关于湍流理论研究进展
1.湍流研究最新进展
湍流研究最新进展序言中国科学技术协会主办的“青年科学家论坛” 第41次活动于1999 年6月14~15日在中国科协会堂举行，来自全国各科研院所、大专院校的近20名青年学者参加了这次活动。
中国科协学会部部长、“论坛”组委会主任马阳，中国科协学会部副部长、“论坛”秘书处秘书长周济，国家自然科学基金委员会数理学部孟庆国博士出席了论坛活动，马阳主任作了重要讲话。
本次论坛由清华大学符松教授、中国空气动力研究与发展中心邓小刚研究员、北京航空航天大学王晋军教授担任执行主席、论坛以“湍流数值模拟”、“湍流基本结构及控制”、“湍流稳定性与边界层转捩”、“湍流对流与传热传质”四个单元主题进行了交流；分别由桂业伟研究员、佘振苏教授、罗纪生教授、刘宇陆教授、吴锤结教授、夏克青教授、王立秋教授、吴子牛教授担任单元主题的主持人。
“论坛”活动期间，大家踊跃发言，对湍流研究的现状和我国未来湍流研究的发展提出了许多意见和建议。
通过“论坛”的交流加强了青年学者之间的了解和沟通，也就一些重要问题达成一定的共识。
1. 湍流是非线性复杂系统研究的基础学科世纪之交科学的发展，已越来越明显地表明，人类对非线性系统和复杂性的认识上正经历着巨大的飞跃，但在研究方法上还需要有更大的突破。
许多与国民经济发展密切相关的重大科学问题（如航空航天工业中的控制问题，灾害性气象气候的预报问题等）都涉及到多尺度多层次的复杂系统。
对湍流这一世纪性难题的研究，曾经直接引发了非线性科学与混沌学的诞生和发展。
20世纪90年代，我国旅美学者佘振苏教授（现担任北京大学湍流研究国家重点实验室主任）提出的湍流层次结构理论，在概念上和方法上对多尺度多层次的湍流系统提出了崭新的见解。
佘振苏教授介绍了这几年湍流层次结构理论在国际湍流界引起广泛关注及获得大量实验验证的情况，引起与会的广大青年学者的浓厚兴趣。
大家一致认为，湍流研究正在不断涌现新思想、新思路，湍流研究的开拓必将带动非线性科学的进一步发展。
物理学中的湍流流动机理研究
物理学中的湍流流动机理研究湍流流动是物理学中一个重要的研究领域。
它涉及到大量极其复杂的物理现象和数学问题，而且它的研究对于许多工程领域的进步都有着非常重要的影响。
因此，湍流流动机理研究一直是物理学家和工程师们的重要课题。
本文将介绍一些关于湍流流动机理研究的基本知识和最新研究成果。
湍流流动的特征湍流是一种高度复杂的不稳定流动状态，它具有以下特征：不规则性：湍流流动的颗粒方向、流速、压力甚至形状的变化非常不规则，这使得湍流流动很难被描述和预测。
多尺度性：湍流流动的流体运动具有许多不同尺度的波动，从微观的螺旋涡到大尺度的湍流涡旋，这些波动之间存在着复杂的相互作用和演化。
高能量消耗：湍流流动中存在着大量的分子和粒子的能量互相转化和耗散，这使得湍流流动的能耗比其他流动形式要高得多。
湍流流动的本质湍流流动的本质实际上是流体中的微观涡旋运动，这种微观涡旋的运动会在不同的尺度上不断地繁殖和演化，最终形成复杂的、高度非线性的宏观涡旋结构。
这些宏观涡旋的运动涉及到大量的非线性物理效应和数学问题，使得湍流流动的模拟、预测和控制都非常困难。
湍流流动的研究方法湍流流动研究的主要方法包括实验观测、数值模拟和理论分析。
实验观测是湍流流动研究的基础，通过测量流体的速度、压力和运动的几何形态等参数，可以获取湍流流动的各种特性。
数值模拟则是通过计算湍流流动中的各种物理量，来模拟和预测湍流流动的行为。
理论分析则是从物理和数学的角度深入研究湍流流动的本质和机理，从而揭示其规律和特性。
最新研究进展近年来，湍流流动研究在实验、数值和理论方面取得了很大的进展。
