浅谈交错级数敛散性的判定
高数辅导之专题二十：交错级数、任意项级数的敛散性判别法
专题二十基础知识定理1（交错级数的莱布尼兹定理）若交错级数∑∞=-1)1(n n nu （Λ,3,2,1=n ）满足：（1）1+≥n n u u （Λ,3,2,1=n ） （2）0lim =∞→n n u则∑∞=-1)1(n n nu 收敛，且11)1(u u n n n ≤-∑∞=。
注：交错级数∑∞=-1)1(n n nu 收敛要求数列}{n u 单调递减且趋向于零。
对于任意项级数∑∞=1n nu，引入绝对值级数的概念：级数∑∞=1||n nu称为∑∞=1n n u 的绝对值级数。
定理2若级数∑∞=1||n nu收敛，则∑∞=1n n u 亦收敛。
由定理2知收敛级数∑∞=1n nu分为两种：（1）条件收敛：要求∑∞=1n nu收敛，∑∞=1||n nu发散。
（2）绝对收敛：要求∑∞=1||n nu。
总结：判定级数∑∞=1n nu的敛散性，可按如下步骤进行：（1）首先讨论n n u ∞→lim 。
若n n u ∞→lim 不存在或0lim ≠∞→n n u ，级数∑∞=1n nu发散；若0lim =∞→n n u ，转入第二步。
（2）其次讨论∑∞=1||n nu的敛散性，可运用正项级数的一系列敛散性判别法。
若∑∞=1||n n u 收敛，则∑∞=1n nu绝对收敛；若∑∞=1||n nu发散，转入第三步。
（3）最后讨论∑∞=1n nu的敛散性，可能用到交错级数的莱布尼兹定理。
若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu条件收敛；若∑∞=1n nu发散，当然∑∞=1n nu发散。
例题1. 设α为常数，判定级数∑∞=-12]1sin [n nn na 的敛散性。
解：∑∑∑∞=∞=∞=-=-112121sin ]1sin [n n n n n na n n na 由于221|sin |n n na ≤，∑∞=121n n 收敛，由比较判别法知级数∑∞=12sin n n na 收敛（绝对收敛），而∑∑∞=∞==121111n n nn为一发散的p 级数，故∑∞=-12]1sin [n nn na 发散。
浅谈正项级数与交错级数敛散性的判别方法 毕业论文
浅谈正项级数与交错级数敛散性的判别方法摘要：级数的敛散性在数学分析占有比较重要的版块，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。
数项级数敛散性的判别是一个重要而有趣的数学课题。
本文在已有文献的基础上，先对数项级数各种重要的敛散性判别方法作简单、系统的归纳，然后在已有判别方法的基础上推广了几种新的判别方法，这些推广的新的判别法降低了原判别法的使用要求，使其更具一般性，适应性更广。
关键词：正项级数；交错级数；敛散性On the Positive Series and Alternating Series Criterion for Convergence andDivergenceAbstract: Convergence and Divergence of Series in mathematical analysisplays the more important pages, determine the convergence of series as a series of issues are often the most important issue. Convergence and Divergence of a number of the discriminant is an important and interesting mathematical topics. In this paper, based on the literature, the first of several series of various important Criterion for Convergence and Divergence of a simple system of induction, then discrimination method has been popularized on the basis of several new discrimination method, which promotion of the new Criterion Criterion reduce the use of the original request, to make it more general, wider adaptability.Keywords:Positive series; Alternating series; Convergence and divergence1 引言数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。
关于交错级数敛散性判别法的一些探讨
关于交错级数敛散性判别法的一些探讨
范新华
【期刊名称】《常州工学院学报》
【年(卷),期】2007(020)005
【摘要】文章就数学分析中交错级数敛散性的判别法加以讨论,结合交错级数自身的特性,提出了交错级数敛散性的一个判别定理.该定理的判别式是极限形式,运用起来十分简便,该判定定理推广了莱布尼兹判别法,并给出了应用.
【总页数】3页(P57-59)
【作者】范新华
【作者单位】常州工学院理学院,江苏,常州,213002
【正文语种】中文
【中图分类】O173.1
【相关文献】
1.基于p-级数的交错级数敛散性判别法 [J], 张志银
2.交错级数敛散性的判别法性 [J], 韦兰英
3.正项级数敛散性两种基本判别法补充教学的一些探讨 [J], 农秀丽;黄秀南
4.对正项级数敛散性判别法的关系的一些探讨 [J], 杨钟玄
5.交错级数敛散性判别法的进一步探讨 [J], 庞通
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高等数学-交错级数
tan
的敛散性.
n1
3n
9.3.2 绝对收敛与条件收敛
设 un 为任意级数(即 un 可正,可负), n1
称 un 为原级数的绝对值级数. n1
若 un 收敛,则称 un 绝对收敛;
n1
n1
若 un 收敛,而 un 发散,则称 un 条件收敛.
