数项级数收敛性判定
级数收敛发散的判断方法总结
级数收敛发散的判断方法总结
级数是一种由数列构成的无限求和，是数学中的一个重要概念。
在学习级数时，我们需要掌握判断级数是否收敛或发散的方法。
一、正项级数判别法
正项级数是指所有项都是非负的级数。
如果正项级数的部分和有上界，则该级数收敛；如果正项级数的部分和无上界，则该级数发散。
二、比较判别法
比较判别法是指将待判断的级数与已知的收敛或发散的级数进行比较，从而判断待判断的级数的收敛性。
1. 比较法一：若0≤a_n≤b_n，则若级数∑b_n收敛，则级数∑a_n
必收敛；若级数∑a_n发散，则级数∑b_n必发散。
2. 比较法二：若a_n≥0，b_n≥0，则若存在正整数N，使得对于n
≥N，a_n≤kb_n，则级数∑b_n收敛，则级数∑a_n必收敛；若级数
∑a_n发散，则级数∑b_n必发散。
三、极限判别法
极限判别法是指将待判断的级数的通项公式中的n变为无穷大，然后求其极限值，从而判断级数的收敛性。
1. 当极限lim(a_n) = 0时，级数∑a_n可能收敛也可能发散。
2. 当极限lim(a_n) ≠ 0时，级数∑a_n必发散。
四、积分判别法
积分判别法是将待判断的级数的通项公式中的n替换为变量x，然后将其转化为函数f(x)的形式，然后对函数f(x)在正实数区间[a,∞)上求不定积分∫f(x)dx，若积分∫f(x)dx收敛，则级数∑a_n收敛；若积分∫f(x)dx发散，则级数∑a_n发散。
以上就是关于级数收敛发散的判断方法的总结，掌握这些方法可以帮助我们更好地判断级数的收敛性，加深对级数概念的理解。
级数收敛的概念和判别法则
级数收敛的概念和判别法则级数是数学中重要的概念之一，它是由无穷多个数相加而成的一种数列。
级数的收敛性与数列的求和有着密切的关系，它在分析学、数学物理等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍级数收敛的概念及其判别法则。
一、级数收敛的概念级数是指由无穷多个数按照一定次序相加而成的表达式。
设a₁，a₂，a₃，……，aₙ，……是一个数列，则级数可以表示为S = a₁ +a₂ + a₃ + …… + aₙ + ……当数列{Sₙ}存在有限的极限值S时，称级数S收敛，记作∑aₙ = S。
反之，若数列{Sₙ}不存在有限的极限值，则称级数S发散。
二、级数收敛的判别法则为了判断一个级数是否收敛，数学家们提出了多种判别法则，下面将介绍其中几种常见的方法。
1. 初等判别法初等判别法适用于一些简单级数的判断。
对于级数∑aₙ，如果当n趋于无穷大时，aₙ趋于零，即lim(aₙ) = 0，那么级数必收敛。
2. 比较判别法比较判别法适用于正项级数的判定。
设有两个级数∑aₙ和∑bₙ，且对于所有n，都有0 ≤ aₙ ≤ bₙ成立。
若级数∑bₙ收敛，则级数∑aₙ也收敛；若级数∑aₙ发散，则级数∑bₙ也发散。
3. 极限判别法极限判别法适用于形式为aₙ = f(n)的级数。
若存在正整数N和常数p，使得当n > N时，有aₙ ≤ (n^p)成立，那么根据级数∑(n^p)的收敛性来判断∑aₙ的收敛性。
4. 比值判别法比值判别法适用于正项级数的判定。
设有级数∑aₙ，若存在正实数q，使得当n足够大时，有(aₙ₊₁/aₙ) ≤ q成立，那么如果q < 1，级数∑aₙ收敛，如果q > 1，级数∑aₙ发散，若q = 1，则该方法不适用。
5. 根值判别法根值判别法适用于正项级数的判定。
设有级数∑aₙ，若存在正实数r，使得当n足够大时，有(n√aₙ) ≤ r成立，那么如果r < 1，级数∑aₙ收敛，如果r > 1，级数∑aₙ发散，若r = 1，则该方法不适用。
数学分析中的级数收敛的判定方法
级数是数学分析中一个重要的概念，它由无穷多个数的和组成。
在研究级数时，我们常常希望知道该级数是否收敛。
本文将介绍数学分析中的一些级数收敛的判定方法。
首先我们来介绍级数的收敛和发散的定义。
对于给定的级数∑an，它的部分和序列是指Sn=∑an的前n项和。
如果该序列有极限L，即limn→∞Sn=L，那么我们称级数∑an收敛，并且极限L是该级数的和。
如果该序列没有极限，或者极限为无穷大，那么我们称级数∑an发散。
接下来我们将介绍一些级数收敛的判定方法。
1.比较判别法比较判别法是级数判定方法中最基本的方法之一。
其思想是将待判定的级数与一个已知的级数进行比较。
