2015-2016学年河南省洛阳市九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2015-2016学年河南省洛阳市九年级（上）期末数学试卷一、选择题1.下列四种标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2.方程x2-3x=0的解为（）A．x=0B．x=3C．x1=0，x2=-3D．x1=0，x2=3 3.下列说法中不正确的是（）A．“某射击运动员射击一次，正中把靶心”属于随机事件B．“13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件C．“在标准大气压下，当温度降到-1℃时，水结成冰”属于随机事件D．“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件.对于反比例函数y=，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，-3）B．图象在第二、四象限C．x＞0时，y随x的增大而增大D．x＜0时，y随x增大而减小5.直角坐标平面上将二次函数y=x2-2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（）A．（0，0）B．（1，-1）C．（0，-1）D．（-1，-1）6.如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长均为1厘米，则这个圆锥的底面半径为（）厘米．A．B．C．D．7.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（）A．60°B．75°C．85°D．90°8.如图，AC、BD为圆O的两条互相垂直的直径，动点P从圆心O出发，沿O→C→D→O的路线作匀速运动，设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，那么表示y与t之间函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题9.若点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，则（m+n）2015=__________．10.在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是__________．11.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=100°，AC平分∠BAD，则∠BDC的度数为__________°．12.如图，A、B是函数y=的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则S=__________．13.如图，已知函数y=-与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+=0的解是__________．14.如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙O相交于点F．若的长为，则图中阴影部分的面积为__________．15.如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为__________．三、解答题16.已知关于x的一元二次方程x2+2（k-3）x+k2-9=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．17.“五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．（1）该顾客至多可得到__________元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．18.如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD的延长线的垂线PQ，垂足为C．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为2，若过点O作OE⊥AD，垂足为E，OE=，求弦AD的长．19.如图，一次函数y=-2x+8与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出的-2x+8-＜0时x的取值范围；（3）求△AOB的面积．20.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？21.如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高OA为2.44m．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）（2）守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？22.（1）如图1，平面内有一等腰直角三角板ABC（∠ACB=90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN 于点E，过点B作BF⊥MN于点F，试证明线段AF，BF，CE之间的数量关系为AF+BF=2CE．（提示：过点C作BF的垂线，利用三角形全等证明．）（2）若三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，试猜想线段AF、BF、CE之间的数量关系，并证明你的猜想．（3）若三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变，则线段AF、BF、CE之间的数量关系为__________23.如图，以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过A（4，0）和B（0，4）两点，其顶点为C．（1）求该抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内．①设△ABM的面积为S，试求S的最大值；②若S为整数，则这样的M点有__________个．2015-2016学年河南省洛阳市九年级（上）期末数学试卷试卷的答案和解析1.答案：B2.答案：D3.答案：C4.答案：D5.答案：D6.答案：B7.答案：C8.答案：C9.答案：故答案为：-52015．10.答案：故答案为：10．11.答案：故答案为：40．12.答案：故答案为：4．13.答案：故答案为：x=-3．14.答案：故答案为2-．15.答案：故答案为：．16.答案：试题解析：（1）△=b2-4ac=[2（k-3）]2-4（k2-9）=-24k+72＞0，解得：k＜3；（2）当0是方程的根，则k2-9=0，解得：k1=3（不合题意舍去），k2=-3，故x2-12x=0，解得：x1=12，x2=0，故它的另一个根为12．17.答案：试题解析：（1）则该顾客至多可得到购物券：50+20=70（元）；故答案为：70；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，该顾客所获得购物券的金额不低于50元的有6种情况，∴该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率为：=．18.答案：试题解析：（1）证明：连接OT，如图1所示：∵OA=OT，∴∠OAT=∠OTA，∵AT平分∠BAD，∴∠OAT=∠CAT，∴∠OTA=∠CAT，∴OT∥AC，∵PQ⊥AC，∴PQ⊥OT，∴PQ是⊙O的切线；（2）如图2所示：∵OE⊥AD，∴AE=DE，∠AEO=90°，∴AE===1，∴AD=2AE=2．19.答案：试题解析：（1）把A（m，6），B（3，n）两点分别代入y=-2x+8得6=-m+8，n=-2×3+8，解得m=1，n=2，∴A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），把A（1，6）代入y=求得k=1×6=6，∴反比例函数解析式为y=；（2）-2x+8-＜0时x的取值范围是0＜x＜1或x＞3．（3）由直线y=-2x+8可知与x轴的交点为（4，0），∴S△AOB=×4×6-×4×2=8．20.答案：试题解析：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得10（1+x）2=12.1，解得x1=0.1，x2=-2.2（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）=13.31（万件）．∵平均每人每月最多可投递0.6万件，∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21=12.6＜13.31，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务∴需要增加业务员（13.31-12.6）÷0.6=1≈2（人）．答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．21.答案：试题解析：（1）抛物线的顶点坐标是（4，3），设抛物线的解析式是：y=a （x-4）2+3，把（10，0）代入得36a+3=0，解得a=-，则抛物线是y=-（x-4）2+3，当x=0时，y=-×16+3=3-=＜2.44米，故能射中球门；（2）当x=2时，y=-（2-4）2+3=＞2.52，∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，当y=2.52时，y=-（x-4）2+3=2.52，解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去），∴2-1.6=0.4（m），答：他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门．22.答案：试题解析：（1）证明：如图1，过点C做CD⊥BF，交FB的延长线于点D ，∵CE⊥MN，CD⊥BF，∴∠CEA=∠D=90°，∵CE⊥MN，CD⊥BF，BF⊥MN，∴四边形CEFD为矩形，∴∠ECD=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACB-∠ECB=∠ECD-∠ECB，即∠ACE=∠BCD，又∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=BC，在△ACE和△BCD 中，，∴△ACE≌△BCD（AAS），∴AE=BD，CE=CD，又∵四边形CEFD为矩形，∴四边形CEFD为正方形，∴CE=EF=DF=CD，∴AF+BF=AE+EF+BF=BD+EF+BF=DF+EF=2CE，（2）AF-BF=2CE图2中，过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G ，∵AC=BC可得∠AEC=∠CGB，∠ACE=∠BCG，在△CBG和△CAE 中，，∴△CBG≌△CAE（AAS），∴AE=BG，∵AF=AE+EF，∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF，∴AF-BF=2CE；（3）BF-AF=2CE；如图3，过点C做CD⊥BF，交FB的于点D ，∵AC=BC可得∠AEC=∠CDB，∠ACE=∠BCD，在△CBD和△CAE 中，，∴△CBD≌△CAE（AAS），∴AE=BD，∵AF=AE-EF，∴AF=BD-CE=BF-FD-CE=BF-2CE，∴BF-AF=2CE．故答案为：BF-AF=2CE．23.答案：试题解析：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点为A（4，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），设抛物线的解析式为y=a （x+2）（x-4），把B（0，4）代入得a•2•（-4）=4，解得a=-，∴抛物线的解析式为y=-（x+2）（x-4），即y=-x2+x+4；∵y=-（x-1）2+，∴抛物线的顶点C的坐标为（1，）；（2）①过M点作MN∥y轴交AB于N点，如图，设AB的解析式为y=mx+n，把B（0，4）、A（4，0）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y=-x+4，设M（t，-t2+t+4），则N（t，-t+4），∴MN=-t2+t+4-（-t+4）=-t2+2t，∴S=S△BMN+S△AMN=•4•MN =•4•（-t2+2t）=-t2+4t=-（t-2）2+4，∴当t=2时，S有最大值，最大值为4；②∵0＜t＜4，∴当t=1、2、3时，S为整数，即这样的M点有3个．故答案为3．。
河南省洛阳市九年级上期末数学试卷(有答案)
河南省洛阳市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．方程2＝的解是（）A．1＝3，2＝﹣3B．1＝1，2＝0C．1＝1，2＝﹣1D．1＝3，2＝﹣12．关于的一元二次方程2+8+q＝0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（）A．q＜16B．q＞16C．q≤4D．q≥43．抛物线y＝（+2）2﹣2的顶点坐标是（）A．（2，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（﹣2，﹣2）4．将抛物找y＝22向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物找解析式为（）A．y＝2（﹣4）2+1B．y＝2（﹣4）2﹣1C．y＝2（+4）2+1D．y＝2（+4）2﹣15．下列图形：（1）等边三角形，（2）矩形，（3）平行四边形，（4）菱形，是中心对称图形的有（）个A．4B．3C．2D．16．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠P＝66°，则∠C＝（）A．57°B．60°C．63°D．66°7．下列事件中，是随机事件的是（）A．任意画一个三角形，其内角和为180°B．经过有交通信号的路口，遇到红灯C．太阳从东方升起D．任意一个五边形的外角和等于540°8．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（）A．B．C．D．9．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝（）A．3B．4C．5D．610．如图，AB⊥OB，AB＝2，OB＝4，把∠ABO绕点O顺时针旋转60°得∠CDO，则AB 扫过的面积（图中阴影部分）为（）A．2B．2πC．D．π二、填空题（每小题3分，共15分)11．若关于的一元二次方程（m﹣2）2+3+m2﹣4＝0有一个根为0，则另一个根为．12．抛物线y＝2﹣4+3与轴两个交点之间的距离为．13．在半径为40cm的⊙O中，弦AB＝40cm，则点O到AB的距离为cm．14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3+3与轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形，点D恰好在双曲线上，则值为．15．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D 点重合，AB′交CD于点E．若AB＝6，则△AEC的面积为．四、解答题(8个小题，共75分)16．（8分）已知，如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于E．求证：DE⊥AE．17．（8分）如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽．18．（9分）“五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．（1）该顾客至多可得到元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．19．（9分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m （件）与每件的销售价（元）满足一次函数关系m＝162﹣3．（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价（元）之间的函数关系式．（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．20．（10分）如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求CD的长．21．（10分）如图，一次函数y＝+b与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式+b＞的解集；（3）过点B作BC⊥轴，垂足为C，求S△ABC．22．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，O是AB的中点，AC＝6，∠MON ＝90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别交边AC于点D，交边BC于点E（D、E 不与A、B、C重合）（1）判断△ODE的形状，并说明理由；（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积是否发生变化？若不改变，直接写出这个值，若改变，请说明理由；（3）如图2，DE的中点为G，CG的延长线交AB于F，请直接写出四边形CDFE的面积S 的取值范围．23．（11分）如图，抛物线y＝﹣2+b+c与轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣+3与y轴交于点C，与轴交于点D．点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P 作PF⊥轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）求PE的长最大时m的值．（3）Q是平面直角坐标系内一点，在（2）的情况下，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．河南省洛阳市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．方程2＝的解是（）A．1＝3，2＝﹣3B．1＝1，2＝0C．1＝1，2＝﹣1D．1＝3，2＝﹣1【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程求解．【解答】解：方程变形得：2﹣＝0，分解因式得：（﹣1）＝0，可得＝0或﹣1＝0，解得：1＝1，2＝0．故选：B．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．关于的一元二次方程2+8+q＝0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（）A．q＜16B．q＞16C．q≤4D．q≥4【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝64﹣4q＞0，解之即可得出q的取值范围．【解答】解：∵关于的一元二次方程2+8+q＝0有两个不相等的实数根，∴△＝82﹣4q＝64﹣4q＞0，解得：q＜16．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．3．抛物线y＝（+2）2﹣2的顶点坐标是（）A．（2，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（﹣2，﹣2）【分析】根据二次函数的顶点式方程可地直接写出其顶点坐标．【解答】解：∵抛物线为y＝（+2）2﹣2，∴顶点坐标为（﹣2，﹣2），故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标的求法，掌握二次函数的顶点式y＝a（﹣h）2+是解题的关键．4．将抛物找y＝22向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物找解析式为（）A．y＝2（﹣4）2+1B．y＝2（﹣4）2﹣1C．y＝2（+4）2+1D．y＝2（+4）2﹣1【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物找y＝22向左平移4个单位所得直线解析式为：y＝2（+4）2；再向下平移1个单位为：y＝2（+4）2﹣1．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．5．下列图形：（1）等边三角形，（2）矩形，（3）平行四边形，（4）菱形，是中心对称图形的有（）个A．4B．3C．2D．1【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．【解答】解：矩形，平行四边形，菱形是中心对称图形，等边三角形不是中心对称图形，故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠P＝66°，则∠C＝（）A．57°B．60°C．63°D．66°【分析】连接OA，OB，根据切线的性质定理得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，根据四边形的内角和等于360°求出∠AOB，根据圆周角定理解答．【解答】解：连接OA，OB，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣66°＝114°，由圆周角定理得，∠C＝∠AOB＝57°，故选：A．【点评】本题考查的是切线的性质，圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．7．下列事件中，是随机事件的是（）A．任意画一个三角形，其内角和为180°B．经过有交通信号的路口，遇到红灯C．太阳从东方升起D．任意一个五边形的外角和等于540°【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件；B、经过有交通信号的路口，遇到红灯是随机事件；C、太阳从东方升起是必然事件；D、任意一个五边形的外角和等于540°是不可能事件；故选：B．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．8．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可．【解答】解：黑色区域的面积＝3×3﹣×3×1﹣×2×2﹣×3×1＝4，所以击中黑色区域的概率＝＝．故选：C．【点评】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．9．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝（）A．3B．4C．5D．6【分析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y＝的系数，由此即可求出S1+S2．【解答】解：∵点A、B是双曲线y＝上的点，分别经过A、B两点向轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于||＝4，∴S1+S2＝4+4﹣1×2＝6．故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度．10．如图，AB⊥OB，AB＝2，OB＝4，把∠ABO绕点O顺时针旋转60°得∠CDO，则AB 扫过的面积（图中阴影部分）为（）A．2B．2πC．D．π【分析】根据勾股定理得到AC，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵∠AB⊥OB，AB＝2，OB＝4，∴OA＝2，∴边AB扫过的面积＝﹣＝π，故选：C．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分)11．