九年级数学第二次月考试卷附部分答案
九年级数学上第二次月考试题附答案
新人教九年级数学上第二次月考试题班级 姓名 学号 成绩一、选择题(每小题3分，共33分) 1、在式子ba ba a x m +-+,2,4,5.0,31,182中，是最简二次根式的式子有（ ）个 A 、2B 、3C 、1D 、02、在平面直角坐标系中，点P （-2，3）关于原点对称的点在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限3、已知a 、b 、c 是ΔABC 三边长且方程0)(2)(2=-+-+-b a x a b x b c 有两相等的实数根，则这个三角形是（ ）A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、不等边三角形D 、直角三角形 4、在半径等于5cm 的圆内有长为35cm 的弦，则此弦所对的圆周角为（ ）A 、60º或120º B. 30º或120º C. 60º D. 120º 5、如图，⊙O 的半径为５，弦ＡＢ的长为８，Ｍ是弦ＡＢ上的动点，则线段ＯＭ长的最小值为（ ） Ａ、２ Ｂ、３ Ｃ、４ Ｄ、５6、AB 是⊙O 的弦，∠AOB =80︒，则AB 所对的圆周角是（ ）A ．40︒B ．40︒ 或140︒C ．20︒D ．80︒或100︒7．如图, ⊙O 的半径OA=6, 以A 为圆心,OA 为半径的弧交⊙O于B 、C 两点, 则BC= ( ) A. 36B. 26C. 33D. 238．如图，ABC △内接于⊙O ，30C ∠=，2AB =，则⊙O 的半径为（ ） AB ．2 C． D ．49.按下列程序计算，最后输出的答案是（ ）A.3aB.21a + C.2a D.a10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，若∠BOD=100， 则∠DAB 的度数为（ ）A ．50B ．80C ．100； D ．13011．如图是每个面上都标有一个汉字的正方体的平面展开图， 在此正方体上与“水”字相对的面上的汉字是（ ） A ．“秀”B ．“丽”C ．“江”D ．“城”二、填空题(每小题3分，共21分)1． 若圆的半径为2cm ，圆中一条弦长为23cm ，则此弦中点到此弦所对劣弧的中点的距离为________.2、如图A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是°3、如图，⊙O的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长为________cm；4、在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油面宽8AB m=，那么油的最大深度是_______m.5、如图，在⊙O 中，弦 1.8AB cm=，圆周角30ACB∠=︒，则⊙O的直径等于________cm．6、如图，AB为半圆O的直径，C、D是上的三等分点，若⊙O的半径为1，E为线段AB上任意一点，计算图中阴影部分的面积为________．7．如图，一块等腰直角的三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A B C''的位置，使A C B'，，三点共线，那么旋转角度的大小为三、解答题(每小题6分，共18分)1、如图，⊙O是ABC△的外接圆，且1324AB AC BC===，，求⊙O的半径．2、如图，已知⊙O的半径为２，弦AB的长为２3，点C与点D分别是劣弧AB与优弧ADB 上的任一点（点Ｃ、Ｄ均不与Ａ、Ｂ重合）．（１）求∠ＡＣＢ；（２）求△ＡＢＤ的最大面积．CA''3、某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求３月份到５月份营业额的平均月增长率．四、解答题(每小题7分，共21分)1、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径.假设钢珠的直径是１２毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为９毫米，如图６所示，求这个小孔的直径ＡＢ是多少毫米？2、“便民”水泥代销点销售某种水泥，每吨进价为250元．如果每吨销售价定为290元时，平均每天可售出16吨．（1）若代销点采取降低促销的方式，试建立每吨的销售利润y（元）与每吨降低x（元）之间的函数关系式．（2）若每吨售价每降低5元，则平均每天能多售出4吨．问：每吨水泥的实际售价定为多少元时，每天的销售利润平均可达720元．3、商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商场决定提高销售价格，经调查发现，如果按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每月25元的价格销售时，每月能卖210件.若每月销售件数y（件）与价格x（元/件）满足关系式：y=Kx+b.（1）求K与b的值.（2）为了获得最大利润，商品价格应定为每件多少元？最大利润是多少元？五、(每小题9分，共27分)1、已知实数a 、b 分别满足22a 2a 2,b 2b 2+=+=．求11a b+的值.2、如图⊙O 半径为2，弦BD ＝32，A 为弧BD 的中点，E 为弦AC 的中点，且在BD 上. 求：四边形ABCD 的面积.3、如图，在等要直角三角形ABC 中，O 是斜边AC 的中点，P 是斜边AC 上的一个动点，D 为BC 上的一点，且PB=PD ，DE AC ⊥,垂足为点E .⑴求证：PE=BO⑵设AC=2a ，AP=x ，四边形PBDE 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.O P A EDBB参考答案一、1、B 2、D 3、A 4、A 5、B 6、B 7、A 8、B 9、C 10、D 11、B 二、1、1cm 2、60 3、8 4、2 5、3.6 6、61π 7、135° 三、1、连接OA,OB,⊙O 的半径是16.92、120°，333、20%四、1、36 2、y=(290-x)-250=40-x ，定价 280元 3、k=-30,b=960, 定价 24元,1920元 五、1、根据题意，a,b 是方程0222=-+x x 的实数根⑴当b a ≠时，a+b=-2,ab=2,111=+ba ⑵0222=-+x x 的实数根是,311+-=x ,312--=x当b a ==-1+3时，1311+=+b a 当b a ==-1-3时，3111-=+ba 2、323、⑴∵△ABC 为等腰直角三角形,O 为斜边 AC 的中点，∴BO ⊥AC ，BO=CO=AC ∠C=OBC=45°,DE⊥AC ，BO ⊥AC ，BO //DE ，∵PB=PD∴∠PBD=∠PDB, ∠POB=∠PED=90°,∠PBO=∠PBD-∠OBC=∠PDB=∠OBC=∠PDB-∠C=∠DPE ∴△PBO≌△DPE , ∴PE=BO⑵∵AC=2a,AP=x,∴AO=BO=PE=a,DE=PO=EC=a-x,EO=x,∴y= S PBO ∆+ S BDEO 梯形=x x a x a a )2(21)(21-+-22212121a ax x ++-=， x 取值范围0<x<a。
九年级(上)第二次月考数学试卷(含答案)
九年级（上）第二次月考数学试卷（含答案） 一、选择题1．下列关于x 的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是( )A ．x 2＋1＝0B ．x 2＋2x ＋1＝0C ．x 2＋2x ＋3＝0D ．x 2＋2x －3＝0 2．如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，2DE =，8AB =，则O 的半径为（ ）A ．5B ．8C ．3D ．103．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0＜b ）的图像与x 轴只有一个交点，下列结论：①x ＜0时，y 随x 增大而增大；②a ＋b ＋c ＜0；③关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③4．如图，OA 、OB 是⊙O 的半径，C 是⊙O 上一点．若∠OAC ＝16°，∠OBC ＝54°，则∠AOB 的大小是（ ）A ．70°B ．72°C ．74°D ．76° 5．在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，则这个三角形的内切圆的半径是( )A ．5B ．2C ．5或2D ．2或7－1 6．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，=1BC ，则sin A 的值为（ ）A ．10B ．310C ．13D ．10 7．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确．．．的是( )A ．12DE BC =B ．AD AE AB AC = C ．△ADE ∽△ABCD ．:1:2ADE ABC S S =8．下列说法中，不正确的是（ ） A ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B ．圆有无数条对称轴C ．圆的每一条直径都是它的对称轴D ．圆的对称中心是它的圆心 9．如图，已知等边△ABC 的边长为4，以AB 为直径的圆交BC 于点F ，CF 为半径作圆，D 是⊙C 上一动点，E 是BD 的中点，当AE 最大时，BD 的长为（ ）A ．23B ．25C ．4D ．610．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为（ ） A ．144（1﹣x ）2=100 B ．100（1﹣x ）2=144 C ．144（1+x ）2=100 D ．100（1+x ）2=14411．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）A ．3π+B ．3π-C ．23π-D ．223π-12．如图，如果从半径为6cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的底面半径为( )A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm13．如图所示的网格是正方形网格，则sin A 的值为（ ）A ．12B ．22C ．35D ．45 14．已知抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同，且顶点坐标为(1,3)-，它对应的函数表达式为（ ）A ．23(1)3y x =--+B ．23(1)3y x =-+C ．23(1)3y x =+-D ．23(1)3y x =-++ 15．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题16．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC ，若点A 、D 、E 在同一条直线上，∠ACD ＝70°，则∠EDC 的度数是_____．17．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是2200.5s t t =-，飞机着陆后滑行______m 才能停下来.18．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是____________．19．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，直线EF 是⊙O 的切线，B 是切点．若∠C ＝80°，∠ADB ＝54°，则∠CBF ＝____°．20．关于x 的方程（m ﹣2）x 2﹣2x +1＝0是一元二次方程，则m 满足的条件是_____.21．把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____．22．已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在二次函数2(1)1y x =-+的图象上，若121x x >>，则1y __________2y ．（填“>”“<”“=”）23．在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝35，则tanA 等于 ． 24．已知扇形的圆心角为90°，弧长等于一个半径为5cm 的圆的周长，用这个扇形恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．则该圆锥的高为__________cm ．25．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径2r cm =，扇形的圆心角120θ=，则该圆锥的母线长l 为___cm ．26．已知一个圆锥底面圆的半径为6cm ，高为8cm ，则圆锥的侧面积为_____cm 2．（结果保留π）27．如图，五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， AF 是⊙O 的直径，则∠ BDF 的度数是___________°．28．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是_________ ．29．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_______米．30．若二次函数24y x x =-的图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图像的其余部分保持不变，翻折后的图像与原图像x 轴上方的部分组成一个形如“W ”的新图像，若直线y =-2x +b 与该新图像有两个交点，则实数b 的取值范围是__________ 三、解答题31．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC 的顶点及点O 都在格点上（每个小方格的顶点叫做格点）．（1）以点O 为位似中心，在网格区域内画出△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′与△ABC 位似（A ′、B ′、C ′分别为A 、B 、C 的对应点），且位似比为2：1；（2）△A ′B ′C ′的面积为 个平方单位；（3）若网格中有一格点D ′（异于点C ′），且△A ′B ′D ′的面积等于△A ′B ′C ′的面积，请在图中标出所有符合条件的点D ′．（如果这样的点D ′不止一个，请用D 1′、D 2′、…、D n ′标出）32．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB 方向匀速运动，到达点B 停止．连接DP 交AC 于点E ，以DP 为直径作⊙O 交AC 于点F ，连接DF 、PF ．（1）求证：△DPF 为等腰直角三角形；（2）若点P 的运动时间t 秒．①当t 为何值时，点E 恰好为AC 的一个三等分点；②将△EFP 沿PF 翻折，得到△QFP ，当点Q 恰好落在BC 上时，求t 的值．33．如果一个直角三角形的两条直角边的长相差2cm ，面积是242cm ，那么这个三角形的两条直角边分别是多少？34．在2017年“KFC ”篮球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第1局比赛，那么甲队获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）35．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D是AC边上一点，过点D作DE⊥BD，交AB于点E，若BD＝10，tan∠ABD＝12，cos∠DBC＝45，求DC和AB的长．四、压轴题36．如图, AB是⊙O的直径,点D、E在⊙O上,连接AE、ED、DA,连接BD并延长至点C,使得DAC AED∠=∠．（1）求证: AC是⊙O的切线；（2）若点E是BC的中点, AE与BC交于点F，①求证: CA CF=；②若⊙O的半径为3，BF=2,求AC的长．37．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，0是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与BC边交于点E、F，连接OD，已知BD=3，tan∠BOD=34，CF=83．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AC是⊙O的切线；（3）求图中两阴影部分面积的和．38．如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B，C重合），点B关于直线AP的对称点为E，连接AE，连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF（1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）.（2）求证：BF DF ⊥.（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并证明.39．如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝23．点P ，Q 分别是BC ，AD 边上的一个动点，连结BQ ，以P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 交线段BQ 于点E ，连结PD ． （1）若DQ ＝3且四边形BPDQ 是平行四边形时，求出⊙P 的弦BE 的长；（2）在点P ，Q 运动的过程中，当四边形BPDQ 是菱形时，求出⊙P 的弦BE 的长，并计算此时菱形与圆重叠部分的面积．40．如图，抛物线y ＝﹣(x +1)(x ﹣3)与x 轴分别交于点A 、B (点A 在B 的右侧)，与y 轴交于点C ，⊙P 是△ABC 的外接圆．(1)直接写出点A 、B 、C 的坐标及抛物线的对称轴；(2)求⊙P 的半径；(3)点D 在抛物线的对称轴上，且∠BDC ＞90°，求点D 纵坐标的取值范围；(4)E 是线段CO 上的一个动点，将线段AE 绕点A 逆时针旋转45°得线段AF ，求线段OF 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．【详解】A、△=0-4×1×1=-4<0，没有实数根；B、△=22-4×1×1=0，有两个相等的实数根；C、△=22-4×1×3=-8<0，没有实数根；D、△=22-4×1×（-3）=16>0，有两个不相等的实数根，故选D．【点睛】本题考查了根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．2．A解析：A【解析】【分析】作辅助线，连接OA，根据垂径定理得出AE=BE=4，设圆的半径为r，再利用勾股定理求解即可.【详解】解：如图，连接OA，设圆的半径为r，则OE=r-2，,∵弦AB CD∴AE=BE=4，由勾股定理得出：()22242r r =+-，解得：r=5，故答案为：A.【点睛】本题考查的知识点主要是垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断或解答. 3．C解析：C【解析】【分析】①根据对称轴及增减性进行判断；②根据函数在x=1处的函数值判断；③利用抛物线与直线y=-2有两个交点进行判断．【详解】解：∵a ＜0＜b ，∴二次函数的对称轴为x=2b a ->0，在y 轴右边，且开口向下， ∴x ＜0时，y 随x 增大而增大；故①正确；根据二次函数的系数，可得图像大致如下，由于对称轴x=2b a-的值未知， ∴当x=1时，y=a+b+c 的值无法判断，故②不正确；由图像可知，y=＝ax 2＋bx ＋c ≤0，∴二次函数与直线y=-2有两个不同的交点，∴方程ax 2＋bx ＋c =-2有两个不相等的实数根.故③正确.故选C.【点睛】本题考查了二次函数的图像的性质，二次函数的图像与系数的关系，二次函数与方程的关系，借助图像解决问题是关键.4．D解析：D【解析】【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠OCA=16°；∠OBC=∠OCB=54°求出∠ACB 的度数，然后根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解．【详解】解：连接OC∵OA=OC，OB=OC∴∠OAC=∠OCA=16°；∠OBC=∠OCB=54°∴∠ACB=∠OCB-∠OCA=54°-16°=38°∴∠AOB=2∠ACB=76°故选：D【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，掌握相关性质定理是本题的解题关键.5．D解析：D【解析】【分析】分AC为斜边和BC为斜边两种情况讨论.根据切线定理得过切点的半径垂直于三角形各边，利用面积法列式求半径长.【详解】第一情况：当AC为斜边时，如图，设⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F,连接OC,OA,OB,∴OD⊥AC, OE⊥BC,OF⊥AB,且OD=OE=OF=r,在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，由勾股定理得，2210=+= ,AC AB BCS S S S ,∵=++ABC AOC BOC AOB∴11112222AB BC AB OF BC OE AC OD , ∴11116868102222r r r , ∴r=2.第二情况：当BC 为斜边时，如图，设⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F,连接OC,OA,OB,∴OD ⊥BC, OE ⊥AC,OF ⊥AB,且OD=OE=OF=r,在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，由勾股定理得，2227ACBC AB , ∵=++ABC AOC BOC AOB SS S S , ∴11112222AB AC AB OF BC OD AC OE , ∴111162768272222r r r , ∴r=71- .故选：D.【点睛】本题考查了三角形内切圆半径的求法及勾股定理，依据圆的切线性质是解答此题的关键.等面积法是求高度等线段长的常用手段.6．A解析：A【解析】【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据正弦的定义解答即可.【详解】解：在Rt ABC ∆中，∵90C ∠=︒，3AC =，=1BC ，∴AB=∴sin10BCAAB===.故选：A.【点睛】本题考查了勾股定理和正弦的定义，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键. 7．D解析：D【解析】∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=12BC，∴△ADE∽△ABC，AD AEAB AC=，∴21()4ADEABCS DES BC==.由此可知：A、B、C三个选项中的结论正确，D选项中结论错误.故选D.8．C解析：C【解析】【分析】圆有无数条对称轴，但圆的对称轴是直线，故C圆的每一条直线都是它的对称轴的说法是错误的【详解】本题不正确的选C，理由：圆有无数条对称轴，其对称轴都是直线，故任何一条直径都是它的对称轴的说法是错误的，正确的说法应该是圆有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴故选C【点睛】此题主要考察对称轴图形和中心对称图形，难度不大9．