下面介绍一些最新的研究成果：1.实验研究近年来，实验研究者发现了一些新的湍流现象，这些现象为揭示湍流流动机理提供了新的线索。
例如，一些实验表明，在某些条件下，湍流流动可以转化为一种混沌状态，这种状态和非线性动力学中的混沌现象具有相似的数学特征。
另外，实验研究也揭示了湍流流动中的层流和湍流边界层等结构，这些结构在工程实践中的应用具有重要意义。
湍流燃烧数值模拟的研究与进展
湍流燃烧数值模拟的研究与进展湍流燃烧是指在燃烧过程中，燃料与氧化剂在湍流的条件下相遇和反应。
湍流燃烧数值模拟是一种通过计算机模拟湍流燃烧过程的方法，可以提供燃烧器内部的流场和温度分布等信息，对于燃烧器的设计和优化具有重要的意义。
本文将对湍流燃烧数值模拟的研究与进展进行探讨。
首先，湍流模型的选择是湍流燃烧数值模拟的一个关键问题。
湍流现象十分复杂，需要选择适当的湍流模型来模拟湍流流动。
常用的湍流模型有雷诺平均应力模型(RANS)和大涡模拟(LES)。
RANS是一种将湍流场分为均匀部分和涡旋部分的统计方法，适用于模拟湍流较为稳定的情况；而LES则能模拟较为精细的湍流结构，但计算量较大。
根据具体问题的复杂程度和计算资源的限制，选择适当的湍流模型具有重要意义。
其次，化学反应模型的建立是湍流燃烧数值模拟的另一个关键问题。
燃烧过程中涉及到多种化学反应，需要建立合适的化学反应模型来描述燃烧反应。
常见的化学反应模型有简化化学反应模型和详细化学反应模型。
简化化学反应模型基于简化的反应机理，计算速度较快；而详细化学反应模型则基于包含大量反应步骤的反应机理，计算速度较慢但结果更精确。
根据具体问题的要求和计算资源的限制，选择适合的化学反应模型具有重要意义。
此外，边界条件的设定也是湍流燃烧数值模拟的一个关键问题。
边界条件的合理设定可以保证计算结果的准确性。
常用的边界条件有Inflow Boundary Condition、Outflow Boundary Condition、Wall Boundary Condition等。
对于湍流燃烧数值模拟，还需要考虑湍流场的边界条件，例如由湍流脉动引起的湍流输运方程中的涡粘性项的边界条件等。
最后，计算方法的选择也对湍流燃烧数值模拟的结果和计算速度有着重要的影响。
常用的计算方法有有限差分法(FDM)、有限元法(FEM)和有限体积法(FVM)等。
这些方法在计算精度和计算速度方面各有优势，需要根据具体问题的要求选择适当的方法。
流体流动（层流或者湍流）的最新研究进展有哪些？
流体流动（层流或者湍流）的最新研究进展有哪些？湍流（turbulence），也称为紊流，是流体的一种流动状态。
当流速很小时，流体分层流动，互不混合，称为层流，或称为片流；逐渐增加流速，流体的流线开始出现波波状的摆动，摆动的频率及振幅随流速的增加而增加，此种流况称为过渡流；当流速增加到很大时，流线不再清楚可辨，流场中有许多小漩涡，称为湍流，又称为乱流、扰流或紊流。
航空器在大气中飞行时，也会遇到湍流。
湍流产生的原因较为复杂，一般来说是由多种大气条件共同作用时生成。
第一种是风暴湍流（Storm-related Turbulance）。
当水蒸汽凝结成水滴时，释放出的热量会加热周围的空气；空气被加热后不断上升，密度也随即减小。
最后，空气上升地越来越快，也越来越高。
由此产生的上升气流就会导致飞机颠簸。
风暴湍流的监测相对容易，用机载多普勒气象雷达或简单地通过肉眼观察云层的变化就能识别出来。
要避免撞上风暴湍流，最简便的办法就是让飞行员改变飞行航线或飞行高度。
潜艇航行时船体前方的层流和后方的湍流另一种湍流不易被人察觉，那就是晴空湍流（Clear AirTurbulance）。