若关于的一元二次方程（m﹣2）2+3+m2﹣4＝0有一个根为0，则另一个根为．【分析】先把＝2代入方程（m﹣2）2+3+m2﹣4＝0得到满足条件的m的值为﹣2，此时方程化为42﹣3＝0，设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到0+t＝，然后求出t 即可．【解答】解：把＝2代入方程（m﹣2）2+3+m2﹣4＝0得方程m2﹣4＝0，解得m1＝2，m2＝﹣2，而m﹣2≠0，所以m＝﹣2，此时方程化为42﹣3＝0，设方程的另一个根为t，则0+t＝，解得t＝，所以方程的另一个根为．故答案为．【点评】本题考查了根与系数的关系：若1，2是一元二次方程a2+b+c＝0（a≠0）的两根时，1+2＝﹣，12＝．12．抛物线y＝2﹣4+3与轴两个交点之间的距离为2．【分析】令y＝0，可以求得相应的的值，从而可以求得抛物线与轴的交点坐标，进而求得抛物线y＝2﹣4+3与轴两个交点之间的距离．【解答】解：∵抛物线y＝2﹣4+3＝（﹣3）（﹣1），∴当y＝0时，0＝（﹣3）（﹣1），解得，1＝3，2＝1，∵3﹣1＝2，∴抛物线y＝2﹣4+3与轴两个交点之间的距离为2，故答案为：2．【点评】本题考查抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．13．在半径为40cm的⊙O中，弦AB＝40cm，则点O到AB的距离为20cm．【分析】作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理计算即可．【解答】解：作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝AB＝20，在Rt△OAC中，OC＝＝20（cm）故答案为：20．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3+3与轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形，点D恰好在双曲线上，则值为4．【分析】作DE⊥轴于点E，易证△OAB≌△EDA，求得A、B的坐标，根据全等三角形的性质可以求得D的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，即可求解．【解答】解：作DE⊥轴于点E．在y＝﹣3+3中，令＝0，解得：y＝3，即B的坐标是（0，3）．令y＝0，解得：＝1，即A的坐标是（1，0）．则OB＝3，OA＝1．∵∠BAD＝90°，∴∠BAO+∠DAE＝90°，又∵Rt△ABO中，∠BAO+∠OBA＝90°，∴∠DAE＝∠OBA，在△OAB和△EDA中，∵，∴△OAB≌△EDA（AAS），∴AE＝OB＝3，DE＝OA＝1，故D的坐标是（4，1），代入y＝得：＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得D的坐标是关键．15．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D 点重合，AB′交CD于点E．若AB＝6，则△AEC的面积为4．【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD＝30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC＝∠ECA，利用等角对等边得到AE＝CE，设AE＝CE＝，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．【解答】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD＝AC′＝AC，∴在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，即∠DAC＝60°，∴∠DAD′＝60°，∴∠DAE＝30°，∴∠EAC＝∠ACD＝30°，∴AE＝CE，在Rt△ADE中，设AE＝EC＝，则有DE＝DC﹣EC＝AB﹣EC＝6﹣，AD＝×6＝2，根据勾股定理得：2＝（6﹣）2+（2）2，解得：＝4，∴EC＝4，则S△AEC＝EC?AD＝4．故答案为：4．【点评】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．四、解答题(8个小题，共75分)16．（8分）已知，如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于E．求证：DE⊥AE．【分析】由切线的性质可知∠ODE＝90°，纵坐标OD∥AE即可解决问题；【解答】证明：连接OD．∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAB，∴∠CAB＝∠ADO，∴OD∥AE，∴∠E+∠ODE＝180°，∴∠E＝90°，∴DE⊥AE．【点评】本题考查切线的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（8分）如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽．【分析】如果设小路的宽度为m，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2），（9﹣）；那么根据题意即可得出方程．【解答】解：设小路的宽度为m，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2），（9﹣）．根据题意即可得出方程为：（16﹣2）（9﹣）＝112，解得1＝1，2＝16．∵16＞9，∴＝16不符合题意，舍去，∴＝1．答：小路的宽为1m．【点评】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．18．（9分）“五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．（1）该顾客至多可得到70元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．【分析】（1）由题意可得该顾客至多可得到购物券：50+20＝70（元）；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客所获得购物券的金额不低于50元的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）则该顾客至多可得到购物券：50+20＝70（元）；故答案为：70；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，该顾客所获得购物券的金额不低于50元的有6种情况，∴该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率为：＝．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．（9分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m （件）与每件的销售价（元）满足一次函数关系m＝162﹣3．（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价（元）之间的函数关系式．（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．【分析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润＝（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围．（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（﹣30）元，那么m件的销售利润为y＝m（﹣30），又∵m＝162﹣3，∴y＝（﹣30）（162﹣3），即y＝﹣32+252﹣4860，∵﹣30≥0，∴≥30．又∵m≥0，∴162﹣3≥0，即≤54．∴30≤≤54．∴所求关系式为y＝﹣32+252﹣4860（30≤≤54）．（2）由（1）得y＝﹣32+252﹣4860＝﹣3（﹣42）2+432，所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．∵500＞432，∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润＝（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法．20．（10分）如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求CD的长．【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD，根据圆周角定理，等腰三角形的定义证明；（2）作AE⊥CD于E，根据等腰直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出AE、CE，DE，结合图形计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，由圆周角定理得，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，∴∠AOD＝∠BOD，∴DA＝DB，即△ABD是等腰三角形；（2）解：作AE⊥CD于E，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB＝5，∵AE⊥CD，∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝AC＝3，在Rt△AED中，DE＝＝4，∴CD＝CE+DE＝3+4＝7．【点评】本题考查的是圆周角定理，勾股定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．21．（10分）如图，一次函数y＝+b与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式+b＞的解集；（3）过点B作BC⊥轴，垂足为C，求S△ABC．【分析】（1）由一次函数y＝+b与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点，首先求得反比例函数的解析式，则可求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）根据图象，观察即可求得答案；（3）因为以BC为底，则BC边上的高为3+2＝5，所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案．【解答】解：（1）∵点A（2，3）在y＝的图象上，∴m＝6，∴反比例函数的解析式为：y＝，∵B（﹣3，n）在反比例函数图象上，∴n＝＝﹣2，∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y＝+b上，∴，解得：，∴一次函数的解析式为：y＝+1；（2）﹣3＜＜0或＞2；（3）以BC为底，则BC边上的高AE为3+2＝5，∴S△ABC＝×2×5＝5．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．注意待定系数法的应用是解题的关键．22．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，O是AB的中点，AC＝6，∠MON ＝90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别交边AC于点D，交边BC于点E（D、E 不与A、B、C重合）（1）判断△ODE的形状，并说明理由；（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积是否发生变化？若不改变，直接写出这个值，若改变，请说明理由；（3）如图2，DE的中点为G，CG的延长线交AB于F，请直接写出四边形CDFE的面积S 的取值范围．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，OC平分∠ACB，求得∠AOD ＝∠COE，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到四边形CDOE的面积＝△AOC的面积，根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）当四边形CDFE是正方形时，其面积最大，根据正方形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）△ODE是等腰直角三角形，理由：连接OC，在等腰Rt△ABC中，∵O是AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，∴∠OCE＝45°，OC＝OA＝OB，∠COA＝90°，∵∠DOE＝90°，∴∠AOD＝∠COE，在△AOD与△COE中，，∴△AOD≌△COE，（ASA），∴OD＝OE，∴△ODE是等腰直角三角形；（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积不发生变化，∵△AOD≌△COE，∴四边形CDOE的面积＝△AOC的面积，∵AC＝6，∴AB＝6，∴AO＝OC＝AB＝3，∴四边形CDOE的面积＝△AOC的面积＝×3×3＝9；（3）当四边形CDFE是正方形时，其面积最大，四边形CDFE面积的最大值＝9，故四边形CDFE的面积S的取值范围为：0＜S≤9．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，连接OC构造全等三角形是解题的关键．23．（11分）如图，抛物线y＝﹣2+b+c与轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣+3与y轴交于点C，与轴交于点D．点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P 作PF⊥轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）求PE的长最大时m的值．（3）Q是平面直角坐标系内一点，在（2）的情况下，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点C，D的坐标，进而可得出0＜m＜4，由点P的横坐标为m可得出点P，E的坐标，进而可得出PE＝﹣m2+m+2，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）分PE为对角线、PC为对角线、CD为对角线三种情况考虑，由平行四边形的性质（对角线互相平分）结合点P，C，D的坐标可求出点Q的坐标，此题得解．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝﹣2+b+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣2+4+5．（2）∵直线y＝﹣+3与y轴交于点C，与轴交于点D，∴点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（4，0），∴0＜m＜4．∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为（m，﹣m2+4m+5），点E的坐标为（m，﹣m+3），∴PE＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+．∵﹣1＜0，0＜＜4，∴当m＝时，PE最长．（3）由（2）可知，点P的坐标为（，）．以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形分三种情况（如图所示）：①以PD为对角线，∵点P的坐标为（，），点D的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），∴点Q的坐标为（+4﹣0，+0﹣3），即（，）；②以PC为对角线，∵点P的坐标为（，），点D的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），∴点Q的坐标为（+0﹣4，+3﹣0），即（﹣，）；③以CD为对角线，∵点P的坐标为（，），点D的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），∴点Q的坐标为（0+4﹣，3+0﹣），即（，﹣）．综上所述：在（2）的情况下，存在以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（，）、（﹣，）或（，﹣）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数的性质解决最值问题；（3）分PE为对角线、PC为对角线、CD为对角线三种情况，利用平行四边形的性质求出点Q的坐标．。
2015-2016学年度第一学期期末测试(数学)
2015～2016学年度第一学期期末测试七 年 级 数 学本卷分值 100分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．34-的相反数是A ．43-B ．43C ．34-D ．342．单项式225x y-的系数和次数分别是A ．－2，2B ．2-，3C ．25-，2D ．25-，33．在下面的四幅图案中，通过平移图案（1）得到的是图案4．下列各组中的两项，不是．．同类项的是 A ．22x y 与23x y - B ．3x 与3xC ．232ab c -与32c b aD ．1与－18 5．若关于x 的方程710x a +-=解是1x =-，则a 的值等于A ．8B ．－8C ．6D ．－6 6．从三个不同方向看一个几何体，得到的三视图 如图所示，则这个几何体是A ．圆锥B ．圆柱C ．棱锥D ．球7．已知有理数a ，b 在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中不正确．．．的是 A ．ab＜0 B ．a －b ＞0 C ．a ＋b ＞0 D ．ab ＜0b 0a（1） A B C D（第6题）（第7题）8． 如图，直线a ，b 被直线c 所截，则下列说法中错误．．的是 A ．∠1与∠2是邻补角 B ．∠1与∠3是对顶角C ．∠3与∠4是内错角D ．∠2与∠4是同位角 9． 如图，点D 在直线AE 上，量得∠CDE=∠A=∠C ，有以下三个结论：①AB ∥CD ；②AD ∥BC ；③∠B=∠CDA ．则正确的结论是A ．①②③B ．①②C ．①D ．②③ 10．王力骑自行车从A 地到B 地，陈平骑自行车从B 地到A 地，两人都沿同一公路匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36 km ，到中午12时，两人又相距36 km ．求A 、B 两地间的路程．可设A 、B 两地间的路程为x km ，则下列所列方程中：①363624x x -+=；②36363622x -+=；③36362x -=⨯； ④3636x -=；其中正确的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 11．用科学记数法表示9600000为 ▲ ．12．点A 、B 在同一条数轴上，其中点A 表示的数为－1，若点B 与点A 之间距离为3，则点B 表示的数为 ▲ ． 13．已知2a b -的值是2015，则124a b -+的值等于 ▲ ．14．若23(2)0x y -++=，则16xy = ▲ ．15．飞机的无风航速为a 千米／小时，风速为20千米／小时．则飞机逆风飞行4小时的行程是 ▲ 千米．16．某服装店以每件180元的价格卖出两件衣服，其中一件 盈利25%，另一件亏损25%，若盈利记为正，亏损记为负，则该店卖这两件衣服总的盈亏金额是 ▲ 元．17．如图，把小河里的水引到田地A 处就作AB ⊥l ，垂足 为B ，沿AB 挖水沟，这条水沟最短的理由是 ▲ ． 18. 如图，将三角板与两组对边分别平行的直尺贴在一起， 使三角板的顶点C （AC ⊥BC ）落在直尺的一边上，若∠1=24°，则∠2等于 ▲ 度． 19．如图，平面内有公共端点的6条射线OA 、OB 、OC 、 OD 、OE 、OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在 射线上写上数字1、2、3、4、5、6、7…，则数字 “2016”应在射线 ▲ 上．20．已知线段AB =12㎝，若M 是AB 的三等分点，N 是AM 的中点，则线段BN 的长度为 ▲ ㎝．三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文ac1 234 A B C DE（第8题） （第9题）（第17题）（第18题）（第19题）字说明、证明过程或演算步骤） 21．（每小题4分，共16分）计算：（1） (20)(3)(5)(7)-++---+；（2） 111()(12)462+-⨯-；（3） 322(2)(3)(4)2(3)(2)⎡⎤-+-⨯-+--÷-⎣⎦；（4） 471127326631440-+⨯-⨯÷．22．（每小题3分，共6分）（1）如图，点D 是线段AB 的中点，C 是线段AD 的中点，若AB ＝4㎝，求线段CD的长度．（2）如图，货船A 在灯塔O 的北偏东53°35′的方向上，客船B 在灯塔O 的南偏东28°12′的方向上．求∠AOB 的度数．23．（每小题4分，共8分）先化简，再求值：（1）求22113333a abc c a c +--+的值，其中1,2,36abc =-==-；（2）求2211312()()2323x x y x y --+-+的值，其中22,3x y =-=．24．（每小题4分，共8分）解方程： （1）72(33)20x x +-=； （2）121224x x+--=+．25．（本小题6分）如图，AD ∥BC ，∠1=60°，∠B =∠C ，DF 为∠ADC 的平分线． （1）求∠ADC 的度数；（2）试说明DF ∥AB ． 解：（1）根据题意完成填空（括号内填写理由）： ∵AD ∥BC （已知）∴∠B =∠1（ ） 又∵∠B =∠C （已知） ∴ =∠1=60°C D （第22题（2）） A O B 西 东 北南 （第22题（1））又∵AD ∥BC （已知）∴∠ADC +∠C =180°（ ） ∴∠ADC = ．（2）请你完成第2题的解答过程：26．（本小题4分）列方程解应用题：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 27．（本小题6分）如图：已知AB ∥CD ，∠ABE 与∠CDE 两个角的角平分线相交于点F ． （1）如图1，若∠E ＝78°，则∠BFD = °；（2）如图2，若∠ABM ＝14∠ABF ，∠CDM ＝14∠CDF ，则∠M 和∠E 之间的数量关系为 ；（3）如图2，∠ABM ＝1n ∠MBF ，∠CDM ＝1n∠MDF ，设∠M ＝m °，直接用含有n ，m 的代数式表示出∠E ＝ °．28．（本小题6分）如图，在∠AOB 的内部作射线OC ，使∠AOC 与∠AOB 互补．将射线OA ，OC 同时绕点O 分别以每秒12°，每秒8°的速度按逆时针方向旋转，旋转后的射线OA ，OC 分别记为OM ，ON ，设旋转时间为t 秒．已知t ＜30，∠AOB ＝114°． （1）求∠AOC 的度数；（2）在旋转的过程中，当射线OM ，ON 重合时，求 t 的值； （3）在旋转的过程中，当∠COM 与∠BON 互余时，求 t 的值．BE DFACBE DFA CM 图1图2CMNB（第27题）。
2016-2017年河南省洛阳市初三上学期期末数学试卷及答案
