湖南师大附中2019-2020九年级第一学期第二次月考数学模拟试卷
师大附中2019-2020学年(秋)九上第三次月考-数学解析版
3 CD BC = 4
3Байду номын сангаас
∴ CD BC = 4
∵ AC 是四边形 ABCD 的相似对角线 ∴ BCA∽ACD ， BC = AC ，即 AC2 = CD BC
AC DC ∴ AC2 = 4 ，即 AC = 2
由点 C 的坐标为 (3,1) 可知，点 A 的坐标为 (1,1)
将
A
，
C
两点的坐标代入抛物线
22.【解析】(1)连接 OD ∵ ODA = DAB = B = 30
∴ ODB = 180 − ODA − DAB − B = 180 − 30 − 30 − 30 = 90
∴直线 BD 与 O 相切 (2)由(1)知， ODA = DAB = 30
∴ DOB = ODA + DAB = 60 又∵ OC = OD ∴ DOC 是等边三角形 ∴ OA = OD = CD = 5 又∵ B = 30 ， ODB = 90 ∴ OB = 2OD = 10 ∴ AB = OA + OB = 5 +10 = 15 23.【解析】(1)设 A 、 B 两种型号的计算器每只进价分别是 x 、 y 元，根据题意，得
② BAO = AOP = 30 ， ABO = PAO = 60
( ) 此时，可求得点 P 3, − 3 ，将 P 点坐标代入 y = k ，得 k = −3 3 x
③当 APO = OAB = 30 ， AOP = ABO = 60
( ) 此时，可求得点 P 4, −4 3 ，将 P 点坐标代入 y = k ，得 k = −16 3 x
解之，得 m 12.5 所以，该经销商至少要采购 B 型计算器13 只. 24.【解析】(1)∵ CAE = DAB = 60 ∴ DAC = BAE 在 ADC 和 ABE 中 ∵ AD = AB ， DAC = BAE ， AC = AE ∴ ADC≌ABE (2)在四边形 ABCD 中 ADC + ABC = 360 − DAB − DCB = 270 ∵ ADC≌ABE ∴ ADC = ABE ， CD = BE ∴ ABC + ABE = ABC + ADC = 270
湖南师大附中高新实验中学2019年9月九年级数学入学考试试卷
湖南师大附中高新实验中学2019-2020学年度第一学期九年级入学检测试卷 数学时量：120分钟 满分：120分一、选择题 （本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．方程2x =16的解是 （ ） A ．4 B ．±4 C ．－4 D ．8 2．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）A ．两组对边分别平行B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等 3．一次函数y = －x －1的图象不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知方程x 2－4x +k =0有一个根是－1，则该方程的另一根是（ ） A ．1 B ．0 C ．－5 D ．55．某农机厂四月份生产零件40万个，第二季度共生产零件162万个.设该厂五、六月份 平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是 （ ）A ．40(1+x )2=162B ．40+40(1+x )+40(1+x )2=162C ．40(1+2x )＝162D ．40+40(1+x )+40(1+2x )=162 6．如图是二次函数22+4y x x =-+的图象，使y ≥1成立的x 的取值范围是（ )A ．13x -≤≤B ．1x -≤C ．x ≥1D ．1x -≤或3x ≥7. 如图，直线y =32x +3交坐标轴于A ，B 两点，则△AOB 的面积是（ ） A ．3B ．6C ．2D ．328. 如图，在平行四边形ABCD 中，DB =DC 、∠A =70°，CE ⊥BD 于E ，则∠BCE 为 ( ) A ．70° B ．40° C ．20° D ．30° 9. 下列数据方差为0的是（ ）A ．0，1，2，3，5B ．1，2，3，4，5C ．2，2，2，2，2D ．2，2，2，3，3第7题图10．若二次函数y ＝x 2＋bx ＋5配方后为y ＝(x －3)2－4，则b 的值分别为( )A ．0B ．5C ．6D ．－611．同一坐标系中，一次函数y ＝ax ＋1与二次函数y ＝x 2＋a 的图象可能是( )12．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0； ②4a +c ＜2b ；③3b +2c ＜0；④abc >0，其中正确结论的个数是（ ）A ． 4个B ． 1个C ． 2个D ． 3个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．若关于x 的一元二次方程（m +1）x 2＋5x ＋m 2－3m －4＝0的常数项为0，则m 的值等于 ．14．某课外小组的同学们实践活动中调查了20户家庭某月用电量，如下表所示：则这户家庭用电量的中位数是_____．15．一元二次方程2x 2﹣3x －k =0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ． 16．如图，在□ABCD 中，AB =6cm ，AD =9cm ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，则CF 的长为 cm ．17．将抛物线y =4x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为 ．18．如图，已知E 、F 、G 、H 分别为菱形ABCD 四边的中点，AB =6cm ，∠ABC =60°，则四边形EFGH 的面积为cm 2．三、解答题（第19、20题每题6分；第21、22题每题8分；第23、24题每题9分；第25、26每题10分）19．解方程：①x 2－4x +4=0（2）x 2+8x －20=0第12题图DF第18题图20．右图是某汽车行驶的路程S (km )与时间t (分钟) 的函数关系图；观察图中所提供的信息，解答下列问题：（1）求汽车在前9分钟内的平均速度是． （2）汽车在中途停了多长时间？（3）当16≤t ≤30时，求S 与t 的函数关系式．21．为了丰富同学们的课余生活，某学校计划举行“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查，要求学生必须从“A （洪家关），B （天门山），C （大峡谷），D （黄龙洞）”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）本次调查的学生人数为 ； （2）请将两个统计图补充完整；（3）若该校共有2000名学生，请估计该校最想去大峡谷的学生人数．22．已知关于x 的一元二次方程：()2120x t x t --+-=. (1)求证：对于任意实数t ，方程都有实数根；(2)当t 为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由．23．为积极响应政府提出的“绿色发展·低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车，经市场调查得知，购买3量男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16000元．(1)求男式单车和女式单车的单价；(2)该社区要求男式单比女式单车多4辆，两种单车至少需要22辆，购置两种单车的费用不超过50000元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？24．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上一点，连结AE 、BD 且AE =AB ． （1）求证：∠ABE =∠3；（2）若∠1 = 2 ∠2，求证：四边形ABCD 是菱形.25．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x ≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y =x ﹣1，它们的相关函数为y =()()1010x x x x -+<⎧⎪⎨-≥⎪⎩． （1）已知点A （﹣5，8）在一次函数y =ax ﹣3的相关函数的图象上，求a 的值； （2）已知二次函数y =﹣x 2+4x ﹣12． ①当点B （m ，32）在这个函数的相关函数的图象上时，求m 的值； ②当﹣3≤x ≤3时，求函数y =﹣x 2+4x ﹣12的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M ，N 的坐标分别为（﹣12，1），（92，1），连结MN ．直接写出线段MN 与二次函数y =﹣x 2+4x +n 的相关函数的图象有两个公共点时n 的取值范围．26．如图，抛物线与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为，抛物线的对称轴x =1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；()2y ax bx c a 0=++≠()2,0-1（ 2 () 3（3）平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．。
湖南师大附中2019届高考模拟卷(一)文科数学(PDF版)
湖南师大附中2019届高考模拟卷(一)数学(文科)第I 卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．若集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==x x y x M 2lg|，{}1|<=x x N ，则=N M （）A ．()10，B ．(]20，C ．[)21，D ．()∞+，02．如果复数i ai +-12)(R a ∈为纯虚数，则=a （）A ．2-B ．0C ．1D ．23．如图是民航部门统计的某年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表,根据图表,下面叙述不正确的是（）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．平均价格的涨幅众高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若33=a ，216=S ，则数列{}n a 的公差为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-5．已知2.12=a ，8.021-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，2ln =c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．ba c <<B ．a cb <<C ．c a b <<D ．a b c <<6．在长方体1111D C B A ABCD -中，1=AB ，2=AD ，31=AA ，则异面直线11B A 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．1438B ．1414C ．1313D ．317．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ,则函数a x y =，[)+∞∈,0x 是增函数的概率为（）A ．53B ．54C ．43D ．738．已知函数x x x x f 2sin 2cos sin 2)(-=，给出下列四个结论：①函数)(x f 的最小正周期是π；②函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡85,8ππ上是减函数；③函数)(x f 的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,8π对称；④函数)(x f 的图象可由函数x y 2sin 2=的图象向右平移8π个单位，再向下平移1个单位得到.其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．49．a 实常数,下列图象中可以作为函数a x x x f +=2)(的图象的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．某企业生产甲、乙两种产品,销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A 、B两种设备上加工,生产一件甲产品需用A 设备2小时,B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时,B 设备1小时.A 、B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时,若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（）A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元11．在ABC ∆中，已知3=AB ，32=AC ，点D 为BC 的三等分点（靠近C ），则BC AD ⋅的取值范围为（）A ．()53，B ．()355，C ．()95，D ．()75，12．已知不等式x m x 21-<-在[]20，上恒成立，且函数mx e x f x -=)(在()∞+，3上单调递增，则实数m 的取值范围为（）A ．()()∞+∞-，，52B ．()(]352e ，， ∞-C ．()(]252e ，， ∞-D ．