当两个气团在以不同速度或朝不同方向运动的时中相遇，就会产生晴空湍流。
关于晴空湍流的形成，有一个典型的例子：气流在运动过程中，受到山峰的阻隔而瓦解成多个气团，从而形成湍流。
飞机在穿过高速气流的时候也会遇到晴空湍流。
与风暴湍流相比，要监测到晴空湍流就没有那么容易了，晴空湍流可以说是来无影去无踪，犹如平静的海面下汹涌的暗流，飞行中遇到这种强烈的扰动气流，就会使飞机突然产生剧烈颠簸。
晴空湍流，有云层，恰好表现出来，一般不可见大气湍流虽然很少造成恶性飞行事故，但在机组来不及处理、乘客又未系安全带的情况下，也可能造成乘客受伤，甚至危及人身安全。
那么，湍流能让飞机失事吗？答案是肯定的。
但现在，发生这种事件的概率已经很低了。
一方面，湍流使飞机颠簸有时会超过机身的承受极限：1966年，英国海外航空公司的一架波音707客机从东京机场起飞不久，在富士山附近突然遭遇强烈湍流，致使飞机尾翼断裂，最终飞机解体坠毁。
中国湍流研究的发展史_中国科学家早期湍流研究的回顾
中国湍流研究的发展史I 中国科学家早期湍流研究的回顾黄永念北京大学力学与工程科学系，湍流与复杂系统国家重点实验室，北京，100871摘要总结了二十世纪三十年代到六十年代中国老一辈科学家（包括物理学家，力学家）周培源、王竹溪、张国藩、林家翘、谢毓章、张守廉、黄授书、胡宁、柏实义、陈善模、庄逢甘、陆祖荫、李政道、蔡树棠、是勋刚、李松年、谈镐生、包亦和等诸位先生的湍流研究工作。
介绍他们对流体力学中最为困难的湍流问题所作出的努力和贡献。
关键词湍流统计理论，能量衰变规律，均匀各向同性湍流，剪切湍流。
引言湍流一直被认为是物理学中最难而又久未解决的基础理论研究的一个课题。
从1883年Reynolds圆管湍流实验研究算起已经跨越了两个世纪，湍流问题仍未得到解决。
在跨入二十一世纪时，很多从事湍流研究工作的科学家都在思考这样的问题：二十世纪的湍流研究留给我们哪些宝贵财富？二十一世纪又应该如何面对这个老大难问题？Yaglom在2000年法国举行的一次湍流讲习班上回顾了二十世纪的湍流理论发展过程[1]，指出了其中两个最重要的成就：一个是Kolmogorov的局部均匀各向同性湍流理论，另一个是von Karman的湍流平均速度的对数分布律。
同时又一次向世人介绍著名科学家Lamb在临终前对解决湍流问题的悲观看法。
由于中国与世界各国在文字和语言上的差异和长期缺乏国际间的交流，历次湍流研究工作的总结和回顾中，人们往往忽略了中国科学家的作用。
只有周培源教授在1995年流体力学年鉴上发表了“中国湍流研究50年”才打破了这种隔阂[2]。
但是这篇文章也只局限于周培源教授率领的北京大学研究组所做的系列研究工作。
实际上有很多中国科学家在上一世纪中做了非常出色的工作。
本文仅就半个世纪前的三十年代到六十年代他们的湍流研究工作做一个简单的介绍，目的是要引起大家关注中国科学家的湍流研究和对湍流研究所做的贡献。
中国科学家的湍流研究工作可以分成两个方面，一是在国内极其困难的条件下坚持开展的研究工作，这方面的工作国际上鲜为人知。
湍流的理论与分析
湍流的理论与分析湍流是一种复杂的流动形式，并且广泛存在于自然界和工程实践中。
对湍流的理论研究和分析不仅有助于深入理解流体现象，还可以为湍流控制和能源利用等方面提供支持。
本文将从湍流的定义、产生机理、湍流统计理论和湍流模拟等方面进行探讨。
一、湍流的定义湍流是指一种相对瞬态的流体运动状态，其中流体的速度和方向发生剧烈变化，造成流体的混合和扰动，呈现出随机不规则的涡动结构。
