向量的线性相关性及其应用
线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用
线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用2023年，随着科技的不断发展，线性代数在各行各业中的应用不断扩展，尤其是在数据科学、机器学习和人工智能领域中。
而线性相关性作为线性代数中的一个重要概念，在这些领域中也得到了广泛应用。
本文将重点讨论线性相关性的概念、判断方法和应用，以帮助读者更好地理解和使用线性相关性。
一、概念线性相关性是指向量组中存在线性关系，即其中至少存在一个向量可以表示为其它向量的线性组合的形式，或者说存在一个向量可以由其它向量线性表示。
具体地，对于向量组$V={\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\cdots,\mathbf{v_n}}$，若存在一个非零向量$\mathbf{v}$，满足$\mathbf{v}=\sum\limits_{i=1}^n c_i\mathbf{v_i}$，其中$c_i$为任意实数，则称向量组$V$是线性相关的，否则称其线性无关。
二、判断方法下面介绍两种判断向量组线性相关的方法，分别为行列式法和向量空间法。
1.行列式法行列式法是最常用的判断向量组线性相关的方法，其基本思想是求出向量组的行列式，如果其值为0，则向量组线性相关，否则其线性无关。
具体地，对于向量组$V={\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\cdots,\mathbf{v_n}}$，可以将其写成矩阵形式，即：$$ A=\begin{bmatrix} v_{11}&v_{12}&\cdots&v_{1n}\\v_{21}&v_{22}&\cdots&v_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ v_{n1}&v_{n2}&\cdots&v_{nn} \end{bmatrix} $$然后求出其行列式$|A|$，若$|A|=0$，则向量组$V$是线性相关的，否则其线性无关。
线性代数 向量组的线性相关性应用案例2-刘杨
案例二：D urer 魔方O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M O O CO O C中国大学MOO C中国大学M OO C 中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M O O C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M O O C中国大学M OO C德国著名艺术家Albrecht Dürer(1471-1521年)于1514年曾铸造一枚充满数学符号、数字及几何图形的铜币，这里我们仅研究铜币右上角的数字问题。
O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OOC 中国大学M OO CO O C中国大学MOOC中国大学M OOC 中国大学M OO COOC中国大学M O OC 中国大学M OOC中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C特点：行和= 列和= 对角线之和= 每个小方块之和= 四个角之和=3416321351011896712415141Albrecht Dürer’s Magic SquareO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学M O O C中国大学MO O C中国大学M OO CO OC中国大学MO OC中国大学MO OC中国大学M OOCO O C中国大学MO O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MO O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MO O C中国大学M OO C中国大学M O O CDürer 魔方定义：一个4×4的数字方，它的每一行，每一列，每一对角线，每一小方块及四个角上的数字和均相等且为一确定数⚫如何构造Dürer 魔方？⚫一共有多少个Dürer 魔方？⚫如何构造所有的Dürer 魔方？——利用向量组的线性相关性O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC 中国大学M O O C中国大学M O O COOC中国大学M O OC 中国大学M O O C 中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M OO C 中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C记D ={A =[a ij ]4×4|A 为Dürer 魔方}⚫⚫k R A D kA D,,∀∈∀∈∈A B D A B D,,∀∈+∈D 构成向量空间，称为D ürer 魔方空间O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC 中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MO O C中国大学M O O