()(]351e ，， ∞-第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13．若角α的顶点在坐标原点，始边为x 轴的正半轴，其终边经过点)4,3(0--P ，则=αtan ．14．如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为．15．设双曲线C ：12222=-by a x )0,0(>>b a 的左焦点为1F ，过左焦点1F 作x 轴的垂线交双曲线C 于M 、N 两点，其中M 位于第二象限，),0(b B ，若BMN ∠是锐角，则双曲线的离心率的取值范围是．16．定义在()+∞,0上的函数)(x f 满足：①当[)3,1∈x 时，21)(--=x x f ；②)(3)3(x f x f =．设关于x 的函数a x f x F -=)()(的零点从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ，…．若()3,1∈a ，则=+++n x x x 221 ．三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(本小题满分12分)等比数列{}n a 的各项均为正数，且13221=+a a ，62239a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n a a a b 32313log log log +++= ,求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和.18.(本小题满分12分)在多面体ABDE C -中，△ABC 为等边三角形，四边形ABDE 为菱形，平面ABC ⊥平面ABDE ，2=AB ，3π=∠DBA .（1）求证：CD AB ⊥；(2)求点B 到平面CDE 的距离.19.(本小题满分12分)2020年开始,国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用33+模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科目满分100分.为了应对新高考,某高中从高一年级1000名学生(其中男生550人，女生450人)中,采用分层抽样的方法从中抽取n 名学生进行调查.(1)已知抽取的n 名学生中含女生45人,求n 的值及抽取到的男生人数；(2)学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目,为了了解学生对这两个科目的选课情况,对在(1)的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目),下表是根据调查结果得到的22⨯列联表.请将列联表补充完整,并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由；(3)在抽取的选择“地理”的学生中按分层抽样再抽取6名,再从这6名学生中抽取2人了解学生对“地理”的选课意向情况,求2人中至少有1名男生的概率。
湖南师范大学附属中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题(含解析)
16．已知函数
f
x
2, x m
x
2
4
x
2,
x
，若方程
m
f
x
x有
3
个不等实根，则实数
m
的取值范围是
____________．
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
已知集合 A
x 5x 3 4x
，集合 B
x
x2 m
值域也是a,b ，则称函数 F x 是区间 D 上的“优函数”，区间a,b 称为 F x 的“等域区间”．
（1）已知函数 f x 3 x 2 是区间0, 上的“优函数”，求 f x 的“等域区间”；
（2）是否存在实数 k，使函数 g x x2 k 是区间 , 0 上的“优函数”？若存在，求 k 的取值范围；
当 x 0 时， f (x) x(2 x) x(x 2) ，由图知， f (x) 单调递减，选 A．
4
7．C 【解析】法一：因为 f ( 2) 2, f (2) 2 ，则 f [ f ( 2)] 2 ，所以 a 2 ，选 C．
法二：令 f f (a) t ，则 f (t) 2 ．因为当 t 0 时， f (t) t2 0 ，所以 t2 t 2(t 0) ，
m 1 2m 1, 若 B ，则 m 1 2, 解得 2 m 3 ，所以 m 的取值范围是 (, 3]，选 A．
2m 1 5,
9．B 【解析】因为函数 y 1 的定义域是 (, a) (a, ) ，且在区间 (a, ) 上是减函数，则 xa
a 0 ，且 (1, ) (a, ) ，所以 0 a 1，选 B．
湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考(四)数学(文)试卷(带答案)
湖南师大附中2019届高三月考试卷(四)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{} |x 2x <1，集合N ＝{} |x log 2x >1，则下列结论中成立的是(C) A ．M ∩N ＝M B ．M ∪N ＝N C ．M ∩()∁U N ＝M D.()∁U M ∩N ＝【解析】由2x <1＝20，得x <0，由log 2x >1＝log 22，∴x >2，∴M ∩()∁U N ＝{}x |x <0∩{}x |x ≤2＝M ，故答案为C.2．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面α、β，下列四个命题中正确的是(A) A ．若l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m ，则α∥β B ．若m ∥n ，n α，则m ∥αC ．若m α，n α，m ∥β，n ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，α∩β＝m ，n β，则n ⊥α【解析】∵m 与α的位置关系不确定，∴m ∥α不一定成立，B 不成立；由于m 与n 几何位置关系不确定，∴α∥β的条件不具备，C 不成立；D 也不成立，∴选A.3．已知P (1，3)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的渐近线上，则该双曲线的离心率为(A)A.10 B ．2 C. 5 D. 3【解析】根据点P (1，3)在双曲线的渐近线上，所以双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ，所以有ba ＝3，即b ＝3a ，根据双曲线中a ，b ，c 的关系，可以得c ＝10a ，所以有e ＝10，故选A.4．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，||φ<π2，x ∈R )在一个周期内的图象如图所示，则y ＝f (x )的解析式是(B)A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3【解析】由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，||φ<π2，x ∈R )在一个周期内的图象可得：A ＝1，14T ＝14·2πω＝π12＋π6，解得ω＝2，再把点⎝⎛⎭⎫π12，1代入函数的解析式可得：1＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1.再由||φ<π2可得：φ＝π3，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.故应选B.5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为(参考数据：sin 15°＝0.258 8，sin 7.5°＝0.130 5)(C)A ．12B ．16C ．24D ．48【解析】由程序框图可列表如下：n 6 12 24 S332336－32因为36－32≈3.106>3.10，所以输出n 的值为24，故选C.6．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，则满足不等式S n <－6的n的最小值是(D)A ．62B ．63C ．126D ．127【解析】因为S n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23×34×…×n ＋1n ＋2＝log 2⎝⎛⎭⎫2n ＋2<－6，所以2n ＋2<2－6，n >126，故应选D. 7．设A 、B 、C 为圆O 上三点，且AB ＝3，AC ＝5，则AO →·BC →＝(D) A ．－8 B ．－1 C ．1 D ．8【解析】取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，因为O 为三角形ABC 外接圆的圆心，则AD →＝12(AB →＋AC →)，OD →·BC →＝0.所以AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝8，选D.8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n ＋2，则f (a n )＝(A)A ．0B ．0或1C ．－1或0D ．1或－1【解析】∵f (x )＝f (x ＋2)，所以f (x )函数周期为2，∵数列{}a n 满足S n ＝2a n ＋2，∴a 1＝－2，S n －1＝2a n －1＋2，∴a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，∴{a n }以－2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝－2n ，∴f (a n )＝f (－2n )＝f ()0＝0，故选A.9．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧||lg ||x －2，x ≠2，0，x ＝2，若b <0，则关于x 的方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的不同实数根共有(C)A ．4个B ．5个C ．7个D ．8个【解析】由[f (x )]2＋bf (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝－b .所以方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的根的个数转化为函数y ＝f (x )与函数y ＝0，y ＝－b (b <0)的图象的交点个数．因为函数f (x )的图象大致如图所示，数形结合可知，f (x )＝0有3个实数根，f (x )＝－b (b <0)有4个实数根，所以[f (x )]2＋bf (x )＝0共有7个不同的实数根，故答案选C.10．一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下，则余下部分的几何体的体积为(D)A.8π3＋15B.16π3＋ 3C.8π3＋233D.16π9＋233【解析】由已知中的三视图，圆锥母线为l ＝（5）2＋⎝⎛⎭⎫2322＝22，圆锥的高h ＝（5）2－12＝2，圆锥底面半径为r ＝l 2－h 2＝2，截去的底面弧的圆心角为120°，故底面剩余部分为S ＝23πr 2＋12r 2sin 120°＝83π＋3，故几何体的体积为：V ＝13Sh ＝13×⎝⎛⎭⎫83π＋3×2＝169π＋233，故选D. 11．本周星期日下午1点至6点学校图书馆照常开放，甲、乙两人计划前去自习，其中甲连续自习2小时，乙连续自习3小时．假设这两人各自随机到达图书馆，则下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是(B)A.19B.16C.13D.12【解析】据题意，甲、乙应分别在下午4点、3点之前到达图书馆，设甲、乙到达图书馆的时间分别为x ，y ，则⎩⎨⎧1≤x ≤4，1≤y ≤3，所对应的矩形区域的面积为6.若下午5钟点时甲、乙两人都在自习，则⎩⎨⎧3≤x ≤4，2≤y ≤3，所对应的正方形区域的面积为1，所以P ＝16，选B.12．设函数d (x )与函数y ＝log 2x 关于直线y ＝x 对称．已知f (x )＝⎩⎨⎧d （x ）－a ，x <1，4（x 2－3ax ＋2a 2），x ≥1，若函数f (x )恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是(A)A.⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)B.⎣⎡⎭⎫14，1∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，32 【解析】因为函数d (x )与函数y ＝log 2x 关于直线y ＝x 对称，所以d (x )＝2x ；设g (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1，h (x )＝2x －a ，x <1，因为f (x )恰有2个不同的零点，又因为h (x )至多有一个零点，故：①若g (x )有两个零点，h (x )没有零点，则⎩⎨⎧a ≥1，h （1）＝2－a ≤0，得a ≥2②若g (x )和h (x )各有1个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a ≥1且⎩⎨⎧－a <0，h （1）＝2－a >0，得12≤a <1.综上，a ∈⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)．故答案选A.选择题答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案CAABCDDACDBA本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．