0)
是绝对收敛、
条件收敛还是发散？
作业:习题 9-3
1(5)(6)(8)(9)(10) 3 5 6
补充题
1. 判断
sin(n
1
) 是绝对收敛,条件收敛,还是发散?
n1
ln n
2. 判别
(1)n1 n2 [n (1)n ]p
( p 0) 的敛散性.
3. 判断 (1)n1
n1
n1
n1
例如, (1)n1 1 为条件收敛.
n1
n
定理 9 7 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
n1
定理
(1)
若 lim un1 1,
u n n
则 un 发散.
n1
(2)
若
lim n
n
un
1,
则 un 发散.
n1
【例9-16】判别级数
(1)n1
ln(
n
1)
的敛散性.
n1 n
n
【例9-17】判断下列级数的敛散性，如果收敛，指出是 绝对收敛还是条件收敛：
(1) (1)n1
交错级数收敛条件
交错级数收敛条件交错级数是指由正项和负项构成的级数，也就是级数中的每一项都是正项和负项的交替出现。
交错级数的一般形式可以表示为：S = a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - a6 + ...其中，a1, a2, a3, ... 是级数的项，且满足a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ...对于交错级数的收敛性，我们需要考虑以下两个条件：1. 单调性条件：对于交错级数的每一项，级数中正项和负项是交替出现的，也就是级数的每一项都是正项和负项的交替出现。
在这种情况下，我们可以得出交错级数的单调性：若序列 {a1, -a2, a3, -a4, ...} 为递减序列，则交错级数为单调递减的；若序列 {a1, -a2, a3, -a4, ...} 为递增序列，则交错级数为单调递增的。
2. 极限条件：交错级数的极限条件较为复杂，根据交错级数的不同形式，存在不同的收敛条件。
2.1 Leibniz判别法：若交错级数满足 Leibniz 判别法的条件，则交错级数收敛。
Leibniz 判别法的条件如下：- 序列 {a1, a2, a3, ...} 是一个正项级数，即a1 ≥ a2 ≥ a3≥ ... ≥ 0；- 序列 {a1, a2, a3, ...} 极限为 0，即 lim_{n->∞} an = 0。
2.2 绝对值收敛法：若交错级数的绝对值级数收敛，则交错级数也收敛。
绝对值级数的形式表示如下：S' = |a1| + |a2| + |a3| + ...若绝对值级数 S' 收敛，则交错级数 S 也收敛。
2.3 Dirichlet判别法：若交错级数满足 Dirichlet 判别法的条件，则交错级数收敛。
Dirichlet 判别法的条件如下：- 序列 {a1, a2, a3, ...} 是一个正项级数，即a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... ≥ 0；- 序列 {b1, b2, b3, ...} 是一个序列，其部分和序列 {B1, B2, B3, ...} 有界，即存在一个正数 M，使得对于级数的每一项，|Bn| ≤ M。
多项交错级数敛散性的判定方法
判 断 多项 交错级 数及 广 义交错级 数是 绝对 收敛 、 条件 收敛还 是发散 ．
关键 词 ： 双 项 交 错 级 数 ；多项 交 错 级 数 ；广 义 交 错 级 数 ；条 件 收 敛 ；绝 对 收 敛 ；发 散
中图法分 类号 ： Ｏ１ ７ ３ 文 ｅ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ｃ ｒ ｉ ｔ ｅ ｒ ｉ ａ ｆ ｏ ｒ ｍｕ ｌ ｔ ｉ — ａ ｌ ｔ ｅ ｒ ｎ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ ｓ ｅ ｒ ｉ ｅ ｓ
２ ０ １ ３年 ４月
文章编号 ： １ ０ ０ ０ — ５ ８ １ １ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ — ０ １ ５ ０ — ０ ５
多 项 交 错 级 数 敛 散 性 的 判 定 方 法
蔺 小林 ，李 仲 博 。 ，刘 侃 。
（ １ ． 陕西 科 技 大 学 电 气 与 信 息 工 程 学 院 ，陕 西 西 安 ７ １ ０ ０ ２ １ ；２ ． 陕 西 铜 川 工 业 技 师 学 院 ，陕 西 铜 Ｊ ７ ２ ７ ０ ０ ０ ； ３ ． 陕西 省 商 业 学 校 ，陕 西 汉 中 ７ ２ ３ ０ ０ ０ ）
