福建省福州八县一中2020-2021学年高二上学期期中考试数学(理)试题
C．32 n mile/hD．36 n mile/h
11．等差数列{an}中， ， ,且 ， 为其前n项之和，则使 的最大正整数 是（ ）
A．198B．199C．200D．201
12． 中，三个内角 的对边分别为 ，若 成等差数列，且 ，则 （ ）
3．对于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 取值范围( )
A． B． C． D．
4．设 ，给出下列三个结论：① ；② ；③ ．其中所有的正确结论的序号是 ( )
A．①③B．①②C．②③D．①②③
5．若变量x，y满足约束条件 则z＝2x＋y的最大值为( )
A．0B．5C．-3D．-2
6．已知等比数列{an}的前n项和 ，则r=( )
（2）求 的值．
18．设函数 ，其中 ．
(1)若不等式 的解集为 ，求实数 值．
(2)当 时，解关于x的不等式 ．
19．已知数列 是等比数列， ， 是 和 的等差中项.
(1)求数列 的前n项和 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
20．如图，已知圆内接四边形ABCD中，AB=3,AD=2,∠BCD=1200．
(2)k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min.
4．B
【解析】
【分析】
由题意逐一分析所给的说法是否正确即可.
【详解】
逐一分析所给的不等式：
由于 ，故 ，结合 可得 ，说法①正确；
由于 ，故幂函数 在区间 上单调递减，结合 可得 ，说法②正确；
由于 ，故 ，
对数函数 单调递减，故 ，说法③错误.
综上可得：所有的正确结论的序号是①②.
联立直线方程： ，可得点的坐标为： ，
据此可知目标函数的最大值为： .
本题选择B选项.
【点睛】
求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
福建省福州八县一中2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．不等式 的解集为（）
A． B．
C． D．
2．在 中，若 ，则角A是（ ）
A．钝角B．直角C．锐角D．不能确定
【详解】
由 结合正弦定理可得： ，则
结合余弦定理有： ，故∠C为钝角，则角A是锐角.
本题选择C选项.
【点睛】
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
6．A
【解析】
【分析】
由题意结合等比数列前n项和公式的特点求解r的值即可.
3．D
【解析】
【分析】
分类讨论 和 两种情况确定实数k的取值范围即可.
【详解】
当 时，不等式即 ，该不等式不恒成立，
当 时，满足题意时应该有： ，求解不等式可得： ，
综上可得，实数 取值范围是 .
本题选择D选项.
【点睛】
对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；
本题选择B选项.
【点睛】
本题主要考查不等式的性质，对数函数的单调性，幂函数的单调性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．B
【解析】
【分析】
首先绘制可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.
【详解】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最大值，
参考答案
1．C
【分析】
由题意求解二次不等式的解集即可.
【详解】
一元二次方程 的根为 ，
据此可得：不等式 的解集为 .
本题选择C选项.
【点睛】
本题主要考查二次不等式的解法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．C
【解析】
【分析】
首先利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理确定∠A的大小即可.
16．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.记此数列为 ，则 ___________________．
三、解答题
17．在△ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中，角 所对的边分别为 ，已知 ， ， ．
（1）求 的值；
(1)求线段BD的长与圆的面积．
(2)求四边形ABCD的周长的最大值．
21．闽越水镇是闽侯县打造闽都水乡文化特色小镇核心区，该小镇有一块1800平方米的矩形地块，开发商准备在中间挖出三个矩形池塘养闽侯特色金鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植柳树，形成柳中观鱼特色景观．假设池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为 平方米．
A． B． C． D．
7．已知满足条件 ， ， 的 的个数有两个，则x的取值范围是 ()
A． B． C． D．
8．设 是等差数列.下列结论中正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
9．等比数列 的各项均为正数，且 ，则 （ ）
A．60B．50C．40D．20+log25
10．如图，一艘船上午10：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午11：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距9 n mile,则此船的航速是（ ）
A． B． C．2D．
二、填空题
13．公差为2的等差数列 中， 成等比数列，则 的前 项和为__________.
14．在 中内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，面积为 ，且 ，则 的值为________.
15．设 ，若关于 的不等式 在 恒成立，则 的取值范围为_______________________.
(1)试用 表示a及 ；
(2)当 取何值时，才能使得 最大？并求出 的最大值．
22．定义 为 个正数 的“均倒数”．已知正项数列 的前 项的“均倒数”为 ．
（1）求数列 的通项公式．
（2）设数列 的前 项和为 ，若 < 对一切 恒成立，求实数 的取值范围．
（3）令 ，问：是否存在正整数 使得 对一切 恒成立，如存在,求出 值；如不存在，说明理由．
2020-2021学年福建省福州市八县(市)一中高二上学期期中联考数学试题 Word版
福州市八县（市）一中2020-2021学年高二上学期期中联考数学 科试卷命题学校： 永泰一中 命题教师： 叶长春 审核教师： 张华伟 张慧敏考试时间：11月12日 完卷时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 某单位有业务员和管理人员构成的职工160人，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为20的样本，若样本中管理人员有7人，则该单位的职工中业务员有多少人（ ） A. 32人 B. 56人 C. 104人 D. 112人2. 袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立．．．．．．的两事件是（ ） A. 至少有一个白球；全部都是红球 B. 至少有一个白球；至少有一个红球 C. 恰有一个白球；恰有一个红球 D. 恰有一个白球；全部都是红球3. 阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ,2F 在x 轴上，椭圆C 的面积为23π，且离心率为12，则C 的标准方程为（ ） A. 22143x y += B. 22112x y += C. 22134x y +=D. 221163x y += 4. 在区间]21,21[-上任取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为( ) A ．12 B ．2 C ．23D ．22 5. 永泰县全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据 图中的数据可得该椭圆的离心率为( )A.25B.35C.235D.2556. 已知双曲线C ：22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)，斜率为1的直线l 与双曲线C 交于不同的,A B 两点，且线段AB 的中点为P (2,4)，则双曲线的渐近线方程为（ ）A.2y x =±B. 12y x =±C. 2y x =±D. 22y x =± 7. 第七届世界军运会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行.某电视台在19日至24日六天中共有7场直播（如下表所示），张三打算选取其中的三场观看.则观看的任意两场直播中间至少间隔一天（如第一场19日观看直播则20日不能观看直播）的概率是（ ） 日期 19日 20日21日22日23日 24日 时间全天全天 上午 下午 全天全天全天内容 飞行比赛 击剑 射击 游泳 篮球 定向越野 障碍跑A ．358 B ．356 C ．71 D ．354 8. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点12,F F ，,P Q 分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且2=60QF P ∠︒，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221231e e +等于( )A ．4B ．2 3C ．2D ．3二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，漏选得3分，错选得0分.）9.某校对甲、乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩（单位：分）用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲、乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有（ ）A.甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分.B.甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散．C.甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数.D.甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数. 10.下列说法中错误．．的是（ ） A .“8m =”是“椭圆2214x y m +=的离心率为22”的充要条件B .设,x y ∈R ，命题“若220x y +≠，则0xy ≠”是真命题；C .“42k -<<”是“方程2214+2x y k k+=-表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件D.命题“若3x =，则2430x x -+=”的否命题是真命题11. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据如右表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为ˆ 6.3 6.8yx =+,下列说法正确的是（ ）x2 3 4 5 6 y1925★ 3844A. 看不清的数据★的值为34B. 回归直线ˆ 6.3 6.8yx =+必经过样本点（4，★） C.回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨 D.据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的离心率为5，抛物线245y x =的准线过双曲线的左焦点，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是 （ ）A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2xB ．双曲线C 的方程为2214x y -= C ．1k 2k 为定值14D ．存在点P ，使得1k ＋2k ＝2 第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.某印刷厂的工人师傅为了了解112个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印张进行检查，为此先对112个印章进行编号为：01,02,03,,112，已知抽取的印张中最小的两个编号为05,13，则抽取的印张中最大的编号为_______．14. 已知命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+≤”是真命题，则a 的取值范围为____________. 15.如图所示，抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需要用一支柱支撑，则其中最长的支柱的长度为____________米. 16. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A （2,4），过点F 的动直线l 与抛物线交于,M N 不同的两点，点M 在y 轴上的射影为点B ，设直线KM KN ,的斜率分别为1k 和2k .则MA MB +的最小值为_____________，12k k +的值为_____________.（第一空3分，第二空2分）四、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知命题p ：对于任意x R ∈，不等式()244210x m x --+>恒成立．命题q ：实数m 满足的方程221(0)2m x m a ay a +=>--表示双曲线； （1）当2a =时，若“p 或q ”为真，求实数m 的取值范围.（2）若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．18. （本小题满分12分） 已知双曲线C，点()在双曲线上，且抛物线22y px =（0p >）的焦点F 与双曲线的一个焦点重合. （1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过焦点F 作一条直线l 交抛物线于A ，B 两点，当直线lAB 的长度.19．（本小题满分12分）小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔在某周的周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x 元和销售量y 支之间的数据如下表所示：（1）根据表格中的数据，求出y 关于x 的回归直线方程；（2）请由（1）所得的回归直线方程预测销售量为18支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为0.56元，为达到日利润（日销售量×单支售价—日销售量×单支进价）最大，在（1）的前提下应该如何定价？（其中：回归直线方程a bx y+=ˆ,1221ni ii nii x y nx yb xnx ==-=-∑∑，5167i ii x y==∑，52116.6i i x ==∑）20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左右焦点分别为12F F ,，焦距为2，且经过点Q 212-（，）.