湍流研究简史-温景嵩
湍流的现代实验研究方法
湍流的现代实验研究方法作者：徐斌来源：《沿海企业与科技》2009年第09期[摘要]湍流是一种高度复杂的三维非稳态、带旋转的不规则流动，其复杂性使得其研究工作进展缓慢。
随着现代电子计算机技术和实验测量方法的进展，湍流的实验研究方法取得了重大进展。
文章简要介绍在热能工程领域使用热线热膜风速仪、激光多普勒风速仪、相位多普勒风速仪和粒子图像测速仪等测量技术对湍流进行测量和研究的应用。
[关键词]湍流；实验研究；热能工程[作者简介]徐斌，广东省电力设计研究院，广东广州，510663[中图分类号]TP27[文献标识码]A[文章编号]1007-7723(2009)09-0013-0003一、前言湍流是一种高度复杂的三维非稳态、带旋转的不规则流动，其各种物理参数都随时间与空间随机变化。
从物理结构上说，可把湍流看成是由各种不同尺度的涡旋叠合而成的流动，这些旋涡的大小及旋转轴的方向分布是随机的。
流体内部共尺度涡旋的随机运动构成了湍流的一个重要特点：物理量的脉动。
对湍流的研究已超过一百年了，人们发展出了如统计理论、边界层计算理论等多种湍流基础理论。
但因为湍流物理量的脉动特性，过去通过实验只能测得其时均值，无法测得其脉动值，所以人们至今未能掌握湍流的基本机理。
随着现代电子计算机技术和实验测量方法的进展，湍流的实验研究得到了重大进展。
特别是热线热膜风速仪、激光多普勒风速仪、相位多普勒风速仪和粒子图像测速仪等测量技术的应用，使得测量湍流流动中各物理量的脉动值成为可能。
这些先进的湍流实验研究方法，不仅被用于湍流基础理论研究，也被大量应用在工程领域的湍流流动测量，能更好地解决工程实际问题。
本文简要介绍热线热膜风速仪、激光多普勒风速仪、相位多普勒风速仪和粒子图像测速仪四种湍流实验仪器的原理及其在热能工程领域对于湍流测量和研究的应用。
二、热线热膜风速仪(HWFA)热线或热膜风速仪的敏感元件是一根细金属丝探针或敷于玻璃材料支架上的一层金属薄膜元件。
湍流研究的现状和进展
湍流研究的现状和进展湍流（Turbulence）在自然界中是一种普遍存在的现象，比如水、空气、尤其是太阳系中天体运动活动等，湍流发挥着重要作用。
由于湍流具有复杂的运动性质和多变的影响因素，因此，人们对湍流的研究也不断进行，在这些研究中，湍流已经成为当今物理学领域研究最深入和最规模最大的一个问题。
湍流研究历史悠久，可以追溯至18世纪，早在1783年，英国著名科学家韦伯（Leonard Euler）就提出了湍流流体运动的基本方程，这是开启湍流研究的一大突破，在19世纪末期，爱因斯坦（Albert Einstein）又提出了湍流方程，许多人因此而贡献出宝贵的研究成果。
20世纪初期，由于科学技术的进步，许多湍流理论的发展也得到了一定的突破。
比如在1920年，湍流特性的研究者林奈（L.F. Richardson）提出了一种新的理论，他指出湍流流体的混合过程可以用一个叫做“级数混合”的方法来模拟，而这一理论在过去的90多年里一直是湍流研究的重要参照物。
20世纪40年代，湍流研究又迎来了一次重要突破，即近似动态子网格技术（Dynamic Subgrid Model），它允许人们用计算机来模拟湍流使其变得更易于理解和操作。
此外，由于空间和时间分辨率不断提高，磁摆式技术（Magnetic Momentum Method）也发展出来，它结合了积分方程和分流技术，从而可以模拟更加复杂的湍流。
《孤立圆柱的湍流结构与稳定性》是20世纪50年代湍流研究的一次重要发展。
有关研究者发现，当流体以一定的速度流过一个垂直的圆柱时，湍流的漩涡结构会呈现出特定的稳定态，并且周围的空气流动会影响其稳定性，从而揭示了湍流及其稳定性的本质特性。