与层流（稳态流动）相比，湍流的运动特征更加复杂，无法用简单的数学公式描述。
湍流的主要特征为不规则、随机、涡动等。
二、湍流的产生机理湍流的产生机理复杂，其中包括传统的机械湍流、自然湍流、边界层失稳等多种因素。
机械湍流是由于固体物体运动时与周围介质相互作用产生的湍流现象，如风力机翼片和涡轮机叶片的湍流。
自然湍流是由于自然界中各种复杂流动引起的，如河流、海洋和大气的运动等。
边界层失稳是当涡旋从高速的流动区进入低速的流动区时产生的，例如水流从管道进入膨胀段时发生的湍流现象。
三、湍流统计理论湍流统计理论是对湍流运动规律的理论分析，是研究湍流基本性质和湍流现象的一种方法。
湍流统计理论中有两个重要的概念，一个是湍流的集成时间，另一个是湍流脉动，这两个概念分别给出了湍流时间与空间扰动中的统计特征。
其中湍流的集成时间是指机械能向湍流能转化和湍流能转化为机械能时所需的时间因子，而脉动是指在一个给定点的流动路径上，流体参数波动的相对不稳定性。
四、湍流模拟湍流模拟是一种基于数值计算的湍流研究方法，主要有两种方式：直接数值模拟（DNS）和大涡模拟（LES）。
直接数值模拟是对湍流运动的一种高精度的数值计算方法，它通过离散化流动中的微小物理尺度，运用数值方法以求解流场运动方程，得到高精度的湍流场数据。
但DNS需要的计算量庞大，计算成本高昂。
大涡模拟是在保留湍流中大尺度涡旋信息的同时，模拟和模拟所得的速度与涡旋脉动能谱于实验结果的吻合程度。
而LES所需要的计算量较之DNS低，同时保留的流场尺度也比DNS更大，能够得到更加直观的湍流现象展示。
大气边界层中的湍流与混合过程研究
大气边界层中的湍流与混合过程研究大气边界层是指地球表面与大气中最接近地面的一层空间。
在这一层中，湍流和混合过程对大气的运动和物质交换起着重要作用。
本文将探讨大气边界层中湍流和混合过程的研究进展。
一、湍流现象及其特点湍流是指流体中的各种无规则、复杂、混乱的运动现象。
大气边界层中存在着各种尺度的湍流，从微观的小尺度湍流到宏观的大尺度湍流，都对大气的运动和物质交换起着重要作用。
湍流的主要特点是不规则、非线性、随机性和多尺度。
二、湍流理论的研究进展随着计算机技术和数值模拟方法的发展，湍流理论取得了很大的进展。
目前，湍流理论的主要方法包括直接数值模拟、大涡模拟和雷诺平均纳维-斯托克斯方程等。
通过这些方法，研究人员能够更好地理解湍流的形成机制和发展规律。
三、湍流对大气运动的影响湍流在大气中的运动对大气的能量传输、物质混合和边界层高度的发展等方面起着重要作用。
湍流脉动的存在使得大气运动更加复杂，产生了风速垂直剖面的不规则性和高低波动。
此外，湍流还影响了大气中的空气质量和颗粒物的输送。
四、湍流与气候变化的关系湍流对气候变化有着重要的影响。
湍流的形成和发展受到地表热源和地形的影响，而气候变化又会改变地表温度和地形，从而影响湍流的形成和发展。
因此，湍流与气候变化之间存在着复杂的相互关系。
五、湍流的观测与测量方法湍流的观测与测量是湍流研究的基础。
目前常用的湍流观测与测量方法包括风廓线雷达、气象声波探测器和气象探空等。
这些方法能够提供湍流的相关参数，如湍流动能、湍流强度和湍流时间尺度等。
六、大气边界层中的混合过程在大气边界层中，湍流是驱动混合过程的主要机制。
混合过程包括热量、水汽和动量的垂直混合，对大气的能量平衡和湿度分布起着至关重要的作用。
湍流的存在使得边界层中的气溶胶和气体能够迅速混合并向上输送。
七、湍流模拟与预测湍流模拟与预测是湍流研究的重要方向。
通过数值模拟方法，可以模拟和预测大气边界层中的湍流和混合过程，为天气预报和气候模拟提供基础数据。
湍流的数值模拟方法进展.
