关于费波那契数列

关于斐波那契数列

1．斐波那契数列

斐波那契（Fibonacci）在所著的《算盘书》中，提出了一个著名而有趣的兔子问题。有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？

现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有

一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对

兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子

生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成

年，一对未成年。月月如此。

第1个月到第6个月兔子的对数是：

1，2，3，5，8，13。

我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和。若继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得：

1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。

显然，第12个数就是一年内兔子的总对数。所以一年内1对兔子能繁殖成233对。

在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。人们为纪念他这一发现，在这个数列前面增加一项“1”后得到数列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……

叫做“斐波那契数列”(Fibonacci Sequence)，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。这个数列可以由下面递推关系来确定：

它的第100项；第1000项是什么呢？

100354224848179261915075

a ；

1000434665576869374564356885276750406258025646605173

717804024817290895365554179490518904038798400792

551692959225930803226347752096896232398733224711 61642996440906533187a 9382989696499285160037044761

37795166849228875 (209位数)

怎样计算的呢？笔算或用计算器计算是不可能的，是用电脑软件来完成的。

2.电脑软件计算斐波那契数列的第N 项

流程图：

源代码：

问题：请尝试分别用Microsoft Office 中的Excel 和几何画板中的迭代，制作斐波那契

数列的若干项，并评价这些软件在求斐波那契数中的局限性。

3.斐波那契其人

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240) 是意

大利的一位著名数学家，也许是在生活在丢番图(Diophantos)

之后费尔马(Pierre de Fermat)之前，这2000年间欧洲最杰

出的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利

那个后来因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市

里，现在那里还有他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在

北非和欧洲旅行，大概就是由此而学习到了世界各地不同的算

术体系。在他最重要的著作《算盘书》（Liber Abaci ，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余

方程方面有重要贡献。

4. 斐波那契数列与教材数列的关系

说起数列，为大家所熟悉的是等差数列和等比数列，我们自然会问斐波那契数列是等差

数列还是等比数列？显然都不是。那么，如何来求斐波那契数列的通项公式和前n 项和的公式呢？

现在我们把斐波那契数列推广到一般的形式：

1221(0)(1)(3)(2)n n n a a m m R m a a a n ++==∈≠⎧⎨=+⎩且r

称其为费氏数列，（1）为初始条件，（2）为递推关系，当m=1时，就是斐波那契数列。

这样，费氏数列{}(2)n a n r 可以是等比数列而非等差数列。

设费氏等比数列是1n n a mq -=

则有 11n n n mq mq mq +-=+

两边除以1n mq -得 21q q =+ （3）

坐落在意大利比萨的斐波那契雕

解方程（3）得两根为

112q =

、212

q -= 所以，等比的费氏数列有下列两种：

21111,,,,222n m m m m -⎛⎛⎛+⋅⋅⋅ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭

21111,,,,222n m m m m -⎛⎫⎛⎛⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭

其中， 1.618≈（是黄金分割）

0.618≈- 问题：（1）费氏数列不是等差数列请同学们来完成。

（2）两个不同的费氏数列的线性组合是否还是费氏数列？

即111122n n n a p q --⎛⎫⎛=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭是否为费氏数列？

下面我们来推导斐波那契数列的通项公式：

因为费氏数列的一般形式是；111122n n n a p q --⎛⎫⎛=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭

⎝⎭

当初始条件121a a ==时是斐波那契数列 所以有

0011122p q ⎛⎛=+ ⎝⎭⎝⎭

11

11122p q ⎛⎛=+ ⎝⎭⎝⎭ 化间得 1p q += (

))2p q p q ++

-= 解得

p =

q =于是得斐波那契数列的通项公式为：

n n n a ⎤⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

这个通项公式首先由法国数学家比内证明的，通称比内公式。令人惊奇的是，比内公式中的n

a 是以无理数的幂表示的，然而这所得的结果完全是整数。前面我们已经知道1000a 的值，如果

用通项公式计算会是怎样？