直线l 过右焦点且不平行于坐标轴，l 与椭圆C 有两个不同的交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（1）点P 在椭圆C 上，求12PF PF ⋅的取值范围；（2）证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；21．（本小题满分12分）为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高二年段学生的生物成绩进行赋分，具体方案如下：A 等级，排名等级占比7%，分数区间是83-100；B 等级，排名等级占比33%，分数区间是71-82；C 等级，排名等级占比40%，分数区间是59-70；D 等级，排名等级占比15%，分数区间是41-58；E 等级，排名等级占比5%，分数区间是30-40；现从全年段的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： （1）求图中 a 的值；（2）以样本估计总体的办法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C 等级及以上（含C 等级）？（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40,50) 和[50,60)内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取 2 人进行调查分析，求这 2 人中至少一人原始成绩在[40,50)内的概率.22．（本小题满分12分）如图所示，已知圆16)1(:221=++y x F 上有一动点Q ，点2F 的坐标为)0,1(，四边形R F QF 21为平行四边形，线段R F 1的垂直平分线交R F 2于点P ，设点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点2F 的直线l 与曲线C 有两个不同的交点,A B ，问是否存在实数λ，使得2222AF BF AF BF λ+=⋅成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由.2020-2021学年第一学期八县（市）一中期中联考高二数学参考答案一、单项选择题（每小题5分，共40分）1-5：C D A D B 6-8:C B A 二、多项选择题（每小题5分，共20分）9.AC 10.ABD 11.AD 12.BCD 三、填空题（每小题5分，共20分）13、109 14、1][3,)-∞-⋃+∞（， 15、9625(可写成3.84) 161，0 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17、解：（1）若命题p 为真命题，则216(2)160m ∆=--<，解得 13m <<…1分 当2a =时，命题q ：24m << ……………………………………………………2分 因为 p 或q 为真，所以p 真或q 真 …………………………………………………3分 所以：13m <<或24m <<得：14m << ………………………………………5分 （2）若命题q 为真命题，则2a m a <<……………………………………………6分 因为⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件………………7分所以：123a a ≥⎧⎨≤⎩得：312a ≤≤ ………………………………………………………9分经检验符合，所以a 的取值范围为：3[1,]2………………………………………10分18、解：（1）设双曲线的方程为22221x y a b-=（0a >，0b >），由题设c a =1分所以b a =①，又点()在双曲线上，所以221211a b -=② ………………2分 由①②解得29a =，23b = …………………………………………………………3分故双曲线标准方程为22193x y -=；…………………………………………………4分设双曲线的焦距为2c ，因为22212c a b =+=，得c =，所以抛物线焦点为()F ，即2pp =⇒=………………………5分所以抛物线的标准方程为2y = ………………………………………………6分（2）设直线y x =-交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y ，联立2y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得23360x -+= …………………………………8分则120043360∆=-⨯⨯>故12x x += 由抛物线定义知12p AF x =+，22pBF x =+……………………………………10分所以12AB x x p =++=+=……………………………………12分 19、解：（1）因为1(1.4 1.6 1.82 2.2) 1.85x =++++=……………………………1分 1(1311763)85y =++++= …………………………………………………………2分所以51522215675 1.88==12.516.65 1.85i ii ii x y x yb xx ==--⨯⨯=--⨯-∑∑ …………………………………4分则8(12.5) 1.830.5a y bx =-=--⨯=………………………………………………5分所以，回归直线方程为ˆ12.530.5yx =-+ …………………………………………6分 （2）当18y =时，1812.530.5x =-+，得1x = …………………………………8分 假设日利润为)L x （，则：)(0.56)(30.512.5)L x x x =--（，0.56 2.44x <<…10分当=1.5x 元时，有max)L x （。
2020年11月福建省福州市八县(市)一中高二上学期期中联考数学试题参考答案
13、109
14、（ ，1][3, )
15、 96 (可写成 3.84) 25
Байду номын сангаас
16、 17 1，0
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
17、解：（1）若命题 p 为真命题，则 16(m 2)2 16 0 ，解得 1 m 3 …1 分
当 a 2 时，命题 q ： 2 m 4 ……………………………………………………2 分
所以 a 0.030 ；……………………………………………………………………3 分
（2）由已知等级达到 C 及以上所占排名等级占比为 7%+33%+40%=80%………4 分
假设原始分不少于 x 分可以达到赋分后的 C 等级及以上，则有：
2
设点
P（x,
y)
，则 PF1 PF2 =（1 x, y)（ 1
x, y)
x2
1
y2
x2
11
x2 2
x2 2
……5
分
因为 x [ 2, 2] ，所以 PF1 PF2 的取值范围为：[0,1] …………………………6 分
（2）设直线 l 的方程为 y k x 1 ( k 0 )
因为 p 或 q 为真，所以 p 真或 q 真 …………………………………………………3 分
所以：1 m 3 或 2 m 4 得：1 m 4 ………………………………………5 分
（2）若命题 q 为真命题，则 a m 2a ……………………………………………6 分
因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 q 是 p 的充分不必要条件………………7 分
8
数学试题
【精品】学2020年福建省福州市八县(市)一中联考高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
2017学年福建省福州市八县（市）一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）n﹣12．（5分）已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135°B．45°C．135°或45°D．60°3．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b4．（5分）已知点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜﹣2，或a＞7 B．﹣2＜a＜7 C．﹣7＜a＜2 D．a=﹣2，或a=75．（5分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）6．（5分）设等比数列{a n}的前n项和记为S n，若S4=2，S8=6，则S12等于（）A．8 B．10 C．12 D．147．（5分）如图，在限速为90km/h的公路AB旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为80m，距测速区终点B的距离为50m，且∠APB=60°．现测得某辆汽车从A点行驶到B 点所用的时间为3s，则此车的速度介于（）A．16～19m/s B．19～22m/s C．22～25m/s D．25～28m/s8．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，且4sinA=3sinB则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．钝角三角形9．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元10．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=5，S5=15，则数列的前2016项和为（）A．B．C．D．11．（5分）在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．12．（5分）等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知△ABC中，AC=，AB=2，∠B=60°，则BC=．14．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且a2，a4+2，a5成等差数列，记S n是数列{a n}的前n项和，则S5=．15．（5分）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为．16．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，若（n∈N+）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{C n}是首项为2，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{C n}是“和等比数列”，则d=．三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD的长；（2）求∠ADC的度数．18．（12分）连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．20．（12分）已知f（x）=ax2+x﹣a．a∈R（1）若不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求a，b的值；（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列（要指出首项、公比）；（2）若c n=nb n，求数列{c n}的前n项和T n．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，点（n，S n）恒在函数y=x 的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记T n=，若对于一切的正整数n，总有T n≤m成立，求实数m的取值范围；（3）设K n为数列{b n}的前n项和，其中b n=2an，问是否存在正整数n，t，使成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由．2017学年福建省福州市八县（市）一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）n﹣1【解答】解：由已知中数列，…可得数列各项的绝对值是一个以为首项，以公比的等比数列又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，故数列，…的一个通项公式为（﹣1）n﹣1故选：C．2．（5分）已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135°B．45°C．135°或45°D．60°【解答】解：a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，a＜b A＜B=60°A=45°故选：B．3．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b【解答】解：对于A，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a=此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选：C．4．（5分）已知点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜﹣2，或a＞7 B．﹣2＜a＜7 C．﹣7＜a＜2 D．a=﹣2，或a=7【解答】解：∵点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，∴（2+a）（﹣1﹣6+a）＜0，即：（a+2）（a﹣7）＜0，解得﹣2＜a＜7．故选：B．5．（5分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是（0，]故选：C．6．（5分）设等比数列{a n}的前n项和记为S n，若S4=2，S8=6，则S12等于（）A．8 B．10 C．12 D．14【解答】解：等比数列{a n}的前n项和记为S n，若S4=2，S8=6，可得S4，S8﹣S4，S12﹣S8，也是等比数列，S12﹣S8===8．S12=14．故选：D．7．（5分）如图，在限速为90km/h的公路AB旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为80m，距测速区终点B的距离为50m，且∠APB=60°．现测得某辆汽车从A点行驶到B 点所用的时间为3s，则此车的速度介于（）A．16～19m/s B．19～22m/s C．22～25m/s D．25～28m/s【解答】解：由题意，AB==70m，70÷3≈23.3m/s，故选：C．8．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，且4sinA=3sinB则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．钝角三角形【解答】解：∵4sinA=3sinB，∴4a=3b，∵，可得：=，整理可得：（a2+b2）（a2﹣b2）=c2（a2﹣b2），∴a2﹣b2=0，或a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，或a=b（舍去）∴△ABC的形状是直角三角形．故选：B．9．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．10．