最新2021年九年级数学中考复习专题：圆中弧长与扇形面积综合练习(二)

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部编数学九年级上册24.4弧长和扇形面积(13大题型)2023考点题型精讲(解析版)含答案

24.4弧长和扇形面积弧长公式　半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)题型1：运用公式计算弧长1.已知一个扇形的圆心角是150°，半径是3，则该扇形的弧长为（）A．B．C．D．【分析】利用弧长公式直接计算即可．【解答】解：这个扇形的弧长＝＝π，故选：A．【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l＝．【变式1-1】如图，AB是圆O的直径，CD是弦，CD∥AB，∠BCD＝30°，AB＝6，则弧BD的长为（）A．πB．4πC．2πD．45π【分析】求出圆心角∠BOD的度数，再根据弧长的计算公式进行计算即可．【解答】解：∠BOD＝2∠BCD＝2×30°＝60°，由弧长公式得，弧BD的长为＝π，故选：A．【点评】本题考查圆周角定理，弧长的计算，掌握弧长的计算公式是正确解答的前提，求出圆心角的度数是解决问题的关键．【变式1-2】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，若∠A＝20°，AB＝6，则弧长为（）A．B．C．D．【分析】连结CO，根据AO＝CO，得到∠A＝∠C＝20°，根据三角形内角和定理求出圆心角的度数，根据直径的长求出半径，根据弧长公式l＝即可得出答案．【解答】解：如图，连结CO，∵AO＝CO，∴∠A＝∠C＝20°，∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠C＝140°，∵直径AB＝6，∴半径r＝3，∴长＝＝，故选：C．【点评】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式l＝是解题的关键．题型2：列方程求圆心角或半径2.已知一段弧长为9.42cm，该段弧所在的圆的半径为6cm，求这段弧所对的圆心角度数．【分析】根据弧长公式，即可求出弧所对的圆心角的度数．【解答】解：设圆心角的度数为n，根据题意得，＝9.42＝3π，∴n＝3π×180°÷6π＝90°．故这段弧所对的圆心角度数为：90°．【点评】本题考查了弧长的计算，牢记弧长公式是解题的关键．【变式2-1】如图，劣弧AB的长为6π，圆心角∠AOB＝90°，求此弧所在圆的半径．【分析】根据弧长公式l＝，代入求出r的值即可．【解答】解：由题意得，6π＝，∴r＝12．答：此弧所在圆的半径为12．【点评】本题考查了弧长的计算，关键是掌握弧长的计算公式．【变式2-2】已知圆上一段弧长为4πcm，它所对的圆心角为100°，求该圆的半径．【分析】设该圆的半径为R，根据弧长公式列出方程，解方程可得．【解答】解：设该圆的半径为Rcm，根据题意，得：＝4π，解得：R＝，答：该圆的半径为cm．【点评】本题考查了弧长公式：l＝（n为弧所对的圆心角的度数，R为弧所在圆的半径）．题型3：弧长计算中的最值问题（提升）3.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，OB＝2，点D为弦AB上一动点（不与A，B两点重合），连接OD并延长交于点C，当CD为最大值时，的长为（）A．B．C．D．π【分析】根据垂线段最短得出当OC⊥AB时，OD最短，此时CD最大，求出∠BOC的度数，再根据弧长公式求出即可．【解答】解：当OC⊥AB时，OD最短（垂线段最短），此时CD最大，∵∠AOB＝120°，OD⊥AB，OD过圆心O，∴＝，且弧的度数是60°，∴∠BOC＝60°，∴的长为＝，故选：B．【点评】本题考查了垂径定理，垂线段最短等知识点，能求出∠BOC的度数是解此题的关键【变式3-1】如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为（）A．B．C．D．【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′＝＝＝2，的长＝＝，∴阴影部分周长的最小值为2+＝．故选：C．【点评】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．【变式3-2】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在上，且∠AOC＝60°，点P是线段OB上一动点，若OA＝2，则图中阴影部分周长的最小值是．【分析】延长AO到D，使OD＝AO，得到点A与点D关于OB对称，连接CD交OB于P′，当点P 与点P′重合时，图中阴影部分周长的值最小，根据等腰三角形的性质得到∠D＝∠OCD＝30°，过C 作CE⊥AO于E，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：延长AO到D，使OD＝AO，∵∠AOB＝90°，∴点A与点D关于OB对称，连接CD交OB于P′，当点P与点P′重合时，图中阴影部分周长的值最小，∵∠AOC＝60°，∴∠BOC＝30°，∴∠DOC＝120°，∵OD＝OA＝OC，∴∠D＝∠OCD＝30°，过C作CE⊥AO于E，∴∠CEO＝90°，∴∠OCE＝30°，∵OC＝OA＝2，∴OE＝OC＝1，∴DE＝OE+OD＝3，CE＝＝＝，∴CD＝＝＝2，∴AP′+CP′＝2，∵的长＝＝π，∴图中阴影部分周长的最小值是2+π，故答案为：2+π．【点评】本题考查了弧长的计算，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．题型4：弧长计算与实际应用问题4.有一段圆弧形公路，弯道半径为45米，请你计算，圆心角等于60°的圆弧形公路有多少米长？（精确到0.1米）【分析】根据弧长公式计算即可得．【解答】解：圆心角等于60°的圆弧形公路长为＝15π≈47.1米，答：圆心角等于60°的圆弧形公路长47.1米．【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．【变式4-1】如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为1000mm，两直管道的长度都为2000mm，求图中管道的展直长度（即图中虚线所表示的中心线的长度，精确到1mm）【分析】先计算出扇形的弧长再加上直管道的长度即可．【解答】解：图中管道的展直长度＝2×+4000＝2000π+4000≈10280（mm）．【点评】主要考查了扇形的弧长公式，这个公式要牢记．弧长公式为：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）．扇形面积公式半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式：题型5：应用公式计算扇形面积5.一个扇形的弧长是10πcm，其圆心角是150°，此扇形的面积为（）A．30πcm2B．60πcm2C．120πcm2D．180πcm2【分析】先根据题意可算出扇形的半径，再根据扇形面积公式即可得出答案．【解答】解：根据题意可得，设扇形的半径为rcm，则l＝，即10π＝，解得：r＝12，∴S＝＝＝60π（cm2）．故选：B．【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．【变式5-1】已知一个扇形的圆心角的度数为120°，半径长为3，则这个扇形的面积为多少？（结果保留π）【分析】根据扇形的面积公式S＝πR2直接计算即可．扇形＝πR2＝×π×32＝3π，【解答】解：S扇形答：这个扇形的面积为3π．【点评】本题考查了扇形的面积公式，熟记公式和准确计算是解题的关键．【变式5-2】如图、A、B、C三点在半径为1的⊙O上，四边形ABCO是菱形，求扇形OAC的面积．【分析】连接OB，证明△AOB，△BOC都是等边三角形，得∠AOC＝120°，利用扇形面积公式计算即可．【解答】解：如图，连接OB，∵四边形ABCO是菱形，∴OA＝OC＝AB＝BC＝OB，∴△AOB，△BOC都是等边三角形，∴∠AOC＝120°，∴S＝＝．扇形OAC【点评】本题考查扇形面积公式，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．题型6：列方程求圆心角或半径6.已知扇形的圆心角为30°，面积为3πcm2，则扇形的半径为（）A．6cm B．12cm C．18cm D．36cm【分析】设扇形的半径为r，再根据扇形的面积公式求出r的值即可．【解答】解：设扇形的半径为r，∵扇形的圆心角为30°，面积为3πcm2，∴＝3π，解得r＝6（cm）．故选：A．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．【变式6-1】已知一个扇形的半径为R，圆心角为n°，当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时，则这个扇形的圆心角n的度数是（）A．180°B．120°C．90°D．60°【分析】根据扇形和圆的面积公式列方程即可得到结论．【解答】解：根据题意得，＝（）2π，解得：n＝90，故选：C．【点评】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解题的关键．【变式6-2】已知⊙O的半径为2cm，扇形AOB的面积为πcm2，圆心角∠AOB是多少度？【分析】根据扇形的面积公式S＝，得n＝，代入数据计算即可．【解答】解：设∠AOB＝n，∵⊙O的半径为2cm，扇形AOB的面积为πcm2，∴S＝＝＝π，解得：n＝90°，∴∠AOB是90°．【点评】本题考查了扇形的面积，熟记扇形的面积公式是解题的关键．题型7：扇形计算与实际应用问题7.如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分的宽BD为18cm，求纸扇上贴纸部分的面积．【分析】先求出AD的长度，再根据扇形的面积公式分别求出扇形DAE和扇形BAC的面积即可．【解答】解：∵AB＝30cm，BD＝18cm，∴AD＝AB﹣BD＝30﹣18＝12（cm），∴纸扇上贴纸部分的面积S＝S扇形BAC ﹣S扇形DAE＝﹣＝300π﹣48π＝252π（cm2）．【点评】本题考查了扇形的面积公式，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：半径为r，圆心角为n°的扇形的面积为．【变式7-1】某灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径OA＝24cm，OC ＝12cm，∠AOB＝135°．（计算结果保留π）（1）若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），至少需要多长的花边？（2）求灯罩的侧面积（接缝处忽略不计）．【分析】（1）主要是求阴影部分扇形环的外环和内环的弧长之和，即求优弧AB+优弧CD；直接利用弧长公式求解即可．（2）求扇环的面积，即S侧＝S阴影＝（π×242﹣S扇形OAB）﹣（π×122﹣S扇形OCD）．【解答】解：（1）优弧的长为（cm），优弧的长为（cm），至少需要花边的长度为30π+15π＝45π（cm）；（2）灯罩的侧面积＝S阴影＝（π×242﹣S扇形OAB）﹣（π×122﹣S扇形OCD）＝．【点评】主要考查了利用弧长公式和扇形的面积公式，通过面积差求扇形的面积．【变式7-2】如图，一只小羊被主人用绳子拴在长为5米，宽为2米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台的周围都是草地．（1）若绳子长为4米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积．（结果保留π）（2）为了增加小羊吃草的范围，现决定把绳子的长度增加到6米，求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积．（结果保留π）【分析】（1）先根据题意和扇形面积公式列出算式，再求出即可；（2）先根据题意和扇形面积公式列出算式，再求出即可．【解答】（1）解：当绳子长为4米时，这只羊能吃到草的区域的最大面积S＝+＝13π（平方米），答：这只羊能吃到草的区域的最大面积是13π平方米；（2）解：当绳子长为4米时，这只羊能吃到草的区域的最大面积S＝++＝（平方米），答：这只羊能吃到草的区域的最大面积是平方米．【点评】本题考查了矩形的性质和扇形的面积计算，能根据扇形公式列出算式是解此题的关键．题型8：求阴影部分面积-规则图形8（S阴=S扇-S△）.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，AB＝2，以点B为圆心，AB为半径画弧，交AC于点D，交BC于点E，连接BD，则图中阴影部分面积为（）A．B．C．D．【分析】根据S阴＝S扇形BAD﹣S△ABD计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴cos A＝＝，∴∠A＝60°，∵BA＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴S阴＝S扇形BAD﹣S△ABD＝﹣×22＝π﹣，故选：B．【点评】本题考查扇形面积的计算，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式8-1】（S阴=S大扇-S小扇）如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（）A．14πB．7πC．D．2π【分析】根据S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC，求解即可．【解答】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC＝﹣＝＝7π，故选：B．【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是熟记扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．【变式8-2】（化零为整）如图，分别以n边形的顶点为圆心，以2为半径画圆，则图中阴影部分面积之和为（）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】由题意得到各顶点的扇形圆心角之和即为n边形外角和，利用扇形面积公式计算即可求出阴影部分面积．【解答】解：∵n边形的外角和为360°，半径为2，∴S 阴影＝＝4πcm 2，故选：D ．【点评】此题考查了扇形面积的计算，以及多边形的内角和与外角和，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．【变式8-3】（S 阴=S △-S 扇）如图，正三角形ABC 的边长为8，点D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，4为半径作圆，则图中阴影部分的面积为 16﹣8π　．（结果保留π）【分析】连接AD ，根据等边三角形的性质得出AB ＝AC ＝BC ＝8，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，求出圆的半径为4，再分别求出△ABC 的面积和三个扇形的面积即可．【解答】解：连接AD ，则BD ＝CD ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AB ＝AC ＝BC ＝8，∴BD ＝CD ＝4，即三个圆的半径都是4，由勾股定理得：AD ＝＝＝4，∴阴影部分的面积S ＝S △ABC ﹣3S 扇形BFD ＝﹣3×＝16﹣8π，故答案为：16﹣8π．【点评】本题考查了等边三角形的性质，扇形的面积公式等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．题型9：求阴影部分面积-不规则图形9（割补法）.如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置．（1）若正方形的边长是8，PB＝4．求阴影部分面积；（2）若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的长．