将调和级数中分母含有数字9的项去掉,所得的级数必收敛
欧拉当年是怎么一步步“压榨”调和级数的？
欧拉当年是怎么一步步“压榨”调和级数的？1735年，巴塞尔级数和的成功破解，让欧拉逐步坐稳了18世纪数学盟主的地位。
我们先来回顾一下巴塞尔级数是什么？巴塞尔级数如果把这里的2改成1，那就是大名鼎鼎的调和级数。
戏谑地说，调和级数应该是巴塞尔级数的大哥，因为无论从诞生的历史，还是内容的深度上都远胜于二弟。
为啥这个级数有个如此清新的名字？调和级数“调和”什么呢？这个级数名字源于泛音及泛音列（泛音列与调和级数英文同为harmonic series）：一条振动的弦的泛音的波长依次是基本波长的1/2、1/3、1/4……等等。
调和级数看到这个级数，就有种让人想去求和的冲动。
但是对一个数列来说，想求和，首先你要证明收敛性才行，巴塞尔级数的收敛性很好证明。
但是对于调和级数，敛散性却不是那么显而易见。
中世纪的欧洲大约在1360年，尼克尔·奥里斯姆就已经证明调和级数是发散的了，既然是发散，也就就不能求出来这个级数的和了。
他证明的方法，其实不算什么高深技巧，用到的是一种证明不等式的基本方法，放缩法。
我读高中的时候，数学课上还专门讲过，印象里最深的就是，老师说：放缩一定要适量，放缩法用得恰到好处，结论是不证自明的，要是放缩地太狠，不但得不到最后结论，甚至还会把你误入歧途。
好像现在高中数学里已经取消这个方法了，毕竟，相对于其他解题方法，放缩法的任意性要更高，也更难掌握一些。
下面我们来看一下，这位中世纪的数学家是如何来证明调和级数的发散性的。
奥里斯姆关于调和级数发散的证明(1) 式中[ ]内的项一次递增成2n个，为什么要这么操作？这样操作之后，(2)式中就可以把[]内的每一项都缩小到2-n，于是每个[]内的项相加都等于1/2,这样持续下去，就可以得到调和级数的和大于无穷多个1/2了，显而易见，调和级数是发散的。
哪里都有你——欧拉这是人们对于调和级数第一次探索的成果。
后来的研究过程中，人们越来越想用别的计算公式来逼近调和级数的和，因为调和级数和太过繁杂了。
不完整调和级数的敛散性
1 1 1 1 89 ； 72 10 13 99 10 10 1 1 1 1 1 1 1 8 92 648 ； 100 103 199 300 303 999 100 10 2 1 1 1 1 1 1 8 93 5832 ； 1000 1003 1999 3000 9999 1000 10 3
；
1 1 1 1 1 4 × 9 4 × 92 4 × 9n -1 + + + + + + ≤4 + + + + k 2 9 20 22 10 102 10n -1 9 9 n 1 9 9 2 10 10 9 4 4 9 40 4 4 4 4 9 10 10 10 1 10
；
1+ +
8 × 9n -1 1 1 1 1 8 × 9 8 × 92 + + + + + ≤5 + + + + k 9 10 13 10 102 10n-1
2 n 1
9 9 9 5 8 10 10 10
4 9 n 1 10 n 1
1 1 1 1 8 4 ； 2 2 3 9 1 49 1 1 1 ； 72 20 10 20 22 99
1 1 1 1 4 92 ； 648 200 202 999 200 10 2 1 1 1 1 4 93 ； 5832 2000 2002 9999 2000 10 3
调和级数的性质及其发散性的新证法
的性质 ，并利 用平均值 不等式， 给 出了其发散性 的新证 法． 关键词 ：调和级数 ；性质 ；发散性 ；证明 ；平均值 不等式 中图分类号：Ｏ１ ７ ３ ． １ 文献标识码 ：Ａ
一
、
调和级数 的性质
调 和 级 数 喜 ＝ １ ＋ ＋ ＋ … ＋ ＋ … 是 级 数 理 论 中 一 种 比 较 重 要 的 级 数 ， 它 除 了 发 散 性 之 外 ， 还
＝ ， 则（ １ ） 式成立．
＋ — —＋ — —
刀一１ Ｆ ／ Ｆ ／ ＋１
下 面 ， 我 们 来 证 明 调 和 级 数 喜 ＋ ‘ ＋ 一 是 发 黼 证 法 － 用 反 磁 假 设 级 数 ｏ 可 设 喜 财 根 挪 风 得
：
１ ＋ 十 ＋… ＋ ＋… ２ ３ Ｆ ／
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ — １ ２ － ２ ８ 作者简介：史西专（ 】 ９ ７ ６ －） ，男 ，河 南南阳人 ，硕 士，讲师 ，研 究方 向：高等数学 与应 用数 学。
１ ２８
关于这几个平均值 ，有如下重要不等式关系 ： 定理 １ 嘲 个正数 的调和平均值不超过它们 的几何平均值， 几何 平均值 不超过 它们 的算术平均值 ，即
． ＝１ ／ ７
可设 ｏ ｏ
贝 ｉ Ｊ 根据（ ２ 试 得
１ １
１
Ｓ ： １＋ 一 ＋ 一 － Ｉ －… ＋ 一 ＋ …
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：
力
１ ＋ ＋