20世纪80年代以来，随着大计算机技术的发展，湍流研究进入了一个新的阶段，开展了大规模的实验测量和计算机模拟研究，用实验和计算机模拟研究的结果来检验理论模型。
在近30年的研究中，许多新的湍流理论也得到了发展，比如湍流与风洞、燃烧和内部流动机理等，都有了进一步深入的研究。
走近湍流
第
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张 兆 顺 等 ： 近 揣 流 止
走 近 湍 流
张兆顺 崔 桂香 许 春 晓
Ｉ ０８ Ｏ ０Ａ 华 学 ｌ Ｊ 』 系 湍 流 灾 骢 空 ， 北 京 。
张 兆顺 ， ６ ６岁，清 华 大学教授 、博 士生导 师． １５ ９ ７年上海 交通大学造船 系 毕业， １５ ９ ９年从 清华 大学第一届工程 力学研 究班 毕 业后 ， 留校执教 流体 力 学，先后任助 教、讲师、ａ ｇ ￣ 、教授． １７ 年 以访 问学者 身份赴 英 国南安 ｌ ，ｚ ９９ 普顿 大学航 空航 天系进修， １ ８ ９ ２年英 国南安普 顿 大学应 用科 学院授 予博士 学位 （ ｝Ｄ ． ９０ Ｐ１ ） １８ 年 来，主要从 事湍流结构 的基 础研 究，在湍流 风浪 的生 成、曲壁 湍流特性 、极近 壁湍流 结构和 圆管流 动的转报等方 面有 突出贡献． 曹任 第 ５、第 ６届 中国力学 学会 常务理 事，现任 国际杂志 “ ｌ ， ｕｂ ｌ ｃ Ｆｏ Ｔ ｒｕｅ ｅ ｗ ｎ
动 是 有 旋 流 动 等 ．湍 流 运 动 的最 主 要 特 征 是 不 规 则 性 ，这 是 大 家 公 认 的．
一
，
Ｈｉｚ ［ 等 ），对 于 湍 ｎｅ
流 的 定 义 有 各 种 描 述 ， 以 至 于 Ｈｉｚ ｎ ｅ说无 法 给 湍 流 个 公 认 的 定 义 ．这 种 说 法 表 明 ，人 们 对 于 湍 流 的 认 识 在 深 化 中 ．撇 开 流 体 运 动 的一 般 特 性 ， 比如 ， 流体 运 动 是 非 线 性 耗 散 系 统 ，真 实 流 体 运
根 据 这 种 认 识 ，利 用 控 制 湍 流 结 构 来 控 制 湍 流 取 得 了显 著 的 成 就 ．在 探 索 湍流 的 历 程 中 ，科 学 家
湍流简史
湍流简史精选已有 3889 次阅读2012-9-22 10:40|个人分类:学术探讨|系统分类:科研笔记|关键词:湍流简介湍流理论发展简史：N-S方程的导出：描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程，简称N-S方程。
因1821年由C.-L.-M.-H.纳维（基于分子运动）和1845年由G.G.斯托克斯（基于连续介质假定）分别导出而得名。
后人在此基础上又导出适用于可压缩流体的N-S方程。
N-S方程包含两个假设：第一连续介质假定；第二是所有涉及到的场，全部是可微的假定。
N-S方程和连续方程共同构成了一个闭合的非线性方程组。
该方程组是质量守恒定律和牛顿运动定律在流体力学中的一种应用形式，由于其高度非线性，因此很难求得其解析解。
一般认为无论流体运动多么复杂，方程组都能够描述流体的运动。
湍流的发现：1839年，G.汉根在实验中首次观测到了流动由层流向紊流的转变。
层流向湍流转变的雷诺实验：1883年英国科学家雷诺（Reynolds）通过实验研究并展示了液体在流动中存在两种内部结构完全不同的流态：层流和紊流。
雷诺揭示了重要的流体流动机理，即根据流速的大小,流体有两中不同的形态，并提出了著名的层流向紊流转变的雷诺数（包括分层流动的情况）。
当流体流速较小时，流体质点只沿流动方向作一维的运动，与其周围的流体间无宏观的混合即分层流动这种流动形态称为层流或滞流。
流体流速增大到某个值后，流体质点除流动方向上的流动外，还向其它方向作随机的运动，即存在流体质点的不规则脉动，这种流体形态称为湍流。