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=5，S5=15，则数列的前2016项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}公差为d，∵a5=5，S5=15，由S5==15，解得：a1=1，a5=a1+4d=5，则d=1，等差数列{a n}首项为1，公差为1，a n=a1+（n﹣1）d=n，==﹣，∴数列的前2016项和S2016，S2016=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），=1﹣，=，故选：A．11．（5分）在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．【解答】解：∵（x﹣a）⊙（x+a）＜1∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，即x2﹣x﹣a2+a+1＞0∵任意实数x成立，故△=1﹣4（﹣a2+a+1）＜0∴，故选：C．12．（5分）等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵等差数列{a n}、{b n}，∴a n=，b n=，∴===，又=，∴==7+，经验证，当n=1，3，5，13，35时，为整数，则使得为整数的正整数的n的个数是5．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知△ABC中，AC=，AB=2，∠B=60°，则BC=1．【解答】解：∵AC=，AB=2，∠B=60°，∴由余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB，可得：3=4+BC2﹣2BC，即：BC2﹣2BC+1=0，∴解得：BC=1．故答案为：1．14．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且a2，a4+2，a5成等差数列，记S n是数列{a n}的前n项和，则S5=62．【解答】解：设正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a2，a4+2，a5成等差数列，∴a2+a5=2（a4+2），∴2q+2q4=2（2q3+2），解得q=2．∵S5==62．故答案为：62．15．（5分）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为．【解答】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=，作出可行域如图：∵a＞0，b＞0，∴直线y=的斜率为负，且截距最大时，z也最大．平移直线y=，由图象可知当y=经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大．由，解得，即A（6，8）．此时z=6a+8b=12，即+=1，则=（）（+）=+++≥+2=+4=，当且仅当=时取=号，故答案为：16．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，若（n∈N+）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{C n}是首项为2，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{C n}是“和等比数列”，则d=4．【解答】解：由题意设数列{C n}的前n项和为T n，则T n=2n+，T2n=4n+，因为数列{C n}是“和等比数列”，所以===k，对于n∈N*都成立，化简得，（k﹣4）dn+（k﹣2）（4﹣d）=0，因为d≠0，故只需4﹣d=0，解得d=4故答案为：4三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD的长；（2）求∠ADC的度数．【解答】解：（1）方法一：在△BCD中，由正弦定理得：，即…（3分）解得BD=3…（4分）方法二：由已知得∠BDC=30°，故…（1分）由余弦定理得：BD2=CD2+BC2﹣2CD•BC•cos∠BCD=…（4分）∴BD=3…（5分）（2）在△ABD中，由余弦定理得：…（7分）∴∠ADB=45° …（8分）由已知∠BDC=30°…（9分）∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+30°=75°…（10分）18．（12分）连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？【解答】（本小题满分12分）解：（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm…（1分）故海报四周空白面积为，…（4分）即S（x）=2x++8，x＞0…（6分）（2）由基本不等式得：…（9分）当且仅当时取等号…（11分）∴要使海报四周空白面积最小，版心的高应该为18 dm、宽为9 dm…（12分）19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．【解答】解：方法一：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…（1分）∵A+B+C=π，∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），…（2分）即2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，…（3分）∴sinA=2sinAcosC，…（4分）∵sinA≠0，∴cosC=，…（5分）又∵C是三角形的内角，∴C=．…（6分）（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，…（7分）∵a+b=4，故c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=16﹣3ab，…（8分）∴（当且仅当a=b=2时等号成立），…（10分）∴c的最小值为2，故．…（12分）方法二：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴，…（1分）∴b2+c2﹣a2+ab=2b2，即c2=a2+b2﹣ab，…（3分）∴，…（5分）又∵C是三角形的内角，∴c=．…（6分）（Ⅱ）由已知，a+b=4，即b=4﹣a，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，…（8分）∴c2=16﹣3a（4﹣a）=3（a﹣2）2+4，…（10分）∴当a=2时，c的最小值为2，故．…（12分）20．（12分）已知f（x）=ax2+x﹣a．a∈R（1）若不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求a，b的值；（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由题意可得方程ax2+x﹣a﹣b=0的两根分别为﹣1、3，且a＜0 …（1分）∴解得…（4分）（2）若a＜0，不等式为ax2+x﹣（a+1）＞0，即…（6分）∵．∴当时，，不等式的解集为；…（8分）当时，，不等式的解集为∅；…（10分）当时，，不等式的解集为…（12分）（如上，没有“综上所述…”，不扣分，但解集表达不规范每处扣（1分），最多累计扣2分）21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列（要指出首项、公比）；（2）若c n=nb n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】（1）证明：∵S n+1=4a n+2，∴当n≥2时，S n=4a n﹣1+2，两式相减得：a n+1=4a n﹣4a n﹣1，∴，∵当n=1时，S2=4a1+2，a1=1，∴a2=5，从而b1=3，∴数列{b n}是以b1=3为首项，2为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，从而，∴T n=c1+c2+c3+…+c n﹣1+c n=3×20+6×21+9×22+…+3（n﹣1）×2n﹣2+3n×2n﹣1，2T n=3×21+6×22+9×23+…+3（n﹣1）×2n﹣1+3n×2n，两式相减得：=，∴．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，点（n，S n）恒在函数y=x 的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记T n=，若对于一切的正整数n，总有T n≤m成立，求实数m的取值范围；（3）设K n为数列{b n}的前n项和，其中b n=2an，问是否存在正整数n，t，使成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由已知，得…（1分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1==3n…（2分）当n=1时，a1=S1=3．∴a n=3n…（3分）（2）解法一：．（4分）当n=1时，T n+1＞T n，即T2＞T1；当n=2时，T n+1=T n，即T3=T2；当n≥3时，T n+1＜T n，即T n＜T n﹣1＜…＜T4＜T3…（6分）∴{T n}中的最大值为，要使T n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需∴…（7分）解法二：…（4分）当n=1，2时，T n+1≥T n；当n≥3时，n+2＜2n⇒T n+1＜T n∴n=1时，T1=9；n=2，3时，n≥4时，T n＜T3…（6分）∴{T n}中的最大值为，要使T n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需∴…（7分）（3）…（8分）将K n代入，化简得，（﹡）…（9分）若t=1时，，显然n=1时成立；…（10分）若t＞1时，（﹡）式化简为不可能成立…（11分）综上，存在正整数n=1，t=1使成立…（12分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
福建省福州市八县(市)协作校2020-2021学年高二数学上学期期中联考试题
福建省福州市八县（市）协作校20212021学年高二数学上学期期中联考试题高二数学试卷完卷时刻：120分钟； 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知角α的终边上一点P(-4,3)，则cos α=（ ）A. 53B. 53-C. -54D. 54 2.已知向量(),1a x =， ()3,6b =，且a b ⊥，则实数的值为( )A.12B. C. D.3．在中，，，，则（ ） A. 或 B.C. D. 以上答案都不对 4．函数sin(2)cos(2)66y x x ππ=++的最小正周期是( ) A ．2πB ．4πC ．2πD ．π5．不等式22(4)(2)10a x a x -++-≥的解集是空集，则实数a 的范畴为（ ） A.6(2,)5- B.6[2,)5- C.6[2,]5- D.6[2,){2}5-6．我国南宋闻名数学家秦九韶发觉了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC ∆三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，面积为S ，则 “三斜求积”公式为222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦若()222sin 4sin 12a C A a c b =+=+，则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为（ ） 367在各项均为正数的等比数列中，，则=++7362232a a a a a （ ）A. 8B. 6C. 4D. 83cos 3cos sin 2x x ）A.23(,)32π- B.53(,)62π- C.23(,)32π- D.(,3)3π-9.设f(x)是定义域R ，最小正周期为23π的函数，若cos (0)()2sin (0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，则15()4f π-的值等于（ ）A.1B.22 C.0 D. 22-10．已知等差数列{}n a 中， n S 是它的前n 项和，若160S >，且170S <，则当n S 取最大值时的n 值为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 1611．设实数x ，y 满足条件，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的最大值为 12， 则 + 的最小值为（ ）A.649 B. 625 C. 38 D. 412.（文)记集合{}11A a =，{}223,A a a =，{}3456,,A a a a =，{}478910,,,A a a a a =…，其中{}n a 为公差大于0的等差数列，若{}23,5A =，则2021属于（ ） A. 63A B.64A C.65A D. 66A12.（理) 在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有211--n n n na a k a a +++= （k 为常数），则称{a n }为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判定：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为a n ＝a ·b n＋c （a ≠0，b ≠0,1）的数列一定是等差比数列．其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．11sin3π的值________． 14.设三角形的三边长分别为15,19,23，现将三边长各缩短x 后，围成了一个钝角三角形，则x 的取值范畴为_____________．15.设A 为关于x 的不等式(1)1ax x -≥的解集.若2,3A A ∉∈，则实数a 的取值范畴为 16. （文)数列{n a }满足a 1＝3，)(111++∈-+=N n a a a nnn ,其前n 项和为S n,则2017___________S =16. （理) 某校召开趣味运动会，其中一个项目如下：七位同学围成一圈依次循环报数，规定①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数差不多上前两位同学报出的数之和，②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手1次．已知甲同学第一个报数．当七位同学依次循环报到第80个数时，甲同学拍手的总次数为 ．三、解答题：本题共6大题，共70分。
福建省福州第一中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
（2）M为椭圆C上一动点， 是椭圆C长轴上的一个点，直线MQ与椭圆C的另一个交点为N，令 ，若t值与点M的位置无关，则称此时的点Q为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.
参考答案
1．D
【分析】
根据全称命题的否定方法，结合已知中的原命题，可得答案．
【详解】
∵命题p：∀x＞0，总有lgx＞0，
福建省福州第一中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知命题 ： ， ，则 是（）
A． ， B． ， C． ， D． ，
2．已知 是椭圆 的两个焦点，过 且垂直于 轴的直线交 于 两点，且 ，则 的方程为（）
11． ， 为真命题，则m的取值范围是________.