《高等计算流体力学》课程作业湍流的数值模拟方法进展1概述自然环境和工程装置中的流动常常是湍流，模拟任何实际过程首先遇到的就是湍流问题，而湍流问题本身又是流体力学理论上的难题。
对于某些简单的均匀时均流场，如果湍流脉动是各向均匀及各向同性的，可以用经典的统计理论来分析，但实际上的湍流往往是不均匀的，给理论分析带来了极大困难。
湍流是空间上不规则和时间上无秩序的一种非线性的流体运动，表现出非常复杂的流动状态，主要表现在湍流流动的随机性、有旋性、统计性。
传统计算流体力学中描述湍流的基础是Navier-Stokes（N-S）方程，根据N-S方程中对湍流处理尺度的不同，湍流数值模拟方法主要分为：直接数值模拟（DNS）、雷诺平均方法（RANS）和大涡模拟（LES）。
直接数值模拟可以获得湍流场的精确信息，是研究湍流机理的有效手段，但现有的计算资源往往难以满足对高雷诺数流动模拟的需要，从而限制了它的应用范围。
雷诺平均方法可以计算高雷诺数的复杂流动，但给出的是平均运动结果，不能反映流场脉动的细节信息。
大涡模拟基于湍动能传输机制，直接计算大尺度涡的运动，小尺度涡运动对大尺度涡的影响则通过建立模型体现出来，既可以得到比雷诺平均方法更多的诸如大尺度涡结构和性质等的动态信息，又比直接数值模拟节省计算量，从而得到了越来越广泛的发展和应用。
2 雷诺平均方法(RANS)雷诺平均模拟（RANS）即应用湍流统计理论，将非定常的N - S方程对时间作平均，求解工程中需要的时均量。
利用湍流模式理论，对Reynolds应力做出各种假设，即假设各种经验的和半经验的本构关系，从而使湍流的平均Reynolds方程封闭。
2.1控制方程对非定常的N - S 方程作时间演算，并采用Boussinesp 假设，得到Reynolds 方程''21i j i i i j i j j j j ju u u u u p u f v t x x x x x ρ∂∂∂∂∂+=-+-∂∂∂∂∂∂ =0i i u x ∂∂ 式中，附加应力可记为''ij i j pu u τ=-，称为雷诺应力。
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1 关于湍流理论研究进展 摘要 本文对近年来湍流理论在某些方面的研究进展作了概要介绍，对具有代表 性的理论假设的思想方法，进行了扼要阐述，指出了相应的实用价值和局限性。 关键词 湍流 湍流统计理论 混沌理论 湍流拟序结构 湍流剪切流动 1 无处不在的湍流现象 湍流是自然界中流体的一种最普遍的运动现象，它广泛的存在于我们生活周围。在大风吹过地面障碍物的旁边，在湍急的河水流过桥墩的后面，在烟囱中冒出的浓烟随风渐渐扩散等地方，都能观察到湍流运动现象。简单地说，湍流运动就是流体的一种看起来很不规则的运动。由于湍流现象广泛存在于自然界和工程技术的各个领域，因此湍流基础理论研究取得的进展就可能为经济建设和国防建设的广泛领域带来巨大的效益。例如，提高各种运输工具的速度以大量节约能源， 提高各种流体机械的效益；改善大气和水体的环境质量， 降低流体动力噪声， 防止流体相互作用引发的结构振动乃至破坏；加强反应器内部物质的热交换与化学反应的速度等等。 然而像湍流这样，虽经包括许多著名科学家在内长达一个世纪多的顽强努力，正确反映客观规律的系统的湍流理论至今还没有建立，在整个科学研究史上也是不多见的。因此，可以说湍流是力学中没有解决的最困难的难题之一。因此，世界上许多国家一直坚持把湍流研究列为需要最优先发展的若干重大基础研究课题之一。 2 湍流理论的发展历史 湍流理论从它的思路来说大体可分为两类[1]。一类是先把流体动力学方程组平均以后，然后再设法使方程组封闭，求解后再和实验结果比较，看封闭办法是否正确。湍流中绝大部分理论是属于这一类型。另一类是先求解，取特殊模型，再引进平均，得到要求的物理量，和相应的实验结果进行比较。 2.1 Reynolds方程和混合长度理论 十九世纪70年代是Maxwell-Boltzmann分子运动理论取得辉煌成果的时代。它成功地解释了气体状态方程、气体粘性、气体热传导和气体扩散等一系列现象。湍流理论开始发展的时候，就受着这种思想支配。1877年T.V.Bonssinesq[2]又开始2