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：ｄ ｏ ｕｂ ｌ ｅ — ａ ｌ ｔ ｅ ｒ ｎ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ ｓ ｅ ｒ ｉ ｅ ｓ； ｍｕｌ ｔ ｉ — ａ ｌ ｔ ｅ ｒ ｎａ ｔ ｉ ｎｇ ｓ ｅ ｒ ｉ ｅ ｓ ；ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ａ ｌ ｔ ｅ ｒ ｎａ ｔ ｉ ｎ ｇ ｓ ｅ ｒ ｉ ｅ ｓ； ｃ ｏｎ ｄｉ ｔ ｉ ｏ ｎａ ｌ ｃ ｏｎｖ ｅ ｒ ｇｅ ｎ ｃ ｅ；ａ ｂ ｓ ｏ ｌ ｕｔ ｅ ｃ ｏ ｎｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ；ｄｉ ｖｅ ｒ ｇｅ ｎｃ ｅ
７１ ００２ １，Ｃｈ ｉ ｎ ａ； ２ ．Ｔｏ ｎｇｃ ｈｕ ａｎ Ｉ ｎｄ ｕｓ ｔ ｒ ｙ ａ ｎｄ Ｔｅ ｃ ｈｎｉ ｃ ｉ ａ ｎ Ｃｏ ｌ ｌ ｅ ｇｅ ， Ｔｏｎ ｇｃ ｈ ｕａ ｎ ７ ２７ ０ ００，Ｃｈｉ ｎａ；３． Ｓｈａ ａ ｎｘ ｉ Ｃｏｍ
浅谈交错级数敛散性的判定
浅谈交错级数敛散性的判定
交错级数是一种特殊的无穷级数。
在交错级数中，每一项的符号需要交替出现。
即正负交替，或者负正交替。
例如，交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-
1)^n\frac{1}{n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-
\frac{1}{4}+\cdots$$
交错级数的判定方法分为三种：莱布尼茨判别法、比较判别法和积分判别法。
1.莱布尼茨判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$
如果该级数满足以下两个条件，则级数收敛：
（1）$a_n>0$；
（2）$a_n$单调递减，即$a_n>a_{n+1}$。
这个判别法不适用于非交错级数。
2.比较判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$
如果$|a_{n+1}|<|a_n|$，则级数收敛。
如果$|a_{n+1}|\geq|a_n|$，则级数发散。
3.积分判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$ 如果$\int_{1}^{\infty}|a(x)|dx$收敛，则级数收敛。
如果$\int_{1}^{\infty}|a(x)|dx$发散，则级数发散。
交错级数敛散性判别法
00
:例7判断级数勺敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛?
解lim un+l
n—8 un
=lim
MT8
xn+1 n n+1 xn
=|x|
|X| < 1时，级数〉绝对收敛;
ixi > 1时，级数2 :发散；
V^00 vn X =1时，级数〉，发散；
V^00 vn
=T时，级数）土条件收敛.
X
^n=l n
定理若交错级数2：二(一1)”—侦如，un > 0, (n = L 2,…)满足
(1)"孔 2 Un+dO = 1, 2,…)；
(2) limun = 0.
71—00
贝U级数U攵敛， 旦其禾口s三 , 其余项I—兀| < 以兀+■•
证明取交错交错级数前2m项之和
Szm = “1 — “2 + “3 — “4 +----!" u2m-l _ u2m —("1 一 “2)+(“3 一 “4)----!■ (u2m-l 一 u2m)
(2)当I > 1 (或I = oo)时，级数竺u兀发散;
(3)当I =丄时，级数、言旨“兀的敛散性不能判别.
♦ 例5判断级数2：］苧*］敛散性.
P > 1时，级数5 绝对收敛； »n=l n
00 ( 一 1
0<p< 1时，级数〉 条件收敛; 厶」71 = 1 n
P < 0时，级数发散
（_1）"一12
moo lUTOO
综上所述，UmSn = S,级数收敛，且S V ”1. n—>oo
余项|R兀 I = Un + 1 — (Un+2 — U兀+3)—…< Un+r.