【分析】（1）根据旋转的性质得到△APB≌△CEB，则BP＝BE，∠ABP＝∠EBC；以B为圆心，BP 画弧叫AB于F点，如图，易得扇形BFP的面积＝扇形BEQ，则图形ECQ的面积＝图形AFP的面积，于是S阴影部分＝S扇形BAC﹣S扇形BFQ，然后根据扇形的面积公式计算即可；（2）连PE，利用△APB≌△CEB得到BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝135°，易得△PBE为等腰直角三角形，则∠BEP＝45°，PE＝4，则∠PEC＝135°﹣45°＝90°，然后在Rt△PEC中根据勾股定理计算即可得到PC的长．【解答】解：（1）∵把△APB旋转到△CEB的位置，∴△APB≌△CEB，∴BP＝BE，∠ABP＝∠EBC，以B为圆心，BP画弧叫AB于F点，如图，∴扇形BFP的面积＝扇形BEQ，∴图形ECQ的面积＝图形AFP的面积，∴S阴影部分＝S扇形BAC﹣S扇形BFQ＝﹣＝12π；（2）连PE，∴△APB≌△CEB，∴BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝135°，∴△PBE为等腰直角三角形，∴∠BEP＝45°，PE＝4，∴∠PEC＝135°﹣45°＝90°，∴PC＝＝＝9．【点评】本题考查了扇形的面积公式：S＝（其中n为扇形的圆心角的度数，R为半径）．也考查了正方形和旋转的性质．【变式9-1】（等面积法）如图，A是半径为1的⊙O外的一点，OA＝2，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连接AC．则图中阴影部分面积等于（）A．B．C．D．【分析】△OBC与△BCA是同底等高，则它们的面积相等，因此阴影部分的面积实际是扇形OCB的面积；扇形OCB中，已知了半径的长，关键是圆心角∠COB的度数．在Rt△ABO中，根据OB、OA 的长，即可求得∠BOA的度数；由于OA∥BC，也就求得了∠OBC的度数，进而可在△COB中求出∠COB的度数，由此可根据扇形的面积公式求出阴影部分的面积．【解答】解：OB是半径，AB是切线，∵OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∴sin A＝＝，∴∠A＝30°，∵OC＝OB，BC∥OA，∴∠OBC＝∠BOA＝60°，∴△OBC是等边三角形，因此S阴影＝S扇形CBO＝＝．故选：A．【点评】本题利用了平行线的性质，同底等高的三角形面积相等，切线的概念，正弦的概念，扇形的面积公式求解．【变式9-2】（构造法）求阴影部分面积．【分析】构造图2，得到图1中的S1、S2、S3、S4，与图2中的S1、S2、S3、S4相等，易求得图2中S1+S2+S3+S4的值，得到图1中的阴影为﹣（S1+S2+S3+S4）．【解答】解：如图：图1中的S1、S2、S3、S4，与图2中的S1、S2、S3、S4相等，由图2可知：S1+S2+S3+S4＝（2a）2﹣πa2＝4a2﹣πa2，图1中的阴影为﹣（S1+S2+S3+S4）＝πa2﹣（4a2﹣πa2）＝2πa2﹣4a2．【点评】本题考查了图形面积的计算，利用图形的等面积变换可以简化计算．圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积2360l S rl p p =扇n =，圆锥的全面积.注意：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.题型10：求圆锥的侧面积（全面积）10.已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（）A ．24B ．48C ．12πD ．24π【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，从而利用扇形的面积公式可计算圆锥的侧面积．【解答】解：它的侧面展开图的面积＝×2π×4×6＝24π．故选：D ．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【变式10-1】一个圆锥的底面直径是8cm ，母线长为9cm ，则圆锥的全面积为（）A ．36πcm 2B ．52πcm 2C ．72πcm 2D ．136πcm 2【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积，然后计算侧面积与底面积的和．【解答】解：圆锥的全面积＝π×42+×2π×4×9＝52π（cm 2）．故选：B ．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【变式10-2】如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为 120°，求这个扇形的面积．【分析】首先根据底面圆的面积求得底面的半径，然后结合弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求得侧面积即可．【解答】解：∵底面圆的面积为100π，∴底面圆的半径为10，∴扇形的弧长等于圆的周长为20π，设扇形的母线长为r，则＝20π，解得：r＝30，∴扇形的面积为πrl＝π×10×30＝300π，【点评】本题考查了圆锥的计算及扇形的面积的计算，解题的关键是牢记计算公式．题型11：计算底面半径或展开图圆心角11.圆锥的轴截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是（）A．60°B．90°C．120°D．180°【分析】易得圆锥的底面直径与母线长相等，那么根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长即可得到这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，∵它的轴截面是正三角形，∴R＝2r，∴2πr＝，解得n＝180°，故选：D．【点评】用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．【变式11-1】一个扇形半径30cm，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．30cm【分析】设圆锥底面半径为rcm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可．【解答】解：设圆锥底面半径为rcm，根据题意得2πr＝，解得r＝10，即圆锥底面半径为10 cm．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【变式11-2】如图，圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，求该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数．【分析】设出母线长与底面半径，根据题意和圆的面积，扇形的面积公式求解．【解答】解：设母线长为R，圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为n，底面半径为r．∴底面周长＝2πr，底面面积＝πr2，侧面积＝×2πr×R＝πRr＝2×πr2，∴R＝2r，∴＝2πr＝πR，∴n＝180°．【点评】本题利用了扇形的面积公式，圆的面积公式，弧长公式，圆的周长公式求解．注意圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．题型12：圆锥计算与实际应用问题12.用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示．（1）求圆锥的高；（2）求所需铁皮的面积S（结果保留π）．【分析】（1）根据勾股定理即可求出高；（2）根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，圆锥的母线长是扇形的半径进行计算即可．【解答】解：（1）如图，在Rt△AOB中，根据勾股定理，AO＝＝＝30（cm），∴圆锥的高为30cm；（2）80π×50＝2000π（cm2），答：所需铁皮的面积为2000πcm2．【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥与它的侧面展开图扇形之间的关系是解决本题的关键，要正确理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．【变式12-1】一个圆锥形沙堆，底面半径是5米，高是2.5米．（π取3）（1）求这堆沙子有多少立方米？（2）用这堆沙子在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺多少米？（3）在（2）的条件下，一台压路机的前轮直径是1m，前轮宽度是2m．如果前轮每分钟转动6周，这台压路机压一遍这段路面大约需要多少分钟？（得数保留整数．）【分析】（1）根据圆锥的体积公式求出这堆沙子的立方米数；（2）根据体积相等列式计算；（3）根据压路机一分钟压的面积，进而求出需要的分钟数．【解答】解：（1）圆锥的体积＝×π×52×2.5＝π≈62.5（立方米），答：这堆沙子约有62.5立方米；（2）用这堆沙子在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺的米数为：62.5÷（10×0.02）＝312.5（米），答：用这堆沙子在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺312.5米；（3）压路机一分钟压的面积＝π×1×2×6≈36（平方米），则这台压路机压一遍这段路面大约需要的时间＝312.5×10÷36≈87（分）．【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的体积公式、圆的面积公式是解题的关键．【变式12-2】蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，其外形可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面半径为4m，总高为4.5m，外围（圆柱）高为1.5m的蒙古包（不包含底面圆），至少需要多少m2的毛毡？【分析】由底面圆的半径＝4米，由勾股定理求得母线长，利用圆锥的侧面面积公式，以及利用矩形的面积公式求得圆柱的侧面面积，最后求和．【解答】解：∵底面半径＝4米，高为4.5m，外围（圆柱）高1.5m，∴圆锥高为：4.5﹣1.5＝3（m），∴圆锥的母线长＝＝5（m），∴圆锥的侧面积＝π×4×5＝20π（平方米）；圆锥的周长为：2π×4＝8π（m），圆柱的侧面积＝8π×1.5＝12π（平方米）．∴故需要毛毡：20×（20π+12π）＝640π（平方米）．【点评】此题主要考查了勾股定理，圆面积公式，扇形的面积公式，矩形的面积公式等，分别得出圆锥与圆柱侧面积是解题关键．题型13：圆锥与最短距离13.如图，AB为圆锥轴截面△ABC的一边，一只蚂蚁从B地出发，沿着圆锥侧面爬向AC边的中点D，其中AB＝6，OB＝3，请蚂蚁爬行的最短距离为．【分析】先把圆锥侧面展开得到扇形CAC′，如图，设圆锥的侧面展开图的圆心角为n，利用弧长公式得到2π×3＝，解得n＝180，则∠CAB′＝90°，利用勾股定理计算出B′D，然后根据两点之间线段最短求解．【解答】解：圆锥的侧面展开图为扇形CAC′，如图，设圆锥的侧面展开图的圆心角为n，根据题意得2π×3＝，解得n＝180，∴∠CAB′＝90°，∵D为AC的中点，∴AD＝3，在Rt△ADB′中，B′D＝＝3，∴蚂蚁爬行的最短距离为3．故答案为3．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【变式13-1】已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离．【分析】最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．需先算出圆锥侧面展开图的扇形半径．看如何构成一个直角三角形，然后根据勾股定理进行计算．【解答】解：圆锥的底面周长是8π，则8π＝，∴n＝120°，即圆锥侧面展开图的圆心角是120度．∴∠APB＝60°，∵PA＝PB，∴△PAB是等边三角形，∵C是PB中点，∴AC⊥PB，∴∠ACP＝90度．∵在圆锥侧面展开图中AP＝12，PC＝6，∴在圆锥侧面展开图中AC＝＝6cm．最短距离是6cm．【点评】本题考查了圆锥的计算，需注意最短距离的问题最后都要转化为平面上两点间的距离的问题．【变式13-2】圆锥的底面半径是3，母线长是9，P是底面圆周上一点：从点P拉一根绳子绕圆锥侧面一周，再回到P点，求这根绳子的最短长度．【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对直径，转化为求直径的长的问题．【解答】解：将圆锥侧面沿AB剪开展平，连BB′，则BB′就是所求绳子长．由2π×3＝得n＝120，作AC⊥BB'，则∠2＝60°BB'＝2BC，∴∠3＝30°∴AC＝，BC＝，∴BB′＝9．【点评】本题主要考查圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．一、单选题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，OM⊥BC于点M，若OM=2，则BC的长为（）A ．4πB ．43πC ．83πD ．163π【答案】C 【解析】【解答】解：如图示，链接OC ，OB ，∵∠A =60°∴∠COB =120° ,∵OM ⊥BC ， OM =2∴∠COM =60° ， OC =OM cos60∘=212=4 ，∴BC =120∘×2×π×4360∘=83π ，故答案为：C【分析】链接OC ，OB ，利用圆周角定理可得 ∠COB =120° ，根据 OM ⊥BC ， OM =2 ，可求出 OC =4 ，利用弧长公式即可求出 BC 的长度.2．扇形的圆心角为60°，面积为6π，则扇形的半径是（）A ．3B ．6C ．18D ．36【答案】B 【解析】【分析】已知了扇形的圆心角和面积，可直接根据扇形的面积公式求半径长．【解答】扇形的面积=60πr 2360=6π．解得：r=6，故选：B ．3．如图， AC ⊥BC ， AC =BC =8 ，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心， BC 为半径作 AB ，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ，则图中阴影部分的面积是（）A ．20π3−8B ．20π3C ．−20π3D ．+20π3【答案】A【解析】【解答】解：如图，连接CE.∵AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝8，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作弧AB ，∴∠ACB ＝90°，OB ＝OC ＝OD ＝4，BC ＝CE ＝8.又∵OE ∥AC ，∴∠ACB ＝∠COE ＝90°.∴在Rt △OEC 中，OC ＝4，CE ＝8，∴∠CEO ＝30°，∠ECB ＝60°，OE ＝4，∴S 阴影＝S 扇形BCE −S 扇形BOD −S △OCE＝ 60π×82360−14×42π−12×4×= 20π3−8故答案为：A.【分析】如图，连接CE.图中S 阴影＝S 扇形BCE −S 扇形BOD −S △OCE .根据已知条件易求得OB ＝OC ＝OD ＝4，BC ＝CE ＝8，∠ECB ＝60°，OE ＝4，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可.4．如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=2，以直角边AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是（）A ．1534﹣ 32πB ．1532 ﹣ 32πC ．734﹣ π6D ﹣ π6【答案】A【解析】【解答】解：如图连接OD 、CD ．∵AC 是直径，∴∠ADC=90°，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，∵OC=OD ，∴△OCD 是等边三角形，∵BC 是切线．∴∠ACB=90°，∵BC=2，∴AB=4，AC=6，∴S 阴=S △ABC ﹣S △ACD ﹣（S 扇形OCD ﹣S △OCD ）= 12 ×6×2 ﹣ 12 ×3× ﹣（ 60π⋅32360 ﹣ 34×32）= ﹣ 32 π．故答案为：A ．【分析】如图连接OD 、CD ．根据圆周角定理及三角形内角和及同圆的半径相等得出△OCD 是等边三。