２ 『 Ｌ ， ３ ＋ ４ ＋ ５ ＋ ６ ＋ ７ ］ ＋ ｆ ， ８ ＋ ９ ＋ ＋ １ ０ ＋ １ １ ］ １ ２ ｊ ＋ ｆ Ｉ ， ＋ ＋ ＋ ＋ １ ＋ … １ ３ １ ４ １ ５ １ ６ １ ７ ）
关于调和级数既发散又收敛的悖论的说明
调和级数悖论的剖析——与张慧老师商榷蒋晓云1罗国湘2（1桂林师专数学与计算机科学系广西桂林541001；2桂林航天工业高等专科学校广西桂林541004）【摘要】张慧老师在文献[1]宣称证明了调和级数是一个既收敛又发散的级数，并认为这一悖论的发现是数学理论上的一个突破。
经过剖析发现文献[1]中调和级数收敛性证明是错误的。
【关键词】调和级数；收敛性；归纳法。
大家都知道费马是一位声望极高的数学家，他在研究了由公式给出的自然122+=n n F 数（后人称为费马数），发现都是素数，他曾65537,257,17,5,343210=====F F F F F 猜想：对任意一个自然数n ，费马数都是素数。
然而，十八世纪的瑞士数学家欧拉却发n F 现。
大数学家费马的错误告诉我们：单纯的枚举归纳法和直觉可能会67004176415×=F 欺骗我们，从而导致错误。
文献[1]宣称证明了调和级数是一个既收敛又发散的无穷级数，如果这一调和级数∑∞=11n n 悖论真正成立的话，微积分就又得要另起炉灶。
其实文献[1]中调和级数的收敛性证明又是直觉导致的错误，笔者对文献[1]的证明过程进行了剖析：调和级数中去掉分母中含有9的项，剩余项构成的新级数：∑∞=11n n 881801281201181101812111+++++++++++++=∑L L L L L u （1）L L L L L +++++++++++888180818011800110811001文献[1]先证明（1）是（绝对）收敛的，这是很多文献已发现的一个事实（如文献[2]）。
文献[1]再考虑调和级数分母中含有9的项组成的新级数∑∞=11n n 199119111901189111911091991901891291191911+++++++++++++++=∑L L L L v （2）L L L L ++++++++++999128912911290128912091由于（2）中分母为一位数的各项之和的小于级数（1）中分母为一位数的各项之和；91（2）中分母为两位数的各项之和小于（1）中分母为两位数991901891291191++++++L L的各项之和。
级数收敛的条件
级数收敛的条件在数学中，级数是指将一组数相加得到的无穷序列，其中每一项都可以成为该序列中的一个元素。
如果一个级数的和有一个明确的极限值，那么它被认为是收敛的；否则，它被认为是发散的。
级数收敛的条件有很多，这里仅介绍一些基本的条件。
1. 正项级数正项级数是指所有的项都是非负数的级数。
如果一个正项级数的各项之和有一个上界，即和序列是有界的，那么它是收敛的。
这可以通过比较测试和比例测试来证明。
如果一个正项级数的各项之和没有上界，那么它是发散的。
2. 交错级数交错级数是指一组交替出现的正负数的级数。
如果一个交错级数的各项绝对值递减并趋近于零，那么它是收敛的。
这可以通过交错级数测试来证明，其中各项之和的误差可以用第一项之和的绝对值来估算。
3. 绝对收敛级数绝对收敛级数是指所有项的绝对值之和收敛的级数。
如果一个级数是绝对收敛的，那么它一定是收敛的。
对于绝对收敛级数，可以将条件收敛和绝对收敛用比较测试结合来证明。
正则级数是指一组满足一定条件的级数，如调和级数，幂级数等。
如果一个正则级数在其收敛区间内有界，那么它是收敛的。
5. 柯西收敛准则柯西收敛准则是指级数满足柯西收敛准则当且仅当它满足柯西准则，即对于任意正数ε，存在正整数N，使得当n>m>N时，级数的前N项之和小于ε。
如果一个级数满足柯西收敛准则，那么它是收敛的。
总之，级数收敛的条件有很多，这里只是介绍了一些基本的条件。
对于某些特定类型的级数，也有特定的收敛条件。
在具体求解中，需要根据具体的问题使用合适的测试来判断级数是否收敛。
调和平均数 收敛
调和平均数收敛调和平均数（harmonic mean）作为一种数学概念，常常被用于描述一组数值的平均水平。
与算术平均数和几何平均数不同，调和平均数更加注重较小数值对整体平均值的影响。
在这篇文章中，我们将探讨调和平均数的概念、性质以及其在实际生活中的应用。
调和平均数的定义很简单：一组数值的调和平均数等于这组数值的倒数的算术平均数的倒数。
换句话说，如果有n个数值x₁，x₂，…，xₙ，那么它们的调和平均数H等于n除以它们的倒数的和的倒数：H = n / (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ)。
这个定义可能有些抽象，但它在实际应用中有着重要的意义。
调和平均数的一个重要性质是，它对较小的数值更加敏感。
这是因为调和平均数的计算方式决定了较小的数值对整体平均值的贡献更大。
举个简单的例子，假设你在一天中以60公里/小时的速度驾驶了两个小时，然后以40公里/小时的速度驾驶了另外两个小时。