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浅谈交错级数敛散性的判定摘要：交错级数的敛散性主要用莱布尼兹定理来判别，本文给出了几个有用的结论来判断某些特殊的交错级数的敛散性，并总结了关于交错级数敛散性判别的一些常用方法。
归纳了如何使用该定理证明交错级数的敛散性,并在莱布尼兹审敛法失效时,提供了判定交错级数敛散性的方法。
关键词：交错级数 收敛 莱布尼兹审敛法 单调递减1引言在数学分析中,对级数敛散性的判别是一个重要的内容。
级数敛散性的柯西判别准则虽然给出了判断级数收敛的充要条件,从逻辑上讲,它适应于一切级数敛散性的判断,但是通常在判别具体级数的敛散性时,使用柯西判别准则是有困难的,甚至是无法进行的,因为要检测一个具体的级数是否满足这个判别准则的条件本身就不比检测这个级数是否收敛容易。
特别是判别一个交错级数是否收敛时使用柯西判别准则往往失效。
在常用的数学分析教材中判别交错级数是否收敛方法很少,一般地只有莱布尼茨判别法。
莱布尼茨判别法只针对莱布尼茨型级数有效,对于更多的非莱布尼茨型级数敛散性的判别存在困难。
在用莱布尼兹审敛法证明交错级数敛散性的过程中,验证两个条件成立有一定的难度。
在两个条件失效时,那么该如何判断呢？下面就来谈谈如何使用莱布尼兹审敛法验证交错级数的敛散性。
2基本概念及定理定义1： 若级数的各项符合正负相间，即：1112341...(1)....(1)n n n n n u u u u u u ∞--=-+-+-+=-∑（n>0,n=1,2,3,4……）则称级数11(1)n n n u ∞-=-∑为交错级数。
定义2：若级数1nn u∞=∑通项的绝对值构成的级数1n n u ∞=∑收敛，则称级数1n n u ∞=∑为绝对收敛；若级数1n n u ∞=∑收敛而1n n u ∞=∑发散，则称1n n u ∞=∑为条件收敛。
定理 1：（交错级数收敛的必要条件）若交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑（n u >0）收敛，则有lim 0n n u →∞=。
定理2：（莱布尼茨判别法）若交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足下述两个条件：（1）lim 0n n u →∞=；（2）数列{n u }单调递减； 则该交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑收敛。
3交错级数敛散性判别的方法当遇到一个交错级数时，该如何判断敛散性呢？大致从以下 步骤入手：3.1 必要性判别交错级数发散由定理1知，其逆否命题成立，即：若lim 0n n u →∞≠，则交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑(n>0）发散。
因此，可以判别交错级数的发散性。
例1 判别下列级数的敛散性。
（1）111(1)21n n n n ∞-=+--∑ （2）111(1)sin n n n n ∞-=-∑ 解（1）为交错级数，121n n u n +=-，则1lim lim 21n n n n u n →∞→∞+=-=102≠，因此交错级数111(1)21n n n n ∞-=+--∑发散。
（2）此级数为交错级数，1sinn u n n =，1sin1lim lim sin lim101n n n n n u n n n→∞→∞→∞===≠，因此交错级数发散111(1)sinn n n n∞-=-∑。
3.2莱布尼兹判别法可以判别交错级数收敛只要能验证莱布尼兹判别法的两个条件，那么这样的交错级数一定收敛。
例2 判别下列级数的敛散性 （1）111(1)n n n ∞-=-∑ （2）1211(1)n n n ∞-=-∑解 （1）此级数为交错级数，lim l 1im n n n nu →∞→∞==0；且1n n u u --=1111(1)n n n n -=++＞0，即数列{n u }单调递减。
因此，交错级数111(1)n n n ∞-=-∑收敛。
（2）此级数是交错级数，2lim lim1n n n n u →∞→∞==0；且数列{21n }显然单调递减。
因此级数1211(1)n n n∞-=-∑收敛。
注：例2中的两个级数虽然都收敛，但是他们通项所组成的级数，即正项级数1n ∑发散，正项级数21n ∑收敛；因此级数111(1)n n n ∞-=-∑条件收敛，而级数1211(1)n n n ∞-=-∑绝对收敛。
例3验证级数11(1)n n ∞-=-∑收敛。
证明此级数为交错级数，n u =，且lim n n n u →∞=121lim 012n n nn →∞-===； 令()x f, ()''x f ===,当2n e >时，有数列}单调递减；所以当2n e >时，级数1(1)n n ∞-=-∑收敛。
而当21n e <<时，只有有限项，由级数的性质：去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性。
综合以上，级数1(1)n n ∞-=-∑收敛。
注：例2告诉我们，莱布尼兹判别法判断出交错级数收敛时，并不能确定是条件收敛，还是绝对收敛。
通过例3我们又发现，如果n u 稍微复杂一些时，莱布尼兹的两个条件验证起来会比较困难，有时甚至{n u }不满足单调递减的条件。
3.3不能用莱布尼兹判别法来判别的交错级数对于某些特殊的交错级数（下面会举例），莱布尼兹判别法的条件未必都满足，我们怎么解决这类问题呢？下面分这样几种情况讨论。