并在1885年提出了著名的雷诺平均方法。
湍动能串级过程：1922年Richardson发现湍动能串级过程。
大尺度涡流脉动犹如一个很大的蓄能池，它不断从外界获得能量并输出给小尺度涡能量；小尺度湍流就像一个耗能机械，从大尺度湍流涡输出来的动能在这里全部耗散掉，流体的惯性犹如一个传送机械，把大尺度脉动传给小尺度脉动。
流动的雷诺数越大，蓄能的大尺度和耗能的小尺度之间的惯性区域越大。
中国湍流研究的发展史_中国科学家早期湍流研究的回顾
中国湍流研究的发展史I 中国科学家早期湍流研究的回顾黄永念北京大学力学与工程科学系，湍流与复杂系统国家重点实验室，北京，100871摘要总结了二十世纪三十年代到六十年代中国老一辈科学家（包括物理学家，力学家）周培源、王竹溪、张国藩、林家翘、谢毓章、张守廉、黄授书、胡宁、柏实义、陈善模、庄逢甘、陆祖荫、李政道、蔡树棠、是勋刚、李松年、谈镐生、包亦和等诸位先生的湍流研究工作。
介绍他们对流体力学中最为困难的湍流问题所作出的努力和贡献。
关键词湍流统计理论，能量衰变规律，均匀各向同性湍流，剪切湍流。
引言湍流一直被认为是物理学中最难而又久未解决的基础理论研究的一个课题。
从1883年Reynolds圆管湍流实验研究算起已经跨越了两个世纪，湍流问题仍未得到解决。
在跨入二十一世纪时，很多从事湍流研究工作的科学家都在思考这样的问题：二十世纪的湍流研究留给我们哪些宝贵财富？二十一世纪又应该如何面对这个老大难问题？Yaglom在2000年法国举行的一次湍流讲习班上回顾了二十世纪的湍流理论发展过程[1]，指出了其中两个最重要的成就：一个是Kolmogorov的局部均匀各向同性湍流理论，另一个是von Karman的湍流平均速度的对数分布律。
同时又一次向世人介绍著名科学家Lamb在临终前对解决湍流问题的悲观看法。
由于中国与世界各国在文字和语言上的差异和长期缺乏国际间的交流，历次湍流研究工作的总结和回顾中，人们往往忽略了中国科学家的作用。
只有周培源教授在1995年流体力学年鉴上发表了“中国湍流研究50年”才打破了这种隔阂[2]。
但是这篇文章也只局限于周培源教授率领的北京大学研究组所做的系列研究工作。
实际上有很多中国科学家在上一世纪中做了非常出色的工作。
本文仅就半个世纪前的三十年代到六十年代他们的湍流研究工作做一个简单的介绍，目的是要引起大家关注中国科学家的湍流研究和对湍流研究所做的贡献。
中国科学家的湍流研究工作可以分成两个方面，一是在国内极其困难的条件下坚持开展的研究工作，这方面的工作国际上鲜为人知。
湍流的理论与分析
湍流的理论与分析湍流是一种复杂的流动形式，并且广泛存在于自然界和工程实践中。
对湍流的理论研究和分析不仅有助于深入理解流体现象，还可以为湍流控制和能源利用等方面提供支持。
本文将从湍流的定义、产生机理、湍流统计理论和湍流模拟等方面进行探讨。
一、湍流的定义湍流是指一种相对瞬态的流体运动状态，其中流体的速度和方向发生剧烈变化，造成流体的混合和扰动，呈现出随机不规则的涡动结构。
与层流（稳态流动）相比，湍流的运动特征更加复杂，无法用简单的数学公式描述。
湍流的主要特征为不规则、随机、涡动等。
二、湍流的产生机理湍流的产生机理复杂，其中包括传统的机械湍流、自然湍流、边界层失稳等多种因素。
机械湍流是由于固体物体运动时与周围介质相互作用产生的湍流现象，如风力机翼片和涡轮机叶片的湍流。
自然湍流是由于自然界中各种复杂流动引起的，如河流、海洋和大气的运动等。
边界层失稳是当涡旋从高速的流动区进入低速的流动区时产生的，例如水流从管道进入膨胀段时发生的湍流现象。
三、湍流统计理论湍流统计理论是对湍流运动规律的理论分析，是研究湍流基本性质和湍流现象的一种方法。
湍流统计理论中有两个重要的概念，一个是湍流的集成时间，另一个是湍流脉动，这两个概念分别给出了湍流时间与空间扰动中的统计特征。
