数项级数的敛散性的练习题及解析

合集下载

有关级数的典型例题

n > N 1 时， x n ↘．现证 n ® ¥ 时， x n ® 0 ．取 0 < k < a ， $N 2 > N 1 ，当 n > N 2 时有
k æ 1 ö a æ 1 ö ç1 + ÷ = 1 + + oç ÷ < 1 + ． n è n ø n è n ø
¥
例 5 设正项级数 å x 且数列 { x 单调减少．利用 Cauchy 收敛原理证明： n 收敛， n }
n =1
lim nx n = 0 ．
n ® ¥
¥
证
由 å x { x 单调减少，有 x u n < +¥ 和 "e > 0 ，由 å n 收敛及 n } n ↘ 0 ．对
另一方面，注意 z n = cos nx + i sin nx ，又有
¥
å ( qz )
n =1
n
n =qz + ( qz )2 + ( qz )3 + L + ( qz ) +L
= qz + q 2 z 2 + q 3 z 3 + L + q n z n + L = q cos x + qi sin x + q 2 cos 2 x + q 2 i sin 2 x + L + q n cos nx + q n i sin nx
e
，因而 0 £ 2 kx 2 k < e ； 2
e
2
， ( 2 k + 1 ) u 2 k +1 2 k + 2 ) u 2 k +1 < e ． £ (

《无穷级数》练习题参考答案

无穷级数P127-练习1判别下列级数的敛散性：1．312ln n nn∞=∑；【解】321454ln ln lim lim 01→∞→∞==n n nnnnn，而级数5141∞=∑n n收敛（54p =的p -级数），则由正项级数的极限形式的比较判别法知312ln n nn∞=∑收敛.2．21sin2n n n π∞=∑．【解】因为22sin 22ππ≤n n n n ，由于2112(1)12lim lim 122n n n n nnn un u p p ++®¥®¥+==<，故由正项级数的比值判别法知级数212π∞=∑n n n 收敛.再由正项级数的比较判别法知21sin2nn n π∞=∑收敛，且为绝对收敛.P128-练习2设常数0,a >试判别级数1(1)(1cos nn a n ∞=−−∑是条件收敛还是绝对收敛．（1992）【解】2111(1)(1cos )(1cos )2sin 2nn n n a a a n n n ∞∞∞===−−=−=∑∑∑，因为正项级数212n a n ∞=⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑收敛，而22sin 22a a n n ⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠，所以正项级数211(1cos 2sin 2n n a a n n ∞∞==−=∑∑收敛，从而级数1(1)(1cos )nn an ∞=−−∑绝对收敛.P129-练习3设正项级数1n n a ∞=∑收敛，且常数(0,)2πλ∈，则21(1)(tan )n n n n a n λ∞=−∑（）．（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）收敛性与λ有关【解】因正项级数1nn a∞=∑收敛，所以21nn a∞=∑也收敛.又22tan lim lim tan ,0nn n n n a n n a n ll l l ®¥®¥==>，故由正项级数的极限形式的比较判别法知21(1)(tan n n n n a n λ∞=−∑是绝对收敛的.选（A ）P130-练习4设级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，且n n n a c b ≤≤，证明：级数1nn c∞=∑收敛．【证明】由0n n n n n n n a c b c a b a ≤≤⇒≤−≤−,故级数11(),()nn nn n n ba ca ∞∞==−−∑∑均为正项级数.因为级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，则1()nn n ba ∞=−∑收敛，由正项级数的比较判别法知1()n n n c a ∞=−∑收敛，又由于级数()11()n nn n n n c ac a ∞∞===+−∑∑，则由性质知级数1n n c ∞=∑收敛．P133-练习5求幂级数121(1)21n n n x n -¥=--å的收敛域及和函数．（2010）【解】易求得级数的收敛半径1R =，且在1x =±时级数均收敛，故收敛域为[1,1]−；当()1,1x ∈−时，设11221111(1)(1)()()2121n n n n n n S x x x x xS x n n --¥¥-==--===--åå，其中12111(1)()21n n n S x xn -¥-=-=-å，而1211221200011(1)1()(1)arctan 211n xx x n n n n n S x x dx x dx dx x n x -¥¥---==¢æöæö-÷÷çç÷==-==÷çç÷÷ç÷ç-+èøèøååòòò，故1()()arctan ,[1,1]S x xS x x x ==-。

