第7课时 双曲线
双曲线及其标准方程(教学设计)高中数学新教材选择性必修第一册
第二单元双曲线一、内容和内容解析（一）内容双曲线的概念、双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质本单元内容结构图如下：（二）内容解析1.内容本质：本单元的内容本质是在双曲线的几何情境中，类比椭圆，抽象出第二个圆锥曲线即双曲线的概念，并研究其几何特征，在直角坐标系中，推导双曲线的标准方程，再利用标准方程研究其几何性质，并利用它们解决一些简单的实际问题.2.蕴含的思想方法：本单元的思想方法主要是坐标法和数形结合的思想.类比椭圆的定义、标准方程和几何性质的研究方法，得出双曲线的定义、标准方程和几何性质，蕴含了数学研究的重要思想方法：类比.3.知识的上下位关系：本单元是在研究椭圆方程和几何性质的基础上，对解析法研究圆锥曲线内容的进一步深化和提高，是研究圆锥曲线的一个组成部分，为下一单元抛物线的学习做准备。
所以说本单元的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用.4.育人价值：通过对双曲线的定义的理解，标准方程的推导和几何性质的研究，发展学生的数学抽象、数学运算等数学核心素养，使学生在掌握知识与技能的同时，体悟知识所蕴含的数学思想和方法，积累数学地思考问题和解决问题的经验，发展理性思维.5.教学重点：解析法研究双曲线的几何特征与性质二、目标及其解析（一）单元目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．3．了解双曲线的简单应用．4．理解数形结合思想．（二）目标解析达成上述目标的标志是:1.能够利用双曲线的定义辨识什么样的轨迹是双曲线，由所给条件会求双曲线的标准方程．2．能用集合的眼光观察出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，并能结合方程的特点理解这些几何性质．3．能解决与双曲线有关的简单应用问题．三、教学问题诊断分析1.从课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。
双曲线方程及性质的应用 课件
则4－k2≠0，Δ＝4k2＋20(4－k2)>0， 所以16k2<80，即|k|< 5，k≠±2， 且x1＋x2＝4－2kk2，x1x2＝－4－5 k2， 所以x＝12(x1＋x2)＝4－k k2， y＝12(y1＋y2)＝k2(x1＋x2)＋1＝4－4 k2. 由xy＝＝44－－4kkk22，消去k，得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1)．
因为a＝ 2，c＝2 2，所以b2＝c2－a2＝6， 即所求轨迹方程为x22－y62＝1(x＞ 2)．
归纳升华 1．求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方 法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几 何关系，得到双曲线的定义，从而得出对应的方程． 2．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲 线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双 曲线的一支还是两支．
点，可以用交轨法求解，也可以用点差法求解．
[规范解答] 法一 由题知直线的斜率存在，设被 点B(1，1)平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代 入双曲线方程x2－y22＝1，(2分)
得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，(4分) 所以Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)＞0， 解得k＜32，且k≠± 2，(6分) x1＋x2＝2k（k2k－－21）.(8分)
a 近线平行，直线与双曲线 C 相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时， Δ＝(2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)， Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与 双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与 双曲线相切； Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双 曲线相离．
第7课 两圆相切 衍生曲线+解析几何+命题探秘第二版一题一课
椭'J圆详」J，～护故、轨’～迹产～E一’的叫甲方一程 ’一为 ～ 军 4 ＋荟3 一 1. (n）如图 13 ，延长 C1Q 到点尸，使｝QP ｝一｝ QC2} ，贝山口 P{
= 2a = 4,
设 P(x尸 ,yp),Q(XQ,yQ)，则｝ ClQ ｝一 丫(XQ 十 1)2 十关 ＝二
A'V‘/!月/‘r急, W十．'~八 2工'～甘。十
上面这两道习题给出了两定圆的条件，且指定动圆与其中一圆内切，与另一圆外切，
或与两圆都外切，求动圆圆心的轨迹．变换两圆位置关系，或把一定圆换为一个点或一条
直线，或不限定动圆与定圆内切或外切，则可探索出多种变式结果．
下面，我们根据两定圆的位置关系作为分类标准，作若干变式探究． 设两定圆以，q 的半径分别为 r1 ,r2 ，圆 M与两定圆 01,02 都相切．以下如无特殊说