其中湍流的集成时间是指机械能向湍流能转化和湍流能转化为机械能时所需的时间因子，而脉动是指在一个给定点的流动路径上，流体参数波动的相对不稳定性。
四、湍流模拟湍流模拟是一种基于数值计算的湍流研究方法，主要有两种方式：直接数值模拟（DNS）和大涡模拟（LES）。
直接数值模拟是对湍流运动的一种高精度的数值计算方法，它通过离散化流动中的微小物理尺度，运用数值方法以求解流场运动方程，得到高精度的湍流场数据。
但DNS需要的计算量庞大，计算成本高昂。
大涡模拟是在保留湍流中大尺度涡旋信息的同时，模拟和模拟所得的速度与涡旋脉动能谱于实验结果的吻合程度。
而LES所需要的计算量较之DNS低，同时保留的流场尺度也比DNS更大，能够得到更加直观的湍流现象展示。
内燃机缸内的流动
∫ lI′ =
∞
g ( x)dx
0
(3-1b)
它相应于普朗特理论中的混合长度，(定义：流体微团从一层跳入另一层，经过一段不与 其它流体微团相碰撞的距离)，可以证明
lI′ = 0.5lI
(3-1c)
与此相似，可定义湍流积分时间尺度
∫ τ I
=
∞
f (t)dt
0
(3-2)
其中f(t)是同一空间点(x0)，不同时间脉动速度的欧拉时间自相关系数
空间相关系数能较好地反映涡团的平均尺度。于是可引入湍流长度积分尺度或简称湍流尺度：
∞
∫ lI = 0 f (x)dx
(3-1a)
-3-
第 3 章 缸内气流运动 式中，f(x)为湍流纵向自相关系数，其定义为
f (x) = u(x0 )u(x0 + x) u2 (x0 ) u2 (x0 + x)
其中， x0 和 x0 + x 分别为 A、B 两点的坐标，u(x)是与两点连线平行的脉动速度分量（图
宋金瓯 内燃机中的流体运动
第三章 缸内气流运动
在内燃机整个工作循环中，缸内气体充量始终进行着极其复杂而又强烈瞬变的湍流流动。 这种湍流运动决定了各种量在缸内的输运及其空间分布，它对可燃混和气形成、火焰传播、 燃烧品质、缸壁传热及污染物形成等都具有直接的、本质的影响。组织良好的缸内空气运动 可以提高汽油机的火焰传播速率、降低燃烧循环变动、适应稀燃和层燃；同样可以提高柴油 机的燃油空气混合速率，提高燃烧速率，促进燃烧过程中空气与未燃燃料的混合（热混合）。 但是，内燃机缸内流动极其复杂，它受到进气状态、工况和燃烧室结构等多种因素制约，因 而不存在对各种发动机都通用的流动规律，甚至不同研究者所得结果不乏相互矛盾之处，这 更加表明了深入研究缸内流动的必要性。
湍流的理论与实验研究
湍流的理论与实验研究湍流是流体力学界公认的难题，被认为是经典物理学中最后一个未被解决的问题。
自然界和工程领域的绝大多数流动都是湍流，因此湍流研究具有重大意义。
近年来，随着实验测量技术和数值模拟能力的不断增强，学术界对高雷诺数和高马赫数湍流有了许多新的认识。
我国科学界也结合国家重大战略需求和学科发展前沿，分析国际上湍流研究的特点、现状和发展趋势，希望对湍流产生机制和流动本质进行深入研讨，加强与航空、航天、航海等相关单位和部门间的沟通与联系，推动湍流研究的发展。
针对国内学科发展现状，尤其是实验研究相对薄弱的特点，国家自然科学基金委员会数理科学部、工程与材料科学部和政策局，于2014年3月20-21日在北京联合举办了第110期双清论坛，论坛主题为“湍流的理论与实验研究”。
来自全国15个单位的近50位流体力学与工程领域的专家学者应邀出席。
与会专家通过充分而深入的研讨，凝练了该领域的重大关键科学问题，探讨了前沿研究方向和科学基金资助战略。
本期特刊登此次论坛学术综述。
一、湍流研究的重要意义自1883年雷诺（Reynolds）发现湍流以来，湍流问题的研究一直困扰着众多学者。