B解析：B【解析】【分析】点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE过F，根据等腰三角形的性质和圆周角定理证得F是BC的中点，从而得到EF为△BCD的中位线，根据平行线的性质证得CD⊥BC，根据勾股定理即可求得结论．【详解】解：点D在⊙C上运动时，点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE过F，连接CD，∵△ABC是等边三角形，AB是直径，∴EF⊥BC，∴F是BC的中点，∵E为BD的中点，∴EF为△BCD的中位线，∴CD∥EF，∴CD⊥BC，BC=4，CD=2，故2216425BC CD+=+=故选：B．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，圆周角定理，三角形中位线的性质以及勾股定理，熟练并正确的作出辅助圆是解题的关键．10．D解析：D【解析】试题分析：2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．解：2012年的产量为100（1+x），2013年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，即所列的方程为100（1+x）2=144，故选D．点评：考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键．11．D解析：D【解析】【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【详解】过A作AD⊥BC于D，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD ⊥BC ，∴BD=CD=1，33∴△ABC 的面积为12BC•AD=1232⨯3 S 扇形BAC =2602360π⨯=23π， ∴莱洛三角形的面积S=3×23π﹣3﹣3， 故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键． 12．B解析：B【解析】【分析】因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，首先求得留下的扇形的弧长，利用勾股定理求圆锥的高即可.【详解】解：∵从半径为6cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形， ∴剩下的扇形的角度=360°×23=240°， ∴留下的扇形的弧长=24061880ππ⨯=， ∴圆锥的底面半径248r ππ==cm ； 故选：B.【点睛】此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 13．C【解析】 【分析】 设正方形网格中的小正方形的边长为1，连接格点BC ，AD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：设正方形网格中的小正方形的边长为1，连接格点BC ，AD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，∵224225AC BC =+==，BC ＝22，AD ＝2232AC CD +=， ∵S △ABC ＝12AB •CE ＝12BC •AD ， ∴CE ＝22326525BC AD AB ⨯==， ∴6535525CE A sin CAB C ∠==＝， 故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的问题，掌握解直角三角形的方法以及锐角三角函数的定义是解题的关键．14．D解析：D【解析】【分析】先根据抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同，确定出二次项系数a 的值，然后再通过顶点坐标即可得出抛物线的表达式．【详解】∵抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同， 3a ∴=-∵顶点坐标为(1,3)-∴抛物线的表达式为23(1)3y x =-++故选：D ．本题主要考查抛物线的顶点式，掌握二次函数表达式中的顶点式是解题的关键．15．B解析：B【解析】【分析】【详解】解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选B．考点：二次函数图象与系数的关系二、填空题16．115°【解析】【分析】根据∠EDC＝180°﹣∠E﹣∠DCE，想办法求出∠E，∠DCE即可．【详解】由题意可知：CA＝CE，∠ACE＝90°，∴∠E＝∠CAE＝45°，∵∠ACD＝7解析：115°【解析】根据∠EDC ＝180°﹣∠E ﹣∠DCE ，想办法求出∠E ，∠DCE 即可．【详解】由题意可知：CA ＝CE ，∠ACE ＝90°，∴∠E ＝∠CAE ＝45°，∵∠ACD ＝70°，∴∠DCE ＝20°，∴∠EDC ＝180°﹣∠E ﹣∠DCE ＝180°﹣45°﹣20°＝115°，故答案为115°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，问题，属于中考常考题型．17．200【解析】【分析】要求飞机从滑行到停止的路程就，即求出函数的最大值即可.【详解】解：所以当t=20时，该函数有最大值200.故答案为200.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用解析：200【解析】【分析】要求飞机从滑行到停止的路程就，即求出函数的最大值即可.【详解】解：()()222200.50.5404002000.520200s t t t t t =-=--++=--+ 所以当t=20时，该函数有最大值200.故答案为200.本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键.18．15π．【解析】【分析】根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解析：15π．【解析】【分析】根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【详解】解：根据题意得圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，所以这个圆锥的侧面积=12×5×2π×3=15π．【点睛】本题考查圆锥侧面积的计算，掌握公式，准确计算是本题的解题关键.19．46°【解析】【分析】连接OB，OC，根据切线的性质可知∠OBF=90°，根据AD∥BC，可得∠DBC=∠AD B＝54°，然后利用三角形内角和求得∠BDC=46°，然后利用同弧所对的圆心角是圆解析：46°【解析】【分析】连接OB，OC，根据切线的性质可知∠OBF=90°，根据AD∥BC，可得∠DBC=∠ADB＝54°，然后利用三角形内角和求得∠BDC=46°，然后利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求得∠BOC=92°，然后利用等腰三角形的性质求得∠OBC的度数，从而使问题得解.【详解】解：连接OB，OC，∵直线EF是⊙O的切线，B是切点∴∠OBF=90°∵AD∥BC∴∠DBC=∠ADB＝54°又∵∠D CB＝80°∴∠BDC=180°-∠DBC -∠D C B=46°∴∠BOC=2∠BDC =92°又∵OB=OC∴∠OBC=1(18092)44 2-=∴∠CBF＝∠OBF-∠OBC=90-44=46°故答案为：46°【点睛】本题考查切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据题意添加辅助线正确推理论证是本题的解题关键.20．【解析】【分析】根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可.【详解】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，∴m-2≠0,∴m≠解析：2m≠【解析】【分析】根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可.【详解】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，∴m-2≠0,∴m≠2.故答案为：m≠2.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，满足二次项系数不为0是解答此题的关键.21．【解析】【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．【详解】如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，∵AB∥EF，∴△ABC∽△解析：1 6【解析】【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．【详解】如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，∵AB∥EF，∴△ABC∽△FEC∴ABEF＝BCCE，∴12＝x1x解得x＝13，∴阴影部分面积为：S△ABC＝12×13×1＝16，故答案为：16．【点睛】本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答.22．【解析】抛物线的对称轴为：x=1，∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.∴若x1>x2>1 时，y1>y2 .故答案为>解析：12y y >【解析】抛物线()2y x 11=-+的对称轴为：x=1，∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.∴若x 1>x 2>1 时，y 1>y 2 .故答案为> 23．.【解析】试题分析：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝，∴.∴可设.∴根据勾股定理可得.∴.考点：1.锐角三角函数定义；2.勾股定理. 解析：43. 【解析】 试题分析：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝35，∴35AC AB =. ∴可设35AC k AB k ==，.∴根据勾股定理可得4BC k =. ∴44tanA 33BC k AC k ===. 考点：1.锐角三角函数定义；2.勾股定理.24．【解析】【分析】利用弧长公式求该扇形的半径，圆锥的轴截面为等腰三角形，其中底边为10，腰为母线即扇形的半径，根据勾股定理求圆锥的高.【详解】解：设扇形半径为R ，根据弧长公式得，∴R解析：【解析】【分析】利用弧长公式求该扇形的半径，圆锥的轴截面为等腰三角形，其中底边为10，腰为母线即扇形的半径，根据勾股定理求圆锥的高.【详解】解：设扇形半径为R ，根据弧长公式得， 90=25180R∴R=20， 225515 .故答案为：【点睛】 本题考查弧长公式，及圆锥的高与母线、底面半径之间的关系，底面周长等于扇形的弧长这个等量关系和勾股定理是解答此题的关键.25．【解析】【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【详解】圆锥的底面周长cm ，设圆锥的母线长为，则： ，解得，故答案为．【点睛】本解析：【解析】【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【详解】圆锥的底面周长224ππ=⨯=cm ，设圆锥的母线长为R ，则：1204180R ππ⨯=， 解得6R =，故答案为6．【点睛】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： 180n r π． 26．60π【解析】试题分析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.由题意得圆锥的母线长∴圆锥的侧面积．考点：勾股定理，圆锥的侧面积点评：解题的关键是熟练掌握圆锥的侧解析：60π【解析】试题分析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可. 由题意得圆锥的母线长∴圆锥的侧面积． 考点：勾股定理，圆锥的侧面积点评：解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积底面半径×母线. 27．54【解析】【分析】连接AD ，根据圆周角定理得到∠ADF=90°，根据五边形的内角和得到∠ABC=∠C=108°，求得∠ABD=72°，由圆周角定理得到∠F=∠ABD=72°，求得∠FAD=1解析：54【解析】【分析】连接AD ，根据圆周角定理得到∠ADF=90°，根据五边形的内角和得到∠ABC=∠C=108°，求得∠ABD=72°，由圆周角定理得到∠F=∠ABD=72°，求得∠FAD=18°，于是得到结论．【详解】连接AD ，∵AF 是⊙O 的直径，∴∠ADF=90°，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠ABC=∠C=108°，∴∠ABD=72°，∴∠F=∠ABD=72°，∴∠FAD=18°，∴∠CDF=∠DAF=18°，∴∠BDF=36°+18°=54°，故答案为54．【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题．28．4【解析】【分析】先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．【详解】解：两位数一共有99-10+1=90个，上升数为：共8+7+6+5+4+3+2+1=36个．概率为36÷90=解析：4【解析】【分析】先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．【详解】解：两位数一共有99-10+1=90个，上升数为：共8+7+6+5+4+3+2+1=36个．概率为36÷90=0.4．故答案为：0.4．29．10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x 的值即可．【详解】解：当时，，解得，（舍去），．故答案为10．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自解析：10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度0y ＝，把实际问题可理解为当0y ＝时，求x 的值即可．【详解】解：当0y ＝时，212501233y x x =-++=， 解得，2x =-（舍去），10x =．故答案为10．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．30．【解析】【分析】当直线y=-2x+b 处于直线m 的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A ，当直线处于直线n 的位置时，此时直线与新图象有三个交点，当直线y=-2x+b 处于直线m 、n 之间时，与该新图解析：18b -<<【解析】【分析】当直线y=-2x+b 处于直线m 的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A ，当直线处于直线n 的位置时，此时直线与新图象有三个交点，当直线y=-2x+b 处于直线m 、n 之间时，与该新图象有两个公共点，即可求解．【详解】解：设y=x 2-4x 与x 轴的另外一个交点为B ，令y=0，则x=0或4，过点B （4，0）， 由函数的对称轴，二次函数y=x 2-4x 翻折后的表达式为：y=-x 2+4x ，当直线y=-2x+b处于直线m的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A，当直线处于直线n的位置时，此时直线n过点B（4，0）与新图象有三个交点，当直线y=-2x+b处于直线m、n之间时，与该新图象有两个公共点，当直线处于直线m的位置：联立y=-2x+b与y=x2-4x并整理：x2-2x-b=0，则△=4+4b=0，解得：b=-1；当直线过点B时，将点B的坐标代入直线表达式得：0=-8+b，解得：b=8，故-1＜b＜8；故答案为：-1＜b＜8．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数与x轴交点、几何变换、一次函数基本知识等内容，本题的关键是确定点A、B两个临界点，进而求解．三、解答题31．（1）详见解析；（2）10；（3）详见解析【解析】【分析】（1）依据点O为位似中心，且位似比为2：1，即可得到△A′B′C′；（2）依据割补法进行计算，即可得出△A′B′C′的面积；（3）依据△A′B′D′的面积等于△A′B′C′的面积，即可得到所有符合条件的点D′．【详解】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；（2）△A′B′C′的面积为4×6﹣12×2×4﹣12×2×4﹣12×2×6＝24﹣4﹣4﹣6＝10；故答案为：10；（3）如图所示，所有符合条件的点D′有5个．【点睛】此题主要考查位似图形的作图，解题的关键是熟知位似图形的性质及网格的特点. 32．（1）详见解析；（2）①1；51．【解析】【分析】（1）要证明三角形△DPF为等腰直角三角形，只要证明∠DFP＝90°，∠DPF＝∠PDF＝45°即可，根据直径所对的圆周角是90°和同弧所对的圆周角相等，可以证明∠DFP＝90°，∠DPF＝∠PDF＝45°，从而可以证明结论成立；（2）①根据题意，可知分两种情况，然后利用分类讨论的方法，分别计算出相应的t的值即可，注意点P从A出发到B停止，t≤4÷2＝2；②根据题意，画出相应的图形，然后利用三角形相似，勾股定理，即可求得t的值．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝45°，∵在⊙O中，DF所对的圆周角是∠DAF和∠DPF，∴∠DAF＝∠DPF，∴∠DPF＝45°，又∵DP是⊙O的直径，∴∠DFP＝90°，∴∠FDP＝∠DPF＝45°，∴△DFP是等腰直角三角形；（2）①当AE：EC＝1：2时，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，∴△DCE∽△PAE，∴DC CE=，PA AE∴42=，21t解得，t＝1；当AE：EC＝2：1时，∵AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠PAE ，∠CDE ＝∠APE ，∴△DCE ∽△PAE ， ∴DC CE PA AE =， ∴4122t =， 解得，t ＝4，∵点P 从点A 到B ，t 的最大值是4÷2＝2，∴当t ＝4时不合题意，舍去；由上可得，当t 为1时，点E 恰好为AC 的一个三等分点；②如右图所示，∵∠DPF ＝90°，∠DPF ＝∠OPF ，∴∠OPF ＝90°，∴∠DPA +∠QPB ＝90°，∵∠DPA +∠PDA ＝90°，∴∠PDA ＝∠QPB ，∵点Q 落在BC 上，∴∠DAP ＝∠B ＝90°，∴△DAP ∽△PBQ ， ∴DA DP PB PQ=， ∵DA ＝AB ＝4，AP ＝2t ，∠DAP ＝90°，∴DP＝PB ＝4﹣2t ，设PQ ＝a ，则PE ＝a ，DE ＝DP ﹣a ＝a ，∵△AEP ∽△CED ， ∴AP PE CD DE=，即24t = 解得，a， ∴PQ，∴442t =-，。
江苏省南通市2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试卷(含答案)
江苏省南通市2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分，在每小题给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的）1．下列各点中，在反比例函数的图象上的是( )4y x =A. B. C. D.(14)--，(14)-，(2)-，2(2)，-22．将抛物线向右平移2 个单位长度，再向下平移5 个单位长度，平移后的抛物线的2y x =解析式为( )A. B. C. D.2(2)5y x =+-2(2)5y x =++2(2)5y x =--2(2)5y x =-+3．如图，O 的半径为10，弦AB=16，点 M 是弦 AB 上的动点且点 M 不与点A 、B 重⊙合，则OM 的长不可能是( )A.5B.6C.8D.94．如图，等腰直角三角板ABC 的斜边AB 与量角器的直径重合，点D 是量角器上 120° 刻度线的外端点，连接CD 交AB 于点E ，则∠CEB 的度数是( )A.100°B.105°C.110°D.120°5．正方形网格中，如图放置，则=（ ）AOB ∠sin AOB ∠C. D.1226．如图，直线，直线m 、n 分别与直线a ，b ，c 相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，a ∥b ∥c 若AB =2，AC =5，DE =3，则EF =( )A.2.5B.4C.4.5D.7.57．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，A (−4，y 1)B (−2，y 2)C (3，y 3)(0)ky k x =>y 1，的大小关系为( )y 2y 3 A. B. C. D.y 3<y 2<y 1y 2<y 3<y 1y 3<y 1<y 2y 2<y 1<y 38．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，添加一个条件，不能判断△ABC 与△BDC 相似的是( )A.∠CBD =∠AB.C.∠CBA =∠C DBD.BC CD AC AB =BC CD AC BC=9．如图，∠B 的平分线 BE 与 BC 边上的中线 AD 互相垂直，并且 BE =AD =4，则BC 值为()A.7B.C. 6D.10．如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴的负半轴上，O 是坐标原点，A 点坐标为，50-（，）对角线 AC 和 OB 相交于点D ，且AC OB =40．若反比例函数的图象经过 ∙(0)k y x x =<点D ，并与BC 的延长线交于点E ，则值等于()CDE S ∆A. 2 B.1.5 C.1 D.0.5二、（本大题共8小题，第11～12每小题3分，13～18每小题4分，共30分）11．抛物线y =2(x +1)2 +3的顶点坐标是.12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =5，BC =4，则tanA=．13．正八边形的中心角是 度.14．圆锥的底面半径是3，母线长为4，则圆锥的侧面积为.15．如图，△ABC 和△DEF 是以点O 为位似中心的位似图形，若 OA ∶AD =2∶3，则△ABC 与DEF 的面积比是 .16．如图，有一个测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为18 mm ，AC 被分为60 等份.如果小玻璃管口径DE正好对应量具上20 等份处(DE ∥AB )，那么小玻璃管口径DE = mm.17． 已知，，若 m ≤n ，则实数 a 的23236m n a +=++22324m n a +=++值为．18． 线段AB =，M 为AB 的中点，动点 P 到点 M 的距离是1，连接 PB ，线段 PB绕点P 逆 时针旋转 90° 得到线段 PC ，连接 AC ，则线段 AC 长度的最小值是．三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（1）计算：tan45°﹣sin30°cos60°﹣cos 245°；（2）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ，BC ，解这个直角三角形．20．(本小题满分10分)如图，是三角形的外接圆，是的直径，AD ⊥BC 于点E ．