级数测试题及答案

级数测试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 绝对收敛的答案：A2. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ 是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 绝对收敛的答案：C3. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 的收敛性取决于$p$ 的值，其中 $p > 1$ 时级数：A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 绝对收敛答案：A4. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ 是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 绝对收敛的答案：D5. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}$ 是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 绝对收敛的答案：B二、填空题（每题3分，共15分）6. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ 的和为_______。

答案：17. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ 是 _______ 级数。

答案：p8. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ 的和为_______。

答案：$\frac{\pi^2}{12}$9. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}$ 与级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 相比，前者是 _______ 收敛的。

答案：更慢10. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}$ 的和为_______。

高中数学练习题附带解析数列与级数的收敛与发散

高中数学练习题附带解析数列与级数的收敛与发散本文将提供一组高中数学练习题，并附有详细的解析。

主要涉及数列与级数的收敛与发散。

以下是各类题型的示例：一、选择题1. 判断下列数列的级数是否收敛。

① an = (1/2)^n② an = 1/n!③ an = n/2^nA.①收敛，②、③发散B.①、③收敛，②发散C.①、③发散，②收敛D.①、②、③均收敛分析：对于①，容易发现是一个几何级数，首项为1，公比小于1，因此收敛；对于②，题目中$n!$是$n$的阶乘，因此$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0$，由比较判别法知该级数收敛；对于③，该级数同样是一个几何级数，但是公比大于1，因此发散。

选C。

二、填空题2. 已知数列${a_n}$的通项公式为$a_n=\frac{1}{n+1}$，则$\sum\limits_{i=1}^\infty a_i=$________。

分析：将通项公式带入级数求和公式中可得：$\sum\limits_{i=1}^\infty a_i=\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{n+1}$ $=\lim\limits_{n\to \infty}\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{n+1}$$=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+ \cdots +\frac{1}{n+n}$$=\ln 2$因此，答案为$\ln 2$。

三、计算题3. 计算级数$\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{n^2+2n}$。

分析：将被加数写成完全平方数形式，即：$n^2+2n=(n+1)^2-1$因此，$\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{n^2+2n}$$=\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{(n+1)^2-1}$$=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=2}^\infty \left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)$$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}- \cdots\right)$$=\frac{1}{2}(1)$$=\frac{1}{2}$因此，答案为$\frac{1}{2}$。

(优选)级数的敛散性判别习题课.

性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.
级数收敛的必要条件:
lim
n
un
0.
第3页，共33页。
常数项级数审敛法
一般项级数正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛; 2. 当 n , un 0, 则级数发散; 3.按基本性质;
4.绝对收敛
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法
x0
x2
2
lim n2[ 1 ln(1 1 )] 1
x0
n
n2
第24页，共33页。
例6 判别级数 (cos 1 )n3 的收敛性
n1
n
解
lim n
n
un
lim(cos 1 )n2
n
n
lim
n
n2
ln
cos
1 n
lim
ln(1
cos
1 n
1)
e lim n
n2
ln
cos
1 n
n
1
n2
lim
则称 x0为级数 un ( x)的收敛点,否则称为发散点.
n1
函数项级数 un( x)的所有收敛点的全体称为收敛域, n1
所有发散点的全体称为发散域.
(3) 和函数
在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s( x) ,
称s( x)为函数项级数的和函数.
第12页，共33页。
二、典型例题
例1 判断级数敛散性 :
cos
1 n
1
1
e
1 2
1
n
1
n2
2
所以级数 (cos 1 )n3 收敛

级数部分练习题

级数部分练习题一、选择题：1．若级数∑∞=1n n u 收敛，且1lim =∞→nnn v u ，则级数∑∞=1n nv ().(A)绝对收敛；(B)条件收敛；(C)发散；(D)不能确定。