已知圆C 1：(x －a )2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋5＝0外切，则a 的值为__0或6__． 【解析】圆C 1：(x －a )2＋y 2＝1的圆心为()a ，0，半径为1，圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋5＝0的圆心为()3，0，半径为2，两圆外切，所以||a －3＝3，∴a ＝0，6，故a 的值为0或6.14．如果复数z 满足关系式z ＋||z －＝2＋i ，那么z 等于__34＋i__． 【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，||z －＝a 2＋b 2，所以a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i ， 所以得：⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1所以z ＝34＋i.15．已知2a ＝5b ＝10，则a ＋bab＝__1__．【解析】由已知，a ＝log 210＝1lg 2，b ＝log 510＝1lg 5.所以a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.16．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数a 、b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x ＞0时f (x )＞1.若f (4)＝5，则不等式f (3x 2－x －2)<3的解集为__⎝⎛⎭⎫－1，43__． 【解析】设x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，f (x 1－x 2)＞1.所以f (x 1)－f (x 2)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]－f (x 2)＝f (x 1－x 2)－1>0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )是增函数．因为f (4)＝5，即f (2)＋f (2)－1＝5，所以f (2)＝3.所以原不等式化为f (3x 2－x －2)<f (2)3x 2－x －2<23x 2－x －4<0－1<x <43.故不等式的解集是⎝⎛⎭⎫－1，43. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x ，a ≠0，x ∈R ，f (x )的最大值是2，且在x ＝π6处的切线与直线x －y＝0平行．(1)求a 、b 的值；(2)先将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，已知g ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，求cos 2α的值．【解析】(1)f ′(x )＝a cos x －b sin x ，1分由已知有：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2a cos π6－b sin π6＝1，解之得：⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.4分 (2)由(1)有f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，6分因为将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，8分由g ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2得sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝513，且2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－1213，10分cos 2α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝－1213·12＋513·32＝53－1226.12分18．(本题满分12分)如图，已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点M ，N 分别是A ′B 和B ′C ′的中点。
2019-2020年湖南省师大附中星城实验中学九年级上学期期中考试 数学(湘教版)(含答案)
2019-2020年湖南省师大附中星城实验中学九年级上学期期中考试数学（湘教版）一．选择题（共12小题）1．下列四个数﹣1，0，，2中，最小的数是（）A．﹣1 B．2 C．D．02．下列运算正确的是（）A．2x+3y＝5xy B．5x2•x3＝5x5C．4x8÷2x2＝2x4D．（﹣x3）2＝x53．自然界中存在很多自相似现象，如树木的生长，雪花的形成，土地干旱形成的地面裂纹．分形几何就是专门研究像雪花形状这样的自相似图形（即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系）的一个数学分支．下列自相似图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．下表记录了一名球员在罚球线上罚篮的结果：投篮次数n100 150 300 500 800 1000投中次数m58 96 174 302 484 601投中频率n/m0.580 0.640 0.580 0.604 0.605 0.601这名球员投篮一次，投中的概率约是（）A．0.58 B．0.6 C．0.64 D．0.555．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m＜﹣1 C．m＞1 D．m＞﹣16．九年级学生毕业前夕，某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言，全班共写了870段毕业感言，如果该班有x名同学，根据题意列出方程为（）A．x（x﹣1）＝870 B．x（x+1）＝870C．2x（x+1）＝870 D．＝8707．已知二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象上有三点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y1＜y2＜y38．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1＝30°，则∠2的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．65°9．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC等于（）A．64°B．58°C．68°D．55°10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°11．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（）A．l00°B．105°C．110°D．12012．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x＝1，以下结论：①abc ＞0；②3a+c＞0；③m为任意实数，则有a（m2+1）+bm≥0；④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共6小题）13．分解因式：a3﹣ab2＝．14．“随时打开电视机，正在播新闻”是事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”）15．点M（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是．16．一个扇形的圆心角是45°，扇形的半径长是3，则该扇形的面积是．17．如图所示，圆锥的母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则该圆锥的高为．18．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，点O是AC的中点，以O为旋转中心，将△ABC绕点O旋转一周，A、B、C的对应点分别为A'、B'、C'，则BC'的最大值为．三．解答题（共8小题）19．计算：（﹣）﹣2﹣23×0.125+20190+|﹣1|20．先化简，再求值：，其中．21．为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．分数段频数频率74.5～79.5 2 0.0579.5～84.5 m0.284.5～89.5 12 0.389.5～94.5 14 n94.5～99.5 4 0.1（1）表中m＝，n＝；（2）请在图中补全频数直方图；（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在分数段内；（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．23．某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．（1）A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元？（2）该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．24．如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．（3）若弦CN过△ABC的内心点M，MN＝，求CN．25．二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′，再将得到的对称抛物线y′向上平移m（m＞0）个单位，得到新的抛物线y m，我们称y m叫做二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的m阶变换．（1）已知：二次函数y＝2（x+2）2+1，它的顶点关于原点的对称点为，这个抛物线的2阶变换的表达式为．（2）若二次函数M的6阶变换的关系式为y6′＝（x﹣1）2+5．①二次函数M的函数表达式为．②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B，在抛物线y6′＝（x﹣1）2+5上是否存在点P，使点P与直线AB的距离最短，若存在，求出此时点P 的坐标．（3）抛物线y＝﹣3x2﹣6x+1的顶点为点A，与y轴交于点B，该抛物线的m阶变换的顶点为点C．若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，请直按写出m的值．26．若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“完美四边形”．（1）①在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“完美四边形”的有；②若矩形ABCD是“完美四边形”，且AB＝4，则BC＝；（2）如图1，“完美四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC为直径，AP＝1，PC＝5，求另一条对角线BD的长；（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“完美四边形”ABCD的四个顶点A（﹣3，0）、C （2，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，直线BD的斜率为，且四边形ABCD的面积为15，若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列四个数﹣1，0，，2中，最小的数是（）A．﹣1 B．2 C．D．0【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，即可得出．【解答】解：因为，所以四个数﹣1，0，，2中，最小的数是．故选：C．2．下列运算正确的是（）A．2x+3y＝5xy B．5x2•x3＝5x5C．4x8÷2x2＝2x4D．（﹣x3）2＝x5【分析】根据单项式的乘法和除法法则，以及幂的乘方法则即可作出判断．【解答】解：A、不是同类项，不能合并，选项错误；B、正确；C、4x8÷2x2＝2x6，选项错误；D、（﹣x3）2＝x6，选项错误．故选：B．3．自然界中存在很多自相似现象，如树木的生长，雪花的形成，土地干旱形成的地面裂纹．分形几何就是专门研究像雪花形状这样的自相似图形（即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系）的一个数学分支．下列自相似图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意．故选：D．4．下表记录了一名球员在罚球线上罚篮的结果：投篮次数n100 150 300 500 800 1000投中次数m58 96 174 302 484 601投中频率n/m0.580 0.640 0.580 0.604 0.605 0.601这名球员投篮一次，投中的概率约是（）A．0.58 B．0.6 C．0.64 D．0.55【分析】根据频率估计概率的方法结合表格可得答案．【解答】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.6附近，这名球员投篮一次，投中的概率约是0.6，故选：B．5．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m＜﹣1 C．