用表观湍流（涡旋）粘性系数μT来表示湍流剪切应力τxy，即 式中ρ为流体密度， 为湍流（涡旋） 运动粘性系数，U为x方向平均速度。1886年O.Reynolds把湍流运动分为平均运动和脉动运动两个部分，又引进了两种平均效应，一种是分子的平均效应，另一种是流体团的平均效应。分子平均效应产生压强和粘性应力，流体团平均效应产生表观的湍流雷诺应力。1894年他得到了著名的Reynolds方程
式中Ui为平均速度，p为平均压强，ui为脉动速度，ρuiuj为Reynolds应力，ρμ分别为流体密度和粘性系数。压强可由状态方程给出，粘性应力可用平均流速梯度和粘性系数表示。Reynolds应力用什么来表示一直是一个很大的问题。由于Reynolds 应力的引入使未知量增加了6个，使流体动力学方程组成为不封闭。这就是通常所说的湍流的不封闭困难。从1894年到本世纪30年代，很多人都从事过Reynolds应力用平均流速表示出来的工作。其中最有名的就是混合长度理论。它是分子运动理论表述粘性应力方法的直接移植。 1925年Prandt[3]参照分子自由程引入混合长度的概念来讨论单向沿管壁的流
动，认为在该长度距离内，被运的动量是一个不变量，而表观剪应力由动量转移所确定，即扩散系数
l称为混合长度。l被认为和离开固壁的距离y成正比。而Karman则从湍流脉动的局部相似性出发，得到混合长度为
Prandtl的动量转移理论对平均流速分布问题与实验结果较好符合，但在理论上有3
严重的不能自圆其说的地方。因为流体团在流体中运动是受压强作用的，而压强作用是会对流体团的动量产生改变作用的。因此G.I.Taylor在1932年提出了涡量转移理论，他认为在混合长度这段距离内，动量是在变化的，而是涡量才是一个不变的量。由此得到涡旋运动粘性系数v T 和涡量扩散系数ε分别为
这样，不仅克服了理论上的缺陷，而且能同时成功的解释平均流速分布和湍流热扩散两种现象。 以后还有很多人对混合长度理论的表达式进行了修改，并且把它应用到许多具体问题上，例如尾流、射流等等，曾计算出许多湍流运动的流场和温度场[4]。在有些问题上动量转移理论较好，有些问题则涡量转移理论与实验更符合。对不同的具体问题，混合长度有不同的具体表达式。这就是通常把混合长度理论认为是半经验理论的原因。 在处理混合长度上曾经有过两种不同的观点。一种是Prandtl的观点，认为混合长度是一个区域性的性质；另一种是Karman的相似性观点，认为混合长度和某一点的局部性质有关。虽然在解决某些特殊问题时结果是相同的，但从概念来看却是完全不同的。从今天的实验结果来看，似乎Prandtl的观点更符合实际一些。 2.2 各向同性湍流的统计理论[1] 从上世纪30年代开始，随着热线风速仪等测量技术的发展，实现了对一点湍流脉动量和不同点上脉动量之间相互关联的测量。不同随机量之间的相互关联是统计学上常用的处理问题的方法，这就产生了湍流的统计理论。这种理论主要研究湍流脉动场的统计规律性和湍流运动的内部微结构。由于要避免平均剪切流动和湍流脉动相互交换能量以及湍流场各向异性和不均匀性等复杂性，G.1.Taylor
在1935年讨论了一个和静止气体分子运动论相当的流动状态，这就是均匀各向同性湍流。他在风洞中网格后面做了大致上和这种流劫状态相当的实验。讨论了湍流的关联函数，他令 4