12．福州一中健美操大赛中，7位评委为某班级打出的分数（百分制）的茎叶图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差是________.（方差公式： ）
13．已知点P为椭圆 的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形， 为直线ON的倾斜角，若 ，则椭圆C的离心率的取值范围是________.
所以5球的人数和6球的人数一共是17，显然5球的人数和6球的人数不一样多，故选D.
4
5
储蓄存款z
0
1
2
3
5
（1）求z关于t的线性回归方程；
（2）通过（1）中的方程，求出y关于x的回归方程；
（3）用所求回归方程预测到2021年年底，该地储蓄存款额可达多少？
附：线性回归方程 ，其中 ， .
2020-2021学年福州市八县(市)一中高二上学期期中数学试卷及答案解析
2020-2021学年福州市八县（市）一中高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.一个单位有职工120人，其中有业务员100人，管理人员20人，要从中抽取一个容量为12的样本，用分层抽样的方法抽取样本，则在12人的样本中应抽取管理人员人数为()A. 12B. 10C. 2D. 62.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是()A. 至少有一个白球；至少有一个红球B. 至少有一个白球；红、黑球各一个C. 恰有一个白球；一个白球一个黑球D. 至少有一个白球；都是白球3.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为√74，面积为12π，则椭圆C的方程为()A. x23+y24=1 B. x29+y216=1 C. x24+y23=1 D. x216+y29=14.在区间[−√2,√2]中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆(x−3)2+y2=1相交”发生的概率为()A. 12B. 14C. 16D. 185.如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为()A. 25B. 35C. 2√35D. 2√556.已知斜率为k=1的直线与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A、B两点，若A、B的中点为M(1,3)，则双曲线的渐近线方程为()A. x±√3y=0B. √3x±y=0C. x±2y=0D. 2x±y=07.第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位，运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地服务，要求每个人都要被派出去服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙不在同一组的概率是()A. 110B. 710C. 310D. 9108.椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线Ω：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)焦点相同，F焦点，曲线Γ与Ω在第一象限，第三象限的交点分别为A、B，且∠AFB=2π3，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方程是()A. x−2y=0B. 2x−y=0C. x−√2y=0D. √2x+y=0二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.28.甲、乙两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法正确的是()A. 甲、乙两人的各科成绩的平均分相同B. 甲成绩的中位数是83，乙成绩的中位数是85C. 甲各科成绩比乙各科成绩稳定D. 甲成绩的众数是89，乙成绩的众数是8710.若a，b，c为实数，下列说法正确的是A. 若a>b，则ac2>bc2B. 若a<b<0，则a2>ab>b2C. “关于x的不等式ax2+bx+c≥0恒成立”的充要条件是“a>0，b2−4ac≤0”D. “a<1”是“关于x的方程x2+x+a=0有两个异号的实根”的必要不充分条件11.根据如下样本数据：x345678y 4.0 2.5−0.50.5−2.0−3.0得到了回归方程ŷ=b̂x+â，则()A. â>0B. b̂>0C. b̂<0D. â<012.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24−y212=1，则()A. 实轴为2B. 渐近线为y=±√3xC. 离心率为2D. 一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某印刷厂的工人师傅为了了解96个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印张进行检查，为此先对96个印张进行编号为：01，02，03，…，96，已知抽取的印张中最小的两个编号为07，15，则抽取的印张中最大的两个编号为________．14.命题“∃x∈R，使x2−ax+1<0”是真命题，则a的取值范围是______．15.下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽____米．16.抛物线y2=4x的焦点为F，过点(0,3)的直线与抛物线交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若|AF|+|BF|=6，则点D的横坐标为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p ：“直线x +y −m =0与圆(x −1)2+y 2=1相交”；命题q ：“方程mx 2−2x +1=0有实数解”.若“p ∨q ”为真，“￢q ”为真，求实数m 的取值范围．18. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，其焦点F 与双曲线x 2−y 23=1的右焦点重合。
2020-2021学年福建省福州市八县(市)一中高二上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年福建省福州市八县（市）一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）某单位有业务员和管理人员构成的职工160人，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为20的样本，若样本中管理人员有7人，则该单位的职工中业务员有多少人（）A．32人B．56人C．104人D．112人2．（5分）袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是（）A．至少有一个白球；全部都是红球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；恰有一个红球D．恰有一个白球；全部都是红球3．（5分）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，椭圆C的面积为，且离心率为，则C的标准方程为（）A．B．C．D．4．（5分）在区间上任取一个数k，使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）永泰县全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），斜率为1的直线l与双曲线C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P（2，4），则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．7．（5分）第七届世界军运会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行．某电视台在19日至24日六天中共有7场直播（如表所示），张三打算选取其中的三场观看．则观看的任意两场直播中间至少间隔一天（如第一场19日观看直播则20日不能观看直播）的概率是（）日期19日20日21日22日23日24日时间全天全天上午下午全天全天全天内容飞行比赛击剑射击游泳篮球定向越野障碍跑A．B．C．D．8．（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P，Q分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且∠QF2P＝60°，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则等于（）A．4B．2C．2D．3二、多项选择题（共4小题）9．（5分）某校对甲、乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩（单位：分）用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲、乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有（）A．甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分B．甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散C．甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数D．甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数10．（5分）下列说法中错误的是（）A．“m＝8”是“椭圆+＝1的离心率为”的充要条件B．设x，y∈R，命题“若x2+y2≠0，则xy≠0”是真命题C．“﹣4＜k＜2”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件D．命题“若x＝3，则x2﹣4x+3＝0”的否命题是真命题11．（5分）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法正确的是（）x23456y1925★3844A．看不清的数据★的值为34B．回归直线必经过样本点（4，★）C．回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨D．据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是（）A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2xB．双曲线C的方程为C．k1k2为定值D．存在点P，使得k1+k2＝2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）某印刷厂的工人师傅为了了解112个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印张进行检查，为此先对112个印章进行编号为：01，02，03，…，112，已知抽取的印张中最小的两个编号为05，13，则抽取的印张中最大的编号为．14．（5分）已知命题“∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1≤0”是真命题，则a的取值范围为．15．（5分）某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根柱支撑，其中最高支柱的高度是．16．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A（2，4），过点F的动直线l与抛物线交于M，N不同的两点，点M在y轴上的射影为点B，设直线KM，KN的斜率分别为k1和k2.则|MA|+|MB|的最小值为，k1+k2的值为．四、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题p：对于任意x∈R，不等式4x2﹣4（m﹣2）x+1＞0恒成立．命题q：实数m满足的方程表示双曲线；（1）当a＝2时，若“p或q”为真，求实数m的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求a的取值范围．18．（12分）已知双曲线C的离心率为，点在双曲线上，且抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个焦点重合．（1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段AB的长度．19．（12分）小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔在某周的周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x元和销售量y支之间的数据如表所示：星期12345单支售价x（元） 1.4 1.6 1.82 2.2销售量y（支）1311763（1）根据表格中的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）请由（1）所得的回归直线方程预测销售量为18支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为0.56元，为达到日利润（日销售量×单支售价﹣日销售量×单支进价）最大，在（1）的前提下应该如何定价？（其中：回归直线方程，，，）20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，且经过点Q．直线l过右焦点且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个不同的交点A，B，线段AB的中点为M．（1）点P在椭圆C上，求的取值范围；（2）证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值；21．