C中国大学M O O COO C中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M O O COO C中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M O O COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M O O C令R =行和，C =列和，D =对角线和，S =小方块和利用0和1构造R=C=D=S=1的简单Dürer 魔方可构造出8个基本魔方Q 1, …,Q 8O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C中国大学M O O C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC 中国大学M OO C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O COO C中国大学M OO C中国大学M OO C 中国大学M O O COO C中国大学M OO C中国大学M O O C中国大学M O O COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M O O CQ Q Q Q Q Q Q 123456710001000000100010010000110000100====000101000010100001001001000010001001000010100000100100===010*********101⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q 801000001=1001010001000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦O O C中国大学M O O C中国大学M O O C中国大学M O O C O O C中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C 中国大学MO O C中国大学M OO C中国大学M O O CO O C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学M OOCO O C 中国大学MO O C中国大学M O O C中国大学M O O CO O C 中国大学MO O C中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C 中国大学MO O C中国大学M O O C中国大学M O O CO O C 中国大学MO O C中国大学M O O C中国大学M O OCQ Q Q Q Q Q Q Q 123456780−−++−−+=r Q r Q r Q r Q r Q r Q r Q 112233445566770++++++=⇒Q 1, …,Q 7是Dürer 魔方空间的一组基，任意Dürer 魔方可由其线性表示⇒Q 1, …,Q 8线性相关⇒Q 1, …,Q 7线性无关r r r r r r r 1234567======0⇒=O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C中国大学M O O C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOO C中国大学M OO C 中国大学M OO CO O C 中国大学MO O C 中国大学M O O C 中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C⚫构造Dürer 魔方D r Q r Q r Q r Q r Q r Q r Q r r r r r r r d d d d r r r r r r r d d d d r r r r r r r d d d d r r r r r r r d d d d 11223344556677126573411121314354716221222324462531731323334713245641424344+===++++++++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⚫取不同的r 1,…,r 7值，可直接构造不同的Dürer 魔方⚫取不同的d 11,…,d 44 值，也可构造不同的Dürer 魔方O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中O O C中国大学M O O C中国大学MO O C 中国大学M O O C中O O C中国大学M O O C 中国大学M OO C中国大学M O O C中O O C中国大学MOOC 中国大学M O O C 中国大学M OO C中OOC 中国大学M OOC 中国大学M O O C 中国大学M OO C中OOC中国大学M OOC中国大学M O O C中国大学M O OC中OO C中国大学M O OC中国大学M O O C中国大学M OO C中OO C 中国大学M OO C 中国大学M O O C中国大学M OO C中向量组的线性相关性应用案例⚫取不同的d 11,…,d 44 值，也可构造不同的Dürer 