证明调和级数发散的多种方法

证明调和级数发散的多种方法
调和级数是指形如
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$ 的级数。

目前已经
发现了很多证明调和级数发散的方法。

以下将介绍五种以上的证明方法方法一：比较判别法
对于调和级数，我们可以在每个分数 $\frac{1}{n}$ 前乘以一个比
它更小的数 $\frac{1}{n+1}$，结果变为：
$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。

根据等差数列的求和
公式，我们可以得到该级数的部分和为 $1-(\frac{1}{2}-
\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-
\frac{1}{4})+\cdots$。

将同样的项进行合并可以得到 $1+\frac{1}{2}$，即该级数的部分和是不会超过一个常数。

而调和级数的部分和是无穷大的，因此调和级数发散。

方法二：比值判别法
将调和级数的相邻两项相除可以得到：
$\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}=\frac{n}{n+1}=1-
\frac{1}{n+1}$。

显然，该比值小于1，且随着 n 的增大趋于1、根据比
值判别法，如果极限 $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$ 或者
是无穷大，则级数发散。

因此调和级数发散。

方法三：积分判别法
我们可以利用积分来近似表示调和级数。

调和级数可以表示为
$\int_{1}^{n+1}\frac{1}{x}dx=\ln(n+1)$。

其中 $\ln(n+1)$ 是调和级
数的近似值。

由于 $\ln(x)$ 函数在 x 无穷大时也是无穷大，因此调和级数发散。

方法四：Cauchy分解定理
通过Cauchy分解定理，我们可以将调和级数分解成两个发散级数之和，证明调和级数发散。

我们将调和级数分解为
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}$ 和
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}$ 两个级数。

由于分母不同趋于无穷大，因此这两个级数都是发散的。

所以调和级数也发散。

方法五：奇偶性判别法
调和级数的前 n 项和可以表示为
$S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}=\f rac{1}{1}+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+\frac{1}{4}(\frac {1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7})+\cdots$ 可以观察到，每两项之间相差的数目是成倍递增的。

因此，将计算前 n 项的分数重新排列成一串数列时，可以发现这些数列是无限递增的。

因此，调和级数是一个发散级数。

总结
以上是证明调和级数发散的五种以上方法。

其中每种方法都有其独特之处，但都能够得出调和级数发散的结论。

这些证明方法的广泛存在说明了调和级数的发散性质是相对容易证明的。