湍流理论若干问题研究进展
湍流的研究进展论文
湍流的研究进展丁立新（青岛科技大学）摘要本文重点就湍流的理论研究进展作一阐述，从湍流的相干结构、表征及发展由来,到上世纪末湍流研究进展的雷诺方程，本世纪湍流的统计理论和半经验理论发展，湍流的模式理论，湍流的高级数值模拟分别论述，并为主要的工程应用做简要的介绍。
关键词湍流理论研究工程应用Research process of turbulenceDinglixinQingdao University of Science & technologyAbstract This article focuses on the turbulence of research process as elaborated. From coherent structure of turbulence, characterization and development of turbulence to Reynolds equation about research process of turbulence on the end of the century，the development of semi—empirical theory and statistical theory of turbulence of this century，mode theory of turbulence, advanced numerical simulation of turbulence. Finally，brief description of turbulence industrial applications is suggested.Keywords Turbulence, Theoretical research of turbulence, Engineering applications湍流是自然界和工程中最常出现的流动形态，湍流的出现将使动量、质量、能量的输送速率极大地加快,一方面造成能量消耗加快，污染物加快扩散等严重消极后果，另一方面也起到加快化学反应速度，提高热交换速率等积极作用，因此湍流的研究发展和突破将会在国防和经济方面起到重要的作用.湍流主要研究两个方面的内容，一是揭示湍流产生的原因,二是研究已经形成的湍流运动的规律，以便解决工程实际问题。
湍流的研究进展
湍流的研究进展***1（1.****大学，** ** ******）摘要：本文对湍流研究的进展上的一些突出实践做了简要介绍，对于解决湍流的理论依据上的发展，湍流的试验方法，以及近几年来，随着计算机技术的高速发展，湍流的数据处理上更是高速发展。
关键词：湍流；研究；理论依据；试验方法；计算机Research progress of turbulence******（1.** university of **，** **，******）Abstract：The turbulence research progress on some of the prominent practice is briefly introduced in this article. For solving turbulent theory basis of development. The test method of turbulence. And in recent years, with the rapid development of computer technology，turbulent data processing is more rapid development。
Keywords：turbulence；Research；theory evidence；experimental method；Computer1 引言包括已故诺贝尔奖获得者Feynman在内的好几位物理学家认为，湍流是经典物理学中尚未得到解决的一个大难题，对于湍流的研究进展，可以导致许多实际工程及科学应用的进步。
例如，可以减少飞机飞行师气流湍动的影响，提高飞机的机动性，提高发动机的燃料效率（参见Moin and Kim，1997）[1]。
半个多世纪前，Kolmogorov（1941）[2]提出了现在著名的表镀铝和假设它们代表了我们了解湍流性质的重要的里程碑。