2．设),3,2,1(0 =≠n u n ，且1lim =∞→nn u n，则级数∑∞=++11)11(n n n u u ().(A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定.3．设)11ln()1(nu n n +-=，则级数().(A)∑∞=1n n u 与∑∞=12n nu 都收敛;(B)∑∞=1n n u 与∑∞=12n nu 都发散;(C)∑∞=1n nu收敛，∑∞=12n n u 发散;(D)∑∞=1n nu发散，∑∞=12n nu 收敛.4．设常数0>λ，级数∑∞=12n n a 收敛，则级数∑∞=+-12)1(n n nn a λ().(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)收敛性与λ有关.5．设),3,2,1(0 =>n a n ，且级数∑∞=1n n a 收敛，又设常数)2,0(πλ∈，则级数n n n a n n ∑∞=-1tan ()1(λ().(A)绝对收敛；(B)条件收敛；(C)发散；(D)收敛性与λ的取值有关；6．若级数∑∞=1n n u 收敛，则必收敛的级数是().(A)∑∞=-1)1(n n nnu ；(B)∑∞=12n nu；(C)∑∞=--1212)(n n n u u ；(D)∑∞=++11)(n n nu u；7．下列命题中正确的是（）.（A）若∑∞=12n n u 和∑∞=12n n v 都收敛，则∑∞=+12)(n n n v u 收敛；（B）若∑∞=1n n n v u 收敛，则∑∞=12n n u 和∑∞=12n n v 都收敛;(C)若正项级数∑∞=1n n u 发散，则nu n 1≥；(D)若级数∑∞=1n n u 收敛，且),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞=1n n v 也收敛.二、求解下列各题：1．已知级数∑∞=1n n u 的前n 项和12+=n nS n ，求此级数的通项，并判别其收敛性.2．设数列}{n a 收敛，求证级数∑+∞=+-11)(n n na a也收敛；3．已知数列}{n na 收敛，且级数∑+∞=--21)(n n na an 收敛，求证级数∑+∞=1n n a 收敛.三、判别下列数项级数的敛散性：（1）nn n n 11()1(11--∑+∞=-（2）∑+∞=+1)1(n nn n （3）∑∞=+1341n n n （4）∑+∞=+122)1sin(n n n （5）)1cos(1∑+∞=n n （6）∑∞+=1234(cos n n n n π(7)nn n11)1(∑+∞=；(8)∑∞=+11lnn n n (9)∑∞=13sinn nn π(10)∑∞=-1)1cos 1(n n (11))1(11∑∞=-+n n n n四、设正项级数∑+∞=1n n a 收敛，试证明（1）)1( 1>∑+∞=p a n pn收敛；（2）∑+∞=143n n na 收敛；五、设正项数列{}n a 单调减少，且∑∞=-1)1(n n n a 发散，试问级数nn n a ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111是否收敛，并说明理由.六、设⎰=40tan πxdx a nn ，（1）求∑∞=++12)(1n n n a a n的值；（2）试证：对任意的常数0>λ，级数∑∞=1n nna λ收敛.七、利用级数收敛的必要条件求数列极限)!2(!!2 !1limn n n +++∞→ .八、判别下列级数的敛散性（若收敛，说明是绝对收敛还是条件收敛）：（1）∑+∞=--112)1(n nn n（2）∑+∞=--11)1(n nn n（3）∑+∞=1ln )cos(n n nn π（4）∑∞=---11ln 1)1(n n nn (5)∑+∞=+++-11)1(12)1(n n n n n （6）∑∞=--11sin)1(n n nπ（7）∑∞=--+-1413])1(3[)1(n nn n n （8）∑∞=-1)sin (n n n ππ（9）∑∞=-+-2)1()1(n nnn (10)∑∞=+-11ln1(n nn n (11) )0( ))1((1)1(1>-+-∑∞=p n n pn n(12)∑+∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-11sin )11ln()1(n n n n (13)∑⎰∞=+11031sin n n dx x xπ(14)dx xx n n ∑⎰∞=+1101九、已知∑∞=0n nnxa 在2-=x 处条件收敛，求幂级数的收敛半径.十、求下列幂级数的收敛半径及收敛区间,并研究在收敛区间端点处的敛散性:(1))0 ,0( 1>>+∑+∞=b a b a x n nn n(2)+⋅+⋅+⋅3523232221x x x (3)nn nx nn )1ln )1(1-+-∑+∞=（4）∑∞=++-0122)3(n n nnxn （5）nn nx n)1(212+∑∞=（6）∑∞=1224n n n x（7）nn nn x n )1()2(31+-+∑∞=十一、试求下列幂级数的和函数：（1）∑∞=+1)1(n nx n n ；（2）∑∞=++11212n n n x ；（3）∑∞=12n n nx ；（4）∑∞=+12!21n n n x n n ；（5）∑∞=---2)1()1()1(n n n n n x ；(6)∑∞=-+--1121)!12(2)1(n n n x n n十二、求级数+-+-753753x x x x 的和函数,并求nn n n )43(12)1(11∑+∞=---的和.十三、试求下列数项级数的和：（1）∑∞=-222)1(1n nn ；(2)∑∞=+1!1n n n ；十四、试将函数)321ln()()2(;)1ln()()1(22x x x g x x x f -+=+=；(3)x x x x x f -+-+=arctan 2111ln 41)(；展开成x 的幂级数，并指出级数的收敛域.十五、将函数65)(2+-=x x xx f 展开成)5(-x 的幂级数,并求)5()4(f 的值.十六、将函数x x f 2)(=展开成)1(-x 的幂级数.十七、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,10,1)(2x x arctgx x x x f ，试将)(x f 展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=--1241)1(n nn 的和.十八、试利用幂级数的性质计算积分⎰-+12)1ln(dx xx x 的值.十九、设∑∞=+=02)(n n n x a x f 在区间]1 ,0[内收敛，试证：对任意的实数1<λ,级数∑∞=11(n n f n λ绝对收敛.二十、已知)(x f n 满足x n n n e x x f x f 1)()(-+='（n 为正整数），且nef n =)1(，求函数项级数∑∞=1)(n n x f 的和.二十一、把函数|,|2)(x x f -=π（ππ≤≤-x ）展开为傅立叶级数.二十二、将函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<≤≤--<≤--=ππππππππx x x x x f 2, 222, 2, 2)(展开为傅立叶级数,写出和函数)(x S 在] , [ππ-上的表达式并作出和函数)(x S 的图形.二十三、设函数)()(4πππ<<-+=x x x x f 的傅立叶级数展开式为∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a ，求系数5b 及和函数)(x S 在25π-=x 点的值.二十四、设函数)(x f 是以π2为周期的函数，它在],(ππ-上的定义为⎩⎨⎧≤<≤<-=ππx x x x f 0,0,2)(3，又设)(x f 的傅立叶级数展开式的和函数为)(x S ,求)4(-S ,)(π-S ,)4(S 和)2(πS 的值.二十五、展开函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤=πππx x x f 20204)(为余弦级数,写出和函数)(x S 在] , [ππ-上的表达式并求)4(-S ,)23(π-S 和)2(πS 的值.二十六、展开函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤=πππx x x x f 2, 120, )(为正弦级数,写出和函数)(x S 在] , [ππ-上的表达式并求)5(-S ,)23(π-S ,)4(-S 和)2(πS 的值.。