图3
点 M的轨迹是以 01,q 为焦点，实轴长为 2a = r1 十 r2 的双曲
线的一支；
同理可知，若动圆 M与定圆02 外切，与圆 01内切时，点 M的轨
迹是以以，q 为焦点，实轴长为 2a = r1 十 r2 的双曲线的另一支．
若 r1~ r2 ，则上述变式 1和变式 2 中的轨迹为线段 01q 的垂直
(n）对于曲线 C 上任意一点 P(x,y)，由于｝P1\引一｝PN} = 2R -2 镇 2，所以 R 镇 2, 当且仅当圆尸的圆心为（2,0）时，R=2. 所以当圆尸的半径最长时，其方程为（x_2)2 十 y2 = 4,
当 1的倾斜角为 90。时，贝归与 y 轴重合，可得｝AB}=2万．
当 I的倾斜角不为 90。时，由 ri 半 R 知 I不平行 I轴，设 I与 I轴的交点为 Q,
高考双曲线知识点
高考双曲线知识点高考双曲线知识点在我们的学习时代，大家都背过不少知识点，肯定对知识点非常熟悉吧！知识点是传递信息的基本单位，知识点对提高学习导航具有重要的作用。
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高考双曲线知识点篇1高考双曲线知识点1.双曲线定义的文字表述双曲线，是指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点的距离的差的绝对值始终为一定值时所成的轨迹叫做双曲线。
2.双曲线定义的分析1)点:两个定点 ,一个动点2)距离:三个3)量:两个(常数)4)关系式:两个;一个等式 ,一个不等式3.判断一个动点轨迹是否是双曲线的标准1)看动点到两个定点的距离的差的绝对值是否为常数2)看这个常数是否小于两个定点之间的距离高考数学三角函数知识点一、三角函数三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实际上就是解最简单的三角不等式，通常可用三角函数的图像或三角函数线来求解，注意数形结合思想的应用,如何运用三角函数的图像解决问题能够帮助对数形结合思想的掌握。
二、三角函数诱导公式1.公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等运用同角三角函数的基本关系式求值2.公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=—sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinα高考数学几何定理1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角猜你感兴趣：1.2018高考数学知识点归纳总结2.高考数学知识点总结3.2018数学高考知识点4.高考导数大题解题技巧5.8年级下册数学知识点6.2018高考全国卷I理科数学试卷评析高考双曲线知识点篇2一、用好双曲线的对称性例1若函数y=kx(k>0)与函数y=的图象相交于A、C两点，AB⊥x 轴于B。
高考双曲线基本知识点总结
高考双曲线基本知识点总结在高中数学课程中，双曲线是一个重要的内容，也常常在高考中出现。
双曲线作为一个二次方程的图像，具有许多有趣的性质和应用。
在这篇文章中，我们将总结一些高考双曲线的基本知识点，并探讨一些相关的应用。
一、双曲线的定义和标准方程双曲线可以由一个二次方程的图像表示，其标准方程如下：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$其中，a和b分别代表双曲线在x轴和y轴方向的半轴长度。
双曲线的图像具有两支分离的曲线，通过对称轴将平面分成两个部分，分别称为双曲线的两个分支。
对称轴是与x轴和y轴垂直的直线，传统上被称为实轴和虚轴。
二、双曲线的基本性质1. 焦点和准线双曲线上的每个点到焦点F和F'的距离之差等于常数2a，这个常数称为焦距。
焦距是双曲线的一个重要属性，它决定了双曲线的形状。
双曲线的对称轴上存在两个点，它们与焦点的距离之差等于焦距2a，这两个点称为准线。
2. 渐近线双曲线还具有两条渐近线，分别与双曲线的两个分支无限接近但永远不会相交。
这两条渐近线分别是对称轴和过焦点的直线。
3. 离心率双曲线的离心率是一个重要的参数，它决定了双曲线的形状。
离心率定义为焦距与准线之比。
当离心率大于1时，双曲线的形状更加扁平；当离心率接近于1时，双曲线的形状更加接近于抛物线。
三、双曲线的应用1. 焦距和接近问题双曲线的焦距特性可以用于解决一些实际问题。
例如，在声学中，可以利用双曲线的焦点和准线来确定声源的位置。
同样地，在雷达技术中，焦距的应用可以用于确定目标的位置和距离。
2. 双曲线的参数方程通过引入参数t，我们可以用参数方程来表示双曲线的图像。
双曲线的参数方程如下：$x = a \sec(t)$$y = b \tan(t)$其中，sec(t)表示余切函数的倒数，tan(t)表示正切函数。
使用参数方程，可以更加灵活地描述双曲线的形状和位置，对于解决一些复杂的几何问题非常有用。
双曲线及其标准方程课件2高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360,
x2 y2
由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 2 2 1 的一支上，
a
b
依题意得 a = 680, c = 1020， b2 c 2 a 2 10202 6802 5 3402
x2
y2
1
∴双曲线的方程为
2
2
680 5 340
课堂小结
本节课主要是进一步了解双曲线的定义及其标准方程,并运用双曲线的定义及其标准方程解决问题,
体会双曲线在实际生活中的一个重要应用. 其实全球定位系统就是根据例5这个原理来定位的.