你可能会认为你的平均速度是（60 + 40）/ 2 = 50公里/小时，但实际上，根据调和平均数的定义，你的平均速度是2 / (1/60 + 1/40) ≈ 48.0公里/小时。
这个例子说明了调和平均数在处理比例关系时的实际应用。
调和平均数在实际生活中有着广泛的应用。
一个常见的应用是在电路中的电阻值计算。
当电路中存在多个电阻时，它们的等效电阻可以通过计算它们的调和平均数来得到。
这是因为电阻值与电流的关系是倒数关系，而调和平均数能够较好地反映这种关系。
调和平均数还在统计学中有着重要的应用。
在一些统计指标中，调和平均数被用来计算平均增长率、平均回报率等。
它能够更加准确地描述一组数值的平均水平，特别是在存在较小数值时。
除了以上的应用，调和平均数还可以在许多其他领域得到应用。
例如，它可以用于计算平均速度、平均密度、平均浓度等。
在这些情况下，调和平均数能够更好地反映较小数值对整体平均值的影响。
调和平均数作为一种数学工具，虽然在实际应用中不如算术平均数和几何平均数常见，但它在某些情况下具有独特的优势。
关于正项级数敛散性的判别法
关于正项级数敛散性的判别法作者: 学号： 单位： 指导老师摘要：级数是数学分析中的主要内容之一，我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种，柯西（Cauchy ）判别法、达朗贝尔（D'Alembert ）判别法、高斯（Gause ）判别法、莱布尼兹（Leibniz ）判别法、阿贝尔（Abel ）判别法等，对数项级数敛散性判别法进行归纳，使之系统化.关键词：正项级数；敛散性；判别法1引言设数项级数121...++...nn n aa a a ∞+==+∑的n 项部分和为：121......nn n i i S a a a a ==++++=∑.若n 项部分和数列为{n S }收敛，即存在一个实数S ，使lim n x S S →∞=.则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和，可见无穷级数是否收敛，取决于lim n x S →∞是否存在，从而由数列的柯西（Cauchy ）收敛准则，可得到级数的柯西（Cauchy ）收敛准则[1]: 数项级数1nn a∞=∑收敛⇔0,,,N N n N p N ε++∀>∃∈∀>∀∈对，有+1+2++...+<n n n p a a a ε.当p=1时，可得推论：若级数∑∞=1n nu收敛，则u lim n n =∞→.其逆否命题为：若lim n ≠∞→，则级数∑∞=1n nu发散.2 正项级数敛散性判别法设数项级数1nn a∞=∑为正项级数()0n a ≥，则级数的n 项部分和数列{}n S单调递增，由数列的单调有界定理，有定理2.1：正项级数n 1u n ∞=∑收敛⇔它部分和数列{}n S 有上界.证明：由于,...),2,1(0u i =>i 所以{n S }是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界（单调有界定理），从而本定理得证 . 由定理2.1可推得 定理2.2（比较判别法）：设两个正项级数n 1u n ∞=∑和n 1n v ∞=∑，且,n ,N N N ≥∀∈∃+有n n cv u ≤，c 是正常数，则1）若级数n 1n v ∞=∑收敛，则级数n 1u n ∞=∑也收敛;2）若级数n 1u n ∞=∑发散，则级数n 1n v ∞=∑也发散.证明：由定理知，去掉，增添或改变级数n 1u n ∞=∑的有限项，，则不改变级数n1u n ∞=∑的敛散性.因此，不妨设,+∈∀N n 有n n cv u ≤，c 是正常.设级数n 1n v ∞=∑与n1u n ∞=∑的n 项部分和分部是n B A 和n ，有上述不等式有，n n n n cB v v v c cv cv cv u A =+++=++≤+++=)...(......u u 212121n .1)若级数n 1n v ∞=∑收敛，根据定理1，数列{n B }有上届，从而数列{n A }也有上届，再根据定理1，级数n 1u n ∞=∑收敛;2)若级数n 1u n ∞=∑发散，根据定理1，数列{n A }无上届，从而数列{n B }也无上届，在根据定理1，级数n1un ∞=∑发散.其极限形式：定理2.2.1(比较判别法的极限形式)：设n 1u n ∞=∑和n 1n v ∞=∑（n v 0≠）是两个正项级数且有lim =n x nuv λ→∞，+∞≤≤λ0，1）若级数n 1n v ∞=∑收敛，且+∞<≤λ0，则级数n 1u n ∞=∑也收敛；2）若级数n 1n v ∞=∑发散，且+∞≤<λ0，则级数n 1u n ∞=∑也发散.证明:1）若级数n1n v∞=∑收敛，且+∞<≤λ0，，由已知条件，,,,00N n N N ≥∀∈∃>∃+ε,有0u ελ<-nnv ，即n n v N )(u ,n 0ελ+<≥∀有，根据柯西收敛准则推论的逆否命题，级数n 1u n ∞=∑收敛；2)若级数n 1n v ∞=∑发散，且+∞≤<λ0，由已知条件，,u ,,,00n nv N n N N <-≥∀∈∃+∞<<∃+ελλε有：根据柯西收敛准则推论的逆否命题知，则级数n 1u n ∞=∑也发散.