m＞1 D．m＞﹣1【分析】根据根的判别式，令△＞0即可求出根的判别式．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×m＞0，∴4﹣4m＞0，解得m＜1．故选：A．6．九年级学生毕业前夕，某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言，全班共写了870段毕业感言，如果该班有x名同学，根据题意列出方程为（）A．x（x﹣1）＝870 B．x（x+1）＝870C．2x（x+1）＝870 D．＝870【分析】根据题意得：每人要写（x﹣1）条毕业感言，有x个人，然后根据题意可列出方程．【解答】解：根据题意得：每人要写（x﹣1）条毕业感言，有x个人，∴全班共写：（x﹣1）x＝870，故选：A．7．已知二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象上有三点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y1＜y2＜y3【分析】对二次函数y＝2（x﹣1）2+k，对称轴x＝1，在对称轴两侧时，则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断y1、y2、y3的大小．【解答】解：在二次函数y＝2（x﹣1）2+k，对称轴x＝1，在图象上的三点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），|5﹣1|＞|﹣1﹣1|＞|2﹣1|，则y1、y2、y3的大小关系为：y3＞y1＞y2．故选：C．8．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1＝30°，则∠2的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．65°【分析】先根据两角互余的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠1+∠3＝90°，∠1＝30°，∴∠3＝60°．∵直尺的两边互相平行，∴∠2＝∠3＝60°．故选：C．9．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC等于（）A．64°B．58°C．68°D．55°【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB 的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵BC是直径，∠D＝32°，∴∠B＝∠D＝32°，∠BAC＝90°．∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠B＝32°，∴∠OAC＝∠BAC﹣∠BAO＝90°﹣32°＝58°．故选：B．10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC＝AC′，又因为∠CAC′＝90°，根据三角形外角的性质求出∠C′B′A的度数，进而求出∠B的度数．【解答】解：由旋转的性质可知，AC＝AC′，∵∠CAC′＝90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A＝45°．∵∠CC′B′＝32°，∴∠C′B′A＝∠C′CA+∠CC′B′＝45°+32°＝77°，∵∠B＝∠C′B′A，∴∠B＝77°，故选：C．11．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（）A．l00°B．105°C．110°D．120【分析】利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用互余计算出∠BAC＝60°，接着根据角平分线定义得到∠BCD＝45°，从而利用圆周角定理得到∠BAD＝∠BCD＝45°，然后计算∠BAC+∠BAD即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝45°，∵∠BAD＝∠BCD＝45°，∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°．故选：B．12．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x＝1，以下结论：①abc ＞0；②3a+c＞0；③m为任意实数，则有a（m2+1）+bm≥0；④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，由对称轴可知：﹣＞0，∴b＜0，∴abc＞0，故①正确；②由对称轴可知：﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵当x＝3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，∴9a﹣6a+c＞0，∴3a+c＞0，故②正确；③∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，y有最小值，∴am2+bm+c≥a+b+c（m为任意实数），∴am2+bm≥a+b（m为任意实数），∴am2+a+bm≥2a+b（m为任意实数），∵b＝﹣2a，∴a（m2+1）+bm≥0，故③正确；④∵点（﹣2，y1）离对称轴要比点（5，y2）离对称轴要近，∴y1＜y2，故④正确．故选：D．二．填空题（共6小题）13．分解因式：a3﹣ab2＝a（a+b）（a﹣b）．【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．故答案为：a（a+b）（a﹣b）．14．“随时打开电视机，正在播新闻”是事件随机．（填“必然”、“不可能”或“随机”）【分析】随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，【解答】解：根据题意可知，随时打开电视机，正在播新闻”是随机事件．故答案为随机．15．点M（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2）．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．【解答】解：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），∴点M（﹣3，2）关于原点中心对称的点的坐标是（3，﹣2）．故答案为：（3，﹣2）．16．一个扇形的圆心角是45°，扇形的半径长是3，则该扇形的面积是π．【分析】直接利用扇形的面积公式计算．【解答】解：该扇形的面积＝＝π．故答案为π．17．如图所示，圆锥的母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则该圆锥的高为8cm．【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，然后求出r后利用勾股定理计算圆锥的高．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝6，所以圆锥的高＝＝8（cm）．故答案为8cm．18．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，点O是AC的中点，以O为旋转中心，将△ABC绕点O旋转一周，A、B、C的对应点分别为A'、B'、C'，则BC'的最大值为8 ．【分析】连接OB，BC′，如图，易得OC＝3，再利用勾股定理计算出OB＝5，接着利用旋转的性质得OC′＝OC＝3，根据三角形三边的关系得到BC′≤OB+OC′（当且仅当点B、O、C′共线时，取等号），从而得到BC′的最大值．【解答】解：连接OB，BC′，如图，∵点O是AC中点，∴OC＝AC＝3，在Rt△BOC中，OB＝＝5，∵△ABC绕点O旋转得△A′B'C′，∴OC′＝OC＝3，∵BC′≤OB+OC′（当且仅当点B、O、C′共线时，取等号），∴BC′的最大值为3+5＝8，即在旋转过程中点B、C′两点间的最大距离是8．故答案为：8．三．解答题（共8小题）19．计算：（﹣）﹣2﹣23×0.125+20190+|﹣1|【分析】直接利用负指数幂的性质和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝4﹣1+1+1＝5．20．先化简，再求值：，其中．【分析】首先把分式约分，然后计算分式的除法，最后进行加法运算即可．【解答】解：原式＝﹣•＝﹣1＝当x＝+1时，原式＝21．为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．分数段频数频率74.5～79.5 2 0.0579.5～84.5 m0.284.5～89.5 12 0.389.5～94.5 14 n94.5～99.5 4 0.1（1）表中m＝8 ，n＝0.35 ；（2）请在图中补全频数直方图；（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在84.5～89.5 分数段内；（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．【分析】（1）根据频率＝频数÷总数求解可得；（2）根据所求结果即可补全图形；（3）根据中位数的概念求解可得；（4）首先根据题意画出树状图，然后由表格即可求得所有等可能的结果与挑选的两位学生恰好是一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35，故答案为：8，0.35；（2）补全图形如下：（3）由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在84.5～89.5，∴测他的成绩落在分数段84.5～89.5内，故答案为：84.5～89.5．（4）选手有4人，2名是男生，2名是女生．，恰好是一名男生和一名女生的概率为＝．22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．【分析】（1）先根据CD＝16，BE＝4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；（2）由∠M＝∠D，∠DOB＝2∠D，结合直角三角形可以求得结果；【解答】解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，∴CE＝DE＝8，设OB＝x，又∵BE＝4，∴x2＝（x﹣4）2+82，解得：x＝10，∴⊙O的直径是20．（2）∵∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，∴∠D＝∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D＝30°．23．某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．（1）A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元？（2）该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据题意列出不等式组解答即可．【解答】解：（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，依题意，得：，解得，答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为30万元；（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车（10﹣m）辆，根据题意得：解得：3≤m＜5，∵m是整数，∴m＝3或4，当m＝3时，该方案所用费用为：25×3+30×7＝285（万元）；当m＝4时，该方案所用费用为：25×4+30×6＝280（万元）．答：最省的方案是购买A型汽车4辆，购进B型汽车6辆，该方案所需费用为280万元．24．如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．（3）若弦CN过△ABC的内心点M，MN＝，求CN．【分析】（1）连接OD，OC，由已知条件得出，由圆周角定理得出∠BOC＝∠A，证出OC∥AD，再由已知条件得出CE⊥OC，即可证出CE为⊙O的切线；（2）由，得到∠COD＝×180°＝60°，根据CD∥AB，得到S△ACD＝S△COD，根据扇形的面积公式即可得到结论；（3）如图2，过点B作BP⊥CN，由直角三角形的性质可得CN＝PN+CP＝BC，通过证明△MCB∽△BCN，可得，可求BC的长，即可CN的长．【解答】证明：（1）如图1，连接OD，OC，∵点C、D为半圆O的三等分点，∴，∴∠BOC＝∠BAE，∴OC∥AD，∵CE⊥AD，∴CE⊥OC，∴CE为⊙O的切线；（2）∵，∴∠COD＝×180°＝60°，∵CD∥AB，∴S△ACD＝S△COD，∴图中阴影部分的面积＝S扇形COD＝＝；（3）如图2，过点B作BP⊥CN，∵点M是△ACB的内心，∴∠ACN＝∠BCN＝45°，∠CBM＝∠ABC＝30°，∵BP⊥CN，∴∠NCB＝∠CBP＝45°，∴CP＝BP＝BC，∵∠CAB＝∠CNB＝30°，∴PN＝PB＝BC，∴CN＝PN+CP＝BC，∵∠CBM＝∠CNB＝30°，∠MCB＝∠NCB，∴△MCB∽△BCN，∴，∴BC2＝BC×（BC﹣2），∴BC＝2，∴CN＝×2＝+．25．二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′，再将得到的对称抛物线y′向上平移m（m＞0）个单位，得到新的抛物线y m，我们称y m叫做二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的m阶变换．（1）已知：二次函数y＝2（x+2）2+1，它的顶点关于原点的对称点为（2，﹣1），这个抛物线的2阶变换的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+1 ．