设∑an和∑bn是两个级数，如果对于所有的n，我们有0≤an≤bn，那么有以下结论：•如果∑bn收敛，那么∑an也收敛；•如果∑bn发散，那么∑an也发散。
通过比较判别法，我们可以快速判断某些级数的收敛性。
2.比值判别法比值判别法是另一种常用的级数收敛判定方法。
它通过计算级数的相邻两项的比值来判断级数的收敛性。
设∑an是一个级数，定义rn=|an+1/an|，如果以下条件满足：•如果rn<1，则级数∑an收敛；•如果rn>1，则级数∑an发散；•如果rn=1，则比较判别法不起作用，我们需要采用其他方法进行判定。
比值判别法在实际运用中非常有用，特别是对于一些指数函数形式的级数。
3.根值判别法根值判别法是一种级数收敛的判定方法，它利用级数的项求极限的方法进行判定。
设∑an是一个级数，定义rn=|an|^(1/n)，如果以下条件满足：•如果rn<1，则级数∑an收敛；•如果rn>1，则级数∑an发散；•如果rn=1，则比较判别法不起作用，我们需要采用其他方法进行判定。
根值判别法是一种常用的方法，特别适用于指数函数形式的级数。
4.正项级数判别法正项级数判别法是一种判定正项级数（即级数的每一项都是非负数）收敛性的方法。
它通过判断级数的部分和序列是否有上界来进行判定。
函数项级数收敛性
函数项级数收敛性函数项级数是指由函数项按照一定规则排列组成的级数。
在研究级数的收敛性时，我们通常关注的是序列的部分和序列，即部分和序列的极限是否存在。
在本文中，我们将介绍函数项级数的收敛性及其相关概念。
1. 函数项级数的定义考虑一个函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$，其中$\displaystyle a_{n} ( x)$为关于变量$\displaystyle x$的函数。
对于任意固定的$\displaystyle x$，元素$\displaystyle a_{n} ( x)$称为级数的通项。
部分和序列$\displaystyle S_{n} ( x)$定义为$\displaystyle S_{n} ( x) =\sum _{k=1}^{n} a_{k} ( x)$。
2. 函数项级数的收敛性函数项级数的收敛性与序列的收敛性密切相关。
函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$在某一点$\displaystylex$收敛，即当$\displaystyle n$趋于无穷时，部分和序列$\displaystyleS_{n} ( x)$的极限存在，记为$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x) =S( x)$。
如果对于所有$\displaystyle x$都有$\displaystyle S( x) \neq\infty ,S( x) \neq -\infty$，则称级数在$\displaystyle x$上绝对收敛。
3. 收敛性判定准则对于函数项级数的收敛性判定，有以下几个准则:3.1 Cauchy准则函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$在某一点$\displaystyle x$处收敛的充分必要条件是，对于任意正数$\displaystyle \varepsilon$，存在一个正整数$\displaystyle N$，使得当$\displaystyle m,n>N$时，$\displaystyle \left| \sum _{k=n}^{n+m} a_{k} ( x)\right|<\varepsilon$。
任意项级数收敛性判定定理
任意项级数收敛性判定定理定理1 1||lim ||n n na r a +→∞=，则1r <时，1n n a ∞=∑收敛，1r >时，1n n a ∞=∑发散。
定理2n r =，则1r <时，1n n a ∞=∑收敛，1r >时，1n n a ∞=∑发散。
定理1证明：1r <时，1||nn a ∞=∑收敛，从而1n n a ∞=∑收敛。
1r >时，0ε∀>，N ∃，当n N≥时，1||||||n n a r a ε+-<，于是1||||n n a r r a εε+-<<+，由ε的任意性，1r >时，总可以使1r ε->。
