CUSO4.5H2O原创 关于调和级数收敛的误解
调和级数的定义和收敛性分析
调和级数的定义和收敛性分析调和级数是数学中的一种重要数列，其定义为：对于正整数 n，调和级数的第 n 项为 1/n。
调和级数可以表示为：\[S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots\]接下来将对调和级数的收敛性进行分析。
1. 调和级数的发散性调和级数是一个经典的例子，可以证明它是发散的。
为了证明这个结论，可以使用比较判别法。
将调和级数的每一项与谐比级数进行比较：\[\frac{1}{n} > \frac{1}{2n}, \quad \text{对于所有} n > 1\]由于谐比级数是发散的，根据比较判别法，调和级数也是发散的。
2. 调和级数的部分和调和级数的部分和表示为：\[S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n}\]可以发现，对于任意正整数 n，部分和 \(S_n\) 都是有界的。
然而，尽管部分和有界，调和级数仍然是发散的。
3. 调和级数的收敛性对于调和级数，虽然它自身是发散的，但是当取其倒数时，却得到了一个收敛的数列。
这个数列被称为调和级数的倒数数列。
倒数数列定义为：\[\frac{1}{S_n}, \quad \text{对于所有正整数} n\]为了证明倒数数列的收敛性，考虑两个相邻的部分和 \(S_n\) 和\(S_{n+1}\)：\[S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n}\]\[S_{n+1} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} +\frac{1}{n+1}\]可以发现，当n 足够大时，\(S_{n+1}\) - \(S_n\) 的差值变得足够小。
这是因为调和级数的每一项趋近于 0，因此在分母上加上一个较大的正整数，对 \(S_{n+1}\) - \(S_n\) 的值影响很小。
欧拉当年是怎么一步步“压榨”调和级数的？
欧拉当年是怎么一步步“压榨”调和级数的？1735年，巴塞尔级数和的成功破解，让欧拉逐步坐稳了18世纪数学盟主的地位。
我们先来回顾一下巴塞尔级数是什么？巴塞尔级数如果把这里的2改成1，那就是大名鼎鼎的调和级数。
戏谑地说，调和级数应该是巴塞尔级数的大哥，因为无论从诞生的历史，还是内容的深度上都远胜于二弟。
为啥这个级数有个如此清新的名字？调和级数“调和”什么呢？这个级数名字源于泛音及泛音列（泛音列与调和级数英文同为harmonic series）：一条振动的弦的泛音的波长依次是基本波长的1/2、1/3、1/4……等等。
调和级数看到这个级数，就有种让人想去求和的冲动。
但是对一个数列来说，想求和，首先你要证明收敛性才行，巴塞尔级数的收敛性很好证明。
但是对于调和级数，敛散性却不是那么显而易见。
中世纪的欧洲大约在1360年，尼克尔·奥里斯姆就已经证明调和级数是发散的了，既然是发散，也就就不能求出来这个级数的和了。
他证明的方法，其实不算什么高深技巧，用到的是一种证明不等式的基本方法，放缩法。
我读高中的时候，数学课上还专门讲过，印象里最深的就是，老师说：放缩一定要适量，放缩法用得恰到好处，结论是不证自明的，要是放缩地太狠，不但得不到最后结论，甚至还会把你误入歧途。
好像现在高中数学里已经取消这个方法了，毕竟，相对于其他解题方法，放缩法的任意性要更高，也更难掌握一些。
下面我们来看一下，这位中世纪的数学家是如何来证明调和级数的发散性的。
奥里斯姆关于调和级数发散的证明(1) 式中[ ]内的项一次递增成2n个，为什么要这么操作？这样操作之后，(2)式中就可以把[]内的每一项都缩小到2-n，于是每个[]内的项相加都等于1/2,这样持续下去，就可以得到调和级数的和大于无穷多个1/2了，显而易见，调和级数是发散的。
哪里都有你——欧拉这是人们对于调和级数第一次探索的成果。
后来的研究过程中，人们越来越想用别的计算公式来逼近调和级数的和，因为调和级数和太过繁杂了。
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01