著名物理学家费曼曾说，湍流是经典物理学中最后一个未被解决的难题；2005年《科学》杂志在其创刊125周年公布的125个最具挑战性的科学问题中，其中至少两个问题与湍流相关。
在我们日常生活中，湍流无处不在。
自然界和工程应用中遇到的流动，绝大部分是复杂的湍流问题。
在自然界，从宇宙星系的时空演化，到星球内部的翻滚流动，从大气环流的全球运动，到江河湖泊的区域流动，都有湍流的身影。
在工程领域，从陆地、海洋、空天等交通运载工具，到原子弹、氢弹、导弹、战斗机、舰船等国防武器的设计；从全球气象气候的预报，到地区水利工程的设计；从传统行业如叶轮机械、房桥建筑、油气管道，到新兴行业如能源化工、医疗器械、纳米器件的设计，都需要了解和利用湍流。
因此，湍流流动的研究不仅仅是一个学科发展的问题，更具有重要的工程应用价值。
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湍流研究简史-温景嵩长春实验所发现的湍流不连续性及其对柯尔莫果洛夫理论基础的冲击具有十分重要的意义。
（长春实验是指作者1972年9月在长春郊区采用类似热线风速仪的仪器测量大气湍流的温度脉动，也称温度脉动仪，然后通过频谱分析仪进行各谱段频谱分析。
作者从中发现了湍流不连续性，也称间歇性。
）因为湍流不仅是流体运动中的一个重大的世纪性的前沿课题，不仅它普遍存在于自然界，也普遍地存在于工程界，它是基础科学中一个重大的前沿分支---20世纪下半叶兴起的非线性科学的先驱和归宿。
正由于以上两个原因，所以湍流问题的研究不仅吸引了众多的流体力学家，力学家的兴趣，而且也吸引了众多的数学家，物理学家，大气科学家，甚至包括了众多的工程技术界的专家学者的兴趣，大家都想在这一领域里一显身手。
可以说湍流这一领域真正是“江山如此多娇，引无数英雄竞折腰”。
自1883年英国曼彻斯特大学著名流体力学大师雷诺发表他的现代湍流开创性工作以来，一百二十多年里在湍流领域中已积累起浩如烟海的文献，发表了成百上千种的学说和理论，尽管如此，由于湍流这一课题固有的十分严重的困难，一百二十多年的众多科学家的奋斗结果，真正成功的理论并不多，算起来也就四个。
1. 普朗特的半经验混合长理论第一个是1925年普朗特发表的半经验混合长理论，以及由此而导出的平板平均流速与所在高度的对数成正比的对数分布律。
（冯. 卡尔曼1930，普朗特1933）这个对数分布律已由大量实验所证明。
在工程上有很好的应用，可以用以计算平板表面所受的摩擦阻力，经过推广后，现在还可以用以计算飞船模型表面所受摩擦阻力。
应该承认普朗特的半经验混合长理论解决了工程应用上的一大难题。
后来前苏联学者莫宁（Monin）和奥布霍夫又把它成功地推广到近地面边界层大气风速的分布问题中去，为解决大气物理中的大气扩散等难题开辟了道路。
然而普朗特的混合长理论并不是在工程应用中产生，也不是在大气中应用产生，也不是由实验带出来的结果。
相反，它是在解决湍流这一学科发展中所面对的难题而产生的。
它产生了以后，才有了工程的应用，才有了在大气中的应用，并且也才有了实验的证实。
普朗特的半经验混合长理论是为解决雷诺方程的不闭合难题而创造出。
1895年，也就是雷诺用实验证明湍流发生规律工作后的十二年，同样是由他研制成著名的雷诺方程。
该方程从支配黏性流体运动的基本方程---纳维-斯托克斯方程出发，然后把瞬时流场分解为平均流场和湍流脉动速度流场的和，把这个和式代入到纳维-斯托克斯方程再取平均就形成了雷诺方程，这是一个支配湍流场中平均流场变化的方程，不幸方程不闭合。
因为除了待求的平均流场外，又多了一个未知数，即同一点上湍流脉动速度的两个分量相关矩，它具有应力的量纲，又叫雷诺应力。
它表征了湍流脉动场对平均场的影响，相关矩肯定不为0 ，即雷诺应力不是0。
否则有湍流发生后的平均流场分布规律就应和没有湍流发生时的层流流场规律相同。
而实验已证实，两者确实不同，这就证实湍流场的雷诺应力对平均场确有重要影响。
