 D
是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),(1,1), (2,0).
解： 三角形斜边方程 x y 2
1
D
y
在 D 内 1 x y 2 e，
故， ln( x y ) 1
于是， ln( x y ) ln( x y )
0
n
f ( i , i ) i .
i 1
max k 的直径
1 k n
3
2、平面薄片的质量 设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D ，在点( x , y ) 处的面密度为 ( x , y ) ，假定 ( x , y ) 在 D 上连续，平面薄片的 质量为多少？
f ( i , i ) i ( i 1, 2 , n ) ;
二重积分证明题
二重积分证明题（原创实用版）目录一、二重积分的概念和性质二、二重积分的证明方法三、二重积分证明题的实例解析四、总结与展望正文一、二重积分的概念和性质二重积分是多元函数积分中的一种，它是指对一个函数在空间中某个区域上的值进行两次积分。
二重积分具有以下性质：线性性、连续性、可积性等。
二、二重积分的证明方法在解决二重积分证明题时，通常采用以下几种方法：1.直接积分法：适用于简单的二重积分，直接对被积函数进行积分。
2.重积分换元法：适用于较复杂的二重积分，通过换元将二重积分转化为单重积分。
3.重积分分部积分法：适用于具有一定规律的二重积分，通过分部积分将二重积分转化为求和或差。
4.重积分对称性法：适用于具有对称性的二重积分，通过利用对称性简化积分计算。
三、二重积分证明题的实例解析举例：设函数 f(x, y) = x^2 + y^2，证明∫∫f(x, y) dxdy = π。
解：采用重积分换元法。
令 x = rcosθ，y = rsinθ，则 dxdy = rdrd θ。
将被积函数代入得：∫∫f(x, y) dxdy = ∫∫(r^2cos^2θ + r^2sin^2θ) rdrdθ= ∫r^3cos^2θ dtdr + ∫r^3sin^2θ dtdr = ∫r^2(rcos^2θ + rsin^2θ) drdθ= ∫r^2 r drdθ= ∫r^3 dr= r^2 |_{0}^{1}= π因此，证明了∫∫f(x, y) dxdy = π。
四、总结与展望二重积分证明题是多元函数积分中的一个重要内容，掌握好二重积分的证明方法对于解决实际问题具有重要意义。
通过本篇文章的学习，读者对二重积分的概念、性质以及证明方法有了更加深入的了解。
9-1 二重积分的概念与性质
二 二重积分的性质
性质１
当k 为常数时，
kf
D
( x , y )d k f ( x , y ) d .
D
性质２
[ f ( x , y )
D
g ( x , y )] d
D
f ( x , y )d
g ( x , y ) d .
D
性质３ 对区域具有可加性 ( D D 1 D 2 )
1, 2 , , n
f ( k , k )
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 小曲顶柱体 2) 近似替代 在每个
D
k
中任取一点
则
( k , k )
Vk f ( k , k ) k
( k 1 , 2 ,, n)
3)求和
f ( k , k ) k
则称 f ( x , y )在D上可积 ,
注：如果 f ( x , y )在D上可积, 则可用平行坐标轴的直线
来分区域D , 这时
也记作 f ( x , y ) d x d y .
D
因此面积元素
也常
记作 d xd y（称其为直角坐标下的面积元素）， 二重积分
实例1中曲顶柱体体积:
V
D
k 1 n
4)取极限
f ( k , k )
( k ) max P1 P2 P1 ,P2 k
令 max ( k )
1 k n
D
( k , k )
V lim f ( k , k ) k
0
k 1
n
k
（2）平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有界闭区域 D , 其面 密度为连续函数 1) 分割 用任意曲线网分D 为 n 个小区域
8(1)二重积分的概念
根据二重积分的几何意义,确定积分值 根据二重积分的几何意义 确定积分值
( b x 2 + y 2 )dσ , 其中 D为x 2 + y 2 ≤ a 2 ∫∫
2 3 = πa b πa 3
2
D
b>a >0
19
二重积分的概念
性质2 将区域D分为两个子域 性质 将区域 分为两个子域 D1 , D2 ( D = D1 + D2 )
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ + ∫∫ f ( x, y )dσ D D
1
D2
对积分区域的可加性质. 对积分区域的可加性质 性质3 性质 若σ 为D的面积 的面积
y
D1 D
D2
σ = ∫∫ 1 dσ = ∫∫ dσ
D D
o x D1与D2除分界线 外无公共点. 外无公共点
则
性质5(估值性质) 设m ≤ f ( x , y ) ≤ M , 性质5(估值性质) 5(估值性质 σ为D的面积 则 的面积, 为 的面积
∫∫ f ( x , y )dσ D
≤
∫∫ g( x , y )dσ D
m σ ≤ ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ Mσ
设f ( x , y ) ≥ 0, ( x , y ) ∈ D , 则曲顶柱体 为高和以M为高的两个 为高和以 的体积介于以D为底 为底, 的体积介于以 为底 以m为高和以 为高的两个 平顶柱体体积之间. 平顶柱体体积之间以D为底 既可看成是以 为底, 以1为高的 为底 为高的
柱体体积. 又可看成是D的面积 的面积. 柱体体积 又可看成是 的面积
20
二重积分的概念
若f ( x , y )在有界闭区域 1上可积 且 D1 D2 , 在有界闭区域D 上可积,且
二重积分概念
3)“近似和”
y
( k , k ) k
k 1
n
4)“取极限”
令 max ( k )
1 k n
( k ,k )
k
x
M lim
( k , k ) k 0
k 1
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n
两个问题的共性：
机动
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结束
2. 判断
x y 1
ln( x y ) d x d y ( 0) 的正负.