魔方1265734354716246253177132456110000000000100000101001100000101000001001+1000010010000000010101001000010000100000100000011010000r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⎡⎢⎢⎢⎢⎢++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥⇒⎢⎥+++⎢⎥+++⎣⎦1234567=r r r r Ar r r r 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中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O C向量组的线性相关性应用案例选取d 24 , d 32 , d 34 , d 41 , d 42 , d 43 , d 44为自由变量，其他量可由其唯一确定16321351011896712415141自由变量的选取不唯一！⚫构造Dürer 魔方中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M 中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M中国大学MO O C 中国大学MOO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M中国大学MO O C中国大学M O OC中国大学MO O C中国大学M OO C中国大学M中国大学MOOC 中国大学M OOC 中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M中国大学M OOC中国大学M OOC 中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M中国大学M OO C中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M。
线性代数 向量组的线性相关性应用案例1-刘杨
案例一：在系统能控性判断及结构分解中的应用O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC中国大学MO O C中国大学M OO COO C 中国大学M O O C 中国大学M OO C 中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M OO C 中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C⚫能控性是从控制角度表征系统结构的一个基本特性，对于系统控制问题的研究具有基本的重要作用。
⚫给定飞行器、车辆等系统，在基于期望性能指标进行控制器的设计分析之前，必须对其内在的能控性进行判断，进而对不完全能控系统进行结构分解以判断其不能控子空间的稳定性。
O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC 中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C◼系统能控性定义及判据◼能控性的系统结构分解O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC 中国大学M OO C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C➢直观讨论考虑一个系统, 输入和输出构成系统的外部变量, 状态属于反映运动行为的系统内部变量。
向量组线性相关性
向量组线性相关性在线性代数中，向量组的线性相关性是一个重要的概念。
当我们谈论向量组的线性相关性时，实际上是在探讨这些向量之间是否存在一种线性关系，即是否存在一组实数使得这些向量的线性组合为零向量。
在本文中，我们将深入探讨向量组的线性相关性，包括线性相关性的定义、判定方法以及线性相关性与线性无关性之间的关系。
定义给定一个由n个向量$\\boldsymbol{v}_1, \\boldsymbol{v}_2, \\ldots,\\boldsymbol{v}_n$组成的向量组，如果存在不全为零的实数$k_1, k_2, \\ldots,k_n$，使得$k_1\\boldsymbol{v}_1 + k_2\\boldsymbol{v}_2 + \\ldots +k_n\\boldsymbol{v}_n = \\boldsymbol{0}$，那么这个向量组就被称为线性相关的；否则，这个向量组就被称为线性无关的。
判定方法方法一：行列式判别法对于n个n维向量组成的矩阵$A=[\\boldsymbol{v}_1, \\boldsymbol{v}_2,\\ldots, \\boldsymbol{v}_n]$，如果$\\text{det}(A) = 0$，则这个向量组线性相关；如果$\\text{det}(A) \ eq 0$，则这个向量组线性无关。
方法二：向量组的秩将向量组的向量依次排列成矩阵A的列向量，然后对矩阵A进行行变换化为阶梯形矩阵B，向量组的秩r即为矩阵B的非零行数，如果r=n，则向量组线性无关；如果r<n，则向量组线性相关。
线性相关性与线性无关性的关系线性相关性和线性无关性是一对互补的概念。
线性相关的向量组中至少有一个向量可以被其他向量线性表示，而线性无关的向量组中每个向量都不能被其他向量线性表示。
