2019版同步优化探究理数练习：第八章 第七节 双曲线 Word版含解析

课时作业A组——基础对点练1．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A.3B．3C.3mD．3m解析：双曲线方程为x23m－y23＝1，焦点F到一条渐近线的距离为3.选A.答案：A2．已知双曲线x2a2－y23＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )A．2 B.62C.52D．1解析：因为双曲线的方程为x2a2－y23＝1，所以e2＝1＋3a2＝4，因此a2＝1，a＝1.选D.答案：D 3．双曲线x2－4y2＝－1的渐近线方程为( )A．x±2y＝0 B．y±2x＝0C．x±4y＝0 D．y±4x＝0解析：依题意，题中的双曲线即y214－x2＝1，因此其渐近线方程是y214－x2＝0，即x±2y＝0，选A.答案：A4．已知双曲线x2 3－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为( )A ．1 B.3C.5D.12解析：在双曲线x23－y 2＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2.不防设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝12×(5＋3)×(5－3)＝1.故选A.答案：A5．已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，直线l ：y ＝2x －2.若直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为( )A ．1B ．2 C.5D ．4解析：根据题意，双曲线C 的方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，其焦点在x 轴上，渐近线方程为y ＝±b a x ，又由直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，可知ba ＝2，直线l ：y ＝2x －2与x 轴的交点坐标为(1,0)，即双曲线C 的一个顶点坐标为(1,0)，即a ＝1，则b ＝2a ＝2，故双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2，故选B. 答案：B6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为( )A.5＋12 B ．2C.2D ．22解析：不妨设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，因为焦点F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为a ，所以bc a2＋b2＝a ，即bcc ＝a ，所以ba ＝1，所以该双曲线的离心率e ＝ca＝ 错误!＝2，故选C. 答案：C7．已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x24－y23＝1 B.x29－y216＝1 C.x216－y29＝1 D.x23－y24＝1 解析：由题意得e ＝1＋b2a2＝54，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x216－y29＝1. 答案：C 8．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x24－y2＝1 B．x2－y24＝1C.3x220－3y25＝1 D.3x25－3y220＝1解析：由题意得c＝5，ba＝12，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为x24－y2＝1.答案：A9．(2018·山西八校联考)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y＝3 3(x＋c)与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1＝2∠PF1F2，则双曲线的离心率e为( ) A.2B.3C．23＋1 D.3＋1解析：∵直线y＝33(x＋c)过左焦点F1，且其倾斜角为30°，∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，∴∠F2PF1＝90°，即F1P⊥F2P.∴|PF2|＝12|F1F2|＝c，|PF1|＝|F1F2|sin 60°＝3c，由双曲线的定义得2a＝|PF1|－|PF2|＝3c－c，∴双曲线C的离心率e＝ca＝c3c－c2＝3＋1，选D.答案：D10．已知F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是双曲线C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )A.2x±y＝0 B．x±2y＝0C ．2x ±y ＝0D ．x ±2y ＝0解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF1|－|PF2|＝2a ，|PF1|＋|PF2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，即∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.答案：A11．已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为( ) A.x220－y25＝1 B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1 D.x220－y280＝1 解析：依题意⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝251＝ba×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝20b2＝5，∴双曲线C 的方程为x220－y25＝1.答案：A12．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为．解析：法一：因为双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y ＝12x的下方．设该双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，所以错误!，解得错误!故双曲线方程为x24－y 2＝1.法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x24－y 2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为x24－y 2＝1.答案：x24－y 2＝113．双曲线Γ：y2a2－x2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于． 解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝ab x ，即ax －by ＝0的距离为|5b|a2＋b2＝5bc ＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8. 答案：814．已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)与椭圆x29＋y24＝1有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的方程为． 解析：易得椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝5，ba＝2，∴a 2＝1，b 2＝4，∴双曲线C 的方程为x 2－y24＝1.答案：x 2－y24＝115．(2018·合肥市质检)双曲线M ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线x ＝a 与双曲线M 的渐近线交于点P ，若sin ∠PF 1F 2＝13，则该双曲线的离心率为．解析：不妨设P 为直线x ＝a 与双曲线M 的渐近线在第一象限内的交点，则P 点坐标为(a ，b )，因为sin ∠PF 1F 2＝13，所以|PF 1|＝3b ，所以(a ＋c )2＋b 2＝9b 2，即9a 2＋2ac －7c 2＝0,7e 2－2e －9＝0，又e >1，解得e ＝97.答案：97B 组——能力提升练1．已知F 1，F 2是双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P 满足2|PF1→＋PF2→|≤|F1F2→|，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，2]B ．(1,2]C ．