勾 股 数 序 列

勾股数序列

山东定陶一中刘述省

序言

两千多年前，中国人和希腊人发现了勾股定理，当是数学史上的伟大创举。ａ＝２ｍｎ，ｂ＝ｍ²－ｎ²，ｃ＝ｍ²＋ｎ²则是近代中国人在数论领域的又一重大成就，它将勾股数的一般求法表述得如此简捷。然而迄今为止，未见一个具体详细的勾股数序列表。这是因为，用现代数学家的眼光来看，找素勾股数是一件很困难的事，更不用说全部勾股数的序列表了。

2002年，本人找到了一种极其初等的方法。初中学生即可做，可以将所有勾股数按照一定的顺序一个不漏地列出来，制作成表。（当然，由于勾股数的无限多，

只能列出一定范围内的）。此成果获得中国管理科学研究院颁发的中国新时期人文科学优秀成果一等奖。

学校有了自己的网站，给我们广大师生建立了互相交流的平台。自己多年的一点点积累，也很想与大家一起交流学习。下面的正文力图深入浅出，另有勾股数序列表一并附上。并指望有一天，看到有高手通过编程法打印出可观的勾股数序列表，学生人手一册。真正让勾股定理走进普通人之中。

正文

先找素勾股数，即勾a，股b，弦c三数互质（无公约数）的勾股数。故约定：a＜b＜c . a² + b² = c²且a b c 互质。因ａ² = (c－ｂ) (ｃ＋ｂ) ,突破口选在

ｃ－ｂ上。并记满足ｃ－ｂ＝ｋ的素勾股数为d k 勾股数。（论文在后面将d k勾股数的倍数形成的勾股数叫做d k倍勾股数）

以下将按照k的取值从小到大依次探求结论。

k＝１时，a²＝ｋ（ｂ＋ｃ）＝ｂ＋ｃ＝２ｂ＋１．知a是大于1的奇数。设a = 2m +1，则b = (a²－１) / 2 , c＝ｂ＋１．m依次从1开始取值，即得到d1

素勾股数序列如下：

a b c 说明：1. a列从上到下依次多2 ，b列从上到下依次多加4 .

3 4 5

5 12 13 2. 各列个位数五个数一循环。

7 24 25

9 40 41 3. 拟人法比喻，c为姐，b为弟，a 为妹。可编口诀如下：

11 60 61

13 84 85 妹妹方一方，姐弟和相当；

15 112 113

17 144 145 姐大弟一年，三人勾股弦。

19 180 181

.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

ｋ＝２时，ａ²＝２（ｂ＋ｃ）＝２（２ｂ＋２）＝４（ｂ＋１）．设ａ＝２ｍ，则ｂ＝ｍ²－１，ｃ＝ｂ＋２．得出通项公式后，还要注意考虑两点。第一，

要保证a b c 互质。这里a 已经确定是偶数，b 就不能再是偶数，所以知m 是偶数。第二，要保证b ＞a 。这里换算为m²—1 ＞2m 。得到m ＞1+2。

以上两点结合起来，就确定了m 的取值。m为大于等于4的偶数。m从4开始依次取偶数，即得到d2素勾股数序列如下：

a b c

8 15 17 说明：1. a列从上到下依次多4 , b列从上

到下依次多加8.

12 35 37

16 63 65 2. 各列个位数五个数一循环。

20 99 101

24 143 145 3. b 比m ²少1 ，c 比m ²多1 .

28 195 197

32 255 257

36 323 325

40 399 401

.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

k =3时，d3素勾股数不存在。因为如果k=3，则a b c 有公约数3. 推导如下：若a² = 3（2b+3），则a中有3因子，设a =3m，则b =（3m²－３）/2, b 中

也有3因子，c = b + 3 自然也有3因子。于是a b c 有公约数3. 于之前的约定a b c 是素勾股数相矛盾，故知d3 素勾股数不存在

仿照上面的方法很容易推导出，k取4，5，6，7时，相应的d4，d5，d6，d7素勾股数均不存在。

k = 8时, a ² = 8 (2 b + 8) = 16 (b + 4) . 设a = 4 m , 则b = m²－４，ｃ＝ｂ＋８.仍然注意考虑两点：第一，保证ａｂｃ互质，知ｍ为奇数．第二，保证ｂ＞ａ，即解ｍ²－４＞４ｍ，得ｍ＞２（１＋2）．所以ｍ从5开

始依次取奇数，就得到ｄ８素勾股数序列如下：

ａｂｃ

20 21 29 说明：1. a 列从上到下依次多8 ，b 列从上到下依次多加8 .