O ABC AD O (1)求证：；BAD CAD ∠=∠(2)若长为8，，求的半径长．BC 2DE =O 21．(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y =2x +b 经过点 A (-2，0)与 y 轴交于点 B ，与反比例函数的图象交于点 C (m ，6)，过 B 作 BD ⊥y 轴，交反比例函数(0)k y x x =>的图象于点D ．连接AD 、CD ．(0)k y x x=>(1)b =，k =，不等式 >2x +b (x >0)的解集是；k x(2)求△ACD 的面积．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BD，交AB于点E，(1) 求证：△ADE∽△ABD；(2)若AB=10，BE=3AE，求线段AD长．23．(本小题满分12分)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，(1)求证：AC平分∠BAD；(2)若∠BAD=60°，AB=4，求图中阴影部分的面积．24．(本小题满分12分)某商品进货价为每件40 元，将该商品每件的售价定为50 元时，每星期可销售250 件.现在计划提高该商品的售价增加利润，但不超过58 元.市场调查反映：若该商品每件的售价在50元基础上每上涨1元，其每星期的销售量减少10 件.设该商品每件的售价上涨x元(x为整数且x≥0)时，每星期的销售量为y 件．(1)求y与x之间的函数解析式；(2)当该商品每件的售价定为多少元时，销售该商品每星期获得的利润最大?最大利润是多少?(3)若该商品每星期的销售利润不低于3000 元，求商品售价上涨x元的取值范围．在矩形ABCD 中，AB <BC ，AB =6，E 是射线CD 上一点，点C 关于BE 的对称点F 恰好落在射线DA 上．如图，当点 E 在CD 边上时，①若BC =10，DF 的长为；②若AF ·FD =9时，求 DF 的长；(2)作∠ABF 的平分线交射线 DA 于点M ，当 时，求 DF 的长．12MF BC =26．(本小题满分13分)在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标比横坐标大k ，则称该点为“k 级差值点”．例如，(1，4)为“3级差值点” ，(﹣3，2)为“5级差值点”．(1) 点(x ，y )是“4级差值点”，则y 与x 的函数关系式是；(2) 若反比例函数的图象上只有一个“k 级差值点”(﹣3≤ k ≤2)，t =4m +2k +4，求t 的取m y x=值范围；(3) 已知直线l ： y =nx +3与抛物线y =a (x ﹣h )²+h +3交于A ，B 两点，且AB ≥3．若 k ≠3时，2直线 l 上无“k 级差值点”，求a 的取值范围．答案一、选择题1. A2. C3.A4.B4.B5.B6.C7.D8.B9.D 10.C二填空题、11. (-1，3)12.4 513. 4514. 12π15. 4∶2516.1218.三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．(本小题满分10分)（1）计算：tan45°﹣sin30°cos60°﹣cos 245°；解：原式= (2)分211122-⨯-…………………………………………………………………… 4分11142=--…………………………………………………………………… 5分14=（2）解：在在Rt △ABC 中，∠C =90°………………………………………………………… 7分∴∠A =60°…………………………………………………………………… 8分∠B =90°-∠A =90°-60°=30°………………………………………………… 9分 (10)分2AB AC ==20．(本小题满分10分)解：(1)∵AD 是的 ⊙O 直径∵AD ⊥BC∴弧BD =弧CD ，…………………………………… 2分∴∠BAD =∠CAD …………………………………… 4分C BAtan BC A AC ==(2) 连接OC∵AD 是的 ⊙O 直径∵AD ⊥BC∴CE =BE =BC…………………………………… 5分12∵BC =8∴CE =4…………………………… 6分在Rt △OEC 中，由勾股定理得，222OE EC OC +=设圆的半径长为r ，∵DE =2∴…………………8分222(2)4r r -+=∴5r =∴⊙O 的半径长为5…………………10分21．(本小题满分10分)(1) b =4，k =6，0<x<1…………………6分 (2)在y =2x +4中，令x =0，则y =4，∴B (0，4) ，在中，令y =4则x =1.56(0)y x x=>∴ D (1.5，4)，∴BD =1.5…………………8分∴S △ACD =S △ABD +S △BCD ==…………………10分111.54 1.56422⨯⨯+⨯⨯-（）9222．(本小题满分10分)(1)证明：∵BD 是∠ABC 的平分线∴∠ABD =∠DBC……………………………1分∵DE ⊥BD∴∠BDE =90°∵∠C =90°∴∠ADE + ∠BDC =90°，∠CBD +∠BDC =90°∴∠CBD = ∠ADE ……………………………………3分∴∠ADE = ∠ABD ……………………………………4分又∵∠A =∠A∴△ADE ∽△ABD ………………………………5分(2)解：∵AB =10，BE =3AE∴AE =2.5，BE =7.5………………………………6分由(1)得△ADE ∽△ABD ，∴………………………………8分AD AE AB AD∴AD 2=AB ·AE =10×2.5=25∴AD =5∴线段AD 长为5.………………………………10分23. (本小题满分12分)(1)证明：如图1，连接OC ，∵CD 为⊙O 切线，∴OC ⊥CD………………………………1分∵AD ⊥CD∴OC // AD ………………………………2分∴∠OCA =∠CAD ， ………………………………3分又∵OA =OC∴∠OCA =∠OAC ………………………………4分∴∠CAD =∠OAC ，………………………………5分∴AC 平分∠DAB . ………………………………6分(2)解:如图所示，过点O 作OE ⊥AC 于点E ，则AE =EC =AC ，12∵∠BAD =60°，AC 平分∠DAB∴∠CAB =30°，∠COB =2∠CAB =60°，………………………………8分在Rt △AOE 中，AO =AB =2，12∴OE =OA =1，AE 12=∴AC =2AE =………………………………10分∴AOC BOCS S S ∆=+阴影扇形=2160212360π⨯⨯⨯+……………………………12分23π24．(本小题满分12分)解:(1)由题意可得， y =250－10x=﹣10x+250，y 与x 之间的函数解析式是y =﹣10x +250；……………………………2分(2)设当该商品每件的售价上涨x 元时，销售该商品每星期获得的利润为w 元.由题意可得:w=……………………………4分(5040)(10250)x x +--+=2101502500x x -++=210(7.5)3062.5x --+∵，0≤x ≤25且x 为整数100-<∴当x =7或8时，w 取得最大值3060，此时50+x =57或58.……………………6分答:当该商品每件的售价为57或58元时，每星期获得的利润最大，最大利润为3060元.……………………………7分(3)由题意得：……………………………8分21015025003000x x -++=解得……………………………10分12510x x ==，当x =5或10时，此时50+x =55或60又∵售价不超过58元∴5≤x ≤8且x 为整数…………………………12分25．(本小题满分13分)(1) ①DF 的长为 2 …………………………2分②解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠BCD =∠A =∠ABC =∠D = 90°，CD =AB =6由对称可知∠BFE =∠BCD =90°， BF =BC∴∠AFB +∠DFE =90°，∠DEF +∠DFE =90°，∴∠AFB =∠DEF又:∠D =∠A =90°∴△FAB ∽△EDF . ………………………4分∴………………………5分AFBADE FD =∴AB ·DE =AF .DF =9.又∵AB =6，∴DE =……………………………………………6分32∴CE =CD －DE =6 -=………………………7分3292(2)分两种情况讨论.①当点F 在线段 AD 上时，如图(1)，过点M 作 MN ⊥BF 于点N ，则∠MNF =∠A =90°.又∵∠AFB =∠NFM∴△FMN ∽△FBA∴MN MF FNAB BF AF==又∵，BF =BC12MF BC =∴12MNMFFNAB BF AF ===∴MN =3，AF =2FN …………………………………………8分∵BM 平分∠ABF ，∠BNM =∠A =90°，∴AM = MN =3.∴AM +MF =2FN∴13()22BN FN FN++=∴13(6)22FN FN++=∴FN =4…………………………………………9分∴AD =BF =BC =6+4=10∴AF =8∴DF =AD - AF =10-8=2…………………………………10分②当点F 在线段 DA 的延长线上时如图(2)，过点M 作 MN ⊥BF 于点 P .同①可得AM =MN =AB =3，BN =AB =6，BC = AD =10，12MF =BC =5，12∴AF =8，∴DF =18.综上可知，DF 的长为2或18.…………………………………13分26．(本小题满分13分)26.(1)…………………………………3分4y x =+(2)解：由题意得：mx kx =+∴20x kx m +-=∵图象上只有一个“k 级差值点”∴方程 有两个相等的实数根20x kx m +-=∴△=0∴240k m +=∴…………………………………4分24m k =-∵424t m k =++∴…………………………………5分224t k k =-++=2(1)5k --+当k =1时，t 有最大值5，当t =-3时，t 有最小值-11-11≤t ≤5…………………………………7分（3）由题意得若 k =3时，直线 l 上有“k 级差值点”∴y =x +3∴n =1…………………………………8分∴x +3= a (x -h )²+h +3∴x 1=h ，x 2=…………………………………9分1h a+∵AB ≥利用两点间距离公式或根据够勾股定理得出≥3即≥3………………………………11分12x x -1a ∴或，即………………………………13分103a <≤103a >≥-11,033a a ≥≥-≠。
北师大版2022-2023学年第一学期九年级数学第二次月考测试题(附答案)
2022-2023学年第一学期九年级数学第二次月考测试题（附答案）一、选择题（1～10小题每题3分，11～16小题每题2分，共42分）1．下列属于反比例函数的是（）A．xy＝2B．y＝C．y＝D．y＝2．若两个相似三角形的对应高的比是1：4，则它们的周长比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：163．用一个2倍放大镜照△ABC，则△ABC放大后，不发生改变的是（）A．各内角的度数B．各边长C．周长D．面积4．已知反比例函数y＝（k≠0）的图象在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列各点可能在这个函数图象上的是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（0，﹣1）D．（﹣1，0）5．如图是一张竖格书法纸，纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的A，B，C三点都在竖格线上．若线段AB＝3cm，则线段BC的长为（）A．6cm B．6.5cm C．7.5cm D．10.5cm6．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝6，则的值为（）A．B．C．D．7．如图，函数y＝（x＞0）和y＝﹣（x＞0）的图象在同一平面直角坐标系中，则该坐标系的原点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q8．如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若A （3，0），B（2，﹣1），C（6，0），则点B的对应点D的坐标为（）A．（4，﹣2）B．（6，﹣3）C．（4，2）D．（6，3）9．一定电压下通过导体的电流I（A）和电阻R（Ω）之间成反比例函数，小明通过组合电路做实验时，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）的变化而变化，其数据如下表所示．若在该电路中，电流表的最大量程是3A，为确保不超过电流表的最大量程，则该电路中电阻不小于（）R（Ω）…234…I（A）…24 1.6 1.2…A．2ΩB．1.8ΩC．1.6ΩD．1.5Ω10．在同一平面直角坐标系中，函数y＝和y＝kx﹣2的图象大致是（）A．B．C．D．11．“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法步骤：第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测，点的距离值．如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（）A．40米B．60米C．80米D．100米12．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD•AC D．AD•BC＝AB•DB13．已知反比例函数，当﹣3≤x≤﹣1时，y的最大值是4，则当x≥6时，y 有（）A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值﹣114．将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则新图形与原图形相似的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个15．在如图所示的平面直角坐标系的第一象限中标出了9个整点（横、纵坐标都是整数的点），若反比例函数y＝（x＞0）的图象的上方只有其中的5个整点，则k的取值范围是（）A．16≤k＜21B．16＜k≤21C．21≤k＜24D．9≤k＜1616．如图，在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板．针对CP的不同取值，两人的说法如下．下列判断正确的是（）甲：若CP＝4，则有3种不同的剪法；乙：若CP＝2，则有4种不同的剪法．A．甲错，乙对B．甲对，乙错C．甲和乙都错D．甲和乙都对二、填空题（共9分）17．若点（3，6）和点（a，﹣9）都在反比例函数y＝的图象上，则a的值为．18．如图，在矩形ABCD中，连接BD，点E在AD上，连接CE，交BD于点F，且△DEF ∽△DBA．（1）BD与CE是否垂直？（填“是”或“否”）；（2）若AB＝1，∠CBD＝30°，则的值为．19．如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上有点P1，P2，P3，P4，P5，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作x轴、y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4已知P1的纵坐标为10．（1）k的值为；（2）阴影部分的面积S1的值为；（3）阴影部分的面积S1，S2，S3，S4的和为．三、解答题（共69分）20．已知y是x的反比例函数，且当x＝4时，y＝2．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）在图中画出该函数的图象，并根据图象直接写出当﹣1≤x≤﹣2时，y的取值范围．21．如图，小明在学习《位似》时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了△ABC 的位似图形△A1B1C1．（1）在图中标出△ABC与△A1B1C1的位似中心点M的位置，并直接写出点M的坐标；（2）若以点O为位似中心，请你帮小明在图中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，且△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2（只画出一个三角形即可）．22．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？23．河北秦皇岛市的山海关有“天下第一关”之称，小明和小亮想测量“天下第一关”某处城墙的高度．如图，在测量时，小明站在城墙的城台MN（MH是护栏）上，小亮的眼睛A、凉亭顶端C、小明头顶E这三点在一条直线上，已知小亮的眼睛离地面的距离AB为1.6米，凉亭顶端离地面的距离CD为3.95米，小亮到凉亭的距离BD为5米，凉亭离城楼底部的距离DF为25米，小明身高EM为1.7米，点E，H，M，F在同一直线上，图中所有点在同一平面内，求FM的高度．24．【问题背景】如图1，已知△ABC∽△ADE．（1）若AB＝AC，试判断AD与AE之间的数量关系，并说明理由；（2）求证：△ABD∽△ACE；【尝试应用】（3）如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE，求∠BCE 的度数．25．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1＝（k≠0）与y2＝2x﹣4的图象交于点A （3，a），B．（1）求k的值；（2）若y1≤y2，请直接写出x的取值范围；（3）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做整点已知点P（0，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，与反比例函数y1＝的图象交于点C，与y2＝2x﹣4的图象交于点D．记反比例函数y1＝的图象在点A，C之间的部分与线段AD，CD围成的区域（不含边界）为W．①当n＝4时，直接写出区域W内的整点个数，并写出这个整点的坐标；②若区域W内的整点恰好为3个，结合函数图象，直接写出n的取值范围．26．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在AB的延长线上，∠BAC＝∠AED＝90°，AB＝AE＝2．（1）图1中阴影部分的面积与△ADE的面积比为；（2）若将△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转a（0°＜a＜90°），此时线段AD，射线AE分别与射线BC交于点M，N．①当△ADE旋转到如图2所示的位置时，求证：△ABN∽△MAN；②如图2，若BM＝1，求BN的长；③在旋转过程中，若BM＝d，请直接写出CN的长（用含d的式子表示）．参考答案一、选择题（1～10小题每题3分，11～16小题每题2分，共42分）1．解：A、由原式得到y＝，符合反比例函数的定义，故本选项符合题意；B、该函数式表示y与x成正比例关系，故本选项不符合题意；C、该函数式不属于反比例函数，故本选项不符合题意；D、该函数式不属于反比例函数，故本选项不符合题意；故选：A．2．解：∵两个相似三角形的对应高的比是1：4，∴它们的周长比为1：4．故选：B．3．解：用一个2倍放大镜照一个△ABC，△ABC放大后，各内角大小不变，各边长发生改变，面积发生变化，周长发生变化，故B，C，D不符合题意．故选：A．4．解：因为反比例函数y＝（k≠0）的图象在各自象限内，y随x的增大而增大，所以k＜0，A．﹣1×1＝﹣1＜0，故本选项符合题意；B．﹣1×（﹣1）＝1＞0，故本选项不符合题意；C．0×（﹣1）＝0，故本选项不符合题意；D．﹣1×0＝0，故本选项不符合题意；故选：A．5．解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，∵纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，∴＝，即＝，∴BC＝7.5．故选：C．6．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，故选：C．7．解：在函数y＝（x＞0）和y＝﹣（x＞0）中，∵4＞0，﹣4＜0，∴函数y＝（x＞0）的图象在第一象限，函数y＝﹣（x＞0）的图象在第四象限，∴该坐标系的原点是点N，故选：B．8．解：∵△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∴点B的坐标为（2×2，﹣1×2），即（4，﹣2），故选：A．9．解：∵一定电压下通过导体的电流I（A）和电阻R（Ω）之间成反比例函数，∴设I＝，把R＝2时，I＝2.4代入得2.4＝，∴U＝4.8，∴电流I（A）和电阻R（Ω）之间的反比例函数解析式为I＝，当≤3时，即R≥1.6，∴该电路中电阻不小于1.6Ω，故选：C．10．解：k＞0时，一次函数y＝kx﹣2的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y＝的两个分支分别位于第一、三象限，B选项符合；k＜0时，一次函数y＝kx﹣2的图象经过第二、三、四象限，反比例函数y＝的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合．故选：B．11．解：由“跳眼法”的步骤可知被测物体与观测点的距离是横向距离的10倍．观察图形，横向距离大约是汽车长度的2倍，为8米，所以汽车到观测点的距离约为80米，故选C．12．解：A．∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADB与△ABC相似，故本选项不符合题意；B．∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADB与△ABC相似，故本选项不符合题意；C．根据AB2＝AD•AC可得，AB：AC＝AD：AB，结合∠A＝∠A能判断△ADB与△ABC 相似，故本选项不符合题意；D．∵AD•BC＝AB•DB，∴AD：AB＝BD：BC，结合∠A＝∠A，不能判定△ADB与△ABC相似，故本选项符合题意；故选：D．13．解：∵反比例函数，当﹣3≤x≤﹣1时，y的最大值是4，∴k＜0，∴在每一个象限内，y随着x增大而增大，当x＝﹣1时，y取得最大值4，此时k＝﹣1×4＝﹣4，∴当x＝6时，y＝，∴当x≥6时，y≥，∴y有最小值，故选：C．14．解：如图1，∵AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′；如图2，∵正方形的边长由4变为6，对应边比值不变，对应角相等，故新图形与原图形相似；如图3，∵AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，则A′B′＝C′D′＝4+2＝6，A′D′＝B′C′＝6+2＝8，则可得≠，∴新矩形与原矩形不相似．故选：C．15．解：当反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点（2，8）和（8，2）时，k＝2×8＝16，此时，反比例函数y＝（x＞0）的图象的上方有5个整点，当反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点（3，7）和（7，3）时，k＝3×7＝21，此时，反比例函数y＝（x＞0）的图象的上方有3个整点，由图象可知，若反比例函数y＝（x＞0）的图象的上方只有其中的5个整点，则k的取值范围是16≤k＜21，故选：A．16．