第九章无穷级数第二节数项级数的敛散性

二、用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛
性:
1、1 1 2 1 3 1 n ；
1 22 1 32
1 n2

2、
1
n1 1 a n
(a 0) .
三、用比值审敛法判别下列级数的收敛性:
1、 3
32

33

n1
n1
n1
上定理的作用：任意项级数
正项级数

定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n1
n1

若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
n1
n1
例6

判别级数
n1
sin n n2
的收敛性.
解

sin n n2

1 n2
s2
是有界的
n
,
lim n
s2n

s

u1 .
lim n
u2n1

0,
lim n
s2n1

lim(
n
s2n

u2n1 )

s,
级数收敛于和 s, 且s u1. 余项 rn (un1 un2 ),
rn un1 un2 ,
满足收敛的两个条件, rn un1 .
例 1 讨论 P-级数
1

1 2p

1 3p

1 4p

1 np
的收敛性.(
p

0)
解
设 p 1,

数项级数敛散性判别法。(总结)

n 1
u
n
绝对
收敛；若级数 n1 un
收敛，而级数 n1
un
发散，则称级数
n 1
u
n
条件收敛．易
(1)n1 1
(1) n1 1
知 n1
n2 是绝对收敛级数，而 n1
n 是条件收敛级数．
定理八、若 n1 un 收敛，则 n1 un 必收敛．
对于有些特殊级数，既不是正项级数也不是交错级数，可以通过
an a1 a2 a3 a4 ...............
常见的几类重要的常数项级数正项级数：级数中所有项均大于等于零。交错级数：级数中的项正负相间的级数。等比级数
a aq aq2 aq3 ....... aqn ...... aqn
调和级数
1 1 1 1
23
n
1
n1 ，则对任何正数 A， f (x) 在
[1，A]上可积，从而有
n
f (n)
f (x)dx
n1
f (n 1) ， n 2,3,
依次相加，得
m
m
m
m1
f (n) f (x)dx f (n 1) f (n)
1
n2
n2
n1
若反常积分收敛，则对m ，有
关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。
英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series, we all know which
way to go. But wait until all of the methods after completing their studies are given topics, everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible. But for one series, using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect, but if the hanging has chosen the wrong way, may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong. So we need to sum up to determine the convergence and divergence, and to understand their characteristics, in order to make better use of them.