2016-2017学年河南省洛阳市初三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A．5B．﹣1C．2D．﹣52．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A．45°B．50°C．60°D．75°3．（3分）下列说法中正确的是（）A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件B．“x2＜0（x是实数）”是随机事件C．掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上D．为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况，宜采用普查方式调查4．（3分）如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（）A．5B．7C．9D．115．（3分）某校九年级共有1、2、3、4四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（）A．B．6C．D．7．（3分）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y3 8．（3分）反比例函数y=（a＞0，a为常数）和y=在第一象限内的图象如图所示，点M在y=的图象上，MC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，当点M在y=的图象上运动时，以下结论：=S△OCA；①S△ODB②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（每小题3分，共21分）9．（3分）关于x的一元二次方程x2+kx+4=0有两个相等的实数根，则k=．10．（3分）已知正六边形的边长为1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为cm（结果保留π）．11．（3分）将抛物线y=﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为．12．（3分）三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则该三角形的周长为．13．（3分）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球个．14．（3分）如图，点A在函数y=（x＞0）的图象上，且OA=4，过点A作AB ⊥x轴于点B，则△ABO的周长为．15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB 平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的（把你认为正确结论的序号都填上）三、解答题（本大题共75分）16．（8分）为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计，将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．请结合图中信息，解决下列问题：（1）求此次调查中接受调查的人数．（2）求此次调查中结果为非常满意的人数．（3）兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访，已知4位市民中有2位来自甲区，另2位来自乙区，请用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自甲区的概率．17．（8分）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．18．（9分）如图，在⊙O中，点D是⊙O上的一点，点C是直径AB延长线上一点，连接BD，CD，且∠A=∠BDC．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM=2时，求MN的长．19．（9分）如图，已知A（﹣3，n），B（2，﹣3）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=的图象的两个交点．（1）写出一次函数和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出方程kx+b﹣=0的解；（3）观察图象，直接写出kx+b﹣＜0的解集；（4）求△AOB的面积．20．（10分）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，求此时售价的范围．21．（10分）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为12π，求⊙O的半径r．22．（10分）如图1，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），判断△ACN的形状并说明理由；（2）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时（A，B，M三点在同一直线上），（1）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．23．（11分）如图1，二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．（1）求这个二次函数的表达式；（2）如图2，设抛物线与x轴的另一个交点为C，点M是线段AC上的一个动点，过点M作直线MN平行于y轴，交抛物线于点N，求线段MN的最大值；（3）点P在x轴上，△PAB为等腰三角形，写出点P的坐标．（备注：两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的距离为|PQ|=）2016-2017学年河南省洛阳市初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A．5B．﹣1C．2D．﹣5【解答】解：∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，设另一个根为m，∴﹣2+m=，解得，m=﹣1，故选：B．2．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A．45°B．50°C．60°D．75°【解答】解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠ABC=∠AOC；∵∠ADC=β，∠ADC=α；而α+β=180°，∴，解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，故选：C．3．（3分）下列说法中正确的是（）A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件B．“x2＜0（x是实数）”是随机事件C．掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上D．为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况，宜采用普查方式调查【解答】解：选项A中的事件是随机事件，故选项A错误；选项B中的事件是不可能事件，故选项B错误；选项C中的事件是随机事件，故选项C正确；选项D中的事件应采取抽样调查，普查不合理，故选D错误；故选：C．4．（3分）如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（）A．5B．7C．9D．11【解答】解：由题意可得，OA=13，∠ONA=90°，AB=24，∴AN=12，∴ON=，故选：A．5．（3分）某校九年级共有1、2、3、4四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到1班和2班的结果数为2，所以恰好抽到1班和2班的概率==．故选：B．6．（3分）把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（）A．B．6C．D．【解答】解：连接BC′，∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAD′=45°，∴B在对角线AC′上，∵B′C′=AB′=3，在Rt△AB′C′中，AC′==3，∴BC′=3﹣3，在等腰Rt△OBC′中，OB=BC′=3﹣3，在直角三角形OBC′中，OC′=（3﹣3）=6﹣3，∴OD′=3﹣OC′=3﹣3，∴四边形ABOD′的周长是：2AD′+OB+OD′=6+3﹣3+3﹣3=6．故选：A．7．（3分）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y3【解答】解：∵y=﹣x2+2x+c，∴对称轴为x=1，P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1=y2＞y3，故选：D．8．（3分）反比例函数y=（a＞0，a为常数）和y=在第一象限内的图象如图所示，点M在y=的图象上，MC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，当点M在y=的图象上运动时，以下结论：=S△OCA；①S△ODB②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：①由于A、B在同一反比例函数y=图象上，则△ODB与△OCA的面积相等，都为×2=1，正确；②由于矩形OCMD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形MAOB的面积不会发生变化，正确；③连接OM，点A是MC的中点，则△OAM和△OAC的面积相等，∵△ODM的面积=△OCM的面积=，△ODB与△OCA的面积相等，∴△OBM与△OAM的面积相等，∴△OBD和△OBM面积相等，∴点B一定是MD的中点．正确；故选：D．二、填空题（每小题3分，共21分）9．（3分）关于x的一元二次方程x2+kx+4=0有两个相等的实数根，则k=±4．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+kx+4=0有两个相等的实数根，∴△=k2﹣4×4=0，解得：k=±4．故答案为：±4．10．（3分）已知正六边形的边长为1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为2πcm（结果保留π）．【解答】解：方法一：先求出正六边形的每一个内角=，所得到的三条弧的长度之和=3×=2πcm；方法二：先求出正六边形的每一个外角为60°，得正六边形的每一个内角120°，每条弧的度数为120°，三条弧可拼成一整圆，其三条弧的长度之和为2πcm．故答案为：2π．11．（3分）将抛物线y=﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为y=﹣x2+6x﹣11．【解答】解：抛物线y=﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为y=﹣（x﹣3）2﹣2即y=﹣x2+6x﹣11，故答案为y=﹣x2+6x﹣11．12．（3分）三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则该三角形的周长为12．【解答】解：x2﹣13x+40=0，（x﹣5）（x﹣8）=0，所以x1=5，x2=8，而三角形的两边长分别是3和4，所以三角形第三边的长为5，所以三角形的周长为3+4+5=12．故答案为12．13．（3分）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球8个．【解答】解：由题意可得，摸到黑球和白球的频率之和为：1﹣0.4=0.6，∴总的球数为：（8+4）÷0.6=20，∴红球有：20﹣（8+4）=8（个），故答案为：8．14．（3分）如图，点A在函数y=（x＞0）的图象上，且OA=4，过点A作AB ⊥x轴于点B，则△ABO的周长为2+4．【解答】解：∵点A在函数y=（x＞0）的图象上，∴设点A的坐标为（n，）（n＞0）．在Rt△ABO中，∠ABO=90°，OA=4，∴OA2=AB2+OB2，又∵AB•OB=•n=4，∴（AB+OB）2=AB2+OB2+2AB•OB=42+2×4=24，∴AB+OB=2，或AB+OB=﹣2（舍去）．∴C=AB+OB+OA=2+4．△ABO故答案为：2+4．15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB 平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的①③④⑤（把你认为正确结论的序号都填上）【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，故①正确；②∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，∴∠AOC≠∠AEC，故②不正确；③∵OC∥BD，∴∠OCB=∠DBC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠DBC，∴BC平分∠ABD，故③正确；④∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，∵OC∥BD，∴∠AFO=90°，∵点O为圆心，∴AF=DF，故④正确；⑤由④有，AF=DF，∵点O为AB中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD=2OF，故⑤正确；⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，故⑥不正确；综上可知：其中一定成立的有①③④⑤，故答案为：①③④⑤．三、解答题（本大题共75分）16．（8分）为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计，将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．请结合图中信息，解决下列问题：（1）求此次调查中接受调查的人数．（2）求此次调查中结果为非常满意的人数．（3）兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访，已知4位市民中有2位来自甲区，另2位来自乙区，请用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自甲区的概率．【解答】解：（1）∵满意的有20人，占40%，∴此次调查中接受调查的人数：20÷40%=50（人）；（2）此次调查中结果为非常满意的人数为：50﹣4﹣8﹣20=18（人）；（3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，选择的市民均来自甲区的有2种情况，∴选择的市民均来自甲区的概率为：=．17．（8分）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根，∴△=（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）=4m+5＞0，解得：m＞﹣．（2）m=1，此时原方程为x2+3x=0，即x（x+3）=0，解得：x1=0，x2=﹣3．18．（9分）如图，在⊙O中，点D是⊙O上的一点，点C是直径AB延长线上一点，连接BD，CD，且∠A=∠BDC．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM=2时，求MN的长．【解答】（1）证明：如图，连接OD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，又∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∵∠A=∠BDC；∴∠CDB+∠ODB=90°，即∠ODC=90°．∵OD是圆O的半径，∴直线CD是⊙O的切线；（2）解：∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，又∵∠A=∠BDC，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，DM=2，∴DN=DM=2，∴MN==2．19．（9分）如图，已知A（﹣3，n），B（2，﹣3）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=的图象的两个交点．（1）写出一次函数和反比例函数的解析式y=﹣x﹣1，y=﹣；（2）观察图象，直接写出方程kx+b﹣=0的解；（3）观察图象，直接写出kx+b﹣＜0的解集；（4）求△AOB的面积．【解答】解：（1）B（2，﹣3）都在反比例函数y=的图象上，∴m=2×（﹣3）=﹣6，则反比例函数的解析式是y=﹣，当x=﹣3时，y=n=2，则A的坐标是（﹣3，2）．根据题意得，解得：，则一次函数的解析式是y=﹣x﹣1．故答案是：y=﹣x﹣1，y=﹣；（2）根据题意得方程kx+b﹣=0的解是x=﹣3或2；（3）kx+b﹣＜0的解集是：﹣3＜x＜0或x＞2；（4）在y=﹣x﹣1中，令y=0，解得x=﹣1，则C的坐标是（﹣1，0）S△AOC=×1×2=1，S△BOC=×1×3=，S△AOB=S△AOC+S△BOC=1+=．20．（10分）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，求此时售价的范围．【解答】解：（1）y=300+30（60﹣x）=﹣30x+2100．（2）设每星期利润为W元，W=（x﹣40）（﹣30x+2100）=﹣30（x﹣55）2+6750．∴x=55时，W最大值=6750．∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．（3）由题意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得：52≤x≤58．21．（10分）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为12π，求⊙O的半径r．【解答】解：（1）连接OE，∵CD是⊙O的切线，∴∠CDO=90°，∵∠BOD=60°，∴∠C=30°，∠AOD=120°，∵E为的中点，∴∠AOE=∠DOE=60°，∴∠BOE=120°，∴∠C=∠OBE=∠E，∴DE∥BC，BE∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形；（2）由（1）知，==，∴∠BOE=120°，∵阴影部分面积为12π，∴=12π，∴r=6．22．（10分）如图1，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），判断△ACN的形状并说明理由；（2）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时（A，B，M三点在同一直线上），（1）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．【解答】解：（1）△ACN为等腰直角三角形．理由：如图2，∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°，∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°，∴∠NEC=135°，∵A，B，E三点在同一直线上，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°，∴∠ABC=∠NEC，∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM，∵点M为DE的中点，∴DM=EM，在△ADM和△NEM中，，∴△ADM≌△NEM（AAS），∴AD=NE，∵AD=AB，∴AB=NE，在△ABC和△NEC中，，∴△ABC≌△NEC（SAS），∴AC=NC，∠ACB=∠NCE，∵∠BCE=90°，∴∠ACN=∠BCE=90°，∴△ACN为等腰直角三角形．（2）△ACN为等腰直角三角形仍成立．证明：如图3，A、B、M三点在同一条直线上，∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°，∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°，∵A、B、M三点在同一条直线上，∴∠ABC+∠CBN=180°，∴∠ABC=∠NEC，由（1）可得，△ADM≌△NEM，∴AD=NE，∵AD=AB，∴AB=NE，在△ABC和△NEC中，，∴△ABC≌△NEC（SAS），∴AC=NC，∠ACB=∠NCE，∴∠ACN=∠BCE=90°，∴△ACN为等腰直角三角形．23．（11分）如图1，二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．（1）求这个二次函数的表达式；（2）如图2，设抛物线与x轴的另一个交点为C，点M是线段AC上的一个动点，过点M作直线MN平行于y轴，交抛物线于点N，求线段MN的最大值；（3）点P在x轴上，△PAB为等腰三角形，写出点P的坐标．（备注：两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的距离为|PQ|=）【解答】解：（1）由题意可得，解得，∴二次函数的表达式为y=x2﹣2x；（2）在y=x2﹣2x中，令y=0可得0=x2﹣2x，解得x=0或x=2，∴C（2，0），设直线AC解析式为y=kx+s，把A、C坐标代入可得，解得，∴直线AC解析式为y=﹣x+2，∵点M是线段AC上的一个动点，∴可设M（t，﹣t+2）（﹣1≤t≤2），则N（t，t2﹣2t），∴MN=﹣t+2﹣（t2﹣2t）=﹣t2+t+2=﹣（t﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当t=时，MN有最大值；（3）设P（x，0），∵A（﹣1，3），B（1，﹣1），∴PA==，PB==，AB==2，∵△PAB为等腰三角形，∴有PA=PB、PA=AB和PB=AB三种情况，①当PA=PB时，则=，解得x=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，0）；②当PA=AB时，则=2，解得x=﹣1+或x=﹣1﹣，此时P点坐标为（﹣1+，0）或（﹣1﹣，0）；③当PB=AB时，则=2，解得x=1+或x=1﹣，此时P点坐标为（1+，0）或（1﹣，0）；综上可知P点坐标为（﹣2，0）或（﹣1+，0）或（﹣1﹣，0）或（1+，0）或（1﹣，0）．。
洛阳市九年级上学期数学期末答案合集
开封市2017年上学期九年级数学期末试题一、选择题：BADD BABA二、填空题：9./(23)P -， 10.8 11.2 12.3 13.-1 14. y ＝2x 2-1 三、解答题： 15. ;221==x x 16. 1208161803ππ⨯⨯=解：扇形的弧长L=， 16r 3π∴圆的周长为，设圆的半径为，.38,3162==r r ππ 17. （1）证明:连接OD. ∵ OA=OD, AD 平分∵BAC,∵ ∵ODA=∵OAD, ∵OAD=∵CAD 。
∵ ∵ODA=∵CAD 。
∵ OD//AC 。
∵ ∵ODB=∵C=90︒。
∵ BC 是∵O 的切线。
（还有其他方法）（2）过D 点作AB 的垂线段DE ，DE=DC=3，BD=5，则BE=4，又∵AE=AC,在直角∵ABC 中运用勾股定理,设AC=x,则 222)4x 8+=+（x ，x=6， ∵ AC=618. 解：∵设每件衬衣应降价x 元:（40-x ）(20+2x)=1200,解得201=x 102=x （依题意，舍去）∵W=(40-x)(20+2x)=-2(x -15)2+1250 ∵15,1250顶点坐标（） ∵当15=x 时商场平均每天的盈利最多，最多为1250元。