02 03 04
第一部分：论文背景
第二部分：研究综述 第三部分：结论验证 第四部分：论文总结
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调和级数敛散性判断-最新年文档
调和级数敛散性判断
调和级数的证明方法至少有20种左右，在此不一一列举，根据多年探索，我认为下面方法比较简单：
证明
其中：
易证：
事实上，
显然，数列s中，有无穷多个至少大于
S发散
结论：调和级数
可以组合成无穷多个大于某个数的上述括号项的子列，这是它发散的本质原因。
提示：aj理解时相对有点难度，从中往两边读就较易理解。
8.所以我们在考察级数时，其通项虽然趋于0，但由于其子列的组成元素可以任意多，子列的个数也是无穷多的。
9.我们在考察研究级数时，子列可刻划出它的某些性质。
10.我们拆散或组合子列会给我们研究带来某些方便
11.8中的两个无穷是值得我们深思的，提醒我们不能轻易通过通项的值作出结论
12.级数的这些无穷使它魅力无限，吸引着无数的数学工作者耕耘其中。
建议：若证明无误，且若尚无别人作过这样的证明，高校教材若采用此种证明会更有助于学生对调和级数的的理解和掌握。
126更正
二、因排版失误,误将本刊2009年4月第四期总第74期,第038页,作者:孙毅，标题应为《余庆县小腮镇水利建设中的问题及对策》。
特此更正，并向作者致歉。
魅力中国杂志社
2009年5月22日。
几何级数和调和级数的计算
将原调和级数错位排列，并相减得到新的交错级数，从而简化计算。例如，对于 1, 1/2, 1/3, ..., 1/n，将其错位排列为 1/2, 1/3, ..., 1/n, 1/(n+1)，然后与原级数相减得到新的交错级数，其前n项和可以用近似公式进行估算。
调和级数错位相减
05
CHAPTER
对于首项为a，公比为r的几何级数，其第n项an的公式为：an=a×rn−1an = a times r^{n-1}an=a×rn−1
几何级数的通项公式表明，任意一项都等于首项与公比的幂的乘积，其中幂指数是项数减1。
几何级数前n项的部分和Sn的公式为：Sn=a(1−rn)1−rSn = frac{a(1 - r^n)}{1 - r}Sn=1−ra(1−rn)
几何级数和调和级数的计算
汇报人：XX
2024-01-28
目录
几何级数概述调和级数概述几何级数与调和级数的比较几何级数与调和级数的计算技巧几何级数与调和级数在数学中的应用总结与展望
01
CHAPTER
几何级数概述
几何级数是一种数列，其中任意一项与它的前一项的比值是一个常数。这个常数被称为公比。
如果公比绝对值小于1，几何级数收敛；如果公比绝对值大于或等于1，几何级数发散。
几何级数与于形如a, ar, ar^2, ..., ar^(n-1)的等比数列，其前n项和为Sn = a(1-r^n)/(1-r)，特别地，当|r|<1时，无穷等比数列的和为S = a/(1-r)。
调和级数求和公式
对于形如1, 1/2, 1/3,..., 1/n的调和数列，其前n项和没有简单的封闭形式，但可以用近似公式Hn ≈ ln(n) + γ（其中γ为欧拉常数）来估计。
高等数学中的调和分析及其应用
调和分析是高等数学中的一个重要分支，其研究对象是调和函数和调和级数。
调和函数是满足拉普拉斯方程（即二阶齐次偏微分方程）的实数函数，而调和级数是一类特殊的无穷级数。
调和分析的应用非常广泛，包括物理学、工程学、信号处理等领域。
调和函数是一个重要的数学工具，常出现在物理学的波动方程、电势方程等问题中。
在电磁学中，调和函数被广泛应用于求解电磁场分布和电磁辐射问题。
此外，在流体力学中，调和函数可以用来描述流场的速度分布和压力分布。
因此，掌握调和函数的性质和求解方法对于解决这些实际问题具有重要意义。
调和级数是一类特殊的无穷级数，它可以表示为傅里叶级数的一种特殊情况。
调和级数研究的对象是周期为2π的实数函数的展开。
通过调和级数展开，我们可以将复杂的函数表示为简洁的无穷级数形式，便于研究和计算。
调和级数的收敛性是调和分析研究的一个重要问题，我们需要讨论在什么条件下调和级数收敛，并研究其收敛性质。
调和分析在信号处理方面有着广泛的应用。