在实际应用中，线性相关的向量组会造成冗余信息，降低计算效率，而线性无关的向量组则被广泛应用于解方程组、矩阵变换等问题中。
高中数学中的向量线性相关与线性无关
高中数学中的向量线性相关与线性无关在高中数学学习中，向量是一个非常重要的概念。
而在向量的研究中，线性相关与线性无关是一个基础而又关键的概念。
本文将探讨高中数学中的向量线性相关与线性无关的概念及其应用。
一、向量的线性相关与线性无关的定义在向量的研究中，我们经常会遇到多个向量同时出现的情况。
而这些向量之间的关系可以分为线性相关和线性无关两种情况。
1. 线性相关如果存在一组不全为零的实数$k_1,k_2,…,k_n$，使得向量$v_1,v_2,…,v_n$满足以下关系：$k_1v_1+k_2v_2+…+k_nv_n=0$其中，$0$表示零向量。
那么我们称向量$v_1,v_2,…,v_n$线性相关。
2. 线性无关如果不存在一组不全为零的实数$k_1,k_2,…,k_n$，使得向量$v_1,v_2,…,v_n$满足以上关系，那么我们称向量$v_1,v_2,…,v_n$线性无关。
二、线性相关与线性无关的几何意义线性相关与线性无关的概念在几何上有着重要的意义。
我们以二维向量为例进行说明。
假设有两个非零向量$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$，我们可以将它们画在二维平面上。
如果这两个向量共线，即它们的方向相同或相反，那么它们是线性相关的。
反之，如果这两个向量不共线，即它们的方向不同，那么它们是线性无关的。
同样地，对于三维向量，我们可以将它们画在三维空间中。
如果多个向量共面，那么它们是线性相关的。
反之，如果多个向量不共面，那么它们是线性无关的。
三、线性相关与线性无关的应用线性相关与线性无关的概念在向量的运算中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 向量的线性组合线性相关的向量可以通过调整系数的大小，通过线性组合的方式得到零向量。
而线性无关的向量则不能通过线性组合得到零向量。
2. 坐标系的建立在坐标系的建立中，我们通常会选择线性无关的向量作为坐标轴。
这样可以保证坐标系的唯一性和准确性。
3. 向量的基与维数如果向量组中的向量线性无关，并且能够通过线性组合得到其他向量，那么我们称这组向量为基。
向量的线性相关及其应用
向量的线性相关及其应用.doc向量的线性相关及其应用线性相关是线性代数课程中的重点和难点之一，学生很难理解。
向量的相关性反映了数字域中的维度向量空间中的向量之间的关系。
本文总结了判断向量线性相关性和线性独立性的几种方法，并介绍了线性相关的一些应用。
1.向量线性相关和线性组合的基本概念向量线性相关是向量线性相关和线性独立性的统称。
它描述了数域f上的n维向量空间中向量之间的关系。
多个向量之间的比例关系是线性组合。
如果在数域f中有数，那么这个向量就叫做向量组的线性组合，或者可以用向量组来线性表示。
特别地，零向量是任何向量集合的线性组合。
因此，线性相关性和线性独立性的定义如下：定义1: 对于一个n维向量，如果有一组数不全是零，等于，那么该向量组被称为线性相关；否则，向量组被认为是线性独立的。
也就是说，没有不全是零的数字，零被称为线性独立性。
定义2: 对于向量组和向量，如果S的数目使得向量是向量组的线性组合。
2.关于线性相关的几个判断方法可以用定义来判断或证明向量的线性相关性。
具体步骤是：(1)可以使，这是一个常数；(2)展开并整理上述公式，求解相应的齐次线性方程；(3)如果不是全部为，则原始向量组是线性相关的；如果都是，则原始向量组是线性无关的。
从逻辑解释来看，我们把线性相关性解释为“冗余”，把线性独立性解释为“无冗余”。
由于线性独立性等价于任何一个向量不能由其余向量线性表示，向量组的线性独立性被认为是一个“无冗余”的向量。
在研究向量组线性相关的过程中，以下两个定理是最难理解和掌握的。
引理1: 让向量组(I)由向量组(ii)线性表示，如果s。
t，则存在线性相关。
我们解释如下：向量组(1)和向量组(2)分别被称为“表达向量组”。
如果条件s>t，则被视为“剩余”向量。
这意味着，如果在向量组(I)中存在冗余向量相对于所表达的向量组(II)，则存在线性相关性。
这个解释很容易理解和记忆。
推论1：如果一个向量组是线性独立的，并且可以由另一个向量组线性表示，则s≤t。
向量的线性相关性及其应用
向量的线性相关性及其应用一、引言向量(linear vector)是线性代数中一个重要的概念。
在物理、数学以及经济等领域都有广泛的应用。
本文将深入探讨向量的线性相关性及其应用，为读者展开一个全新的世界。
二、向量的定义与线性相关性向量通常由对应的有序数列表示，例如：$\vec{v}=(v_1,v_2,v_3,...,v_n)$，其中$n$为该向量的维度。
在这里我们着重介绍三维向量的线性相关性。
定义：给定向量空间$V$中的$n$个向量$\vec{v_1},\vec{v_2},...,\vec{v_n}$，如果存在一组不全为0的系数$c_1,c_2,...,c_n$使$$c_1\vec{v_1}+c_2\vec{v_2}+...+c_n\vec{v_n}=\vec{0}$$则称$\vec{v_1},\vec{v_2},...,\vec{v_n}$是线性相关的，否则称它们是线性无关的。