（12分）为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高二年段学生的生物成绩进行赋分，具体方案如下：A等级，排名等级占比7%，分数区间是83﹣100；B等级，排名等级占比33%，分数区间是71﹣82；C等级，排名等级占比40%，分数区间是59﹣70；D等级，排名等级占比15%，分数区间是41﹣58；E等级，排名等级占比5%，分数区间是30﹣40；现从全年段的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中a的值；（2）以样本估计总体的办法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上（含C等级）？（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50）和[50，60）内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中至少一人原始成绩在[40，50）内的概率．22．（12分）如图所示，已知圆上有一动点Q，点F2的坐标为（1，0），四边形QF1F2R为平行四边形，线段F1R的垂直平分线交F2R于点P，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点F2的直线l与曲线C有两个不同的交点A，B，问是否存在实数λ，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）某单位有业务员和管理人员构成的职工160人，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为20的样本，若样本中管理人员有7人，则该单位的职工中业务员有多少人（）A．32人B．56人C．104人D．112人解：设该单位的职工中业务员有x人，∵业务员和管理人员构成的职工160人，抽取一个容量为20的样本，若样本中管理人员有7人，∴＝，∴x＝104，故选：C．2．（5分）袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是（）A．至少有一个白球；全部都是红球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；恰有一个红球D．恰有一个白球；全部都是红球解：袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，对于A，至少有一个白球和全部都是红球是对立事件，故A错误；对于B，至少有一个白球和至少有一个红球能同时发生，不是互斥事件，故B错误；对于C，恰有一个白球；恰有一个红球同时发生，不是互斥事件，故C错误；对于D，恰有一个白球和全部都是红球，不能同时发生，是互斥而不对立事件，故D正确．故选：D．3．（5分）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，椭圆C的面积为，且离心率为，则C的标准方程为（）A．B．C．D．解：由题意可得＝，＝ab，即ab＝2，a2＝b2+c2，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为：，故选：A．4．（5分）在区间上任取一个数k，使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为（）A．B．C．D．解：圆x2+y2＝1的圆心为（0，0）圆心到直线y＝k（x+3）的距离为，要使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交，则＜1，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣，]上随机取一个数k，使y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为＝．故选：D．5．（5分）永泰县全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意可知2a＝25.5，2b＝20.4，则c＝＝＝，所以椭圆的离心率为：e＝＝＝，故选：B．6．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），斜率为1的直线l与双曲线C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P（2，4），则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为P（2，4），则，，两式作差可得：，∴＝＝1，则＝1，得，∴．则双曲线C的渐近线方程是y＝±x，故选：C．7．（5分）第七届世界军运会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行．某电视台在19日至24日六天中共有7场直播（如表所示），张三打算选取其中的三场观看．则观看的任意两场直播中间至少间隔一天（如第一场19日观看直播则20日不能观看直播）的概率是（）日期19日20日21日22日23日24日时间全天全天上午下午全天全天全天内容飞行比赛击剑射击游泳篮球定向越野障碍跑A．B．C．D．解：根据题意，一共7场比赛，从中任选3场，有C73＝35种情况，若观看的任意两场直播中间至少间隔一天，分2种情况讨论：若在21日观看直播，则21号有2种选法，第一场必须在19日，第三场可以在23日或24日，有2×2＝4种选法，若不在21日观看直播，第一场在19日或20日，第二场、第三场必须为22日和24日，有2种选法，则符合题意的选法有4+2＝6种，故其概率P＝，故选：B．8．（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P，Q分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且∠QF2P＝60°，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则等于（）A．4B．2C．2D．3解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，P在双曲线的右支上，根据椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，可得|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，∠QF2P＝60°，∠F1PF2＝120°，在△PF1F2中由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos 120°，化简得3a12+a22＝4c2，该式可化为：，结合e1＝，e2＝，∴则＝4．故选：A．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，漏选得3分，错选得0分.）9．（5分）某校对甲、乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩（单位：分）用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲、乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有（）A．甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分B．甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散C．甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数D．甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数解：由茎叶图可知，甲组数据集中在60分以上，而乙组数据比较分散，可知甲组的平均分数高于乙组，故A正确，B错误；甲组的中位数为77，乙组中位数为64，故C正确；甲组的众数为79，乙组众数为64，故D错误；故选：AC．10．（5分）下列说法中错误的是（）A．“m＝8”是“椭圆+＝1的离心率为”的充要条件B．设x，y∈R，命题“若x2+y2≠0，则xy≠0”是真命题C．“﹣4＜k＜2”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件D．命题“若x＝3，则x2﹣4x+3＝0”的否命题是真命题解：“椭圆+＝1的离心率为”，可得＝或，所以m＝8或m＝2，所以A不正确；设x，y∈R，命题“若x2+y2≠0，不妨x＝1，y＝0，但是xy＝0”，所以设x，y∈R，命题“若x2+y2≠0，则xy≠0”是假命题，所以B不正确；“﹣4＜k＜2”推不出“方程表示的曲线为椭圆”，反之成立，所以“﹣4＜k＜2”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件，所以C正确；命题“若x＝3，则x2﹣4x+3＝0”的否命题是：若x≠3，则x2﹣4x+3≠0，不正确，因为x＝1时，x2﹣4x+3＝0，所以命题“若x＝3，则x2﹣4x+3＝0”的否命题是假命题，所以D不正确；故选：ABD．11．（5分）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法正确的是（）x23456y1925★3844A．看不清的数据★的值为34B．回归直线必经过样本点（4，★）C．回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨D．据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨解：设看不清的数字为a，计算＝×（2+3+4+5+6）＝4，＝×（19+25+a+38+44）＝，代入回归直线方程中，得＝6.3×4+6.8，解得a＝34，所以＝32；所以看不清的数据★的值为34，A正确；又回归直线过样本点（4，32），所以B错误；回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗预测增加6.3吨，所以C错误；x＝7时，＝6.3×7+6.8＝50.9，所以据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨，D正确．故选：AD．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是（）A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2xB．双曲线C的方程为C．k1k2为定值D．存在点P，使得k1+k2＝2解：∵双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，∴e＝，，渐近线方程为y＝，故A错误；又c＝，则a＝2，b2＝1，则双曲线方程为，故B正确；∵A（﹣2，0），B（2，0），设P（x，y），则＝，故C 正确；＝，∵点P在第一象限，渐近线方程为y＝，∴0＜k OP＜，则＞2，∴k1+k2＞1，即存在点P，使得k1+k2＝2，故D正确．故选：BCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）某印刷厂的工人师傅为了了解112个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印张进行检查，为此先对112个印章进行编号为：01，02，03，…，112，已知抽取的印张中最小的两个编号为05，13，则抽取的印张中最大的编号为109．解：已知抽取的最小的两个编号为05，13．则样本间隔为13﹣5＝8，则抽样样本数为112÷8＝14个，则抽取的学生中最大的编号5+8×13＝109，故答案为：109．14．（5分）已知命题“∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1≤0”是真命题，则a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．解：命题“∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1≤0”是真命题，则△＝（a﹣1）2﹣4≥0，整理得a2﹣2a﹣3≥0，解得a≥3或a≤﹣1．故a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．15．（5分）某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根柱支撑，其中最高支柱的高度是 3.84米．解：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x2＝﹣2py（p＞0），∵过定点B（10，﹣4），代入x2＝﹣2py，得p＝．∴x2＝﹣25y．当x＝2时，y＝，∴最长支柱长为4﹣|y|＝4﹣＝3.84（m），故答案为：3.84米．16．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A（2，4），过点F的动直线l与抛物线交于M，N不同的两点，点M在y轴上的射影为点B，设直线KM，KN的斜率分别为k1和k2.则|MA|+|MB|的最小值为﹣1，k1+k2的值为0．解：如图，抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，K（﹣1，0），设M在准线上的射影为H，由抛物线的定义可得|MF|＝|MH|＝|MB|+1，即|MB|＝|MF|﹣1，则|MA|+|MB|＝|MA|+|MF|﹣1≥|AF|﹣1＝﹣1＝﹣1，当A，M，F三点共线时取得最小值﹣1；设过F的直线方程为x＝my+1，与抛物线y2＝4x联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，设M，N的纵坐标分别为y1，y2，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，则k1+k2＝+＝＝0，故答案为：﹣1，0．四、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题p：对于任意x∈R，不等式4x2﹣4（m﹣2）x+1＞0恒成立．命题q：实数m满足的方程表示双曲线；（1）当a＝2时，若“p或q”为真，求实数m的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求a的取值范围．