19.解：(1)∵直径AB = 26m ∵OD=m AB 13262121=⨯= ∵OE ∵CD ∵CD DE 21=∵OE∵CD=5∵24 ∵OE∵ED=5∵12 ∵设OE=5x,ED= 12x ∵在Rt ∵ODE 中 22213)12()5(=+x x 解得x=1 ∵CD=2DE=2×12×1=24m (2)由（1）的OE=1×5=5m, 延长OE 交圆O 于点F∵EF=OF -OE=13-5=8m ∵)(248小时= 所以经过2小时桥洞会刚刚被灌满 20.（1）由二次函数2y x bx c =++的图象经过（－1，0）和（0，－3）两点， 得 10,3.b c c -+=⎧⎨=-⎩ 解方程组，得2,3.b c =-⎧⎨=-⎩ ∵抛物线的解析式为22 3.y x x =-- （2）令0y =，得2230x x --=. 解方程，得13x =，21x =-． ∵此二次函数的图象与x 轴的另一个交点的坐标为（3，0）.（3）当13x -<<时，y ＜0.21.（1）OB=3 （2）23'^π=BB 22.（1）P=24 =0.5； （2）①略；②P=412 =1323.解：（1）设鸡场的一边AB 的长为x 米，则168)240(=-x x 整理得：084202=+-x x 解得： 6,1421==x x∵墙长25m ∵250≤≤BC 即252400≤-≤x ，解得：205.7≤≤x ∵14=x（2）围成养鸡场面积为S ，则S=)240(x x -=x x 4022+-，∵当10=x 时，S 有最大值200. 即鸡场垂直于墙的一边AB 的长为10米时，围成养鸡场面积最大，最大值200米2.（3）不能，由（2）可知养鸡场面积最大值200米2，故养鸡场面积不能达到205米2。
河南省洛阳市2015-2016学年高二上学期期中数学试题(理科)
2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若a＜b＜0，则下列结论不正确的是（）A．＞B．＞0 C．a2＜b2D．a3＜b32．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+B．当x时，sinx+的最小值为4C．当x＞0时，≥2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=，B=45°，则角A=（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°4．不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集为（）A．（﹣2，5）B．（﹣5，2）C．（3，5）D．（﹣2，0）∪（3，5）5．下列结论正确的是（）A．若数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n+1，则{a n}为的等差数列B．若数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n﹣2，则{a n}为等比数列C．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等差数列，则，，可能构成等差数列D．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等比数列，则，，一定构成等比数列6．在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q 等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣37．设集合A={x丨﹣2≤x＜4}，B={x丨x2﹣ax﹣4≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，2）C．[0，3）D．[0，3]8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若m＞1且a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0，S2m﹣1=39，则m 等于（）A．10 B．19 C．20 D．3910．设数列{a n}满足…+2n﹣1a n=（n∈N*），通项公式是（）A．a n=B．a n= C．a n=D．a n=11．若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．212．设a n=++…+，则对任意正整数m，n（m＞n）都成立的是（）A．a m﹣a n＜B．a m﹣a n＞C．a m﹣a n＜D．a m﹣a n＞二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为．14．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n﹣1（n∈N*），则a n=．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA=，tanB=，且最长边的长为1，则△ABC最短边的长为．16．若x、y、z均为正实数，则的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2015秋•洛阳期中）（1）已知正数a，b满足a+4b=4，求+的最小值．（2）求函数f（k）=的最大值．18．（12分）（2015秋•洛阳期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2+c2=b2+ac．（1）若b=，sinC=2sinA，求c的值；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．19．（12分）（2015秋•洛阳期中）解关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）．20．（12分）（2014•余杭区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B为钝角，b=10，求a的取值范围．21．（12分）（2011•佛山一模）设数列{a n}是首项为a1（a1＞0），公差为2的等差数列，其前n项和为S n，且成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n]的通项公式；（Ⅱ）记的前n项和为T n，求T n．22．（12分）（2015秋•洛阳期中）数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}中，b n=a1•a2•a3•…•a n，数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜2．2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若a＜b＜0，则下列结论不正确的是（）A．＞B．＞0 C．a2＜b2D．a3＜b3【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式．【分析】根据幂函数的单调性即可判断．【解答】解：∵b＜a＜0，且y=x2在（﹣∞，0）上单调递增减，故a2＞b2，C错误；故选：C．【点评】本题考查不等式的基本性质，解题时要注意幂函数单调性的合理运用．2．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+B．当x时，sinx+的最小值为4C．当x＞0时，≥2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】对于A，考虑0＜x＜1即可判断；对于B，考虑等号成立的条件，即可判断；对于C，运用基本不等式即可判断；对于D，由函数的单调性，即可得到最大值．【解答】解：对于A，当0＜x＜1时，lgx＜0，不等式不成立；对于B，当xx时，sinx∈（0，1]，sinx+的最小值4取不到，由于sinx=2不成立；对于C，当x＞0时，≥2=2，当且仅当x=1等号成立；对于D，当0＜x≤2时，x﹣递增，当x=2时，取得最大值．综合可得C正确．故选：C．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题和易错题．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=，B=45°，则角A=（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由正弦定理可解得sinA==，利用大边对大角可得范围A∈（0，45°），从而解得A的值．【解答】解：∵a=1，b=，B=45°，∴由正弦定理可得：sinA===，∵a=1＜b=，由大边对大角可得：A∈（0，45°），∴解得：A=30°．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质等知识的应用，解题时要注意分析角的范围．4．不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集为（）A．（﹣2，5）B．（﹣5，2）C．（3，5）D．（﹣2，0）∪（3，5）【考点】指、对数不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用对数的定义、性质能求出不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集．【解答】解：∵lg（x2﹣3x）＜1，∴，解得﹣2＜x＜0或3＜x＜5，∴不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集为（﹣2，0）∪（3，5）．故选：D．【点评】本题考查不等式的解集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．5．下列结论正确的是（）A．若数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n+1，则{a n}为的等差数列B．若数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n﹣2，则{a n}为等比数列C．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等差数列，则，，可能构成等差数列D．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等比数列，则，，一定构成等比数列【考点】等比数列；等差数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】在A中，由，得到{a n}不为的等差数列；在B中，由a1=S1=2﹣2=0，得到{a n}不为等比数列；在C中，若，，构成等差数列，能推导出a=c，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，从而，，不可能构成等差数列；在在D中，若a，b，c成等比数列，则=，，，一定成等比数列．【解答】解：在A中，∵数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n+1，∴a1=S1=1+1+1=3，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n+1）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+1]=2n，n=1时，a n=2≠a1，故{a n}不为的等差数列，故A错误；在B中，∵数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n﹣2，∴a1=S1=2﹣2=0，∴{a n}不为等比数列，故B错误；在C中，若，，构成等差数列，则==，∴b2=ac，∴ac=（）2=，∴a=c，继而a=c=b，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，∴，，不可能构成等差数列，故C错误；在D中，∵非零实数a，b，c不全相等，a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴=，∴，，一定成等比数列，故D正确．故选：D．【点评】本题考查等差数列和等比数列的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质，公式的合理运用．6．在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q 等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】等比关系的确定．【专题】计算题．【分析】由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列，即（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解方程即可求解【解答】解：由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得q=3故选C．【点评】等比数列得前n项和公式的应用需要注意公式的选择，解题时要注意对公比q=1，q≠1的分类讨论，体现了公式应用的全面性．7．设集合A={x丨﹣2≤x＜4}，B={x丨x2﹣ax﹣4≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，2）C．[0，3）D．[0，3]【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】因为B⊆A，所以不等式x2﹣ax﹣4≤0的解集是集合A的子集，即函数f（x）=x2﹣ax ﹣4的两个零点在[﹣2，4）之间，结合二次函数的图象性质只需f（﹣2）≥0，f（4）＞0，列不等式组即可得a的取值范围．【解答】解：∵△=a2+16＞0∴设方程x2﹣ax﹣4=0的两个根为x1，x2，（x1＜x2）即函数f（x）=x2﹣ax﹣4的两个零点为x1，x2，（x1＜x2）则B=[x1，x2]若B⊆A，则函数f（x）=x2﹣ax﹣4的两个零点在[﹣2，4）之间注意到函数f（x）的图象过点（0，﹣4）∴只需，解得：0≤a＜3，故选：C．【点评】本题考查了集合之间的关系，一元二次不等式的解法，二次函数的图象和性质，函数方程不等式的思想．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2=，转化为1+cosA=+1，整理即可判断△ABC的形状．【解答】解：在△ABC中，∵cos2=，∴==+∴1+cosA=+1，∴cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC=0，sinA≠0，∴cosC=0，∴C为直角．故选：B．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若m＞1且a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0，S2m﹣1=39，则m 等于（）A．10 B．19 C．20 D．39【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】利用等差数列的性质a m﹣1+a m+1=2a m，根据已知中a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0，我们易求出a m的值，再根据a m为等差数列{a n}的前2m﹣1项的中间项（平均项），可以构造一个关于m的方程，解方程即可得到m的值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列则a m﹣1+a m+1=2a m则a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0可化为2a m﹣a m2﹣1=0解得：a m=1，又∵S2m﹣1=（2m﹣1）a m=39则m=20故选C．【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中等差数列最重要的性质：当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q，是解答本题的关键．10．设数列{a n}满足…+2n﹣1a n=（n∈N*），通项公式是（）A．a n=B．a n= C．a n=D．a n=【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】设{2n﹣1•a n}的前n项和为T n，由数列{a n}满足…+2n﹣1a n=（n∈N*），知，故2n﹣1a n=T n﹣T n﹣1==，由此能求出通项公式．【解答】解：设{2n﹣1•a n}的前n项和为T n，∵数列{a n}满足…+2n﹣1a n=（n∈N*），∴，∴2n﹣1a n=T n﹣T n﹣1==，∴=，经验证，n=1时也成立，故．故选C．【点评】本题主要考查了数列递推式以及数列的求和，同时考查了利用错位相消法求数列的和，属于中档题．11．若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A（4，5）时，z最大，将m等价为斜率的倒数，数形结合，将点A的坐标代入x﹣my+1=0得m=1，故选C．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．12．设a n=++…+，则对任意正整数m，n（m＞n）都成立的是（）A．a m﹣a n＜B．a m﹣a n＞C．a m﹣a n＜D．a m﹣a n＞【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列；三角函数的求值．【分析】利用“放缩法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：a m﹣a n=++…+≤+…+=．故选：A．【点评】本题考查了“放缩法”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】足约束条件的平面区域，求出可行域中各个角点的坐标，分析代入后即可得到答案．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知：当x=1，y=2时，2x+y取最大值4故答案为：4【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中根据约束条件，画出满足约束条件的可行域并求出各角点的坐标，是解答此类问题的关键．14．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n﹣1（n∈N*），则a n=n2﹣2n+2．【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知利用a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1即可得出．【解答】解：∵a1=1，a n+1=a n+2n﹣1（n∈N*），∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（2n﹣3）+（2n﹣5）+…+1+1=+1=n2﹣2n+2．故答案为：n2﹣2n+2．【点评】本题考查了“累加求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA=，tanB=，且最长边的长为1，则△ABC最短边的长为．【考点】解三角形．【专题】解三角形．【分析】由题意和两角和的正切公式易得tanC，可得c=1，b为最短边，由正弦定理可得．【解答】解：由题意可得tanC=﹣tan（A+B）=﹣=﹣=﹣1，∴C=135°，c为最长边，故c=1，又∵0＜tanB=＜=tanA，∴B为最小角，b为最短边，∵tanB=，∴sinB=，由正弦定理可得b==，故答案为：．【点评】本题考查解三角形，涉及正弦定理和两角和的正切公式，属中档题．16．若x、y、z均为正实数，则的最大值为．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】把要求的式子化为，利用基本不等式求得它的最大值．【解答】解：∵x2+≥xy，y2+z2≥yz，∴=≤=，当且仅当x=z=时，等号成立，故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2015秋•洛阳期中）（1）已知正数a，b满足a+4b=4，求+的最小值．（2）求函数f（k）=的最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）运用乘1法，可得+=（a+4b）（+）=（5++），再由基本不等式即可得到最小值；（2）令t=（t≥），则g（t）==，再由基本不等式即可得到最大值．【解答】解：（1）由a，b＞0，且a+4b=4，即有+=（a+4b）（+）=（5++）≥（5+2）=，当且仅当a=2b=时取得最小值，则+的最小值为；（2）令t=（t≥），则g（t）==≤=，当且仅当t=2，即k=时，取得等号，即有f（k）的最大值为．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和换元法的运用，以及满足的条件：一正二定三等，属于中档题．18．（12分）（2015秋•洛阳期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2+c2=b2+ac．（1）若b=，sinC=2sinA，求c的值；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理．【专题】解三角形；不等式的解法及应用．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得：c=2a，根据a2+c2=b2+ac．b=，即可解得a，c的值．（2）由余弦定理可求cosB，从而可求sinB，又b=2，a2+c2=b2+ac．解得ac≤4，利用三角形面积公式即可求得△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得：c=2a，又∵a2+c2=b2+ac．b=，∴a2+4a2=3+2a2，解得：a=1，c=2…6分（2）由余弦定理可得：cosB==，∴sinB=，又∵b=2，a2+c2=b2+ac．∴4+ac=a2+c2≥2ac，即ac≤4，∴S△ABC=，当且仅当a=c=2时等号成立．故△ABC面积的最大值为…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的综合应用，属于中档题．19．（12分）（2015秋•洛阳期中）解关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由﹣1＜a＜0，a=0，0＜a＜1，a≥1，进行分类讨论，由此利用分类讨论思想和一元二次方程的解法能求出原不等式的解集．【解答】解：（1）当a=0时，有﹣2x＜0，∴x＞0．（2）a＞0时，∵△=4﹣4a2．①当△＞0，即0＜a＜1．方程ax2﹣2x+a=0的两根为=，∴不等式的解集为{x|＜x＜}．②当△=0，即a=1时，有x2﹣2x+1＜0，∴x∈∅；③当△＜0，即a＞1时，方程ax2﹣2x+a=0无实数根，不等式ax2﹣2x+a＜0无解，∴x∈∅．（3）当﹣1＜a＜0时，△＞0，不等式ax2﹣2x+a＜0的解集为{x|x＜或x＞}．综上，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：当﹣1＜a＜0时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：{x|x＜或x＞}；当a=0时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：{x|x＞0}；当0＜a＜1时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：{x|＜x ＜}．当a≥1时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：∅．【点评】本题考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．20．（12分）（2014•余杭区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B为钝角，b=10，求a的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理化简已知表达式，通过两角和的正弦函数与三角形的内角和，求出的值；（Ⅱ）通过（Ⅰ）求出a与c的关系，利用B为钝角，b=10，推出关系求a的取值范围．【解答】（本小题满分14分）解：（I）由正弦定理，设，则，所以．…（4分）即（cosA﹣3cosC）sinB=（3sinC﹣sinA）cosB，化简可得sin（A+B）=3sin（B+C）．…（6分）又A+B+C=π，所以sinC=3sinA因此．…（8分）（II）由得c=3a．…（9分）由题意，…（12分）∴…（14分）【点评】本题考查正弦定理与两角和的正弦函数的应用，注意三角形的判断与应用，考查计算能力．21．（12分）（2011•佛山一模）设数列{a n}是首项为a1（a1＞0），公差为2的等差数列，其前n项和为S n，且成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n]的通项公式；（Ⅱ）记的前n项和为T n，求T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】（I）有数列{a n}是首项为a1（a1＞0），公差为2的等差数列且成等差数列，可以先求出数列的首项即可；（II）有（I）和，求出数列b n的通项，有通项求出前n项和为T n．【解答】解：（Ⅰ）∵S1=a1，S2=a1+a2=2a1+2，S3=a1+a2+a3=3a1+6，由成等差数列得，，即，解得a1=1，故a n=2n﹣1；（Ⅱ），Tn=1×+3×+5×+…+（2n﹣1）•（）n，①①×得，，②①﹣②得，=，∴．【点评】此题考查了等差数列的通项公式及等差中项，还考查了错位相减法求数列的前n项的和．22．（12分）（2015秋•洛阳期中）数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}中，b n=a1•a2•a3•…•a n，数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜2．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）对于任意n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列，可得2S n=，利用递推关系化为：化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，由于数列{a n}的各项均为正数，可得a n﹣a n﹣1﹣1=0，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）b n=a1•a2•a3•…•a n=n!．可得数列{}的前n项和为T n=+…+≤1+++…+，再利用“裂项求和”即可证明．【解答】（1）解：∵对于任意n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列，∴2S n=，∴当n≥时，，相减可得：2a n=﹣，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1﹣1=0，当n=1时，，a1＞0，解得a1=1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为1．∴a n=1+（n﹣1）=n．（2）证明：b n=a1•a2•a3•…•a n=n!．∴数列{}的前n项和为T n=+…+≤1+++…+=1++…+ =2﹣＜2．【点评】本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2015-2016学年度上学期六校第一次联考九年级-数学考试试题(含参考答案)