（2）若二次函数M的6阶变换的关系式为y6′＝（x﹣1）2+5．①二次函数M的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+1 ．②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B，在抛物线y6′＝（x﹣1）2+5上是否存在点P，使点P与直线AB的距离最短，若存在，求出此时点P 的坐标．（3）抛物线y＝﹣3x2﹣6x+1的顶点为点A，与y轴交于点B，该抛物线的m阶变换的顶点为点C．若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，请直按写出m的值．【分析】（1）原二次函数的顶点为（﹣2，﹣1），则顶点关于原点的对称点为（2，﹣1），即可求解；（2）①6阶变换的关系式对应的函数顶点为：（1，﹣1），则函数M的顶点为：（﹣1，1），即可求解；②DP＝PH＝（x2﹣2x+6﹣x﹣2）＝（x2﹣3x+4），即可求解；（3）点A（﹣1，4）、点B（0，1），抛物线的m阶变换的函数表达式为：y＝3（x﹣1）2﹣4+m，故点C（1，m﹣4），即可求解．【解答】解：（1）原二次函数的顶点为（﹣2，1），则顶点关于原点的对称点为（2，﹣1），则这个抛物线的2阶变换的表达式：y＝﹣2（x﹣2）2+1，故答案为：（2，﹣1），y＝﹣2（x﹣2）2+1；（2）①6阶变换的关系式对应的函数顶点为：（1，﹣1），则函数M的顶点为：（﹣1，1），则其表达式为：y＝﹣（x+1）2+1，故答案为：y＝﹣（x+1）2+1；②存在，理由：y＝﹣（x+1）2+1，令y＝0，则x＝﹣2或0，故点B（﹣2，0），而点A（﹣1，1），将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AB的函数表达式为：y＝x+2，y6′＝（x﹣1）2+5＝x2﹣2x+6，如下图，过点P作PD⊥AB交于点D，故点P作y轴的平行线交AB于点H，∵直线AB的倾斜角为45°，则DP＝PH，设点P（x，x2﹣2x+6），则点H（x，x+2），DP＝PH＝（x2﹣2x+6﹣x﹣2）＝（x2﹣3x+4），∵＞0，故DP有最小值，此时x＝，故点P（，）；（3）抛物线y＝﹣3x2﹣6x+1的顶点为点A，与y轴交于点B，则点A（﹣1，4）、点B（0，1），抛物线的m阶变换的函数表达式为：y＝3（x﹣1）2﹣4+m，故点C（1，m﹣4），则AB2＝10，AC2＝4+（m﹣8）2，BC2＝1+（m﹣5）2，当AB＝AC时，10＝4+（m﹣8）2，解得：m＝8；当AB＝BC时，同理可得：m＝8或2，当m＝2时，ABC共线，故舍去m＝2故m的值为：8+或8﹣或8．26．若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“完美四边形”．（1）①在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“完美四边形”的有菱形、正方形；②若矩形ABCD是“完美四边形”，且AB＝4，则BC＝4或；（2）如图1，“完美四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC为直径，AP＝1，PC＝5，求另一条对角线BD的长；（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“完美四边形”ABCD的四个顶点A（﹣3，0）、C （2，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，直线BD的斜率为，且四边形ABCD的面积为15，若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．【分析】（1）①由菱形、正方形的对角线互相垂直即可判断．②矩形ABCD对角线相等且互相平分，再加上对角线夹角为60°，即出现等边三角形，所以得到矩形相邻两边的比等于tan60°．由于AB边不确定是较长还是较短的边，故需要分类讨论计算．（2）过O点作OH垂直BD，连接OD，由∠DPC＝60°可求得OH，在Rt△ODH中勾股定理可求DH，再由垂径定理可得BD＝2DH．（3）由条件可知直线BD解析为y＝x，由二次函数图象与x轴交点为A、C可设解析式为y＝a（x+3）（x﹣2），把两解析式联立方程组，消去y后得到关于x的一元二次方程，解即为点B、D横坐标，所以用韦达定理得到x B+x D和x B•x D进而得到用a表示的（x B ﹣x D）2．又由四边形面积可求得x B﹣x D＝6，即得到关于a的方程并解方程求得a．【解答】解：（1）①∵菱形、正方形的对角线互相垂直，∴菱形、正方形不是“美丽四边形”．故答案为：菱形、正方形．②设矩形ABCD对角线相交于点O∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABC＝90°，∴AO＝BO＝CO＝DO，∵矩形ABCD是“美丽四边形”，∴AC、BD夹角为60°，i）如图1，若AB＝4为较短的边，则∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形∴∠OAB＝60°∴Rt△ABC中，tan∠OAB＝，∴BC＝AB＝4，ii）如图2，若AB＝4为较长的边，则∠BOC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴OCB＝60°，∴Rt△ABC中，tan∠OCB＝＝，∴BC＝＝．故答案为：4或．（2）过点O作OH⊥BD于点H，连接OD∴∠OHP＝∠OHD＝90°，BH＝DH＝BD，∵AP＝1，PC＝5∴⊙O直径AC＝AP+PC＝6∴OA＝OC＝OD＝3∴OP＝OA﹣AP＝3﹣1＝2∵四边形ABCD是“美丽四边形”∴∠OPH＝60°，∴Rt△OPH中，sin∠OPH＝，∴OH＝＝，∴Rt△ODH中，DH＝＝＝，∴BD＝2DH＝2．（3）过点B作BM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N ∴∠BMO＝∠DNO＝90°∵直线BD的斜率为，∴直线BD解析式为y＝x，∵二次函数的图象过点A（﹣3，0）、C（2，0），即与x轴交点为A、C∴用交点式设二次函数解析式为y＝a（x+3）（x﹣2）∵，整理得：ax2+（a﹣）x﹣6a＝0，∴x B+x D＝﹣，x B•x D＝﹣6∴（x B﹣x D）2＝（x B+x D）2﹣4x B•x D＝（﹣）2+24∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AC•BM+AC•DN＝AC（BM+DN）＝AC（y D﹣y B）＝AC（x D ﹣x B）＝（x B﹣x D）．∴（x B﹣x D）＝15，∴x B﹣x D＝6，∴（﹣）2+24＝36，解得：a1＝，a2＝．∴a的值为或．。
湖南长沙湖南师大附中博才实验中学2019 ——2020学年第一学期九年级第一次月考试题卷.语文(无答
湖南师大附中博才实验中学2019 —2020学年度第一学期九年级第一次月考试题卷·语文一、积累与运用（26分）1.下列句子中，没有错别字且加点字的注音完全正确的一项是( )(2分)A.在开学典礼上，优秀的毕业生回到了濡养了自己的母校，给学弟学妹们分享了宝贵的箴．(zhēn)言。
B.面对港独分子亵渎国旗的恶劣行径，我们绝不能轻易宽宥．(yŏu) ，一味纵容。
C.在庆祝新中国成立70周年的典礼上,阅兵式和联欢活动相得益彰，宣告了中国不容小觑．(xù)的实力。
D.《小欢喜》成为热播剧的密诀，在于它唤起了人们心中对那段心无旁骛．(wù) 奋战高考岁月的回忆。
2.下列加点词语运用不正确的项是( )(2分)9月13日至15日，铜官窑古镇倾情打造了一系列中秋创意活动，帶领游客穿越回了千年前的大唐中秋之夜。
在灯火的映衬下，小镇的房屋格外的富丽堂皇．．．．，精心装扮的“嫦娥仙子”体态娉婷．．明媚的丽人身着盛唐礼服，．．，为游客送上月饼，鲜妍与金甲式士不时闪现，为游客们带来动感欢快的舞蹈。
石渚湖边，趣味灯迷悬挂在风雨桥上，不少游客附庸风雅．．．．，兴味十足地猜着灯谜；石渚湖中，千盏花灯漂泊湖面，将相思寄往远方。
古老的拜月仪式，也在铜官窑古镇得到了复活。
A.富丽堂皇B.娉婷C.鲜妍D.附庸风雅3.下列句子中没有语病的一项是( )(2分)A.9月28日，在第十届校园体育节入场式上，菠菜园里飘扬着各具特色的班旗和整齐嘹亮的口号声。
B.口碑的高低，直接决定了《哪吒》取得蝉联电影票房冠军的好成绩。
C.近日，湖南卫视《声入人心》第二季成员和砂子塘小学的学生们一起为祖国动情献唱《红旗飘飘》。
D.今年，苹果在中国的品牌地位暴跌至第24位，而华为则上升两个名次左右，排在第2位。
4.下列句子排序最恰当的项是( )蒋勋先生《美的沉思》一书现在已经印刷30余次，总发行量25万余册。
可以说，在美术读物中，《美的沉思》在大陆市场取得了初步的成功。
【20套试卷合集】湖南省湖南师大附中2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一、选择题（每题5分，共50分） 1．设{}{}{}1,2,3,1,2,1,3,UA B ===那么()()U U C A C B 等于（ ）A. {}2,3B. {}1,3C. ∅D. {}32．经过()()0,1,3,0B A 的直线的倾斜角是（ ） A.300B.600C.1200D.13503．数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，其中100,75,2510010011=+==b a b a ，那么{}n n b a +前100项的和为（） A ．0B ．100C ．10000D ．4．设点P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的横坐标为（ ）。
A 、-9 B 、-6 C 、9 D 、65．已知0>>b a ，则2,2,3a b a的大小关系是（ ）A ．223a b a >>B ．232b a a <<C ． 223b a a <<D ． 232a a b<<6．若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若，m βαβ⊆⊥，则m α⊥ B ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥ C ．若m αγ=n βγ=，m n ∥，则αβ∥ D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥7．为得到函数的图象，只需将函数 ）ABCD8．已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量a+x ·b 与b 垂直，则x 的值为（ ）A.323 B.233C.2D.-52 9．已知2tan()5αβ+=, 1tan()44πβ-=, 则tan()4πα+的值为( ) A 16 B 2213 C 322 D 131810．现代社会对破译密码的难度要求越来越高．有一种密码把英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的z c b a ,,,, 的26个字母(不论大小写)依次对应1，2，3，…，26这26个自然数(见下表)：a b c d e f g h i j k l m 12345678910111213x y sin =n o p q r s t u v w x y z 14151617181920212223242526现给出一个变换公式：'1(,26,2)213(,26,2)2不能被整除能被整除x x N x x x x x N x x ++⎧+∈≤⎪⎪=⎨⎪+∈≤⎪⎩ 将明文转换成密文，如1713288=+→，即h 变成q ； 32155=+→，即e 变成c ．按上述规定，若将明文译成的密文是shxc ，那么原来的明文是( )A ． lhhoB ． eovlC ．ohhlD ．love二、填空题（每题5分，共25分） 11．23sin 702cos 10-=-13.函数)1(log 1)(2-=x x f 的定义域是。
湖南四大名校内部资料2019-2020-1师梅九上第一次月考-数学试卷