可惜这是未知的。
于是一个雷诺方程无法同时解出平均场和雷诺应力两个未知数，形成湍流研究中著名的不闭合难题，这个难题是由纳维-斯托克斯的非线性，以及湍流特有的随机性，在对方程求取平均值过程中必然产生。
所以是湍流研究中固有的一个难点。
用同样的雷诺方法，原则上可以求出湍流脉动速度两个分量相关矩的方程，这样方程就多了一个，此时和原来的雷诺方程一起现在有了两个方程，两个未知数，似乎可以闭合，其实不然。
从纳维-斯托克斯方程的非线性特点，可以断定在建立两个分量的二阶相关矩方程时，必然又会增加一个新的未知的三阶相关矩，方程仍然不闭合，依此类推，若建立三阶相关矩方程，则同样还会多出一个未知的四阶相关矩，可以断言，沿着这条路线下去，未知数永远要比方程多一个，方程不可能闭合。
这样下去，湍流问题就无法严格在数学上求解。
雷诺方程建立后又过了三十年，即1925年由普朗特用混合长理论解决了这个难题。
他的解决办法就是用物理模型方法来切断雷诺方程在数学上的不封闭链条，在雷诺方程那里就打住，引入混合长的物理模型，使雷诺方程中的雷诺应力和平均流场的梯度联系起来，从而化解掉未知的雷诺应力，使雷诺方程封闭。
普朗特的混合长物理模型是借助分子运动论中的分子自由路径的物理模型而得来。
在黏性流体运动论中也曾出现过方程不闭合问题，在支配黏性流体运动方程中多了一个分子无规运动速度的两个分量的相关矩，分子运动论则用分子的自由路径物理模型使方程闭合，这一模型认定，当一个分子从某高度出发时它带有这一高度上流场的平均动量，然后在自由路径过程中，此动量维持不变，当自由路径结束时，该分子与另一分子相碰撞，碰撞后就从新的环境中吸取了新环境中的动量，而与新环境中的平均动量一致，根据这一模型，分子运动论就能把原来的分子无规运动和流场的速度梯度联系起来，从而使黏性流体运动方程封闭。
现在，普朗特的混合长理论，则把湍涡认定为分子一样的东西，只不过在分子运动论中的分子自由路径，普朗特用湍涡的混合长来代替。
当一个湍涡从某一高度出发时，它带有那个高度的平均流场的平均动量，然后在混合过程中，此动量也保持不变，当走完一个混合长以后，该湍涡突然与四周新环境混合起来，从新环境中吸取了新的动量，从而使它的动量与新环境中的动量一致，这样普朗特就能把湍涡的湍流无规的脉动速度和平均流场的平均速度梯度联系在一起，从而使雷诺方程闭合。
现在当我们讲普朗特的理论时，会觉得这是一个很简单很容易的事，可当时为走这一步，却花了人们三十年时间。
看来，对基本理论的前进步伐，人们不能过分着急。
事情到此还没有完结，因为此时未知的雷诺应力虽然化解掉了，但又多出一个混合长未知数需要确定其计算的方法。
这是再过了五年之后，到了1930年才由普朗特的学生冯.卡尔曼提出一个相似理论来解决混合长的计算问题，然而这个方法比较复杂，再过三年，到了1933年才由普朗特本人提出一种比较简单，比较直观的方法来确定混合长，就是直接假定湍涡的混合长和距离物体表面的距离成正比，比例系数则由实验确定。
这很容易被接受，距离物体表面越近，则湍涡的活动应该越受限制，混合长应该比较小。
反之混合长确应比较大，正比关系应是最好的一个选择，至于比例系数当然不可能从理论上确定，只可由实验定出来。
这是物理模型方法不可避免地要有的缺点。
不像本书前面几章气溶胶力学部分，那里低雷诺数线性化的流体力学问题，可以严格求解，所以那几章中的系数都是从严格的理论计算出，例如巴切勒单分散阻滞沉降公式中的系数-6.55就是从严格的理论导出。
当然它也需要用实验来检验，但那已是另外的问题了。
普朗特具有深刻的物理洞察力，善于依靠简单的物理直观来解决复杂的数学问题，这里是一个很成功的一个例子。
把普朗特关于混合长的理论应用到一种最简单的平面平板流动，就可得出著名的平均流场的对数分布律，而后来的实验也证实了确实存在这种对数分布律。