解：如图所示，过P作PD∥AB交AC于D或PE∥AC交AB于E，则△PCD∽△BCA 或△BPE∽△BCA，此时0＜PC＜8；如图所示，过P作∠BPF＝∠A交AB于F，则△BPF∽△BAC，此时0≤PC＜8；如图所示，过P作∠CPG＝∠A交AC于G，则△CPG∽△CAB，当点G与点A重合时，CA2＝CP•CB，即42＝CP×8，∴CP＝2，∴此时，0＜CP≤2；当0＜CP≤2时，有4种不同的剪法；当2＜CP＜8时，有3种不同的剪法．∴甲和乙对．故选：D．二、填空题（共9分）17．解：把点（3，6）代入y＝得6＝，解得k＝18，所以反比例函数解析式为y＝，把点（a，﹣9）代入y＝得﹣9＝，解得a＝﹣2，故答案为：﹣2．18．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB＝90°，∵△DEF∽△DBA，∴∠DFE＝∠DAB＝90°，∴BD⊥CE；故答案为：是；（2）AB＝1，∠CBD＝30°，四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝1，BD＝2，∴AD＝，∵△DEF∽△DBA，∴，即，∴DF＝，∵∠DFC＝∠BCD，∠BDC＝∠BDC，∴△DFC∽△DCB，∴，即，∴，∴．故答案为：．19．解：（1）点P1，的横坐标为2，P1的纵坐标为10，点P1在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴10＝，∴k＝20，故答案为：20；（2）如图，∵点P1在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点P2，的横坐标为4，∴y＝＝5，∴P2的纵坐标为5，∴P2H＝5．∵四边形P2CGH为矩形，∴CG＝P2H＝5，∵点P1，的横坐标为2，P1的纵坐标为10，∴P1G＝10，OG＝2，∴P1C＝10﹣5＝5，∵四边形P1AOG和四边形BOGC为矩形，∴BC＝OG＝2，∴S1＝P1C•BC＝5×2＝10，故答案为：10；（3）∵点P1，P2，P3，P4，P5，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作x 轴、y轴的垂线，∴S2＝S矩形BDMC，S3＝S矩形DENM，S4＝S矩形EFKN，∴阴影部分的面积S1，S2，S3，S4的和为．∵点P5在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点P25的横坐标为10，∴y＝＝2，∴P5的纵坐标为2，∴P5P＝2，∵四边形FOPP5为矩形，∴KG＝P5P＝2，∴P1K＝P1G﹣KG＝10﹣2＝8，∴＝P1K•FK＝8×2＝16．∴阴影部分的面积S1，S2，S3，S4的和为16，故答案为：16．三、解答题（共69分.）20．解：（1）设y＝（k≠0），把x＝4，y＝2代入得2＝，∴k＝8，∴该函数解析式为：y＝；（2）函数y＝的图象如图所示：当﹣1≤x≤﹣2时，y的取值范围是﹣8≤y≤﹣4．21．解：（1）如图，点M为所作，M点的坐标为（0，2）；（2）如图，△A2B2C2为所作．22．解：（1）分情况讨论：①当0≤x≤3时，设线段AB对应的函数表达式为y＝kx+b；把A（0，10），B（3，4）代入得，解得：，∴y＝﹣2x+10；②当x＞3时，设y＝，把（3，4）代入得：m＝3×4＝12，∴y＝；综上所述：当0≤x≤3时，y＝﹣2x+10；当x＞3时，y＝；（2）能；理由如下：令y＝＝1，则x＝12，3＜12＜15，故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．23．解：过点A作AK⊥CD于点K，AG⊥EF于点G，∵CK∥EF，∴△ACK∽△AEG，∴＝，∴＝，解得：EG＝14.1，∴EF＝EG+FG＝14.1+1.6＝15.7（m），∴MF＝15.7﹣EM＝15.7﹣1.7＝14（m），答：FM的高度为14m．24．（1）解：AD＝AE，理由如下：∵△ABC∽△ADE，∴＝，∵AB＝AC，∴AD＝AE；（2）证明：∵△ABC∽△ADE，∴＝，∠BAC＝∠DAE，∴＝，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE；（3）解：∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，∴△BAC∽△DAE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴＝，∴＝，∵∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴∠ACE＝∠B，∴∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°．25．解：（1）点A（3，a）代入y2＝2x﹣4得，a＝2×3﹣4＝2，∴点A（3，2），又∵点A（3，2）在反比例函数y1＝（k≠0）的图象上，∴k＝6（2）方程组的解为，，而点A（3，2），∴点B（﹣1，﹣6），由两个函数的图象及交点坐标可知，当y1≤y2时，x的取值范围为0＜x＜3或x＜﹣1；（3）①如图1，当n＝4时，即点P（0，4），直线y＝4与两个函数图象的交点为C、D，当y＝4时，即4＝，解得x＝，∴点C（，4），当y＝4时，即2x﹣4＝4，解得x＝4，∴点D（4，4），而直线y＝2x﹣4与x轴的交点E（2，0），∴反比例函数y1＝的图象在点A，C之间的部分与线段AD，CD围成的区域（不含边界）为W区域中整数点的个数为1，其坐标为（3，3），答：当n＝4时，区域W内的整点有1个，这个整点的坐标为（3，3）；②如图2，当n＝5时，即点P（0，5），直线y＝5与两个函数图象的交点C′，D′，可求出C′（，5），D′（，5），而点A（3，2），若区域W内的整点恰好为3个，即（2，4），（3，3），（3，4），因此此时4＜n≤5，当n＝1，即点P（0，，1），直线y＝1与两个函数图象的交点C″，D″，可求出C″（6，1），D″（，1），而点A（3，2），若区域W内的整点恰好为3个，即（3，1），（4，1），（5，1），因此此时0＜n＜1，综上所述，若区域W内的整点恰好为3个，n的取值范围为0＜n＜1或4＜n≤5．26．（1）解：∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠D＝∠DAE＝45°，AD＝AE＝4，∴△ABF∽△ADE，∴＝（）2＝（）2＝，∴阴影部分的面积与△ADE的面积比为，故答案为：；（2）①证明：∵∠ABN＝∠MAN＝45°，∠ANB＝∠MNA，∴△ABN∽△MAN；②解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，则BC＝＝4，∴CM＝BC＝BM＝3，∵∠AMC＝∠B+∠BAM＝45°+∠BAM，∠BAN＝∠MAN+∠BAM＝45°+∠BAM，∴∠AMC＝∠BAN，∵∠B＝∠C，∴△ABN∽△MCA，∴＝，即＝，解得：BN＝；③解：如图2，当点N在线段BC上时，由②可知：△ABN∽△MCA，∴＝，即＝，解得：BN＝，∴CN＝BC﹣BN＝4﹣＝，如图3，当点N在线段BC的延长线上时，CN＝BN﹣BC＝﹣4＝，综上所述：CN的长为或．。
九年级上册第二次月考数学试题 (含答案) (精选5套试题) (1)
九年级上学期第二次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④（a2+a+1）x2﹣a=0；⑤=x﹣1，其中一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（）A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9 3．下面图形中是中心对称但不是轴对称图形的是（）A．平行四边形B．长方形C．菱形D．正方形4．菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．对角相等B．四边相等C．对角线互相平分D．四角相等5．目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．438（1+x）2=389 B．389（1+x）2=438C．389（1+2x）2=438 D．438（1+2x）2=3896．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（）A．24 B．16 C．4D．27．已知：如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．若AB=2，AD=4，则图中阴影部分的面积为（）A．3 B．4 C．6 D．88．三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2﹣10x+21=0的解，则第三边的长为（）A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定9．下列说法错误的是（）A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B．每组邻边都相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．四个角都相等的四边形是矩形10．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12D．16二、填空题（每小题3分，共27分）11．将方程（x+1）2=2x化成一般形式为，其二次项是，一次项是，常数项是．12．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2016=0有一根为x=﹣1，则a+b=．13．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是．14．若关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4=0有实数根，则m．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，且AB=OA=2cm，则BD的长为cm，BC的长为cm．16．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的度数是度．17．菱形两条对角线长度比为1：，则菱形较小的内角的度数为度．18．已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为．19．如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为．三、解答题（共43分）20．解下列方程：（1）x2﹣18=7x（用配方法解）（2）4x（x﹣1）=1（用配方法解）（3）2x2﹣4x﹣1=0 （用公式法解）（4）（2﹣3x）+（3x﹣2）2=0 （用因式法解）21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥A B．求证：四边形AEDF是菱形．22．关于x的方程kx2+（k+2）x+=0有两个不相等的实数根；（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．23．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．24．某商场在“五•一”节里实行让利销售，全部商品一律按九折销售．这样每天所获得的利润恰是销售收入的，如果第一天的销售收入是4万元，并且每天的销售收入都有增长，第三天的利润是1.25万元．（1）求第三天的销售收入是多少万元？（2）求第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是多少？四.附加题：（附加题20分）25．分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．26．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t 秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④（a2+a+1）x2﹣a=0；⑤=x﹣1，其中一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．【解答】解：①当a=0时，ax2+bx+c=0是一元一次方程；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1是一元二次方程；③x+3=是分式方程；④（a2+a+1）x2﹣a=0是一元二次方程；⑤=x﹣1是无理方程，故选：B．2．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（）A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【解答】解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴（x﹣2）2=9．故选D．3．下面图形中是中心对称但不是轴对称图形的是（）A．平行四边形B．长方形C．菱形 D．正方形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、平行四边形是中心对称但不是轴对称图形，故本选项正确；B、长方形是中心对称也是轴对称图形，故本选项错误；C、菱形是中心对称也是轴对称图形，故本选项错误；D、正方形是中心对称也是轴对称图形，故本选项错误．故选A．4．菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．对角相等 B．四边相等C．对角线互相平分D．四角相等【考点】矩形的性质；菱形的性质．【分析】菱形和矩形都是平行四边形，具有平行四边形的所有性质，菱形还具有独特的性质：四边相等，对角线垂直；矩形具有独特的性质：对角线相等，邻边互相垂直．【解答】解：A、对角相等，菱形和矩形都具有的性质，故A错误；B、四边相等，菱形的性质，矩形不具有的性质，故B正确；C、对角线互相平分，菱形和矩形都具有的性质，故C错误；D、四角相等，矩形的性质，菱形不具有的性质，故D错误；故选：B．5．目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．438（1+x）2=389 B．389（1+x）2=438 C．389（1+2x）2=438 D．438（1+2x）2=389 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】先用含x的代数式表示去年下半年发放给每个经济困难学生的钱数，再表示出今年上半年发放的钱数，令其等于438即可列出方程．【解答】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则去年下半年发放给每个经济困难学生389（1+x）元，今年上半年发放给每个经济困难学生389（1+x）2元，由题意，得：389（1+x）2=438．故选B．6．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（）A．24 B．16 C．4D．2【考点】菱形的性质；勾股定理．【分析】由菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=6，BD=4，即可得AC⊥BD，求得OA 与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，∴AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=2，AB=BC=CD=AD，∴在Rt△AOB中，AB==，∴菱形的周长是：4AB=4．故选：C．7．已知：如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．若AB=2，AD=4，则图中阴影部分的面积为（）A．3 B．4 C．6 D．8【考点】矩形的性质；三角形中位线定理．【分析】阴影部分的面积等于矩形面积减去四个直角三角形的面积．【解答】解：矩形的面积=2×4=8；S=×1×2=1；△AEF∴阴影部分的面积=8﹣1×4=4．故选B．8．三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2﹣10x+21=0的解，则第三边的长为（）A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】将已知的方程x2﹣10x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长．【解答】解：x2﹣10x+21=0，因式分解得：（x﹣3）（x﹣7）=0，解得：x1=3，x2=7，∵三角形的第三边是x2﹣10x+21=0的解，∴三角形的第三边为3或7，当三角形第三边为3时，2+3＜6，不能构成三角形，舍去；当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形，则第三边的长为7．故选A9．下列说法错误的是（）A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B．每组邻边都相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．四个角都相等的四边形是矩形【考点】多边形．【分析】分别利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法进而得出即可．【解答】解；A、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，首先由两直线平行，同旁内角互补及等角的补角相等得出另一组对角相等，然后根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可知是个真命题，正确，不合题意；B、每组邻边都相等的四边形是菱形，正确，不合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误，符合题意；D、四个角都相等的四边形是矩形，正确，不合题意；故选：C．10．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12D．16【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【分析】根据平行线的性质和折叠的性质易证得△EFB′是等边三角形，继而可得△A′B′E中，B′E=2A′E，则可求得B′E的长，然后由勾股定理求得A′B′的长，继而求得答案．【解答】解：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=60°，∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠EFB=∠EFB′=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中，∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°∴△EFB′是等边三角形，Rt△A′EB′中，∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，∴B′E=2A′E，而A′E=2，∴B′E=4，∴A′B′=2，即AB=2，∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16．故答案为：16．二、填空题（每小题3分，共27分）11．将方程（x+1）2=2x化成一般形式为x2+1=0，其二次项是x2，一次项是0，常数项是1．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】根据完全平方公式，移项、合并同类项，可得答案．【解答】解：（x+1）2=2x化成一般形式是x2+1=0，其二次项是x2，一次项0，常数项为1，故答案为：x2+1=0，x2，0，112．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2016=0有一根为x=﹣1，则a+b=2016．【考点】一元二次方程的解．【分析】由方程有一根为﹣1，将x=﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．【解答】解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2016=0得：a+b﹣2015=0，即a+b=2016．故答案是：2016．13．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是AB=AD或AC⊥BD等．【考点】正方形的判定；矩形的判定与性质．【分析】由已知可得四边形ABCD是矩形，则可根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件．【解答】解：由∠A=∠B=∠C=90°可知四边形ABCD是矩形，根据根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB=AD或AC⊥BD等．故答案为：AB=AD或AC⊥BD等．14．若关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4=0有实数根，则m≥且m≠0．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到m≠0且△≥0，即32﹣4×m×（﹣4）≥0，求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4=0有实数根，∴m≠0且△≥0，即32﹣4×m×（﹣4）≥0，解得m≥﹣，∴m的取值范围为m≥﹣且m≠0．故答案为：≥﹣且m≠0．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，且AB=OA=2cm，则BD的长为4cm，BC的长为2cm．【考点】矩形的性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】根据矩形的性质得到OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，推出BD=AC=2OA=4，OA=OB=AB=2，得出等边△OAB，求出∠ACB=30°，根据勾股定理即可求出B C．【解答】解：∵矩形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，∴OA=OB，∵AB=OA=2，∴BD=AC=2OA=4，OA=OB=AB=2，∴△OAB是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠ACB=90°﹣60°=30°，由勾股定理得：BC===2．故答案为：4，2．16．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的度数是22.5度．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；正方形的性质．【分析】根据正方形的性质，易知∠CAE=∠ACB=45°；等腰△CAE中，根据三角形内角和定理可求得∠ACE的度数，进而可由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=∠BCA=45°；△ACE中，AC=AE，则：∠ACE=∠AEC==67.5°；∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°．故答案为22.5．17．菱形两条对角线长度比为1：，则菱形较小的内角的度数为60度．【考点】菱形的性质；解直角三角形．【分析】根据已知可得到菱形的较小的内角的一半的度数，从而就不难求得较小内角的度数．【解答】解：因菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，可得菱形较小的内角的一半的正切值为1：，则菱形较小的内角的一半为30°，则菱形较小的内角的度数为60°．