28 45 53

36 77 85 2. 各列个位数五个数一循环。

44 117 125

52 165 173 3. b 比m ²少4 ，c 比m ²多4 .

60 221 229

68 285 293

76 357 365

84 437 445

.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

k＝９时，ａ²＝９（２ｂ＋９）．设ａ＝３ｍ，ｂ＝（ｍ²－９）／２，ｃ＝ｂ＋９.仍要考虑两点：第一，保证ａｂｃ互质。即b中不含3因子且b是正整数，故知m为奇数且不含3因子。第二，保证b＞a ，即解m²－９

＞６ｍ．得ｍ＞３（１＋2）．所以ｍ依次取大于等于９的奇数同时还要去掉３的倍数．就得

到d9素勾股数序列如下: ａｂｃ

33 56 65 说明：1. a列从上到下本来应该依次多6，由于隔两行去掉了m是3的倍数那一行，

39 80 89 所以依次多6，12，6，12 。。。。。。b列的规律也因此而变。

57 176 185

69 260 269 2. 各列个位数五个数一循环也随之而变。

75 308 317

87 416 425 3. b 的2倍 比 m ² 少9 ，c 的2 倍比 m ² 多 9 .

93 476 485 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

由于k 取10，11，12，13，14，15，16，17均不能保证a b c 的互质性，所以d10一直到d17素勾股数都不存在。推导方法与d3的推导方法类似，不再 赘述。

k =18时，读者可以自己推导d18素勾股数的通项公式了吧？a ＝6ｍ，ｂ＝ｍ²－９，ｃ＝ｂ＋１８.其中ｍ从８开始取不含３因子的偶数。

ｋ从１9到24.又不存在相应的素勾股数序列了。

至此，本文最关键的问题已经显现，首先需要解决k 的取值要求，以确保dk 素勾股数存在；其次要解决dk 素勾股数的一般求法。

定理1 当k 中含有偶数个偶素数因子时，dk 素勾股数不存在。

证明：设k ＝n

22ｍ . (m 中不含2因子, n 为正整数)， 则由ａ²＝ｋ（２ｂ＋ｋ）＝n

22ｍ（２ｂ＋n

22

ｍ），设ａ＝n

2ｔ，ｔ²＝２ｍ（ｂ＋1

22

-n ｍ）。

知t 为偶数，再设ｔ＝２ｓ，ｓ²＝ｍ（ｂ／２＋－２

n 22

ｍ）．从而知b 也必须是偶数。c 是偶数。a b c 不互质。

故dk 素勾股数不存在。

定理2 当k 中含有奇数个某奇素数因子时，dk 素勾股数不存在。

证明：设ｋ＝ ２ｎ－１

ｐ

ｍ ．（ｍ中不含ｐ因子，ｐ是奇素数，ｎ为正整数），则由a²＝ｋ（２ｂ＋ｋ）＝２ｎ－１

ｐ

ｍ（２ｂ＋２ｎ－１

ｐ

ｍ），可设ａ＝ｎ

ｐｔ

得到 ｔ²＝ｍ（２ｂ＋２ｎ－１

ｐ

ｍ）／ｐ，从而b 中含有p 因子，a b c 有公因子p . 不互质, 故dk 素勾股数不

存在.

以上两个定理说明了：k 可以取1，另外k 只能取2的奇数次方，取3，5，7，11等奇素数的偶次方，以及它们之间的乘积。

在不超过200的k 的可取值共有17个。它们是1，2，8，9，18，25，32，49，50，72，81，98，121，128，162，169，200.

再表述的具体严谨些：k 的取值中若有2因子，只能有奇数个2因子；若有奇素数因子，只能有偶数个某奇

素数因子。例如3

2，2

5，2

3*2，2

4

3

5*3*2.

由于k=1时通项已经给出 ，下面分三种具体情况给出知k 的值如何求dk 素勾股数的公式。 第一种情况：k ＝1

22

-n （n 为正整数）时，由a² = k (2b + k) = 1

22

-n （2b+1

22

-n ）=n 22 （b +2

22

-n ），可设 a

= n

2 m ，则 b = m ² － 2

22-n ，ｃ＝ｂ＋ｋ＝ｂ＋1

22

-n ．公式已经给出,在具体取值中要注意两点：第一，要

保证ａｂｃ互质，因为a 是偶数，而b 与c 同奇偶，故要求b 不能为偶数，即m ² － 2

22

-n

不能为偶数。可知 n = 1 时，m 取偶数。n ＞1 时，m 取奇数。第二，要保证b ＞ a ，即m ² － 2

22-n ＞n

2 m ，

解得 m ＞1

n 2

-（1 +

2）.