解：（1）若命题p为真命题，则Δ＝16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3…（1分）当a＝2时，命题q：2＜m＜4……………………………………………………（2分）因为p或q为真，所以p真或q真…………………………………………………（3分）所以：1＜m＜3或2＜m＜4得：1＜m＜4………………………………………（5分）（2）若命题q为真命题，则a＜m＜2a……………………………………………（6分）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件………………（7分）所以：得：………………………………………………………（9分）经检验符合，所以a的取值范围为：………………………………………（10分）18．（12分）已知双曲线C的离心率为，点在双曲线上，且抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个焦点重合．（1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段AB的长度．解：（1）设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），由题设所以①，又点在双曲线上，所以②由①②解得a2＝9，b2＝3，故双曲线标准方程为；设双曲线的焦距为2c，因为c2＝a2+b2＝12，得，所以抛物线焦点为，即，所以抛物线的标准方程为．（2）设直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），联立得即，故，由抛物线定义知，，所以．19．（12分）小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔在某周的周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x元和销售量y支之间的数据如表所示：星期12345单支售价x（元） 1.4 1.6 1.82 2.2销售量y（支）1311763（1）根据表格中的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）请由（1）所得的回归直线方程预测销售量为18支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为0.56元，为达到日利润（日销售量×单支售价﹣日销售量×单支进价）最大，在（1）的前提下应该如何定价？（其中：回归直线方程，，，）解：（1）因为，，所以＝＝，则＝8﹣（﹣12.5）×1.8＝30.5．所以，回归直线方程为．（2）当y＝18时，18＝﹣12.5x+30.5，得x＝1，假设日利润为L（x），则：L（x）＝（x﹣0.56）（30.5﹣12.5x），0.56＜x＜2.44，当x＝1.5元时，有L（x）max．答：单支售价为1元时，销售量为18件；为使日利润最大，单支定价为1.5元．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，且经过点Q．直线l过右焦点且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个不同的交点A，B，线段AB的中点为M．（1）点P在椭圆C上，求的取值范围；（2）证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值；解：（1）因为焦距2c＝2，则c＝1，所以左焦点F1（﹣1，0），右焦点F2（1，0），则2a＝|QF1|+|QF2|＝＝2，所以，所以a2＝2，b2＝1，所以椭圆方程为．设点P（x，y），则＝（﹣1﹣x，﹣y）•（1﹣x，﹣y）＝x2﹣1+y2＝＝．因为，所以的取值范围为：[0，1]．（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），联立消去y得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，其中：2k2+1＞0，Δ＞0，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），M为线段AB的中点，则x1+x2＝，所以＝，y M＝k（x M﹣1）＝，所以＝，所以k OM×k l＝为定值．21．（12分）为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高二年段学生的生物成绩进行赋分，具体方案如下：A等级，排名等级占比7%，分数区间是83﹣100；B等级，排名等级占比33%，分数区间是71﹣82；C等级，排名等级占比40%，分数区间是59﹣70；D等级，排名等级占比15%，分数区间是41﹣58；E等级，排名等级占比5%，分数区间是30﹣40；现从全年段的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中a的值；（2）以样本估计总体的办法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上（含C等级）？（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50）和[50，60）内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中至少一人原始成绩在[40，50）内的概率．解：（1）由题意（0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005）×10＝1，所以a＝0.030．（2）由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为7%+33%+40%＝80%，假设原始分不少于x分可以达到赋分后的C等级及以上，则有：（0.010+0.015+0.015+0.03）×10+（x﹣80）×0.025＝0.8，所以x＝84（分），故原始分不少于84分才能达到赋分后的C等级及以上．（3）由题知评分在[40，50）和[50，60）内的频率分别为0.1 和0.15，则抽取的 5 人中，评分在[40，50）内的有 2 人，评分在[50，60）的有 3 人，记评分在[50，60）内的 3 位学生为a，b，c，评分在[40，50）内的 2 位学生为D，E，则从5 人中任选 2 人的所有可能结果为：（a，b），（a，c），（a，D），（a，E），（b，c），（b，D），（b，E），（c，D），（c，E），（D，E）共10 种，其中，这2 人中至少一人评分在[40，50）内可能结果为：（a，D），（a，E），（b，D），（b，E），（c，D），（c，E），（D，E），共7 种，所以这2 人中至少一人评分在[40，50）的概率为：P＝．22．（12分）如图所示，已知圆上有一动点Q，点F2的坐标为（1，0），四边形QF1F2R为平行四边形，线段F1R的垂直平分线交F2R于点P，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点F2的直线l与曲线C有两个不同的交点A，B，问是否存在实数λ，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：（1）|PF1|+|PF2|＝|PR|+|PF2|＝|RF2|＝|QF1|＝4＞|F1F2|；所以点P的轨迹C是以F1F2为焦点，以4为长轴长的椭圆所以2a＝4得a＝2，半焦距c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝13，轨迹C的方程为：，经检验，轨迹C的方程为：（y≠0）．（2）显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my+1，由消去x得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2＝，不妨设y1＞0，y2＜0，＝＝，同理＝，所以＝＝＝＝＝＝，即，所以存在实数使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立．。
福建省福州市八县(市、区)一中2020-2021学年高二数学上学期期中试题(含解析)
福建省福州市八县（市、区）一中2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知命题0:1p x ∃>，使得0lg 0x ，则p ⌝为（ ）A. 1x∀，总有lg 0x >B. 1x ∀>，总有lg 0x >C. 01x ∃>,使得0lg 0x >D. 01x ∃，使得0lg 0x >【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【详解】命题是特称命题，则命题的否定是:1,p x ⌝∀>总有lg 0x >成立, 故选:B【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．属于基础题2.已知中心在原点的等轴双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，右顶点为)，则双曲线C 的焦距等于（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等轴双曲线的定义,右顶点以及双曲线中,,a b c 的关系式,计算可求解.【详解】因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>为等轴双曲线,所以a b =,因为右顶点为0),所以a b ==所以焦距22222224c a b =+=+=. 故选:C【点睛】本题考查了等轴双曲线的定义,双曲线的几何性质,属于基础题. 3.不等式22530x x +-<的一个必要不充分条件是（ ） A. 61x -<<B. 132x -<<C. 30x -<<D.132x -<< 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式得132x -<<,根据充分,必要条件的概念分析可求解. 【详解】由不等式22530x x +-<得(21)(3)0x x -+<,解得132x -<<,因为1(3,)2-=1(3,)2-,所以选项B 为充要条件,因为(3,0)-1(3,)2-,所以选项C 为充分不必要条件,因为1(,3)2-1(3,)2-,且1(3,)2-1(,3)2-,所以选项D 是既不充分也不必要条件,因为1(3,)2-(6,1)-,所以选项A 是必要不充分条件.故选:A【点睛】本题考查了必要不充分条件,属于基础题. 4.下列命题中正确的是（ ）A. 命题“若2320x x -+=，则1x =”的否命题为“若2320x x -+=，则1x ≠”；B. 命题“若平面向量,a b 共线，则,a b 方向相同”的逆否命题为假命题；C. 命题“若3a ≠或2b ≠，则5a b +≠”是真命题；D. 命题“若4a b +，则a b 、中至少有一个大于等于2”的逆命题是真命题. 【答案】B 【解析】 【分析】根据写否命题时,既要否定条件,又要否定结论可知,A 不正确;根据原命题为假命题且逆否命题与原命题同真假可知,B 正确; 根据逆否命题为假且原命题与逆否命题同真假可知,C 不正确; 根据否命题为假命题且逆命题与否命题同真假可知,,D 不正确.【详解】对于A ,命题“若2320x x -+=，则1x =”的否命题为“若2320x x -+≠，则1x ≠”,故A 不正确;对于B ,因为0a =时,满足向量,a b 共线,但是不能说,a b 方向相同,所以命题“若平面向量,a b 共线，则,a b 方向相同”是假命题,所以其逆否命题也是假命题,故B 正确;对于C ,因为命题“若3a ≠或2b ≠，则5a b +≠”的逆否命题”若5a b +=,则3a =且2a =”是假命题,所以原命题也是假命题,故C 不正确;对于D ,因为命题“若4a b +，则a b 、中至少有一个大于等于2”的否命题”若4a b +<,则a b 、都小于2”是假命题,所以逆命题也是假命题,故D 不正确. 故选:B【点睛】本题考查了四种命题及其真假的判断,属于基础题.5.已知椭圆的中心在原点，长轴长为12，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是（ ）A. 221364x y +=B. 221364x y +=或221436x y += C. 2213632x y +=D. 2213632x y+=或2213632y x +=【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质得到22236,4,32a c b ===后,讨论焦点的位置可得椭圆方程. 【详解】设椭圆长半轴长,短半轴长,半焦距分别为,,a b c , 因为椭圆的长轴长为12，且两个焦点恰好将长轴三等分, 所以2212,23aa c ==, 所以6,2a c ==,所以22236432b a c =-=-=, 当焦点在x 轴上时,椭圆的标准方程为2213632x y +=,当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程为2213236x y+=, 故选:D【点睛】本题考查了椭圆的标准方程和几何性质,属于基础题.6.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且1:1:4CN NA =.用,,a b c 表示向量MN 的结果是（ ）A.12a b c ++ B. 114555a b c ++C. 1315105a b c --D. 4345105a b c +-【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形,向量减法的三角形法则可得. 【详解】如图所示:因为MN AN AM =-11AC CN AA AM =+-- 111152AC CA AA AD =+--1111()52AC AA AC AA AD =+---1441552AC AA AD =-- 1441()552AB AD AA AD =+-- 14345105AB AD AA =+- 4345105a b c =+-. 故选:D【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形,向量减法的三角形法,属于基础题.7.空间四边形ABCD 中若,,2,1,AB BD CD BD AC BD ⊥⊥==则AC BD ⋅=（ ）A.12B. 1D. 0【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则以及平面向量的数量积计算可得. 