流体力学中的湍流边界层理论与实验研究
流体力学中的湍流边界层理论与实验研究湍流边界层是流体力学中一个重要的研究领域，它涉及到流体在管道、河流、飞机机翼等表面上的流动机制。
湍流边界层的理论和实验研究对于解决工程中的湍流流动问题，提高流体的输送效率，降低能量损失具有重要的实际应用价值。
在本文中，我们将从湍流边界层的理论基础和实验研究方法两个方面来进行讨论。
一、湍流边界层的理论基础湍流边界层的研究始于19世纪末，当时人们对于纳维-斯托克斯方程的解析解进行研究，发现在一定条件下，流体在边界层内表现出湍流现象。
随后，人们提出了湍流边界层的理论模型，试图描述湍流边界层的形态和运动规律。
其中最经典的理论模型是普拉斯特契克湍流模型和抛物型方程模型。
普拉斯特契克湍流模型是基于冲击动力学理论提出的，它将湍流边界层的运动视为一系列固定参数的二维振荡量，通过分析这些振荡量的湍流动力学特征，得出了湍流边界层的平均速度和湍流能量的表达式。
普拉斯特契克湍流模型的提出，为湍流边界层的理论研究提供了重要的参考。
抛物型方程模型是湍流边界层研究的又一重要成果，它采用了数学上的偏微分方程来描述湍流边界层的运动规律。
通过求解这些偏微分方程，人们可以得到湍流边界层的速度、梯度和流动的涡旋结构等信息，为湍流边界层的实际应用提供了重要的理论依据。
二、湍流边界层的实验研究方法湍流边界层的实验研究是湍流边界层研究的重要组成部分，它通过实验仪器和测量手段来获取湍流边界层的宏观和微观参数，验证理论模型的准确性，探究湍流边界层的运动机制。
目前，湍流边界层的实验研究主要包括以下几个方面：1. 测量技术：湍流边界层的测量需要较高的精度和灵敏度，因此需要采用先进的测量技术。
常用的湍流边界层测量技术包括激光多普勒测速仪、热线和冷线测速技术、压力传感器等。
2. 模型设计：湍流边界层的实验研究通常需要设计相应的模型和装置。
这些模型和装置的设计应能够模拟真实流动情况，保证实验结果的准确性和可靠性。
3. 数据处理：湍流边界层的实验数据通常需要进行复杂的数据处理和分析。
湍流研究的现状和进展
湍流研究的现状和进展
湍流研究是一个广泛的领域，其中有许多不同的话题，需要不同的测量、数值建模和理论研究。
近年来，由于现代计算技术的进步，以及先进的测量设备的出现，湍流研究的发展取得了巨大的进展。
首先，科学家们开发出更为精细的流场数据，提高了对于湍流流场中流动结构的认识，例如，现在可以观测到湍流中的微小力矩和能量分布，并通过数值模拟得出更为详细的解释。
其次，科学家提出了一系列新的数值模型，更深入地探讨湍流的细节，以更合理地描述湍流的结构和性质。
结合传统的经验方法，这些数值模型使得对湍流的模拟更加准确，并且可以用于多种应用领域，例如自由混沌运动模拟、叶片流动计算、空气动力学分析、重力和磁场力分析等。
此外，近年来，学者们开发出了一系列新的控制策略，以改善湍流的流动性能。
这些策略的准备方法涉及精细的数值模拟，基于大量的实验测量数据，有效地改进湍流流场的特性，从而提高流体动力学的效率。
总的来说，近年来，湍流研究的发展取得了巨大的进展。
精细的数据和模型，以及新的控制策略，有助于更好地认识和控制湍流流场，进一步提高流体动力学性能。
湍流的研究进展作业论文
湍流的研究进展xxx（xxxxxxxxxxxxxxx，xx，000000）摘要：本文对近几十年有关湍流的研究进展做了简单总结，介绍了有关湍流的各种理论，展示了多位科学家对于湍流的研究成果。
并对湍流的研究和发展提出相关建议。
关键词:流体力学，湍流，湍流模式，湍流方程，湍流结构The research progress of turbulencexxxxxxxx(Qingdao University of Science and Technology Institute of Chemical,QingDao,266000) Abstract：In this paper, in recent decades the turbulence research progress made simple summary. This paper introduces all kinds of the turbulence theory, and shows many scientists for turbulence research results.At the same time, it give some related suggestions for the research and development of the turbulance.Keywords：Fluid mechanics, turbulence, turbulence model, turbulence equation, turbulent structure前言：湍流是流体的一种流动状态。