九年级数学上册第二十四章圆24.4弧长和扇形面积(拓展提高)检测(含解析)新人教版(2021年整理)

九年级数学上册第二十四章圆24.4 弧长和扇形面积（拓展提高）同步检测（含解析）（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第二十四章圆24.4 弧长和扇形面积（拓展提高）同步检测（含解析）（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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24。

4 弧长和扇形面积基础闯关全练拓展训练1。

(2016广东广州越秀一模）如图，正方形ABCD的边长AB=4,分别以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，则的长是（）A。

πB。

π C.π D.π2。

（2016广西桂林中考）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°,OA=3,OB=2,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,分别以O、E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,则图中阴影部分面积是（）A。

π B.C。

3+π D.8—π3.如图所示,分别以n边形的顶点为圆心,以1 cm为半径画圆,当n=2 019时,则图中阴影部分的面积之和为( )A.π cm2B。

2π cm2C。

2018π cm2 D.2019π cm24.(2017山东德州中考)某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示。

圆O 的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E为上切点)，与左右两边相交(F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域。

人教版2021年九年级数学上册同步练习圆-弧长与扇形面积的计算(含答案)

人教版 2021 年九年级数学上册同步练习
圆-弧长与扇形面积的计算
一、选择题 1.如图,AB 为⊙O 的直径,AB=6,AB⊥弦 CD,垂足为 G,EF 切⊙O 于点 B,∠A=30°,连接 AD、OC、 BC,下列结论不正确的是（）
A.EF∥CD
B.△COB 是等边三角形
C.CG=DG
D. 的长为 π
．
．
．
．
10.如图，正方形 ABCD 的边长为 2，O 为对角线的交点，点 E、F 分别为 BC、AD 的中点．以 C 为圆心，2 为半径作圆弧，再分别以 E、F 为圆心，1 为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为( )
A．π﹣1
B．π﹣2 C．π﹣3
D．4﹣π
二、填空题 11.如图，折扇的骨柄长为 27cm，折扇张开的角度为 120°，图中的长为 cm(结果保留 π).
A．6π B．3 π
C．2 π
D．2π
9.将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是 8cm，水的最大深度是 2cm，则杯底有水部分的面积是（）
A
B
C
D
（ π﹣4 ）cm2 （ π﹣8 ）cm2 （ π﹣4 ）cm2 （ π﹣2 ）cm2
扇形，则 r的值为（
）
A.3
B.6
C.3π
D.6π
5.如图,从一张腰长为 60cm,顶角为 120°的等腰三角形铁皮 OAB 中剪出一个最大的扇形 OCD,用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗),则该圆锥的高为（）
A.10cm
B.15cm
C.10 cm
D.20 cm

人教版九年级数学上册第24章 24.4弧长和扇形面积专题练习(含答案)

人教版九年级数学上册第24章 24.4弧长和扇形面积专题练习（含答案）基础巩固1.⊙的内接多边形周长为3 ，⊙的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）AB． D2.如图已知扇形的半径为6cm ，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（）A ．B ．C ．D ．3.若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是A ．40°B ．80°C ．120°D ．150°4.艳军中学学术报告厅门的上沿是圆弧形，这条弧所在圆的半径为1.8 米，所对的圆心角为100°，则弧长是米．(π≈3) 【参考答案】 1. C 2. D 3. C 4. 3O O 10AOB 120°24πcm 26πcm 29πcm 212πcm 120 BOA6cm能力提高一、选择题1.如图，已知的半径，，则所对的弧的长为（） A ．B ．C ．D ．2.将直径为60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为 ( )A ．10cmB ．30cmC ．40cmD ．300cm3.若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是（） A ．1.5B ．2C ．3D ．64.有30％圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm ，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为（）．A.9°B.18°C.63°D.72°5.已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图所示），则sin θ的值为（）A.B. C. D. O ⊙6OA =90AOB ∠=°AOB ∠AB 2π3π6π12π125135131013126.在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径高则这个圆锥漏斗的侧面积是（） A ． B ． C ． D ．二、填空题1.，圆心角等于450的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C 在OA上，点D .E 在OB 上，点F 在上，则阴影部分的面积为（结果保留） .2.如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为（结果保留）．3.将一块含30°角的三角尺绕较长直角边旋转一周得一圆锥，这个圆锥的高是3，则圆锥的侧面积是____.4.如图，三角板中，，，．三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转过的路径长为．6cm OB =，8cm OC =．230cm 230cm π260cm π2120cm AB ππABC ︒=∠90ACB ︒=∠30B 6=BC C A 'A AB B 第2题图5.已知正六边形的边长为1cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm （结果保留）．6.矩形ABCD的边AB =8，AD =6，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置时（如图所示），则顶点A 所经过的路线长是_________．7.已知在△ABC 中，AB=6，AC=8，∠A=90°，把Rt△ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为,把Rt△ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为，则：等于_________ 三、解答题1.如图，有一个圆O 和两个正六边形，．的6个顶点都在圆周上，的6条边都和圆O 相切（我们称，分别为圆O 的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设，的边长分别为，，圆O 的半径为，求及的值；（2）求正六边形，的面积比的值．π1111A B C D 1S 2S 1S 2S 1T 2T 1T 2T 1T 2T 1T 2T a b r a r :b r :1T 2T 21:S SB 'A CAB 第4题2.如图，圆心角都是90º的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连结AC ，BD ．（1）求证：AC=BD ；（2）若图中阴影部分的面积是，OA=2cm ，求OC 的长．3.如图，已知菱形的边长为，两点在扇形的上，求的长度及扇形的面积．2 43cm ABCD 1.5cm B C ，AEF ABCBCD AEF【参考答案】选择题 1. B 2. A3. C4. B5. A6. C 填空题 1.2. 3. 18π 4. 5. 6. 7. 2∶3 解答题1.解：（1）连接圆心O 和T 的6个顶点可得6个全等的正三角形 .所以r∶a=1∶1;连接圆心O 和T 相邻的两个顶点，得以圆O 半径为高的正三角形，所以r∶b=∶2;（2） T ∶T 的连长比是∶2，所以S ∶S = . 2. （1）证明：2385-π∏83π22ππ24123123124:3):(2=b a（2）根据题意得：；∴ 解得：OC ＝1cm ．3. 解：四边形是菱形且边长为1.5，．又两点在扇形的上，，是等边三角形．．的长（cm ）BDAC BOD AOC DO CO BO AB BOD AOC AODBOD AOD AOC COD AOB =⇒∆≅∆⇒⎪⎭⎪⎬⎫==∠=∠⇒∠+∠=∠+∠⇒∠∠ 900＝＝360)(9036090360902222OC OA OC OA S -=-=πππ阴影360)2(904322OC -=ππABCD 1.5AB BC ∴==B C 、AEF 1.5AB BC AC ∴===ABC ∴△60BAC ∴∠=°21805.160ππ=∙=ππ835.122121=∙∙==lR S ABC 扇形)(2cm。

专题24.4 弧长和扇形面积讲练-2021年初中数学九年级上册同步讲练(教师版含解析)