若级数n 1n v ∞=∑发散，且+∞=λ，有已知条件，,u ,,0M v N n N N M nn>≥∀∈∃>∃+有，即,u ,,0M v N n N N M nn>≥∀∈∃>∃+有，根据’柯西收敛准则推论的逆否命题，则级数n 1u n ∞=∑也发散.例1 判别级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.分析: 考虑通项)1(1+n n ，分子n 的最高幂是0（只有常数1 ),分母n 的最高幂是2,这时通项接近2201n n n =,原级数也接近于级数∑∞=121n n ,这是12>=p 的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛.事先知道级数是收敛的,就把通项放大,放大为一个收敛的级数通项,这个级数一般就是∑∞=121n n ,至多差一个系数. 解: 因为21)1(1n n n <+（分母缩小,分数放大）,又由于∑∞=121n n收敛.则由此比较判别法,原级数∑∞=+1)1(1n n n 也收敛.例2 判别级数∑∞=--+12521n n n n 的敛散性. 分析: 考虑通项5212--+n n n ,分子n 的最高幂是1,分母n 的最高幂是2,这时通项接近，n n n 2122=,原级数也接近于级数∑∞=11n n,至多差一个系数.解: 因为52152221222--+≤--<=n n n n n n n n n （分子缩小,分母放大,分数缩小）,又由于∑∞=11n n是发散的,则由比较判别法,原级数也是发散的.由比较判别法可推得：定理2.3（比值判别法——达朗贝尔判别法）：设n 1u n ∞=∑(0>n u )为正项级数，且存在正常数q,则有1) 若,1u ,,1<≤≥∀∈∃++q u N n N N nn 有则级数n1un ∞=∑收敛；2) 若N n N N ≥∀∈∃+,，有1n n u v ≥，则级数n1u n ∞=∑发散. 证明：1）不妨设q N n n u u ,1n ≤∈∀+有, n=1， q u u 12≤;n=2,;u 2123q u q u ≤≤ n=3,;u 3134q u q u ≤≤......n=k,kk k q u u 11u ≤≤+......已知几何级数)10(11<<∑∞=q qu kk 收敛，根据柯西收敛准则推论的逆否命题，则级数n 1u n ∞=∑收敛.2)已知,1,n ,1≥≥∀∈∃++nn u u N N N 有即正项级数{n u }从N 项以后单调增加，不去近乎0()∞→0，则级数n1un ∞=∑发散.定理2.3.1（比值判别法的极限形式）：设n 1u n ∞=∑(0>n u )为正项级数，且l u u n n n =+∞→1lim，有，1) 若1<l ，则级数n 1u n ∞=∑收敛；2) 若1>l ，则级数n 1u n ∞=∑发散.证明：1),1:q <<∃q l 由数列极限定义，l q l N N N l nn -<->∀∈∃>=∃++u u ,n ,,0-q 10有ε即1u u 1<<+q nn ，根据达朗贝尔判别法，级数n 1u n ∞=∑收敛；2）已知1>l ，根据数列极限的保号性，1u u ,,n1n >≥∀∈∃++有N n N N ，达朗贝尔判别法，级数n1un ∞=∑发散.例3 判别级数∑∞=1!n n n n 的敛散性. 解: 由于11])11(1[lim )1(lim ]!)1()!1([lim lim11<=+=+=++=∞→∞→+∞→+∞→en n n nn n n u u n n n n nn n n n n ,所以根据达朗贝尔判别法的推论知,级数∑∞=1!n nnn 收敛. 例4 判别级数∑∞=155n nn的敛散性.解: 由于15)1(5lim ]5)1(5[lim lim55511>=+=+=∞→+∞→+∞→n n nn u u n n n n n n n ,根据达朗贝尔判别法的推论知,级数∑∞=155n nn发散.当正项级数的一般项n u 具有积、商、幂的形式,且n u 中含有!n 、!!n 、n a 以及形如)()2)((nb a b a b a +++ 的因子时,用达朗贝尔判别法比较简便.定理2.4（根式判别法——柯西判别法）：设n 1u n ∞=∑)0(u n >为正项级数，存在常数q ，则有1) 若,n ,N N N ≥∀∈∃+有1n <≤q u n ，则级数n 1u n ∞=∑收敛；2) 若存在自然数列的子列{}i n ，使得1u ≥nn ，则级数n 1u n ∞=∑发散.证明：1）已知,n ,N N N ≥∀∈∃+有qu n ≤n，有已知几何级数∑∞=<≤0n )10(q qn收敛，于是级数∑∞=0n nu收敛;2)已知存在无限个n,有1n≥n u ，即n u 趋近于0（∞→n ），于是级数n1un ∞=∑发散.