18．已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为或．【考点】菱形的性质．【分析】根据题意得，应分P与A在BD的同侧与异侧两种情况进行讨论．【解答】解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，∵AD=AB，DP=BP，∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），在直角△ABM中，∠BAM=30°，∴AM=AB•cos30°=3，BM=AB•sin30°=3，∴PM==，∴AP=AM+PM=4；当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点MAP=AM﹣PM=2；当P与M重合时，PD=PB=3，与PB=PD=2矛盾，舍去．AP的长为4或2．故答案为4或2．19．如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为28．【考点】平移的性质．【分析】运用平移个观点，五个小矩形的上边之和等于AD，下边之和等于BC，同理，它们的左边之和等于AB，右边之和等于CD，可知五个小矩形的周长之和为矩形ABCD的周长．【解答】解：由勾股定理，得AB==6，将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，∴五个小矩形的周长之和=2（AB+BC）=2×（6+8）=28．故答案为：28．三、解答题（共43分）20．解下列方程：（1）x2﹣18=7x（用配方法解）（2）4x（x﹣1）=1（用配方法解）（3）2x2﹣4x﹣1=0 （用公式法解）（4）（2﹣3x）+（3x﹣2）2=0 （用因式法解）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）整理后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；（4）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣18=7x，x2﹣7x=18，x2﹣7x+（）2=18+（）2，（x﹣）2=，x﹣=，x1=9，x2=﹣2；（2）4x（x﹣1）=1，4x2﹣4x+1=1+1，（2x﹣1）2=2，2x﹣1=，x1=，x2=；（3）2x2﹣4x﹣1=0，b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）=24，x=，x1=，x2=；（4）（2﹣3x）+（3x﹣2）2=0，（2﹣3x）（1+2﹣3x）=0，2﹣3x=0，1+2﹣3x=0，x1=，x2=1．21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥A B．求证：四边形AEDF是菱形．【考点】菱形的判定．【分析】由已知易得四边形AEDF是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得∠F AD=∠FDA，∴AF=DF，∴四边形AEDF是菱形．【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠F AD，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，∴∠F AD=∠FDA∴AF=DF，∴四边形AEDF是菱形．22．关于x的方程kx2+（k+2）x+=0有两个不相等的实数根；（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）由于x的方程kx2+（k+2）x+=0有两个不相等的实数根，由此可以得到判别式是正数，这样就可以得到关于k的不等式，解不等式即可求解；（2）不存在符合条件的实数k．设方程kx2+（k+2）x+=0的两根分别为x1、x2，由根与系数关系有：x1+x2=﹣，x1•x2=，又+=，然后把前面的等式代入其中即可求k，然后利用（1）即可判定结果【解答】解：（1）由△=[（k+2）]2﹣4×k•＞0，∴k＞﹣1又∵k≠0，∴k的取值范围是k＞﹣1，且k≠0；（2）不存在符合条件的实数k理由：设方程kx2+（k+2）x+=0的两根分别为x1、x2，由根与系数关系有：x1+x2=﹣，x1•x2=，又∵+==0，∴=0，解得k=﹣2，由（1）知，k=﹣2时，△＜0，原方程无实解，∴不存在符合条件的k的值．23．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．【考点】矩形的判定；正方形的判定．【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．【解答】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD是矩形；（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD=BD=CD，∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．24．某商场在“五•一”节里实行让利销售，全部商品一律按九折销售．这样每天所获得的利润恰是销售收入的，如果第一天的销售收入是4万元，并且每天的销售收入都有增长，第三天的利润是1.25万元．（1）求第三天的销售收入是多少万元？（2）求第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是多少？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）直接根据这样每天所获得的利润恰是销售收入的进行计算；（2）设第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是m，则根据第一天的4万元增长到6.25万元列方程求解．【解答】解：（1）1.25÷=6.25（万元）所以第三天的销售收入是6.25万元；（2）设第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是m，则4（1+m）2=6.25．解得m1=25%，m2=﹣2.25%（不合题意舍去）．答：第二天和第三天销售收入平均每天的增长率约是25%．四.附加题：（附加题20分）25．分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】（1）列举出所有情况，看指针所指两区域的数字之积为奇数的情况占总情况的多少即可求得欢欢胜的概率；（2）由（1）进而求得乐乐胜的概率，比较两个概率即可．【解答】解：（1）共有12种情况，积为奇数的情况有6种情况，所以欢欢胜的概率是=；（2）由（1）得乐乐胜的概率为1﹣=，两人获胜的概率相同，所以游戏公平．26．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t 秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；（3）分两种情况讨论即可求解．【解答】（1）证明：∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°．∵CD=4t，AE=2t，又∵在直角△CDF中，∠C=30°，∴DF=CD=2t，∴DF=AE；解：（2）∵DF∥AB，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10，即当t=10时，▱AEFD是菱形；（3）当t=时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．理由如下：当∠EDF=90°时，DE∥B C．∴∠ADE=∠C=30°∴AD=2AE∵CD=4t，∴DF=2t=AE，∴AD=4t，∴4t+4t=60，∴t=时，∠EDF=90°．当∠DEF=90°时，DE⊥EF，∵四边形AEFD是平行四边形，∴AD∥EF，∴DE⊥AD，∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，∵∠A=60°，∴∠DEA=30°，∴AD=AE，AD=AC﹣CD=60﹣4t，AE=DF=CD=2t，∴60﹣4t=t，解得t=12．综上所述，当t=时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷一、精心选一选，相信你一定能选对！（每题3分，共36分）1．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC、∠BCD的平分线分别交AD于点E、F，则EF的长是（）A．3 B．2C．1.5D．12．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，并交AD于E，交BC于F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，则四边形EFCD的周长是（）A．16 B．14 C．12 D．103．平行四边形一边长为10，那么它的对角线长度和可以为（）A．8和12B．20和30 C．6和8 D．4和64．不能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）A．AB平行且等于CD B．∠A=∠C，∠B=∠DC．AB=AD，BC=CD D．AB=CD，AD=BC5．下面性质中菱形有而矩形没有的是（）A．邻角互补B．内角和为360°C．对角线相等D．对角线互相垂直6．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角D．四条边相等7．顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形8．下列各图中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．9．下列命题中，真命题是（）A．有两边相等的平行四边形是菱形B．有一个角是直角的四边形是直角梯形C．四个角相等的菱形是正方形D．两条对角线相等的四边形是矩形10．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E 处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（）A．B．C．D．811．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上移动，且AE=CF，则四边形不可能是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形12．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8cm，BD=6cm，则菱形的高为（）A．cm B．cm C．cm D．cm二、细心填一填，相信你填得又快又准！（每题4分，共20分）13．▱ABCD中，∠A=50°，则∠B=，∠C=，∠D．14．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是cm2．15．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为cm2．16．对角线长为2的正方形的周长为，面积为．17．等腰梯形的上、下底分别是3cm和5cm，一个角是135°，则等腰梯形的面积为．三、用心做一做，培养你的综合运用能力，相信你是最棒的18．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：△ADF≌△CBE．19．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．20．已知：如图中，AD是∠A的角平分线，DE∥AC，DF∥A B．求证：四边形AEDF是菱形．21．如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE．（2）连接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．22．证明：等腰梯形上底的中点与下底两端点的距离相等．23．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥B D．求证：四边形OCED是菱形．24．等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC与E，AE=BE，BF⊥AE与F，线段BF与图中的哪一条线段相等？先写出您的猜想，再加以证明．25．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．参考答案与试题解析一、精心选一选，相信你一定能选对！（每题3分，共36分）1．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC、∠BCD的平分线分别交AD于点E、F，则EF的长是（）A．3 B．2 C． 1.5D．1考点：平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定与性质．专题：数形结合．分析：根据平行四边形的性质可知∠DFC=∠FCB，又因为CF平分∠BCD，所以∠DCF=∠FCB，则∠DFC=∠DCF，则DF=DC，同理可证AE=AB，那么EF就可表示为AE+FD﹣BC=2AB﹣BC，继而可得出答案．解答：解：∵平行四边形ABCD，∴∠DFC=∠FCB，又CF平分∠BCD，∴∠DCF=∠FCB，∴∠DFC=∠DCF，∴DF=DC，同理可证：AE=AB，∴2AB﹣BC=AE+FD﹣BC=EF=1cm．故选D．点评：本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．2．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，并交AD于E，交BC于F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，则四边形EFCD的周长是（）A．16 B．14 C．12 D．10考点：平行四边形的性质．分析：先利用平行四边形的性质求出AB、CD、BC、AD的值，可利用全等的性质得到△AEO ≌△CFO，即可求出四边形的周长．解答：解：已知AB=4，BC=5，OE=1.5，根据平行四边形的性质，AB=CD=4，BC=AD=5，在△AEO和△CFO中OA=OC，∠OAE=∠OCF，∠AOE=∠COF，所以△AEO≌△CFO，OE=OF=1.5，则EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=（DE+CF）+AB+EF=5+4+3=12．则EFCD的周长是12．故选C．点评：本题考查平行四边形的性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．3．平行四边形一边长为10，那么它的对角线长度和可以为（）A．8和12 B．20和30 C．6和8 D．4和6考点：平行四边形的性质；三角形三边关系．分析：平行四边形的长为10的一边，与两条对角线的一半构成的三角形的另两边应满足三角形的三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据这个结论可以判断选择哪一个．。
人教版九年级(上第二次月考数学试卷(解析版)
人教版九年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．方程x2＝3x的解为（）A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝32．长度为下列各组数据的线段（单位：cm）中，成比例的是（）A．1，2，3，4B．6，5，10，15C．3，2，6，4D．15，3，4，103．已知，则的值是（）A．B．C．D．4．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．5．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．5B．10C．12D．156．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．D．7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞B．k≥C．k＞且k≠1D．k≥且k≠18．如图，在四边形ABCD中，顺次连接各边上的中点，得到四边形EFGH．要使得四边形EFGH为矩形，对角线AC、BD要满足（）A．AC＝BD B．AC＝BD或AC⊥BDC．AC⊥BD D．AC和BD相互平分9．放假了，小明与小颖两家准备从红荷湿地、台儿庄古城、莲青山中选择一景点游玩，小明与小颖通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是（）A．B．C．D．10．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（）A．B．C．D．11．△ABC中，DE∥BC，且AD：DB＝2：3，那么S△ADE：S四边形DBCE等于（）A．2：3B．4：21C．2：5D．4：912．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②CO：BE＝1：3；③DE＝BC；④S四边形OCEF＝S△AOD，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（每小题3分，共12分）13．若（b+d+f≠0），则＝．14．已知线段AB＝10，C为AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC＝．15．在一次会议上，每两人都只握一次手，如果一共握手55次，则参加会议的人数为．16．如图，平面直角坐标系中A（4，0），B（0，3），C是AB的中点，M在折线AOB上，直线CM截三角形与三角形ABO相似，M的坐标是．三、解答题（共72分）17．已知：如图，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1，点C1的坐标是；（2）△A1B1C1的面积是平方单位．18．解下列方程：（1）2x2+5x＝7（公式法）；（2）2x2+6x+3＝0（配方法）．19．求证：不论k取什么实数，方程x2﹣（k+6）x+4（k﹣3）＝0一定有两个不相等的实数根．20．数学实践小组的同学利用太阳光下形成的影子测量大树的高度．在同一时刻下，他们测得身高为1.5米的同学立正站立时的影长为2米，大树的影子分别落在水平地面和台阶上．已知大树在地面的影长为2.4米，台阶的高度均为0.3米，宽度均为0.5米．求大树的高度AB．21．如图，△ABC中，BD是角平分线，过D作DE∥AB交BC于点E，AB＝5cm，BE＝3cm，求EC的长．22．已知：如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AF＝AD，求证：四边形ABFC是矩形．23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．24．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？25．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元（用含x的代数式表示）；（2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？26．目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．（1）根据图中信息求出m＝，n＝；（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？（4）已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网购”．从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．27．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？28．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）根据题意知：BP＝，BQ＝．（用含t的代数式表示）（2）运动几秒时，△BPQ与△ABC相似？（3）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．方程x2＝3x的解为（）A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝3【分析】因式分解法求解可得．【解答】解：∵x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0，则x＝0或x﹣3＝0，解得：x＝0或x＝3，故选：D．2．长度为下列各组数据的线段（单位：cm）中，成比例的是（）A．1，2，3，4B．6，5，10，15C．3，2，6，4D．15，3，4，10【分析】根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对每一项进行分析即可．【解答】解：A、1×4≠2×3，故本选项错误；B、5×15≠6×10，故本选项错误；C、2×6＝3×4，故选项正确；D、3×15≠4×10，故选项错误．故选：C．3．已知，则的值是（）A．B．C．D．【分析】根据等式的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：由，得a＝b，＝＝﹣，故选：D．4．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，∴BC：AC：AB＝1：：，A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；B、三边之比：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：A．5．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．5B．10C．12D．15【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案．【解答】解：设袋子中红球有x个，根据题意，得：＝0.25，解得x＝5，∴袋子中红球的个数最有可能是5个，故选：A．6．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．D．【分析】A、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；B、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；C、其夹角不相等，所以不能判定相似；D、其夹角是公共角，根据两边的比相等，且夹角相等，两三角形相似．【解答】解：A、∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；B、∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；C、∵，当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC，所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；D、∵，又∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，故选：C．