浅谈湍流的认识与发展
湍流原理的应用前景
湍流原理的应用前景1. 湍流原理简介湍流是一种流体运动的状态，它的特点是无规则的、混乱的和不可预测的。
湍流的形成与流体的速度、粘性和几何形状等因素有关。
在自然界和工程领域中，湍流现象广泛存在，并且湍流具有很高的能量耗散和传递效率。
湍流的研究对于许多领域的发展具有重要的意义。
2. 湍流原理的应用领域湍流原理已经在许多领域得到了应用和发展。
以下是一些常见的应用领域：2.1. 工程领域•湍流模拟和预测：湍流模拟是工程领域中的重要研究方向。
通过模拟湍流过程，可以更好地理解流体运动规律，并对工程中的湍流现象进行预测和优化。
•湍流控制：湍流对于许多工程领域来说是有害的，可以导致能量损失和材料破坏。
因此，湍流控制是一项重要的研究方向，目的是减少湍流的能量损耗，并提高系统的性能。
•湍流能量利用：湍流的能量耗散效率很高，因此可以利用湍流动能来驱动某些设备，例如风力发电机和水力发电机等。
2.2. 航空航天领域•湍流模拟和预测：在航空航天领域中，湍流对于飞行器的气动性能和结构强度有着重要影响。
因此，湍流模拟和预测在航空航天领域中是非常重要的工作。
•湍流控制：湍流控制可以改变飞行器表面的流场结构，减少湍流产生的阻力和噪声，提高飞行器的性能和安全性。
2.3. 石油工业•湍流传输：石油、天然气等流体的输送通常发生在长距离和大管径的管道中，这种情况下会产生湍流现象。
对于管道中的湍流现象进行研究和控制，可以提高石油工业的输送效率和安全性。
2.4. 生物医学领域•血流湍流：湍流在心血管系统中是普遍存在的，它对血流的输送和循环具有重要影响。
对于血流湍流的研究可以帮助理解和预防一些心血管疾病的发生。
3. 湍流原理的未来发展湍流原理作为一项重要的研究领域，未来有着广阔的发展前景。
以下是一些可能的发展方向：3.1. 湍流模拟和控制技术的改进随着计算机技术的不断进步，湍流模拟和控制的精度和效率将得到极大的提高。
新的算法和方法将被开发出来，用于更准确地模拟和预测湍流过程，并控制湍流现象。
大气边界层中湍流特征与发展机制分析
大气边界层中湍流特征与发展机制分析大气边界层是地球表面与其上方大气层之间的一个重要区域，具有湍流运动的特征。
湍流在大气边界层中起着至关重要的作用，对于大气的混合、传输和扩散等过程有着重要影响。
因此，分析大气边界层中湍流的特征和发展机制对于理解大气环流和气候变化具有重要意义。
一、湍流特征大气边界层中湍流的特征可以归纳为三个方面：尺度特征、速度分布和湍流强度。
1. 尺度特征：湍流存在不同尺度的涡旋结构。
这些结构包括小尺度的涡旋，如颗粒湍流和微观湍流，以及大尺度的涡旋，如冷锋、暖锋和中尺度风暴。
这些涡旋结构在大气边界层中不断形成和消散，共同维持着湍流交换的平衡。
2. 速度分布：湍流速度在空间和时间上都表现出一定的不规则性。
大气边界层中的湍流速度呈现出高频的变化，即使在相对平静的天气中也会有剧烈的湍流运动。
湍流速度的分布也受到地表粗糙度和大气稳定性等因素的影响。
3. 湍流强度：湍流强度是湍流能量的一种度量，可以表示为湍流能量的密度。
湍流强度在大气边界层中也呈现出不规则的分布，不同地点和时间的湍流强度差异较大。
湍流强度与地表风速的关系密切，风速越大，湍流强度越高。
二、湍流发展机制大气边界层中湍流的发展机制与其宏观环流结构、地表特征和大气稳定度等因素密切相关。
主要的湍流发展机制包括湍流的产生、湍流的传输和湍流的耗散。
1. 湍流的产生：湍流的产生源于大气边界层中的不稳定性过程，如辐射和强制冷却引起的对流等。
这些不稳定性过程使得空气形成上升气流和下沉气流，引发湍流运动。
2. 湍流的传输：湍流在大气边界层中起着传输和混合的重要作用。
湍流运动使得大气中的物质和能量得以快速传输和扩散，从而影响着大气的温度、湿度和污染物的分布。