定理2.4.1(根式判别法的极限形式)：设n 1u n ∞=∑为正项级数，若lu n n n =∞→lim1) 若1<l 时，级数n 1u n ∞=∑收敛；2) 若1>l 时，则级数n 1u n ∞=∑发散.证明：1)：q ∃1<<q l ,由数列极限定义，11,n ,,01q n 0<<--≥∀∈∃>-=∃+q u q l u N N N n n n 即有ε，根据柯西判别法，级数n 1u n ∞=∑收敛；2)已知1>l ，根据数列极限的保号性，1,n ,n >≥∀≥∃+n u N N N 有，根据柯西判别法，级数n 1u n ∞=∑发散.注意：在比值判别法和根式判别法的极限形式中，对=1r 的形式都为论及.实际上，当+1lim=1n x n u u →∞或+1lim =1n x nuu →∞时，无法使用这两个法判别来判断敛散性，如级数=11n n ∞∑和2=11n n∞∑，都有1+1lim =lim =11+1x x n n n n→∞→∞，()2221+1lim =lim =11+1x x n n n n →∞→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，lim x →∞，lim x →∞但前者发散而后者收敛.此外，定理2.3和定理2.4中，关于收敛条件+1q<1n nu u ≤和<1q ≤也不能放宽到+1<1n n u u，.例如对调和级数=11n n∞∑，有+1=<1+1n n u nu n ，，但级数却是发散的.例1 判别级数nnnn)12(1∑∞=+的敛散性.分析: 该级数的通项nnn)12(+是一个n次方的形式,于是联想到柯西判别法,对通项开n次方根,看其结果与1的大小关系.解: 由于12112lim)12(limlim<=+=+=∞→∞→∞→nnnnunnnnnnn,根据柯西判别法的推论,可得级数nnnn)12(1∑∞=+收敛.例2 判别级数∑∞=1ln32nnn的敛散性.解: 由于123232lim32limlimlnln>====∞→∞→∞→nnnnnnnnnnu,所以根据柯西判别法的推论知,级数∑∞=1ln32nnn发散.我们知道，广义调和级数（P-级数）11npnn=∑当1q>时收敛，而当1q≤时发散，因此，取P-级数作为比较的标准，可得到比比式判别法更为精细而又应用方便的判别法.即定理2.5（拉阿贝判别法）：设1nnnu=∑是正项级数且有)0(u>n，则存在常数q，1)若11n,n,1>≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≥∀∈∃++quuNNNnn有，则级数1nnnu=∑收敛；2）若11n,,1≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≥∀∈∃++nnuuNnNN有，则级数1nnnu=∑发散.证明：1）由q u u n n ≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11n 可得n qu n n -<+1u 1，选p 使1<p<q.由 ()()()11lim11lim 111lim 100<=-=--=---→→∞→qpqx p qx x nq np x px pn ，因此，存在正数N ，是对任意n>N,pn n⎪⎭⎫ ⎝⎛-->111q ,这样p p p n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---<+1111111u u n 1n ，于是，当n>N 时就有()Np PN PppN N N n n u n N u N N n n n n u u u u u .1.1...121.......u u u 11n 1n 1n -=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤=++++,当p>1时，级数∑∞=1n n1p收敛，故级数 则级数1nn n u =∑收敛；2）由,1111111nn n u u u u n n n n n -=-≥≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++可得于是222231-n n n 1n 1n .1u .21...12.1.u u .....u u .u u u u n n n n n u =--->=++，因为∑∞=1n 1n 发散，故级数1nnn u=∑发散.定理2.5.1（拉阿贝判别法的极限形式）： 设正项级数∑∞=1n n u )0(>n u ,且极限存在,若.)1(lim 1l u u n nn n =-+∞→ 1)当1<l 时,级数∑∞=1n n u 收敛;2) 当1>l 时,级数∑∞=1n n u 发散.例1 讨论级数sn n n ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(42)12(31 当3,2,1=s 时的敛散性.