7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞B．k≥C．k＞且k≠1D．k≥且k≠1【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义可得4﹣4（k﹣1）（﹣2）＝8k﹣4≥0且k≠1，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有实数根，∴△≥0且k≠1，∴△＝4﹣4（k﹣1）（﹣2）＝8k﹣4≥0且k≠1，∴k≥且k≠1，故选：D．8．如图，在四边形ABCD中，顺次连接各边上的中点，得到四边形EFGH．要使得四边形EFGH为矩形，对角线AC、BD要满足（）A．AC＝BD B．AC＝BD或AC⊥BDC．AC⊥BD D．AC和BD相互平分【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形EFGH为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH ＝90°，又EF为三角形ABD的中位线，根据中位线定理得到EF与DB平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO＝90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD＝90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直．【解答】证明：如图，∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH＝90°，又∵点E、F、分别是AD、AB边的中点，∴EF是三角形ABD的中位线，∴EF∥BD，∴∠FEH＝∠OMH＝90°，又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，∴EH是三角形ACD的中位线，∴EH∥AC，∴∠OMH＝∠COB＝90°，即AC⊥BD．故选：C．9．放假了，小明与小颖两家准备从红荷湿地、台儿庄古城、莲青山中选择一景点游玩，小明与小颖通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是（）A．B．C．D．【分析】首先用A，B，C分别表示红荷湿地、台儿庄古城、莲青山，然后画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与两家抽到同一景点的情况，继而求得答案．【解答】解：用A，B，C分别表示红荷湿地、台儿庄古城、莲青山，画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两家抽到同一景点的有3种情况，∴两家抽到同一景点的概率是：＝．故选：A．10．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝＝3，则BC＝3CE，然后利用BC+CE＝BE＝10可计算出CE的长．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝3，∴BC＝3CE，∵BC+CE＝BE，∴3CE+CE＝10，∴CE＝．故选：C．11．△ABC中，DE∥BC，且AD：DB＝2：3，那么S△ADE：S四边形DBCE等于（）A．2：3B．4：21C．2：5D．4：9【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝（）2，∵AD：DB＝2：3，∴S△ADE：S△ABC＝（）2＝，∴S△ADE：S四边形DBCE＝，故选：B．12．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②CO：BE＝1：3；③DE＝BC；④S四边形OCEF＝S△AOD，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】①先证明△ABF≌△ECF，得AB＝EC，再得四边形ABEC为平行四边形，进而由∠BAC＝90°，得四边形ABCD是正方形，便可判断正误；②由△OCF∽△OAD，得OC：OA＝1：2，进而得OC：BE的值，便可判断正误；③根据BC＝AB，DE＝2AB进行推理说明便可；④由△OCF与△OAD的面积关系和△OCF与△AOF的面积关系，便可得四边形OCEF的面积与△AOD的面积关系．【解答】解：①∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BF＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∵∠AFB＝∠CFE，∴△ABF≌△ECF（AAS），∴AB＝CE，∴四边形ABEC是平行四边形，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴四边形ABEC是正方形，故此题结论正确；②∵CF∥AD，∴△OCF∽△OAD，∴OC：OA＝CF：AD＝CF：BC＝1：2，∴OC：AC＝1：3，∵AC＝BE，∴OC：BE＝1：3，故此小题结论正确；③∵AB＝CD＝EC，∴DE＝2AB，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴AB＝BC，∴DE＝2×，故此小题结论正确；④∵△OCF∽△OAD，∴，∴，∵OC：AC＝1：3，∴3S△OCF＝S△ACF，∵S△ACF＝S△CEF，∴，∴，故此小题结论正确．故选：D．二．填空题（共4小题）13．若（b+d+f≠0），则＝．【分析】直接根据等比性质求解．【解答】解：∵，故答案为．14．已知线段AB＝10，C为AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC＝5﹣5．【分析】根据黄金分割点的定义，知AC为较长线段；则AC＝AB，代入数据即可得出AC的值．【解答】解：由于C为线段AB＝10的黄金分割点，且AC＞BC，AC为较长线段；则AC＝10×＝5﹣5．15．在一次会议上，每两人都只握一次手，如果一共握手55次，则参加会议的人数为11．【分析】设参加会议有x人，每个人都与其他（x﹣1）人握手，共握手次数为x（x﹣1），根据题意列方程即可．【解答】解：设参加会议有x人，依题意得：x（x﹣1）＝55，整理得：x2﹣x﹣110＝0，解得x1＝11，x2＝﹣10，（舍去），答：参加这次会议的有11人．故答案为：11．16．如图，平面直角坐标系中A（4，0），B（0，3），C是AB的中点，M在折线AOB上，直线CM截三角形与三角形ABO相似，M的坐标是（0，）或（2，0）或（，0）．【分析】根据勾股定理求出AB，分点M在OB上、点M在OA上两种情况，根据相似三角形的性质计算，得到答案．【解答】解：∵A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，由勾股定理得，AB＝＝5，当点M在OB上，△BMC∽△BOA时，＝，∵C是AB的中点，∴OM＝OB﹣BM＝，∴点M的坐标为（0，）；当点M在OA上，△AM′C∽△AOB时，＝＝，∴AM′＝2，∴OM′＝OA﹣AM′＝2，∴点M的坐标为（2，0）；当点M在OA上，△AM′′C∽△ABO时，＝，即＝，解得，AM′′＝，∴OM′′＝4﹣＝，∴点M的坐标为（，0）；综上所述，直线CM截三角形与三角形ABO相似，M的坐标是（0，）或（2，0）或（，0）．三．解答题17．已知：如图，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1，点C1的坐标是（1，0）；（2）△A1B1C1的面积是10平方单位．（2）利用梯形面积减去周围三角形面积求出△A1B1C1的面积．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，点C1的坐标是（1，0）；故答案为：（1，0）；（2））△A1B1C1的面积是：（2+4）×6﹣×2×4﹣×2×4＝10．故答案为：10．18．解下列方程：（1）2x2+5x＝7（公式法）；（2）2x2+6x+3＝0（配方法）．【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；（2）方程利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：2x2+5x﹣7＝0，这里a＝2，b＝5，c＝﹣7，∵△＝b2﹣4ac＝25+56＝81＞0，∴x＝＝，即x1＝1，x2＝﹣；（2）方程整理得：x2+3x＝﹣，配方得：x2+3x+＝，即（x+）2＝，开方得：x+＝±，解得：x1＝﹣+，x2＝﹣﹣．19．求证：不论k取什么实数，方程x2﹣（k+6）x+4（k﹣3）＝0一定有两个不相等的实数根．0即可．【解答】证明：∵△＝（k+6）2﹣4×1×4（k﹣3）＝（k﹣2）2+80，而（k﹣2）2≥0，∴（k﹣2）2+80＞0，即△＞0，所以不论k取什么实数，方程x2﹣（k+6）x+4（k﹣3）＝0一定有两个不相等的实数根．20．数学实践小组的同学利用太阳光下形成的影子测量大树的高度．在同一时刻下，他们测得身高为1.5米的同学立正站立时的影长为2米，大树的影子分别落在水平地面和台阶上．已知大树在地面的影长为2.4米，台阶的高度均为0.3米，宽度均为0.5米．求大树的高度AB．【分析】延长DH交BC于点M，延长AD交BC于N，构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求解．【解答】解：延长DH交BC于点M，延长AD交BC于N．∴BM＝3.4，DM＝0.9．由，可得MN＝1.2．∴BN＝3.4+1.2＝4.6．由，可得AB＝3.45．所以，大树的高度为3.45米．21．如图，△ABC中，BD是角平分线，过D作DE∥AB交BC于点E，AB＝5cm，BE＝3cm，求EC的长．【分析】根据平行线和角平分线，可以证明△CDE∽△CAB，DE＝BE，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出EC的长．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC．∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠DBC＝∠BDE，∴DE＝BE＝3cm．∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝，即＝，解得EC＝4.5cm．22．已知：如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AF＝AD，求证：四边形ABFC是矩形．【分析】（1）根据平行四边形性质得出AB∥DC，推出∠1＝∠2，根据AAS证两三角形全等即可；（2）根据全等得出AB＝CF，根据AB∥CF得出平行四边形ABFC，推出BC＝AF，根据矩形的判定推出即可．【解答】证明：（1）如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC即AB∥DF，∴∠1＝∠2，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS）．（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB＝FC，∵AB∥FC，∴四边形ABFC是平行四边形，∴AD＝BC，∵AF＝AD，∴AF＝BC，∴四边形ABFC是矩形．23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．【分析】（1）先证明△AEF≌△DEB（AAS），得AF＝DB，根据一组对边平行且相等可得四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得：AD＝CD，根据菱形的判定即可证明四边形ADCF是菱形；（2）先根据菱形和三角形的面积可得：菱形ADCF的面积＝直角三角形ABC的面积，即可解答．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∵，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝×12×16＝96．24．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？【分析】根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为xmm，则KD＝EF＝xmm，AK＝（80﹣x）mm，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．【解答】解：∵四边形EGHF为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；设正方形零件的边长为xmm，则KD＝EF＝xmm，AK＝（80﹣x）mm，∵AD⊥BC，∴＝，∴＝，解得：x＝48．答：正方形零件的边长为48mm．25．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50﹣x）元（用含x的代数式表示）；（2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？【分析】（1）分别表示出增加的件数和盈利的金额即可；（2）日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数30+2×降价的钱数），把相关数值代入求解即可．【解答】解：（1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50﹣x）元，故答案为：2x，（50﹣x）．（2）由题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2000，化简得：x2﹣35x+250＝0，解得：x1＝10，x2＝25，∵该商场为了尽快减少库存，则x＝10不合题意，舍去，∴x＝25，答：每件商品降价25元，商场日盈利可达2000元；26．目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？（4）已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网购”．从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．【分析】（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值；（2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形；（3）总人数乘以样本中微信人数所占百分比可得答案；（4）列表得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）∵被调查的总人数m＝10÷10%＝100人，∴支付宝的人数所占百分比n%＝×100%＝35%，即n＝35，故答案为：100、35；（2）网购人数为100×15%＝15人，微信对应的百分比为×100%＝40%，补全图形如下：（3）估算全校2000名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为2000×40%＝800（人）；答：大约有800人最认可“微信”这一新生事物．（4）列表如下：共有12种等可能情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种；所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为P＝＝．27．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．【解答】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得10（1+x）2＝12.1，解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）＝13.31（万件）．∵平均每人每月最多可投递0.6万件，∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21＝12.6＜13.31，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务∴需要增加业务员（13.31﹣12.6）÷0.6＝1≈2（人）．答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．28．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）根据题意知：BP＝5tcm，BQ＝（8﹣4t）cm．（用含t的代数式表示）（2）运动几秒时，△BPQ与△ABC相似？（3）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．【分析】（1）根据题意列式即可；（2）根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA＝BQ：BC；当△BPQ∽△BCA 时，BP：BC＝BQ：BA，再根据BP＝5t，QC＝4t，AB＝10cm，BC＝8cm，代入计算即可；（3）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．【解答】解：（1）根据题意知：BP＝5tcm，BQ＝8﹣4tcm，故答案为：5tcm，（8﹣4t）cm；（2）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝＝10（cm）；分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时，，∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，∴，解得，t＝1，②当△BPQ∽△BCA时，，∴＝，解得，t＝；∴t＝1或时，△BPQ∽△BCA；（3）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示，则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM，∵∠ACQ＝∠PMC，∴△ACQ∽△CMP，∴＝，∴＝，解得t＝．。
人教版2022-2023学年第一学期九年级数学第二次月考测试题(附答案)
2022-2023学年第一学期九年级数学第二次月考测试题（附答案）一、单选题（共18分）1．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．直角三角形C．正五边形D．正六边形2．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝（x﹣2）2+1B．y＝（x+2）2+1C．y＝（x+2）2﹣1D．y＝（x﹣2）2﹣1 3．若点P（2，n﹣1）与点Q（m+1，3）关于原点对称，则m+n的值为（）A．﹣5B．﹣1C．1D．54．电影《长津湖》一上映，第一天票房2.05亿元，若每天票房的平均增长率相同，三天后累计票房收入达10.53亿元，平均增长率记作x，方程可以列为（）A．2.05（1+2x）＝10.53B．2.05（1+x）2＝10.53C．2.05+2.05（1+x）2＝10.53D．2.05+2.05（1+x）+2.05（1+x）2＝10.535．如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于E，AB＝8，OD＝5，则CE的长为（）A．4B．2C．D．16．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝14，M，N分别是直线BC，AB上的两个动点，AE ＝2，△AEM沿EM翻折形成△FEM，连接NF，ND，则DN+NF的最小值为（）A．14B．16C．18D．20二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．一元二次方程（x﹣2）（x+1）＝0的根是．8．如图，AB是⊙O的直径，∠D＝32°，则∠BOC等于．9．已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象相交于点A（﹣1，6）和B（5，3），如图所示，则使不等式ax2+bx+c＜mx+n成立的x的取值范围是．10．一个圆锥的底面半径r＝6，高h＝8，则这个圆锥的侧面积是．11．如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转60度得到正方形AEGF，连接EF，BF，点M，N分别为EF，BF的中点，连接MN，若MN的长度为1，则EF的长度为．12．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，下列结论中：①abc＞0；②4a+c＞0；③若t为任意实数，则有a﹣bt≥at2+b；④若函数图象经过点（2，1），则a+b+c＝；⑤当函数图象经过（2，1）时，方程ax2+bx+c﹣1＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1﹣2x2＝﹣8．其中正确的结论有．三、解答题（共84分）13．解方程：x2+2x＝0．14．如图，已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且＝，求证：AC＝BD．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过点C（0，﹣3），与x 轴交于点A、B（点A在点B左侧）．（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；（2）根据图象直接写出当y＞0时，自变量x的取值范围．16．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：△AEB≌△ADC；（2）连接DE，若∠ADC＝110°，求∠BED的度数．17．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1x2＝5，求k的值．18．在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆外．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图①中作弦EF，使EF∥BC；（2）在图②中以BC为边作一个45°的圆周角．19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的图形△AB1C1；（2）请画出将△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；（3）当△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB1C1时，点B对应旋转到点B1，请直接写出B1点的坐标．20．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E．（1）求证：直线DC是⊙O的切线；（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．21．恰逢新余桔子成熟的时节，为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导某农户进行桔子种植和销售，已知桔子的种植成本为1元千克，经市场调查发现，今年销售期间桔子的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（1≤x≤12）满足的函数图象如图所示．（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；（2）请同学们求一下这位农户销售桔子获得的最大利润．