调和函数的傅里叶变换可以将时域信号转换到频域。
通过对频域信号的分析，我们可以提取信号中的频率成分和幅度信息，进而用于实现滤波、谱分析和信号压缩等操作。
调和分析在数字音频和图像处理领域有着广泛的应用，例如基于小波变换的图像压缩算法就是调和分析理论的应用之一。
另外，在计算机图形学中，调和分析也发挥着重要的作用。
调和函数可以用于描述和分析三维模型在球面上的分布情况，这对于虚拟现实、计算机辅助设计等领域非常重要。
调和分析在计算几何和计算拓扑学中也有广泛的应用，例如曲面重建、形状匹配和形状变形等问题。
总之，高等数学中的调和分析是一个重要而又广泛应用的数学分支。
调和函数和调和级数的研究可以应用于物理学、工程学、信号处理等领域。
调和分析的技术在实际问题的分析和求解中起着重要的作用。
进一步深入研究和应用调和分析的理论，将有助于推动相关学科的发展，促进科学的进步和应用的创新。
关于调和级数的发散性的几种简单证明
关于调和级数∑∞=11n n的发散性的几种简单证明摘 要：本文主要介绍几种新的方法来证明∑∞=11n n的发散关键词：∑∞=11n n、发散、证明中图分类号：O221.2on Several Simply Methods Proof of The Divergency of ∑∞=11n nYue chunhongCollege of Mathematics and Computer science, Chongqing Normal university , Chongqing 400047Abstract : Several new methods to prove to reconcile the divergent sense in this paperKey words : ∑∞=11n n; pivergency; proof1 引言调和级数∑∞=11n n在级数中扮演着重要的角色，它通常作为去判断另外一个级数的发散的标准，许多级数的证明都与它有关。
因此，对调和级数的敛散性的研究是非常重要的，尤其对它的证明更是极其重要的。
它的发散性的证明在教材和一些参考书中都有所证明。
许多的人都在力求寻找新的证明方法。
本文在文献[5]中的相关结论下,给出了5种新的证明方法。
在通过教材与文献的中相关的内容的启发，得出了另外几种证明方法。
------------------------------------------------------------------------------------------------2 预备知识下面先给出证明中要用到的相关定理:定理2.1[]1 正项级数的基本定理： 若正项级数的部分和数列无上界，则此级数发散到+∞。
定理2.2[]6 若021≥≥≥≥≥ n a a a ，则级数∑∞=1n n a 与级数n n na 202∑∞=同时收敛，同时发散。
定理2.3[]1 （正项级数的比较判别法）若两个正项级数∑∞=1n nu 和∑∞=1n n v 之间成立着关系：存在常数0>c ，使n cv u ≤ () 3,2,1=n或自某项以后（即存在N ，当N n >时）成立以上关系式，则有（1）当级数∑∞=1n n v 收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（2）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n n v 亦发散。
关于调和级数既发散又收敛的悖论的说明
调和级数悖论的剖析——与张慧老师商榷蒋晓云1罗国湘2（1桂林师专数学与计算机科学系广西桂林541001；2桂林航天工业高等专科学校广西桂林541004）【摘要】张慧老师在文献[1]宣称证明了调和级数是一个既收敛又发散的级数，并认为这一悖论的发现是数学理论上的一个突破。
经过剖析发现文献[1]中调和级数收敛性证明是错误的。
【关键词】调和级数；收敛性；归纳法。
大家都知道费马是一位声望极高的数学家，他在研究了由公式给出的自然122+=n n F 数（后人称为费马数），发现都是素数，他曾65537,257,17,5,343210=====F F F F F 猜想：对任意一个自然数n ，费马数都是素数。