[2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：∵2|PF1→＋PF2→|≤|F1F2→|⇒4|OP →|≤2c ⇒|OP →|≤c 2，又|OP →|≥a ，∴a ≤c 2，即c ≥2a ，∴e ＝c a ≥2.故选D. 答案：D2．若实数k 满足0<k <9，则曲线x225－y29－k ＝1与曲线x225－k －y29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等 解析：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．答案：D3．(2018·云南五市联考)设P 为双曲线x 2－y215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：易知双曲线的两个焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别为2,1，所以|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝(|PF 1|－|PF 2|)＋3＝5，同理|PM |－|PN |的最小值为(|PF 1|－2)－(|PF 2|＋1)＝(|PF 1|－|PF 2|)－3＝－1，所以|m －n |＝6，故选C.答案：C4．(2018·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x22－y24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左、右焦点，若PF1→·PF2→＝0，则点P 到x 轴的距离为( )A.233B.2C ．2 D.263解析：由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，点P (x 0，2x 0)，由PF1→·PF2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C.答案：C5．已知双曲线x24－y2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x24－3y24＝1 B.x24－4y23＝1C.x24－y24＝1 D.x24－y212＝1解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b2，y A ＝2b4＋b2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b4＋b2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x24－y212＝1，选D.答案：D6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x216－y29＝1 B.x23－y24＝1 C.x29－y216＝1 D.x24－y23＝1解析：因为以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c ＝5，b a ＝43，又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x29－y216＝1. 答案：C7．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2FA →，则此双曲线的离心率为( )A.2B.3 C ．2 D.5解析：不妨设B (x ，－bax )，|OB |＝错误!＝c ，可取B (－a ，b )，由题意可知点A 为BF 的中点，所以A (c －a 2，b 2)，又点A 在直线y ＝b a x 上，则b a ·c －a 2＝b2，c ＝2a ，e ＝2.答案：C8．若直线l 1和直线l 2相交于一点，将直线l 1绕该点逆时针旋转到与l 2第一次重合时所转的角为θ，则角θ就称为l 1到l 2的角，tanθ＝k2－k11＋k1k2，其中k 1，k 2分别是l 1，l 2的斜率，已知双曲线E ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 是右顶点，P 是直线x ＝a2c上的一点，e 是双曲线的离心率，直线P A 到PF 的角为θ，则tan θ的最大值为( )A.1eB.e 1＋eC.e 21＋e D.e2解析：设P A ，PF 的斜率分别为k 3，k 4，由题意可知tan θ＝k4－k31＋k3k4，不妨设P (a2c，y )(y >0)，则k 3＝ya2c －a ，k 4＝ya2c－c .令m ＝a2c －a ，n ＝a2c－c ，则tan θ＝yn－y m 1＋y n ×y m ＝m －nmny＋y，由m －n ＝c－a >0，得当mn y ＋y 取得最小值时tan θ取最大值，又y >0，m <0，n <0，所以mn y＋y ≥2mn ，当且仅当y ＝mn 时等号成立，此时tan θ＝m －n 2mn＝错误!＝错误!，故选C.答案：C9．(2018·淄博模拟)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线的右支于点P ，切点为T ，PF 1的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是( )A ．b －a ＝|MO |－|MT |B ．b －a >|MO |－|MT |C ．b －a <|MO |－|MT |D ．b －a ＝|MO |＋|MT |接OT ，则OT ⊥F 1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝解析：如图，连|OF1|2－|OT|2＝b ，连接PF 2， F 1P 的中点，O 为F 1F 2的中点，∵M 为线段∴|OM |＝12|PF 2|，∴|MO |－|MT |＝12|PF 2|－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12|PF1|－|F1T|＝12(|PF 2|－|PF 1|)＋b ＝12×(－2a )＋b ＝b －a ，故选A.答案：A10．(2018·昆明市检测)已知点F 为双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，以点F 为圆心的圆与C 的渐近线相切，且与C 交于A ，B两点，若AF ⊥x 轴，则C 的离心率为．解析：不妨设F 为双曲线的右焦点，则F (c,0)，易知双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，则双曲线的焦点F 到渐近线的距离d ＝bc a2＋b2＝b ，所以圆F 的半径为b .在双曲线方程中，令x ＝c ，得y ＝±b2a ，所以A (c ，±b2a )．因为点A 在圆F 上，所以b2a＝b ，即a ＝b ，所以c ＝a2＋b2＝2a ，所以e ＝ca＝2.答案：211．双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)上一点M (－3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F 2，则该双曲线的标准方程为．解析：不妨设双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点F 2(c,0)关于渐近线y ＝bax 对称的点在双曲线上，则过焦点F 2且垂直于该渐近线的直线方程为y －0＝－ab (x －c )，即y ＝－ab(x －c )．联立可得方程组错误!解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a2c，y ＝abc，由中点坐标公式可得F 2关于渐近线对称的点的坐标为(2a2c －c ，2abc)，将其代入双曲线的方程可得错误!－错误!＝1，化简可得c 2＝5a 2，c 2＝a 2＋b 2＝5a 2，所以b 2＝4a 2.因为M (－3，4)在双曲线x2a2－y2b2＝1上，所以9a2－16b2＝1，9a2－164a2＝1，所以a 2＝5，b 2＝20，则该双曲线的标准方程为x25－y220＝1.答案：x25－y220＝112．设双曲线x 2－y23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是．解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)．答案：(27，8)13．(2018·沈阳质量监测)已知P 是双曲线x23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，求PA →·PB→的值．解析：设P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x 3－y ＝0，x 3＋y ＝0，所以可取|P A |＝|x03－y0|13＋1，|PB |＝|x03＋y0|13＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|·cos ∠APB ＝|x203－y20|43·(－12)＝34×(－12)＝－38.。