湖南师大附中梅溪湖中学2019-2020学年第一学期第一次阶段测试九年级数学 试卷（总分：120分，时量：120分钟，命题：胡勇，审题：金芒）一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本题共12个小题，每小题3分，共36分）1．如图，在O ⊙中，AB 是直径，AC 是弦，连接OC ，若30ACO ∠=︒，则BOC ∠ 的度数是（ ）A ． 30︒ B ．45︒ C ．55?︒ D ．60︒ 2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5cm ，CD ＝8cm ，则AE ＝（ ）A ．8cmB ．5cmC ．3cmD ．2cm3．如图，已知直线110y k x k ≠＝（） 与反比例函数220ky k x≠＝（）的图象交于M N ，两点．若点M 的坐标是(1,2) ，则点N 的坐标是（ ） A ．(1,2)-B ．(1,2)--C ．(1,2)-D ．(2,1)--第 1题第2题第3题第6题4．O e 与直线l 有两个交点，且圆的半径为3，则圆心O 到直线l 的距离不可能是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．下列圆的内接正多边形中，中心角最大的图形是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形6．如图，点A B C 、、依次排列在O e 上，连接AB BC 、，点P 是O e 上，若»»2BC AB =，则下列结论中正确的是（ ） A ．2BC AB = B ．2BPC APB ∠=∠ C ．2BC AB ＞D ．2BOC AOB ∠=∠ 7．用一个半径为30，圆心角为120︒的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（ ） A ．10πB ．20πC ．10D ．208．下列语句所描述的事件是随机事件的是（ ） A ．任意画一个四边形，其内角和为180︒B ．经过任意两点画一条直线C ．任意画一个菱形，是中心对称图形D ．过平面内任意三点画一个圆A9．若1122A x y B x y （）、,（,）都在函数2019y x＝的图象上，且120x x ＜＜，则（ ） A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．12y y =-10．如图，ABC ∆的内切圆O e 与BC CA AB 、、分别相切于点D E F 、、，且51312AB BC CA ＝，＝，＝，则阴影部分（即四边形AEOF ）的面积是（ ） A ．4B ．6.25C ．7.5D ．911．函数y ax a =-+与(0)ay a x=≠在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，在C ∆AO 中，3OA cm ＝,1OC cm ＝，将C ∆AO 绕点O 顺时针旋转90︒后得到D ∆BO ，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）2cm ． A ．2πB ．2πC ．178π D ．198π第10题第12题第13题二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）13．如图，四边形ABCD 为O e 的内接四边形，100A ∠︒＝，则DCE ∠的度数为 ．14．如图，点P 是反比例函数y ＝(0)ky k x =≠（k ≠0）的图象上任意一点，过点P 作PM x ⊥ 轴，垂足为M ．若P ∆OM 的面积等于2，则k 的值等于 ．15．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于 ．第14题第15题第16题16．如图，PA PB EF 、、分别切O e 于A B D 、、，若50P ∠︒＝，那么EOF ∠＝ °． 17．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积1S 来近似估计O e 的面积S ，设O e 的半径为1，则1S S -= ．18．如图，直线(0)y x b b =-+>与双曲线(0)ky x x=>交于A B 、两点，连接OA OB 、，AM y ⊥轴于M ，BN x ⊥轴于N ；有以下结论：①OA OB =；②AOM BON ∆∆≌；③若45AOB ∠=︒，则AOB S k ∆=；④当2AB =时，1ON BN -=；其中结论正确的序号是 .三、解答题（本题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分， 第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分） 19．计算：计算：2213(5)4()2π-+--+- ．20．解不等式组26312x x x ≤⎧⎪⎨+>⎪⎩ ，并把它的解集在数轴上表示出来．21．某中学举行“中国梦，我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A B C D 、、、 四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D 等级”的扇形的圆心角为 度，图中m 的值为 ； （2）补全条形统计图；（3）组委会决定分别从本次比赛中获得A B 、两个等级的学生中，各选出1名学生培训后搭档去参加市中学生演讲比赛，已知甲的等级为A ，乙的等级为B ，求出同时选中甲和乙的概率．第17题第18题22．如图，一次函数1y k x b +＝ 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数2k y x= 的图象分别交于C D ，两点, 点(2,4)C ，点B 坐标为(0,2) ． （1）求一次函数1y k x b +＝与反比例函数2k y x=的解析式； （2）求COD ∆的面积．23．(2016﹒沈阳)如图，在C ∆AB 中，以AB 为直径的O e 分别与,BC AC 相交于点,D E ，BD CD ＝，过点D 作O e 的切线交边AC 于点F ． （1）求证：DF AC ⊥；（2）若O e 的半径为5，30CDF ∠︒＝，求»BD的长（结果保留π）．24．教室内的饮水机接通电源进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（分钟）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．如图为在水温为30℃时，接通电源后，水温(y ℃） 和时间x （分钟）的关系如图．（1）填空：a = ，并结合函数图象，求出水温上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系式； （2）饮水机有多少时间能使水温保持在70℃及以上？（3）若饮水机早上已加满水，开机温度是30℃，为了能在8：30下课时能喝到不超过50℃的开水，并节约能源，请求出当它上午什么时间点接通电源比较合适？25．如图，在平面直角坐标系xoy 中(+10(0,)(0)A m B m m >，）、，以AB 为直径的P e 经过原点O ，点 C 为P e 上一动点.（1）若点C 在第一象限，过点C 作CD y ⊥轴，垂足为D ，连接BC AC 、，且BCD BAC ∠∠＝， ①求证：CD 与P e 相切； ②当3m =时，求线段BC 的长；（2）若点C 是¼AOB 的中点，试问随着m 的变化点C 的坐标是否发生变化，若不变，求出点C 的坐标；若变化，请说明理由．26．如图，已知双曲线2y x=和直线2y x =-+，P 是双曲线第一象限上一动点，过P 作y 轴的平行线，交直线于Q 点，O 为坐标原点．（1）求直线2y x =-+与坐标轴围成三角形的周长； （2）设PQO ∆的面积为S ，求S 的最小值．（3）设定点(2,2)R ，以点P 为圆心，PR 为半径画P ⊙，设P ⊙与直线2y x =-+交于M N 、两点，①判断点Q 与P ⊙的位置关系，并说明理由； ②求MON PMN S S ∆∆=时的P 点坐标．。
湖南师大附中星城实验中学2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)
湖南师大附中星城实验中学2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列四个数：−2，1，−√3，π，其中最小的数是()A. −2B. 1C. −√3D. π2.下列运算正确的是()A. (2a2)2=2a4B. 6a8÷3a2=2a4C. 2a2⋅a=2a3D. 3a2−2a2=13.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是()A. B. C. D.4.将A，B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：下面有三个推断：①投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767．②随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750．③投篮达到200次时，B运动员投中次数一定为160次．其中合理的是()A. ①B. ②C. ①③D. ②③5.已知关于x的一元二次方程x2−2x+m−1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A. m≤2B. m≤0C. m<0D. m<26.毕业前期，某班的全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张．设某班共有x名学生，那么所列方程为()A. 12x(x+1)=1980 B. 12x(x−1)=1980C. x(x+1)=1980D. x(x−1)=19807.设A(−2,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是抛物线y=−(x+1)2上的三点，y1，y2，y3的大小关系为()A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y3>y2>y1D. y3>y1>y28.如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1=55°时，∠2的度数为()A. 25°B. 35°C. 45°D.55°9.如图，AB是⊙O直径，∠AOC=120°，则∠D=()．A. 60°B. 45°C. 30°D. 20°10.如图，把△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，且∠C′AC=60°，则∠BAB′=()A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°11.如图所示，点A，B，C，D在⊙O上，CD是直径，∠ABD=75°，则∠AOC的度数为()A. 15°B. 25°C. 30°D. 35°12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc>0; ②b−a>c; ③4a+2b+c>0; ④3a>−c; ⑤a+b>m(am+b)(m≠1,m为实数).其中结论正确的有()A. ① ② ③B. ② ③ ⑤C. ② ③ ④D. ③ ④ ⑤二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.分解因式：16m3−mn2=______．14.“打开电视机，正在播放的是足球比赛”，这是______事件(填“随机”或“确定”)．15.知点A(−3,b)与点B(a,2)关于原点对称，则a+b=_______．16.若圆的半径是10cm，则圆心角为40°的扇形的面积是______ cm2．17.已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角是120°，则它的底面圆半径为______．18.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，△CA′B′是由△ABC绕顶点C旋转得到的，且A、C、B′三点在同一直线上，AC=3，BC=5，则A′B=___________．三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）)−119.计算：|−2|−20180+(12，其中a=√3+1，b=√3−1．20.先化简，再求值：(a2b+ab)÷a2+2a+1a+121.为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图.请根据图表信息解答下列问题：组别分数段(分)频数频率A组60≤x<70300.1B组70≤x<8090nC组80≤x<90m0.4D组90≤x≤100600.2(1)在表中：m=，n=;(2)补全频数分布直方图;(3)小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在组;(4)4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，恰好抽中A、C两组学生的概率是多少⋅列表或画树状图说明．22.如图，在⊙O中，直径AB=10，弦BC=8，AD⏜=BD⏜，连接CD．(1)求∠ACD的度数；(2)求AC，AD的长．23.某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．(1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元．(2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？24.如图，已知△AB C是等腰三角形，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点E，作DF⊥AC于点F．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积；(3)若AB=AC=6，BC=4，求EF的长度．25.如图，在平面直角坐标系中，把抛物线y=x2先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线y=(x−ℎ)2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为M．(1)写出h、k的值及点A、B的坐标；(2)判断△BCM的形状，并计算其面积；(3)点P是抛物线上的一动点，在y轴上存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形，求点P的坐标．26.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，B(0,−√3)，C(2,0)，其对称轴与x轴交于点D．(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；PB+PD的最小值为；(2)若P为y轴上的一个动点，连接PD，则12(3)M(s,t)为抛物线对称轴上的一个动点．①若平面内存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有5个；②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．解：根据实数比较大小的方法，可得−2<−√3<1<π，∴四个数：−2，1，−√3，π，其中最小的数是−2．故选：A．2.答案：C解析：此题考查的是整式的相关运算，涉及的知识点有幂的乘方与积的乘方、整式除法、单项式乘单项式，合并同类项，解决此题运用相关的运算法则逐一计算即可得出结论．