于是1||||N N a r r a εε+-<<+，2+1||||N N a r r a εε+-<<+，…，1||||N n N n a r r a εε++--<<+，所有不等式相乘，得||()()||n n N n N a r r a εε+-<<+，即||()||||()n n N N n N a r a a r εε+-<<+。
||N n a +被两个公比大于1的等比数列夹住，不可能是无穷小量，N n a +也不可能是无穷小量，则1N n n a∞+=∑必然发散。
1N n n a ∞+=∑只是1n n a ∞=∑去掉有限项，故两者收敛性相同，1n n a ∞=∑必定发散。
证毕。
定理2证明：1r <时，1||nn a ∞=∑收敛，从而1n n a ∞=∑收敛。
1r >时，0ε∀>，N ∃，当n N≥时，|r ε<，由ε的任意性，1r >时，总可以使1r ε->。
于是()||()n n n r a r εε-<<+，||n a 被两个公比大于1的等比数列夹住，不可能是无穷小量，n a 也不可能是无穷小量，则1n n a ∞=∑必然发散。
数项级数和函数项级数及其收敛性的判定
学号数项级数和函数项级数及其收敛性的判定学院名称：数学与信息科学学院专业名称：数学与应用数学年级班别：姓名：指导教师：2012年5月数项级数和函数项级数及其收敛性的判定摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。
关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法.Several series and Function of series and the judgment of theirconvergenceAbstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method.Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method前 言在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。
数学函数级数收敛与发散判断方法
数学函数级数收敛与发散判断方法在数学中，函数级数是由无穷多个函数项的和所组成的。
判断一个函数级数是收敛还是发散，是数学中的一个重要问题。
本文将介绍几种常见的判断函数级数收敛与发散的方法。
一、极限判别法极限判别法是判断函数级数收敛与发散的基本方法之一。
它利用函数项的极限来判断级数的性质。
1. 首先，考察函数项的极限是否存在。
计算函数项的极限值，如果存在有限的值，则可以说级数可能是收敛的。
2. 其次，如果函数项的极限不存在或为无穷大，则级数可能是发散的。
3. 在一些特殊情况下，函数项的极限为0，并不能确定级数是收敛还是发散，此时需要进一步应用其他的方法进行判断。
二、比较判别法比较判别法是另一种常见的判断函数级数收敛与发散的方法。
它将待判定的级数与已知性质的级数进行比较。
1. 比较判别法的基本思想是，如果待判定的级数的每一项都小于或等于一个已知收敛级数的对应项，那么待判定的级数也是收敛的。
2. 如果待判定的级数的每一项都大于或等于一个已知发散级数的对应项，那么待判定的级数也是发散的。
3. 比较判别法中常用的比较级数有调和级数、几何级数和正项级数等。
三、积分判别法积分判别法是判断正项级数收敛与发散的一种重要方法。
它利用函数的积分值来确定级数的性质。
1. 如果正项级数的每一项都比一个连续函数在某一区间上的积分都要小，那么该级数是收敛的。
2. 如果正项级数的每一项都比一个连续函数在某一区间上的积分都要大，那么该级数是发散的。
3. 积分判别法需要熟练运用积分计算，因此在应用时需要注意对函数的积分运算。
四、根值判别法根值判别法也是判断正项级数收敛与发散的一种常用方法。
它通过取函数项的n次方根来判断级数的性质。
1. 如果正项级数的每一项的n次方根趋于0，则级数是收敛的。
2. 如果正项级数的每一项的n次方根趋于无穷大，则级数是发散的。
3. 根值判别法中的n通常取为2或者3，具体取决于待判定级数的形式。
综上所述，极限判别法、比较判别法、积分判别法和根值判别法是常见的判断函数级数收敛与发散的方法。
10.3数项级数的收敛性判别法(1)
1+ n 由比较判别法知，级数∑ un = ∑ 发散. 2 n =1 n =1 1 + n
12
∞
∞
n! 例5 判断级数 ∑ n 的敛散性. n =1 n
但
p ≤ 1, 级数发散 .
