浅谈交错级数敛散性的判定

浅谈交错级数敛散性的判定

摘要：交错级数的敛散性主要用莱布尼兹定理来判别，本文给出了几个有用的结论来

判断某些特殊的交错级数的敛散性，并总结了关于交错级数敛散性判别的一些常用方法。归纳了如何使用该定理证明交错级数的敛散性,并在莱布尼兹审敛法失效时,提供了判定交错级数敛散性的方法。

关键词：交错级数 收敛 莱布尼兹审敛法 单调递减

1引言

在数学分析中,对级数敛散性的判别是一个重要的内容。级数敛散性的柯西判别准则虽然给出了判断级数收敛的充要条件,从逻辑上讲,它适应于一切级数敛散性的判断,但是通常在判别具体级数的敛散性时,使用柯西判别准则是有困难的,甚至是无法进行的,因为要检测一个具体的级数是否满足这个判别准则的条件本身就不比检测这个级数是否收敛容易。特别是判别一个交错级数是否收敛时使用柯西判别准则往往失效。在常用的数学分析教材中判别交错级数是否收敛方法很少,一般地只有莱布尼茨判别法。莱布尼茨判别法只针对莱布尼茨型级数有效,对于更多的非莱布尼茨型级数敛散性的判别存在困难。在用莱布尼兹审敛法证明交错级数敛散性的过程中,验证两个条件成立有一定的难度。在两个条件失效时,那么该如何判断呢？下面就来谈谈如何使用莱布尼兹审敛法验证交错级数的敛散性。

2基本概念及定理

定义1： 若级数的各项符合正负相间，即：

1

112341...(1)....(1)n n n n n u u u u u u ∞

--=-+-+-+=-∑（n>0,n=1,2,3,4……）

则称级数11

(1)n n n u ∞

-=-∑为交错级数。

定义2：若级数

1

n

n u

∞

=∑通项的绝对值构成的级数1

n n u ∞=∑收敛，则称级数1

n n u ∞

=∑为绝

对收敛；若级数1

n n u ∞=∑收敛而1

n n u ∞

=∑发散，则称1

n n u ∞

=∑为条件收敛。

定理 1：（交错级数收敛的必要条件）若交错级数11

(1)n n n u ∞

-=-∑（n u >0）

收敛，则有lim 0n n u →∞

=。

定理2：（莱布尼茨判别法）若交错级数11

(1)n n n u ∞

-=-∑满足下述两个条件：

（1）lim 0n n u →∞

=；

（2）数列{n u }单调递减； 则该交错级数11(1)n n n u ∞

-=-∑收敛。

3交错级数敛散性判别的方法

当遇到一个交错级数时，该如何判断敛散性呢？大致从以下 步骤入手：

3.1 必要性判别交错级数发散

由定理1知，其逆否命题成立，即：若lim 0n n u →∞

≠，则交错级数11

(1)n n n u ∞

-=-∑(n>0）

发散。因此，可以判别交错级数的发散性。 例1 判别下列级数的敛散性。 （1）1

11(1)

21n n n n ∞

-=+--∑ （2）11

1

(1)sin n n n n ∞

-=-∑ 解（1）为交错级数，121n n u n +=

-，则1lim lim 21n n n n u n →∞→∞+=-=1

02

≠，因此交错级数

1

1

1

(1)21

n n n n ∞

-=+--∑发散。 （2）此级数为交错级数，1sin

n u n n =，1

sin

1

lim lim sin lim

101

n n n n n u n n n

→∞→∞→∞===≠，

因此交错级数发散11

1(1)sin

n n n n

∞

-=-∑。 3.2莱布尼兹判别法可以判别交错级数收敛

只要能验证莱布尼兹判别法的两个条件，那么这样的交错级数一定收敛。 例2 判别下列级数的敛散性 （1）1

11

(1)

n n n ∞

-=-∑ （2）121

1(1)n n n ∞

-=-∑

解 （1）此级数为交错级数，lim l 1

im n n n n

u →∞→∞==0；

且1n n u u --=111

1(1)

n n n n -=

++＞0，即数列{n u }单调递减。 因此，交错级数11

1

(1)n n n ∞

-=-∑收敛。

（2）此级数是交错级数，2lim lim

1n n n n u →∞

→∞==0；且数列{2

1

n }显然单调递减。 因此级数1

21

1

(1)n n n

∞

-=-∑收敛。 注：例2中的两个级数虽然都收敛，但是他们通项所组成的级数，即正项级

数1n ∑发散，正项级数21n ∑收敛；因此级数111

(1)n n n ∞

-=-∑条件收敛，而级数

1

2

1

1

(1)n n n ∞

-=-∑绝对收敛。 例3

验证级数1

1

(1)n n ∞

-=-∑收敛。 证明

此级数为交错级数，n u =

，

且lim n n n u →∞

=121lim 012

n n n

n →∞-===； 令()x f

, (

)''x f ===,

当2

n e >时，有数列

}单调递减；所以当2

n e >

时，级数1

(1)n n ∞

-=-∑收敛。