3. 湍流的耗散：湍流运动在大气边界层中会逐渐耗散。
这是由于湍流产生的能量转化为内能和微观颗粒的动能，同时受到粘性阻力的作用。
湍流的耗散过程对于维持湍流运动的平衡有着关键作用。
三、湍流研究方法为了深入研究大气边界层中湍流的特征和发展机制，科学家们采用了多种研究方法。
流体流动中的湍流现象
流体流动中的湍流现象概述湍流是液体或气体流动中最复杂和最常见的一种现象。
它在自然界中广泛存在，涵盖了从大规模大气环流到微小的涡旋结构的各种尺度的现象。
湍流具有随机性和不可预测性，给流体力学研究和应用带来了巨大的挑战。
湍流的定义和特征湍流是流体流动中发生的一种混乱和复杂的现象。
与层流相比，湍流具有以下几个明显特征：1.随机性：湍流中的速度和压力在空间和时间上具有不规则的变化。
湍流中的速度场是多尺度的，呈现出各种涡旋和旋涡结构。
2.不可预测性：湍流具有极高的敏感性和非线性特性，微小的扰动可能导致流动模式的剧烈变化。
因此，湍流被认为是不可预测的。
3.能量级联：湍流流动中的能量从大尺度向小尺度级联传递。
这种级联过程使得湍流具有广泛的能谱，并且在空间上呈现出多尺度的结构。
4.湍流混合：湍流流动中的物质混合非常强烈。
湍流可以有效地将不同性质的物质混合在一起，从而实现热量和质量的快速传递和均匀分布。
湍流的产生机制湍流的产生机制非常复杂，尚未完全理解。
然而，研究者们已经提出了一些基本的理论和模型来解释湍流的产生过程。
1.外力作用：湍流往往是由外部力作用于流体时引起的。
这些力可以是由物体表面的摩擦、压力梯度或其他形式的扰动引起的。
2.非线性相互作用：湍流是一个非线性的动力学系统。
在湍流中，流体中的不稳定模态通过非线性相互作用产生更高阶的涡旋结构。
3.能量级联：湍流中的能量从大尺度向小尺度传递，通过级联过程将大尺度的能量转化为小尺度的能量。
湍流的数学描述湍流的数学描述是一项极具挑战性的任务。
目前，人们主要使用雷诺平均Navier-Stokes方程组(RANS)、大涡模拟(LES)和直接数值模拟(DNS)等方法来描述湍流现象。
1.RANS模型：RANS模型是湍流研究中的一种常用方法。
该模型通过对湍流均值场进行尺度分解和平均化来获得平均场方程。
然后，通过引入湍流应力的参数化模型来描述湍流效应。
2.LES方法：LES方法是一种介于RANS和DNS之间的方法。
流体的管道湍流和湍流模型
流体的管道湍流和湍流模型湍流是流体在管道内传输时，由于流速、压力等因素产生的不稳定的流动状态。
管道湍流是一种复杂而普遍存在的现象，其研究对于理解流体运动、设计高效的管道系统和优化工程流动具有重要意义。
为了描述管道湍流的特性和行为，研究者发展了各种湍流模型，以便更好地预测和模拟湍流流动。
一、湍流的基本概念和特点湍流流动是指在管道内，流体的速度和压力场具有随机和不规则的变化。
相对于层流流动，湍流流动更加复杂和混乱，包含了许多各向异性的小尺度运动。
湍流流动具有下面几个特点：1. 不规则性：湍流流动的速度和压力场随时间和空间呈现随机的变化和涨落。
湍流是无序的，没有周期性和规律性。
2. 涡旋结构：湍流流动中涡旋是一种重要的结构，涡旋的尺度从大到小层层叠加，形成了复杂的流动结构。
涡旋之间的交互作用导致能量的耗散和转换。
3. 能量耗散：湍流流动存在能量的耗散过程，即流体的机械能逐渐转化为热能，在湍流中能量的转换和传递非常复杂。
4. 湍流相关性：湍流流动中存在湍流之间的相关性，即涡旋的大小和位置受到前一时刻的涡旋的影响，湍流的相关性是湍流模拟和预测的重要考虑因素之一。
二、湍流模型的分类和应用湍流模型是研究湍流流动的重要工具，通过将湍流流动数学化和离散化，模型能够预测湍流流动的平均特性和涡旋结构。
根据不同的应用场景和研究目的，湍流模型可以分为两类：经验湍流模型和基于物理原理的湍流模型。