2015-2016学年度上学期六校第一次联考九年级 数 学 试 题 命题人：学校 赵化中学 姓名 郑宗平 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的班级、学号、姓名填写好； 2、考试时间120分钟，总分150分. 第Ⅰ卷 选择题 （共40分） 一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分） 1.下列方程是一元二次方程的是 ( ) A. 232x 1x -= B.2x 0= C. ()()()2x 12x 14x x 7+-=+ D.()2x x 55-= 2.已知有一元二次方程23x 6x 20π-+=，则此方程的一次项系数为 ( ) A.6 B.6- C.6π D.6π- 3. 方程()()m 5m 1m 5-+=-的解是 ( ) A. m 0= B.m 5= C.m 5=或m 0= D.m 5=或m 1=- 4.用配方法解方程2x 4x 10++=时，配方后的方程是 ( ) A.()2x 23+= B.()2x 23-= C.()2x 25-= D.()2x 25+= 5.若方程()222x y 116+-=，则22x y += ( ) A.5或3- B ．5 C ．4± D.4 6.已知关于x 的一元二次方程()2kx 1k x 10+--=，下列说法正确的是 ( ) A.当k 0=时，方程无解 B.当k 0≠，方程总有两个不相等的实数根 C.当k 1=时，方程有一个实数根 D.当k 1=-，方程有两个相等的实数根 7.已知在平面直角坐标系中，函数y kx b =+图象位置如图所示，则 一元二次方程+2x x k 10+-=根的存在情况是 ( ) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定 8.我们都知道从n 边形的一个顶点出发可以引()n 3-条对角线.现有一个多边形所有对角线的总条数为90条，则这个多边形的边的条数是 ( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 9.为了打造良好的校园学习环境，赵化中学用两年时间把校园种植花草树木的场地面积增加了69%，则这两年该校种植花草树木的场地面积平均每年增长率为 ( ) A.34.5% B.33% C.30% D.27% 10.如图，将边长为12cm 的正方形纸片ABCD 沿其对 角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△'''A B C ,若两个三角形重叠部分（见图中阴影）的面积为232cm ，则它移动的距离'AA 等于 ( )班级___________学号_____________姓名 ________________—————————————密————————————————封————————————————————————线————D A B C C 'B 'A 'D AC x y y=kx+b OA.6cmB.8cmC. 6cm 或8cmD. 4cm 或8cm第Ⅱ卷 选择题 （共110分）二、 填空题(每题4分，共20分)11.方程()02x x 1=-的解为 ．12.关于x 的一元二次方程()2k 1x 2x 20-+-=有实数根，则k 的取值范围为 ．13.如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某 两网格线的交点上，若灰色三角形面积为214，则方格纸的面 积为 ．14.某种水稻原品种亩产500千克，出米率70%，新品种每亩收获的稻谷可加工大米462千克，新品种与原品种相比较，亩产量和出米率均大幅度上升，且稻谷亩产量的增长率是出米率的增长率的2倍，求稻谷产量亩产量的增长率？若设出米率．．．的．增长率．．．为x ，则列方程 .（无需整理） 15. 若实数αβ、分别满足2201610a a +-=与2201610b b +-=，αβ不等于0；则22a b a b a b +-= .三、 解答题(每小题4分，共16分)16. 用适当的方法解下列方程：⑴.23x 27=； ⑵.2x 2x 99990+-=；⑶. 2x 3x 1-=； ⑷.()()2x 5x 3156x -+=-.四.解答题（每小题8分，共16分）17.分别．．写出满足下列条件的一元二次方程： （要求每题各至少写一个，方程不重复，未知数自定；前面4题各1分，后面两题各2分） ⑴.有一个根为0；⑵.有一个根为-1；⑶.两根相等；⑷.两根互为相反数；⑸.两根互为倒数；⑹.两根分别为+13和13-.18. 如右图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（道路分别与矩形场地的边平行，见图中的阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为2540m ，求道路的宽？五.解答题（每小题10分，共20分）19. a b c 、、为△ABC 的三边，当m 0>时，关于x 的方程()()22c x m b x m 2m ax 0++--=有两个相等的实数根.⑴.将方程整理为关于x 的一元二次方程的一般形式；（4分）⑵.求证：△ABC 为直角三角形. （6分）20. 若一元二次方程2ax bx c 0++=的一个根为1，且a b 、满足等式b a 22a 1=-+--.⑴.求出a b c 、、分别是多少？（6分）⑵.求方程21y c 04+=的解.（4分）六.解答题（本小题12分）21.已知一三角形的两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程2x 16x 600-+=的一根. ⑴.求此三角形的第三边长？（5分）⑵.求该三角形的面积？（7分）32m 20m七.解答题（本小题12分）22.阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程. 例：解方程2x x 110---=解:⑴.当x 10-≥即当x 1≥时，x 1x 1-=-；∴原方程可化为：()2x x 110---=，即2x x 0-=；解得：,12x 0x 1==.∵x 1≥，故x 0=舍去；∴x 1=是原方程的解.⑵.当x 10-<即当x 1<时，()x 1x 1-=--；∴原方程可化为：()2x x 110+--=，即2x x 20+-=；解得：,12x 1x 2==-.∵x 1<，故x 1=舍去；∴x 2=-是原方程的解.综上所述：原方程的解为,12x 1x 2==-.请同学们参照上面例题的解法解方程:2x 2x 240++-=八.解答题（本小题14分）23.千年古镇赵化的新区鑫城有一商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元；为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.⑴.每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？（8分） ⑵.每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？利润是多少？（6分）2015-2016学年（上学期）六校第一次联考九年级数学试题 参考答案一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）二、 填空题(每题4分，共20分) 11.1-. 12. 1k 2≥ 且 k 1≠. 13. 12 . 14.()()%50012x 701x 462+⨯+=. 15. 2017 .13题略解：可设每个方格的边长为x ，则:()2111214x 2x 3x x 4x 2x 4x 2224-⨯⋅-⨯⋅-⨯⋅= 整理并把未知数的系数化为1得：23x 4=，∴方格纸的面积为：316124⨯=. 故应填： 12 .15题略解：根据题意和方程特点可以设αβ、为2x 2016x 10+-=的两根，∴,20161αβαβ+=-=- ∴()()()()()221120161120172017a b a b a b a b a b 轾+-=+-=---=-?=臌. 故应填： 2016 .三、 解答题(每小题4分共16分)16.⑴.,12x 3x 3==-； ⑵.,12x 99x 101==-； ⑶.,12317317x x 44+-==-； ⑷. ,125x x 62==- 四.解答题（每小题8分，共16分）17.略解：⑴至⑸各小题的答案不唯一，但要注意△≥0；⑹题：2x 2x 20--=.18.略解：本题方法不止一种.可以把横竖道路分别“平移”至矩形内边的如图位置处. 设道路的宽为xm ，则根据题意列方程为：()()20x 32x 540--=.解得符合题意的道路宽为2m .五.解答题（每小题10分，共20分）19.略解：⑴. ()2b c x 2m ax bm cm 0+--+=；⑵. 当△= 0 时，关于x 的方程()2b c x 2m ax bm cm 0+--+=有两个相等的实数根. ∵△=()()()()()22222222m a4b c bm cm 4ma 4m b c 4m a b c --+-+=+-=+- ∴()2224m a b c 0+-= ∵m 0> ∴222a b c 0+-= ∴222a b c += ∴△ABC 为直角三角形.20.略解：⑴.∵1是一元二次方程2ax bx c 0++=的一个根∴a b c 0++= 题 号1 2 3 4 5 6 7 8 910 答 案 B D C A B D C B C D根据二次根式被开方数的非负数性可知：a 202a 0-≥⎧⎨-≥⎩解得：a 2=；把a 2=代入b 0011=+-=-； 把,a 2b 1==- 代入a b c 0++= 解得：c 1=-； ∴,,a 2b 1c 1==-=-.⑵. 当c 1=-时，21y 104-= ；解得：,1211y y 22==-.六.解答题（本小题12分）21.略解：⑴.求得三角形的第三边长为10或6. ⑵.有两种情况：①.当第三边长为10时，该三角形三边分别为6、8、10.（见示意图） 该三角形为直角三角形.三角形的面积为：1S 68242=⨯⨯= ②.当第三边长为6时，该三角形三边分别为6、6、8.（见示意图） 该三角形为等腰三角形.三角形的面积为：1S 825852=⨯⨯= 所以三角形的面积为24或85.七.解答题（本小题12分）22.略解：⑴.当x 20+≥即当x 2≥-时，x 2x 2+=+；解得符合本条件的,12x 0x 2==-. ⑵.当x 20+<即当x 2<-时，()x 2x 2+=-+；解出的x 中没有符合本条件的值. 综上所述：原方程的解为,12x 0x 2==-.八.解答题（本小题14分）23.略解：⑴.设每件衬衫应降价x 元，根据题意,得：()()40x 202x 1200-+=整理得：2x 30x 2000-+=解之得：,12x 10x 20== ； 因题意要尽快减少库存,所以x 取20.答：每件衬衫应降价20元.⑵.商场每天盈利：()()()2240x 202x 80060x 2x 2x 151250-+=+-=--+ 所以当x 15=时,商场最大盈利1250元.答：每件衬衫降价15元时,商场平均每天盈利最多，每天最大利润为1250元.说明：以上答案仅供参考！1086254686。
2014-2015学年河南省洛阳市九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2014-2015学年河南省洛阳市九年级（上）期末数学试卷一、选择题1.如果2是方程x2-a=0的一个根，则a的值是（）A．2 B．4 C．-4 D．2.抛物线y=2+6x-x2的顶点坐标为（）A．（3，11）B．（-3，-25）C．（，）D．（6，2）3.已知点A（a，1）与点B（5，b）关于点（3，2）对称，则a+b=（）A．2 B．3 C．4 D．54.如图，点M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD=EM=8cm，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．5cm D．6cm5.下列事件中，是不可能事件的是（）A．通常把水加热到100℃时，水沸腾B．任意画一个多边形，外角和等于540°C．抛一次骰子，向上一面的点数为6D．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中6.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C是劣弧AB上一动点（不与A，B重合），∠P=70°，则∠C=（）A．110°B．115°C．120°D．125°7.点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）分别是y=-图象上三点，且x1＞x2＞0＞x3，则下列结论正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y1＞y2＞y38.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，若AB=10，则图中阴影部分的面积为（）A．100πB．75πC．50πD．25π二、填空题9.方程3x（x-1）=2（x-1）的解为 __________ ．10.一个菱形两条对角线的和是10cm，面积是8cm2，则这个菱形的周长为__________cm．11.若一条抛物线经过（-1，3），（5，3），则这条抛物线的对称轴为__________．12.如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE交CD于点O，则∠DOE=__________．13.现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字1，2，-3，-4，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率为__________．14.如图，两个反比例函数y=和y=-的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为__________ ．15.用长为20cm的线段围成一个面积最大的扇形，此时扇形的面积为__________cm2．三、解答题16.已知关于x的方程16x2-kx+9=0有两个相等的实数根，求k的值和方程的根．17.“端午”节前，小明爸爸去超市购买了大小、形状、重量等都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时从盒中随机取出火腿粽子的概率为；妈妈从盒中取出火腿粽子3只、豆沙粽子7只送给爷爷和奶奶后，这时随机取出火腿粽子的概率为．（1）请你用所学知识计算：爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？（2）若小明一次从盒内剩余粽子中任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用列表法或树状图计算）18.如图，一名男生推铅球，铅球进行高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式为：y=-．（1）求铅球被推出的最大高度；（2）若铅球成绩达到11m即为优秀（铅球被推出的水平距离），请通过计算说明该名同学的成绩是否优秀．19.已知：△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AB为直径的⊙O交BC于点D．（1）如图①，当∠A为锐角时，AC与⊙O交于点E，联结BE，则∠BAC与∠CBE的数量关系是∠BAC=__________∠CBE；（2）如图②，若AB不动，AC绕点A逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，CA的延长线与⊙O交于点E，联结BE，（1）中∠BAC与∠CBE的数量关系是否依然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．20.如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限内的图象经过点D，E，交BC于F，且AO=2AB．（1）求边AB的长；（2）求反比例函数的解析式和点F的坐标．21.美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容，某市城区近几年来，通过拆旧房．植草，栽树，修建公园等设施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）．（1）根据图中所提供的信息，回答下列问题：2014年绿地面积为__________公顷；2012、2013、2014年这三年中，绿地面积增加最多的是__________年；（2）为了满足城市发展的需要，计划到2016年底使绿地总面积达到72.6公顷，试求这两年（2014-2016）绿地面积的平均增长率．22.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N当扇形CEF绕点C在∠ACB 的内部旋转时，如图，求证：MN2=AM2+BN2．（提示：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决，可将△ACM绕点C逆时针旋转90°，得△CBD，连DN，只需要DN=MN，∠DBN=90°即可，也可用其它证法）23.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，P是直线BC上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作y轴的平行线交直线BC下方的抛物线于点E，当PE达到最长时，求点P的坐标；（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，当△PAQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形时，求点P 的坐标．2014-2015学年河南省洛阳市九年级（上）期末数学试卷试卷的答案和解析1.答案：B试题分析：试题分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入一元二次方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可．试题解析：把x=2代入x2-a=0得4-a=0，解得a=4．故选B．2.答案：A试题分析：试题分析：利用配方法将抛物线的解析式y=2+6x-x2转化为顶点式解析式，然后求其顶点坐标．试题解析：由y=2+6x-x2，知y=-（x-3）2+11；所以抛物线y=2+6x-x2的顶点坐标为：（3，11）．故选A．3.答案：C试题分析：试题分析：根据点A（a，1）与点B（5，b）关于点（3，2）对称，列方程求得a，b的值，结果可得．试题解析：∵点A（a，1）与点B（5，b）关于点（3，2）对称，∴3-a=5-3，2-1=b-2，解得：a=1，b=3，∴a+b=4，故选C．4.答案：B试题分析：试题分析：连接OC，根据垂径定理求出CM的长，设⊙O的半径为r，则OM=8-r，根据勾股定理求出r的值即可．试题解析：连接OC．∵点M是⊙O中弦CD的中点，CD=EM=8cm，∴CM=CD=4cm．设⊙O的半径为r，则OM=8-r，在Rt△COM中，∵OM2+CM2=OC2，即（8-r）2+42=r2，解得r=5（cm）．故选B．5.答案：B试题分析：试题分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．试题解析：A、通常把水加热到100℃时，水沸腾是必然事件，故A错误；B、任意画一个多边形，外角和等于540°是不可能事件，故B正确；C、是随机事件，故C错误；D、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，故D错误；故选：B．6.答案：D试题分析：试题分析：连结OA、OB，∠ADB为弧AB所对的圆周角，如图，根据切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形内角和可计算出∠AOB=110°，接着根据圆周角定理得到∠D=∠AOB=55°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠ACB的度数．试题解析：连结OA、OB，∠ADB为弧AB所对的圆周角，如图，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB+∠P=180°，∴∠AOB=180°-70°=110°，∴∠D=∠AOB=55°，∴∠ACB=180°-∠D=125°．故选D．7.