专题24.4弧长和扇形面积典例体系(本专题共91题57页)一、知识点1.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l ＝180n r π；扇形的面积S ＝2360n r π＝12lr 2.圆锥与侧面展开图(1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.(2)计算公式：S 侧=πrl ，S=πr(l+r)二、考点点拨与训练考点1：计算弧长典例：(2020·吉林长春·初三一模)如图，BC为⊙O直径，点A是⊙O上任意一点(不与点B、C重合)，以BC、AB为邻边的平行四边形ABCD的顶点D在⊙O外．(1)当AD与⊙O相切时，求∠B的大小．(2)若⊙O的半径为2，BC＝2AB，直接写出AC的长．【答案】(1)∠B＝45°；(2)4 3【解析】解：(1)连接OA，如图1所示：∵AD与⊙O相切，∴AD⊥OA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴OA⊥BC，∵OA＝OB，∴△OAB是等腰直角三角形，∴∠B＝45°；(2)连接AC，如图2所示：∵BC 为⊙O 直径，∴∠BAC ＝90°，∵BC ＝2AB ，∴∠ACB ＝30°，∴∠B ＝60°，∴∠AOC ＝2∠B ＝120°，∴AC 的长为1202180π⋅⨯＝43π．方法或规律点拨本题是与圆有关的综合题，涉及圆的基本性质、平行四边形的性质、切线性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、弧长公式等知识，综合性强，难易适中，认真分析，寻找这些知识的关联点并灵活运用是解答的关键．巩固练习1．(2020·黄山市徽州区第二中学一模)如图，在Rt △ABC 中，以BC 的中点O 为圆心的⊙O 分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点，DE 的长为()A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【答案】B【解析】连接OE 、OD ，设半径为r ，∵⊙O 分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点，∴OE ⊥AC ，OD ⊥AB ，∵O 是BC 的中点，∴OD 是中位线，∴OD=AE=12AC ，∴AC=2r ，同理可知：AB=2r ，∴AB=AC ，∴∠B=45°，∵∴由勾股定理可知AB=2，∴r=1，∴DE =901180π⨯=2π故选B2．(2020·辽宁龙城·一模)如图，菱形OABC 的边长为4，且点A 、B 、C 在⊙O 上，则劣弧BC 的长度为()A ．3πB ．23πC ．83πD ．43π【答案】D【解析】连接OB ，∵四边形OABC 是菱形，∴OC ＝BC ＝AB ＝OA ＝4，∴OC ＝OB ＝BC ，∴△OBC 是等边三角形，∴∠COB ＝60°，∴劣弧BC 的长为60441801803n r ππ⨯==π，故选：D ．3．(2020·江苏镇江市索普初级中学月考)如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点F，则BF的长为_____．【答案】8 15π【解析】连接CF，DF，则△CFD是等边三角形，∴∠FCD=60°，∵在正五边形ABCDE中，∠BCD=108°，∴∠BCF=48°，∴BF的长=4828 18015ππ⨯⨯=，故答案为815π．4．(2020·江苏南京·月考)如图，在66⨯的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作ABC的外接圆，则BC的长等于_____．【答案】5 2【解析】∵每个小方格都是边长为1的正方形，∴AB ＝2，AC ，BC ，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴∠A ＝∠B ＝45°，∴连接OC ，则∠COB ＝90°，∵OB ＝∴BC 的长为：90180π⋅＝2故答案为：2．5．(2020·山西太原五中一模)如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm ，则该莱洛三角形的周长为_____cm ．【答案】6π【解析】利用弧长公式计算：该莱洛三角形的周长6063=6180⨯⨯=⨯ππ(cm)故答案为6π6．(2020·广东其他)如图，90MON ︒∠=，动线段AB 的端点A ，B 分别在射线,OM ON 上，点C 线段AB 的中点，点B 由点O 开始沿ON 方向运动，此时点A 向点O 运动，当点A 到达O 时，运动停止，若20AB cm =，则中点C 所经过的路径长是_______________．【答案】5πcm【解析】解：连接OC ，∵90MON ︒∠=，C 为AB 中点，∴OC=1102AB cm =，∴点C 所经过的路径为以O 为圆心，以OC 为半径的弧，且弧所对的圆心角为90°，∴中点C 所经过的路径长为90105180ππ=cm ．故答案为：5πcm7．(2018·华中师范大学第一附属中学光谷分校月考)在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC 的三个顶点都在格点上．(1)画出△ABC 向上平移4个单位后的△A 1B 1C 1；(2)画出△ABC 绕点O 顺时旋转90°后的△A 2B 2C 2，并求出点A 旋转到A 2所经过的路线长．【答案】(1)见解析；(2)图见解析，π【解析】(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；(2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求；点A 旋转到A 2所经过的路线长为：2124ππ⨯=．8．(2020·山东滨州·月考)在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)将△ABC 向右平移2个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；则A 1坐标为______．(2)将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到的△A 2B 2C 2；则C 2坐标为______．(3)求在(2)的旋转变换中，点C 到达C 2的路径长(结果保留π)．【答案】(1)详见解析，(2，5)；(2)详见解析，(2，3)；(3)132π【解析】解：(1)如图，△A 1B 1C 1即为所求．A 1(2，5)．故答案为(2，5)．(2)△A 2B 2C 2即为所求．则C 2(2，3)．故答案为(2，3)．(3)点C 的运动路径为9013131802ππ=．9．(2020·山东滨州·月考)如图，已知Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝2，将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转，得到Rt △DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在AB 边上．(1)求点A 旋转到点D 所经过的路线的长；(2)若点F 为AD 的中点，作射线CF ，将射线CF 绕点C 顺时针方向旋转90°，交DE 于点G ，求CG 的长．【答案】(1)点A 旋转到点D 所经过的路线的长为3π；(2)CG ＝1．【解析】(1)∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝2，∴AC ＝12AB ＝1，∠A ＝60°，∵CA ＝CD ，∴△ACD 是等边三角形，∴∠ACD ＝60°，∴点A 旋转到点D 所经过的路线的长＝160180π⋅⋅＝3π．(2)∵△ACD 是等边三角形，AF ＝FD ，∴∠ACF ＝∠FCD ＝∠DCB ＝30°，∵∠FCG ＝90°，∴∠DCG ＝60°，∵∠CDG ＝∠A ＝60°，∴△DCG 是等边三角形，∴CG ＝CD ＝AC ＝1．10．(2020·广西其他)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABC 的三个顶点坐标分别为(1,4)A ，(1,1)B ，(3,1)C ．(1)画出ABC 关于x 轴对称的111A B C △；(2)画出ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的222A B C △；(3)在(2)的条件下，点C 运动的路径对应的弧长为______(结果保留π)．【答案】(1)△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1如图所示；见解析；(2)△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2如图所示；见解析；(3)2．【解析】解：(1)△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1如图所示：(2)△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2，如图所示：(3)∵OC 221+3=10，∴点C 经过路径长901010=1802π⋅．考点2：由弧长求扇形半径(圆心角)典例：(2020·扬州中学教育集团树人学校初三二模)如图，将等边△ABC 的边AC 逐渐变成以B 为圆心、BA 为半径的AC ，长度不变，AB 、BC 的长度也不变，则∠ABC 的度数大小由60°变为()A ．(60π)°B ．(90π)°C ．(120π)°D ．(180π)°【答案】D【解析】解：设∠ABC 的度数大小由60变为n ，则AC=180n AB π´，由AC=AB ，解得n=180π故选D ．方法或规律点拨本题考查的是弧长的计算和等边三角形的性质，掌握弧长的计算公式l=180n r π是解题的关键．巩固练习1．(2019·乐清市英华学校月考)在⊙O 中，∠AOB=120°，弧AB 的长为8π，则⊙O 的半径是()A ．6B ．8C ．12D ．24【答案】C 【解析】解：由题意得：1208180180n r r l πππ===，解得：12r =；故选C ．2．(2019·河北涿鹿·期末)起重机的滑轮装置如图所示，已知滑轮半径是10cm ，当物体向上提升3πcm 时，滑轮的一条半径OA 绕轴心旋转的角度为()A ．54︒B ．27︒C ．60︒D ．108︒【答案】A 【解析】解：设半径OA 绕轴心旋转的角度为n°根据题意可得103180n ππ⨯=解得n=54即半径OA 绕轴心旋转的角度为54°故选A ．3．(2020·辽宁双台子·初三一模)一个扇形的弧长是π，半径是2，则此扇形的圆心角的度数是()A ．80°B ．90°C ．100°D ．120°【答案】B【解析】解：∵弧长是π，半径是2，∴2180n ππ=，解得：90n =︒故选：B ．4．(2020·扬州市江都区国际学校初三三模)已知一个扇形的半径为6，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为()A ．60°B ．30°C ．90°D ．120°【答案】A 【解析】解：∵180n rl π=∴1801802606l n r πππ⋅===°故选：A 5．(2020·浙江泰顺·初三二模)一段圆弧的半径是12，弧长是4π，则这段圆弧所对的圆心角是()A ．60︒B ．90︒C ．120︒D ．150︒【答案】A【解析】解：根据弧长公式有：4π＝12180n π,解得：n ＝60．故选：A ．6．(2020·安定区中华路中学三模)一个扇形的弧长是20cm π，面积是2240cm π，则这个扇形的圆心角是___度．【答案】150【解析】根据扇形的面积公式12S lr =可得：1240202r ππ=⨯，解得r =24cm ，再根据弧长公式20180n r l cm ππ==，解得150n =︒.故答案为：150.7．(2020·甘肃肃州·初三二模)已知一个扇形的弧长为2π，扇形的面积是4π，则它的半径为________．【答案】4【解析】解：由扇形的面积公式1=2S lr 可得：1422ππ=⨯⨯r ，解得4r =，故答案为4．8．(2020·哈尔滨市第四十七中学初三三模)已知扇形的半径为5，弧长为103π，那么这个扇形的圆心角为__________度．【答案】120【解析】解：扇形的半径为5，弧长为103π，设扇形的圆心角为n ，可得5101803n ππ⨯=，解得n=120．故答案为：120．9．(2020·黑龙江哈尔滨·初三二模)一个扇形的弧长为6π，面积为27π，则此扇形的圆心角为_______度．【答案】120【解析】解：设扇形圆心角度数为n ，半径为r ，∵弧长为6π，面积为27π，∴62360n r ππ=⨯，227360n r ππ=⨯，解得n=120，r=9，故答案为：12010．(2020·黑龙江哈尔滨·一模)已知扇形半径是9cm ，弧长为4cm π，则扇形的圆心角为__________度．【答案】80【解析】根据94180180n r n l πππ⨯===解得n=80故答案为：8011．(2020·全国单元测试)已知圆弧的半径为15厘米，圆弧的长度为10π，求圆心角的度数．【答案】120︒【解析】解：圆心角的度数1801801012015l n r πππ⨯===︒．考点3：图形中扇形和不规则图形面积计算典例：(2020·江苏东台·初三月考)如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F ．(1)求证：DF ⊥AC ；(2)若⊙O 的半径为4，∠C=67.5°，求阴影部分的面积．【答案】(1)详见解析；(2)S 阴影=4π﹣8．(1)证明：如图1，连接OD ，OB OD =，ABC ODB∴∠=∠AB AC∴=ABC ACB∴∠=∠ODB ACB∴∠=∠//OD AC∴DF 是O 的切线，DF OD∴⊥DF AC∴⊥(2)如图2，连接OE ，DF AC AB AC⊥=，67.5ABC C ∴∠=∠=︒45BAC ∴∠=︒OA OB=90AOE ∠=︒O 的半径为4，29041=44483602S ππ⨯∴-⨯⨯=-阴影方法或规律点拨本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、扇形的面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．1．(2019·阳江市江城区教育教学研究室二模)如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，30CDB ∠=︒，CD =，则阴影部分图形的面积为()A ．4πB ．2πC ．πD ．23π【答案】D【解析】连接OD ．∵CD ⊥AB ，∴12CE DE CD ===(垂径定理)，∴S △OCE =S △ODE ，∴阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，又∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°(圆周角定理)，∴OC=2，∴260223603OBD S ππ⨯==扇形，∴阴影部分的面积为23π．故选：D ．2．(2020·山东初三一模)如图，菱形ABCD 的边长为4，且AE BC ⊥，E 、F 、G 、H 分别为BC 、CD 、DA 、AB 的中点，以A 、B 、C 、D 四点为圆心，半径为2作圆，则图中阴影部分的面积是()A ．34-πB ．32πC ．832-πD ．34-π【答案】D 【解析】∵点E 为BC 的中点，且AE ⊥BC ，∴AB=AC ，∴AB=BC=AC ，∴∠B=60°，BE=EC=12BC=2，∴22224223AB BE -=-=，∴ABCD BC •AE 3S ==菱形，2AGH BEH CEF DGF S S 24S S ππ+++==扇形扇形扇形扇形，∴图中阴影部分的面积是：34π-．故选：D ．3．(2020·厦门市翔安区教师进修学校(厦门市翔安区教育研究中心)其他)如图，在扇形AOB 中∠AOB=90°，正方形CDEF 的顶点C 是AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为2时，则阴影部分的面积为()A ．2π﹣4B ．4π﹣8C ．2π﹣8D ．4π﹣4【答案】A【解析】如图，连接OC .∵C 是弧AB 的中点，∠AOB ＝90°，∴∠COB ＝45°，∵四边形CDEF 是正方形，且其边长为∴∠ODC ＝∴在Rt △ODC 中，，OC==4∴S 阴影＝S 扇形OBC －S △ODC ＝2454360π⨯-12－4，故选A.4．(2020·广西西乡塘·期末)如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S 1+S 2＝12，且AC +BC ＝10，则AB 的长为()A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】解：由勾股定理得，AC 2+BC 2＝AB 2，∵S 1+S 2＝12，∴12×π×22AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭+12π×22BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭+12AC ×BC ﹣12π×22AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12，∴AC ×BC ＝24，AB ==故选：A ．5．(2020·福建宁化·期中)如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为8π，则此扇形的半径为()A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D 【解析】由题意可知：∠AOB ＝2∠ACB ＝2×40°＝80°，设扇形半径为r ，故阴影部分的面积为2808360r ππ=，故解得：16r =，26r =-(不合题意，舍去)，故选D ．6．(2020·湖北江岸·月考)如图，平行四边形ABCD 中8AB cm =，14BC cm =，以点B 为圆心AB 长为半径画弧交BC 于点E ，以点C 为圆心CD 长为半径画弧交BC 于点F ，三角形CDE 的面积为212cm ，阴影部分的面积为_____2cm ．(π取3进行运算)【答案】40【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=8cm ，∠B+∠C=180°，∵三角形CDE 的面积为212cm ，∴平行四边形的面积为122146⨯⨯=562cm ，∵以点B 为圆心AB 长为半径画弧交BC 于点E ，以点C 为圆心CD 长为半径画弧交BC 于点F ，∴28360ABE B S π∠⋅⋅=扇形2cm ，28360CDF C S π∠⋅⋅=扇形2cm ，∴=()ABCD CDF ABE S S S S --阴影扇形扇形=ABCDABE CDF S S S +-扇形扇形=28360C π∠⋅⋅+28360B π∠⋅⋅﹣56=218038360⨯⨯﹣56=96-56=40(2cm )，故答案为：40．7．(2019·乐清市英华学校期中)如图，在扇形AOB 中，120AOB ︒∠=，半径OC 交弦AB 于点D ，且OC OA ⊥．若=OA _____．π+【解析】解：作OE AB ⊥于点F ，在扇形AOB 中，120AOB ︒∠=，半径OC 交弦AB 于点D ，且OC OA ⊥．=OA 90AOD ︒∴∠=，90BOC ︒∠=，OA OB =，30OAB OBA ︒∴∠=∠=，tan 3023OD OA ︒∴=⋅=⨯=，4=AD ，2262AB AF ==⨯=，OF =，2BD ∴=，∴阴影部分的面积是：2230223602AOD BDOOBC S S S ππ∆∆⨯⨯-++-==+扇形，π+．8．(2020·河南二模)如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠C =30°，BC B 为圆心，AB 为半径作弧交AC 于点E ，则图中阴影部分面积是______________．【答案】64π-【解析】连接BE ，∵在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，30C ∠=︒，3BC =；∴1AB =，60BAE ∠=︒；∵BA BE =；∴ABE ∆是等边三角形；∴图中阴影部分面积是：22601313360464ππ⨯⨯-=-．故答案为：364π-．9．(2020·高邮市外国语学校初中部月考)已知扇形的圆心角为150°，它的面积为240πcm 2，那么扇形的半径为__________．【答案】24cm ．【解析】解：∵扇形的圆心角为150°，它的面积为240πcm2，∴设扇形的半径为：r ，则：240π=2150360r π⨯⨯解得：r=24cm ．故答案为：24cm ．10．(2020·丹阳市横塘初级中学月考)如图，三圆同心于O ，AB =6cm ，CD ⊥AB 于O ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】94π【解析】解：阴影部分的面积2211694424r πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故答案为：94π．11．(2020·山东济南·中考真题)如图，在正六边形ABCDEF 中，分别以C ，F 为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．【答案】6【解析】解：∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，设正六边形的边长为r ，∴2120224360r ππ⨯⨯=，2224,3r ππ∴=236,r ∴=解得r ＝6．(负根舍去)则正六边形的边长为6．故答案为：6.12．(2020·福建省福州屏东中学二模)如图，在ABC 中，CA CB =，90ACB ∠=︒，2AB =，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90︒的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为______【答案】142π-【解析】解：连接CD ，∵CA=CB ，∠ACB=90°，∴∠B=45°，∵点D 为AB 的中点，∴DC=12AB=BD=1，CD ⊥AB ，∠DCA=45°，∴∠CDH=∠BDG ，∠DCH=∠B ，在△DCH 和△DBG 中，CDH BDG CD BD DCH B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DCH ≌△DBG(ASA)，∴S 四边形DGCH =S △BDC =12S △ABC =12×12AB•CD=14×2×1=12．∴S 阴影=S 扇形DEF -S △BDC =2901360π⨯-12=4π-12．故答案为4π-12．13．(2020·广东二模)如图，四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，AB ＝2，扇形EBF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】233π【解析】解：如图，连接BD．∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴∠ADC ＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∴△DAB 是等边三角形，∵AB ＝2，∴△ABD∵扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，∴∠3＝∠4，设AD 、BE 相交于点G ，设BF 、DC 相交于点H ，在△ABG 和△DBH 中，234A AB BD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABG ≌△DBH(ASA)，∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，∴图中阴影部分的面积是：S 扇形EBF ﹣S △ABD＝260212236023ππ⨯-⨯⨯=-．