当流速很小时，流体分层流动，互不混合，称为层流；逐渐增加流速，流体的流线开始出现波浪状的摆动，摆动的频率及振幅随流速的增加而增加，此种流况称为过渡流；当流速增加到很大时，流线不再清楚可辨，流场中有许多小漩涡，层流被破坏，相邻流层间不但有滑动，还有混合。
高速流体力学中的湍流现象研究
高速流体力学中的湍流现象研究湍流是流体力学中一个复杂而普遍存在的现象，广泛应用于各个领域，包括工程、天气、海洋、环境等等。
在高速流体力学中，湍流现象对流动的影响尤为明显，研究湍流现象可以帮助我们更好地理解流体在高速流动中的行为，并设计出更有效的工程解决方案。
本文将探讨高速流体力学中的湍流现象及其研究进展。
首先，让我们来了解一下湍流的基本概念。
湍流是指在流体运动时，流速和压力等物理量的瞬时变化存在随机性和不规则性的流动状态。
相比于层流，湍流流动的速度变化更加剧烈，流动方向也更加混乱。
湍流的产生可以归因于流体运动中的惯性力和黏性力之间的相互作用。
当惯性力占主导作用时，流体会形成湍流。
在高速流体力学中，湍流现象的研究具有重要的理论和实际意义。
一方面，高速流动中的湍流现象不仅会增加能量损耗，还会导致流体中的压力和温度等物理量分布不均匀，影响流体运动的稳定性。
另一方面，湍流现象还可能引起水力或气动设备的振荡和噪声，对设备的寿命和性能造成负面影响。
因此，深入研究高速流体中的湍流现象，可以帮助我们更好地优化工程设计、提高能源利用效率和减少环境污染。
在湍流现象的研究中，数值模拟和实验是两种常用的方法。
数值模拟通过在计算机上建立湍流的数学模型，模拟流体的流动过程，可以提供湍流现象的详细信息和流场分布。
然而，数值模拟也有其局限性，比如计算所需的时间和计算资源较大，对初始和边界条件的准确性要求高等等。
因此，为了验证数值模拟结果的准确性，实验研究也是不可或缺的。
实验可以通过在实际装置或模型上测量流动参数和观察流动行为，来获取湍流的实际数据。
过去几十年来，湍流现象的研究取得了显著进展。
通过理论分析、数值模拟和实验研究，我们对湍流的理解逐渐深入。
在高速流体力学中，湍流现象的研究主要关注以下几个方面：首先，湍流传输的研究。
湍流传输是指在湍流流动中，质量、动量、能量和物质等的传输过程。
湍流传输的研究对于工业和环境领域的流体传输和能量转换有重要意义。
湍流研究的现状和进展
湍流研究的现状和进展湍流（Turbulence）在自然界中是一种普遍存在的现象，比如水、空气、尤其是太阳系中天体运动活动等，湍流发挥着重要作用。
由于湍流具有复杂的运动性质和多变的影响因素，因此，人们对湍流的研究也不断进行，在这些研究中，湍流已经成为当今物理学领域研究最深入和最规模最大的一个问题。
湍流研究历史悠久，可以追溯至18世纪，早在1783年，英国著名科学家韦伯（Leonard Euler）就提出了湍流流体运动的基本方程，这是开启湍流研究的一大突破，在19世纪末期，爱因斯坦（Albert Einstein）又提出了湍流方程，许多人因此而贡献出宝贵的研究成果。
20世纪初期，由于科学技术的进步，许多湍流理论的发展也得到了一定的突破。
比如在1920年，湍流特性的研究者林奈（L.F. Richardson）提出了一种新的理论，他指出湍流流体的混合过程可以用一个叫做“级数混合”的方法来模拟，而这一理论在过去的90多年里一直是湍流研究的重要参照物。
20世纪40年代，湍流研究又迎来了一次重要突破，即近似动态子网格技术（Dynamic Subgrid Model），它允许人们用计算机来模拟湍流使其变得更易于理解和操作。
此外，由于空间和时间分辨率不断提高，磁摆式技术（Magnetic Momentum Method）也发展出来，它结合了积分方程和分流技术，从而可以模拟更加复杂的湍流。
