第八章第七节双曲线

第八章 第八节双曲线课下练兵场"难度及题号容易题中等题 稍难题「 知识点（题号） （题号） （题号）双曲线的定义及其标准方程1、2 & 10双曲线的几何性质 34、5、7、9直线与双曲线的位置关系611、121已知定点 A 、B ,且|AB| = 4,动点P 满足|PA|—|PB|= 3,则|PA|的最小值是（1A.Q C.7D . 5解析：因为 |AB|= 4, |PA|— |PB|= 3, 故满足条件的点在双曲线右支上，则|PA|的最小值为右顶点到 A 的距离2 + 2=纟 答案：C12.已知点F i （ — 2, 0）, F 2（ 2, 0）,动点P 满足|PF 2|—|PF i |= 2，当点P 的纵坐标是2时, 点P 到坐标原点的距离是C. 3解析：由已知可知 c = 2, a = 1, b = 1, •••双曲线方程为x 2—y 2= 1（x < — 1）.代入2可求P 的横坐标为x =—于.3.已知双曲线9y 2— m 2x 2= 1（m > 0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 5，则m =（）B.2• P 到原点的距离为答案：AC . 1v e v 5D . e > 5解析：依题意，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率解析：双曲线9y 2— m 2x 2= 1（m >0），一个顶点（0,弓, 3 32 + m 2=5? m =4.答案：D=o ,^HPF i + PF 21= 答案：B5. F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，P 是C 上一点，且△ F 1PF 2是等腰直角三角形，则双 曲线C 的离心率为 （ ）A . 1+ 2B . 2+ 2C . 3— 2D . 3 + '. 2解析：由△ PF 1F 2为等腰直角三角形， 又|PF 1|M IPF 2I , 故必有 |F 1F 2|= IPF 2I ,即 2c = b ，从而得 c 2— 2ac — a 2= 0,a 即 e 2— 2e — 1 = 0,解之得 e = 1 ±. 2, •/ e > 1, ••• e = 1 + 2. 答案：A2 26.斜率为2的直线I 过双曲线活=1（a > 0, b > 0）的右焦点，且与双曲线的左右两支分另肪目交，则双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ）B . 1 v e v 3一条渐近线 3y — mx = 0,4.设F i 、F 2分别是双曲线2x 2-y 1的左、右焦点.若点P 在双曲线上，且 PF^ -PF^PF( ) A. 10B . 2 10C. 52y = 1的左、右焦点. 9解析：设F 1、F 2分别是双曲线x 2 =0,则 |P F 1 + PF 21= 2| PO |= | F 1F 2|= 2.10.点P 在双曲线上，且PF^ -PF^PF:必大于2，即b >2因此该双曲线的离心率c a 2± b 2e= a = =>典 答案：D、填空题7. (2019平顶山模拟 )A 、F 分别是双曲线9x 2— 3y 2= 1的左顶点和右焦点，P 是双曲线右支上任一点，右/ PFA =入•/ PAF ，则入= .解析：特殊值法，取点 P 为(3, 1)，得/ PFA = 2/PAF ，故匕2.3答案：28.已知圆C ： x 2± y 2— 6x — 4y ± 8 = 0•以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 _________________ • 解析：令x = 0,得y 2— 4y + 8= 0，方程无解.即该圆与 y 轴无交点. 令 y = 0,得 x = 2 或 x = 4, 符合条件的双曲线 a = 2, c = 4,•••b 2= c 2— a 2= 16 — 4= 12 且焦点在 x 轴上,2 2•双曲线方程为X —^2= 1.2 2x -—匕=14 12当a =严即a =呼时取最小值 于.3a 3 3三、解答题10 •已知双曲线的中心在原点， 焦点F 1,F 2在坐标轴上，离心率为.2，且过点(4，— 10) •点M(3, m)在双曲线上. (1)求双曲线方程；—I⑵求证：MF 1 -MF 2 = 0；(3)求厶F 1MF 2面积.答案: 9.双曲线解析:2 2j — y 2= 1(a > 0, b >0)的离心率是 2,2C= 2? C2= 4? a2+ b 2= 4a 2? 