分析: 无论3,2,1=s 哪一值,对级数sn n n ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(42)12(31 的比式极限,都有1lim1=+∞→nn n u u .所以用比式判别法无法判别该级数的敛散性.现在用拉贝判别法来讨论.解: 当1=s 时,由于)(12122)22121()1(1∞→<→+=++-=-+n n n n n n u u n n n , 所以根据拉贝判别法知,原级数是发散的.当2=s 时,由于)(1)22()34()2212(1)1(221∞→<++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-+n n n n n n n u u n n n , 所以原级数是发散的.当3=s 时,∵)(23)22()71812()2212(1)1(3231∞→→+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-+n n n n n n n n u u n n n , 所以原级数收敛.考虑到级数与无穷积分的关系，可得 定理2.6（积分判别法）：设函数()f x 在区间(]1,∞上非负且递减，()n u f n =，n=1,2，……，则级数1nnn u=∑收敛的充分必要条件是极限()1lim xx f x dt →∞⎰存在.证明：()0f x ≥，知()F x =1()xf t dt ⎰单调递增.1lim ()lim ()xx x F x f t dt →∞→∞∴=⎰存在⇔()F x 在(]1,∞有界.（充分性）设1lim ()x x f t dt →∞⎰存在，则存在0M >,使得(]11,,()xx f t dt M ∀∈∞≤⎰级数1n n u ∞=∑的部分和12...n n S u u u =+++()()()12...f f f n =+++()()()()231211...n n f f t dt f t dt f t dt -≤+++⎰⎰⎰()()()111nf f t dt f M=+≤+⎰即部分和数列有上界.所以级数1n n u ∞=∑收敛.（必要性）设正项级数1n n u ∞=∑收敛，则它的部分和有上界，即存在0,,M n N ≥∀∈有,n S M ≤从而对(]1,,x ∀∈∞令[]1n x =+ 则()()2311121()()...()xnn n f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt -≤=++⎰⎰⎰⎰⎰()()()112...1n f f f n S M -≤+++-=≤.故极限1()x f t dt ⎰存在.由此我们得到两个重要结论： (1)p 级数11pn n∞=∑收敛1p ⇔>； (2)级数11ln pn n n∞=∑收敛1p ⇔>. 证明：1)在p 级数一般项中，把n 换位x ，得到函数1()(1)pf x x x =≥.我们知道，这个函数的广义积分收敛1p ⇔>，因此根据正项级数的广义积分判定法，结论成立.2）证法同（1）. 例1 判别级数∑∞=131n n 的敛散性. 分析:因为将n 换成连续变量x ,即是31x ，显然函数31x在),1[+∞是单调减少的正值函数,所以可以用积分判别法.解:将原级数∑∞=131n n 换成积分形式dx x ⎰+∞131,由于21210)21()21(lim 21121213=+=---=-=+∞→+∞∞+⎰px dx x p ,即dx x ⎰+∞131收敛,根据积分判别法可知,级数∑∞=131n n 也收敛. 例2 证明调和级数∑∞=11n n发散.把n 换成连续变量x 得函数x1,显然这是一个在),1[+∞单调减少的正值函数,符合积分判别法的条件.解:将原级数∑∞=11n n换成积分形式dx x ⎰+∞11,由于+∞=-+∞==∞++∞⎰0ln 111x dx x ,即dx x ⎰+∞11发散,根据积分判别法可知,调和级数∑∞=11n n发散. 3 正项级数敛散性其他两种判别法定理2.7（阶的估计法）：设1n n u ∞=∑为正项级数1()()n pu O n n=→∞，即n u 与1p n 当()n →∞是同阶无穷小，则1) 当1p >时，级数1n n u ∞=∑收敛；2) 当1p ≤是，级数1n n u ∞=∑发散.把比较判别法和比式判别法结合，又可得 定理2.8（比值比较判别法）：设级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是正项级数且存在自然数N ，使当n N ≥时有11n n n nu v u v ++≤，则1) 若1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑也收敛；2) 若1n n u ∞=∑发散，则1n n v ∞=∑也发散.证明：当n N ≥时，由已知得12121111.......n N N n N N n n N N N n N N n Nu u u u v v v vu u u u v v v v +++++-+-=≤=由此可得,N N n n n n N Nu vu v u v v u ≤≤.