式中u1为P点脉动速度，u1＇为P点脉动速度，f（r）为纵向关联函数，g（r） 为横向关联函数，λ就是湍流的Taylor微尺度。它得到了湍流衰减定律
并且讨论了扩散等问题。 1938年和T.vonKarman和L.Howarth把笛卡尔张量引入不可压缩流体的均匀各向同性湍流理论，简化了G.L.Taylor的计算，并且得到了二元速度关联和三元速度关联的表达式及它们各自的分量之间的关系式
他们还得到了均匀各向同性湍流的动力学方程式，即通常所说的Karman
-Howarth方程 5
把这个方程式对r展开，取第一项就就得到Taylor的湍流衰变定律。这个方程有两个未知量f和k，两个未知函数只有一个方程，当然不能把f和k都求出来，所以方程是不封闭的。和Reynolds方程一样，这个方程也是不能求解的。这些不封闭性的原因都来源于流体动力学方程的非线性。以后有很多人尝试引入某些假定来封闭这个方程并求解它，但都未能彻底解决这个问题。 1938年G.T.T.aylor引入一维湍谱。他把速度关联用Fourier变换变到波数空间，得到一维湍谱函数Ei（ki）:
他在这方面的开拓性工作最初也获得了实验的证明。到1948年W.heisenberg又把量子力学中常用的三维湍谱引入
式中 由于不可压缩流体的连续性条件，得到 6
和物理空间的Karman-Howarth方程相对应，得到了湍流空间相应的方程 子和 的关系为 式 W.Heisenberg为了求解，用量刚分析方法求出涡旋粘性系数，最后得到的方程为 式中r为一个常数。Bass和Chandrasekhar曾进行求Heisenberg方程。Chandraseklar
求得与时间无关的准确解。这个解在，Reynolds数无穷大时趋近于， E（k）～k-7，这也是Heisenberg最初用近似方程得到的。 2.3 具有剪应力的普通湍流理论 周培源教授在上世纪30年代初期就带领他的学生从事湍流理论研究工作[5]。在30年代末，他认识到Reynolds应力和物体几何形状等边界条件密切相关，要找出Reynolds应力和粘性应力相似不随边界形状改变的应力形变关系式是不可能的。因此他着重寻找Reynolds应力及关联函数所满足的方程[6-8]，希望能在解Reynolds应力的方程时，把边界等影响作为积分常数（也就是初始条件和边界条件）自然地考虑进去。1940年周培源教授从Navier-Stokes方程减去Reynolds方程， 得到速度涨落方程
为Reynolds应力，π为压力涨落。再从速度涨落方程得到Reynolds应力方程 7
及平均的三元涨落数度乘积方程 同样也可以得到相应的二元速度关联和三元速度关联方程，他把四元速度关联用二元速度关联表出并分别给出二元速度关联和三元速度关样及压力速度关联的表达式，就能得到封闭的方程组。对固体壁附近湍流和自由剪切湍流在各自的简化假定下曾得到不少和实验相符合的结果[9]。但这样做存在着关联系数表达式其有一定任意性的困难（这就是不同封闭方案的变形）。而且在电子计算机还没有发展的40 年代要严格求解这样多的方程是不可能的。近年来由于高速电子计算机的产生，很多复杂的计算工作可以通过机器来完成。周培源教授所做的理论研究又被重新提了出来，并受到国际上很大的重视。 2.4 最近的湍流统计理论 2.4.1 E.Hopf理论[10] 1952年以研究遍历理论著名的概率论和数理统计学家E.Hopf根据湍流脉动场的随机性质，引进脉动速度场的分布泛函。然后从Navier-Stokes方程和连续方程，推导得到了一个对特征泛函数为线性的积分微分方程。由于对这个方程求解遇到很大困难，以后一直没有取得什么进展。 2.4.2 R.H.Kraichnan直接相互作用理论 1958年R.H.Kracichnan [11] 把外力作用下的Navier-Stokes方程经过Fourier变