《孤立圆柱的湍流结构与稳定性》是20世纪50年代湍流研究的一次重要发展。
有关研究者发现，当流体以一定的速度流过一个垂直的圆柱时，湍流的漩涡结构会呈现出特定的稳定态，并且周围的空气流动会影响其稳定性，从而揭示了湍流及其稳定性的本质特性。
20世纪80年代以来，随着大计算机技术的发展，湍流研究进入了一个新的阶段，开展了大规模的实验测量和计算机模拟研究，用实验和计算机模拟研究的结果来检验理论模型。
在近30年的研究中，许多新的湍流理论也得到了发展，比如湍流与风洞、燃烧和内部流动机理等，都有了进一步深入的研究。
湍流研究的现状和进展
湍流研究的现状和进展近几年来，随着生物，计算和流体力学等多学科技术的发展，湍流的研究受到了高度关注。
湍流研究的重要性在于，它不仅可以帮助我们理解气象现象和宇宙中的环境系统，还可以提高航空航天技术和车辆设计的质量。
因此，湍流研究已经成为制定科学政策以及解决大规模复杂问题的重要工具。
随着计算技术和仿真技术的进步，湍流领域的技术也在发展。
例如，利用高精度的计算机模拟技术，将流体操作模式转换为数字模型，从而实现了对湍流的精确研究。
同时，研究人员也开发了用于湍流数据分析的新方法，以更好地理解流体动力学。
研究还发现，湍流的结构比原来想象的更复杂，而小尺度的湍流动力学研究也发现了一些新的有趣特性。
此外，在湍流流体力学研究中，重要的发现之一是，湍流是一种非线性系统。
这表明，尽管它们的基本特征可以有效地利用线性理论描述，但它们之间的复杂相互作用却无法用线性模型表示。
因此，更多的研究工作聚焦于开发新的非线性研究方法，以更好地理解湍流，以及更精确地模拟它们。
有了这些新技术和研究方法，科学家们也正在尝试控制湍流。
例如，研究人员发现，湍流中的激波可以通过控制流体运动或应用内部结构（例如涡轮）来改善。
此外，在航空升力技术研究中，离散吸收和涡激波发生等技术也得到了广泛的应用。
这些技术的实际应用可以显著改善飞行性能和运行稳定性。
除了控制湍流外，研究人员还致力于开发新的流体力学模型，以准确地模拟湍流的特性。
例如，提出的Lattice Boltzmann模型及其改进版本可以进一步提高湍流建模的精确性，特别是在计算机辅助设计方面，该模型具有更高的精度和更多的实用价值。
总之，湍流在现代科学研究中发挥着重要作用。
随着计算技术和仿真技术的发展，湍流研究取得了一定的进展，其重要性也得到了越来越多的认可，而这些改进也开辟了可以更准确地模拟和控制湍流的新方向。
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第15卷第4期水利水电科技进展1995年8月湍流理论若干问题研究进展刘兆存 金忠青(河海大学 南京 210098)摘要 本文对近年来湍流理论在某些方面的研究进展作了概要介绍,对拟序结构发现后人们对湍流内部结构的新认识和近年来发展很快的从微分方程分析角度出发对湍流机理新的探索进行了评价,说明引入混沌后在时、空演化方面对湍流机理的模拟,最后阐述了流动稳定性和层流向湍流的转捩。
关键词 湍流 N-S方程 流动结构 流动机理 封闭性 近年来,在围绕湍流结构和统计两条主线的研究工作中出现了新观点和新趋势,虽然从历史的观点来看有些可能是错的——在科学容忍的范围内,但在现阶段却是研究的主流。
1 简要回顾及发展1.1 半经验理论和模式理论湍流的控制方程是N-S方程,但和层流相比,方程不封闭。
为满足工程需要,发展了一系列的以普朗特混合长理论为代表的湍流半经验理论或早期模式理论。
这种理论虽然对于增进对湍流机理的了解没有提供更多的贡献,但对解决工程实际问题却起了重大的作用[1]。
半经验理论是一种唯像理论,并不涉及湍流内部机理。
以速度分布公式为例,半经验理论的速度分布公式大致有对数型和指数型。
对数型速度分布得到的假定是充分发展的剪切湍流中主流区(不含边界层的)的流速梯度和分子粘性无关,指数型(或渐近指数型)则假定分子粘性不能忽略[2],两种类型的流速分布公式在工程实践中都获得了非常广泛的应用。
半经验理论的一个发展方向是吸收统计理论的成果,用统计理论的精细成果丰富半经验理论不足并保留便于应用的优点,如文[3]所作的工作。
近代的模式理论在封闭湍流基本方程组时特别吸收了统计理论的成果,如二方程模型、应力通量代数模型、应力通量方程模型等。