3.3.1原级数可以恒等变形后能判别的交错级数定理3：若级数n u ∑和n v ∑都收敛，c 、d 是常数，则级数()n n cu dv +∑也收敛。
推论1：若级数n u ∑和n v ∑其中一个收敛，另一个发散，则级数()n n cu dv +∑发散。
结论1：几何级数n q ∑，当q ＜1时，级数n q ∑收敛；当q ≥1时，级数n q ∑发发散。
例4 判别级数1112(1)(1)2n n nn -∞-=+--∑的敛散性。
证明 数列{12(1)2n n-+-}显然不满足单调递减性，所以不能用莱布尼茨判别法。
因为 111112(1)1111(1)(1)()()22222n n n n n n n n -----+--=-+-+，所以 111112(1)11(1)[()()]222n n n n nn n -∞∞--==+--=-+∑∑。
由结论1知级数111()2n n ∞-=-∑与11()2n n ∞=∑都收敛，所以级数1112(1)(1)2n n n n -∞-=+--∑收敛。
例5判别级数nn ∞=解n(1)(1)]1(1)111n n nn n n --==-----，所以n n ∞=21[(1)]1nn n ∞=---∑，而0n →∞=，且'=0< 即数列单调递减，所以级数1(1)1n n n ∞=--∑收敛；显然，级数111n n ∞=-∑发散。
由推论1知级数21[(1)]11n n n n ∞=----∑发散，所以原级数nn ∞=3.3.2当n 取奇数和偶数时，通项绝对值n u 不一致的交错级数 定理4： 若交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足：lim 0n n u →∞=，且212n nn u u v --=，则级数1n n v ∞=∑与原交错级数具有相同的敛散性。
证明：考察交错级数的部分和数列{n s }及级数的部分和数列{'n s } 因为'2123421212()()......()......n n n n n s u u u u u u v v v s -=-+-++-=+++=所以，若级数1n n v ∞=∑发散，则'lim n n s →∞等于∞或不存在，从而2lim n n s →∞也等于∞或不存在，即原交错级数发散；若级数1n n v ∞=∑收敛于S ，则S='2lim lim n n n n s s →∞→∞=，又2122n n n s s u -=+，则2122lim lim()n n n n n s s u s -→∞→∞=+=，因此，原交错级数收敛。
例6......++的敛散性。
解 此级数为交错级数，且lim 0n n u →∞=，因为2122n n u u n--==，且级数2n∑发散，所以原交错级数发散。
3.3.3通项的相邻两项比值1n nu u +约分之后比较简单的交错级数 定理5（极限判别法）：若交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足：1lim (1)nn n u n u →∞+- =r ，则 （1）当r>0时，原交错级数收敛。
特别地，当r>1时，原交错级数绝对收敛；当0<r<1时，原交错级数条件收敛； （2）当r<0时，原交错级数发散； （3）当r=0时，原级数可能收敛或者发散。
证明 （I ）因为1lim (1)n n n u n u →∞+-=r ＞0,所以当n 无穷大时，1(1)n n un u +-＞0，即1n n u u +>。
记a =2r ，存在N,当n N ≥时，1(1)n n u n a u +->，即1<n n u nu n a ++， 于是1(1)...()0<<()(1)...()N m N a N N N m a N a N a N a m +++++++++ ① 记 m N mP N a m+=++，则12111(1)(1)(1)[1()1]m m N m N N a N N a b P N a m m m m m m -+++=-=-=++=+-+-++2211[1()]1()a a m m m m=-+-=-+当m 适当大时，m b 保持定号。
因为211m m ∞=∑收敛, 1m am ∞=∑发散,所以1m m b ∞=∑发散。
因此, 无穷乘积0m N mN a m∞=+++∏发散。
又因为部分乘积0m k k P =∏递减且为正, 所以无穷乘积0m N mN a m∞=+++∏发散于零, 即(1)...()lim0()(1)...()m N N N m N a N a N a m →∞++=+++++由①得，lim 0n n u →∞=。
满足莱布尼茨审敛法的两个条件，因此交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑收敛。
进一步可得：当r>1时，原交错级数绝对收敛； 当0<r<1时，原交错级数条件收敛。
（II ）因为1lim (r<01)n n n u n u →∞+-=,故当n 充分大时,1(1)0n n un u +-<,即10n n u u +<<, 于是lim 0n n u →∞≠, 从而交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑发散。
（III ）当1lim (r=01)nn n u n u →∞+-=时，交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑可能收敛也可能发散。