故答案是：23π-14．(2020·全国月考)如图，在扇形ABO 中，∠AOB ＝90°，C 是弧AB 的中点，若OD ：OB ＝1：3，OA ＝3，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】98π﹣4．【解析】解：连接OC ，过C 作CE OB ⊥于E ，90AOB ∠=︒Q ，C 是弧AB 的中点，45AOC BOC ∴∠=∠=︒，OCE ∴∆是等腰直角三角形，:1:3OD OB =，3OA =，232322CE ∴==，1OD =，∴图中阴影部分的面积245319136028CODCOB S S ππ∆⋅⨯=-=-⨯=-扇形，故答案为：984π-．15．(2020·广东其他)如图，四边形ABCD 和AEFG 都是正方形，点,E G 分别在,AB AD 上，点F 在扇形ADB 的DB 上，已知正方形ABCD 的边长为1，则图中阴影部分的面积为________________．【答案】3π24-【解析】解：如图，连接AF ，正方形ABCD 的边长为1，点F 在扇形ADB 的DB 上1,90AF AD A ︒∴==∠=四边形AEFG 为正方形,AE EF ∴=且2221AE EF AF +==，即221AE =，解得22AE =∴正方形ABCD 的面积为1，正方形AEFG 的面积为2221(22AE ==，扇形的面积为29013604ππ︒︒⋅⋅=∴阴影部分的面积=1314224ππ-+=-.16．(2020·江苏泰州·初三月考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠BCD ＝30°，CD ＝，则阴影部分面积S 阴影＝_____．【答案】23π【解析】解：连接OC ．∵AB ⊥CD ，∴BC BD =，CE ＝DE ∴∠COD ＝∠BOD ，∵∠BOD ＝2∠BCD ＝60°，∴∠COB ＝60°，∵OC ＝OB ＝OD ，∴△OBC ，△OBD 都是等边三角形，∴OC ＝BC ＝BD ＝OD ，∴四边形OCBD 是菱形，∴OC//BD ，∴S △BDC ＝S △BOD ，∴S 阴＝S 扇形OBD ，∵OD ＝sin 60ED ︒＝2，∴S 阴＝2602360π∙∙＝23π，17．(2018·开江县中小学教学研究室一模)如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm 的O ，AB 所对的圆心角的度数为90︒，弓形ACB (阴影部分)粘贴胶皮，则胶皮面积为_____________．(结果保留π)【答案】23248()cm π+【解析】连接OA 、OB ，∵∴∠AOB=90°，∴AOB S =188322⨯⨯=(2cm )，()236090848π360ACB S π-⨯==扇形(2cm )，则弓形ACB 胶皮面积为(3248π+)2cm ．故答案为：(3248π+)2cm ．18．(2020·西藏日喀则·一模)如图，折扇完全打开后，OA ，OB 的夹角为120°，OA 的长为18cm ，AC 的长为9cm ，求图中阴影部分的面积S ．【答案】81πcm 2【解析】解：∵OA=18，AC=9，∴OC=OA-AC=9∴22120181209=1082781360360S πππππ⨯⨯-=-=阴影(cm 2)答：阴影部分的面积S 为81πcm 2．考点4：图形变换过程中形成的图象面积计算典例：(2020·江苏新沂·初三三模)(1)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝2．将ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转至AB C ''△的位置，点B ，A ，C '在同一条直线上，则线段BC 扫过的区域面积为．(2)①在ABC ，∠ACB=45°，∠ABC=30°，AB=4cm ，则BC=；②将ABC 绕点A 顺时针旋转120°得到AB C ''△，在旋转过程中求线段BC 所扫过的面积．【答案】(1)512π；(2)①(2cm +；②163π【解析】解：(1)Rt ABC △中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，2AB =，112122BC AB ∴==⨯=，322AC =⨯=，150BAB ∴∠'=︒，()AC B ACB BAB CAB BAB CAB S S S S S S S ''''''∴=+-+=-△△阴影扇形扇形扇形扇形21502536012ππ⨯⨯=-．故答案为：512π．(2)①过点A 作AD BC ⊥，在Rt △ABD 中，30ABC ∠=︒，4cm AB =，∴3cm BD =，2cm AD =，在Rt ACD △中，45ACD ∠=︒，∴2cm CD AD ==，∴(23cm BC BD CD =+=+，故答案为：(23cm +；②(22221202212041202120216=3603603603603S πππππ⨯⨯⨯⨯-+-=阴．方法或规律点拨本题考查了旋转的性质，以及弧长的计算，扇形的面积的计算，(1)中推出扫过的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键．巩固练习1．(2020·广东宝安·初三三模)如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC 绕点B 顺时针旋转120到11A BC V 的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为()A ．77π338B ．47π338C ．πD ．4π33+【答案】C【解析】∵O 、H 分别为边AB ，AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A 1BC 1的位置，∴△OBH ≌△O 1BH 1，利用勾股定理可求得BH=437+=，所以利用扇形面积公式可得()()2212012074360360BH BC πππ-⨯-==．故选C ．2．(2020·全国课时练习)如图，在AOC ∆中，31OA cm OC cm ＝，＝，将△AOC 绕点O 顺时针旋转90后得到BOD ∆，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为()2cm ．A ．2πB ．2πC ．178πD ．198π【答案】B【解析】解：AOC BOD ∆∆≌，∴阴影部分的面积＝扇形OAB 的面积﹣扇形OCD 的面积229039012360360πππ⋅⨯⋅⨯=-=故选B ．3．(2020·北京海淀区101中学温泉校区初三三模)如图，将ABC 绕点C 按顺时针旋转60︒得到A B C ''V ，已知6AC =，4BC =，则线段AB 扫过的图形的面积为()A ．23πB ．83πC ．6πD ．103π【答案】D【解析】解：ABC ∆绕点C 旋转60︒得到△A B C ''，ABC \D @△A B C ''，ABC A B C S S D ⅱ\=V ，60BCB ACA ∠'=∠'=︒．AB Q 扫过的图形的面积ABC A B C ACA BCB S S S S D ⅱⅱ=+--V 扇形扇形，AB ∴扫过的图形的面积ACA BCB S S ⅱ=-扇形扇形，AB ∴扫过的图形的面积11103616663p p p =-=．故选：D ．4．(2020·恩施市白果乡初级中学其他)有一张矩形纸片ABCD ，其中4=AD ，以AD 为直径的半圆，正好与对边BC 相切，如图(甲)，将它沿DE 折叠，使A 点落在BC 上，如图(乙)，这时，半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是_______．【答案】433π【解析】如图，点O 为半圆的圆心，过点O 作作OH ⊥DK 于H ，∵以AD 为直径的半圆，正好与对边BC 相切，∴AD=2CD ，∵∠C=90º，∴∠DAC=30º，∴∠ODK=30º，∵OD=OK ，∴∠DOK=120º，∠ODK=∠OKD=30º∴扇形ODK 的面积为120443603ππ⨯=，∵∠ODK=∠OKD=30º，OD=2，∴OH=1，DH=KH==，∴DK=∴△ODK 的面积为112⨯⨯=∴半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是4(3π，故答案为：4(3π．5．(2020·福建省福州延安中学初三期中)如图，在ABC 中90C ∠=︒，2AC BC ==，将ABC 以点A 为旋转中心，顺时针旋转30°，得到ADE ，点B 经过的路径为BD 点C 经过的路径为CE ，则图中阴影部分的面积为__________．【答案】π3【解析】由题意可得AB AD ===则阴影部分的面积为222230π(22)30π222π236036023ABC ADEABD ACE S S S S ∆∆⨯⨯⨯⨯+--=+--=扇形扇形6．(2019·广东潮州·其他)如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径AB 长为2cm,60,90BOC BCO ︒︒∠=∠=，将BOC 绕圆心O 逆时针旋转至B OC ''△，点C '在OA 上，则边BC 扫过区域(图中阴影部分)的面积为_______2cm ．(结果保留π)．【答案】4π【解析】解：60BOC ∠=︒，△B OC ''是BOC ∆绕圆心O 逆时针旋转得到的，60B OC ∴∠''=︒，BCO ∆≅△B C O ''，60B OC ∴∠'=︒，30C B O ∠''=︒，120B OB ∴∠'=︒，2AB cm =，1OB cm ∴=，12OC '=，32B C ∴''=，2120113603B OB S ππ'⨯∴==扇形，1120436012C OC S ππ'⨯==扇形，∴阴影部分面积113124B C O BCO B OB C OC B OB C OC S SS S S S πππ''∆''''=+--=-=-=扇形扇形扇形扇形；故答案为：14π．7．(2020·沭阳县怀文中学初三月考)如图，将四边形ABCD 绕点A 逆时针旋转30后得到四边形,AEFG 点D 经过的路径为弧DG ．若6,AD =则图中阴影部分的面积为________________________．【答案】3π【解析】∵将四边形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°后得到四边形AEFG ，∴S 四边形ABCD =S 四边形AGFE ，AG=AD=6，∴图中阴影部分的面积=S 扇形DAG =23063360ππ⨯=．故答案为：3π．8．(2020·广西兴业·初三其他)如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径AB 长为2cm ，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC 绕圆心O 逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA 上，则边BC 扫过区域(图中阴影部分)的面积为_________cm 2．【答案】4π【解析】解：∵∠BOC=60°，∠BCO=90°，∴∠OBC=30°，∴OC=12OB=1则边BC 扫过区域的面积为：22112012012=3603604πππ⎛⎫⨯ ⎪⨯⎝⎭-故答案为4π．9．(2020·山东中区·初三二模)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠ACB ＝30°，AB ＝2，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°得△CDE ，则图中线段AB 扫过的阴影部分的面积为_____．【答案】233【解析】作AF ⊥BC 于F ，∵∠ABC ＝45°，∴AF ＝BF ＝22AB在Rt △AFC 中，∠ACB ＝30°，∴AC ＝2AF ＝2，FC ＝tan ∠AF ACF ＝，由旋转的性质可知，S △ABC ＝S △EDC ，∴图中线段AB 扫过的阴影部分的面积＝扇形DCB 的面积+△EDC 的面积﹣△ABC 的面积﹣扇形ACE 的面积＝扇形DCB 的面积﹣扇形ACE 的面积＝260360π⨯﹣260(22)360π⨯＝3π，故答案为：3π．10．(2020·洛阳市第二外国语学校初三二模)如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为_____．(答案用根号表示)【答案】6π﹣2【解析】连接OD ，∵扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，∴AC ＝OC ，OD ＝2OC ＝6，∴CD ==∴∠CDO ＝30°，∠COD ＝60°，∴由弧AD 、线段AC 和CD 所围成的图形的面积＝S 扇形AOD ﹣S △COD ＝2606133602π⨯-⨯362π=-∴阴影部分的面积为6π﹣2，故答案为6π﹣2．11．(2020·江苏宿豫·初三期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为4的正方形ABCD 的中心在原点O 处，且AB ∥x 轴，点P 在正方形ABCD 的边上，点P 从点A 处沿A→B→C→D→A→B→…匀速运动，以点P 为圆心，以1为半径长画圆，在运动过程中：(1)当⊙P 第1次与x 轴相切时，则圆心P 的坐标为；(直接写出结果)(2)当圆心P 的运动路程为2019时，判断⊙P 与y 轴的位置关系，并说明理由；(3)当⊙P 第一次回到出发的位置时，即⊙P 运动一周，求⊙P 运动一周覆盖平面的区域的面积．【答案】(1)(﹣2，1)；(2)相切；理由见解析；(3)28+π．【解析】(1)∵边长为4的正方形ABCD 的中心在原点O 处，且AB ∥x 轴，∴A(2，2)，B(-2，2)，C(-2，-2)，D(2，-2)，∵当⊙P 第1次与x 轴相切时，圆心P 在正方形的BC 边上，且点P 到x 轴的距离为1，∴圆心P 的坐标为(﹣2，1)，故答案为：(﹣2，1)(2)⊙P 与y 轴相切，理由：∵正方形ABCD 的边长为4，∴⊙P 运动一周时，圆心P 的运动路程为4×4＝16，∵2019÷16=126……3，∴⊙P 运动了126周多，且AP ＝3，∴圆心P 在AB 上，∴圆心P 的坐标为(﹣1，2)，∴圆心P 到y 轴的距离d ＝3-2=1，∵⊙P 的半径r ＝1，∴d ＝r ，∴⊙P 与y 轴相切；(3)如图，阴影部分面积S ＝4×6+1×4×2﹣2×2+29014360π⋅⨯＝28+π，∴⊙P 运动一周覆盖平面的区域的面积为28+π．12．(2020·武汉市黄陂区第六中学初三其他)在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC 的三个顶点都在格点上．(1)画出△ABC 向上平移4个单位后的△A 1B 1C 1；(2)将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°，则点A 所经过的路径长；线段AC 扫过的面积；(3)直接写出△ABC 的外接圆的半径．【答案】(1)见解析；(2)52π；254π；．【解析】解：如图：(1)△A 1B 1C 1即为所求；(2)将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°，则点A 所经过的路径长为：905180π⨯＝52π；线段AC 扫过的面积为：2905360π⨯＝254π；故答案为：52π，254π；(3)△ABC 的外接圆的半径为：OC 2212+5513．(2020·黑龙江初三月考)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，AOB ∆的顶点均在格点上，其中点()4,3A ，()1,3B ，将AOB ∆绕点O 逆时针旋转90︒后得到11A OB ∆．(1)画出11A OB ∆；(2)在旋转过程中点B 所经过的路径长为________；(3)求在旋转过程中线段AB 、BO 扫过的图形面积之和．【答案】(1)见解析；(2)52；(3)254π【解析】解：(1)11A OB ∆如图所示：(2)由勾股定理得，22125BO =+=，所以，点B 所经过的路程长90551802ππ⋅==；由勾股定理得：2243255OA =+==，∵AB 所扫过的面积11A OA B OB S S =-扇形扇形，BO 扫过的面积1=B OB S 扇形，∴线段AB 、BO 扫过的图形面积之和11112905253604A OA B OB B OB A OA ππS S S S ⋅⋅+====-扇形扇形扇形扇形．考点5：圆锥侧面积计算典例：(2020·西藏日喀则·一模)如图，已知用一块圆心角为270°的扇形铁皮做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，做成的烟囱帽底面圆直径是60cm ，则这个烟囱帽的侧面积是_________cm 2．【答案】1200π【解析】解：∵圆锥的底面直径为60cm ，∴圆锥的底面周长为60πcm ，∴扇形的弧长为60πcm ，设扇形的半径为r ，则270180r π=60π，解得：r=40cm ，∴这个烟囱帽的侧面积是12×60π×40=1200πcm 2故答案为：1200π．方法或规律点拨本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解．巩固练习1．(2020·黄山市徽州区第二中学一模)已知圆锥的底面积为9πcm 2，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积是()A ．18πcm 2B ．27πcm 2C ．18cm 2D ．27cm 2【答案】A【解析】∵圆锥的底面积为9πcm 2，∴圆锥的底面半径为3，∵母线长为6cm ，∴侧面积为3×6π=18πcm 2，故选A ；2．(2020·江苏宿迁·二模)一个圆锥的主视图是边长为4cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于()A ．216cm πB ．212cm πC ．28cm πD ．24cm π【答案】C【解析】∵圆锥的主视图是边长为4cm 的正三角形，∴圆锥的母线长为4cm ，底面圆的半径为2cm ，故圆锥底面圆的周长为4πcm ，故圆锥侧面展开图的面积为S ＝12×4×4π＝8π(cm 2).故选C.3．(2020·长沙麓山国际实验学校初三期末)在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是A ．25πB ．65πC ．90πD ．130π【答案】B【解析】解：由已知得，母线长l=13，半径r 为5，∴圆锥的侧面积是s=πlr=13×5×π=65π．故选B ．4．(2019·江苏金坛·初三期中)若将半径为12cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是()A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm 【答案】D【解析】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×12÷2=12π(cm )，∴圆锥的底面半径为12π÷2π=6(cm )，故选D ．5．(2020·福建福州十八中三模)一个圆锥的底面半径4r =，高3h =，则这个圆锥的侧面积是__________________(结果取整数)．【答案】63【解析】解：圆锥的母线长5=，所以这个圆锥的侧面积=12×2π×4×5=20π≈63．故答案为63．6．(2020·广西玉林·一模)已知某圆锥的底面半径为3cm，母线长6cm，则它的侧面展开图的面积为________．【答案】18πcm2【解析】底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，侧面面积=12×6π×6=18πcm2.7．(2020·江苏南京·月考)一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为_____．【答案】15π【解析】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，∴母线长为5，∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×3×5＝15π，故答案为：15π8．(2020·江苏镇江·其他)已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为2，则该圆锥的侧面积为_____．(结果保留π)【答案】6π【解析】解：圆锥的侧面积＝12×3×2π×2＝6π．故答案为：6π．9．(2020·江苏省泰兴市黄桥初级中学初三月考)圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥侧面积为_________(结果保留π)．【答案】3π【解析】解：圆锥的底面周长=2π×1=2π，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为2π，则圆锥侧面积=12×2π×3=3π，故答案为：3π．10．(2020·江苏泰州·初三月考)圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于_____．【答案】30π【解析】解：圆锥侧面积＝12×2π×5×6＝30π．故答案为30π．11．(2020·浙江长兴·初三一模)如图是一个圆锥形雪糕冰激凌外壳(不计厚度)，已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm．则这个冰激凌外壳的侧面积等于_______2cm．(结果保留 )【答案】36π【解析】这个冰激凌外壳的侧面积为()231236cmππ⨯⨯=，故答案为36π．考点6：有圆锥的侧面积求圆锥的母线等元素典例：(2019·广东郁南·初三月考)若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是()A ．90°B ．100°C ．120°D ．60°【答案】C【解析】设圆心角的度数是n 度．则6180n π⨯=4π，解得：n =120．故选C.方法或规律点拨本题考查扇形弧长公式.利用转化思想将圆锥的底面圆周长转化为圆锥侧面展开图扇形的弧长是解题的关键.巩固练习1．(2020·江苏泰州·初三月考)如图，正方形ABCD 的边长为4，以点A 为圆心，AD 为半径画圆弧DE 得到扇形DAE (阴影部分，点E 在对角线AC 上)．若扇形DAE 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是()A 2B ．1C ．22D ．12【答案】D 【解析】∵正方形ABCD 的边长为4∴4AD AE ==∵AC 是正方形ABCD 的对角线∴45EAD ∠=︒∴454=180DE l ππ︒⨯⨯=︒∴圆锥底面周长为2C r ππ==，解得12r =∴该圆锥的底面圆的半径是12，故选：D ．2．(2020·全国课时练习)若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为()A ．120°B ．180°C ．240°D ．300°【答案】B【解析】设母线长为R ，底面半径为r ，∴底面周长=2πr ，底面面积=πr 2，侧面面积=πrR ，∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr 2=πrR ，∴R=2r ，设圆心角为n ，有180n R π=2πr=πR ，∴n=180°．故选B ．3．(2020·山东岚山·初三期末)圆锥形纸帽的底面直径是18cm ，母线长为27cm ，则它的侧面展开图的圆心角为()A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°【答案】C【解析】解：根据圆锥侧面展开图的面公式为：πrl=π×9×27=243π，∵展开图是扇形，扇形半径等于圆锥母线长度，∴扇形面积为：227243360n ππ⨯=解得：n=120．故选：C ．考点7：圆锥的母线、底面半径等计算典例：(2020·绍兴市越城区成章中学期中)如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点(0,4)A 、(4,4)B -、(6,2)C -，若该圆弧所在圆的圆心为D 点，请你利用网格图回答下列问题：。