关于这方面的详细论述,将另文给出。
1.2 统计理论湍流的统计理论的目标则是从最基本的物理守恒定律——N-S方程和连续性方程出发,探讨湍流的机理。
理查逊-柯尔莫哥洛夫湍流图像部分被实验所证实。
统计理论中湍流的能量传递关系被更符合实际的U. Fr isch等所提出的B-模型所代替。
湍流统计理论历时半个多世纪的发展,经泰勒、陶森德等人的努力,取得丰硕的成果,但仍不能绕过封闭性的困难,所得成果都还是很不完善的。
湍流统计理论的重要性目前已有所下降[1]。
我国周培源等提出了均匀各向同性湍流的准相似性条件以及相应均匀各向同性湍流的涡旋结构统计理论并得到实验的验证[4],进一步将在均匀各向同性湍流中得到的准相似性条件推广到一般的剪切湍流中,然后对关联方程的耗散项作出假定,利用逐级近似方法发展了湍流的统计理论[5],所得结果部分经实验证实。
文[6]采用逐级迭代法对湍流平均运动方程和脉动速度关联方程·12·进行求解,解决了以往求高阶脉动关联函数时须联立求解一系列不同阶脉动速度关联方程所带来的方程不封闭性。
统计理论由研究均匀各向同性湍流到研究一般的剪切湍流是一个巨大的进步,但这种探索毕竟刚刚起步,有些困难目前还难以克服。
虽然用统计理论方法封闭湍流方程组似乎难似登天,但统计学派所得的成果和所用的方法对后来湍流的研究有深远的影响。
2 湍流的描述2.1 N-S方程的层次结构[7～10]湍流直接数值模拟的一个重要观点是N-S方程完整地描述了湍流,它提供了湍流运动的一切信息。
然而完整的N-S方程的数学分析相当困难,可以从物理分析出发,按流场中长度尺度分布、惯性项和粘性项的相对大小及数量级比较和划分流动区域的原则进行简化。
虽然简化结果有十多种层次结构,然而从数学特征而言只有椭圆型、扩散抛物化和抛物化三类,并可给出每型的数学特征,且提出了流场的三层结构的简化的数学模型和力学特征,按不同精度要求,得出一个简化系统。
由简单的边界层方程逐渐到完整的N-S方程,为从N-S方程分析湍流提供了依据。
2.2 湍流机理的模拟以法国科学家T mam为首的里昂学派证明二维的N-S方程的解在时间演化过程中会被逐渐吸收到一个有限维的吸收集中,并证明这系统有有限维的整体吸引子。
引入惯性流形的概念,奇怪吸引子就是被嵌入到这种光滑的流形中。
惯性流形的存在标志着奇怪吸引子的存在。
T mam表示,从物理学观点来看,惯性流形就是把湍流中小涡和大涡联系起来的一种相互作用规律。
三维的N-S方程5u5t+(uõý)u=f-1Qýp+Mý2u(1)对所有的t,使方程(1)的解u(x,t)都无界的点x的集合,维数最多为112(分数维)。
湍流中的涡输运系数,即布西涅斯克方程中的M t,可采用非平衡态统计物理方法加以理论确定[11]。
模式理论中的二方程模型中的k-E模型中的系数可用重整化群RNG方法加以理论确定。
这说明用RNG方法研究湍流时,确实揭示了湍流的部分物理实质[12]。
有趣的是用RNG方法得到的对柯尔莫哥洛夫的5/3定律的偏移,最终值为7/3,出现这种情况的原因有待查明。
近来人们认识到偏微分方程的解只在有限时间内存在一类奇异性的问题。
在物理世界中,如湍流中的猝发现象、涡管的瞬时断裂和重联均在有限的时间内完成。
偏微分方程解的规则性和奇异性及其演化过程中空间结构和分布特性与湍流演变机制有某种对应性。
从物理上看,偏微分方程对应的动力系统的极限状态代表现实世界的不同的相(状态)。
在用微分方程表达的牛顿运动定律中,牛顿定律制约因素关系所满足的偏微分方程中,本身就蕴含了这种性态。
为解释湍流的相干结构现象,人们把研究重点转向有序的时空结构上,特别是有关空间结构的图像动力学上(pattern dynamics)。
这种空间图像具有时间演化的某种动态过程。
湍流本身内部结构可用图像方程模拟[13]。
分维动力学揭示了无序系统被长期忽略的通性,即在充分无序系统中能量的传播以波粒二重性取代了有序系统在粘弹性网络中的周期波传播。
最大的区别在于能量激发的当地性及能量传播的滞后性。
刘式适等人认为,用B-kdv方程描述一·13·维湍流其意义是深刻的,进一步分析指出[14～16],B-kdv方程u t+uu x-M u x x+B u xxx=0(2)含有三种因素:非线性、耗散和色散。
非线性可以使能量集中,也是产生混沌的重要因素。