解：A.(2a2)2=4a4，故选项A错误；B.6a8÷3a2=2a6，故选项B错误；C.2a2⋅a=2a3，故选项C正确；D.3a2−2a2=a2，故选项D错误．故选C．3.答案：A解析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，此选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，此选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．此选项不符合题意．故选A．4.答案：B解析：此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定.大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得．解：①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，投篮30次，次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理；②随着投篮次数增加，A运动员投中的频率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理；③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮200次时，只能估计投中160次，而不能确定一定是160次，故③不合理；故选：B．5.答案：D解析：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根，利用判别式的意义得到△=(−2)2−4(m−1)>0，然后解不等式即可．解：根据题意得△=(−2)2−4(m−1)>0，解得m<2．故选D．6.答案：D解析：此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x−1张贺卡，有x个人是解决问题的关键．根据题意得：每人要赠送(x−1)张贺卡，有x个人，然后根据题意可列出方程：(x−1)x=1980．解：根据题意得：每人要赠送(x−1)张贺卡，有x个人，∴全班共送：(x−1)x=1980，故选D．7.答案：A解析：本题考查二次函数的性质：开口向下的二次函数上的点，越靠近对称轴的值越大．先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=−1，然后比较三个点离直线x=−1的远近得到y1、y2、y3的大小关系．解：∵二次函数的解析式为y=−(x+1)2，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵A(−2,y1)、B(1,y2)、C(2,y3)，∴点C离直线x=−1最远，点A离直线x=−1最近，抛物线开口向下，∴y1>y2>y3．故选A．8.答案：B解析：解：∵∠1=55°，∴∠3=90°−55°=35°．∵直尺的两边互相平行，∴∠2=∠3=35°．故选：B．先根据余角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．9.答案：C解析：解：∵∠AOC=120°，∴∠BOC=180°−∠AOC=60°，∠BOC=30°．∴∠BDC=12根据邻补角的性质求得∠BOC的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求得∠BDC的度数．此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10.答案：D解析：解：∵把△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，且∠C′AC=60°，∴∠CAC′=∠BAB′=60°故选：D．由旋转的性质可直接得到∠BAB′的度数．本题考查了旋转的性质，熟练掌握对应点和旋转中心所成角是旋转角是本题的关键．11.答案：C解析：此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．由CD是直径，∠ABD=75°，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得∠DCA的度数，即可求得∠AOC的度数．解：连接AC，∵∠ABD=75°，∴∠DCA=75°，∵OA=OC，∴∠AOC=180°−2×75°=30°，故选C．12.答案：B解析：本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：由题图可知，该抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴a<0，c>0．>0，∴b>0，抛物线的对称轴在y轴的右侧，故−b2a∴abc<0，故 ①中的结论错误．由题图可知，当x=−1时，y=a−b+c<0，∴b−a>c，故 ②中的结论正确．当x=2时，y=4a+2b+c>0，故 ③中的结论正确．∵−b=1，∴b=−2a，∴b−a>c可变式为−2a−a>c，∴3a<−c，故 ④中的结论错误.由题2a图可知，当x=1时，y取得最大值，故当m≠1时，有a+b+c>am2+bm+c，即a+b>m(am+b)，故 ⑤中的结论正确．故选B．13.答案：m(4m+n)(4m−n)解析：解：16m3−mn2=m(16m2−n2)=m(4m+n)(4m−n)．故答案为：m(4m+n)(4m−n)．直接提取公因式m，再利用平方差公式分解因式得出答案．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键．14.答案：随机解析：本题考查的是理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．解：打开电视机，正在播放足球比赛是随机事件，故答案为：随机．15.答案：1解析：此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．解：平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，所以得到a=3，b=−2，故a+b=1．故答案为：1．16.答案：100π9解析：本题主要考查扇形的面积计算公式，属于基础题．本题已知了扇形圆心角的度数和半径的长，可根据扇形的面积公式直接求出其面积．解：S=40π×100360=100π9(cm2).故答案为100π9．17.答案：4解析：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的，然后解关弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr=120⋅π⋅12180于r的方程即可．解：设圆锥的底面圆的半径为r，∵圆锥底面周长=展开后扇形的弧长，∴2πr=120π×12，180解之得r=4，∴圆锥的底面圆的半径为4．故答案为4．18.答案：2解析：本题考查的是图形旋转的性质，即①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．根据旋转的性质得出AC=CA′，BC=CB′，进而得出CA′=3，即可得出答案．解：∵△CA′B′是由△ABC绕顶点C旋转得到的，∴AC=CA′，BC=CB′，∵AC=3，BC=5，∴CA′=3，∴A′B=BC−A′C=5−3=2．故答案为2．19.答案：解：原式=2−1+2=3．解析：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质进而化简得出答案．20.答案：解：原式=ab(a+1)÷(a+1)2a+1=ab(a+1)÷(a+1)=ab，则当a=√3+1，b=√3−1时，原式=(√3+1)(√3−1)=3−1=2．解析：首先把分式进行化简，然后计算分式的除法，最后代入a、b的值计算即可．本题考查了分式的化简求值，解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式．21.答案：解：(1)120，0.3；(2)补全频数分布直方图如下：(3)C；(4)画树状图如下：∴共有12种等可能的结果，其中抽中A、C两组学生的结果有2种，∴P(抽中A、C两组学生)=212=16．解析：【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查列表法或画树状图法求概率．(1)先根据A组频数及其频率求得总人数，再根据频率=频数÷总人数可得m、n的值；(2)根据(1)中所求结果即可补全频数分布直方图；(3)根据中位数的定义即可求解；(4)画树状图列出所有等可能结果，再找到抽中A、C的结果，根据概率公式求解可得．解：(1)∵本次调查的总人数为30÷0.1=300(人)，∴m=300×0.4=120，n=90÷300=0.3，故答案为120，0.3；(2)见答案；(3)由于共有300个数据，则其中位数为第150、151个数据的平均数，而第150、151个数据的平均数均落在C组，∴据此推断他的成绩在C组，故答案为C；(4)见答案．22.答案：解：(1)∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AD⏜=BD⏜，∠ACB=45°；∴∠ACD=∠BCD=12(2)∵在Rt△ABC中，AB=10，BC=8，∴AC=6，∵AD⏜=BD⏜，∴∠DAB=∠DBA，∵在Rt△ABD中，∠CAB=∠CBA=45°，AB=10，∴AD=5√2．解析：本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半及半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．∠ACB，可得答案；(1)由AB是直径知∠ACB=90°，根据AD⏜=BD⏜得∠ACD=∠BCD=12(2)Rt△ABC中根据勾股定理可得AC=6，由AD⏜=BD⏜知∠DAB=∠DBA=45°，根据AB=10可得答案．23.答案：解：(1)每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则{x +3y =962x +y =62， 解得{x =18y =26.， 答：每辆A 型车的售价为18万元，每辆B 型车的售价为26万元；(2)设购买A 型车a 辆，则购买B 型车(6−a)辆，则依题意得18a +26(6−a)≥130，解得a ≤314∴2≤a ≤314． a 是正整数，∴a =2或a =3．共有两种方案：方案一：购买2辆A 型车和4辆B 型车；方案二：购买3辆A 型车和3辆B 型车；解析：(1)每辆A 型车和B 型车的售价分别是x 万元、y 万元．构建方程组即可解决问题；(2)设购买A 型车a 辆，则购买B 型车(6−a)辆，则依题意得18a +26(6−a)≥130，求出整数解即可；本题考查一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24.答案：(1)证明：连接AD 、OD ，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°．∵AB=AC，∴BD=CD．∴OD是△ABC的中位线．∴OD//AC．∵DF⊥AC，∴DF⊥OD．∴DF是⊙O的切线；(2)解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O的半径为3，∴S扇形AOB =90π×32360=94π，S△AOE=12×3×3=92．∴S阴影=S扇形AOB−S△AOE=94π−92．答：阴影部分的面积是94π−92；(3)如图示，连结AD，BE．∵AD⊥BC，DF⊥AC，∠ABD=∠C，∴△CDF∽△BAD，∴ABDC =BDCF，∵AB=6，BC=4，CD=BD=2，∴CF=23，∵BE⊥AC，DF⊥AC，即DF//BE，∴△CDF∽△CBE，∴CDCB =CFCE=1，∴EF=CF=23．解析：本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理、扇形的面积与三角形的面积公式等.作出适当的辅助线，利用切线性质和三角形内角和定理，数形结合是解答此题的关键．(1)连接AD、OD，易得∠ADB=90°.由AB=AC，易得BD=CD.得OD是△ABC的中位线，结合DF⊥AC，即可得出结论；(2)连接OE，利用(1)的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论；(3)连结AD，BE，根据相似三角形的判定和性质即可求得EF的长．25.答案：解：(1)抛物线y=x2先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线y= (x−1)2−4，故ℎ=1，k=−4，y=(x−1)2−4=x2−2x−3，令y=0，则x=3或−1，即点A、B的坐标分别为(−1,0)、(3,0)；(2)点M的坐标为(1,−4)，则BC=3√2，CM=√2，BM=√20，故MB2=BC2+CM2，故为直角三角形，其面积等于12×CM×BC=12×3√2×3√2=3；(3)①当AB是平行四边形的一条边时，即PQ=AB=4，即x=±4，把x=±4代入函数表达式得：y=5或21，故点P(4,5)或(−4,21)；②当AB是平行四边形的对角线时，设点P的横坐标为m，点Q的坐标为(0,n)，则AB的中点即为PQ的中点，则m+0=3−1，解得：m=2，故点P(2,−3)；综上，点P的坐标为P(4,5)或(−4,21)或(2,−3)．解析：解：(1)抛物线y=x2先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线y= (x−1)2−4，故ℎ=1，k=−4，y=(x−1)2−4=x2−2x−3，令y=0，则x=3或−1，即点A、B的坐标分别为(−1,0)、(3,0)；(2)点M的坐标为(1,−4)，则BC=3√2，CM=√2，BM=√20，故MB2=BC2+CM2，故为直角三角形，其面积等于12×CM×BC=12×3√2×3√2=3；(3)①当AB是平行四边形的一条边时，即PQ=AB=4，即x=±4，把x=±4代入函数表达式得：y=5或21，故点P(4,5)或(−4,21)；②当AB是平行四边形的对角线时，设点P的横坐标为m，点Q的坐标为(0,n)，则AB的中点即为PQ的中点，则m+0=3−1，解得：m=2，故点P(2,−3)；综上，点P的坐标为P(4,5)或(−4,21)或(2,−3)．