三、线性相关性的判断接下来我们将介绍两种判断线性相关性的方法1.行列式判断法判断向量$\vec{v_1}=(a_1,b_1,c_1),\vec{v_2}=(a_2,b_2,c_2),\vec{v_3}=(a_3,b _3,c_3)$是否线性相关，先将三个向量组成一个矩阵：$$ A =\begin{bmatrix}a_1 & b_1 & c_1\\a_2 & b_2 & c_2\\a_3 & b_3 & c_3\end{bmatrix}$$计算矩阵$A$的行列式$\mid A\mid$，如果$\mid A\mid=0$，则三个向量线性相关，否则线性无关。
2.列向量线性组合法该方法适用于任意维度的向量$V$中，以三维向量为例，判断向量$\vec{v_1}=(a_1,b_1,c_1),\vec{v_2}=(a_2,b_2,c_2),\vec{v_3}=(a_3,b _3,c_3)$是否线性相关，可以先将它们写成列向量的形式：$$\vec{v_1}=\begin{bmatrix}a_1\\b_1\\c_1\end{bmatrix},\vec{v_2}=\begin{bmatrix}a_2\\b_2\\c_2\end{bmatrix},\vec{v_3}=\begin{bmatrix}a_3\\b_3\\c_3\end{bmatrix}$$然后设有一组不全为0的系数$d_1,d_2,d_3$，满足$$d_1\vec{v_1}+d_2\vec{v_2}+d_3\vec{v_3}=\vec{0}$$则可以写出下列线性方程组：$$\left\{\begin{aligned}a_1d_1+a_2d_2+a_3d_3&=0\\b_1d_1+b_2d_2+b_3d_3&=0\\c_1d_1+c_2d_2+c_3d_3&=0\end{aligned}\right.$$如果方程组有一组不全为0的解，则三维向量$\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}$线性相关，否则线性无关。
平面向量的线性相关与线性无关
平面向量的线性相关与线性无关在数学的广阔天地中，平面向量是一个非常重要的概念，而其中的线性相关与线性无关更是理解向量性质和应用的关键所在。
首先，咱们来弄清楚啥是平面向量。
简单说，平面向量就是既有大小又有方向的量。
比如说，从 A 点到 B 点的位移就是一个平面向量。
它在平面直角坐标系中可以用坐标表示出来。
那啥是线性相关呢？假设咱们有两个向量 a 和 b，如果存在不全为零的实数 k1 和 k2，使得 k1a ＋ k2b ＝ 0 成立，那这两个向量就是线性相关的。
打个比方，假如有向量 a ＝（1, 2)，b ＝（2, 4)，咱们能发现 2a b ＝ 0 ，这就说明 a 和 b 是线性相关的。
线性相关的向量，它们之间存在着某种“依赖关系”。
就好像一个能被另一个“表示”出来。
这种关系在解决很多数学问题和实际应用中都有着重要的意义。
接下来再看看线性无关。
如果对于一组向量，只有当实数 k1 ＝ k2 ＝ 0 时，k1a ＋ k2b ＝ 0 才成立，那这组向量就是线性无关的。
比如说向量 a ＝（1, 0)，b ＝（0, 1)，无论怎么找实数 k1 和 k2，只要它们不全是 0 ，都不可能让 k1a ＋ k2b ＝ 0 成立，所以这两个向量就是线性无关的。
线性无关的向量，它们各自都是“独立”的，谁也不能由其他向量通过线性组合的方式表示出来。
那为啥要研究平面向量的线性相关和线性无关呢？这可太有用啦！在解决方程组的问题时，如果向量线性相关，那么方程组可能有无穷多解；如果向量线性无关，方程组可能有唯一解或者无解。
在几何图形中，线性相关和线性无关也有体现。
比如，如果三个平面向量线性相关，那它们可能共线或者共面；要是线性无关，那它们就能构成一个独特的平面图形。
再说说线性相关和线性无关在实际生活中的应用。
在物理学中，研究力的合成与分解时，向量的线性相关和线性无关能帮助我们更好地理解力的作用效果。
在计算机图形学中，处理图像的变换和建模时，也离不开对向量线性性质的运用。
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向量的线性相关性及其应用摘 要:线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对学生来说是很难理解的。
向量的相关性所反映的是在数域上的n 维向量空间中向量之间的关系。
文章总结出了判断向量线性相关和线性无关的几种方法。
同时给出了线性相关性的一些应用。
关键词:线性相关；线性无关；线性组合；极大无关组；坐标变换；过渡矩阵一． 向量线性相关性及线性组合的基本概念1． 向量的线性相关性是向量线性相关与线性无关的统称,它刻画的是数域F 上n 维向量空间中向量之间的关系。
在两个向量之间, 最简单的关系是成比例,即是否有一数k 使得k αβ=,而在多个向量之间,成比例的关系表现为线性组合。
所谓线性组合,就是如果有数域F 中的数12,s k k k , 使得β =1122s s k k k ααα++ ,那么向量β称为向量组12,,s ααα的一个线性组合,或说β可以由向量组12,,s ααα线性表示。
特别地,零向量是任一向量组的线性组合。
于是,就引出了线性相关和线性无关的定义:定义1：对s 个n 维向量12,,s ααα ,若存在一组不全为零的数12,s k k k ,使得1122s s k k k ααα++=0 ,则称向量组12,,s ααα线性相关; 否则称向量组12,,s ααα线性无关 。
即没有不全为0的数,使1122s s k k k ααα++= 0 ,就称为线性无关。