21
∞
例12 讨论级数
∑n x
n =1
n −1
( x > 0 ) 的敛散性 .
u n +1 (n + 1) x n = lim =x 解: ∵ lim n − 1 n →∞ u n n →∞ n x
根据定理4可知:
当0 < x < 1 时, 级数收 敛 ; 当 x > 1时, 级数发散 ;
n− N
u N +1
k ( ρ + ε ) 收敛 , 由比较判别法可知 ∑
∑ un 收敛 .
20
(2) 当ρ > 1 或 ρ = ∞ 时,必存在 N ∈ Z + , u N ≠ 0, 当n ≥ N
u n +1 > 1, 从而 时 un u n +1 > u n > u n −1 > ⋯ > u N
(1) 当0 < l <∞时, 取 ε < l , 由定理 2 可知
∑ u n 与 ∑ vn
n =1 n =1
∞
∞
(2) 当l = 0时, 利用 u n < ( l + ε ) vn (n > N ), 由定理2 知 若 ∑ vn 收敛 , 则 ∑ u n 也收敛 ;
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vn
收敛，则 un
收敛；
n 1
n1
当
l
时，若
vn
发散，则 un
发散．
n 1
n1
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例 2:判断级数（1） sin ；（2） (1 cos ) ；（3） 2n sin x
n1
n
n1
n
n1
3n
的敛散性．
sin
解: （1）由于lim n
n
1
，所以原级数与 n1
n
具有相同的敛散性，而 1
lim
n
u
n
0．
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例
5：判断级数（1） (1)n n1
ln 2 n
n
；（2） sin(n n2
1) ln n
的敛散性．
解：1）由 ln 2 n
n
1 n
（n 2
）可知| (1)n n1
ln 2 n |
n
是发散的．
而当x e 2
时，有(ln 2 x )'
x
ln x(2 ln x) 0 ，即当 n>9
x
，因为级数
vn
n 1
=
(2)nx n1 3
x (2)n n1 3
收敛，而
3n
lim un
n vn
1 ，由定理结论知，级数 2n sin x
n1
3n
收敛．
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用比较判别法，需要先找到一个敛散性已知的合适级数来与原级数进行比 较，这在有些情况下是有一定难度的，可否通过级数本身来判定其敛散性呢？ 借助于比较判别法和等比级数的结论，我们可以得到下述判别法：
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3．根值判别法（Cauchy 判别法）
1时
定理 4：设正项级数un
满足lim n n
un
，则： 1时
n1
1时
u
收敛
n
n1
u
发散
n
．
n1
u n可能收敛可能发散
n1
例
4：判断级数 (
n
n
)
n1 2n 1
的敛散性．
解：由 lim n n
un
= lim n n
( n )n 2n 1
例
1：讨论p
级数 1
np
n1
（p 0
）的收敛性
解：当 p
=1
时， 1 n1 n
发散
当 0
p 1时， 1
np
1 n
，有 1
n1 n p
发散
2项 4项
当 p 1 时， 1 n1 n p
=1
1 2p
1 3p
1 4p
<
1
(
1 2p
1 )( 1
2p
4p
1 ) 1 4p 8p
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注
：判定
un
的收敛性可采用正项级数的判别法进行．要注意的是：
n1
在一般情况下，当
u
n
发散时并不能说明 un
发散，但我们若用比值
n1
n1
或根值判别法判断到 un 发散，则可说un 也一定发散．这是由于用
n1
n1
比值或根值判别法判断 un
发散的
根据是lim n
u
n
0
，而此时显然也有
n1
n 1
n 1
交错）．
对交错级数我们有下面的判别法：
定理
5：（Leibniz
定理）：设交错级数