1. 经验湍流模型：经验湍流模型是基于大量实验数据和统计学方法发展起来的模型，它们通过观测湍流流动的平均特性和涡旋结构，提出了各种统计量和关联式。
经验湍流模型具有简单、高效的特点，适用于工程实践中的湍流模拟和预测。
2. 基于物理原理的湍流模型：基于物理原理的湍流模型是通过对湍流流动的基本方程进行数学建模和求解，利用雷诺平均的动量方程和湍流能量方程描述湍流流动。
这类模型通常需要更复杂的计算和较长的运行时间，适用于对湍流流动进行细致分析和深入研究。
湍流研究的现状和进展
湍流研究的现状和进展湍流（Turbulence）在自然界中是一种普遍存在的现象，比如水、空气、尤其是太阳系中天体运动活动等，湍流发挥着重要作用。
由于湍流具有复杂的运动性质和多变的影响因素，因此，人们对湍流的研究也不断进行，在这些研究中，湍流已经成为当今物理学领域研究最深入和最规模最大的一个问题。
湍流研究历史悠久，可以追溯至18世纪，早在1783年，英国著名科学家韦伯（Leonard Euler）就提出了湍流流体运动的基本方程，这是开启湍流研究的一大突破，在19世纪末期，爱因斯坦（Albert Einstein）又提出了湍流方程，许多人因此而贡献出宝贵的研究成果。
20世纪初期，由于科学技术的进步，许多湍流理论的发展也得到了一定的突破。
比如在1920年，湍流特性的研究者林奈（L.F. Richardson）提出了一种新的理论，他指出湍流流体的混合过程可以用一个叫做“级数混合”的方法来模拟，而这一理论在过去的90多年里一直是湍流研究的重要参照物。
20世纪40年代，湍流研究又迎来了一次重要突破，即近似动态子网格技术（Dynamic Subgrid Model），它允许人们用计算机来模拟湍流使其变得更易于理解和操作。
此外，由于空间和时间分辨率不断提高，磁摆式技术（Magnetic Momentum Method）也发展出来，它结合了积分方程和分流技术，从而可以模拟更加复杂的湍流。
《孤立圆柱的湍流结构与稳定性》是20世纪50年代湍流研究的一次重要发展。
有关研究者发现，当流体以一定的速度流过一个垂直的圆柱时，湍流的漩涡结构会呈现出特定的稳定态，并且周围的空气流动会影响其稳定性，从而揭示了湍流及其稳定性的本质特性。
20世纪80年代以来，随着大计算机技术的发展，湍流研究进入了一个新的阶段，开展了大规模的实验测量和计算机模拟研究，用实验和计算机模拟研究的结果来检验理论模型。
在近30年的研究中，许多新的湍流理论也得到了发展，比如湍流与风洞、燃烧和内部流动机理等，都有了进一步深入的研究。
湍流的理论与分析
湍流的理论与分析湍流是一种复杂的流动形式，并且广泛存在于自然界和工程实践中。
对湍流的理论研究和分析不仅有助于深入理解流体现象，还可以为湍流控制和能源利用等方面提供支持。
本文将从湍流的定义、产生机理、湍流统计理论和湍流模拟等方面进行探讨。
一、湍流的定义湍流是指一种相对瞬态的流体运动状态，其中流体的速度和方向发生剧烈变化，造成流体的混合和扰动，呈现出随机不规则的涡动结构。
与层流（稳态流动）相比，湍流的运动特征更加复杂，无法用简单的数学公式描述。
湍流的主要特征为不规则、随机、涡动等。
二、湍流的产生机理湍流的产生机理复杂，其中包括传统的机械湍流、自然湍流、边界层失稳等多种因素。
机械湍流是由于固体物体运动时与周围介质相互作用产生的湍流现象，如风力机翼片和涡轮机叶片的湍流。
自然湍流是由于自然界中各种复杂流动引起的，如河流、海洋和大气的运动等。
边界层失稳是当涡旋从高速的流动区进入低速的流动区时产生的，例如水流从管道进入膨胀段时发生的湍流现象。
三、湍流统计理论湍流统计理论是对湍流运动规律的理论分析，是研究湍流基本性质和湍流现象的一种方法。
湍流统计理论中有两个重要的概念，一个是湍流的集成时间，另一个是湍流脉动，这两个概念分别给出了湍流时间与空间扰动中的统计特征。