22．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝3，抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B两点，与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，在第一象限内的抛物线上，是否存在一点P，使△PBC的面积最大？最大面积是多少？23．我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图1，⊙O与△BC的三边AB，BC，AC分别相切于点D，E，F则△ABC叫做⊙O的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．如图2，⊙O与四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA分别相切于点E，F，G，H，则四边形ABCD叫做⊙O的外切四边形．（1）如图2，试探究圆外切四边形ABCD的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，猜想：AB+CD AD+BC（横线上填“＞”，“＜”或“＝”）；（2）利用图2证明你的猜想；（3）若圆外切四边形的周长为36．相邻的三条边的比为2：6：7．求此四边形各边的长．24．如图，已知二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+4a+4（a＞0）和二次函数L2：y＝﹣a（x+2）2+1（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．（1）函数y＝ax2﹣4ax+4a+4（a＞0）的最小值为，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是；（2）当EF＝MN﹣1时，直接写出a的值；（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程﹣a（x+2）2+1＝0的解．参考答案一、单选题（共18分）1．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．2．解：将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，得到：y＝（x+2）2，再向上平移1个单位长度得到：y＝（x+2）2+1．故选：B．3．解：∵点P（2，n﹣1）与点Q（m+1，3）关于原点对称称，∴m+1＝﹣2，n﹣1＝﹣3，∴m＝﹣3，n＝﹣2．∴m+n＝﹣3﹣2＝﹣5．故选：A．4．解：∵第一天票房约2.05亿元，且以后每天票房的增长率为x，∴第二天票房约2.05（1+x）亿元，第三天票房约2.05（1+x）2亿元．依题意得：2.05+2.05（1+x）+2.05（1+x）2＝10.53．故选：D．5．解：连接OA，如图，∵AB⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝4，在Rt△OAE中，OE＝＝＝3，∴CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2．故选：B．6．解：如图作点D关于BC的对称点D′，连接ND′，ED′．在Rt△EDD′中，∵DE＝12，DD′＝16，∴ED′＝＝20，∵DN＝ND′，∴DN+NF＝ND′+NF，∵EF＝EA＝2是定值，∴当E、F、N、D′共线时，NF+ND′定值最小，最小值＝20﹣2＝18，∴DN+NF的最小值为18，故选：C．二、填空题（共18分）7．解：（x﹣2）（x+1）＝0，x﹣2＝0或x+1＝0，所以x1＝2，x2＝﹣1．故答案为：x1＝2，x2＝﹣1．8．解：∵∠D＝32°，∴∠BOC＝2∠D＝64°，故答案为：64°．9．解：观察函数图象知，当﹣1＜x＜5时，直线在抛物线的上方，即ax2+bx+c＜mx+n，故答案为：﹣1＜x＜5．10．解：圆锥的母线l＝＝＝10，∴圆锥的侧面积＝π•10•6＝60π．11．解：如图所示，连接BE，∵点M，N分别为EF，BF的中点，∴MN是△BEF的中位线，∴BE＝2MN＝2，由旋转可得，AB＝AE，∠BAE＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE＝2＝AF，又∵∠EAF＝90°，∴EF＝＝＝2．故答案为：2．12．解：由抛物线开口向上，因此a＞0，对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，因此a、b同号，所以b＞0，抛物线与y轴的交点在负半轴，因此c＜0，所以abc＜0，故①不正确；由对称轴x＝﹣＝﹣1可得b＝2a，由图象可知，当x＝1时，y＝a+b+c＞0，即a+2a+c＞0，∴3a+c＞0，又∵a＞0，∴4a+c＞0，因此②正确；当x＝﹣1时，y最小值＝a﹣b+c，∴当x＝t（t≠﹣1）时，a﹣b+c＜at2+bt+c，即a﹣bt＜at2+b，∴x＝t（t为任意实数）时，有a﹣bt≤at2+b，因此③不正确；函数图象经过点（2，1），即4a+2b+c＝1，而b＝2a，∴2a+3b+c＝1，∴a+b+c＝，因此④正确；当函数图象经过（2，1）时，方程ax2+bx+c＝1的两根为x1，x2（x1＜x2），而对称轴为x ＝﹣1，∴x1＝﹣4，x2＝2，∴x1﹣2x2＝﹣4﹣4＝﹣8，因此⑤正确；综上所述，正确的结论有：②④⑤，故答案为：②④⑤．三、解答题（共84分）13．解：由原方程，得x（x+2）＝0，则x＝0或x+2＝0，解得，x1＝0，x2＝﹣2．14．证明：∵＝，∴＝，∴AC＝BD．15．解：（1）将C（0，﹣3）代入y＝x2﹣2x+c得，c＝﹣3，∴y＝x2﹣2x﹣3，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4）；（2）令y＝0得x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴当y＞0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞3．16．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE＝60°，AE＝AD．∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．∴∠EAB＝∠DAC．在△EAB和△DAC中，，∴△EAB≌△DAC（SAS）．（2）解：如图，∵∠DAE＝60°，AE＝AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED＝60°，∵△EAB≌△DAC，∴∠AEB＝∠ADC＝110°．∴∠BED＝50°．17．解：（1）根据题意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，解得k＞；（2）根据题意得x1x2＝k2+1，∵x1x2＝5，∴k2+1＝5，解得k1＝﹣2，k2＝2，∵k＞，∴k＝2．18．解：（1）如图①，EF为所作；（2）如图②，∠PBC为所作．19．解：（1）如图，△AB1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）根据（1）的图可得B1的坐标（2，﹣2）．20．（1）证明：连接OC，∵直线l与⊙O相切于点A，∴∠DAB＝90°，∵DA＝DC，OA＝OC，∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA，∴∠DCA+∠ACO＝∠DAC+∠CAO，即∠DCO＝∠DAO＝90°，∴OC⊥CD，∴直线DC是⊙O的切线；（2）解：∵∠CAB＝30°，∴∠BOC＝2∠CAB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OC＝OB＝BC＝2，∴CE＝OC＝2，∴图中阴影部分的面积＝S△OCE﹣S扇形COB＝﹣＝2﹣．21．解：（1）当1≤x≤9时，设y＝kx+b（k≠0），则，解得：，∴当1≤x≤9时，y＝﹣300x+3300，当9＜x≤12时，y＝600，∴y＝．（2）设利润为W，则：当1≤x≤9时，W＝（x﹣1）y＝（x﹣1）（﹣300x+3300）＝﹣300x2+3600x﹣3300＝﹣300（x﹣6）2+7500，∵开口向下，对称轴为直线x＝6，∴当1≤x≤9时，W随x的增大而增大，∴x＝5时，W最大＝7500元，当9＜x≤12时，W＝（x﹣1）y＝600（x﹣1）＝600x﹣600，∵W随x的增大而增大，∴x＝12时，W最大＝6600元，∵7500＞6600，∴最大利润为7500元．22．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝3，A（﹣2，0），∴B点坐标为（8，0），设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣8），把C（0，4）代入得4＝a×2×（﹣8），解得a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣8），即y＝﹣x2+x+4；（2）存在．设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），设直线BC的解析式为y＝kx+m（k≠0）．将B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+m，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图．∴PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，∵S△PBC＝S△PCD+S△PBD，∴△PCD与△PBD可以看作成以PD为底，两高之和为OB的三角形，∴S△PBC＝PD•OB＝×8×（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．∵﹣1＜0，∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．此时P点的坐标为（4，6）．23．解：（1）∵⊙O与四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA分别相切于点E，F，G，H，∴猜想AB+CD＝AD+BC，故答案为：＝；（2）已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H，求证：AD+BC＝AB+CD，证明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG＝AH，同理：BG＝BF，CE＝CF，DE＝DH，∴AD+BC＝AH+DH+BF+CF＝AG+BG+CE+DE＝AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相等；（3）∵相邻的三条边的比为2：6：7，∴设此三边为2x，6x，7x，根据圆外切四边形的性质得，第四边为2x+7x﹣6x＝3x，∵圆外切四边形的周长为36，∴2x+6x+7x+3x＝18x＝36，∴x＝2，∴此四边形的四边的长为2x＝4，6x＝12，7x＝14，3x＝6．即此四边形各边的长为：4，12，14，6．24．解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+4a+4＝a（x﹣2）2+4，a＞0，∴y min＝4，∵时，二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小，∴﹣2＜x＜2，故答案为：4，﹣2＜x＜2；（2）∵M（2，4），N（﹣2，1），∴MN＝＝5，∵E（0，4a+4），F（0，﹣4a+1），∴EF＝8a+3，∴8a+3＝5﹣1，∴a＝；（3）当AM＝MN时，（m﹣2）2+42＝25，∴m1＝5，m2＝﹣1，当m＝5时，﹣a（x+2）2+1＝0的解为：x＝5，x＝﹣9，当m＝﹣1时，﹣a（x+2）2+1＝0的解为：x＝﹣1或x＝﹣3，当AN＝AM时，（m﹣2）2+42＝（﹣2﹣m）2+12，∴m＝，∴﹣a（x+2）2+1＝0的解为：x＝或x＝，当AN＝MN时，（m+2）2+1＝25，∴m＝﹣2﹣2（舍去），m＝﹣2+2，∴﹣a（x+2）2+1＝0的解为：x＝﹣2+2，x＝﹣2﹣2，综上所述：方程﹣a（x+2）2+1＝0的解是：x＝﹣1或x＝﹣3；x＝或x＝；x＝﹣2+2，或x＝﹣2﹣2．。
九年级上第二次月考数学试卷(有答案)
九年级上第二次月考数学试卷(有答案)一、选择题1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如果方程（m﹣3）﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对3．若将函数y=2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（）A．y=2（x﹣1）2﹣3 B．y=2（x﹣1）2+3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x+1）2+34．如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，AC=AB，则OC的长为（）A．B．C．D．5．图中实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池．若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（）A．12πm B．18πm C．20πm D．24πm6．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（）m．A．3 B．3 C．3 D．47．一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．8．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题9．已知点A（2，4）与点B（b﹣1，2a）关于原点对称，则a=，b=．10．已知一元二次方程（m+2）x2+7mx+m2﹣4=0有一个根为0，则m=．11．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手78次，则这次会议参加的人数是．12．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，DE交PA、PB于点D、E，已知PA长8cm．则△PDE的周长为；若∠P=40°，则∠DOE=．13．如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置．设BC=2，AC=2，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是．14．将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为．15．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么三辆汽车经过这个十字路口，至少有两辆车向左转的概率为．16．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米．三、解答题（共72分）17．用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣4x﹣21=0（2）（2x+1）（x﹣3）=（4x﹣1）（3﹣x）18．如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．（1）按要求作图：①△ABC关于原点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1；②△A1B1C1关于原点中心对称的△A2B2C2．（2）写出A2、B2C2坐标，并求△A2B2C2的周长．19．已知关于x的方程．（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|=|x1|+2，求m的值及相应的x1，x2．20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．（1）若∠C=30°，求证：BE是△DEC外接圆的切线；（2）若BE=，BD=1，求△DEC外接圆的直径．21．在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+（k﹣5）x﹣（k+4）的图象交x轴于点A（x1，0）、B（x2，0），且（x1+1）（x2+1）=﹣8．（1）求二次函数解析式；（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积．22．一只不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1、2、3、4．小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球．记两次取得乒乓球上的数字依次为a、b（1）求a、b之积为奇数的概率．（2）若c=5，求长为a、b、c的三条线段能围成三角形的概率．23．下图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥．该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm，下底面直径为4cm，母线长EF=8cm．求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积．（面积计算结果用π表示）．24．某公司营销A、B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在二次函数关系y=ax2+bx．在x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6．信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x．根据以上信息，解答下列问题；（1）求二次函数解析式；（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．九年级（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．故选D．2．如果方程（m﹣3）﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．据此即可得到m2﹣7=2，m﹣3≠0，即可求得m的范围．【解答】解：由一元二次方程的定义可知，解得m=﹣3．故选C．3．若将函数y=2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（）A．y=2（x﹣1）2﹣3 B．y=2（x﹣1）2+3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x+1）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，3）；可设新抛物线的解析式为y=（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3，故选D．4．如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，AC=AB，则OC的长为（）A．B．C．D．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】首先过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理，即可求得AD，BD的长，然后由勾股定理，可求得OD的长，然后在Rt△OCD中，利用勾股定理即可求得OC的长．【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，∵弦AB=2，∴AD=BD=AB=，AC=AB=，∴CD=AD﹣AC=，∵⊙O的半径为2，即OB=2，∴在Rt△OBD中，OD==1，在Rt△OCD中，OC==．故选D．5．图中实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池．若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（）A．12πm B．18πm C．20πm D．24πm【考点】弧长的计算．【分析】游泳池的周长即两段弧的弧长，每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则可知短弧所对的圆心角是120度，所以根据弧长公式就可得．【解答】解：．故选：D．6．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（）m．A．3 B．3 C．3 D．4【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为6cm的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点B是半圆的一个端点，而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和P在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．【解答】解：圆锥的底面周长是6π，则6π=，∴n=180°，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．则在圆锥侧面展开图中AP=3，AB=6，∠BAP=90度．∴在圆锥侧面展开图中BP=m．故小猫经过的最短距离是3m．故选C．7．一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；C、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误．故选：B．8．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；由图象可知：对称轴x==﹣1，∴2a=b，2a+b=4a，∵a≠0，∴2a+b≠0，②错误；∵图象过点A（﹣3，0），∴9a﹣3b+c=0，2a=b，∴9a﹣6a+c=0，c=﹣3a，③正确；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，④正确．故选：C．二、填空题9．已知点A（2，4）与点B（b﹣1，2a）关于原点对称，则a=﹣2，b=﹣1．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：点A（2，4）与点B（b﹣1，2a）关于原点对称，得b﹣1=﹣2，2a=﹣4．解得a=﹣2，b=﹣1，故答案为；﹣2，﹣1．10．已知一元二次方程（m+2）x2+7mx+m2﹣4=0有一个根为0，则m=2．【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．【分析】根据条件，把x=0代入原方程可求m的值，注意二次项系数m+2≠0．【解答】解：依题意，当x=0时，原方程为m2﹣4=0，解得m1=﹣2，m2=2，∵二次项系数m+2≠0，即m≠﹣2，∴m=2．故本题答案为：2．11．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手78次，则这次会议参加的人数是13．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设参加会议有x人，每个人都与其他（x﹣1）人握手，共握手次数为x（x﹣1），根据题意列方程．