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

数项级数的敛散性的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1nn U∞=∑（ D ）A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n∞=∑收敛选D2．设1nn U∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ）A ．1nn U∞=∑ B.()12008nn U ∞=∑C ．()10.001n n U ∞=+∑ D ．11n uU ∞=∑解：()12008nn U ∞=∑＝20081nn U∞=∑1nn U ∞=∑收敛∴由性质()12008nn U ∞=∑收敛3．下列级数中一定收敛的是…( A )A ．21014n n ∞=-∑ B ．10244n n nn ∞=-∑ C ．101nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ D+… 解：214n U n =-0n ≥21n=lim 1n n nU V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ）A ．11n n n ∞=+∑n（－1） B ．()211nn n ∞=-∑C ．1nn ∞=- D ．()1312nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ 解：（1）n ∞∞=n=1发散（112p =<）（2）11nn ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C5．级数()111cos nn k n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑ （k>0）…（ B ）A ．发散B ．绝对收敛C ．条件收敛D ．敛散性与K 相关解：11(1)(1cos )1cos nn n k k n n ∞∞-=⎛⎫--=- ⎪⎝⎭∑∑1cos n kU n=-222k n =lim 1n n nU V →∞=且1n n V ∞=∑收敛，故选B 6．设正项极数!1lim n nn n nU U p U∞+→∞==∑若则（D ）A..当0<p<+∞时，级数收敛B.当p<1时级数收敛，p ≥1时级数发散C.当p ≤1时级数收敛，p>1时级数发散D.当p<1时级数收敛，p>1时级数发散解：当P<1时级数收敛，当P>1时级数发散，当P ＝1时失效。

故选D 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．若lim 0n n U →∞≠则常数项级数1nn U∞=∑一定是（发散）解：若nn x U∞=∑收敛，则lim 0n n U →∞=。