3a 2 = b 2, a ab 2+ 1则 3a 的最小值是2 3 3，则 b 2±J = 4 = a + 丄" 则 3a 3a ± 3a答案:解：⑴可设双曲线方程为x 2— y 2=^•••过点(4，—屮0), ••• 16— 10=入即 匸 6. 双曲线方程为x 2— y 2= 6. (2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中 a = b = 6,• c = 2 3,• F i (— 2 3, 0), F 2(2 3, 0),2 m kMF i kMF 2=9— 12•••点(3, m)在双曲线上， • 9 — m 2= 6, m 2= 3, 故 kMF 1 kMF 2=— 1, • MF 1 丄 MF 2.•M F1=0.法二：••• MF 1 = (— 3— 2 3, — m), MF 2 = (2 3— 3,— m),MF 1 -MF 2 = (3 + 2 3)X (3 — 2.3)+ m 2•=—3+ m 2,(3)△ F 1MF 2 的底 IF 1F 2I = 4 3，由(2)知 m = + 3. •△ F 1MF 2 的高 h = |m|= .：3, • S A F 1MF 2= 6.222 c11. (2019西安模拟)已知双曲线X 2 — ¥= 1(a >0, b >0)的离心率e =直线丨过A(a,0),B(0, — b)两点，原点O 到直线I 的距离是~2". (1)求双曲线的方程；T T⑵过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若OM ON =— 23,求直线m 的方程.l 方程X+% = 1，即bx — ay — ab = 0,由原点O 到l 的距离为a —b ab _3c = 2 , 又e = a =于 • b = 1, a = 『3.2 故所求双曲线方程为3 - y 2= 1.⑵显然直线 m 不与x 轴垂直，设 m 方程为y = kx - 1,则点M 、N 坐标(x i , y i ), (X 2,• kMFm3+ 2 3,kMF m2= 3 —23， • 9— m 2= 6, 即 m ? — 3 = 0, 解: (1)依题意, •/ M 点在双曲线上, • MF 1 -MF 2 = 0.y= kx- 1y2)是方程组』x22的解，——y = 1p y消去y,得(1 —3k2)x2+ 6kx— 6 = 0.①依题意，1 —3k2^ 0,由根与系数关系，知X1+ x2= 3k—1, X1X2= 3k^lT TOM ON =(X1, y“(X2, y2)= x1X2+屮丫2=X1X2 + (kX1 —1)(kX2 —1)2=(1 + k )X1X2—k(X p+ X2) + 12 2=6(1 丁k) —qk . 1= 2 — 2 J 十13k —1 3k —1=士 + 1.3k2— 1占T又••• OM ON =—23,3k2—1+1=—23, k=±2,当k=总时，方程①有两个不相等的实数根，1 1 方程为y= Qx—1 或y=—2X —1.12.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1) 求双曲线C的方程；⑵若直线I: y= kx+ 2与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线I o与y轴交于M(0, b),求b的取值范围.2 2解：(1)设双曲线方程为X2—y2= 1(a> 0, b> 0).a b由已知得：a = 3, c= 2，再由a2+ b2= c2, b2= 1,2 .双曲线方程为：—y2= 1.(2) 设A(X A , y A), B(X B , y B),2将y= kx+ .2代入X —y2= 1,得(1 —3k2)x2—6 2kx—9 = 0.2△= 36(1 — k ) > 0,k v 1.-y + y =(kx A + 2)+ (kx B + 2) =k(x A + X B )+ 2 2 =二3：2,1设直线l o 的方程为：y =—只+ b ,•••」v k v 1, •••— 2v 1— 3k 2v 0,3• b v — 2 2.• b 的取值范围为（一a,— 2 2）.由题意知X A + X B =v 0,X A X B =2> 0 1- 3kl 与双曲线左支有两个交点.(3) 由 (2)得:••• AB 的中点P 的坐标为（将P 点坐标代入直线 k v 1 时, l o 的方程，得。