2 2
y
解：当 x y 1 时，
0 x y ( x y) 1
2 2
2
1 1
o
1
D
1 x
故
ln( x y ) 0
2
2
又当 x y 1 时，ln( x 2 y 2 ) 0
y 1 1
解: I1 , I 2 , I 3 被积函数相同, 且非负,
由它们的积分域范围可知
I 2 I1 I 3
o
x
机动
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结束
例3. 估计下列积分之值
I
100 cos 2 x cos 2 y
D
d xd y
D : x y 10
y
10
解: D 的面积为 (10 2) 2 200 由于
令 max ( k )
1 k n
V lim
f ( k , k ) k 0
k 1
n
f ( k , k )
( k , k )
二重积分和积分的平方
二重积分和积分的平方
二重积分和积分的平方是两个不同的数学概念。
二重积分是计算某个函数在一个二维区域上的积分值。
它可以表示为∬f(x,y)dA，其中f(x,y)是被积函数，dA表示微小面积元素。
二重积分的计算可以通过将区域分割成小的面积元素，然后对每个面积元素上的函数值进行求和的方法来实现。
积分的平方是指将一个函数的积分值再平方的操作。
具体而言，如果函数f(x)在区间[a,b]上可积，那么它的积分的平方可以表示为∫[a,b]f(x)dx的平方。
二重积分和积分的平方是不同的概念，它们涉及到不同的数学操作和计算方法。
二 重 积 分
质量
一、二重积分的概念
(2)近似.设λi为小闭区域Δσi的直 径，当λi很小时，由于ρ(x,y)连续， ρ(x,y)在同一小闭区域内变化很小， 因此这些小块就可以近似地看作均匀 分布的.在每个Δσi中任取一点 (ξi,ηi)(见图9-3),则
ΔMi≈ρ(ξi,ηi)Δσi(i=1,2,…,n).
图 9-3
一、二重积分的概念
一、二重积分的概念
注
①和式(9-1)的极限存在时，称f(x,y)在区域D上是可 积的.可以证明，如果函数f(x,y)在区域D上连续，则f(x,y) 在区域D上一定是可积的.
②如果f(x,y)在区域D上是可积的，则和式(9-1)的极 限存在，且与D的分法和点(ξi,ηi)的选取及积分变量用什么 字母表示无关，其值只取决于被积函数和积分区域.
一、二重积分的概念
定义1
z=f(x,y)
D上的有界函数，
将D任意分成n个小区域
Δσ1,Δσ2,Δσ3,…,Δσn. 在每个小区域Δσi内任取一点(ξi,ηi)(i=1,2,…,n)，作 和式
(9-1)
一、二重积分的概念
当n无限增大，各小区域中的最大直径λ→0 时，不论区域D如何分割，也不论(ξi,ηi)如何选取， 如果和式(9-1)的极限存在，则称此极限为二元函 数z=f(x,y)在区域D上的二重积分，记作
一、二重积分的概念
(2)近似.设λi为小闭区域Δσi的直径(一 个闭区域的直径是指区域上任意两点距离 的最大值)，当λi很小时，由于f(x,y)连续， f(x,y)在同一小闭区域内变化很小，因此 可将小曲顶柱体近似看作小平顶柱体，于 是可用平顶柱体的体积公式来计算.在每个 Δσi中任取一点(ξi,ηi)，以f(ξi,ηi)为高而底 为Δσi的小曲顶柱体(见图9-2)的体积为