再由比较判别法即知定理结论成立. 主要参考文献：[1]刘玉琏、傅沛仁等，数学分析讲义（第三版）.高等教育出版社，2003 [2]罗仕乐，数学分析绪论.韶关学院数学系选修课程，2003.8 [3]李成章、黄玉民，数学分析（上册）.科学出版社，1999.5 [4]邓东皋、尹晓玲，数学分析简明教程.高等教育出版社，2000.6 [5]张筑生，数学分析新讲.北京大学出版社，2002.6 [6]丁晓庆，工科数学分析（下册）.科学出版社，2002.9[7]R.柯朗、F.约翰，微积分与数学分析引论.科学出版社，2002.5（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
关于调和级数的进一步讨论
关于调和级数的进一步讨论数学与与计算机科学学院数学与应用数学(师范)专业2004级刘挺指导教师赵克全摘要：调和级数是一类特殊而又十分重要的发散级数，具有一些非常重要的的性质。
教材中一般采用柯西收敛原理给出其证明。
事实上，证明调和级数发散的方法有很多种，各类证明方法都体现了不同的数学逻辑和思维。
本文从不同的方面入手，在已有文献的基础上，对调和级数作了进一步分析和讨论，并给出了调和级数发散性的一些新的证明方法和性质。
本文的结论是对已有文献中一些相应结果的改进与推广。
关键词：调和级数；发散；敛散性；应用Abstract：The harmonic series is one kind of special and very important divergent series which has some very important characterizations. In the teaching material, the authors usually made use of the convergence principle of cauchy to prove it. In fact, there are many ways of proving radiation of the harmonic series and each kind of method has manifested the different mathematical logic and the thought. In this paper，the harmonic series is discussed and analyzed deeply and widely from the different aspects, and at the same time has given some new ways of proving the radiation of harmonic series and some new properties of harmonic series. These conclusions improve and generalize some corresponding results in references.Key words：harmonic series；radiation；astringency and radiation；applications调和级数是一类重要的发散级数。
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证明：将调和级数中分母含有数字9的项去掉，所得的级数必收敛！
求出一个级数(不特别的)收敛值.
从没做过这样的题(一般证一致收敛)-----(求一般项1/N^2的级数和值倒是见过)
楼主的题目以前做过,不过方法忘了.现在证明方法比较偏,如下:
只要证明第K项级数小于1/k*[ln(k)]^2 即分母大于k*[ln(k)]^2就可以了!
(要得分,最好是:分母大于k^2, 一样证明)
很明显分母中不出现9 等价于9进制(很重要).
所以9进制数的表示法,k可表示为:k=n'0 * 9^0 + n'1 * 9^1 + .... +n'i * 9^i (n'i 为自然数) 而第K项数值的分母记为m: m = n'0 * 10^0 + n'1 * 10^1 + .... +n'i * 10^i
当K足够大时候有 m/k >{(10/9)^(i-1)> k*[ln(k)]^2/k= [ln(k)]^2 }
(后面那个不等式,左边增长速度快右边[很重要].而去掉有限项对级数收敛性无影响)
所以m>k*[ln(k)]^2.
由于级数1/k*[ln(k)]^2 收敛,所以的命题得求证!
我也来解解，大家看错没错。
谢谢！！
r1=一位数倒数的和，
r2=二位数倒数的和，
......
rn=n位数倒数的和
......
n位数中不含9的项共有8*（9的n-1次方）
n位数倒数大于1/99.....99，小于1/100......00.
所以
rn小于8*（9的n-1次方）*1/100......00=8*[（9/10）的n-1次方]
原级数=r1+r2+....+rn+....