2021年九年级中考数学知识点复习高频考点专题练(圆的弧长与面积相关的计算)

2021年中考数学知识点复习高频考点专题练（圆的弧长与面积相关的计算）一．选择题。

1. 如图,正五边形ABCDE 内接于☉O,P 为DE ⏜上的一点(点P 不与点D 重合),则∠CPD 的度数为( )第1题图第2题图第3题图第4题图A.30°B.36°C.60°D.72°2.如图,将☉O 沿弦AB 折叠,AB ⏜恰好经过圆心O,若☉O 的半径为3,则AB ⏜的长为( ) A.12πB.πC.2πD.3π3. 如图,AB 为☉O 的直径,点C 在☉O 上,若∠OCA=50°,AB=4,则BC ⏜的长为 ( ) A.103πB.109πC.59πD.518π4.如图,在扇形OAB 中,已知∠AOB=90°,OA=√2,过AB ⏜的中点C ，CD⊥OA, CE⊥OB,垂足分别为D,E,则图中阴影部分的面积为( )A.π-1B.π2-1C.π-12D.π2-125. 如图,半径为1的☉O 与正五边形ABCDE 相切于点A,C,劣弧AC 的长度为 ( )第5题图第7题图第8题图A.30°B.36°C.60°D.72° A.35πB.45πC.34πD.23π6. 半径为6,圆心角为120°的扇形的面积是 ( ) A.3πB.6πC.9πD.12π7. 如图,一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°,AB 长为25cm,贴纸部分的宽BD 为15cm,若纸扇两面贴纸,则贴纸的面积为 ( ) A.175πcm 2B.350πcm 2C.8003πcm 2 D.150πcm 28. 如图,在边长为6的菱形ABCD 中,∠DAB=60°,以点D 为圆心,菱形的高DF 为半径画弧,交AD 于点E,交CD 于点G,则图中阴影部分的面积是 ( ) A.18√3-9π B.18-3π C.9√3-9π2D.18√3-3π二．填空题。

人教版九年级数学上册24.4 弧长和扇形面积(2) 同步练习含答案(加精)

第24章 24.4《弧长和扇形面积》同步练习及答案(2)第1题. 一条弧所对的圆心角是90o，半径是R ，则这条弧的长是．答案：12R π 第2题. 若»AB 的长为所对的圆的直径长，则»AB 所对的圆周角的度数为．答案：180πo第3题. 如图，AB 是半圆O 的直径，以O 为圆心，OE 为半径的半圆交AB 于E ，F 两点，弦AC 是小半圆的切线，D 为切点，若4OA =，2OE =，则图中阴影部分的面积为．答案： 43π+23第4题. 如果一条弧长等于l ，它的半径等于R ，这条弧所对的圆心角增加1o，则它的弧长增加（）Ａ．l nＢ．180R π Ｃ．180lRπ Ｄ．360l答案：Ｂ第5题. 在半径为3的O e 中，弦3AB =，则»AB 的长为（）Ａ．π2Ｂ．πＣ．32π Ｄ．2π答案：Ｂ第6题. 扇形的周长为16，圆心角为360πo，则扇形的面积是（）Ａ．16Ｂ．32Ｃ．64Ｄ．16πＥＦＢＣＤ答案：Ａ第7题. 如图，扇形OAB 的圆心角为90o，且半径为R ，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 分别表示两个阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是（）Ａ．P Q =Ｂ．P Q >Ｃ．P Q <Ｄ．无法确定答案：Ａ第8题. 如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，以BC 的中点E 为圆心的¼MPN与AD 相切，则图中的阴影部分的面积为（）Ａ．23π Ｂ．34π 3Ｄ．π3答案：Ｄ第9题. 如图所示，正方形ABCD 是以金属丝围成的，其边长1AB =，把此正方形的金属丝重新围成扇形的ADC ，使AD AD =，DC DC =不变，问正方形面积与扇形面积谁大？大多少？由计算得出结果．ＱＯＰＣＢＣＮＤＰＡＭＡＢＡ答案：1S =正方形，121122ADC S lR 1==⨯⨯=扇形，∴面积没有变化．第10题. 如图，O e 的半径为1，C 为O e 上一点，以C 为圆心，以1为半径作弧与O e 相交于A ，B 两点，则图中阴影部分的面积为．答案：232π-3第11题. 如图，△ABC 中，105A ∠=o ，45B ∠=o，22AB =AD BC ⊥，D 为垂足，以A 为圆心，以AD 为半径画弧»EF，则图中阴影部分的面积为（）Ａ．7236π Ｂ．7236-π+2 Ｃ．5236πＤ．5236-π+2答案：Ｂ第12题. 如图，半径为r 的1O e 与半径为3r 的2O e 外切于P 点，AB 是两圆的外公切线，切点分别为A ，B ，求AB 和»PA，»PB 所围成的阴影部分的面积．ＯＢＡＣＤＢＥＡＦ答案：连结2O B ，1O A ，过1O 作12O H O B ⊥，垂足为H ，则得矩形1ABHO ，1BH O A r ∴==，1AB O H =．在Rt △21O HO 中，2232O H O B BH r r r =-=-=，122134O O O P O P r r r =+=+=，22112223O H O O O H r =-=，2211221cos 42O H r HO O O O r ∠===，2160HO O ∴∠=o ，1120AO P ∠=o ． 21212111()(3)234322ABO O S O A O B O H r r r r =+=+=g 梯形，26033606BO PO B r r S 222π()π(3)π===2g 2扇形，122120AO PO A S r π()π==3603扇形、，21212222324311436ABO O BO P AO P S S S S r r r r ππ-π=--=--=23阴影梯形扇形扇形．第13题. 圆周角是90o，占整个周角的90360，因此它所对的弧长是圆周长的．答案：14第14题. 圆心角是45o，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的．答案：45360，18第15题. 圆心角是1o，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的．答案：1360，1360第16题. 扇形的圆心角为210o，弧长是28π，求扇形的面积．答案：336π第17题. 一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且面积相等．求这个扇形的圆心角．答案：90o第18题. 一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图），现找出其中的一种，测得90C ∠=o ，4AC BC ==．今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在ABC △的边上，且扇形的弧与ABC △的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）．答案：第19题. 圆心角为90o，半径为R 的弧长为（）Ａ．2R πＢ．3R πＣ．4R πＤ．6R π答案：Ａ第20题. 已知一条弧长为l ，它所对圆心角的度数为n o，则这条弦所在圆的半径为（）．ＤＡＤＢＡＡＢＣOO 42r =1424r =-24r =122r =Ａ．180n lπＢ．180ln πＣ．360ln πＤ．180lnπ答案：Ｂ第21题. 半径为6cm 的圆中，60o的圆周角所对的弧的弧长为．答案：4cm π第22题. 半径为9cm 的圆中，长为12cm π的一条弧所对的圆心角的度数为．答案：240o第23题. 已知圆的面积为281cm π，若其圆周上一段弧长为3cm π，则这段弧所对的圆心角的度数为．答案：60o第24题. 若扇形的圆心角为120o，弧长为6cm π，则这个扇形的面积为．答案：227cm π第25题. 弯制管道时，先按中心线计算其“展直长度”，再下料．根据如图所示的图形可算得管道的展直长度为．（单位：mm ，精确到1mm ）答案：389mm第26题. 如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=o ，60A ∠=o，3cm AC =，将△ABC 绕点B旋转至△A BC ''的位置，且使点A ，B ，C '三点在同一直线上，则点A 经过的最短路线长是cm ．答案：53π第27题. 一块等边三角形的木板，边长为１，若将木板沿水平线翻滚（如图），则点B 从开始至结束走过的路径长度为（）．Ａ．3π2Ｂ．4π3Ｃ．4Ｄ．322+π答案：Ｂ第28题. 如图，扇形AOB 的圆心角为60o，半径为6cm ，C ，D 是»AB 的三等分点，则图中阴影部分的面积和是．答案：22cm π第29题. 如图，已知在扇形AOB 中，若45AOB ∠=o，4cm AD =，3cm CD =π，则图中A 'C 'ＢＣＡＢＣＣＤＢ阴影部分的面积是．答案：214cm第30题. 如图4，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为．答案：14.2π．图4。

小初高学习2021届九年级数学下册第二章2.6弧长与扇形面积练习

小初高学习2021届九年级数学下册第二章2.6弧长与扇形面积练习小初高教案试题导学案集锦2．6 弧长与扇形面积第1课时弧长基础题nπr知识点弧长公式(l＝)及其应用1801．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为(D) πA. 2B．ππC. 6D.π 32．已知一弧的半径为3，弧长为2π，则此弧所对的圆心角为(C) A．300°B．240°C．120°3．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为(C) A．6 B．9C．18D．36︵4．(2021·黄石)如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则BD的长为(D) 2A.π 34B.π 3C．2π8D.π 35．(教材P78例2变式)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，则点B转过的路径长为(B) πA.3B.3π 32C.π 36．如图所示，小亮坐在秋千上，秋千的绳长OA为2米，秋千绕点O旋转了60°，点A旋转到点A′，︵2π则AA′的长为米．(结果保留π)3K12资源汇总，活到老学到老小初高教案试题导学案集锦7．如图，已知正方形的边长为2 cm，以对角的两个顶点为圆心，2 cm长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之和为2π__cm.(结果保留π)︵328．如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则AB的长l＝π.2︵9．如图，一根绳子与半径为30 cm的滑轮的接触部分是CMD，绳子AC和BD所在的直线成30°角．请︵你测算一下接触部分CMD的长．(结果保留π)解：连接OC，OD，则OC⊥AC，BD⊥OD. 又∵AC与BD的夹角为30°，∴∠COD＝150°.︵150π×30∴CMD的长为＝25π(cm)．180易错点忽视题中条件10．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为350πcm.2中档题K12资源汇总，活到老学到老。

人教版九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积同步训练(含答案)