其中湍流的集成时间是指机械能向湍流能转化和湍流能转化为机械能时所需的时间因子，而脉动是指在一个给定点的流动路径上，流体参数波动的相对不稳定性。
四、湍流模拟湍流模拟是一种基于数值计算的湍流研究方法，主要有两种方式：直接数值模拟（DNS）和大涡模拟（LES）。
直接数值模拟是对湍流运动的一种高精度的数值计算方法，它通过离散化流动中的微小物理尺度，运用数值方法以求解流场运动方程，得到高精度的湍流场数据。
但DNS需要的计算量庞大，计算成本高昂。
大涡模拟是在保留湍流中大尺度涡旋信息的同时，模拟和模拟所得的速度与涡旋脉动能谱于实验结果的吻合程度。
而LES所需要的计算量较之DNS低，同时保留的流场尺度也比DNS更大，能够得到更加直观的湍流现象展示。
流体力学中的湍流问题
流体力学中的湍流问题湍流是流体力学中的一个重要问题，在许多自然界和工程领域都有广泛的应用。
本文将从湍流的定义、发展过程、湍流的特征以及湍流模型等方面进行论述。
一、湍流的定义和发展过程湍流是指流体在运动过程中出现的无规则、混乱和不可预测的流动现象。
相对于层流而言，湍流表现出不规则的速度和压力变化，流体粒子的运动路径也显得复杂多样。
湍流的发展过程可分为三个阶段：诱导阶段、展开阶段和稳定阶段。
在诱导阶段，流体的初始扰动逐渐增强，而此时流动还是以层流为主。
随着初始扰动的逐渐增强，流动进入展开阶段，此时局部的层流区域出现湍流现象。
最终，湍流将在整个流场展开，并达到稳定阶段。
二、湍流的特征湍流具有以下几个主要特征：1. 高速度和低速度的不规则变化：湍流中，流体的速度在不同位置和不同时刻都具有不规则的变化。
高速区和低速区相互交替出现，形成流体动力学的混沌状态。
2. 纵向和横向不均匀性：湍流中，流体的速度在流动方向和流动平面上都具有不均匀性。
这种不均匀性导致流体粒子的运动路径难以预测，增加了湍流流动的复杂性。
3. 湍流能量的级联：湍流的能量级联是指湍流在不同尺度上的能量转换。
湍流中，大尺度的涡旋将能量输送给小尺度的涡旋，形成能量级联的过程。
这种级联机制是湍流动力学的重要特性之一。
三、湍流模型为了研究和预测湍流的行为，科学家和工程师开发了各种湍流模型。
湍流模型的目的是通过对湍流统计性质的描述来模拟和预测湍流的运动。
常见的湍流模型包括雷诺平均纳维-斯托克斯方程（RANS）模型、大涡模拟（LES）和直接数值模拟（DNS）等。
RANS模型通过对湍流平均量进行描述，将湍流问题转化为求解均匀流动的问题。
LES模型通过将流场分解为大尺度和小尺度的涡旋，对大尺度涡旋进行直接模拟，对小尺度涡旋使用模型进行参数化。
DNS模型则通过直接求解湍流的全部动力学方程来模拟湍流的行为，但由于计算量巨大，目前只适用于一些简单的湍流问题的研究。
湍流问题科普
湍流问题科普湍流是流体力学中一个复杂而普遍存在的现象，本文将介绍湍流的基本概念、特征、数学描述以及在工程、气象等领域的应用。
通过科普湍流问题，旨在增进读者对湍流的理解，并展示其在实际应用中的重要性。
一、引言湍流是自然界中一种复杂而普遍存在的流动现象。
从河流、大气到各种工程系统，湍流都无处不在。
本文将科普湍流问题，深入浅出地介绍湍流的基本概念、特征和数学描述，以及湍流在不同领域的应用。
二、湍流的基本概念与特征基本概念：湍流是一种无序而混沌的流动状态，其流速、压力和密度等参数呈现高度不规则的波动。
湍流特征：包括三维性、不稳定性、不可预测性和能量耗散等特征。
三、湍流的数学描述雷诺数：是描述流体运动中湍流的一个重要无量纲参数，定义为惯性力和粘性力的比值。
纳维-斯托克斯方程：描述流体的基本运动规律，但由于湍流的复杂性，纳维-斯托克斯方程难以直接解析。
湍流模型：为了模拟湍流，发展了各种湍流模型，如k-ε模型、LES模型等。