(1) n1 un
满足（1）un1
un
；（2）lim n
u
n
0
；
n1
则 (1)n1un 收敛． n1
定义 2：若 un 收敛，则称 un 绝对收敛；若 un 发散，而 un
n1
n1
n1
n1
条件收敛．
收敛，则称 un n1
=lim n
n 2n 1
=1 1 ，所以级数 (
n
n
)
2
n1 2n 1
收敛．
注：在应用比值判别法和根值判别法时，若 1 ，则不能判断un 的敛散性， n1 此时可考虑应用比较判别法或其它方法．
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8.2.2 任意项级数收敛性的判定
定义 1：级数 (1)n un 或 (1)n1un （un 0 ），称为交错级数（即级数各项正负
x2
时，
ln 2 n
n
单调减少且
ln 2 n lim n n
0 ，由
Leibniz
定理和
8.1.2
中性质
3
知 (1)n n1
ln 2 n n
收敛；
故级数 (1)n ln 2 n 条件收敛．
n1
n
（2） un
sin(n
1 ) = (1)n
ln n
sin
1 ln n
，
n
时，
sin
1 ln n
=lim ( n 2)2 1
n n 1 2
=1 1
2
，
2n
故级数 (n 1)2 sin 收敛．
n1
2n
（3）由 lim un1
n un
= lim 2n1 (n 1)! (n 1) n1
n
2n n! n n
= lim 2
n
1
(1 )
2 1，
e
n
2n n!
所以级数
n1
nn
收敛．
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2．比值判别法（D’Alembert 判别法）
定理 3：设正项级数 un n1
1时
满足 lim un1
n un
，则：
1时
1时
u
收敛
n
n1
u
发散
n
．
n1
un可能收敛可能发散
n1
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例
3：判断级数（1）
n1
n4 4n
；（2） (n 1)2 sin
n1
2n
；（ 3 ）
～
1 ln n
1 n
，所以
sin(n
1)
n1
ln n
发散；
又
1 n
单减（n
2
），而lnim sin
1 ln n
0
，
所以 s in(n n1
1) ln n
为
Leibniz
级数，故级数 s in(n n1
1) ln n
条件收敛．
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所以关于p
级数
1
n1 n p
（p 0
）有结论：当0 p 1
时发散，p 1
时收敛．
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定理 2’：（比较判别法的极限形式）：
设
un
n1
，
vn
n1
都为正项级数，若lim un
v n n
l
（0 l
），
则
:
u
n
， vn
具有相同的收敛性．
n1
n1
特 别 地 : 当l
0
时，若
2n n!
nn
n1
的敛散性．
解：（1）由于 lim un1 u n n
= lim n
(n 1) 4 4n1 n4 4n
= lim 1 ( n 1)4
n 4 n
=1
4
1
，故级数
n1
n4 4n
收敛．
（2）由 lim un1
n un
=
lim
n
(n 2)2 sin (n 1)2 sin
2 n 1
n1 n
n1 n
发散，
n
所以 sin 发散．
n1
n
（2）因为当n 时，1 cos 0 ，且有1 cos
n
n
～1 2
2 n2
，而级数
n1
2 2n 2
收敛，所
以 (1 cos ) 收敛．
n1
n
x
（3）通项 un
2n
sin
x 3n
( 2)n x sin 3n
3
=
n1
(
2
1
p 1
)
n1
右边为等比级数，公比q
1 2 p1
1 ，收敛，从而 1
np
n1
收敛．
或：当
n
1
x
n
时
1 np
1 xp
，
1 np
= n 1
dx n1 x p
1 ( 1 1 )，
p 1 (n 1) p1 n p1
1
(
1
p 1 n2 (n 1) p1
n
1
p 1
)
=
1 收敛．
p 1