《线性代数与概率统计》概率统计答案及评分标准

计算机系
《线性代数与概率统计》（概率统计）(A)
参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共 5题，每小题 3 分，共 15 分)
1. 一射手向目标射击3 次，i A 表示第i 次射击击中目标这一事件)3,2,1(=i ，
则3次射击中至多2次击中目标的事件为( B )
321321321321)()()()(A A A D A A A C A A A B A A A A ⋃⋃⋃⋃
2. 若x x cos )(=ϕ可以成为随机变量X 的概率密度函数，则X 的可能取值
区间为（ A ）
(A )]2
,0[π
(B) ],2
[ππ
(C ) ],0[π (D ) ]4
7,23[
ππ 3. 设随机变量X 的概率密度为()p x ,且{}01P x ≥=,则必有( C ) (A ) ()p x 在()0+∞，内大于零
(B ) ()p x 在(),0-∞内小于零
(C ) 0
1p(x)dx +∞
=⎰
(D ) ()p x 在()0+∞，上单调增加
4. 下列数列是随机变量的分布律的是（ A ）.
(A ) )5,4,3,2,1,0(15==i i
p i
(B ) )3,2,1,0(6
52
=-=
i i p i
(C ) )4,3,2,1(5
1
==
i p i (D ) )5,4,3,2,1(25
1=+=
i i p i
5. 设X 1,X 2,X 3,X 4是来自总体N (?,?2)的简单随机样本，则四个统计量:
μ1=( X 1+X 2+X 3+X 4 )/4, μ2=X 1,
μ3=X 1/2+X 2/3+X 3/6,
μ4=X 1/2+X 2/3+X 3/4
中，是?的无偏估计量的个数为（ C ） (A ) 1
(B ) 2 (C ) 3 (D ) 4
二、填空题（本大题共 5 题，每小题 3 分，共 15 分)
1．设()0.4,()0.3,()0.6P A P B P A B ===U ，则()P AB =__0.3___.
2．将3个球随机地放入3个盒子中（每个盒子中装多少个球不限），则每盒中各有一球的事件的概率等于____2/9___.
3．设离散随机变量X的分布函数为
00;
1
,01;
3
()=
2
,12;
3
1, 2.
x
x
F x
x
x
<
⎧
⎪
⎪≤<
⎪
⎨
⎪≤<
⎪
⎪≥
⎩
,
则
1
2
2
P X
⎧⎫
<≤=
⎨⎬
⎩⎭
___2/3______.
4．连续型随机变量取任何给定实数值a的概率为 0 .
5．设随机变量X与Y服从分布：X～(1,2)
N，Y～(100,0.2)
B，则
(23)
-+=
E X Y -15 .
三、计算题（本大题共 6 题，其中1、2小题每题8分，3、4小题每题10分，5、6小题每题12分，共 60 分)
1．设一口袋装有10只球，其中有4只白球，6只红球，从袋中任取一只球后，不放回去，再从中任取一只球。

求下列事件的概率：
(1) 取出两只球都是白球；
(2) 第二次取的是白球.
解：(1) 设：取出两只球都是白球的事件为A
15
2
/)(1
91101314=
=C C C C A P …………（4分） (2) 设：第二次取的是白球的事件为B
5
2
//)(1
91101314191101416=
+=C C C C C C C C B P …………（8分）
2. 甲、乙是位于某省的二个城市，考察这二城市六月份下雨的情况，以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一事件，根据以往的气象记录知()()0.4P A P B ==,
()0.28P AB =, 求(|)P B A 和()P A B ⋃.
解：(|)P B A =
)()(A P AB P =4
.028
.0=0.7 …………（4分） ()P A B ⋃=)()()(AB P B P A P -+=0.4+0.4-0.28=0.52 …………（8分）
3.已知连续型随机变量X 有概率密度
1,02
()0,
kx x f x +<<⎧=⎨
⎩其它
(1) 求系数k ;
(2) 计算(1.5 2.5)<<P X ;
(3) 求数学期望()E X .
解 （1）⎰+∞
∞
-=1)(dx x f ，即⎰=+2
1)1(dx kx …………
得2
1
-=k ………………………………（2分）
（2）)5.25.1(<<X P =⎰5
.25
.1)(dx x f ………………（4分）
=dx x
⎰+-25.1)12
(==1/16=0.0625………（6分）
（3）)(X E =⎰+∞
∞
-dx x xf )( …………………………（8分）
=dx x x ⎰+-20)12(=3
2
……………………（10分）
4.设随机变量),(Y X 在G 上服从均匀分布，其中G 由x 轴y ,轴及直线1x y +=所围成，
⑴ 求),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，⑵ 计算{}P Y X <。

解：),(Y X 的联合概率密度为 2,(,);
(,)0,x y G f x y ∈⎧=⎨
⎩其它. ……………… （2分）
(1) 2(1),01;
()(,)0,X x x f x f x y dy ∞-∞
-<<⎧==⎨⎩⎰其它.
， …………… （6分）
⑵ 1210
12
{}(,)2y
y
y x
P Y X f x y dxdy dy dx -<<=
==
⎰⎰⎰⎰。

…………… (10分)
5.设X,Y 服从同一分布，其分布律为：
已知P （|X |=|Y |）=0，判断X 和Y 是否不相关？是否不独立？
解：根据P （|X |=|Y |）=0，易得X ，Y 的联合分布律为： ……（6分）
04/112/104/1)1()(=⨯+⨯+⨯-=X E
另易得：E (XY )=0
所以，COV(X ,Y ) = E (XY ) - E (X )E (Y ) = 0，即X 与Y 不相关。

……（10分）
根据P (X =i ,Y =j ) ≠ P (X =i ) P (Y =j ) 得X 与Y 不是相互独立。

………（12分）
6.设总体X 的概率分布为
1-2θ
其中θ(0<θ<
1
2
)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和极大似然估计值。

解：
8
13ˆ(1)()34,()4
2
8
i
i x E X E X x x x θθ
=-=-====∑令得又 …………（3分） 所以θ的矩估计值31ˆ.44
x θ
-== ……………………（6分） （2） 似然函数8
6241
(,)4(1)(12).i i L P x θθθθ===--∏ …………（8分）
2ln ln 46ln 2ln(1)4ln(1),
d ln 628628240,d 112(1)(12)
L L θθθθθθθθθθθθ=++-+--+=--==---- 解2628240θθ-+=
得
1,2θ=
. 由于
1
,2
>
所以θ的极大似然估计值为 7ˆ2
θ
-=…………（12分）
四、应用题 设考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布，平均成绩（即参数μ之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数，求：Y 的分布律。

其中: (2)0.977,(1)0.8413Φ=Φ=.
解：),72(~2σN X ，),100(~p B Y ，其中 …………………………（2分）
)8460(<<=X P p
=1)12
(2)72
60(
)72
84(
-Φ=-Φ--Φσ
σ
σ
…………………（4分）
)24
(
1)72
96(
1)96(023.0σ
σ
Φ-=-Φ-=>=X P Θ ………………（6分）
977.0)24
(
=Φ∴σ
，即
224
=σ
，故
112
=σ
所以6826.01)1(2=-Φ=p ……………………………………（8分）
故Y 的分布率为)6826.0,100(~B Y
即：k k k
C k Y P -==100100
)3714.0()6826.0()( ……………………（10分）。