由逆否命题知：若lim 0n n U →∞≠则1nn U∞=∑发散8．当311p n n∞-=∑收敛时，则P>4解：由p 一级数的敛散性知，当P –3 >1时级数收敛，故P>4 9．级数()111n n n ∞=+∑的前9项的和9S ＝910 解:()991111111n n n n nn ==⎛⎫=- ⎪++⎝⎭∑∑＝111111223910⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝1110-＝910 10．113n n ∞=∑的和S=12解：11311213q S q ===--11．若数项级数112n n n r ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，则r 的取值范围是－1<r< 1解：112n n ∞=∑收敛，∴当1r <时112n n n r ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛12．若1n n na ∞=∑收敛（a>0），则a 的取值范围是1a >解：111lim lim n n n n n nU n a U a a ++→∞→∞+=⨯＝11a <三、计算题（每小题8分，共64分） 13．判别2n ∞=∑的敛散性解： n U=取21n v n =lim 1n n nU V →∞=且211n n ∞=∑收敛 ∴由比较法的极限形式知2n ∞=∑也收敛14．判别311arctan 2n n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的敛散性解：（1）当n →∞时，31arctan 2n ~312n(2) lim n n nU V →∞ 212n V n = 221arctan 2lim 12n n n n →∞＝1，且2112n n ∞=∑收敛（p=2>1）∴由比较法的极限形式知，311arctan 2n n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑也收敛15．判别12(1)4n nn ∞=⎛⎫+- ⎪⎝⎭∑的敛散性解法：（1）这是正项级数2(1)4n n +-<34n 且134nn ∞=∑，收敛114q =< ∴由比较法非极限形式知12(1)4nnn ∞=+-∑收敛解法（2）124nn ∞=∑收敛，1(1)4n n n ∞=-∑收敛 ∴由性质知12(1)4nnn ∞=+-∑也收敛 16．判别1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅-∑的敛散性解：这是正项级数()1113(21)(21)lim lim 31!n n n n n U n n U n ++→∞→∞⋅⋅⋅⋅-+=+⨯3!13(21)n n n ⋅⋅⋅⋅-＝21lim 3(1)n n n →∞++＝23<1 ∴由此值判别法知1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅-∑也收敛 17．判别12!nn n n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑ 的敛散性解：（1）这是正项级数且含有!n ,2n,n n 用比值法（2）1lim n n nU U +→∞＝()221!lim (1)(1)n nn n n n n →∞⋅+⋅++⋅2!n n n n ＝lim 2(1)n n n n n →∞⋅=+12lim 1(1)n n n→∞+＝21e<∴由比值法知12!nn n n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛18．判别21arctan 3nn n n∞=∑的敛散性解：（1）arctan 2n π<∴2arctan 3n n n ＝223n nn U π< 取223n n n V π= （2）判别2123nn n π∞=∑的收敛性 ρ＝1lim n n nV V +→∞＝()211lim 3n n n +→∞+23n n ⨯<1 ∴1n n V ∞=∑收敛（3）综合（1）（2）有1n n U V ∞<∑nn ＝且V收敛，故原级数收敛19．判别211sin 3n n n π∞=∑的敛散性，若收敛，是绝对收敛或条件收敛解：（1）这是任意项极数211sin 3n n π∞∑n ＝（2）2211sin 3n n n π<（sin 13n π≤）且211n n ∞=∑收敛∴21sin 3n n n π∞=∑收敛故21sin 3n n nπ∞=∑绝对收敛 20．11(1)n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑n-1ln 1＋的敛散性，若收敛，是绝对收敛或条件收敛解：（1）11(1)n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑n-1ln 1＋＝11n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ln 1＋1ln(1)lim1n n n→∞+＝1且 11n n ∞=∑发散 ∴11(1)n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑n-1ln 1＋发散11(1)n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑n-1ln 1＋为交错级数令1ln(1),01y x y x =+>+’=（1x >）y →即有1ln(1)n U n =+>1ln(1)1n ++ 故原级数条件收敛四、综合题（每小题10分，共20分）21．讨论级数11(0)1nn a a ∞=>+∑在0<a<1;a=1;a>1三种条件下的敛散性解：（1）当0<a<1时，lim n n U →∞=1lim 1n n a →∞+01a << 10≠∴级数111nn a∞=+∑发散（2）当a ＝1时lim n n U →∞=1lim 1n n a →∞+＝110112=≠∴+级数发散（3）当1a >时1111nn n nU a a a ⎛⎫=≤= ⎪+⎝⎭∴由比较法111nn a ∞=+∑也收敛 22．讨论级数21(0)nn a a n∞=>∑在0<a<1;a=1;a>1三种条件下的敛散性解：（1）当0<a<1时221n a n n <且211n n ∞=∑收敛（p=2>1）∴由比较法知21n n a n∞=∑也收敛（2）当a=1时，21n n a n ∞=∑＝211n n∞=∑收敛（p ＝2>1）（3）当a>1时，()112lim lim 1n n n n nU a U n ρ++→∞→∞==+ ()22lim 11n n n n a a a n →∞⨯==>+ ∴由此值判别法知21n n a n ∞=∑发散综合：当01a ≤≤时21n n a n ∞=∑收敛，当1a >时21nn a n ∞=∑发散五、证明题（每小题9分，共18分） 23．若正项极数1nn U∞=∑收敛，证明：21nn U∞=∑也收敛（反之不成立）证明：（1）1nn U∞=∑收敛∴lim 0n n U →∞=当n 充分大时，有：0<n U <1故有2n n U U >（n 充分大时）（2）2n nU U >且1n n U ∞=∑收敛∴由比较法21n n U ∞=∑也收敛注：反之不成立如211n n ∞=∑收敛但11n n∞=∑发散24．若21nn U∞=∑收敛，21nn V∞=∑收敛，证明：1nn n UV ∞=⋅∑也收敛证：（1）()20n n U V -≥（2）222n n n n U V U V +≥且()221nnn UV ∞=+∑收敛∴由此比较法知12n n n U V ∞=⋅∑也收敛即1n n n U V ∞=⋅∑也收敛选作题：设n U >0 1nn U∞=∑收敛，且lim n n nu →∞存在。

证明lim n n nu →∞＝0（提示：用反证法）证：反证法：设lim01nn U n→∞≠且lim n n nu →∞存在又11n n ∞=∑发散，∴由此比较法的极限形式知：1n n U ∞=∑也发散这与1n n U ∞=∑的题设矛盾故有lim n n nu →∞＝0。