耗散对应着熵增,它使过程具有不可逆性。
色散使能量可聚可散。
非线性、耗散、色散三种因子的互相作用可以解释湍流的许多性状。
如能量级串散裂是耗散作用占主导地位,小涡形成大涡的能量逆转现象则是非线性和色散共同作用的结果。
采用非线性、耗散和色散相互作用的机制,可以解释湍流的许多现象。
至于湍流中是否确实含有这三种因子及其作用规律,有待实验进一步证实。
人们对三维的N-S方程的数学特性还不是很清楚。
Landau和Lifshitz等认为,湍流的随机性主要是因为N-S方程的吸引子的结果。
直接从N-S方程出发在定解条件下解析地分析湍流目前条件还不成熟。
2.3 湍流和混沌拟序(或相干)结构对认识湍流的重要性愈来愈受到人们的关注。
如剪切湍流的扩散和发展,不仅仅是小尺度随机扩散的结果,更主要是由大尺度拟序结构的相干干涉、卷并造成的。
数值模拟发现,对充分发展的湍流仍有涡管状的拟序结构,但还没有被实验证实。
湍流并非是一个真正的随机系统。
湍流的数学描述是一个无穷维的动力系统,是无穷维的混沌。
混沌理论告诉我们,在确定性的非线性动力系统中可以同时存在规则的有序结构和不规则的混沌状态,而且它们有时往往是相互交织在一起不可分割的,都是受系统本身的同一种非线性规律支配,在没有系统外部任何影响时也会出现。
湍流是典型的耗散系统,它通往混沌的道路除倍周期迭加和间隙外,还有其它途径。
Frisch等认为,湍流间隙可用强度变化的一些特定项表示,这些项包含于有分数维的内波集上。
间隙、湍流斑这些拟序结构表现出统计意义上的自相似性。
分形理论指出,简单图形的变换会形成和原始图形性质截然不同的结果并表现出两者之间的自相似性。
分形在湍流中有广泛的应用[17],随机分形的生长能类比于湍流的拟序结构,这要用计算机来模拟,Frisch等作了大量的工作,但远不能模拟出真实的湍流来。
耗散系统的奇怪吸引子对初始条件有非常敏感的依赖性,且它的功率谱是一个宽谱,表明系统中已被激发出无穷多个特征频率。
湍流系统中存在马蹄,马蹄的存在意味着双曲不动点的存在,意即存在不稳定流形。
此外耗散系统中的奇怪吸引子有非常奇特的拓扑结构和几何结构——具有无穷多层次的自相似结构的为非整数几何维数的一个集合。
简单耗散系统中的逻辑斯梯阶映射显现的混沌呈现出规则有时是无序的倒分叉现象、窗口现象和间隙现象的特征。
采用计算机模拟混沌时首先要构造模型,如CML模型[18],对湍流而言,更有用的是CCM模型¹混沌的理论分析困难较大,在湍流中都是针对一些具体问题作出的。
这一方面是由于湍流实验专家还对实验中所观察到的现象是否是真正的混沌意见并未统一,另一方面对认为是混沌现象的实验研究还很困难。
重要的是,混沌机理并未完全探明而是刚刚起步。
用混沌模拟湍流,或者说,研究湍流中的混沌现象,还处于积累经验的时期。
有人乐观估计,混沌理论的重大突破性进展可导致湍流问题的根本性解决。
2.4 流动稳定性流动稳定性虽然有广泛的应用于工程技术的价值,但仍主要是探索层流向湍流转捩·14·¹何国威等.模拟流动复杂性的耦合映射.见:第四届全国湍流与流动稳定性学术会议论文集,南京,1994的机理。
具体作法是在原流动中叠加一扰动,判别扰动随时空的演化,据以说明稳定和不稳定性。
当为不稳定性时找到失稳的临界雷诺数和其它控制参数。
对于平行流的稳定性分析主要采用线性理论和非线性理论。
在非线性理论中若设扰动是二维的,又可分为朗道法、能量法、形状假定理论、弱非线性理论、分叉理论。
如果设扰动是三维的,又可分为二次失稳理论、共振三波理论、一般共振理论、直接共振理论。
具体应用分叉理论时要处理的问题主要有:¹找出对应于分叉点的临界参数值;º找出该参数值在临界值附近的分叉解;»判明新分叉解的稳定性。
常见的分叉主要有:¹对称鞍结点分叉;º鞍结点分叉;»跨临界分叉;¼滞后分叉;½Hopf分叉;¾周期倍分叉;¿同宿或异宿分叉。
在用计算机计算时问题转化为:¹如何实现对解曲线的追踪;º怎样判断与搜索奇异点;»计算分叉点处的分叉方向,实现对分叉后解曲线的追踪。
上述表述可以采用矢量场、流形的几何观点,把非线性代数方程组的解流形与相应矢量场的不变流形联系起来,叙述可简洁明了。
稳定性理论成功的一个例子是解释湍流边界层底层低速条纹产生的机理。
和实验相当吻合。
在湍流控制中,稳定性理论获得了非常广泛的应用。