运用定义及现成的模型思考,这是一个相当不错的思考方向.即把不熟悉的问题往熟悉的方向转化,
要求曲线的方程,恰当的建立坐标系是一个关键.
A
yC
o
B
x
双曲线的实际应用
解：如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，
建立直角坐标系.
设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，
则 A(－1020,0）
，B(1020,0）
，C(0,1020）.
设 P（x,y）为巨响点，
由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|,
同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是
1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)
分析:依题意画出图形(如图)
P
只要能把巨响点满足的两个曲线方程求出来.那么解
双曲线的方程及性质
真 题 演 练 集 训
真 题 演 练 集 训
题 型 重 点 研 讨
(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 e＝ 2⇔双曲线的两 条渐近线互相垂直(位置关系)． 2b2 (4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 . a
课 时 跟 踪 检 测
必考部分 第九章 §9.6 第一课时
第12页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（文）
演 练 集 训
题 型 重 点 研 讨
e 越大，渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁 狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．
课 时 跟 踪 检 测
必考部分 第九章 §9.6 第一课时
第14页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（文）
基 础 分 层 导 学
[双基夯实]
真 题 演 练 集 训
真 题 演 练 集 训
动圆 M 与两圆 C1，C2 都相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是( D ) A．x＝0 x2 y2 B. － ＝1(x≥ 2) 2 14 x2 y2 C. － ＝1 2 14 x2 y2 D. 2 －14＝1 或 x＝0
必考部分 第九章 §9.6 第一课时
第22页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（文）
基 础 分 层 导 学
求双曲线的标准方程：待定系数法． 对称轴为坐标轴，经过点 P(3,2)，Q(－6,7)的双曲线是
双曲线的定义与性质的应用知识分享
＝0，故a＝2.
答案：C
课前自主回顾 课堂互动探究
课时作业
与名师对话
高考总复习 ·课标版 ·A 数学（文）
2．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为
()
A．( 22，0)
B．( 25，0)
C．( 26，0)
D．( 3，0)
课前自主回顾 课堂互动探究
课时作业
与名师对话
高考总复习 ·课标版 ·A 数学（文）
在解决与双曲线的焦点有关的问题时，通常考虑利用双 曲线的定义．
在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差 的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支．
顶点
x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称轴：坐标轴
对称轴： 坐标轴
对称中心： 原点
对称中心： 原点
顶点坐标
顶点坐标
A1 (－a,0) ，A2 (a,0) A1(0，－a)，A2 (0，a)
渐近线 离心率
y＝±bax
y＝±abx
e＝ac，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a2＋b2
课前自主回顾 课堂互动探究
课时作业
与名师对话
高考总复习 ·课标版 ·A 数学（文）
线段 A1A2
叫做双曲线的实轴，它的长
性 实虚轴 |A1A2|＝ 2a
；线段
B1B2 叫做双曲线
质
的虚轴，它的长|B1B2|＝ 2b
；a 叫做双
曲线的实半轴， b 叫做双曲线的虚半轴
通径
a、b、c 关系
2b2 过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为 a . c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
课时作业