【详解】因为AC BD ⋅=()AB BC BD +()AB BD DC BD =++⋅2AB BD BD DC BD =⋅++⋅,因为AB BD ⊥,DC BD ⊥,所以0,0AB BD DC BD ⋅=⋅=, 所以AC BD ⋅=20101++=, 故选:B【点睛】本题考查了向量加法的三角形法则以及平面向量的数量积,属于基础题. 8.已知点P 为抛物线214y x =上的动点，点P 在x 轴上的射影为点H ，点A 的坐标为(12,6)，则+PA PH 的最小值是（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义,得||||PA PH +||||11PA PH =++-=||||1PA PF +-,再利用两点之间连线段最短可得. 【详解】如图所示:设抛物线的焦点为F ,则(0,1)F , 因为||||PA PH +||||11PA PH =++-=||||1PA PF +-||1AF ≥-22(120)(61)112-+--=,当且仅当,,A P F 三点共线,且P 在线段AF 上时,取得等号. 故选:B【点睛】本题考查了抛物线的定义,属于基础题.9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为11A B 、1CC 的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与1D N 所成的角，则α的集合是（ ）A. {}2π B. {|}62ππαα≤≤ C. {|}42ππαα≤≤ D. {|}32ππαα≤≤ 【答案】A 【解析】分别以边1,,DA DC DD 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴，建立如图所示空间直角坐标系：设正方体边长为1,()(),0,001P x x ≤≤，并能确定以下几点坐标:()1111,,1,0,0,1,0,1,22M D N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;∴1111,,1,0,1,22PM x D N ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴10PM D N ⋅= ∴1PM D N ⊥ ∴2πα=故选A10.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点F 与抛物线()220y px p =>的焦点相同，点A 是两曲线的一个交点，且AF 垂直x 轴，则双曲线的离心率为（ ）C. 1D. 1+【答案】C 【解析】 【分析】分别在双曲线和抛物线中求出A 的坐标为2(,)b c a和(,)2p p ,由此列式可求得.【详解】不妨设A 在第一象限内,则在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>中,(c,0)F ,2(,)b A c a ,在抛物线()220y px p =>中(,02p F ),(,)2pA p , 所以2p c =,且2b p a=,所以22b ac =,所以222c a ac -=,所以2()12cc aa-=, 所以2210e e --=,所以1e =1e =舍). 故选:C【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的几何性质,属于基础题.11.已知椭圆222116x y a +=与双曲线22215x ym -=有公共焦点12,,F F 且两条曲线在第一象限的交点为P 点，则12PF F △的面积为（ ）A.112B.212C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程可知焦点在x 轴上,所以22165a m -=+,再联立椭圆与双曲线方程解得点P 的纵坐标的绝对值,然后利用面积公式121||||2F F y 可求得.【详解】因为双曲线22215x ym -=的焦点在x 轴上,所以椭圆222116x ya +=的焦点在x 轴上,所以22165a m -=+,即2221a m =+,联立22222211615x y a x y m ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ,所以22222222165a y x a m y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,所以222222165a y m y a m -=+, 所以22222()165a m y a m +=-,所以22222516a m y m a -=+ 22222121516m m m m +-=++222116510580m m =++2218021105m ⨯=+2805m =+,所以||y =即点P,又12||F F =, 所以12PF F △的面积为121||||2F Fy 12=⨯=. 故选:C【点睛】本题考查了椭圆和双曲线共焦点问题,三角形面积公式,属于中档题.12.已知椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的内接ABC ∆的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K，且2CF FK =,则椭圆离心率的取值范围为（ ）A. 03⎛ ⎝⎭，B. 03⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，C. ,13⎛⎫⎪⎪⎝⎭D. 13⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】设1122(,),(,)A x y C x y ,所以11(,)22x y b K +,根据定比分点坐标公式可得弦AC 的中点坐标,再根据弦AC 的中点在椭圆内列不等式可解得. 【详解】设1122(,),(,)A x y C x y , 因为(0,)B b ,(c,0)F ,所以11(,)22x y b K +, 因为2CF FK =,所以2CF FK =,由定比分点坐标公式得,1212221222012x x c y b y ⎧+⨯⎪=⎪⎪+⎨+⎪+⨯⎪=⎪+⎩,化简得12123x x c y y b +=⎧⎨+=-⎩,所以弦AC 的中点坐标为3(,)22c b-,根据弦AC 的中点在椭圆内可得22223()()221c b a b -+<, 所以29344e <,所以213e <,又离心率(0,1)e ∈,所以e ∈. 故选:A【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,定比分点的坐标公式,点与椭圆的位置关系,椭圆的离心率,属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置．） 13.命题“2,210x R mx mx ∀∈-+>”是真命题，则实数m 的取值范围为_____________.【答案】01m <【解析】 【分析】依题意列式0m =或0m >且2(2)40m m --<,可解得. 【详解】因为命题“2,210x R mx mx ∀∈-+>”是真命题, 所以2210mx mx -+>对任意实数x 都成立, 所以0m =或0m >且2(2)40m m --<,所以0m =或01m <<,综上所述:实数m 的取值范围是01m ≤<.故答案为: 01m ≤<【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立,分类讨论思想,属于基础题.14.双曲线2244x y -=的一条弦恰被点()8,1P 平分，则这条弦所在的直线方程是_____________.【答案】2150x y --=【解析】【分析】设弦为AB ,11(,)A x y ,22(,)B x y ,将,A B 的坐标代入椭圆方程作差,可求出弦的斜率,再由点斜式可解得.【详解】设弦为AB ,11(,)A x y ,22(,)B x y ,所以221144x y -=,222244x y -=,所以222212124()x x y y -=-, 所以121212124()y y x x x x y y -+=-+, 又弦AB 的中点为(8,1),所以122816x x +=⨯=,12212y y +=⨯=, 所以121216242AB y y k x x -===-⨯, 由点斜式得弦AB 所在直线的方程为:12(8)y x -=-,即2150x y --=.故答案为: 2150x y --=.【点睛】本题考查了点差法求弦的斜率,直线方程的点斜式,属于基础题.15.已知A 、B 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，满足2,3OAB AF FB S AB ==，则p 的值为_______ 【答案】36【解析】【分析】 由题意首先求得倾斜角的三角函数值，然后结合面积公式和三角函数的定义可得p 的值.【详解】设焦点弦的倾斜角为α，由抛物线焦点弦的焦半径公式可知：1cos p AF α=-，1cos p BF α=+， 故：21cos 1cos p p αα=⨯-+，解得：1cos 3α=，故22sin 3α=， 设原点到直线AB 的距离为h ，则13,222OAB S AB AB h h ==⨯⨯∴=， 由三角函数的定义可得：23sin 2p α=，即22433p =，解得：36p =. 【点睛】本题主要考查抛物线的焦半径公式，抛物线中的三角形问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，ABC ∠=60且1=AA AB ，M 为侧棱1AA 的中点，,E F 分别是线段1BB 和线段1CC 上的动点(含端点)，且满足1BE C F =，当,E F 运动时，下列结论中正确的序号是_____________.①在△MEF 内总存在与平面ABCD 平行的线段；②平面MEF ⊥平面11BCC B ；③三棱锥1A MEF -的体积为定值；④△MEF 可能为直角三角形.【答案】①②③【解析】【分析】对于①,取EF 的中点G ,则可证MG 就是满足条件的线段;对于②,可证MG 与平面11BCC B 垂直,再由平面与平面垂直的判定定理可证;对于③,可用等体积法求得三棱锥1A MEF -的体积为定值;对于④, 设1A A AB a ==,BE t =,可求得三角形三边长,再用余弦定理判断三角形不可能是直角三角形.【详解】如图所示:取EF 的中点G ,BC 的中点H ,AB 的中点N ,连GH ,,,MG AH ,AC CN ,对于①,根据梯形中位线有11111()()222GH BE CF C F CF CC AM =+=+==,又////GH BE AM ,所以//GH AM ==, 所以四边形AHGM 为平行四边形,所以//MG AH ,又AH ⊂平面ABCD ,MG ⊄平面ABCD ,所以//MG 平面ABCD ,故①正确;对于②,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，ABC ∠=60,所以AH BC ⊥,又直四棱柱的侧面与底面垂直,所以AH ⊥平面11BCC B ,而//MG AH ,所以MG ⊥平面11BCC B ,因为MG ⊂平面MEF ,所以平面MEF ⊥平面11BCC B ,故②正确, 对于③,设1A A AB a ==,则11A MEF F A ME V V --==1311113322224A ME CN S a a a ⋅=⨯⨯⨯=为定值,故③正确; 对于④, 设1A A AB a ==,BE t =,则EF =ME =MF =因为ME MF =,所以△MEF 为等腰三角形,所以M MEF FE =∠∠不可能为直角, 又2222222122()(2)2ME MF EF a a t a t a +-=+----221(44)2a at t =+- 2212()2t at a =--+2212()2t a a =--+, 因为0t a ≤≤,所以0t =或t a =时, 2212()2t a a --+取得最小值,最小值为212a , 所以222ME MF EF +-2102a ≥>, 所以222cos 2ME MF EF EMF ME MF+-∠=⋅>0,所以EMF ∠恒为锐角,不可能为直角,故④不正确.故答案为:①②③【点睛】本题考查了线面平行的判定定理,面面垂直的判定定理,等体积法求体积,余弦定理判断三角形形状,属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.若命题:p 实数x 满足240x x -，命题q ：实数x 满足(1)(1)0x a x a -+--()0a >.（1）当2a =且p q ∧为真命题时，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）34x （2）01a <≤【解析】【分析】(1) p q ∧为真命题时,p 与q 都是真命题,用04x 和1x -或3x ≥取公共部分即可得到;(2)利用真子集关系列式即可得到.【详解】解：（1）由:p ()40x x -，得04x ,当2a =时，由q ：()(12)120x x -+--，得1x -或3x ≥, ∴:q 1x -或3x ≥,p q ∧为真命题，p ∴真且q 真,34x ∴,∴实数x 的取值范围为34x .（2）因为0a >，由:q ⌝(1)(1)0x a x a -+--<,得()110a x a a -<<+>,设{|04},{|11,0}A x x B x a x a a ==-<<+>, p 是q ⌝的必要不充分条件，BA ∴, 1014a a -⎧∴⎨+⎩, 又0a >∴01a <≤,∴实数a 的取值范围为01a <≤.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,命题的真假,必要不充分条件,属于中档题.18.（1）已知中心在原点的双曲线C的焦点坐标为(0，(0-，且渐近线方程为y =，求双曲线C 的标准方程；（2）在圆223x y +=上任取一点P ,过点P 作y 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在该圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程.【答案】（1）2212y x -=（2）221334x y += 【解析】【分析】(1)根据c =,ab=,,联立解方程组可解得a =1b =,从而可得; (2)设出M 的坐标为(),x y ,根据中点公式可得P 的坐标,再将P 的坐标代入椭圆方程可得.