定义2：对于向量组12,,s ααα 和向量β,如果存在s 个数12,s k k k 使得1122s s k k k ααα++=β则称向量β是向量组12,,s ααα的线性组合二． 关于线性相关性的几种判定1.利用定义来判断或证明, 这种方法的证明思路直观,也是证明向量线性相关时最常用的一种方法。
具体步骤是： ⑴可令1122s s k k k ααα++= 0 ,其中12,s k k k 为常数;⑵ 把上式展开整理, 解相应的齐次线性方程组; ⑶ 若12,s k k k 不全为0 , 则原向量组12,,n ααα 线性相关; 若12,s k k k 全为0 ,则原向量组12,,n ααα 线性无关2.从逻辑解释上理解我们把线性相关解释为“多余”，线性无关解释为“没有多余”。
由于12,,n ααα 线性无关等价于其中任何一个向量不能由其余向量线性表示，因此向量组12,,n ααα线性无关看成是12,,n ααα 中“ 没有多余”的向量，如:“如果一个向量组中的部分组线性相关, 则整个向量组也线性相关”，解释为如果一个向量组中的部分组有多余的向量,则整个向量组也有多余的向量。
“如果一个向量组线性无关,则它的任意一个部分组也线性无关”，解释为如果一个向量组中没有多余的向量,则该向量组去掉一些向量后也没有多余的向量。
下面两个定理是学习向量组的线性相关性的过程中最难理解和掌握的。
引理1【1】 设向量组（Ⅰ）12,,s ααα 可由向量组（Ⅱ）12,,t βββ 线性表示，且s ＞t ，则12,,s ααα 线性相关。
我们作如下解释：，向量组（Ⅰ）12,,s ααα 称为“被表示向量组”，向量组（Ⅱ）12,,t βββ 称为“表示向量组”。
条件s ＞t ，看成是有”多余”的向量。
即“被表示向量组（Ⅰ）12,,s ααα 相对于表示向量组（Ⅱ）12,,t βββ 有多余的向量，则12,,s ααα 线性相关,这样解释便于理解和记忆。
推论1 如果一个向量组12,,s ααα 线性无关，并且可由向量组12,,t βββ线性表示。
则s ≤t 。
推论1可解释为：如果“被表示向量组12,,s ααα 线性无关，则被表示的向量组12,,s ααα 相对于表示向量组12,,t βββ 没有多余的向量，即s ≤t 。
推论2 两个等价的线性无关向量组所含的向量的个数相同。
两个向量组都线性无关，且彼此可相互线性表示，两个向量组彼此相对于另一个向量组都没有多余的向量，得两个向量组所含的向量的个数相同。
下面再举一些例子进行说明。
例1 设向量组12,,s ααα 线性无关, 且可由向量组12,,t βββ 线性表示,则必有( )。
Ａ.t ≤s Ｂ.t ≥s Ｃ.t ＜s Ｄ.t ＞s分析：被表示向量组12,,s ααα 线性无关，则被表示向量组12,,s ααα相对于表示向量组12,,t βββ 来说，没有多余的向量，因此有t ≥s ，故选择Ｂ。
例2 设向量组（Ⅰ）12,,s ααα；向量组（Ⅱ）12,,t βββ 的秩分别为1r 和2r ，若（Ⅰ）中每一个向量均可由（Ⅱ）线性表示，则1r 与2r 的关系是什么？解：应填“1r ≤2r ”其理由是:设向量组（Ⅰ）12,,s ααα 的极大无关组为112,,i i ir a a a ，向量组（Ⅱ）12,,t βββ的极大无关组为。
则 可由212,,j j jr b b b 线性表示，因112,,i i ir a a a 线性无关, 被表示向量组112,,i i ir a a a 相对于表示向量组212,,j j jr b b b 没有多余的向量，则1r ≤2r 。
3. 向量组12,,n ααα ( n ≥2) 线性相关的充分必要条件是12,,n ααα 中某一个向量是其余向量的线性组合 。
根据此充要条件可以得到以下两个结论:⑴ 任一个含零向量的向量组必线性相关, 即零向量是任意向量组的线性组合。
⑵ 单位向量组{1，0，，0}；{0，1，，0}；{0，0，，1}必线性无关。
4.若向量组A : 12,,n ααα 均为n 维向量且线性相关,则向量组B : 121,,,n n αααα+也线性相关。
反言之,若向量组B 线性无关,则向量组A 也线性无关 。
利用定义即可证明5. 向量与矩阵的概念联系向量组12,,n ααα 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A = (12,,n ααα) 有r ( A ) <n ;向量组线性无关的充分必要条件是秩r ( A ) =n 。
证明:若12,,n ααα 线性相关,则方程组 ()1212,,,0n n k k k ααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解。
于是0A = ,等价于秩()r A n < 。
若矩阵A 的秩()r A n < ,则0A = ,因而上述方程组有非零解。
即:存在不全为0 的m 个数12,m k k k ，使得1122n n k k k ααα++= 0 ,也就是12,,n ααα线性相关。
这种方法一般用来直接判断具体向量组线性相关性,且可以摆脱求方程组的麻烦, 但对矩阵的行、列变换要求比较高。
6. m 个n 维向量组成的向量组,当维数n 小于向量个数m 时一定线性相关 。
证明: m 个n 维向量12,,m ααα构成矩阵n m A ⨯= (12,,m ααα) ,有()r A n ≤。
若n < m ,则()r A m < ,故m 个向量12,,m ααα 线性相关7. 若向量组12,,r ααα 可由12,,s βββ 线性表出,且r s > ,则12,,r ααα 线性相关 。