【解答】解：设参加会议有x人，依题意得：x（x﹣1）=78，整理得：x2﹣x﹣156=0解得x1=13，x2=﹣12，（舍去）．答：参加这次会议的有13人，故答案为13．12．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，DE交PA、PB于点D、E，已知PA长8cm．则△PDE的周长为16cm；若∠P=40°，则∠DOE=70°．【考点】切线长定理．【分析】根据切线长定理，可得DC=DA，EC=EB，继而可将△PCD的周长转化为PA+PB，连接OA、OB、OD、OE、OC，则可求出∠AOB的度数，从而可得∠DOE的度数．【解答】解：∵PA、PB、DE是⊙O的切线，∴DA=DC，EC=EB，∴△PDE的周长=PD+DC+EC+PE=PA+PB=2PA=16cm．连接OA、OB、OD、OE、OC，则∠AOB=180°﹣∠P=140°，∴∠DOE=∠COD+∠COE=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB=70°．故答案为：16cm、70°．13．如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置．设BC=2，AC=2，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是π+2．【考点】旋转的性质；扇形面积的计算．【分析】在△ABC中，BC=2，AC=2，根据勾股定理得到AB的长为4．求出∠CAB、∠CBA，顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是两个扇形的面积+△A′BC″的面积．根据扇形的面积公式可以进行计算．【解答】解：∵在Rt△ACB中，BC=2，AC=2，∴由勾股定理得：AB=4，∴AB=2BC，∴∠CAB=30°，∠CBA=60°，∴∠ABA′=120°，∠A″C″A′=90°，S=++×2×2=π+2，故答案为：π+2．14．将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为2cm．【考点】圆锥的计算．【分析】作OC⊥AB于C，如图，根据折叠的性质得OC等于半径的一半，即OA=2OC，再根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OAC=30°，则∠AOC=60°，所以∠AOB=120°，则利用弧长公式可计算出弧AB的长=2π，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到圆锥的底面圆的半径为1，然后根据勾股定理计算这个圆锥的高．【解答】解：作OC⊥AB于C，如图，∵将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，∴OC等于半径的一半，即OA=2OC，∴∠OAC=30°，∴∠AOC=60°，∴∠AOB=120°，弧AB的长==2π，设圆锥的底面圆的半径为r，∴2πr=2π，解得r=1，∴这个圆锥的高==2（cm）．故答案为：2cm．15．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么三辆汽车经过这个十字路口，至少有两辆车向左转的概率为．【考点】列表法与树状图法．【分析】至少两辆车向左转，则要将两辆车向左转和三辆车向向左转的概率相加．或用1减去一辆车或没车向左转的概率．【解答】解：三辆车经过十字路口的情况有27种，至少有两辆车向左转的情况数为7种，所以概率为：．16．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为0.5米．【考点】二次函数的应用．【分析】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．【解答】解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，由题意可得A（0，2.5），B（2，2.5），C（0.5，1）设函数解析式为y=ax2+bx+c把A、B、C三点分别代入得出c=2.5同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1解之得a=2，b=﹣4，c=2.5．∴y=2x2﹣4x+2.5=2（x﹣1）2+0.5．∵2＞0∴当x=1时，y=0.5米．∴故答案为：0.5米．三、解答题（共72分）17．用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣4x﹣21=0（2）（2x+1）（x﹣3）=（4x﹣1）（3﹣x）【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先移项得（2x+1）（x﹣3）+（4x﹣1）（x﹣3）=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）（x﹣7）（x+3）=0，所以x1=7，x2=﹣3；（2）（2x+1）（x﹣3）+（4x﹣1）（x﹣3）=0，（x﹣3）（2x+1+4x﹣1）=0，所以x1=3，x2=0．18．如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．（1）按要求作图：①△ABC关于原点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1；②△A1B1C1关于原点中心对称的△A2B2C2．（2）写出A2、B2C2坐标，并求△A2B2C2的周长．【考点】作图-旋转变换．【分析】（1）①利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；②利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A2、B2、C2，然后描点即可得到△A2B2C2；（2）先利用勾股定理分别计算出B2C2、A2C2、，A2B2，然后计算△A2B2C2的周长．【解答】解：（1）①如图，△A1B1C1为所作；②如图，△A2B2C2为所作；（2）A2、B2、C2的坐标分别为（3，1），（1，6），（1，3）B2C2=3，A2C2==2，A2B2==，所以△A2B2C2的周长=3+2+．19．已知关于x的方程．（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|=|x1|+2，求m的值及相应的x1，x2．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）先计算判别式得到△=（m﹣2）2﹣4×（﹣），再配方得到△=2（m﹣1）2+2，再根据非负数的性质得△＞0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=m﹣2，x1•x2=﹣≥0，再去绝对值得到x2=﹣x1+2或﹣x2=x1+2，然后分类解方程．【解答】（1）证明：△=（m﹣2）2﹣4×（﹣）=2m2﹣4m+4=2（m﹣1）2+2，∵2（m﹣1）2≥0，∴2（m﹣1）2+2＞0，即△＞0，∴无论m取什么实数，这个方程总有两个相异实数根；（2）解：根据题意得x1+x2=m﹣2，x1•x2=﹣≤0，∵|x2|=|x1|+2，∴x2=﹣x1+2或﹣x2=x1+2，当x2=﹣x1+2时，而x1+x2=m﹣2=2，解得m=4，原方程变形为x2﹣2x﹣4=0，解得x1=1+，x2=1﹣；当﹣x2=x1+2时，而x1+x2=m﹣2=﹣2，解得m=0，原方程变形为x2+2x=0，解得x1=0，x2=﹣2．20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．（1）若∠C=30°，求证：BE是△DEC外接圆的切线；（2）若BE=，BD=1，求△DEC外接圆的直径．【考点】切线的判定．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质由DE垂直平分AC得∠DEC=90°，AE=CE，利用圆周角定理得到DC为△DEC外接圆的直径；取DC的中点O，连结OE，根据直角三角形斜边上的中线性质得EB=EC，得∠C=∠EBC=30°，则∠EOD=2∠C=60°，可计算出∠BEO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由BE为Rt△ABC斜边上的中线得到AE=EC=BE=，易证得Rt△CED∽Rt△CBA，则=，然后利用相似比可计算出△DEC外接圆的直径CD．【解答】（1）证明：∵DE垂直平分AC，∴∠DEC=90°，AE=CE，∴DC为△DEC外接圆的直径，取DC的中点O，连结OE，如图，∵∠ABC=90°，∴BE为Rt△ABC斜边上的中线，∴EB=EC，∵∠C=30°，∴∠EBC=30°，∠EOD=2∠C=60°，∴∠BEO=90°，∴OE⊥BE，而OE为⊙O的半径，∴BE是△DEC外接圆的切线；（2）解：∵BE为Rt△ABC斜边上的中线，∴AE=EC=BE=，∴AC=2，∵∠ECD=∠BCA，∴Rt△CED∽Rt△CBA，∴=，而CB=CD+BD=CD+1，∴=，解得CD=2或CD=﹣3（舍去），∴△DEC外接圆的直径为2．21．在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+（k﹣5）x﹣（k+4）的图象交x轴于点A（x1，0）、B（x2，0），且（x1+1）（x2+1）=﹣8．（1）求二次函数解析式；（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）把（x1+1）（x2+1）=﹣8展开即可得到与根与系数有关的式子，让二次函数的函数值为0，结合求值即可；=×|OC|×P的横坐标的绝（2）可根据顶点式得到平移后的解析式，求得P，C坐标，S△POC对值．【解答】解：（1）由已知x1，x2是x2+（k﹣5）x﹣（k+4）=0的两根，∴又∵（x1+1）（x2+1）=﹣8∴x1x2+（x1+x2）+9=0∴﹣（k+4）﹣（k﹣5）+9=0∴k=5∴y=x2﹣9为所求；（2）由已知平移后的函数解析式为：y=（x﹣2）2﹣9，且x=0时y=﹣5∴C（0，﹣5），P（2，﹣9）=×5×2=5．∴S△POC22．一只不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1、2、3、4．小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球．记两次取得乒乓球上的数字依次为a、b（1）求a、b之积为奇数的概率．（2）若c=5，求长为a、b、c的三条线段能围成三角形的概率．【考点】列表法与树状图法；三角形三边关系．【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出a、b之积为奇数的结果数，然后根据概率公式求解；（2）根据三角形三边的关系，找出长为a、b、c的三条线段能围成三角形的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）画树状图：共有12种等可能的结果数，其中a、b之积为奇数的结果数为2，所以a、b之积为奇数的概率==；（2）长为a、b、c的三条线段能围成三角形的结果数为4，所以长为a、b、c的三条线段能围成三角形的概率==．23．下图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥．该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm，下底面直径为4cm，母线长EF=8cm．求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积．（面积计算结果用π表示）．【考点】圆锥的计算；弧长的计算．【分析】（1）设∠AOB=n°，AO=R，则CO=R﹣8，利用圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系列方程，并联立成方程组求解即可；（2）求纸杯的侧面积即为扇环的面积，需要用大扇形的面积减去小扇形的面积．纸杯表面积=S纸杯侧面积+S纸杯底面积．【解答】解：由题意可知：=6π，=4π，设∠AOB=n，AO=R，则CO=R﹣8，由弧长公式得：=4π，∴，解得：n=45，R=24，故扇形OAB的圆心角是45度．∵R=24，R﹣8=16，=×4π×16=32π（cm2），∴S扇形OCDS 扇形OAB =×6π×24=72π（cm 2），纸杯侧面积=S 扇形OAB ﹣S 扇形OCD =72π﹣32π=40π（cm 2），纸杯底面积=π•22=4π（cm 2）纸杯表面积=40π+4π=44π（cm 2）．24．某公司营销A 、B 两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A 种产品所获利润y （万元）与销售产品x （吨）之间存在二次函数关系y=ax 2+bx ．在x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6．信息2：销售B 种产品所获利润y （万元）与销售产品x （吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x ．根据以上信息，解答下列问题；（1）求二次函数解析式；（2）该公司准备购进A 、B 两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A 、B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）把两组数据代入二次函数解析式，然后利用待定系数法求解即可；（2）设购进A 产品m 吨，购进B 产品（10﹣m ）吨，销售A 、B 两种产品获得的利润之和为W 元，根据总利润等于两种产品的利润的和列式整理得到W 与m 的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：（1）∵当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，∴，解得，所以，二次函数解析式为y=﹣0.1x 2+1.5x ；（2）设购进A 产品m 吨，购进B 产品（10﹣m ）吨，销售A 、B 两种产品获得的利润之和为W 元，则W=﹣0.1m 2+1.5m +0.3（10﹣m ）=﹣0.1m 2+1.2m +3=﹣0.1（m ﹣6）2+6.6，∵﹣0.1＜0，∴当m=6时，W 有最大值6.6，∴购进A 产品6吨，购进B 产品4吨，销售A 、B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y 轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B 点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．【解答】解：（1）将B、C两点的坐标代入得，解得：；所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PP′交CO于E若四边形PO P′C是菱形，则有PC=PO；连接PP′，则PE⊥CO于E，∵C（0，﹣3），∴CO=3，又∵OE=EC，∴OE=EC=∴y=；∴x2﹣2x﹣3=解得x1=，x2=（不合题意，舍去），∴P点的坐标为（，）（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y=kx+d，则，解得：∴直线BC的解析式为y=x﹣3，则Q点的坐标为（x，x﹣3）；当0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，∴AO=1，AB=4，S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=AB•OC+QP•BF+QP•OF==当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．2017年1月29日。
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九年级数学第二次月考试卷
时间：120分钟 满分：100分
一、选择题（请把正确选项写在答案卷上，每题3分，共计30分） 1、 式子2-x 在实数范围内有意义，则X 的取值范围是（ ） （A ）x ≥0 （B ）x <0 （C ）x ≤2 （D ）x ≥2
2、 下列根式中，最简二次根式是（ ）
A. 0.25
B.
ab 2
C.m 2＋n 2
D. 18a 3
3、 有一人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则经过两轮传染后，患流感的总人数400，所列方程是 （ ）
（A ）)1(1x x x +++=400 （B ）)1(x x x ++=400 （C ）21x x ++=400 （D ）x 21+=400
4、“从布袋中取出一个红球的概率为0”，这句话的含义是（ ） (A) 布袋中红球很少 (B) 布袋中全是红球 (C) 布袋中没有红球 (D) 不能确定
5、扇形的半径为30cm ，圆心角为120°，此扇形的弧长是（ ） （A ）10 cm （B ）20 cm （C ）10πcm （D ）20πcm
6、下列事件中是必然事件的是（ ）。
（A ）太阳每天都从东方升起 ； （B ）度量三角形的内角和结果是360°； （C ）投掷一枚硬币，正面向上； （D ）某射击运动员射击一次，中靶心。
7、下面四张扑克牌中，属于中心对称图形的是（ ）
8、⊙O 的半径R=5cm ，点P 与圆心O 的距离OP=3cm ，则点P 与⊙O 的位置关
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
系是（ ）。
（A ）点P 在⊙O 外 （B ）点P 在⊙O 上 （C ）点P 在⊙O 内 （D ）不确定
9、如图所示三圆同心于点O ，AB=4cm ，CO ⊥AB 于O ，则图中阴影部分的面积为（ ）。
(A) 4cm 2 (B)1cm 2 (C)4兀cm 2 (D)兀cm 2 10、 如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm ，其中有油部分油面宽AB 为24cm ，则截面上有油部分油面高CD （单位：cm ）等于（ ） （A ）8cm （B
）
11cm
二、填空题（每小题2分，共20分） 1、方程0252=-
x 的解是 .
2、从6名男同学和2名女同学中派一名同学去观看排球比赛，男同学被派去的概率是 .
3、如图，一个油桶靠在墙边，量得WY=2m ，并且XY ⊥WY ，这个油桶的底面半径是__________。
4、如图：A 、
B 、
C 是⊙O 上的三点，∠BAC= 45°，则∠BOC=____
5、如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ 进攻。
当他带球冲到A 点时，同伴乙已经助攻冲到
B 点。
有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门。
仅从射门角度考虑，应选择第 种射门方式。
6、已知点A （－3，－2），点B 与点A 关于原点对称，点C 与点A 关于X 轴对称，则点B 、C 的坐标分别是B （ ）、C （ ）。
第5题图 第3题图 第4题图
A
7、半径为3的一个圆与另一个圆相切，而且圆心距为5，则另一个圆的半径是____________.
8、一个直角三角形的两条直角边长是方程01272=+-x x 的两个根，则此直角三角形的外接圆的半径是
9、如图：点D 是等边△ABC 的边BC 上一点，△ABD 绕点A 逆时针旋转到 △ACE 的位置 ，则∠DAE ＝
10、如图所示，⊙O 为△ABC 的内切圆， 80=∠ABC ， 40=∠ACB ， 则=∠BOC
三、解答下列问题（每小题4分，共20分） 1、计算：
（-22）2 +（32+）0
2、解方程： 01452=--x x
3、如图：两个同心圆，作一直线交大圆于A 、B ，交小圆于C 、D ，AC 与BD 有何关系？请说明理由.
A B D
C E 第9题
C
第10题
4、已知a 、b 均为正数。
Ⅰ）观察：①若a ＋b=2，则ab ≤1 ②若a ＋b=3，则ab ≤3
2
③若a ＋b=4，则ab ≤2 ……
Ⅱ）猜想：①若a ＋b=2000，则ab ≤___________，
②若a ＋b=m ，则ab ≤____________
5、有四张背面相同的纸牌A ，B ，C ，D ，其正面分别画有四个不同的几何图形（如图）．小华将这4张纸牌背面朝上洗后摸出一张，放回洗后再摸出一张．求：两次摸出的牌面图形都既是中心对称图形又是轴对称图形的纸牌的概率．
四、（每小题6分，共30分）
1、如图：圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，求（1）这个圆锥的侧面积（4分）；（2）这个圆锥的全面积。
（2分）
2、如图AB 在⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上,且BD =OB ,点C 在⊙O 上, ∠CAB =30°。
(1)CD 是⊙O 的切线吗？说明你的理由;（4分） (2)AC =_____，请给出合理的解释. （2分）
A
B C
D
O
3、甲、乙、丙三位小朋友做写1、2、3数字游戏，每人随机写出一个数字。
解决下列问题：
（1）用适当的方法表示所有可能出现的结果有多少种？（2分） （2）求三个人写出相同数字的概率；（2分）
（3）求其中至少有两个人写的是数字“1”的概率是多少？（2分）
4、某商店进购某种商品出售，若按每件盈利2元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元，其销售量就减少10件，问应将每件商品提高多少元出售时，才能使平均每天利润为1210元？（6分）
5、小华和小红用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别顺时针旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小华得2分；当所转到的数字之积为偶数时，小红得2分。
问：
（1）这个游戏对双方公平还是不公平？说明理
由。
（4分）
（2）若不公平，如何修改游戏规则才能使游戏
对双方公平？（2分）
九年级数学第二次月考参考答案
一、DCACD； ABCDA。
二、（1）X=±5；（2）3／4 ；（3）2m；（4）90°；（5）第二种；（6）
B（3，2）、C（－3，2）；（7）2或8；（8）2.5；（9）60°；（10）120°
三、1、7；2、X1=7，X2=－2； 3、AC=BD，理由略。
4、1000，m/2；
5、图或表略，共有16种可能的结果，其中既是中心对称图形又是轴对称图
形的只有一种：（BB），每种出现的可能性相等；∴P
（都既是中心对称图形又是轴对称图形）
=1/16。
四、1、（1）S侧=60πcm2（2）S全=96πcm2
2、（1）CD是⊙O的切线。
理由提示：连接OC、BC，证OC⊥CD。
（2）AC=CD，理由：由（1）得∠CAB=30°∠D=30°∴∠CAB=∠D
∴AC=CD。
3、（1）树形图略，共有27种可能出现的结果；
（2）P（三人写出数字都相同）=3/27=1/9；
（3）P
（至少两人是写1）
=7/27。
4、解：设每件商品应提高X元出售时，才能使平均每天利润为1210元，得
（2+X）（200—10X）=1210
即—10X2+180X—810=0
即 X2-18X+81=0
∴（X-9）2=0
∴X
1=X
2
=9
答：略。
（
积=奇数（2种）；积=偶数（4种）
∴P（积为奇数）=2/6=1/3；
∴P（积为偶数）=4/6=2/3；
∴小华得分：1/3×2=2/3
∴小红得分：2/3×2=4/3
∴这个游戏对双方不公平。
（2）（方法多种，能使双方得分相等即可）其一：将数字之积为奇数时小华得2分改为得4分，则对双方公平。