人教版九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积同步训练一、选择题1. 若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为 ( ) A .π B .2π C .3π D .6π2. 如图，用一张半径为24 cm 的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子(接缝忽略不计)．如果圆锥形帽子的底面圆半径为10 cm ，那么这张扇形纸板的面积是( )A ．240π cm 2B ．480π cm 2C ．1200π cm 2D ．2400π cm 23. 如图所示的扇形纸片半径为5 cm ，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4cm ，则该圆锥的底面周长是( ) A . 3π cm B . 4π cm C . 5π cm D . 6π cm4. (2019•遵义)圆锥的底面半径是5 cm ，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是 A ．5cmB ．10 cmC ．6 cmD ．5 cm5.如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D .若AC ＝BD ＝4，∠A ＝45°，则CD ︵的长度为( )A ．πB ．2πC ．2 2πD ．4π6. 如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥底面圆的直径是60 cm ，则这块扇形铁皮的半径是( )A ．40 cmB ．50 cmC ．60 cmD ．80 cm7.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，以点D 为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是( )A . 183－9πB . 18－3πC . 93－9π2 D . 183－3π8. 如图在扇形OAB 中，∠AOB ＝150°，AC ＝AO ＝6，D 为AC 的中点，当弦AC沿AB ︵运动时，点D 所经过的路径长为( )图A ．3π B.3πC.32 3πD ．4π二、填空题9.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 的夹角为120°，AB 长为30厘米，则BC ︵的长为________厘米(结果保留π)．10.若一个圆锥的底面圆半径为3cm ，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是________cm .11. 如图，现有一张圆心角为108°，半径为40 cm 的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面圆半径为10 cm 的圆锥形纸帽(接缝处忽略不计)，则剪去的扇形纸片的圆心角θ为________．12.如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，⊙O 的半径为3，则图中阴影部分的面积是________．13.若一个圆锥的底面圆的半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是________°.14. 一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为________．15. (2019•十堰)如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点顺时针旋转，点旋转到点的位置，则图中阴影部分的面积为__________．16. 如图，已知A ，B ，C 为⊙O 上的三个点，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°，点P 从点A 出发，沿AMB ︵向点B 运动，连接CP 与弦AB 相交于点D ，当△ACD 为直角三角形时，AMP ︵的长为________．三、解答题17. 一个圆锥的高为3 3，侧面展开图半圆，求： (1)圆锥的母线长与底面圆半径的比； (2)圆锥的全面积．18.如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 相交于点D ，E ，BD ＝C D ，过点D 作⊙O 的切线交边AC 于点F. (1)求证：DF ⊥AC ；(2)若⊙O 的半径为5，∠CDF ＝30°，求BD ︵的长．(结果保留π)19. 如图，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，现想用毛毡搭建底面积为9π m 2，高为6 m ，外围高为2 m 的蒙古包，求至少需要多少平方米的毛毡．(结果保留π)20.如图，已知等腰直角三角形ABC，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，且AC＝BC＝16分米，以点B为圆心，BD长为半径画弧，交BC于点F，以点C为圆心，CD长为半径画弧，与AC，BC分别交于点E，G.求阴影部分的面积．21. (2019•襄阳)如图，点是的内心，的延长线和的外接圆圆相交于点，过作直线．(1)求证：是圆的切线；(2)若，，求优弧的长．人教版九年级数学上册24.4 弧长和扇形面积同步训练-答案一、选择题1. 【答案】C[解析]扇形的圆心角为90°，它的半径为6，即n=90°，r=6，根据弧长公式l=，得l==3π.故选C.2. 【答案】A[解析] ∵扇形的弧长l＝2·π·10＝20π(cm)，∴扇形的面积S＝12lR＝12×20π×24＝240π(cm2)．3. 【答案】D【解析】如解图，由题意可知，OA＝4 cm，AB＝5cm ，在Rt △AOB 中，利用勾股定理可求得OB ＝3 cm ，∴该圆锥的底面周长是6π cm.4. 【答案】A【解析】设圆锥的母线长为R ，根据题意得2π·5，解得R=10．即圆锥的母线长为10 cm ，∴圆锥的高为：5cm ．故选A ．5. 【答案】B6. 【答案】A[解析] ∵圆锥的底面圆直径为60 cm ，∴圆锥的底面圆周长为60πcm ，∴扇形的弧长为60π cm.设扇形的半径为r ，则270πr180＝60π，解得r ＝40 cm.7.【答案】A【解析】∵∠DAB ＝60°，DF ⊥AB ，AD ＝6，∴DF ＝AD ·sin60°＝33，∠ADC＝120°，∴S 阴影＝S 菱形ABCD －S 扇形EDG ＝6×33－120π×（33）2360＝183－9π.8. 【答案】C[解析] 如图∵D 为AC 的中点，AC ＝AO ＝6，∴OD ⊥AC ，∴AD ＝12AC ＝12AO ， ∴∠AOD ＝30°，OD ＝3 3. 作BF ＝AC ，E 为BF 的中点．同理可得∠BOE ＝30°， ∴∠DOE ＝150°－60°＝90°，∴点D 所经过的路径长为nπR 180＝90π×3 3180＝3 32π.二、填空题9. 【答案】20π【解析】由弧长公式得，l BC ︵的长＝120π×30180＝20π.10. 【答案】 9【解析】由n ＝360r l 得120＝360×3l ，解得l ＝9.11. 【答案】18°12.【答案】3π 【解析】∵△ABC 是⊙O 的内接正三角形，∴∠AOB ＝2∠C ＝2×60°＝120° ，∵⊙O 的半径为3，∴阴影部分的面积S 扇形OAB ＝120×π×32360＝3π. 13. 【答案】120 【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设扇形的圆心角为n°，则2π×2＝nπ·6180，解得n ＝120.14. 【答案】12π15. 【答案】【解析】由图可得，图中阴影部分的面积为：，故答案为：．16. 【答案】43π或2π [解析] 易得⊙O 的半径为2，∠A ＝30°.要使△ACD 为直角三角形，分两种情况：①当点P 位于AMB ︵的中点时，∠ADC ＝90°，△ACD 为直角三角形，此时∠ACP ＝60°，可得∠AOP ＝120°，所以AMP ︵的长为120π×2180＝43π；②当∠ACP ＝90°时，△ACD 为直角三角形，此时∠AOP ＝180°，所以AMP ︵的长为180π×2180＝2π.综上可得，AMP ︵的长为43π或2π.三、解答题17. 【答案】解：(1)设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，根据题意得2πr ＝180πl180，所以l ＝2r ，即圆锥的母线长与底面圆半径的比为2∶1. (2)因为r 2＋(3 3)2＝l 2，即r 2＋(3 3)2＝4r 2，解得r ＝3(负值已舍去)，所以l ＝6，所以圆锥的全面积＝π·32＋12·2π·3·6＝27π.18. 【答案】(1)证明：如解图，连接OD ，(1分) ∵DF 是⊙O 的切线，D 为切点，解图∴OD ⊥DF ， ∴∠ODF ＝90°，(2分) ∵BD ＝CD ，OA ＝OB ，∴OD 是△ABC 的中位线，(3分) ∴OD ∥AC ，∴∠CFD ＝∠ODF ＝90°， ∴DF ⊥AC.(4分)(2)解：∵∠CDF ＝30°，由(1)得∠ODF ＝90°， ∴∠ODB ＝180°－∠CDF －∠ODF ＝60°， ∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，(7分) ∴∠BOD ＝60°，∴lBD ︵＝nπR 180＝60π×5180＝53π.(8分)19. 【答案】解：∵蒙古包的底面积为9π m 2，高为6 m ，外围(圆柱)高为2 m ， ∴底面圆的半径为3 m ，圆锥的高为6－2＝4(m)， ∴圆锥的母线长为5 m ，∴圆锥的侧面积为π×3×5＝15π(m 2)，圆锥的底面周长为2π×3＝6π(m)，圆柱的侧面积为6π×2＝12π(m2)．故至少需要毛毡15π＋12π＝27π(m2)．20. 【答案】解：连接CD.∵△ABC是等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，∴CD⊥AB.由已知，得AB＝16 2，∠DBF＝45°，∴BF＝BD＝12AB＝CD＝8 2，∴阴影部分的面积是16×162－45π×（8 2）2360－[12×16×162－45π×（8 2）2360]＝64(分米2)．答：阴影部分的面积是64平方分米．21. 【答案】(1)连接交于，如图，∵点是的内心，∴平分，即，∴，∴，，∵，∴，∴是圆的切线．(2)连接、，如图，∵点是的内心，∴，∵，∴，∴，∵，在中，，∴，而，∴为等边三角形，∴，，∴，∴优弧的长=．。

2021年春人教版九年级数学中考考点特训—— 弧长、扇形面积及正多边形与圆(Word版附答案)

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——高斯弧长、扇形面积及正多边形与圆历年中考题1．(2020年，13，3分)如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，CD的长为13π，则图中阴影部分的面积为（）A．16π B．316π C．124π D．112π＋342．(2017年，17，5分)正六边形的边长为8 cm，则它的面积为_ cm2.考点自测1．如图，分别以边长等于1的正方形的四边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_．2．(2020·乐山中考)在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1.如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′.则图中阴影部分面积为()A．π4B．π－32C．π－34D．32π3．(2020·遂宁中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB 上，经过点A 的⊙O 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，若CD ＝2 ，则图中阴影部分面积为（）A ．4－π2B ．2－π2C ．2－πD ．1－π44．(2020·毕节4月模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，∠B ＝60°，以点B 为圆心，BA 为半径作圆，交BC 边于点E ，连接ED ，则图中阴影部分的面积为（）A ．9 3 －83 πB ．9－83 πC ．9 3 －23 πD ．9－23 π5．如图，半圆O 的直径AB ＝6，弦CD 的长为3，点C ，D 在半圆AB 上运动，点D 在AC 上且不与点A 重合，但点C 可与点B 重合．(1)若AD 的长为34 π时，求BC 的长；(2)取CD 的中点M ，在CD 运动的过程中，求点M 到AB 的距离的最小值．课后专训1．(2019·绍兴中考)如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°.若BC＝22，则BC的长为（）A．πB．2πC．2πD．22π2．(2020·宁波中考)如图，折扇的骨柄长为27 cm，折扇张开的角度为120°，图中AB的长为cm(结果保留π)．3．如图，从一块直径为2 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）A.π2m2B．32πm2C．πm2D．2πm24．(2020·黔西南中考)如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在EF 上，则图中阴影部分的面积为．5．(2019·河池中考)如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝23，则它的边长是（）A．1 B．2C．3D．2(第5题图) (第6题图)6．(2020·德州中考)如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为()A．243－4πB．123＋4πC．243＋8πD．243＋4π7.如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝42，则AB的长是（）A.πB．2πC．23πD．4π8.(2020·黔东南中考)如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，1为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为（）A．π－1B．π－2C．π－3 D．4－π9.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，AB＝2，则图中阴影部分的面积为（）A.πB．2πC．π2D．4π弧长、扇形面积及正多边形与圆历年中考题1．(2020年，13，3分)如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，CD的长为13π，则图中阴影部分的面积为AA．16π B．316π C．124π D．112π＋342．(2017年，17，5分)正六边形的边长为8 cm，则它的面积为__963__cm2.考点自测1．如图，分别以边长等于1的正方形的四边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为__12 π－1__．2．(2020·乐山中考)在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1.如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′.则图中阴影部分面积为( B )A ．π4B ．π－32 C ．π－34 D ．32 π3．(2020·遂宁中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，点O 在AB 上，经过点A 的⊙O 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，若CD ＝2 ，则图中阴影部分面积为BA ．4－π2B ．2－π2C ．2－πD ．1－π44．(2020·毕节4月模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，∠B ＝60°，以点B 为圆心，BA 为半径作圆，交BC 边于点E ，连接ED ，则图中阴影部分的面积为AA ．9 3 －83 πB ．9－83 π C ．9 3 －23 π D ．9－23 π5．如图，半圆O 的直径AB ＝6，弦CD 的长为3，点C ，D 在半圆AB 上运动，点D 在AC 上且不与点A 重合，但点C 可与点B 重合．(1)若AD 的长为34 π时，求BC 的长；(2)取CD 的中点M ，在CD 运动的过程中，求点M 到AB 的距离的最小值．解：(1)连接OD ，OC .∵CD ＝OC ＝OD ＝3，∴△CDO 是等边三角形． ∴∠COD ＝60°.∴CD 的长为60π×3180 ＝π. 又∵半圆弧的长为180π×3180 ＝3π， ∴BC 的长为3π－π－34 π＝54 π； (2)过点M 作ME ⊥AB 于点E ，连接OM . 由题可知，在CD 运动的过程中，CD ＝3. ∵OC ＝OD ，点M 为CD 的中点， ∴OM ⊥CD ，MC ＝MD ＝12 CD ＝32 . ∴OM ＝OD 2－MD 2＝332 .又∵在Rt △OME 中，ME 2＝OM 2－OE 2＝274 －OE 2.∴当OE取最大值时．ME取最小值．当点C与点B重合时，OE取最大值，此时ME＝MC·sin 60°＝32×32＝334.课后专训1．(2019·绍兴中考)如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°.若BC＝22，则BC的长为AA．πB．2πC．2πD．22π2．(2020·宁波中考)如图，折扇的骨柄长为27 cm，折扇张开的角度为120°，图中AB的长为18πcm(结果保留π)．3．如图，从一块直径为2 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为AA.π2m2B．32πm2C．πm2D．2πm24．(2020·黔西南中考)如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在EF上，则图中阴影部分的面积为π4－12．5．(2019·河池中考)如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝23，则它的边长是DA．1 B．2C．3D．2(第5题图) (第6题图)6．(2020·德州中考)如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为(A)A．243－4πB．123＋4πC．243＋8πD．243＋4π7.如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝42，则AB的长是BA.πB．2πC．23πD．4π8.(2020·黔东南中考)如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，1为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为BA．π－1B．π－2C．π－3 D．4－π9.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，AB＝2，则图中阴影部分的面积为BA.πB．2πC．π2D．4π一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。