然而，十八世纪的瑞士数学家欧拉却发n F 现。
大数学家费马的错误告诉我们：单纯的枚举归纳法和直觉可能会67004176415×=F 欺骗我们，从而导致错误。
文献[1]宣称证明了调和级数是一个既收敛又发散的无穷级数，如果这一调和级数∑∞=11n n 悖论真正成立的话，微积分就又得要另起炉灶。
其实文献[1]中调和级数的收敛性证明又是直觉导致的错误，笔者对文献[1]的证明过程进行了剖析：调和级数中去掉分母中含有9的项，剩余项构成的新级数：∑∞=11n n 881801281201181101812111+++++++++++++=∑L L L L L u （1）L L L L L +++++++++++888180818011800110811001文献[1]先证明（1）是（绝对）收敛的，这是很多文献已发现的一个事实（如文献[2]）。
文献[1]再考虑调和级数分母中含有9的项组成的新级数∑∞=11n n 199119111901189111911091991901891291191911+++++++++++++++=∑L L L L v （2）L L L L ++++++++++999128912911290128912091由于（2）中分母为一位数的各项之和的小于级数（1）中分母为一位数的各项之和；91（2）中分母为两位数的各项之和小于（1）中分母为两位数991901891291191++++++L L的各项之和。
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关于调和级数收敛的误解
作者：CUSO4.5H2O 有一篇文章，证明了调和级数收敛。
当然不会两种情况啊！又收敛又发散。
作为计算系的学生，俺来算了一把。
这个归纳法实在有点模糊。
关键在
再次用到这种归纳。
这也算归纳啊。
首先，看到这个（3），我们很明显知道（3）中包含了子列通项是sum 1/(9+10n) ,它本身和sum 1/n 这个级数是同阶的。
也是发散的。
这里却证明了收敛。
作者怎么证的呢。
再仔细一看。
用的是正项级数的比较法。
从而可以知道了：
那么。
要不就是前面证明的（1）的收敛证明错了，要不就是这里的定理用错了，即“限制在分母都是n位的时候，所有分母含9的分数之和小于分母不含9的分数之和”这个论断是错的。
不废话了。
直接验证：
Matlab程序如下。
我们验证8位
function [ output_args ] = a( input_args )
clc
sum=0;
sum9=0;
%%
N=8;
a=power(10,N-1);
b=power(10,N)-1;
%%下面的是从a到b开始加。
含9的分数和加到sum9里面，不含9的分数和加到sum里面
for n=a:b
disp((n-a)/(b-a))
i=n;
F=0;
%%F ±íʾº¬9Óë·ñ
while i>0
temp=mod(i,10);
if temp==9
F=1;
end
i=(i-temp)/10;
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
if F==0
%%²»º¬9µÄºÍ
sum=sum+1/n;
% disp(n)
else
sum9=sum9+1/n;
end
end
sum
sum9
end
结果是
这样就证明了确实
“限制在分母都是n位的时候，所有分母含9的分数之和小于分母不含9的分数之和”这句话错了！！
从而这个推导
错了。
反思：
分析下作者这个地方为啥错了
写到这里。
我突然想起来实变函数中的一个题目：不含某一个数字的纯小数其实是零测集。
（。
具体语言写的不对头。
）但是可以想到的是，作者误以为不含9的数字远远多于含9的自然数。
其实是反的。
你想想不含九的n位数是9^n 个，含9的n位数字大概有10^n-9^n
9^n 比较10^n-9^n
简单的数学变形可以比较。
不过我们话一个直观的
这里蓝色的是代表不含9的数字个数占n位数字的百分比：9^i/10^i;红色的是含9的(10^i-9^i)/10^i;
可以看到最后的情况。
违反了作者的常识。
不写了。
就这个意思吧
最后结论：不是教授写的。
学生写的。
有趣的文章。