同时,这个命题还有一个等价说法, 即:如果向量组12,,r ααα 可由12,,sβββ线性表出,且12,,r ααα 线性无关,那么r s ≤ 。
至于这个命题的证明,直接应用上述命题即可。
8. (12,,n ααα) = (12,,n βββ) A , A 是n 阶满秩矩阵, 则()1,2,,i i n α=与12,,n βββ线性相关。
9．设, 12j j j nj a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，11,j j nj n j a a a β+⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()1,2,,j m =即向量j α添上一个分量后得向量j β 。
若向量组A : 12,,m ααα线性无关, 则向量组B : 12,,m βββ 也线性无关。
反言之,若向量组B 线性相关,则向量组A 也线性无关三.应用.在两组向量组线性相关性的问题中，较常用和特殊的应用是在基变换和过渡矩阵的问题中1．定义3: 设(12,,n ααα )和(12,,n βββ)是数域P 上n 维线性空间V (简称V ) 的两个基, 那么11112121212122221122n n n n n n n nn na a a a a a a a a βαααβαααβααα=++⎧⎪=++⎪⎨⎪⎪=++⎩这里()12,,,jj nj ααα 就是j β 关于基的坐标()1,2,,j n =。
以这n 个坐标为列作一个n级矩阵 T =1111n n nn a a ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 矩阵T 叫做由基12,,n βββ到基(12,,n ααα)的过渡矩阵。
上述关系式(1) 又可以写成下面的形式: (12,,n βββ)=(12,,n ααα)T2． 过渡矩阵的求法2.1，利用定义中的关系式求由基(12,,n ααα)到基(12,,n βββ)的过渡矩阵是T , 只要能计算出j β 关于基(12,,n ααα)的线性组合系数12,,,j j nj ααα()1,2,,j n =, 就可得出T 的第j 列元素, 从而写出过渡矩阵T 。
例3 在[]4P x 中, 求由基()(){}231,,,x a x a x a ---到基{}231,,,x x x 的过渡矩阵, 其中a P ∈。
解: 因为1= 1x a a x -=-+()2222x a a ax x -=-+ ()3322333x a a a x ax x -=-+-+所以所求的过渡矩阵为 2321012300130001a a a a a a ⎛⎫-- ⎪-⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭2. 2 利用性质（1）：如果(12,,n ααα), (12,,n βββ) ,{ 12,,n γγγ}都是V 的基, 并且由基(12,,n ααα)到基(12,,n βββ)的过渡矩阵是A , 由基(12,,n βββ)到基{12,,n γγγ }的过渡矩阵是B , 则由基{}12,,n ααα到基{12,,n γγγ}的过渡矩阵是A B 。
2.3， 利用性质（2）：如果由基(12,,n ααα)到基(12,,n βββ)的过渡矩阵是T ， 则由基(12,,n βββ)到基(12,,n ααα)的过渡矩阵是1T -。
例4：设基{1e = (1, 0, 0) , 2e = (0, 1, 0) , 3e = (0, 0, 1) }, 则由基{123,,e e e }到基{123,,ααα }的过渡矩阵是A=113211⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦, 由性质(2) 知, 由基{123,,ααα }到基{123,,e e e }的过渡矩阵是`1A -=2355711112--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦又因为由基{123,,e e e }到基{123,,βββ}的过渡矩阵是B =112120131⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以由性质( 1 ) 可知所求的由基{123,,ααα } 到基{123,,βββ } 的过渡矩阵是1A - B =619113421270---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦2. 4 利用性质：如果向量关于基{12,,n ααα }的坐标是(12,,n x x x ) ; 关于基{β1 ,β2 , ⋯,βn }的坐标是(12,,n y y y ) , 则有坐标变换关系式:1122n n x y x y T x y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例5 在V 中, 对任一向量A, 设A 在基{12,,n ααα}下的坐标为(12,,n x x x ) ,在基{12,,n βββ}下的坐标为(12,,n y y y ) , 且两组基下的坐标有关系112213321n n n y x y x x y x x y x x -=⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩, 求由基{12,,n ααα}到基{12,,n βββ}的过渡矩阵。