答案：C试题分析：试题分析：先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及的增减性，再根据x1＞x2＞0＞x3，判断出各点所在的象限，进而可得出结论．试题解析：∵反比例函数y=-中，k=-1＜0，∴此函数图象的两个分支分别位于二四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．∵x1＞x2＞0＞x3，∴A（x1，y1），B（x2，y2）位于第四象限，C（x3，y3）位于第二象限，∴y2＜y1＜0＜y3．故选C．8.答案：D试题分析：试题分析：设AB与小圆的切点为C，连接OC、OA，由勾股定理可求得OA2-OC2=AC2，再结合圆的面积可求得阴影部分的面积．试题解析：如图，设AB与小圆的切点为C，连接OC、OA，∵AB为小圆的切线，∴OC⊥AB，∴AC=AB=5，由勾股定理可得AO2-OC2=AC2=25，∴S阴影=S大圆-S小圆=πOA2-πOC2=π（OA2-OC2）=πAC2=25π，故选D．9.答案：试题分析：试题分析：移项后分解因式得到（x-1）（3x-2）=0，推出方程x-1=0，3x-2=0，求出方程的解即可．试题解析：3x（x-1）=2（x-1），移项得：3x（x-1）-2（x-1）=0，即（x-1）（3x-2）=0，∴x-1=0，3x-2=0，解方程得：x1=1，x2=．故答案为：1或．10.答案：试题分析：试题分析：先设菱形的一条对角线为xcm，则另一条对角线为（10-x）cm，再利用菱形的面积=对角线乘积的一半，即可列方程，解出得到两条对角线长，再利用菱形的性质和勾股定理即可求得边长，从而得到周长．试题解析：如图，设BD长为xcm，则AC长为（10-x）cm，可列方程为：x（10-x）=8，解得，x1=2，x2=8，所以BD=2cm，AC=8cm，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=1，AO=4，在Rt△AOB中，AB==，所以菱形的周长为4．故答案为4．11.答案：试题分析：试题分析：根据经过的两点的纵坐标相等可得两点关于对称轴对称，然后列式求解即可得到对称轴解析式．试题解析：∵一条抛物线经过（-1，3），（5，3），∴这条抛物线的对称轴为直线x==2．故答案为：直线x=2．12.答案：试题分析：试题分析：先证∠DAC=∠BAE，再证明△DAC≌△BAE，得出对应角相等∠ADC=∠ABE，再由三角形的外角关系即可得出结果．试题解析：∵△ABD、△AEC都是等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，∴∠DAC=∠BAC+60°，∠BAE=∠BAC+60°，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC=∠ABE，∴∠DPE=∠BDP+∠DBP=∠BDP+∠DBA+∠ABE=∠BDP+∠ADC+∠DBA=60°+60°=120°．13.答案：试题分析：试题分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两张卡片上的数字之积为负数的情况，再利用概率公式即可求得答案．试题解析：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，这两张卡片上的数字之积为负数的有8种情况，∴这两张卡片上的数字之积为负数的概率为：=．故答案为：．14.答案：试题分析：试题分析：设P的坐标是（a，），推出A的坐标和B的坐标，求出∠APB=90°，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可．试题解析：∵点P在y=上，∴|x p|×|y p|=|k|=1，∴设P的坐标是（a，）（a为正数），∵PA⊥x轴，∴A的横坐标是a，∵A在y=-上，∴A的坐标是（a，-），∵PB⊥y轴，∴B的纵坐标是，∵B在y=-上，∴代入得：=-，解得：x=-2a，∴B的坐标是（-2a，），∴PA=|-（-）|=，PB=|a-（-2a）|=3a，∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，∴PA⊥PB，∴△PAB的面积是：PA×PB=××3a=故答案为：．15.答案：试题分析：试题分析：设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形的面积公式列出关与S与r的表达式，求出S的最大值即可．试题解析：设扇形的半径为r，弧长为l，∵l+2r=20，∴l=20-2r，∴S=lr=×（20-2r）×r=-（r-5）2+25，∴S最大=25cm2．故答案为：25．16.答案：试题分析：试题分析：根据方程16x2-kx+9=0有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2-4ac=k2-4×16×9=0，然后解方程即可得到k的值，再把k的值代入方程，解方程即可．试题解析：∵方程16x2-kx+9=0有两个相等的实数根，∴△=k2-4×16×9=0，∴k=±24．当k=24时，方程16x2-24x+9=0的解为x1=x2=；当k=-24时，方程16x2+24x+9=0的解为x1=x2=-．17.答案：试题分析：试题分析：（1）设爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子分别为x只、y只，然后根据概率的意义列出方程组，求解即可；（2）根据题意，列出表格，然后根据概率公式列式计算即可得解．试题解析：（1）设爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子分别为x只、y只，根据题意得：，解得：，经检验符合题意，答：爸爸买了火腿粽子5只、豆沙粽子10只；（2）由题可知，盒中剩余的火腿粽子和豆沙粽子分别为2只、3只，我们不妨把两只火腿粽子记为a1、a2；3只豆沙粽子记为b1、b2、b3，则可列出表格如下：a ab b b所以，P（A）===．18.答案：试题分析：试题分析：（1）将二次函数配方成顶点式后确定铅球的最大高度即可；（2）成绩就是当高度y=0时x的值，所以解方程可求解．试题解析：（1）∵y=-=-（x-4）2+3，∴当x=4时，y=3，即铅球被推出的最大高度为3m；（2）∵当y=0时，-=0，解得x1=10，x2=-2（不合题意，舍去），∴推铅球的距离是10米，∴该同学的成绩没有达到优秀．19.答案：试题分析：试题分析：（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角，得AD⊥BC，又由AB=AC，根据等腰三角形的三线合一，得AD平分∠BAC，结合圆周角定理，即可得∠BAC=2∠CBE；（2）连接AD．根据等腰三角形的三线合一和圆内接四边形的性质，即可证明∠BAC=2∠CBE．试题解析：（1）∠BAC与∠CBE的关系是：∠BAC=2∠CBE．理由如下：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．又∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC．又∵∠CAD=∠CBE，∴∠BAC=2∠CBE．故答案为：2．（2）成立．理由如下：连接AD．∵AB为直径，∴AD⊥BC，又∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，∵∠CAD+∠DAE=180°，∠CBE+∠DAE=180°，∴∠CAD=∠CBE，∴∠BAC=2∠CBE．20.答案：试题分析：试题分析：（1）先根据E点坐标求出OA的长，再由AO=2AB即可得出边AB的长；（2）先得出B点坐标，再由中点坐标公式求出D点坐标，将D点坐标代入y=，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再由点F在BC上，得出点F的纵坐标为2，把y=2代入反比例函数解析式，得出x的值，即可确定点F的坐标．试题解析：（1）∵E（4，n），∴OA=4，∵AO=2AB，∴AB=2；（2）∵OA=4，AB=2，∴B（4，2），∵点D为OB的中点，∴D（2，1），∵点D在反比例函数y=的图象上，∴1=，即k=2，∴反比例函数的关系式为y=，∵点F在BC上，∴点F的纵坐标为2，把y=2代入y=，得x=1，∴点F的坐标为（1，2）．21.答案：试题分析：试题分析：（1）仔细观察图象，根据图中数据一一作答即可；（2）根据图象和题中已知条件列出一元二次方程，解方程便可得出答案．试题解析：（1）由图形可知填：60，2013．（2）设增长率为x．依题意得：60（1+x）2=72.6，解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（不合题意，舍去）．答：这两年（2014-2016）绿地面积的平均增长率是10%．22.答案：试题分析：试题分析：如图，作辅助线；证明MP=AM；证明△PCN≌△BCN，得到BN=PN，∠NPC=∠B=45°；进而证明∠MPN=90°；运用勾股定理即可解决问题．试题解析：如图，作△AMC的对称△PMC，连接PN；∵∠ACB=90°，CA=CB，∠MCN=45°，∴∠A=∠B=45°，∠ACM+∠BCN=45°；由题意得：CP=CA，∠ACM=∠PCM（设为α），∠MPC=∠A=45°；∵∠PCN=45°-α，∠BCN=45°-α，∴∠PCN=∠BCN；在△PCN与△BCN中，，∴△PCN≌△BCN（SAS），∴BN=PN，∠NPC=∠B=45°，∴∠MPN=90°；由勾股定理得：MN2=MP2+NP2，∵AM=MP，BN=NP，∴MN2=AM2+BN2．23.答案：试题分析：试题分析：（1）利用抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0），根据待定系数法可求出抛物线解析式；（2）首先根据待定系数法求出直线BC的解析式，进而设点P的坐标为（m，m-3），得到点E（m，m2-2m-3），根据两点距离公式得到PE=-（m-）2+，依此可求点P的坐标；（3）过点P作x轴的垂线，垂足为E，根据AAS证明△PAE≌△AQD，根据全等三角形的性质得到PE=2，依此可求点P的坐标．试题解析：（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c得：，解得：．故抛物线的解析式为y=x2-2x-3；（2）当x=0时，y=-3，则点C（0，-3），设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得．则直线BC的解析式为y=x-3，设点P的坐标为（m，m-3），则点E（m，m2-2m-3），则PE=（m-3）-（m2-2m-3）=-m2+3m=-（m-）2+，当m=时PE最长为，此时点P的坐标为（，-）；（3）设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为m-3，过点P作x轴的垂线，垂足为E，则PE=|m-3|，∵△PAQ是等腰直角三角形，∴PA=QA，∠PAQ=90°，∵∠PAE+∠APE=90°，∠PAE+∠QAD=90°，∴∠APE=∠QAD，在△PAE与△AQD中，，∴△PAE≌△AQD，∴PE=AD，∵AD=2，∴PE=2，∴|m-3|=2，解得m=5或1．∴点P的坐标为（5，2）或（1，-2）．。
河南省洛阳市2016届九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年河南省洛阳市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．下列四种标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．方程x 2﹣3x=0的解为（ ）A ．x=0B ．x=3C ．x 1=0，x 2=﹣3D ．x 1=0，x 2=33．下列说法中不正确的是（ ）A ．“某射击运动员射击一次，正中把靶心”属于随机事件B ．“13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件C ．“在标准大气压下，当温度降到﹣1℃时，水结成冰”属于随机事件D ．“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件4．对于反比例函数y=，下列说法正确的是（ ）A ．图象经过点（1，﹣3）B ．图象在第二、四象限C ．x ＞0时，y 随x 的增大而增大D ．x ＜0时，y 随x 增大而减小5．直角坐标平面上将二次函数y=x 2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ）A ．（0，0）B ．（1，﹣1）C ．（0，﹣1）D ．（﹣1，﹣1）6．如图，扇形OAB 是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长均为1厘米，则这个圆锥的底面半径为（ ）厘米．A ．B ．C ．D ．7．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到△ADE ．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD ⊥BC ，∠BAC 的度数为（ ）A ．60°B ．75°C ．85°D ．90°8．如图，AC、BD为圆O的两条互相垂直的直径，动点P从圆心O出发，沿O→C→D→O 的路线作匀速运动，设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，那么表示y与t之间函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）9．若点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，则（m+n）2015=．10．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是．11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=100°，AC平分∠BAD，则∠BDC的度数为°．12．如图，A、B是函数y=的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则S=．13．如图，已知函数y=﹣与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+=0的解是．14．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙O相交于点F．若的长为，则图中阴影部分的面积为．15．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为．三、解答题（共8小题，满分75分）16．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣3）x+k2﹣9=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．17．“五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．（1）该顾客至多可得到元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．18．如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD的延长线的垂线PQ，垂足为C．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为2，若过点O作OE⊥AD，垂足为E，OE=，求弦AD的长．19．如图，一次函数y=﹣2x+8与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出的﹣2x+8﹣＜0时x的取值范围；（3）求△AOB的面积．20．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？21．如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高OA为2.44m．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）（2）守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？22．（1）如图1，平面内有一等腰直角三角板ABC（∠ACB=90°）和一直线MN．过点C 作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，试证明线段AF，BF，CE之间的数量关系为AF+BF=2CE．（提示：过点C作BF的垂线，利用三角形全等证明．）（2）若三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，试猜想线段AF、BF、CE 之间的数量关系，并证明你的猜想．（3）若三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变，则线段AF、BF、CE之间的数量关系为23．如图，以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过A（4，0）和B（0，4）两点，其顶点为C．（1）求该抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内．①设△ABM的面积为S，试求S的最大值；②若S为整数，则这样的M点有个．2015-2016学年河南省洛阳市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．下列四种标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．故选B．2．方程x2﹣3x=0的解为（）A．x=0 B．x=3 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=3【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】将方程左边的多项式提取x，分解因式后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】解：方程x2﹣3x=0，因式分解得：x（x﹣3）=0，可化为x=0或x﹣3=0，解得：x1=0，x2=3．故选D3．下列说法中不正确的是（）A．“某射击运动员射击一次，正中把靶心”属于随机事件B．“13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件C．“在标准大气压下，当温度降到﹣1℃时，水结成冰”属于随机事件D．“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件【考点】随机事件．【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断．【解答】解：A、“某射击运动员射击一次，正中把靶心”属于随机事件，正确；B、“13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件，正确；C、在标准大气压下，当温度降到﹣1℃时，水结成冰”属于必然事件；D、“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件，正确．故选C．4．对于反比例函数y=，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，﹣3） B．图象在第二、四象限C．x＞0时，y随x的增大而增大D．x＜0时，y随x增大而减小【考点】反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数的性质得出函数增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析得出即可．【解答】解：A、∵反比例函数y=，∴xy=3，故图象经过点（1，3），故A选项错误；B、∵k＞0，∴图象在第一、三象限，故B选项错误；C、∵k＞0，∴x＞0时，y随x的增大而减小，故C选项错误；D、∵k＞0，∴x＜0时，y随x增大而减小，故D选项正确．故选：D．5．直角坐标平面上将二次函数y=x2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（）A．（0，0）B．（1，﹣1）C．（0，﹣1）D．（﹣1，﹣1）【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先根据函数图象平移的法则求出函数图象平移后的解析式，再求出其顶点坐标即可．【解答】解：∵由函数图象平移的法则可知，将二次函数y=x2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得函数的解析式为：y=（x+1）2﹣1，∴其顶点坐标为（﹣1，﹣1）．故选D．6．如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长均为1厘米，则这个圆锥的底面半径为（）厘米．A．B．C．D．【考点】圆锥的计算．【分析】易得扇形的半径，进而利用弧长公式可求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．【解答】解：扇形的半径为=2厘米，∴扇形的弧长为=π厘米，∴这个圆锥的底面半径为π÷2π=厘米，故选B．7．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（）A．60°B．75°C．85°D．90°【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质知，旋转角∠EAC=∠BAD=65°，对应角∠C=∠E=70°，则在直角△ABF中易求∠B=25°，所以利用△ABC的内角和是180°来求∠BAC的度数即可．【解答】解：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°，∴在Rt△ABF中，∠B=90°﹣∠BAD=25°，∴在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣25°﹣70°=85°，即∠BAC的度数为85°．故选C．8．如图，AC、BD为圆O的两条互相垂直的直径，动点P从圆心O出发，沿O→C→D→O 的路线作匀速运动，设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，那么表示y与t之间函数关系的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【考点】动点问题的函数图象．【分析】抓住5个关键点：当P 与O 重合时，P 向C 运动过程中，当P 运动到C 时，当P 在弧CD 上运动时，当P 从D 运动到O 时，结合选项即可确定出y 与t 的大致图象．【解答】解：当P 与O 重合时，∠APB 的度数为90度；P 向C 运动过程中，∠APB 的度数逐渐减小；当P 运动到C 时，利用圆周角定理得到∠APB 的度数为45度；当P 在弧CD 上运动时，∠APB 的度数不变，都为45度；当P 从D 运动到O 时，∠APB 的度数逐渐增大，作出函数y 与t 的大致图象，如图所示：故选C ．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）9．若点P （m ，2）与点Q （3，n ）关于原点对称，则（m+n ）2015= ﹣52015 ．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m ，n 的值进而得出答案．【解答】解：∵点P （m ，2）与点Q （3，n ）关于原点对称，∴m=﹣3，n=﹣2，则（m+n ）2015=﹣52015．故答案为：﹣52015．10．在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n 大约是 10 ．【考点】利用频率估计概率．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【解答】解：由题意可得，=0.2，解得，n=10．