且测出那个比例系数是0.4，文献中把它命名为卡尔曼常数。
于是普朗特理论最终得到大家的承认。
这理论叫半经验混合长理论的道理也在这里。
它是否合理，是否可以接受，要靠实验决定。
2. G.I. 泰勒的统计理论和均匀各向同性湍流理论湍流的统计理论奠基人是G.I.泰勒，即巴切勒的老师。
他对混合长的物理模型有看法，他认为分子在两次碰撞之间，在自由路径之内，动量不会发生改变，只有在和另一个分子相撞后动量才会突然改变，这种物理模型可以接受。
但湍涡与分子根本不同，湍涡在运动过程中，与四周湍涡不可能不发生相互作用，而认为只是在走完一个混合长以后，才突然与四周环境混合，这种物理模型，在泰勒严谨的思想里无法接受。
他认为恰恰与之相反，湍涡在运动过程中，会不断与四周湍涡相互作用，因而它所携带的动量就会不断地连续地发生变化。
因此决不可以用混合长的模型来封闭雷诺应力，来使湍流脉动速度的相关矩与平均场梯度联系起来。
1921年泰勒把他这种连续变化的思想应用在湍流扩散问题上，在计算扩散过程中所遇到的，追踪个别湍涡不同时刻的脉动速度相关矩问题上，他排除了混合长的做法，而采取自然的连续变化的假设。
于是在时间间隔小于相关时间时，他得到了扩散物质的弥散度与时间的平方成正比的关系。
在时间间隔远大于相关时间时，他得到了扩散物质的弥散度与时间的一次方成正比的规律。
但中间过程，弥散度如何变化，泰勒并未得到，只是由他当时所得到的结论断言，中间过程的弥散度随时间变化，将逐渐地由扩散时间的两次方关系降低到一次方关系。
第二个在统计理论上做出重要贡献的是1924年凯勒（Keller）和弗里德曼（Friedman）的工作。
他们意图按照雷诺方程的方向，把空间两点湍涡脉动速度相关矩的方程写出来，如果这个相关矩方程可解，那么令两点距离缩短为0，重合成一个点时，这个相关矩就是原来雷诺方程中所多出的雷诺应力，雷诺方程就封闭了。
然而这是一个不成功的工作，其原因之一是我们前面讲的，必然仍会产生不闭合问题。
不仅如此，凯勒和弗里德曼的工作还揭示出湍流研究中第二个严重困难，就是湍流场乃是一个空间三维的向量场，它无法像层流研究中，利用空间某种对称性把三维向量问题化为两维问题，或轴对称问题，湍流不具备空间对称性，它是一个无法简化的三维问题。
于是对这种三维向量，写出其两点二阶相关矩时就成为一个具有9个分量的二阶张量，当写出其两点三阶相关矩时就有18个相互独立分量的三阶张量，两者相加，共有27个分量要求出其解答。
这是一个庞杂的体系，人虽为万物之灵，但面对这个具有27个未知数的方程，仍然束手无策。
凯勒和弗里德曼的工作也只能就此打住，这确是个不成功的工作。
虽然如此，这工作在湍流研究历史上仍具有重要意义，是在浩如烟海的湍流文献中值得一提的重要文献。
因为它发现了湍流研究中第二个需要面对的严重困难--- 三维向量困难，从此人们才会把努力的目标吸引过来，问题才有可能解决。
由于三维问题困难的艰巨性，只是在凯勒和弗里德曼1924年工作之后的十一年，才由泰勒提出了一个解决方案。
1935年泰勒提出在众多湍流中，我们暂时可仅仅研究一种特殊的湍流，即均匀各向同性湍流。
泰勒证明对于这种特殊的湍流，它可化解三维难题，所谓均匀各向同性的湍流，意思是在这种湍流场中，由n个位置向量组成的n点空间构形，当此构形在空间中做平移，旋转，以及镜反射时，它的n点相关矩都不改变。
这种湍流就叫均匀各向同性湍流。
泰勒还证明了对于这种特殊的湍流，连同不可压缩特性在一起，它的空间两点二阶矩中的9个分量就都不是相互独立的，而仅仅决定于一个纵向两点二阶相关矩。
（即两点的速度分别向两点连线做投影后的速度分量相关矩），同时，它的两点三阶相关矩中的18个分量也不是相互独立的，而仅仅决定于一个纵向两点三阶相关矩。
于是未知数一下子从27个简化成2个。