四、湍流在不同领域的应用工程领域：在空气动力学、水利工程等领域，湍流的研究对设计高效且稳定的工程系统至关重要。
气象学：大气湍流是天气系统形成和发展的基础，对气象现象的理解和预测有着重要影响。
能源行业：在风能、水能等能源利用中，湍流的研究有助于提高能源转化效率。
五、湍流问题的挑战与研究方向湍流控制：通过改变流动结构，尝试减小湍流的能量耗散，以提高系统效率。
高性能计算：运用高性能计算手段，模拟湍流现象，揭示湍流中的微观结构和相互作用。
六、结论湍流作为流体力学中的一项复杂而普遍存在的现象，其科学研究对多个领域都具有深远的影响。
通过科普湍流问题，希望读者能够更好地理解湍流的基本特征和数学描述，并认识到湍流在实际应用中的广泛重要性。
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浅谈湍流的认识与发展摘要：本文结合流体力学课程的学习以及对湍流相关书籍的阅读，阐述个人对湍流运动的发展、特点、性质的理解。
湍流作为“经典物理学最后的疑团”，人们不断地进行探索，建立湍流模型对其进行研究理论分析。
近年来，对于湍流这一不规则运动，人们提出了并且倾向于应用混沌理论进行分析，并取得了一些成果。
对湍流的认识在不断深入。
关键字：湍流概念湍流性质湍流强度模型建立混沌理论在流体力学的学习过程中, 湍流一度被称为“经典物理学最后的疑团”，我对湍流这一流体的状态极其相关的力学性质进行了更深入的了解与学习，结合课堂上老师的讲解以及课后对相关参考文献的阅读理解，在此我想浅谈一下这一阶段我对湍流的学习与认识。
从湍流的定义出发，初识湍流，湍流是流体的一种流动状态。
对于流体，大家都知道，当流速很小时，流体分层流动，互不混合，称为层流，也称为稳流或片流；逐渐增加流速，流体的流线开始出现波浪状的摆动，摆动的频率及振幅随流速的增加而增加，此种流况称为过渡流；当流速增加到很大时，流线不再清楚可辨，流场中有许多小漩涡，层流被破坏。
这时的流体作不规则运动，有垂直于流管轴线方向的分速度产生，这种运动称为湍流。
流体作湍流时，阻力大流量小，能量耗损增加。
能量耗损E与速度的关系为△ E= kv2（k是比例系数，它与管道的形状、大小以及管道的材料有关。
v是平均流速）。
所有流体都存在湍流现象。
我们可以用雷诺数的范围量化湍流。
在直径为d的直管中，若流体的平均流速为v，由流体运动粘度v组成的雷诺数有一个临界值（大约为2300～2800），若Re小于该范围则流动是层流，在这种情况下，一旦发生小的随机扰动，随着时间的增长这扰动会逐渐衰减下去；若Re大于该范围，层流就不可能存在了，一旦有小扰动，扰动会增长而转变成湍流。
雷诺在1883年用玻璃管做试验，区别出发生层流或湍流的条件。
把试验的流体染色，可以看到染上颜色的质点在层流时都走直线。
当雷诺数超过临界值时，可以看到质点有随机性的混合，在对时间和空间来说都有脉动时，这便是湍流。
不用统计、概率论的方法引进某种量的平均值就难于描述这一流动。
除直管中湍流外还有多种多样各具特点的湍流，虽经大量实验和理论研究，但至今对湍流尚未建立起一套统一而完整的理论。
在流体力学实验中，雷诺实验等也给了我们很深的印象，在计算分析实验数据中我们也能够对层流以及湍流有数学量化上的认识。
对于湍流的整体理解，湍流是有结果的不规则多尺度流动，在我阅读的关于湍流知识的书籍中，对于湍流的定义有各种描述，以至于Hinze 说无法给湍流一个公认得定义。
这说明，人们对于湍流的认识在深化中，湍流最主要的特征是不规则性。
层流过渡为湍流必须具备两个条件：（1）旋涡的形成（2）形成后的旋涡脱离原来的流层或流束进入附近的流层或流束。
只有符合上述两条，才能说流动已变为湍流了。
在多数情况下，剪切流中的扰动会逐渐增长，使流动失去稳定性而形成湍流斑，扰动继续增强，最后导致湍流。