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中考复习专题：圆中弧长与扇形面积综合练习（二）1．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线DE，与过点A的直线垂直于E，弦BD的延长线与直线AE交于C点．（1）求证：点D为BC的中点；（2）设直线EA与⊙O的另一交点为F，求证：CA2﹣AF2＝4CE•EA；（3）若弧AD＝弧DB，⊙O的半径为r．求由线段DE，AE和弧AD所围成的阴影部分的面积．2．如图，已知⊙O的直径BD＝6，AE与⊙O相切于E点，过B点作BC⊥AE，垂足为C，连接BE、DE．（1）求证：∠1＝∠2；（2）若BC＝4.5，求图中阴影部分的面积（结果可保留π与根号）．3．如图，AB是⊙O的直径，点C是BA延长线上一点，CD切⊙O于D点，弦DE∥CB，Q是AB上一动点，CA＝1，CD是⊙O半径的倍．（1）求⊙O的半径R；（2）当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不发生变化，请你求出阴影部分的面积．4．如图，在半径是2的⊙O中，点Q为优弧MN的中点，圆心角∠MON＝60°，在NQ上有一动点P，且点P到弦MN的距离为x．（1）求弦MN的长；（2）试求阴影部分面积y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）试分析比较，当自变量x为何值时，阴影部分面积y与S的大小关系．扇形OMN5．如图，点P在圆O外，PA与圆O相切于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A关于直线PO对称，已知OA＝4，PA＝．求：（1）∠POA的度数；（2）弦AB的长；（3）阴影部分的面积．6．如图，已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝90度．O是AB的中点，⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E．设⊙O交OB于F，连DF并延长交CB的延长线于G．（1）∠BFG与∠BGF是否相等？为什么？（2）求由DG、GE和弧ED所围成图形的面积．（阴影部分）7．如图，已知⊙O的直径AB＝8cm，直线DM与⊙O相切于点E，连接BE，过点B作BC⊥DM 于点C，BC交⊙O于点F，BC＝6cm．求：（1）线段BE的长；（2）图中阴影部分的面积．8．如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90°的扇形（1）求这个扇形的面积（结果保留π）（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由（3）当⊙O的半径R（R＞0）为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．9．如图，已知在⊙O中，AB＝4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°．（1）求图中阴影部分的面积；（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．10．如图，从一直径为1米的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90度的最大扇形ABC．求：（1）剪掉后的剩余部分的面积；（2）用所剪得的扇形ABC围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？11．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）12．如图，已知在⊙O中，AB＝4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°．（1）求图中阴影部分的面积；（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．（3）试判断⊙O中其余部分能否给（2）中的圆锥做两个底面．13．如图1，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长DB交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的直径；（2）如图2，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和．（结果保留π与根号）14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D．（1）判断直线CA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．15．如图已知有一块圆形铁皮⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接AD、BC、OC，且OC＝10．（1）若BE＝2，求CD的长；（2）若∠OCD＝4∠BCD，求阴影部分的面积（结果保留π）参考答案1．（1）证明：连接OD，∵ED为⊙O切线，∴OD⊥DE；∵DE⊥AC，∴OD∥AC；∵O为AB中点，∴D为BC中点；（2）证明：连接BF，∵AB为⊙O直径，∴∠CFB＝∠CED＝90°；∴ED∥BF；∵D为BC中点，∴E为CF中点；∴CA2﹣AF2＝（CA﹣AF）（CA+AF）＝（CE+AE﹣EF+AE）•CF＝2AE•CF；∴CA2﹣AF2＝4CE•AE；（3）解：∵，∴∠AOD＝60°；连接DA，可知△OAD为等边三角形，∴OD＝AD＝r，在Rt△DEA中，∠EDA＝30°，∴EA＝r，ED＝r；∴S阴影＝S梯形AODE﹣S扇形AOD＝＝．2．（1）证明：如图，∵AE与⊙O相切于E，∴∠BEC＝∠BDE，∵∠DEB＝90°，∴∠EBD＝90°﹣∠EDB，∵BC⊥AE，∴∠CBE＝90°﹣∠BEC，∴∠EBC＝∠DBE，即∠1＝∠2；（2）解：由（1）可得：∠1＝∠2，∠CEB＝∠EDB，∴△EDB∽△CEB，∴＝，即BE2＝CB•DB．∵DB＝6，BC＝4.5，∴BE＝3，∵cos∠2＝＝＝，∴∠2＝30°，连接EO，则∠EOD＝60°．∴△DOE是等边三角形，即DE＝DO＝3．过O作OF⊥DE于F，则有OF＝．∴S阴影＝S扇形EOD﹣S△EOD＝π•32﹣×3×＝﹣．3．解：（1）连OD，OE；根据题意，得CD＝R，由切割线定理，得CD2＝CA•CB，3R2＝1+2R，解得：R＝1或R＝﹣（负数舍去）．即⊙O的半径R为1；（2）当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积不发生变化．连接OD、OE；∵DE∥CB，∴S△ODE ＝S△QDE；∴S阴影＝S扇形ODE；∵CD切⊙O于D点，∴DO⊥CD，∴∠CDO＝90°，∵＝，∴∠DCO＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠ODE＝60°，∴△ODE是等边三角形；∴S阴影＝S扇形ODE＝．4．解：（1）∵OM＝ON，∠MON＝60°，∴△MON是等边三角形，∴MN＝OM＝ON＝2；（2）由三角形面积公式可得y＝S△PMN＝×2x；即：y＝x（0≤x≤2+）．（3）令y＝S扇形OMN，即x＝π；∴x＝π，当x＝π时，y＝S扇形OMN；当0≤x＜π时，y＜S扇形OMN；当π＜x≤2+，y＞S扇形OMN．注：过O作OP′∥MN交⊙O上一点P′，依等积关系得：x＝π，即可下结论．5．解：（1）∵PA是圆O的切线，切点是A．∴OA⊥PA．在Rt△APO中，tan∠POA＝，∴∠POA＝60°；3分（2）设AB与PO相交于点D，如图，∵点B与点A关于直线PO对称，∴AB⊥PO，且AB＝2AD，在Rt△ADO中，AD＝OA sin60°＝2，∴AB＝2AD＝4；4分（3）设阴影部分面积为s，则S＝S△OAP ﹣S扇形AOC，∵S△OAP ＝8，S扇形AOC＝，∴S＝8（）．3分6．解：（1）∠BFG＝∠BGF；理由如下：连OD，∵OD＝OF（⊙O的半径），∴∠ODF＝∠OFD；∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC；又∵∠C＝90°，即GC⊥AC，∴OD∥GC，∴∠BGF＝∠ODF；又∵∠BFG＝∠OFD，∴∠BFG＝∠BGF．（2）连OE，∵⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E，∴DC＝CE，OD⊥AC，OE⊥BC，∵∠C＝90°，∴四边形ODCE为正方形，∵AO＝BO＝AB＝＝3，∴OD＝BC＝×6＝3，∵∠BFG＝∠BGF，∴BG＝BF＝OB﹣OF＝3﹣3；从而CG＝CB+BG＝3+3；∴S阴影＝S△DCG﹣S正方形ODCE+S扇形ODE＝S△DCG ﹣（S正方形ODCE﹣S扇形ODE）＝•3•（3+3）﹣（32﹣π•32）＝．7．解：（1）连接AE．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，又∵BC⊥DM，∴∠ECB＝90°，∴∠AEB＝∠ECB，∵直线DM与⊙O相切于点E，∴∠CEB＝∠EAB，∴△AEB∽△ECB，∴，∴BE2＝AB•BC，∴BE＝（cm）；（2）连接OE，过点O作OG⊥BE于点G．∴BG＝EG，在Rt△ABE中，cos∠ABE＝，∴∠ABE＝30°，在Rt△OBG中，∠ABE＝30°，BO＝4，∴OG＝2，∴，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE＝30°，∴∠BOE＝120°，∴S扇形OBE＝，∴S阴影＝S扇形OBE﹣S△EOB＝（）cm2．8．解：（1）连接BC，∵∠A＝90°，∴BC为直径，∴BC过圆心O，由勾股定理求得：，S＝＝π；（2）连接AO并延长，与弧BC和⊙O交于E、F，∵AB＝AC，BO＝CO，∴AO⊥BC，∴，弧BC的长：；∵，∴圆锥的底面直径为：；∵，∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．（3）由勾股定理求得：；弧BC的长：，∵，∴圆锥的底面直径为：；，∵且R＞0；∴．即无论半径R为何值，EF＜2r．∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．9．解：（1）法一：过O作OE⊥AB于E，则BF＝AB＝2．在Rt△AEO中，∠BAC＝30°，cos30°＝．∴OA＝＝＝4．又∵OA＝OB，∴∠ABO＝30度．∴∠BOC＝60度．∵AC⊥BD，∴．∴∠COD＝∠BOC＝60度．∴∠BOD＝120度．∴S阴影＝＝．法二：连接AD．∵AC⊥BD，AC是直径，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD，BF＝FD，．∴∠BAD＝2∠BAC＝60°，∴∠BOD＝120度．∵BF＝AB＝2，sin60°＝，AF＝AB•sin60°＝4×＝6．∴OB2＝BF2+OF2．即．∴OB＝4．∴S阴影＝S圆＝．法三：连接BC．∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90度．∵AB＝4，∴．∵∠A＝30°，AC⊥BD，∴∠BOC＝60°，∴∠BOD＝120度．∴S＝π•OA2＝×42•π＝．阴影以下同法一；（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，∴．∴．10．解：（1）解：连接BC，∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴BC＝1米，∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AB＝AC＝BC cos45°＝，＝＝（米2）∴S扇形ABC则剪掉后的剩余部分的面积π（米2）；（2）设底面圆的半径为r，用所剪得的扇形ABC围成一个圆锥，底面圆的周长为：＝π（米），则π＝2πr，解得：r＝米，该圆锥的底面半径是米．11．解：（1）直线CD 与⊙O 相切．理由如下：如图，连接OD∵OA ＝OD ，∠DAB ＝45°，∴∠ODA ＝45°∴∠AOD ＝90°∵CD ∥AB∴∠ODC ＝∠AOD ＝90°，即OD ⊥CD又∵点D 在⊙O 上，∴直线CD 与⊙O 相切；（2）∵⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的直径，∴AB ＝2，∵BC ∥AD ，CD ∥AB∴四边形ABCD 是平行四边形∴CD ＝AB ＝2∴S 梯形OBCD ＝＝＝；∴图中阴影部分的面积等于S 梯形OBCD ﹣S 扇形OBD ＝﹣×π×12＝﹣．12．解：（1）∵AC ⊥BD 于F ，∠A ＝30°，∴∠BOC ＝60°，∠OBF ＝30°，∵在Rt △ABF 中，AB ＝4，∴BF＝2 ，∴OB＝BF÷cos30°＝2÷＝4，∴S阴影＝S扇形BOD＝＝π；（2）设底面半径为r，∵半径OB＝4，∴4πr＝∴r＝；（3）底面圆的半径为r，由题意2πr＝，解得r＝，故（2）中的圆锥做两个底面．13．（1）证明：连接CB，AB，CE，∵点C为劣弧AB上的中点，∴CB＝CA，又∵CD＝CA，∴AC＝CD＝BC，∴∠D＝∠CBD，∠CAB＝∠CBA，∴2∠CBD+2∠CBA＝180°，∴∠CBD+∠CBA＝90°，∴∠ABD＝90°，∴∠ABE＝90°，即弧AE的度数是180°，∴AE是⊙O的直径；（2）解：∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∵AE＝10，AC＝4，∴根据勾股定理得：CE＝2，∴S阴影＝S半圆﹣S△ACE＝12.5π﹣×4×2＝12.5π﹣4．14．解：（1）直线CA与⊙O相切．如图，连接OA．∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝∠B＝30°，∠DOA＝2∠B＝60°．∴∠CAO＝90°，即OA⊥CA．∵点A在⊙O上，∴直线CA与⊙O相切；（2）∵AB＝2，AB＝AC，∴AC＝2，∵OA⊥CA，∠C＝30°，∴OA＝AC•tan30°＝2•＝2．∴S扇形OAD＝＝π．∴图中阴影部分的面积等于S△AOC ﹣S扇形OAD＝2﹣π．15．解：（1）∵⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于点E ，∴CD ＝2CE ，∠OEC ＝90°，∵OC ＝10，BE ＝2，∴OE ＝10﹣2＝8，在Rt △OCE 中，OC 2＝OE 2+CE 2，即102＝82+CE 2，解得CE ＝6，∴CD ＝2CE ＝2×6＝12；（2）∵OC ＝OB ，∴∠OCD +∠BCD ＝∠OBC ，∵∠BCE +∠OBC ＝90°，即6∠BCE ＝90°，∴∠BCE ＝15°，∴∠OBC ＝90°﹣15°＝75°，∴∠AOC ＝2∠OBC ＝2×75°＝150°，∴S 阴影＝＝．1、最困难的事就是认识自己。