很容易看出收敛的。
如果我的方法没错的话，
题目可以改成这样的。
证明：将调和级数中分母含有数字n的项去掉，所得的级数必收敛！
（n是0，1....，9中的某个数）
如果是去掉含有两个相同的数（如含两个9的数），则级数是不收敛的。
或如果是去掉含有两个不同的数（如含两个9，8的数），则级数是不收敛的。
更一般的：
如果是去掉含有i个相同的数（如含i个9，9..9的数），则级数也是不收敛的。
有兴趣的可以看看含有i个不相同的数，级数好象也不收敛。
胡说这些，不知道对不对。
请指教。
微积分中10大经典问题
悬赏金额: 1 金币
这里入选原则是必须配得起“经典”二字。
知识范围要求不超过大二数学系水平，尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。
排名不分先后。
1）开普勒定律与万有引力定律互推。
绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。
大家不妨试试，用不着太多的专业知识，不过很有挑战性。
重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这
个问题是锻炼数学能力的好题！
2）最速降线问题。
该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。
答案是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。
其解答一般变分书上均有。
本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。
这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。
最速降线问题通过引
入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。
不过变分法是对这
类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。
3）曲线长度和曲面面积问题。
一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。
如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。
但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。
德国数学家H.A.Schwarz举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有
面积任意大的内接折面。
4）处处连续处处不可导的函数。
长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数
无穷个点外是可导的。
但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却
处处不可导。
这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。
现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。
至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。
其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。
5）填满正方形的连续曲线。
数学总是充满神奇与不可思议，以前人们总是以为曲线是一维的，但是皮亚诺却发现了一条可以填满正方形的连续曲线。
结果人们不得不重新
审视以往对曲线的看法。
BTW：先写到这里，明天接着写另外5个。
1345中的例子可以在《数学分析新讲》中找到。
6)重积分变量替换定理。
该定理可以说是数学分析中比较大的一个定理，选择它的理由
是因为其具有微积分的显著特征，即用一般化的通法代替特殊化技巧性的方法。
微积分
的出现解决了不少以前从为解决的难题，使数学一般化了。
比如求面积，你不再像以往那样使用特殊的分割技巧，然后求和求极限了，而且范围也更广泛了。
7）泰勒级数和傅立叶级数是如何发现的。
注意这里是发现，而不是证明。
教材中对于一个定理，往往是直接列出定理，接着证明，最后举例。
但是对于数学思想阐述不够，尤其是对定理的“发现”过程介绍甚少，而这和定理本身同样重要。
泰勒级数和傅立叶级数源
自于人们这样朴素的思想，即用简单函数表示复杂函数。
而人们所熟悉的简单函数要数幂函数（整数次）和三角函数了。
泰勒级数来自泰勒多项式，而后者是泰勒从牛顿差分法中得到的，而且非常不严密。
傅立叶级数是傅立叶用分离变量法解热传导方程（二阶抛物型偏微分方程）时得到的。
此前欧拉等人也曾得到过类似结果，不过他们大都持怀疑态度。
谁会想到任意一个连续函数可以用和它根本不像的三角函数表示呢？人们对于无穷的认识
还很少。
关于泰勒级数和傅立叶级数是如何发现，大家可以参考《古今数学思想》二三册。
8）多项式逼近连续函数。
泰勒级数提供了用简单函数研究复杂函数的方法，不过它对函数本身要求也高（要求无穷次可导），这就限制了它的应用范围。
后来人们想对于连续函数，是否存在多项式，使得该函数与多项式之差可以任意小，即用多项式逼近连续函数。
答案是存在的，魏尔斯特拉斯最早给出了存在性的证明，后来斯通又将其推广为更一般的形式。
值得一提的是伯恩斯坦的证明，他不但证明了逼近多项式的存在性，而且给出了多项式-- ---伯恩斯坦多项式的构造方法。
以上证明均可以在张筑生老师的《数学分析新讲》第三册
中找到。
9）格林公式、高斯公式和斯托克斯公式的统一证明。
这三个公式是微积分中我最喜欢的公式之一，形式优美，含义深刻。
若将三者统一起来，就得引入外微分。
外微分可以说数学
分
析中最具有现代特色的内容之一了。
其本身既有抽象性，又有统一性，而且可以向高维情
况，
流形，微分几何，微分拓扑等进军。
陈省身老先生尤其喜欢用外微分。
外微分一般是数学
系
的必修课程。
国外比较不错的书推荐《流形上的微积分高等微积分中一些经典定理的现代
化
处理》（M.斯皮瓦克写的）。
不过该书写的比较简洁、难度很大，最好大二大三去看。
10）不动点定理。
布劳威尔的这个不动点定理可以说是名气大的下人，有个老外写了本科
普书
叫《20世纪数学的五大指导理论》，里面就有不动点定理。
而且也有专门的书，好象叫《不
动
点理论》，一般需要涉及拓扑理论。
据说不动点的应用范围远超出数学领域，有兴趣的可以
看
看《20世纪数学的五大指导理论》这本书。
不动点定理经过适当技术处理是可以放到微积
分中
的，就二、三维情况的可以看看张老师的《数学分析新讲》第三册。
对于一般的n维情况，
米尔
诺曾给出一个比较初等的解析证明，该证明可以在齐民友的《重温微积分》（很不错的书）
中找
到。
本帖最后由mysql 于2010-9-22 10:54 编辑
x1+x3+x6+x8+x11==x2+x5+x7+x10+x12==x1+x3+x5+x7+x9==x4+x6+x8+x10+x12==x2+x3+ x4+x5+x6==x7+x8+x9+x10+x11
并且这12个数互不相等
求这12个数
-11，-10，7，-8，12，0，-9，1，2，3，4，5。