这一类湍流称为剪切湍流。
两平板间的流体受下板面加热或由上板面冷却达到一定程度，也会形成流态失稳，猝发许多小尺度的对流；上下板间的温差继续加大，就会形成充分发展的湍流。
这一类湍流称热湍流或对流湍流。
剪切流中湍流的发生情况更为复杂。
实验发现，平滑剪切流向湍流过渡常会伴有突然发生的、作奇特波状运动的湍流斑或称过渡斑。
可以设想，许多逐渐形成的过渡斑，由于一再出现的新的突然扰动而互相作用和衰减，使混乱得以维持。
把过渡斑作为一种孤立的非线性波动现象来研究，有可能对湍流过渡现象取得较深刻的理解。
层流从宏观上来说是一种有规则的流体流动，即流体的质点是有规则地层层向下游流动；而湍流则是杂乱无章地在各个方向上以大小不同的流速运动，流体的质点强烈的混合，但总的或平均的流动方向还是向前的。
流体质点的这种不规则运动，使得其除在主流方向运动之外还存在各个方向的附加脉动。
因此，质点的脉动是湍流的最基本的特点。
湍流的另一特点是在与流动方向垂直的方向上，流体的速度分布较层流均匀，而在管壁附近，其速度梯度又较层流时陡峭。
针对流速而言可将湍流中任何一个质点的速度向量分解为如下两个部分：一个是时均速度分量，或称为平均速度分量，它不随时间变化。
另一个是脉动速度分量，它在时均速度分量的上下波动着。
时均速度与瞬时速度之间的关系为： 从统计学的观点看，某一点的脉动速度随时间的变化可作为湍动程度的一种θθθd u u x x ⎰=01衡量，脉动速度与平均速度的比值可视为该点流体质点的湍动强度。
考虑到 可正可负，故取其平均根值。
这一方根脉动速度与时均速度的比值即表示湍动强度。
对于N －S 方程和连续性方程均可适用于湍流，但是由于其中的 的复杂性，使得实际上几乎不可能应用这两个方程来解决湍流问题。
为此，雷诺以时均量和脉动量之和来代替方程中原来的瞬时量，并对方程两侧各项取时均值的方法导出可以应用于湍流的运动方程，这个方法称为雷诺转换，所导出的方程称雷诺方程。
如导出的连续性方程为：x 方向的N —S 方程：显然该方程较原来的N －S 方程多出了几项。
为附加的时均应力。
称为雷诺应力，是湍流中所有的。
对于湍流运动的复杂性，至今不能很好的确定的总结出其运动规律，在湍流理论的发展过程中，人们提出了许多湍流模型。
并加以实验以及理论分析，对湍流运动在一定程度上给予了解释。
20世纪初叶，在Reynolds 统计理论的框架下，人们只用简单的湍流模型来解释简单的湍流运动，目前，虽然没有普适的湍流模型可以预测所有复杂的湍流，但是有经验的湍流模式专家可以根据复杂湍流的性质提出使用的模型。
近50年来，对于湍流本质的认识愈来愈深入，最突出的是，()2'2'2'2'31z y x u u u u ++=0=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u z y x ()()()''''2'2x z x z zx x y y x yx x x xx x u u u u z u u u u y u u x u ρρτρρτρρτρθρ--∂∂+--∂∂+--∂∂+X =∂∂人们认识到湍流是有结构的不规则运动。
根据这种认识，利用控制湍流结构来控制湍流取得了显著的成就。
目前常用的湍流模型有：零方程模型：C-S模型，由Cebeci-Smith给出；B-L模型，由Baldwin-Lomax给出。
一方程模型：来源由两种，一种从经验和量纲分析出发，针对简单流动逐步发展起来，如Spalart-Allmaras(S-A)模型；另一种由二方程模型简化而来，如Baldwin-Barth(B-B)模型。
二方程模型：应用比较广泛的两方程模型有Jones与Launder提出的标准k-e模型，以及k-omega 模型。
当然，模型的建立以及适用性都有一定的局限性，然而在湍流运动研究的过程中，混沌理论的提出似乎成为了能够完美解释湍流运动现象的理论。