【详解】解：（1）依题可知双曲线的焦点在y 轴上， 则设其方程为：22221(0,0)y x a b a b-=>>，且c =①双曲线的渐近线方程为y =,即a b =② 又222a b c +=③，由①②③得1a b == 得双曲线方程为：2212y x -= （2）设轨迹上任一点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则依题意可知D 点坐标为()00,yPD 的中点为M ，00,2x x y y ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩即002x x y y =⎧⎨=⎩ 点P 圆223x y +=上运动，02203x y ∴+=,所以22(2)3x y +=, 2243x y ∴+=，经检验所求方程符合题意,∴点M 的轨迹方程为221334x y +=． 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,代入法求曲线的轨迹方程,属于基础题.19.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB =，1AF =，M是线段EF 的中点.(1)求证：//AM 平面BDE ；(2)求二面角A DF B --的大小. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60【解析】试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(3）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．试题解析：（I ）记AC 与BD 的交点为O ，连接OE ，∵O 、M 分别是,AC EF 的中点，ACEF 是矩形∴四边形AOEM 是平行四边形，∴AM ∥OE ，∵OE ⊂平面BDEAM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE 6分（Ⅱ）在平面AFD 中过A 作AS DF ⊥于S ，连接BS ，∵,,AB AF AB AD AD AF A ⊥⊥⋂=∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影，由三垂线定理点得BS DF ⊥∴BSA ∠是二面角A DF B --的平面角，在Rt ASB ∆中，62AS AB ==， ∴tan 3,60ASB ASB ∠=∠=二面角A DF B --的大小为608分另解：以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)C ，(2,0,0)D ，(2,2,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,1)E ，(2,2,1)F22(,,0)22M ，设AC 与BD 交于点O ，则 （I ）易得：，则∥，由OE ⊂面BDE ，故AM ∥面BDE ；（Ⅱ）取面ADF 的一个法向量为，面BDF 的一个法向量为， 则，故二面角A DF B --的大小为60．考点：证明线面平行及求二面角20.已知抛物线C 的方程为()220y px p =>，C 上一点3,2M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到焦点的距离为2. （1）求抛物线C 的方程及点M 的坐标；（2）过点()1,0P 的直线l 与抛物线C 交于点,A B ，与y 轴交于点Q ，设QA PA λ=,QB PB μ=,求证:λμ+是定值..【答案】（1）22y x =，3,32M ⎛ ⎝（2）证明见解析 【解析】【分析】(1)利用抛物线的定义列式可解得1p =,可得抛物线2:2C y x =,令32x =,可得m 的值; (2) 设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠,并代入抛物线,由韦达定理以及向量关系可解得.【详解】解：（1）依题意得抛物线的准线为2p x =-， 抛物线上一点3,2M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到焦点的距离为2，由抛物线的定义可得3222p +=，1p ∴=，∴抛物线的方程为22y x=，232,32m m=⨯∴=±，3,32M⎛⎫∴±⎪⎝⎭.（2）当直线l的斜率不存在时不符合题意，故直线l的斜率k必存在且不为0.直线l过点()1,0P,∴设直线l的方程为()()10y k x k=-≠，当0x=时,y k=-，∴点Q坐标()0,k-，设()()1122,,,A x yB x y,由22y kx ky x=-⎧⎨=⎩,得22yy k k=-，整理得2220ky y k--=,20,480k k≠∴∆=+>，12122,2y y y yk∴+==-,()11,QA x y k∴=+，()111,PA x y=-,QA PAλ=,()()1111,1,x y k x yλ∴+=-，11,y k yλ∴+=即11,y kyλ+=同理可得22,y kyμ+=()121212121222212y y k y yy k y k kky y y yλμ++++∴+=+==+=-,即λμ+是定值.【点睛】本题考查了抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,韦达定理,向量的线性运算,属于中档题.21.如图所示，等腰梯形ABCD中,AB CD∥，2AD AB BC===，4CD=，E为CD中点，AE与BD交于点O，将ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（1）证明：平面POB⊥平面ABCE；（2）若PB =6，试判断线段PB 上是否存在一点Q (不含端点),使得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为15，若存在，求出PQ QB 的值;若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）存在点Q 为PB 的中点时，使直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为15，1PQ QB = 【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证AE ⊥平面POB,利用面面垂直的判定定理证平面POB⊥平面ABCE 可得;(2)利用222OP OB PB +=证明OP⊥OB,然后以O 为原点，,,OE OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，利用向量可求得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值,根据已知列等式可解得.【详解】解：（1）证明：连接BE ,在等腰梯形ABCD 中，2AD AB BC ===，4CD =， E 为CD 中点，∴四边形ABED 为菱形，BD ∴⊥AE，,OB AE OD AE ∴⊥⊥，即,OB AE OP AE ⊥⊥,且,OB OP O =OB ⊂平面,POB OP ⊂平面POB ，∴AE⊥平面POB又AE ⊂平面ABCE ，∴平面POB⊥平面ABCE ．（2）由（1）可知四边形ABED 为菱形，2,AD DE ∴==在等腰梯形ABCD 中2,AE BC ==PAE ∴∆正三角形OP ∴=同理OB =6PB =,222OP OB PB ∴+=,∴OP⊥OB，由（1）可知,OP AE OB AE ⊥⊥，以O 为原点，,,OE OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，由题意得，各点坐标为(P ，()1,0,0A -，()B，()C ，()1,0,0E ,∴(0,3,3)(2,3,PB PC =-=，，(2,0,0),AE =设()01PQPB λλ=<<,,))AQ AP PQ AP PB λ=+=+=+=,设平面AEQ 的一个法向量为(,,)n x y z =,则00n AE n AQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即)200x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩,取0,1x y ==，得1z λλ=-，所以n ＝(0，1，1λλ-),设直线PC 与平面AEQ 所成角为02πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，则15sin cos ,5PC n PC n PC nθ⋅=<>===, 化简得：24410λλ-+=，解得12λ=, ∴存在点Q 为PB 的中点时，使直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为5.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定,平面与平面垂直的判定,线面角的向量求法,属于中档题.22.已知椭圆()2222:10x y C a ba b +=>>的离心率为2，椭圆C 截直线1x =所得线段的长.过椭圆C 上的动点P 作圆22(1)1x y -+=的两条切线分别交y 轴于,M N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求线段MN 长度的最大值，并求此时点P 的坐标．【答案】（1）2212xy+=（2）||MN取得最大值P位置是椭圆的左顶点(【解析】【分析】(1)根据离心率为2,椭圆C截直线1x=,列式可解得;(2)先求出点P的横坐标的取值范围,再设出过点P的圆的切线方程为y kx b=+,根据圆心到直线的距离求出212bkb-=,可得2(2)20x b yb x--+=,根据韦达定可得001212002,22y xb b b bx x--+==--,再求出弦长,并利用单调性求出最大值即可.【详解】解：（1）∵椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的离心率为2，所以2ca=,所以222a c=,又222a b c=+,∴,b c a==，当1x=时，22211y ba⎛⎫=-⋅⎪⎝⎭21(22==，∴222,1a b==，∴椭圆的方程是2212xy+=．（2）设00)(,P x y,由22221,2(1)1,xyx y⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩得2x=,2x=(舍去)，因为P在椭圆上,过P作椭圆的切线有两条,如图所示:∴)(02,00,22x ⎡∈--⎣．设过点P 的圆的切线方程为y kx b =+，∵圆心()10，到直线PM 的距离为1， 211k =+，化简得212b k b-=， ∴212b y x b b-=+．所以2(2)20x b yb x --+=,设()00,P x y 则()2000220x b y b x --+=，∴001212002,22y x b b b b x x --+==--， ∴()()222220000012121212200024448||()4()222y x x y x MN b b b b b b b b x x x -+-=-=-=+-=+=---．∵()00,P x y 是椭圆上的点，∴220012x y +=，所以220012x y =-, ∴()()()()22022000002222000044(1)822428442||2(2)222x x x x x x MN x x x x +-----+====-----， 令24()2(2)f x x =--(2,0)(0,22)x ∈-⋃-,∴()f x =[上单调递减，在(0,2内也是单调递减，所以2x =时,()f x 取得最小值1,x =,()f x 取得最大值又0x ≠,所以()(0)1f x f ≠= , ∴()()(0,11,22f x ∈，所以当0x =||MN 取得最大值此时点P 位置是椭圆的左顶点(．【点睛】本题考查了求椭圆标准方程,,点到直线距离,圆的切线方程,利用单调性求最大值,属于难题.。
【名师推荐资料】福建省福州市八县一中2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理
福建省福州市八县一中2017-2018学年高二数学上学期期中试题理完卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1．已知数列1,54,43,32,21+n n，则96.0是该数列的( ) A .第20项 B .第22项 C .第24项 D .第26项2．已知：10<<x ，则函数)1(x x y -=的最大值为（ ）A .21B . 41C .81D .913．若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（ ）A .若0a b <<，则22a ab b >>B .若0a b <<，则11a b< C .若0a b <<，则b aa b> D .若a b >，则22ac bc > 4. 已知数列{}n a 的通项公式为325n a n =-，当n S 取到最小值时，n =( )A .5B .6C .7D .85．某观察站C 与两灯塔B A ,的距离分别为km 2和km 3，测得灯塔A 在观察站C 北偏西︒30，灯塔B 在观察站C 北偏东︒30，则两灯塔B A ,间的距离为（ ）A .km 345- B .km 4 C .km 7D .km 136．在等比数列{}n a 中，已知11a =，48a =，若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第2项和第6项，则数列{}n b 的前7项和为（ ）A .49B .70C .98D .1407．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，B a c cos 2=,则ABC ∆的形状为（ ）A . 等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形8．设R x ∈，对于使22x x M -≥恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值1-叫做22x x -的下确界．若,a b R *∈，且1a b +=，则114a b+的下确界为（ ） A .415 B .4 C .2 D .49 9．若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围 是（ ）A .)2,(-∞B .)2,2(-C .]2,2(-D .)2,(--∞10．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理。