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、点的平移、中点的性质、面积的计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．26.答案：解：(1)(1)由题意{a−b+c=0 c=−√34a+2b+c=0解得{a−b+c=0c=−√34a+2b+c=0，∴抛物线解析式为y=√32x2−√32x−√3，∵y=√32x2−√32x−√3=√32(x−12)2−9√38，∴顶点坐标(12,−9√38).(2)3√34；(3)①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，故答案为5．②如图，Rt△AOB中，∵tan∠ABO =OA OB =√33， ∴∠ABO =30°， 作AB 的中垂线与y 轴交于点E ，连接EA ，则∠AEB =120°，以E 为圆心，EB 为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F 、G ．则∠AFB =∠AGB =60°，从而线段FG 上的点满足题意，∵EB =AB 2cos30°=2√33， ∴OE =OB −EB =√33， ∵F(12,t)，EF 2=EB 2，∴(12)2+(t +√33)2=(2√33)2， 解得t =−2√3+√396或−2√3−√396， 故F (12,−2√3+√396)，G(12,−2√3−√396)， ∴t 的取值范围−2√3−√396≤t ≤−2√3+√396．解析：本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题，学会添加辅助线，构造圆解决角度问题，属于中考压轴题．(1)利用待定系数法转化为解方程组解决问题．(2)如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时12PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．(3)①先在对称轴上寻找满足△ABM是等腰三角形的点M，由此即可解决问题．②作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G.则∠AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点满足题意，求出F、G的坐标即可解决问题．解：(1)见答案(2)如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时12PB+PD最小．理由：∵OA=1，OB=√3，∴tan∠ABO=OAOB =√33，∴∠ABO=30°，∴PH=12PB，∴12PB+PD=PH+PD=DH，∴此时12PB+PD最短(垂线段最短)．在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=32，∠HAD=60°，∴sin60°=DHAD，∴DH=3√34，∴12PB+PD的最小值为3√34．故答案为3√3．4 (3)见答案．。
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湖南师大附中博才实验中学 2019—2020 学年度
第一学期第二次月考试题卷·数学模拟试卷
时 量：120 分钟 满 分：120 分
一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 3 分，满分 36 分）
1. 湖南师大附中博才实验中学梅溪湖校区于 2018 年秋季正式揭牌开学，校区位于麓云路和映日路交汇处西北角，规划用地面积约为 62000m 2，净用地面积约为 51000m 2，总建筑面积 35819.6m 2，办学规模 54 个班。
62000 用科学记数法表示为（ ）
A ．6.2×10﹣4
B ．6.2×104
C ．﹣6.2×104
D ．0.62×104
2. 下列运算正确的是（
） A ．a 2•a 3=a 6
B ．a 3+a 2=a 5
C ．（a 2）4=a 8
D ．a 3﹣a 2=a 3. 下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（
） A
．
B
． C
． D ． 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，将点 N （﹣1，﹣2）绕点 O 旋转 180°，得到的对应点的坐标是（ ）
A ．（1，2）
B ．（﹣1，2）
C ．（﹣1，﹣2）
D ．（1，﹣2）
5. 对下列生活现象的解释其数学原理运用错．误．
的是（ ） A ．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
B ．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连 接的所有线段中，垂线段最短”的原理
C ．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理
D ．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理
6. 已知α、β是一元二次方程 x 2﹣2x ﹣3＝0 的两个根，则α+β的值是（
） A ．2 B ．﹣2 C ．3 D ．﹣3
7. 如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 交于点 O ，E 为 AD 边中点，OE 的长等于 4，
则菱形 ABCD 的周长为（
） A ．16 B ．20 C ．24 D ．32 图 1
8. 随机抽查某商场四月份 5 天的营业额分别如下（单位：万元）3.4，2.9，3.0，3.1，2.6，试估计这个商场四月份的营业额约是（
） A ．3 万元 B ．15 万元
C ．90 万元
D ．450 万元
9. 点 M （﹣3，y 1），N （﹣2，y 2）是抛物线 y ＝﹣（x +1）2+3 上的两点，则下列大小关系正确的是（
）
A ．y 1＜y 2＜3
B ．3＜y 1＜y 2
C ．y 2＜y 1＜3
D ．3＜y 2＜y 1
2 10. 如图，在△ABC 中，AB =8，AC =6，∠BAC =30°，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△AB 1C 1，连接 BC 1，则 BC 1 的长为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
图 2 图 3 图 4 11. 《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今 仍在
推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道 长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 1 寸（ED =1 寸），锯道长 1 尺（AB =1 尺=10 寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图 6 所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径 AC 是（ ）
A ．13 寸
B ．20 寸
C ．26 寸
D ．28 寸
12.如图 4：二次函数 y ＝ax 2+bx +c 的图象所示，下列结论中：①abc ＞0；②2a +b ＝0；③当 m ≠1 时，a +b
＞am 2+bm ；④a ﹣b +c ＞0；⑤若 ax 12+bx 1＝ax 2 +bx 2，且 x 1≠x 2，则 x 1+x 2＝2，正确的个数为（ ）
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
13. 在平面直角坐标系中，点 P （- 4,2）与 P 1 关于原点对称，则 P 1 的坐标是
14.若二次函数 y ＝ax 2﹣bx +5（a ≠5）的图象与 x 轴交于（1，0），则 b ﹣a +2015 的值是 ．
15.如图 5，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 150°，得到△ADE ，这时点 B ，C ，D 恰好在同一直线上，则 ∠B 的度数为 ． 图 5 图 6 图 7 图 8
16.如图 6，在矩形 ABCD 中，AD =3，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转，得到矩形 AEFG ，点 B 的对应点 E 落在 CD 上，且 DE =EF ，则 AB 的长为 ．
17. 如图 7，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点 O ，A ，B ，C 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点 O 为原点建立直角坐标系，则过 A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为 ．
18.如图 8，在 Rt △ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到△A'B'C ，M 是 BC 的中点， P 是 A'B'的中点，连接 PM ．若 BC=2，∠BAC=30°，则线段 PM 的最大值是
三．解答题（共 8 小题）
21.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是 A （1,1）
B （4,1），
C （3,3）.
（1）将△ABC 向下平移 5 个单位后得到△A 1B 1C 1；
（2）将△ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°后得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2；
（3）判断以 O ，A 1，B 为顶点的三角形的形状，并说明理由。
22. 在平面直角坐标系中，四边形 AOBC 是矩形，点 O （0，0），点 A （5，0），点 B （0，3）．以点 A 为中心，顺时针旋转矩形 AOBC ，得到矩形 ADEF ，点 O ，B ，C 的对应点分别为 D ，E ，F ．
（1）如图①，当点 D 落在 BC 边上时，求点 D 的坐标；
（2）如图②，当点 D 落在线段 BE 上时，AD 与 BC 交于点 H ．
①求证△ADB ≌△AOB ； ②求点 H 的坐标． 23. 我校需要添置教师办公桌椅 A 、B 两型共 200 套，已知 2 套 A 型桌椅和 1 套 B 型桌椅共需 2000 元，1 套 A 型桌椅和 3 套 B 型桌椅共需 3000 元．
（1）求 A ，B 两型桌椅的单价；
（2）若需要 A 型桌椅不少于 120 套，B 型桌椅不少于 70 套，平均每套桌椅需要运费 10 元．设购买 A 型桌
椅 x 套时，总费用为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式，并求出总费用最少的购置方案。
24. 已知，如图，矩形 ABCD 中，AD=6，DC=7，菱形 EFGH 的三个顶点 E ，G ，H 分别在矩形 ABCD 的边 AB ，CD ，DA 上，AH=2，连接 CF ．
（1）若 DG=2，求证四边形 EFGH 为正方形；
（2）若 DG=6，求△FCG 的面积；
（3）当 DG 为何值时，△FCG 的面积最小．
25.我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”
（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“十字形”的有．（2）如图1，在四边形ABCD 中，AB＝AD，且CB＝CD
①证明：四边形ABCD 是“十字形”；
②若AB＝2．∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，求四边形ABCD 的面积．
（3）如图2．A、B、C、D 是半径为1 的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E，若∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD．满足AC+BD＝3，求线段OE 的取值范围．
26.如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y =-x+n 与x 轴、y 轴分别交于B、C 两点，抛
物线y =ax2 +bx + 3(a ≠ 0) 过C、B 两点，交x 轴于另一点A，连接AC，且
OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 是射线CB 上一个动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，设P 点横坐标为t，线段PQ 的长为d，求出d 与t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当点P 在线段BC 上时，设PH=e，已知d，e 是以y 为未知数的一元二次方程：
y 2 - (m + 3) y +1
(5m2 - 2m +13) = 0 （m 为常数）的两个实数根，点M 在抛物线上，连接MQ、MH、4
PM，且MP 平分∠QMH，求出t 值及点M 的坐标．。