湍流是混沌的、随机的、无序的不可预测的系统，湍流中流体轨道行为的随机性及其复杂规律的刻划与描述一直是科学研究上的难题，湍流一度被称为“经典物理学最后的疑团”。
湍流之所以如此难解，究其原因在于运用传统的数学方法，即线性的方法和观点去研究湍流这样的强非线性问题，无法取得突破性的进展。
而混沌理论在处理非线性问题方面具有明显的优越性，因此近年来它们在湍流研究中越来越被关注。
湍流是一种典型的分形现象，其Kolmogorov图像就是大涡套小涡、小涡中再套更小的涡，这一嵌套结构显然是一种自相似结构。
间隙、湍流斑这些拟序结构也表现出统计意义上的自相似性。
对于湍流的分形特征，一种解释是流体中的涡管在运动中不断地拉伸和折叠，涡管不能在流动中消失，只能回避式的折叠。
与分子随机运动一样，涡管全部填满空间的可能性为零，呈不均匀分布，从而形成分形结构。
湍流的理论分形模型主要集中在间歇模型和湍流扩散上。
继Richardson在1922年提出完全发展湍流由不同尺度的涡构成的思想后，Kolmogorov在1941年为完全发展湍流的理论研究提出了一系列重要概念，如能谱惯性子区的存在和-5/3次幂定律，形成了K41理论。
这个理论的核心之一是在惯性子区存在标度律。
Kolmogorov认为，这个标度律是普适性的，与大尺度脉动运动的统计特征、黏性耗散和流动环境无关。
但间隙性的存在暴露了K41理论的缺陷，因此,Kolmogorov和Obukhov等在1962年提出了修正自相似假设的K62理论。
在湍流发生和混沌的交叉研究领域中,已经取得了很多成果，开始认为湍流发生过程是流动由层流状态到达充分发展的湍流状态的混沌过程，普遍的观点是：混沌与湍流有一定的关系，但终究不是一回事。
人们研究了Couetter-Taylor流动中关于奇怪吸引子的问题，并得到结论：尽管流动可能是非周期的，但确是确定的，正如混沌一样。
人们研究了管道流动的间歇中湍流的发生机理，证明与初始随机扰动的性质有关,并指出以分叉和混沌的观点来研究转捩具有一定的物理意义。
人们也就管流中的“猝发”现象进行了类似研究。
人们对平板边界层中湍流的发生与混沌动力学之间的联系进行了分析。
混沌的理论分析困难较大，在湍流中都是针对一些具体问题提出的。
作者认为其原因一方面是由于湍流实验专家还对试验中所观察到的现象是否真正的混沌意见并未统一，另一方面是混沌现象的实验研究还很困难。
重要的是，混沌机理并未完全探明而是刚刚起步，用混沌模拟湍流，或者说，研究湍流中的混沌现象，还处于积累时期，但混沌理论中许多新的思想和新的方法的确可以使我们不依赖于方程也能研究湍流的动力学行为。
以法国科学家Temam 为首的里昂学派证明二维的N-S 方程的解在时间演化过程中会被逐渐吸收到一个有限维的吸收集中，并证明这系统有有限维的整体吸引子。
引入惯性流形的概念，奇怪吸引子就是被嵌入到这种光滑的流形中。
惯性流形的存在标志着奇怪吸引子的存在。
Temam 认为，从物理学观点来看，惯性流形就是把湍流中小涡和大涡联系起来的一种相互作用规律。
三维的N-S 方程 21()u u u f P v u t ρ∂+•=-+∂ 对所有的t ，使方程的解u(x ，t)都无界的点x 的集合，维数最多为112(分数维)。
人们认为，用B-K-dV 方程描述一维湍流，意义深刻，进一步分析指出B-K-dV方程10x xx xxx u uu vu u β+-+=含有三种因子：非线性、耗散和色散。
非线性可以使能量集中，也是产生混沌的重要因素。
耗散对应着熵增，它使过程具有不可逆性，色散使能量可聚可散。
非线性、耗散、色散三因子的互相作用可以解释湍流的许多性状。
如能量级串散裂是耗散作用占主导地位，小涡形成大涡的能量逆转现象则是非线性和色散共同作用的结果。