故估计n大约有10个．故答案为：10．11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=100°，AC平分∠BAD，则∠BDC的度数为40°．【考点】圆周角定理．【分析】由四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=100°，根据圆的内接四边形，即可求得∠BAD 的度数，由AC平分∠BAD得出∠BAC，再由圆周角定理即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=100°，∴∠BAD=180°﹣∠BCD=80°，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠BAD=40°，∴∠BDC=∠BAC=40°；故答案为：40．12．如图，A、B是函数y=的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则S=4．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】连接OC，设AC与x轴交于点D，BC与y轴交于点E．首先由反比例函数y=的比例系数k的几何意义，可知△AOD的面积等于|k|，再由A、B两点关于原点对称，BC∥x轴，AC∥y轴，可知S△AOC=2×S△AOD，S△ABC=2×S△AOC，从而求出结果．【解答】解：如图，连接OC，设AC与x轴交于点D，BC与y轴交于点E．∵A、B两点关于原点对称，BC∥x轴，AC∥y轴，∴AC⊥x轴，AD=CD，OA=OB，∴S△COD=S△AOD=×2=1，∴S△AOC=2，∴S△BOC=S△AOC=2，∴S△ABC=S△BOC+S△AOC=4．故答案为：4．13．如图，已知函数y=﹣与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+=0的解是x=﹣3．【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象．【分析】根据已知函数y=﹣与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，可以求得点P的坐标，将y=﹣与y=ax2+bx联立方程组，变形可得ax2+bx+=0，从而可知ax2+bx+=0的解就是函数y=﹣与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交点得横坐标，本题得以解决．【解答】解：∵点P在函数y=﹣上，点P的纵坐标为1，∴1=，解得x=﹣3，∴函数y=﹣与y=ax 2+bx （a ＞0，b ＞0）的图象交于点P 的坐标为（﹣3，1），∴可得，，∴， 解得x=﹣3．故答案为：x=﹣3．14．如图，在▱ABCD 中，以点A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与CD 相切于点C ，交AD 于点E ，延长BA 与⊙O 相交于点F ．若的长为，则图中阴影部分的面积为 2﹣．【考点】切线的性质；平行四边形的性质；扇形面积的计算．【分析】连结AC ，如图，设半径为r ，先根据切线的性质得∠ACD=90°，再根据平行四边形的性质得AB ∥CD ，AD ∥BC ，则∠CAF=90°，∠1=∠B ，∠2=∠3，利用∠B=∠3易得∠1=∠2=45°，则根据弧长公式可得=，解得r=2，然后根据扇形面积公式，利用S 阴影部分=S △ACD ﹣S 扇形CAE 进行计算即可．【解答】解：连结AC ，如图，设半径为r ，∵AB 的长为半径的圆恰好与CD 相切于点C ，∴AC ⊥CD ，∴∠ACD=90°，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠CAF=90°，∠1=∠B ，∠2=∠3，而AB=AC ，∴∠B=∠3，∴∠1=∠2=45°，∵的长为，∴=，解得r=2，在Rt △ACD 中，∵∠2=45°，∴AC=CD=2，∴S 阴影部分=S △ACD ﹣S 扇形CAE ×2×2﹣=2﹣．故答案为2﹣．15．如图，在四边形ABCD 中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD 的长为 ．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．【分析】根据等式的性质，可得∠BAD 与∠CAD ′的关系，根据SAS ，可得△BAD 与△CAD ′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD 与CD ′的关系，根据勾股定理，可得答案．【解答】解：作AD ′⊥AD ，AD ′=AD ，连接CD ′，DD ′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD ′+∠CAD ，即∠BAD=∠CAD ′，在△BAD 与△CAD ′中，，∴△BAD ≌△CAD ′（SAS ），∴BD=CD ′．∠DAD ′=90°由勾股定理得DD ′=，∠D ′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD ′=，∴BD=CD ′=，故答案为：．三、解答题（共8小题，满分75分）16．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣3）x+k2﹣9=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【分析】（1）直接判断△=b2﹣4ac＞0，进而得出答案；（2）将x=0代入方程求出k的值，进而解方程得出答案．【解答】解：（1）△=b2﹣4ac=[2（k﹣3）]2﹣4（k2﹣9）=﹣24k+72＞0，解得：k＜3；（2）当0是方程的根，则k2﹣9=0，解得：k1=3（不合题意舍去），k2=﹣3，故x2﹣12x=0，解得：x1=12，x2=0，故它的另一个根为12．17．“五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．（1）该顾客至多可得到70元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）由题意可得该顾客至多可得到购物券：50+20=70（元）；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客所获得购物券的金额不低于50元的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）则该顾客至多可得到购物券：50+20=70（元）；故答案为：70；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，该顾客所获得购物券的金额不低于50元的有6种情况，∴该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率为：=．18．如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD的延长线的垂线PQ，垂足为C．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为2，若过点O作OE⊥AD，垂足为E，OE=，求弦AD的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）由同圆的半径相等和角平分线证出∠OTA=∠CAT，得出OT∥AC，由PQ⊥AC，证出PQ⊥OT，即可得出结论；（2）由垂径定理得出AE=DE，由勾股定理求出AE，即可得出AD的长．【解答】（1）证明：连接OT，如图1所示：∵OA=OT，∴∠OA T=∠OTA，∵AT平分∠BAD，∴∠OA T=∠CAT，∴∠OTA=∠CAT，∴OT∥AC，∵PQ⊥AC，∴PQ⊥OT，∴PQ是⊙O的切线；（2）解：如图2所示：∵OE⊥AD，∴AE=DE，∠AEO=90°，∴AE===1，∴AD=2AE=2．19．如图，一次函数y=﹣2x+8与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出的﹣2x+8﹣＜0时x的取值范围；（3）求△AOB的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把A（m，6），B（3，n）两点分别代入y=﹣2x+8可求出m、n的值，确定A 点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），然后利用待定系数法求反比例函数的解析式；（2）观察函数图象得到当0＜x＜1或x＞3，反比例函数的图象在一次函数图象上方．（3）求得直线与x轴的交点坐标，根据三角形面积公式即可求得．【解答】解：（1）把A（m，6），B（3，n）两点分别代入y=﹣2x+8得6=﹣m+8，n=﹣2×3+8，解得m=1，n=2，∴A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），把A（1，6）代入y=求得k=1×6=6，∴反比例函数解析式为y=；（2）﹣2x+8﹣＜0时x的取值范围是0＜x＜1或x＞3．（3）由直线y=﹣2x+8可知与x轴的交点为（4，0），∴S△AOB=×4×6﹣×4×2=8．20．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．【解答】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得10（1+x）2=12.1，解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）=13.31（万件）．∵平均每人每月最多可投递0.6万件，∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21=12.6＜13.31，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务∴需要增加业务员（13.31﹣12.6）÷0.6=1≈2（人）．答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．21．如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高OA为2.44m．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）（2）守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求出当x=2时，抛物线的函数值，与2.52米进行比较即可判断，再利用y=2.52求出x 的值即可得出答案．【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标是（4，3），设抛物线的解析式是：y=a（x﹣4）2+3，把（10，0）代入得36a+3=0，解得a=﹣，则抛物线是y=﹣（x﹣4）2+3，当x=0时，y=﹣×16+3=3﹣=＜2.44米，故能射中球门；（2）当x=2时，y=﹣（2﹣4）2+3=＞2.52，∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，当y=2.52时，y=﹣（x﹣4）2+3=2.52，解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去），∴2﹣1.6=0.4（m），答：他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门．22．（1）如图1，平面内有一等腰直角三角板ABC（∠ACB=90°）和一直线MN．过点C 作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，试证明线段AF，BF，CE之间的数量关系为AF+BF=2CE．（提示：过点C作BF的垂线，利用三角形全等证明．）（2）若三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，试猜想线段AF、BF、CE 之间的数量关系，并证明你的猜想．（3）若三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变，则线段AF、BF、CE之间的数量关系为BF﹣AF=2CE【考点】几何变换综合题．【分析】（1）过点C做CD⊥BF，交FB的延长线于点D，易证△ACE≌△BCD，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF+BF=2CE．（2）过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G，易证△CBG≌△CAE，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF+BF=2CE；（3）过点C做CD⊥BF，交FB的于点D，易证△ACE≌△BCD，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BF﹣AF=2CE．【解答】（1）证明：如图1，过点C做CD⊥BF，交FB的延长线于点D，∵CE⊥MN，CD⊥BF，∴∠CEA=∠D=90°，∵CE⊥MN，CD⊥BF，BF⊥MN，∴四边形CEFD为矩形，∴∠ECD=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACB﹣∠ECB=∠ECD﹣∠ECB，即∠ACE=∠BCD，又∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=BC，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（AAS），∴AE=BD，CE=CD，又∵四边形CEFD为矩形，∴四边形CEFD为正方形，∴CE=EF=DF=CD，∴AF+BF=AE+EF+BF=BD+EF+BF=DF+EF=2CE，（2）AF﹣BF=2CE图2中，过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G，∵AC=BC可得∠AEC=∠CGB，∠ACE=∠BCG，在△CBG和△CAE中，，∴△CBG≌△CAE（AAS），∴AE=BG，∵AF=AE+EF，∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF，∴AF﹣BF=2CE；（3）BF﹣AF=2CE；如图3，过点C做CD⊥BF，交FB的于点D，∵AC=BC可得∠AEC=∠CDB，∠ACE=∠BCD，在△CBD和△CAE中，，∴△CBD≌△CAE（AAS），∴AE=BD，∵AF=AE﹣EF，∴AF=BD﹣CE=BF﹣FD﹣CE=BF﹣2CE，∴BF﹣AF=2CE．故答案为：BF﹣AF=2CE．23．如图，以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过A（4，0）和B（0，4）两点，其顶点为C．（1）求该抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内．①设△ABM的面积为S，试求S的最大值；②若S为整数，则这样的M点有3个．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标，再设交点式y=a （x+2）（x﹣4），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式，再把解析式配成顶点式可得C的坐标；（2）①过M点作MN∥y轴交AB于N点，如图，利用待定系数法求出直线AB的解析式，则可设M（t，﹣t2+t+4），则N（t，﹣t+4），于是用t可表示出MN，再利用S=S△BMN+S△AMN=•4•MN得到S与m的二次函数，然后根据二次函数的性质求解；②在t的取值范围内找出整数使对应的函数值为整数即可确定M点的位置．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点为A（4，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），把B（0，4）代入得a•2•（﹣4）=4，解得a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4），即y=﹣x2+x+4；∵y=﹣（x﹣1）2+，∴抛物线的顶点C的坐标为（1，）；（2）①过M点作MN∥y轴交AB于N点，如图，设AB的解析式为y=mx+n，把B（0，4）、A（4，0）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y=﹣x+4，设M（t，﹣t2+t+4），则N（t，﹣t+4），∴MN=﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+2t，∴S=S△BMN+S△AMN=•4•MN=•4•（﹣t2+2t）=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，∴当t=2时，S有最大值，最大值为4；②∵0＜t＜4，∴当t=1、2、3时，S为整数，即这样的M点有3个．故答案为3．2016年4月29日。
河南省洛阳市洛宁县九年级数学上学期期中试卷(含解析)
2017-2018学年河南省洛阳市洛宁县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共9个小题，每小题3分，共27分）1．（3分）、、、、中二次根式有（）A．5个B．4个C．3个D．2个2．（3分）使式子有意义的实数m（）A．不存在B．只有一个 C．只有两个 D．有无数个3．（3分）若是整数，则满足条件的最小正整数n是（）A．2 B．3 C．4 D．54．（3分）化简（﹣2）2017（+2）2018的结果是（）A．﹣1 B．﹣2 C． +2 D．﹣﹣25．（3分）如果=a， =b，用含有a、b的式子表示，下列正确的是（）A．0.1ab2B．0.1a3b C．0.2ab D．2ab6．（3分）已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（）A．﹣3 B．3 C．0 D．0或37．（3分）将代数式x2+10x+17化成（x+a）2+b的形式为（）A．（x+5）2+8 B．（x+5）2﹣8 C．（x﹣5）2+10 D．（x+5）2﹣108．（3分）一元二次方程x2+5x+6=0的根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根9．（3分）如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．若小芳比爸爸矮0.3m，则她的影长为（）A．1.3m B．1.65m C．1.75m D．1.8m二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）10．（3分）式子是二次根式的条件是．11．（3分）若y=+2，则（）y= ．12．（3分）若等式=•成立，则a的取值范围是．13．（3分）化简的结果是．14．（3分）当a 时﹣与是最简同类二次根式．15．（3分）把代数式x2﹣6x+3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m、k为常数，则m+k= ．16．（3分）△OAB各顶点的坐标为0（0，0）、A（2，4）、B（4，0），要得到与△OAB相似的一个大三角形OA′B′，已知A′（4，8），那么B′的坐标为．17．（3分）某公司2015年的盈利额为2000万元，预计2017年的盈利额达到2420万元，若每年比上一年盈利额增长的百分比相同，则该公司2016年的盈利额为万元．18．（3分）已知CD是Rt△ABC斜边上的高，若AB=25，BC=15，则BD的长为．19．（3分）已知a，b，c为△ABC的三边长，△ABC的周长是60cm，且==，则a= ，b= ，c= ．三、解答题（共63分）20．（16分）解方程（1）x2﹣5x+1=0（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（3）x2﹣8x+12=0（4）（x+2）2=（3x﹣1）2．21．（12分）计算：（1）2a﹣+3ab（a＞0，b＞0）（2）（2+3﹣）（2﹣3+）22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0有两个不相等的实数根a和b，且满足+=1，求m的值．23．（10分）某商店以每件21元的价格购进一批衬衫，若以每件a元的标价出售，每天可卖出（350﹣10a）件，获利400元，市物价局限定每件衬衫加价不能超过进价的额20%，求a的值．24．（7分）如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是高，E是AB的中点，求证：DE=AB．25．（8分）如图，在△ABC中，BA=BC，过C点作CE⊥BC交∠ABC的角平分线BE于点E，连接AE，D是BE上的一点，且∠BAD=∠CAE．求证：△ABD∽△ACE．2017-2018学年河南省洛阳市洛宁县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共9个小题，每小题3分，共27分）1．（3分）、、、、中二次根式有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【解答】解：、、是二次根式，、的被开方数不一定为非负数，故不一定是二次根式．故选：C．2．（3分）使式子有意义的实数m（）A．不存在B．只有一个 C．只有两个 D．有无数个【解答】解：由题意得，﹣（m+1）2≥0，又（m+1）2≥0，∴（m+1）2=0，解得，m=﹣1，故选：B．3．（3分）若是整数，则满足条件的最小正整数n是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由题意，得18n=36，解得n=2，故选：A．4．（3分）化简（﹣2）2017（+2）2018的结果是（）A．﹣1 B．﹣2 C． +2 D．﹣﹣2【解答】解：原式=[（﹣2）（+2）]2017•（+2）=（3﹣4）2017•（+2）=﹣（+2）=﹣﹣2．故选D．5．（3分）如果=a， =b，用含有a、b的式子表示，下列正确的是（）A．0.1ab2B．0.1a3b C．0.2ab D．2ab【解答】解： ==××0.1=a3b×0.1=0.1a3b．故选：B．6．（3分）已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（）A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3【解答】解：把x=2代入方程x2+mx+2=0，得4+2m+2=0，解得m=﹣3．故选A．7．（3分）将代数式x2+10x+17化成（x+a）2+b的形式为（）A．（x+5）2+8 B．（x+5）2﹣8 C．（x﹣5）2+10 D．（x+5）2﹣10【解答】解：由题意可得，x2+10x+17=（x+5）2﹣8，故选B．8．（3分）一元二次方程x2+5x+6=0的根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根【解答】解：∵△=52﹣4×1×6=25﹣24=1＞0，∴方程x2+5x+6=0有两个不相等的实数根．故选C．9．（3分）如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．若小芳比爸爸矮0.3m，则她的影长为（）A．1.3m B．1.65m C．1.75m D．1.8m【解答】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，设小芳的影长为xm，则，解得x=1.75m．故选C．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）10．（3分）式子是二次根式的条件是x≥﹣．【解答】解：根据题意，得3x+1≥0，解得x≥﹣．故答案为：x≥﹣．11．（3分）若y=+2，则（）y= 7 ．【解答】解：由题意得，x﹣5≥0且5﹣x≥0，解得x≥5且x≤5，所以，x=5，y=2，所以，（）y=（）2=7．故答案为：7．12．（3分）若等式=•成立，则a 的取值范围是 ﹣3≤x ≤3 ．【解答】解：要使等式=•成立，必须，解得：﹣3≤x ≤3， 故答案为：﹣3≤x ≤3．13．（3分）化简的结果是 +2 ．【解答】解： ===+2，故答案为+214．（3分）当a =6 时﹣与是最简同类二次根式．【解答】解：由题意得： 3a ﹣7=2a ﹣1 a=6， 故答案为=6．15．（3分）把代数式x 2﹣6x+3化为（x ﹣m ）2+k 的形式，其中m 、k 为常数，则m+k= ﹣3 ． 【解答】解：x 2﹣6x+3=（x ﹣3）2﹣6， ∴m=3，k=﹣6， ∴m+k=3+（﹣6）=﹣3， 故答案为：﹣3．16．（3分）△OAB 各顶点的坐标为0（0，0）、A （2，4）、B （4，0），要得到与△OAB 相似的一个大三角形OA′B′，已知A′（4，8），那么B′的坐标为 （8，0） ． 【解答】解：根据题意得：△OA′B′∽△OAB ， ∵A 的坐标为（2，4），A′点的坐标为（4，8）， ∴相似比k=2， ∵B （4，0），∴B′点的坐标为：（8，0）．故答案为：（8，0）．17．（3分）某公司2015年的盈利额为2000万元，预计2017年的盈利额达到2420万元，若每年比上一年盈利额增长的百分比相同，则该公司2016年的盈利额为2200 万元．【解答】解：设每年的盈利增长率为x，则该公司在2016年的盈利额为2000（1+x）万元；由题意得，2000（1+x）2=2420，解得x=0.1或﹣2.1（不合题意，舍去），故x=0.1．则该公司在2016年的盈利额为：2000（1+x）=2200万元．故答案为：2200．18．（3分）已知CD是Rt△ABC斜边上的高，若AB=25，BC=15，则BD的长为9 ．【解答】解：由射影定理得，BC2=BD•AB，则BD==9，故答案为：9．19．（3分）已知a，b，c为△ABC的三边长，△ABC的周长是60cm，且==，则a= 15cm ，b= 20cm ，c= 25cm ．【解答】解：∵a，b，c为△ABC的三边长，△ABC的周长是60cm，且==，∴设a=3x，b=4x，c=5x，∴3x+4x+5x=60，解得：x=5，∴a=3×5=15（cm），b=4×5=20（cm），c=5×5=25（cm），故答案为：15cm，20cm，25cm．三、解答题（共63分）20．（16分）解方程（1）x2﹣5x+1=0（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（3）x2﹣8x+12=0（4）（x+2）2=（3x﹣1）2．【解答】解：（1）∵a=1、b=﹣5，c=1，∴△=25﹣4×1×1=21＞0，则x=；（2）∵3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，∴（x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]=0，即（x﹣2）（2x﹣6）=0，则x﹣2=0或2x﹣6=0，解得：x=2或x=3；（3）∵x2﹣8x+12=0，∴（x﹣3）（x﹣4）=0，则x﹣3=0或x﹣4=0，解得：x=3或x=4；（4）∵（x+2）2﹣（3x﹣1）2=0，∴（x+2+3x﹣1）（x+2﹣3x+1）=0，即（4x+1）（﹣2x+3）=0，则4x+1=0或﹣2x+3=0，解得：x=﹣或x=．21．（12分）计算：（1）2a﹣+3ab（a＞0，b＞0）（2）（2+3﹣）（2﹣3+）【解答】解：（1）原式=2ab﹣+ab=；（2）原式=[2+（3﹣）][2﹣（3﹣）]=（2）2﹣（3﹣）2=12﹣（18﹣12+6）=12﹣18+12﹣6=12﹣12．22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0有两个不相等的实数根a和b，且满足+=1，求m的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0有两个不相等的实数根，∴△=（2m﹣3）2﹣4m2=﹣12m+9＞0，∴m＜．∵a和b是方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个实数根，∴a+b=﹣2m+3，ab=m2．又∵+==1，∴a+b=ab，即﹣2m+3=m2，解得：m1=﹣3，m2=1（不合题意，舍去），∴m的值为﹣3．23．（10分）某商店以每件21元的价格购进一批衬衫，若以每件a元的标价出售，每天可卖出（350﹣10a）件，获利400元，市物价局限定每件衬衫加价不能超过进价的额20%，求a的值．【解答】解：由题意得：（a﹣21）（350﹣10a）=400，解得：a1=31，a2=25．∵市物价局限定每件衬衫加价不能超过进价的20%，即不超过21×20%=4.2元，而31﹣21=10＞4.2，∴a1=31，舍去．当a=25时，25﹣21=4＜4.2，∴每件标价为25元．即a的值是25．24．（7分）如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是高，E是AB的中点，求证：DE=AB．【解答】证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是高，∴BD=CD．又∵E是AB的中点∴DE是△ABC的中位线．∴DE=AC=AB．25．（8分）如图，在△ABC中，BA=BC，过C点作CE⊥BC交∠ABC的角平分线BE于点E，连接AE，D是BE上的一点，且∠BAD=∠CAE．求证：△ABD∽△ACE．【解答】解：∵BA=BC，BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，BE⊥AC（等腰三角形三线合一的性质），∴∠CBE+∠ACB=90°，又∵CE⊥BC，∴∠ACE+∠ACB=90°，∴∠CBE=∠ACE，∴∠ABE=∠ACE，∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．。
九年级数学下学期第10周周清试卷(含解析) 新人教版-新人教版初中九年级全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市中英文实验学校九年级（下）第10周周清数学试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等2．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是（）A．平行四边形B．矩形 C．菱形 D．正方形3．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．内角和等于360°B．对角相等C．对边平行且相等D．对角线互相垂直4．下列判断正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．两条对角线互相平分的四边形是矩形D．两条对角线互相垂直的四边形是矩形5．菱形的边长为5，一条对角线长为8，则此菱形的面积是（）A．24 B．30 C．40 D．486．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．147．如图．矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF=3．则AB的长为（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AO=C0=BO=DO，AC⊥BD，则四边形ABCD的形状是（）A．平行四边形B．矩形 C．菱形 D．正方形二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点M、N分别是对角线BD和边BC上的动点，则CM+MN 的最小值为______．10．如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点A开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2016厘米后停下，则这只蚂蚁停在点______．11．如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，则∠APB=______．12．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为______．13．如图，把一X矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E 点，若∠ABE=40°，则∠ADB=______．14．如图，在正方形ABCD中，点E是AD边的中点，F是CD边上一点，且∠EBF=45°，则tan∠EFB的值为______．三、解答题（每小题10分，共30分）15．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB．（1）求∠ABC的度数；（2）如果，求DE的长．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．17．已知：如图，AD=CD=CB=AB=a，DA∥CB，AB⊥CB，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC 于F，作FG⊥AB于G．（1）求AC的长；（2）求证：AB=AG．2015-2016学年某某省某某市中英文实验学校九年级（下）第10周周清数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等【考点】正方形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质．【分析】本题主要依据平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线相互平分的性质来判断．【解答】解：A、对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质；B、对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；C、对角线相等是矩形和正方形具有的性质；D、对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质．故选：A．2．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是（）A．平行四边形B．矩形 C．菱形 D．正方形【考点】正方形的判定．【分析】两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，所以该四边形是正方形．【解答】解：根据正方形的判别方法知，两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，且相等又可判定为正方形，故选D．3．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．内角和等于360°B．对角相等C．对边平行且相等D．对角线互相垂直【考点】菱形的性质；矩形的性质．【分析】根据菱形的性质及矩形的性质，结合各选项进行判断即可得出答案．【解答】解；∵菱形与矩形都是平行四边形，A，B，C是平行四边形的性质，∴二者都具有，故此三个选项都不正确，由于菱形的对角线互相垂直且平分每一组对角，而矩形的对角线则相等，故选：D．4．下列判断正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．两条对角线互相平分的四边形是矩形D．两条对角线互相垂直的四边形是矩形【考点】矩形的判定．【分析】根据矩形的判断定理进行判断．【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形．故本选项错误；B、有三个角是直角的四边形是矩形．故本选项正确；C、两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形．故本选项错误；D、两条对角线互相垂直的四边形有可能是菱形．故本选项错误；故选：B．5．菱形的边长为5，一条对角线长为8，则此菱形的面积是（）A．24 B．30 C．40 D．48【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是4．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是3，则另一条对角线的长是6，进而求出菱形的面积．【解答】解：在菱形ABCD中，AB=5，BD=8，∵对角线互相垂直平分，∴∠AOB=90°，BO=4，在RT△AOB中，AO==3，∴AC=2AO=6．∴则此菱形面积是： =24．故选：A．6．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．14【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OH是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH=AB．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵H为AD边中点，∴OH是△ABD的中位线，∴OH=AB=×7=3.5．故选：A．7．如图．矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF=3．则AB的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8﹣3=5，在Rt△CEF中，CF===4，设AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，故选：D．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AO=C0=BO=DO，AC⊥BD，则四边形ABCD的形状是（）A．平行四边形B．矩形 C．菱形 D．正方形【考点】正方形的判定．【分析】根据平行四边形、菱形的判定和正方形的判定分析即可．【解答】解：四边形ABCD的形状是正方形，理由如下：∵AO=C0=BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∵AO=C0=BO=DO，∴AC=DB，∴四边形ABCD是正方形，故选D．二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点M、N分别是对角线BD和边BC上的动点，则CM+MN 的最小值为．【考点】轴对称-最短路线问题；矩形的性质．【分析】根据轴对称求最短路线的方法得出M点位置，进而利用等边三角形的性质与判定以及锐角三角函数关系求出MC+NM的值．【解答】解：如图所示：由题意可得出：作C点关于BD对称点C′，连接BC′，过点C′作C′N⊥BC于点N，交BD于点M，连接MC，此时CM+NM=C′N最小．设 BN=x，NC=（6﹣x），由相似三角形的性质，得MN：8=x：6，解得MN=x．由勾股定理，得MC2=x2﹣12x+36．MC′2=MC=x2﹣12x+36．NC′2=x2﹣x+36．由勾股定理，得BC′2﹣BN2=C′N2，即62﹣x2=x2﹣x+36，解得：x=6，所以CM+NM=C′N=，故答案为：．10．如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点A开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2016厘米后停下，则这只蚂蚁停在点 A ．【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的边长相等和全等菱形的对应边相等得出：一只蚂蚁由点A开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动一周的路程为8；用总路程÷8=循环周数…余数，即可得出结果．【解答】解：∵两个全等菱形的边长为1厘米，∴蚂蚁由点A开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动一周路程为：1×8=8；∵2016÷8=252，∴这只蚂蚁停在A点．故答案为：A．11．如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，则∠APB= 135°．【考点】旋转的性质；勾股定理的逆定理；正方形的性质．【分析】将△APB绕B点顺时针旋转90°并连接PE，构造两个直角三角形：Rt△PBE和Rt △PCE，利用勾股定理逆定理解答即可．【解答】解：将△APB绕B点顺时针旋转90°并连接PE，∵将△APB绕B点顺时针旋转90°，得△BEC，∴△BEC≌△BPA，∠APB=∠BEC，∴△BEP为等腰直角三角形，∴∠BEP=45°，∵PB=2，∴PE=2，∵PC=3，CE=PA=1，∴PC2=PE2+CE2，∴∠PEC=90°，∴∠APB=∠BEC=∠BEP+∠PEC=45°+90°=135°．12．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为20 ．【考点】矩形的性质；三角形中位线定理．【分析】根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC 的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM 的周长．【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴OM=CD=AB=2.5，∵AB=5，AD=12，∴AC==13，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO=AC=6.5，∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6++2.5=20，故答案为：20．13．如图，把一X矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E 点，若∠ABE=40°，则∠ADB= 25°．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AD∥BC，进而可以计算出∠EBC，再根据折叠可得∠EBD=∠CBD=∠EBC，然后再根据平行线的性质可以计算出∠ADB的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，∵∠ABE=40°，∴∠EBC=90°﹣40°=50°，根据折叠可得∠EBD=∠CBD，∴∠CBD=25°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=25°，故答案为：25°．14．如图，在正方形ABCD中，点E是AD边的中点，F是CD边上一点，且∠EBF=45°，则tan∠EFB的值为 3 ．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．【分析】根据正方形的性质得BA=BC，∠ABC=90°，则可把△BAE绕点B顺时针旋转90°得到△BCG，如图，根据旋转的性质得∠BCG=∠BAE=90°，∠EBG=∠ABC=90°，AE=CG，所以点G、C、F共线，再利用“SAS”证明△BEF≌△BGF，得到∠EFB=∠GFB，设正方形的边长为2a，CF=x，则AE=DE=a，CG=AE=a，DF=2a﹣x，EF=FG=x+a，在Rt△DEF中，利用勾股定理得到a2+（2a﹣x）2=（x+a）2，解得x=a，然后在Rt△BCF中，根据正切的定义得tan∠FBC==3，即tan∠EFB的值为3．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴BA=BC，∠ABC=90°，把△BAE绕点B顺时针旋转90°得到△BCG，如图，∴∠BCG=∠BAE=90°，∠EBG=∠ABC=90°，AE=CG，∴点G、C、F共线，∵∠EBF=45°，∴∠GBF=45°，BG=BE，在△BEF和△BGF中，，∴△BEF≌△BGF（SAS），∴∠EFB=∠GFB，设正方形的边长为2a，CF=x，则AE=DE=a，CG=AE=a，DF=2a﹣x，EF=FG=x+a，在Rt△DEF中，∵DE2+DF2=EF2，∴a2+（2a﹣x）2=（x+a）2，解得x=a，在Rt△BCF中，tan∠FBC===3，∴tan∠EFB=3．故答案为3．三、解答题（每小题10分，共30分）15．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB．（1）求∠ABC的度数；（2）如果，求DE的长．【考点】菱形的性质．【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据菱形的四条边都相等可得AB=AD，然后求出AB=AD=BD，从而得到△ABD是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出△DAB=60°，然后根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；（2）根据菱形的对角线互相平分求出AO，再根据等边三角形的性质可得DE=AO．【解答】解：（1）∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴AD=DB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∴AD=DB=AB，∴△ABD为等边三角形．∴∠DAB=60°．∵菱形ABCD的边AD∥BC，∴∠ABC=180°﹣∠DAB=180°﹣60°=120°，即∠ABC=120°；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC于O，AO=AC=×4=2，由（1）可知DE和AO都是等边△ABD的高，∴DE=AO=2．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】（1）过点O作OM⊥AB，由角平分线的性质得OE=OM，由正方形的性质得OE=OF，易得OM=OF，由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上；（2）由勾股定理得AB的长，利用方程思想解得结果．【解答】（1）证明：过点O作OM⊥AB，∵BD是∠ABC的一条角平分线，∴OE=OM，∵四边形OECF是正方形，∴OE=OF，∴OF=OM，∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；（2）解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∴AB===13，设CE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，∴，解得：，∴CE=2，∴OE=2．17．已知：如图，AD=CD=CB=AB=a，DA∥CB，AB⊥CB，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC 于F，作FG⊥AB于G．（1）求AC的长；（2）求证：AB=AG．【考点】正方形的性质；角平分线的性质．【分析】（1）先判断四边形ABCD为正方形，则利用正方形的性质得AC=AB=a；（2）先根据角平分线的性质得EF=BE，再证明△ABE≌△AFE得到AF=AB，然后证明△AFG 为等腰直角三角形，则AF=AG，于是得到AB=AG．【解答】（1）解：∵AD=CD=CB=AB=a，AB⊥CB，∴四边形ABCD为正方形，∴AC=AB=a；（2）证明：∵AE平分∠BAC，EB⊥AB，EF⊥AC，∴EF=BE，在△ABE和△AFE中，∴△ABE≌△AFE，∴AF=AB，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAC=45°，∵FG⊥AB，∴△AFG为等腰直角三角形，∴AF=AG，∴AB=AG．。